Ultra zimne atomy bozonowe ze słabym magnetycznym...

ROZPRAWA DOKTORSKA

Ultra zimne atomy bozonowe

ze słabym magnetycznym

oddziaływaniem dipolowym

w sieciach optycznych

Joanna

PIETRASZEWICZ

Promotor:

prof. dr hab. Mariusz GAJDA

Promotor pomocniczy:

dr Tomasz SOWINSKI

INSTYTUT FIZYKI

POLSKIEJ AKADEMII NAUK W WARSZAWIE

1 sierpnia 2013

Prace dedykuje moim Drogim Rodzicom.

iii

Podziekowania

Pragne w szczególny sposób podziekowac mojemu Promotorowi

prof. dr hab. Mariuszowi Gajdzie, za poswiecony czas i zaangazowanie, które

nadało kształtu i wpłyneło na wartosci merytoryczne mojej pracy.

Szczere podziekowania kieruje takze w strone dr Tomasza Sowinskiego,

Promotora pomocniczego. Jego cenne rady i krytyczne uwagi były bodzcem w

udoskonaleniu pracy.

Dodatkowo dziekuje dr Piotrowi Deuarowi za wiare i wieczny optymizm

oraz prof. hab. Janowi Mostowskiemu za dbałosc o dobre obyczaje i mozliwosc

realizowania pracy doktorskiej w zespole.

Chciałabym takze podziekowac wszystkim osobom z Zespołu „Optyka

Kwantowa” ON-2.6 za zyczliwa atmosfere w pracy.

v

Spis tresci

Podziekowania v

1 Wprowadzenie 1

2 Dwuciałowe oddziaływania 9

2.1 Ultrazimny układ atomów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Hamiltonian oddziałujacych bozonów w sieci . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Oddziaływanie kontaktowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Magnetyczne oddziaływania dipolowe . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2.1 Szczegółowa charakterystyka oddziaływan dipolo-wych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Własnosci sieci optycznej 19

3.1 Siec optyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Potencjały periodyczne w fizyce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.1 Twierdzenie Blocha i funkcja Blocha . . . . . . . . . . . . . 233.3 Jednowymiarowa siec optyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Funkcje Mathieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.5 Funkcje Wanniera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6 Konstrukcja funkcji Wanniera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6.1 Energie srednie funkcji Wanniera . . . . . . . . . . . . . . . 283.6.2 Tunelowanie czastek w stanach Wanniera . . . . . . . . . . 29

4 Dynamika spinu 31

4.1 Dynamika spinu via oddziaływania kontaktowe w dwóch oczkachsieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Dynamika spinu via oddziaływania dipolowe w pojedyn-czym oczku sieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.2 Przyblizenie harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.3 Przejscie dipolowe z ∆Mz = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.4 Przejscie dipolowe z ∆Mz = −2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.4.1 Pułapka harmoniczna . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.4.2 Pułapka anharmoniczna . . . . . . . . . . . . . . . 534.2.4.3 Pojedyncze oczko kwadratowej sieci optycznej . . . 60

4.2.5 Porównanie z eksperymentem I . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.5.1 Porównanie z eksperymentem II . . . . . . . . . . . 68

vii

Spis tresci viii

5 Dwuskładnikowy model BH 71

5.1 Jednoskładnikowy model Bosego-Hubbarda BH oddziałujacychbozonów w sieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.1.1 Stan podstawowy BH w fazie nadciekłej SF . . . . . . . . . 735.1.2 Stan podstawowy BH w fazie izolatora Motta MI . . . . . . 74

5.2 Przejscie fazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.1 Metoda Fisher’a w układzie nieskonczonym . . . . . . . . . 765.2.2 Diagram fazowy BH w wielkim zespole kanonicznym . . . . 78

5.3 Dwuskładnikowy model BH z oddziaływaniem dipolowym . . . . . 805.4 Diagram fazowy układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.5 Uwagi na temat dwuskładnikowego modelu BH . . . . . . . . . . . 89

6 Podsumowanie 91

A Dodatek A 95

A.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.2 Wzbudzenie atomów w kanale z Mz = −1 . . . . . . . . . . . . . . 96

A.3 Potencjał sieci optycznej V(x, y) = V0

(sin2 (kx)+sin2 (ky)

)- analiza

i wyniki numeryczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.4 EdH w pułapce harmonicznej z N atomami w układzie . . . . . . 97A.5 Elementy hamiltonianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

B Dodatek B 103

B.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103B.2 Dipolowy rezonans dwuczastkowy z ∆Mz = 2. . . . . . . . . . . . 103B.3 Potencjału kulombowski jako przykład potencjału anharmonicz-

nego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113B.4 Momentów magnetycznych skondensowanych atomów . . . . . . 116B.5 Połozenie rezonansów dipolowych z ∆Mz = −1 oraz ∆Mz = −2 dla

róznych geometrii sieci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

C Dodatek C 121

C.1 Hamiltonian układu dwuskładnikowego: . . . . . . . . . . . . . . . 121C.2 Srednie operatorów pola składnika a i b. . . . . . . . . . . . . . . . 123

C.2.1 Obliczenia dotyczace 〈a〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124C.2.2 Obliczenia dotyczace 〈b〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Bibliografia 131

Rozdział 1

Wprowadzenie

Rozdział 1. jest ogólnym wstepem do rozprawy doktorskiej. Jego przewodnim

celem jest wprowadzenie czytelnika w tematyke ultrazimnych gazów atomo-

wych z podkresleniem roli kondensatów spinorowych i oddziaływan dipolo-

wych. W ten sposób nakresle podstawowe problemy, jakimi sie zajmowałam.

Kondensaty Bosego-Einsteina (BEC) sa bardzo dobrym układem do badania

procesów kwantowych w niemalze makroskopowej skali. Atomy BEC obsa-

dzaja tylko jeden orbital przestrzenny, wobec tego efekty mikroskopowe sa

wzmacniane i mozliwe do obserwowania w doswiadczeniu. Pierwsze konden-

saty BEC z atomów: 87Rb, 23Na czy 7Li, pułapkowano magnetycznie. Niestety

„chwytano” tylko te atomy, których moment magnetyczny ~µ (proporcjonalny

do spinu) podazał za kierunkiem słabego pola magnetycznego. Zatem spin,

jako zmienna dynamiczna, był „zamrozony”. Wkrótce potem powstały optyczne

pułapki dipolowe, w których uzyskano kondensaty spinorowe. Był to poczatek

drogi w badaniach własnosci magnetycznych w układach kwantowych.

Jak wiadomo, stany zeemanowskie o tej samej energii maja rózna degeneracje.

Liczba kwantowa, która charakteryzuje te stany jest całkowity moment pedu−→F =

−→I +

−→J , gdzie

−→I oznacza spin jadrowy, zas

−→J =

−→S +

−→L jest całkowitym

elektronowym momentem pedu. Rzut całkowitego orbitalnego momentu pedu−→F na os kwantyzacji posiada 2F + 1 składowych mF . Do opisu tak złozonego

układu uzywa sie spinora - operatora pola o 2F + 1 składnikach. Obsadzenie

tych składników moze zmieniac sie i w przestrzeni, i w czasie. Moga wiec

powstac niezwykle bogate struktury spinowe [1, 2], fazy egzotyczne w kazdym

komponencie spinowym, fazy nematyczne [3] czy tez kolorowa nadciekłosc [4].

Na dodatek mozna by myslec o dynamice spinu, która jest całkowicie inna od

tej widzianej w jednoskładnikowym BEC.

1

Rozdział 1. Wprowadzenie 2

W przypadku takich atomów jak chrom czy rubid, układ kwantowy cechuje

bogata struktura zeemanowska. Rubid moze miec trzy lub piec składników ze-

emanowskich zaleznie od wartosci całkowitego spinu w układzie (odpowiednio

F = 1 lub F = 5). Pozostałe liczby kwantowe, które sa przypisane dla 87Rb,

to I = 3/2, S = 1/2 i L = 0. W układzie atomów chromu wystepuje az siedem

składników zeemanowskich, gdzie wartosc spinu wynosi F = S = 3. Zgod-

nie z powszechnie przyjeta nomenklatura spin 52Cr jest oznaczany przez S.

Uzasadnieniem takiego stanu rzeczy jest to, ze dla chromu liczby kwantowe I

oraz L sa równe zero, zatem spin elektronów S = 3 jest równowazny F .

W wiekszosci eksperymentów z BEC wiodaca role pełnia izotropowe, krótko-

zasiegowe oddziaływania. Z reguły sa one opisywane jednym parametrem -

długoscia rozpraszania aS , którego wielkosc jak i znak mozna regulowac po-

przez rezonanse Feshbacha. Strojenie tych oddziaływan pozwoliło zaobserwo-

wac zapadanie sie kondensatu (Bosenova) [5] czy tez tworzenie ultra zimnych

gazowych molekuł poza kondensatem. Jesli chodzi o anizotropowe, długoza-

siegowe oddziaływania, tzw. oddziaływania dipol- dipol, to poczatkowo były

one obiektem zainteresowan wyłacznie teoretyków. Zródłem tych oddziaływan

sa momenty magnetyczne atomów ~µ = gFµB~F , gdzie gF jest czynnikiem

Landego, µB magnetonem Bohra.

Gdy uzyskano kondensat chromu [6] stało sie jasne, ze zjawiska oparte na

oddziaływaniach dipolowych wreszczie beda zauwazalne w eksperymencie. W

kondensacie atomów rubidu było to dosc trudne. Rubid ma stosunkowo mały

moment magnetyczny µ = 1/2µB. W chromie moment ten jest 12 razy wiekszy

(µ = 6 µB). Podkreslam ten aspekt, gdyz w swojej pracy doktorskiej bede ana-

lizowała procesy fizyczne z uwzglednieniem dipolowych oddziaływan w gazie

atomów chromu (F = S = 3, L = 0, I = 0).

Przewidywania, ze w układzie ultrazimych atomów 52Cr oddziaływania dipo-

lowe stanowia istotny element, zweryfikowano doswiadczalnie [7]. Za pomoca

rezonansów Feshbacha zredukowano, a potem wyłaczono oddziaływania kon-

taktowe i pokazano jakiej zmianie ulega kształt chmury skondensowanych ato-

mów (Rys.1.1). Był to wyrazny przejaw natury dipolowych oddziaływan. Ten

eksperyment unaocznił, ze zjawiska, którymi rzadza siły dipol-dipol, nie po-

winny byc zaniedbywane.

Oddziaływania dipolowe sprzegaja spinowe i orbitalne stopnie swobody. Sztan-

darowym przykładem zmiany spinu poprzez dwuatomowe oddziaływanie dipol-

dipol z bezposrednim wpływem na ruch orbitalny, jest efekt Einseina de Hassa

(EdH) [9, 10]. W oryginalnej wersji eksperymentu EdH zaobserwowano jak


RYSUNEK 1.1: Na trzech plakietkach przedstawiono charakterystyczny kształtkondensatu z atomami Cr. Szara sfera symbolizuje izotropowe oddziaływaniakontaktowe, podczas gdy czerwono-zielona strzałka okresla srednia wartoscmomentów dipolowych atomów. Wraz z redukcja oddziaływan kontaktowychrole przewódcza przejmuja oddziaływania dipolowe. Kształt BEC ulega wów-czas zmianie: ze sferycznego przyjmuje forme wydłuzona (kierunek magnety-

zacji jest zachowany), [8].

ferromagnetyczny walec zawieszony na sznurku, wykonuje obrót wokół własnej

osi, gdy tylko zwrot przyłozonego pola magnetycznego ulegał zmianie. Układ

reagował na zmiane pola, zmiana orientacji momentów magnetycznych w ato-

mach (zmieniał sie rzut składowej spinu), zas obrót samego układu wynikał z

zasady zachowania momentu pedu.

Idee efektu EdH zastosowano w teoretycznych badaniach, w ultrazimnych ga-

zach dipolowych umieszczonych w optycznych pułapkach dipolowych. Dzieki

temu przewidziano nietrywialny charakter dynamiki spinu w tych układach

[11, 12, 13]. Ta nietrywialnosc wynika przede wszystkim z tego, ze prze-

strzenny ruch orbitalny sprzega sie ze stanami spinowymi mF . W układach

kwantowych proces EdH nie zachodzi jednak spontanicznie. Zasada zacho-

wania energii hamuje bezposrednia dynamike, poniewaz energia dipolowa jest

duzo mniejsza od róznicy energii miedzy sprzezonymi stanami. By zapewnic

warunki do obserwacji dynamiki spinu, nalezy ominac przeszkode energe-

tyczna. Do tego celu mozna wykorzystac dwie własciwosci układu. Po pierwsze

w pułapce optycznej energie stanów orbitalnych sa skwantowane. Po drugie

energie stanów zeemanowskich o magnetyzacji mF zaleza od zewnetrznego

pola magnetycznego B (effekt Zeemana). Na przykładzie trójskładnikowego

spinora z atomami rubidu [14] pokazano, ze istnieje takie magnetyczne pole

rezonansowe Brez, w którym energie zeemanowskie dwóch sprzezonych dipo-

lowo stanów sa równe. Róznica energii jest zredukowana do zera, wobec tego


spolaryzowane atomy, przygotowane w stanie mF = 1, l = 0 przechodza do nie-

obsadzonego stanu mF = 0, l = 1 za sprawa oddziaływan dipolowych (liczba

kwantowa l opisuje stany orbitalne).

RYSUNEK 1.2: Gestosc w składnikach spinowych: mF = 1, l = 0 (lewy rysu-nek) i mF = 0, l = 1 (prawy rysunek) w układzie z N = 5× 104 atomami rubidu

w płaszczyznie xy, [14].

Ten scenariusz przebadano w przyblizeniu pola sredniego. Poniewaz potencjał

pułapkujacy był osiowo-symetryczny, to faza funkcji falowej w stanie konco-

wym mF = 0, l = 1 była typowa dla wiru – stanu z niezerowym, orbitalnym

momentem pedu, Rys.(1.2). Pole rezonansowe Brez, które jest niezbedne by

w układzie z atomami rubidu obserwowac efekt EdH, jest rzedu kilku mikro-

Gaussów (µGs). W układzie z atomami chromu szacuje sie, ze pole magne-

tyczne powinno byc na poziomie 100µGs [15].

Nalezy sobie jeszcze uzmysłowic, ze z powodu małej energii oddziaływania di-

polowego, szerokosci rezonansów dipolowych sa dosyc waskie. W zwiazku z

tym, gwarancja na doswiadczalna realizacje EdH jest jedynie precyzyjny wy-

bór wartosci pola Brez. Jest to problem natury technicznej, ale z pewnoscia

mozliwy do pokonania.

Obraz fizyczny procesu, opartego na mechanizmie EdH, mozna zrozumiec ba-

dajac strukture energetyczna układu. Pojedynczy rezonans w tej strukturze

nalezy utozsamic z sytuacja, w której nastepuje wzbudzenie atomów do okre-

slonych stanów orbitalnych. O tym, jaki stan jest wzbudzony, decyduje za-

sada zachowania całkowitego momentu pedu oraz zasada zachowania energii.

Natomiast warunkiem osiagniecia konkretnego stanu koncowego jest wybór

konkretnego pola Brez, dla którego przesuniecie zeemanowskie poziomów jest

równe róznicy energii miedzy sprzezonymi stanami. To oczywiscie powoduje,

ze oddziaływania dipolowe sa bardzo selektywne.

Wykonano szereg doswiadczen ukazujacych role długozasiegowych oddziały-

wan dipolowych. Zaobserwowano proces demagnetyzacji w układzie, czyli se-

kwencyjne obsadzanie kolejnych składników magnetycznych [16]. W chwili


poczatkowej wszystkie atomy 52Cr były umieszczone w stanie mS = −3 w di-

polowej pułapce optycznej. Układ znajdował sie w duzym polu magnetycznym

(20 mGs), które nastepnie gwałtownie obnizano, az do małej wartosci. Po prze-

kroczeniu krytycznej wartosci pola magnetycznego Bk, miało miejsce przejscie

fazowe: od ferromagnetycznego uporzadkowania spinów (stan poczatkowy) do

fazy nieuporzadkowanej. Poczatek temu procesowi dały oddziaływania dipo-

lowe. Potem dalszy ciag demagnetyzacji nastepował juz lawinowo. Warto jed-

nak zauwazyc, ze w tak przygotowanym układzie proces demagnetyzacji mógł

nastapic wyłacznie pod wpływem oddziaływan dipolowych.

Okazuje sie, ze efekt EdH moze byc wykorzystany takze w gazie atomów o

spinie połówkowym, dzieki czemu mozna by uzyskac ciekawe stany wieloato-

mowe, np. stan Halla [17],

Tematyka poruszana w eksperymentach czesto wyznacza trend aktualnym ba-

daniom teoretycznym. Pod takim katem nalezy rozumiec motywacje moich

badan. Głównym nacisk w rozprawie połozyłam na ukazanie, w jaki sposób

mozna zaobserwowac dynamike spinu lub innymi słowy – jak realizowac kwan-

towy magnetyzm. Przez kwantowy magnetyzm rozumiem taki układ, w którym

fakt, ze moment magnetyczny jest skantowany, odgrywa istotna role. W ”kla-

sycznym” magnetyzmie momenty magnetyczne atomów zmieniaja swe wartosci

w sposób ciagły.

Dynamike spinu moga wywołac dwojakiego rodzaju oddziaływania. Na krót-

kich skalach czasu bardzo efektowne sa krótkozasiegowe oddziaływania kon-

taktowe zalezne od spinu. Na nieco dłuzszych skalach czasu – długozasiegowe

oddziaływania dipolowe. Unaocznie odmiennosc tych oddziaływan prezentujac

wyniki swych badan.

Dotychczas badano układy, które utrzymywano w harmonicznej pułapce dipo-

lowej. W rezimie słabych oddziaływan sa to typowe kondensaty BEC. Atomy

sa w stanie nadciekłym i obsadzaja jeden orbital przestrzenny, a do opisu ta-

kiego układu stosuje sie wtedy metode pola sredniego. Jednak, gdy pułapki di-

polowe zastapiono przez siec optyczna, pojawił sie inny obraz układu kwanto-

wego. Siec optyczna to rodzaj sztucznego kryształu, w którego wezłach (w tzw.

oczkach) gromadzi sie ultrazimna materia. Powstaje ona jako produkt in-

terferencji przeciwbieznych wiazek laserowych. Tworzy sie wtedy periodyczna

struktura, która kształtem przypomina „krajobraz” górek i dołków. Nowocze-

sne techniki pozwalaja uzyskac srednio 1−3 atomy w pojedynczym oczku sieci

optycznej. Z powodu silnych oddziaływan miedzy atomami w sieci optycznej,


układ jest silnie skorelowany. Nie mozna go opisywac przez iloczyn identycz-

nych funkcji jednoczastkowych, dlatego metoda pola sredniego nie sprawdza

sie w odniesieniu do takiego układu. Niewatpliwie zaleta sieci optycznej jest

to, ze mozna w niej dostrzec efekty spinowe i stworzyc szanse, by sterowac

oddziaływaniami wewnatrzatomowymi. Nieustannie w tym kierunku podazaja

aspiracje fizyków.

Powszechnie uwaza sie, ze ultrazimne atomy w sieci optycznej sa dokładna

realizacja modelu Bosego-Hubbarda. Hamiltonian gazu bozonów o masie m i

całkowitym momencie pedu F , w formalizmie drugiej kwantyzacji przyjmuje

nastepujaca postac:

H =F∑

mF =−F

∫d3r Ψ†

mF(~r)

[~p2

2m+ Vtrap(~r)

]Ψ†

mF(~r)

+∑

mF1,mF2

∑

mF3,mF4

∫d3r1 d

3r2 Ψ†mF1

(~r2) Ψ†mF2

(~r1) VmF1

,mF2mF3

,mF4(~r1 − ~r2) ΨmF3

(~r1) ΨmF4(~r2)

(1.1)

gdzie indeksy zbioru mF ,mF1 ,mF2 ,mF3 ,mF4 zmieniaja sie od wartosci −F do

F , Vtrap jest potencjałem pułapki, zas VmF1

,mF2mF3

,mF4(~r1 − ~r2) to potencjał oddzia-

ływania miedzy dwoma atomami. Funkcja falowa całego układu jest spinorem

Ψ(~r) złozonym z 2F + 1 operatorów pola ΨmF(~r).

Z reguły, gdy wysokosc bariery potencjalnej jest dostatecznie duza (V0 > 20 ER,

gdzie ER jest jednostka energii zwana energia odrzutu pojedynczego atomu), a

tunelowanie czastek do sasiednich oczek zaniedbywalne, to wszelkie rachunki

teoretyczne sa sprowadzane do fizyki jednego oczka. Zakłada sie wówczas, ze

kształt oczka - w szczególnosci dla nisko lezacych stanów w pułapce - charak-

terem przypomina oscylator harmoniczny. Intuicyjnie wydaje sie to poprawne.

Jednak istnieje powazna rozbieznosc miedzy wynikami rzeczywistymi a tymi,

uzyskanymi w skutek przyblizenia harmonicznego. Przyczyna tej sytuacji jest

anharmonicznosc i anizotropia oczka sieci optycznej.

Anharmonicznosc powoduje, ze energie jednoczastkowe w pułapce nie sa od

siebie równo oddalone. Z kolei anizotropia wpływa na kształt funkcji falowej,

przez co kazdy stan inaczej oddziałuje kontaktowo. Struktura energetyczna w

potencjale sieci ulega wiec znacznej modyfikacji w porównaniu ze struktura w

pułapce osiowo-symetrycznej. W kontekscie dynamiki spinu ma to niebaga-

telne znaczenie.


Jak juz wspomniałam, dynamika spinu inicjowana dipolowymi oddziaływa-

niami jest wydajna, jesli zachodzi w obecnosci zewnetrznego pola magnetycz-

nego o wartosci Brez odpowiadajacej róznicy energii zeemanowskiej pomiedzy

stanami, miedzy którymi nastepuje transfer (efekt Zeemana). Wobec tego w

obszarze rezonansu dynamika zalezy tylko od oddziaływan. Słabe oddziaływa-

nia dipolowe sa tak naprawde wdziecznym narzedziem do wykrywania stru-

kury energetycznej układu. Na dodatek sa na tyle subtelne, ze czuja kazda

„niedoskonałosc” potencjału.

W swej pracy pokaze, ze nawet w przypadku dwóch atomów istnieje dosc bo-

gata struktura rezonansowa. Mówiac tu „bogata struktura”, chciałam podkre-

slic jej odmiennosc w stosunku do takiej struktury, która uzyskuje sie, gdy

oczko sieci optycznej ma symetrie osiowo-symetryczna.

Watek anizotropii pojawił sie tez w kilku pracach teoretycznych [18, 19, 20],

rozpatrywano go jednak dla stanów bozonowych nalezacych do dwóch pierw-

szych pasm w sieci optycznej, tj. s i p. W pracy [20] zauwazono, ze kształt

potencjału ma bezposredni wpływ na anizotropowe własnosci tunelowania z

pasma p. Takie tunelowanie zmienia gestosc atomów w stanie podstawowym,

jak równiez spójnosc miedzy stanami w sasiednich oczkach. W kwadratowej

lub kubicznej sieci optycznej stany atomowe opisane sa przez zlokalizowane

funkcje Wanniera. W odniesieniu do funkcji Wanniera z pasma p nalezy zazna-

czyc, ze posiadaja one wezeł na kierunku przestrzenym wskazywanym przez

rodzaj orbitala px, py i pz. Co wiecej sa one rozciagniete w tym kierunku, wiec

atomy łatwiej wtedy tuneluja. W całym tym zjawisku kluczowa jest obserwa-

cja, ze pod wpływem anizotropii gestosc atomów staje sie anizotropowa, wobec

czego istotnie zmieniaja sie własnosci dynamiczne w takim układzie. Jest to

najlepiej widoczne w granicy duzych tunelowan, gdy układ jest w stanie nad-

ciekłym.

W ponizszej rozprawie doktorskiej przedstawiam wyniki badan nad ultrazim-

nymi atomami chromu w sieci optycznej. Organizacja rozprawy jest nastepu-

jaca:

• Rozdział 2. omawia główne rodzaje oddziaływan w sieci optycznej: ma-

gnetyczne oddziaływania dipolowe oraz lokalne oddziaływania kontak-

towe. Sa one interesujace ze wzgledu na fakt, ze moga inicjowac dynamike

spinu w układzie.

• Rozdział 3. słuzy do zdefiniowania podstawowego aparatu matematycz-

nego w postaci funkcji Wanniera, dzieki którym przeprowadzono rachunki


w sieci optycznej. Rozdział ten przedstawia takze zakres wiedzy o tworze-

niu sieci optycznej i jej własnosciach. Szczegółowo omówiono tu strukture

energetyczna periodycznego potencjału, który słuzy do pułapkowania ato-

mów.

• Rozdział 4. rozpoczyna opis czesci badawczej. Podzielony jest na dwie

czesci. W pierwszej pokazano ewolucje układu z N atomami w obrebie

dwóch oczek w zerowym polu magnetycznym. Zalezne od spinu oddziały-

wania kontaktowe powoduja zmiane obsadzenia poszczególnych składni-

ków magnetycznych. W drugiej sekcji przeanalizowano dynamike spinu

dwóch atomów w pojedynczym oczku sieci optycznej o róznej geometrii, w

rezonansowym polu magnetycznym. Procesem tym rzadzi oddziaływanie

dipolowe niezachowujace magnetyzacji układu. Przestrzen stanów bazo-

wych stanowiły funkcje nalezace do trzech pierwszych pasm sieci optycz-

nej, tj. s, p i d. W rozdziale 4. nawiazano takze do aktualnie prowa-

dzonych doswiadczen i przedstawiono teoretyczna interpretacje wyników

eksperymentalnych.

• Rozdział 5. dotyczy badania przejscia fazowego w nieskonczonej sieci

optycznej z osiowa symetria oczek. W efekcie sporzadzono diagram fa-

zowy układu, który jest realizacja dwuskładnikowego modelu BH z ma-

gnetycznym oddziaływaniem dipolowym.

• Rozdział 6. podsumowuje wyniki tej pracy.

Rozdział 2

Dwuciałowe oddziaływania

Ultrazimne atomy sa dobrym układem do badania zjawisk kwantowych silnie

skorelowanych układów wielociałowych [21, 22]. W tym rozdziale postanowi-

łam omówic najwazniejsze rodzaje oddziaływan w sieci optycznej z ultrazim-

nymi atomami. Szczegółowo opisałam wiec własnosci oddziaływan dipolowych

oraz lokalnych oddziaływan kontaktowych, gdyz akurat te oddziaływania moga

wywołac dynamike spinu w układzie.

Dalekozasiegowe oddziaływanie dipolowe choc dotychczas zaniedbywalne, w

koncu zaczeto traktowac jako znaczace i ciekawe. Taki postep mozna zauwazyc

w badaniach nad ultrazimnymi gazami dipolowymi [23, 24, 25, 26] oraz w

badaniach z wysoko wzbudzonymi stanami orbitalnymi w sieci optycznej [27].

Oczywiscie wydaje sie, ze polarne molekuły - ze wzgledu na duzy elektryczny

moment dipolowy - mogły by byc lepszymi kandydatami do analizy układów

z oddziaływaniem dipolowym. Na razie jednak molekuły nadal zostaja poza

zasiegiem kondensacji.

Magnetyczne oddziaływania dipolowe maja dosc złozona nature. Ich obecnosc

pozwala myslec o spinie jako o zmiennej dynamicznej, a co wiecej pozwala

obsadzac w układzie stany o róznych magnetyzacjach.

Oddziaływania kontaktowe, w porównaniu do energii dipolowej, wnosza do

układu duzy wkład energetyczny. Z tego powodu sa bardzo istotne. Co wie-

cej spontanicznie inicjuja dynamike spinu i to bez wzgledu na obecnosc pola

magnetycznego. Z jednej strony jest to mankament tych oddziaływan, gdyz nie

mozna nimi sterowac w tak subtelny sposób jak oddziaływaniami dipolowymi

za pomoca pola magnetycznego. Z drugiej strony oddziaływania kontaktowe

wywołuja bardzo spektakularna dynamike oraz prowadza do skomplikowanego

9

Rozdział 2. Dwuciałowe oddziaływania 10

diagramu fazowego stanu podstawowego jak np. dla 52Cr w funkcji pola ma-

gnetycznego B oraz przy nieznanej wartosci oddziaływania a0 [28, 29].

2.1 Ultrazimny układ atomów

W ogólnosci hamiltonian układu N oddziałujacych atomów o masie M ma po-

stac:

H =N∑

i=1

( ~p2i

2M+ Vtrap(~ri)

)+

1

2

∑

i6=j

V (~ri − ~rj) (2.1)

gdzie indeksy i, j numeruja atomy, Vtrap jest potencjałem pułapki, zas V (~ri−~rj)

to potencjał oddziaływania miedzy atomami.

W rozrzedzonym gazie ultrazimnych atomów, długosc fali termicznej kazdego

atomu jest zdecydowanie wieksza niz srednia odległosc miedzy nimi (λ≫ Ratom).

To powoduje, ze dominujacy wkład do V (~r−~r′), pochodzacy od oddziaływan van

der Waalsa, mozna traktowac jako potencjał krótkiego zasiegu typu δ(~r − ~r′).

Ponadto wielkosc tego oddziaływania mozna opisac jednym parametrem aS -

długoscia rozpraszania atomów w fali S, [30].Atomy, które posiadaja własny moment magnetyczny, oddziałuja takze dipo-

lowo. W normalnych warunkach wpływ tego oddziaływania jest niezauwazalny

ze wzgledu na słabosc samych oddziaływan. Jednak w zjawiskach, które beda

badane w tej pracy, długozasiegowe oddziaływania dipolowe sa bardzo istotne.

Dlatego tez ich wkład do V (~r − ~r′) musi byc wziety pod uwage.

Dodatkowa cecha bozonów w niskich temperaturach (granica zerowych pedów)

jest to, ze ich funkcja falowa jest dobrze przyblizana przez iloczyn jednako-

wych funkcji jednoczastkowych z dokładnoscia do małego dodatku w postaci

„kwantowego zubozenia” (’quantum depletion’). Jednoczastkowa funkcja fa-

lowa spełnia nieliniowe równanie Schrödingera, zas kwantowe zubozenie jest

zaniedbywalne w rezimie słabych oddziaływan.

Sytuacja jest odmienna, gdy atomy sa umieszczone w głebokiej sieci optycznej.

Wówczas załozenia: a) kazdemu atomowi mozna przypisac ta sama funkcje fa-

lowa, b) brak jest korelacji miedzy atomami oraz c) mozna zaniedbac człon

„kwantowego zubozenia”, nie sa poprawne. W takim przypadku mamy do czy-

nienia z silnie skorelowanym układem.


2.2 Hamiltonian oddziałujacych bozonów w sieci

Hamiltonian oddziałujacych atomów w potencjale periodycznym:

H =

∫d3r Ψ†(~r)

(− ~

2

2M∇2 + Vtrap(~r)

)Ψ(~r) +

+1

2

4π~2

MaS

∫d3r1 d

3r2 Ψ†(~r1) Ψ†(~r2) δ(~r1 − ~r2) Ψ†(~r1) Ψ†(~r2)

+1

2

µ0

4π

∫dr2

1dr22 Ψ†(~r1) Ψ†(~r2) Vdip(~r1 − ~r2) Ψ(~r1) Ψ(~r2) (2.2)

Vdip(~r1 − ~r2) =~µ1 · ~µ2

|~r1 − ~r2|3−

3[~µ1 ·

(~r1 − ~r2

)] [~µ2 ·

(~r1 − ~r2

)]

|~r1 − ~r2|5(2.3)

gdzie Ψ(~r) jest spinorowym operatorem pola bozonowego.

Pierwsza linijka (2.2) opisuje jednoczastkowy hamiltonian. Vtrap(~r) to perio-

dyczny potencjał pułapkujacy. Druga linijka (2.2) opisuje dwuciałowe oddzia-

ływania kontaktowe, gdzie M jest masa atomów, aS to długosc rozpraszania

atomów w fali spinowej S. Z kolei trzecia linijka (2.2) opisuje dwuciałowe,

długozasiegowe oddziaływania dipolowe momentów magnetycznych atomów ~µ1

i ~µ2. µ0 jest przenikalnoscia magnetyczna prózni. Pełna postac potencjału

oddziaływania dipolowego Vdip(~r1 − ~r2) wyraza wzór (2.3).

W układzie opisywanym hamiltonianem (2.2) istotna sprawa jest wybór bazy.

Periodycznosc potencjału oraz w wiekszej mierze lokalnosc oddziaływan podpo-

wiada, ze najlepsza do tego celu baza sa funkcje Wanniera. Pózniejszy rozdział

zostanie poswiecony szczegółowemu omówieniu tych funkcji.

Do opisu układu w sieci optycznej uzywa sie spinorowego operatora pola Ψ(~r).

W ogólnosci ma on postac:

Ψ(~r) =⊗

β

∑

α,i

aβα,iw

βα(~r − ~ri) (2.4)

gdzie α numeruje pasma, indeks i numeruje oczka na sieci, zas β numeruje

składowe spinowe operatora pola. Operator aβα,i anihiluje czastke w połozeniu

~ri, w stanie opisywanym zlokalizowana funkcja Wanniera wβα(~r − ~ri). Dodat-

kowo operator aβα,i spełnia bozonowe relacje komutacji, tj. [aβ

α,i, aγζ,j ] = δi,j δα,ζ δβ,γ.

Przejde teraz do omówienia oddziaływan, które wystepuja w hamiltonianie

(2.2). Przede wszystkim zwróce uwage, jaki wpływ na dynamike spinu maja

te poszczególne oddziaływania.


2.2.1 Oddziaływanie kontaktowe

W niskich temperaturach (T → 0), gdy energia kinetyczna czastek jest mała

w stosunku do potencjału odpychajacego, to przekrój czynny na zderzenia ro-

snie tylko wtedy, gdy czastki zderza sie centralnie. Z tego powodu potencjał

oddziaływania kontaktowego jest krótkozasiegowy, a jego wielkosc charaktery-

zuje jeden parametr - długosc rozpraszania.

W sieci optycznej oddziaływania kontaktowe maja bardzo bogata strukture.

Układ ultrazimnych atomów o spinie S (tak jak w przypadku 52Cr) jest opi-

sywany 2S + 1-składnikowym spinorem i w kazdym takim składniku pojawia

sie inne oddziaływanie kontaktowe.

Funkcja falowa i-tego atomu jest scharakteryzowana przez jego spin Si oraz

rzut tego spinu na os kwantyzacji mi. Jednak do opisu dwuciałowych zderzen

kontaktowych najlepiej jest uzyc bazy molekularnej, ze wzgledu na niezmien-

niczosc dwuciałowej funkcji falowej wzgledem obrotów. Poniewaz wszystkie

własnosci w układzie musza byc zachowane, dlatego dobrymi liczbami kwan-

towymi opisujacymi taki układ beda: całkowity spin atomów 0 ≪ S ≪ S1 + S2

oraz rzut całkowitego spinu na os kwantyzacji M = m1 + m2, który przyjmuje

wartosciM = −S, ..,S.

W ogólnosci hamiltonian kontaktowy Hc mozna zapisac jako:

Hc = δ(r1 − r2)2S∑

S=0

gSS∑

M=−S|S,M〉〈S,M|, (2.5)

Stan

|S,M〉 =∑

m1,m2

(S,m1;S,m2|S,M)|S,m1〉|S,m2〉, (2.6)

jest stanem dwuczastkowym o całkowitym spinie S i rzucie tego spinu M na

kierunek osi kwantyzacji. Symbole (S,m1;S,m2|S,M) oznaczaja współczynniki

Clebscha-Gordan’a, zas |S,mi〉 opisuja stan pojedynczego atomu o spinie S i

jego rzucie mi. Widac wiec, ze kazdy dwuczastkowy stan trzeba zrzutowac na

stan o całkowitym spinie i całkowitym rzucie tego spinu.

W podprzestrzeni całkowitego spinu atomy oddziałuja w kanale fali spinowej

S, siła proporcjonalna do długosci rozpraszania aS :

gS =4π~2

maS , (2.7)

gdzie m jest masa atomu.


Potencjał oddziaływania kontaktowego jest krótkozasiegowy. Ta cecha wymu-

sza symetryczna postac przestrzennej funkcji falowej układu. Skoro wiec czesc

przestrzenna zachowuje symetrie parzystosci, to podobnie dzieje sie z czescia

spinowa. S przyjmuje wiec jedynie parzyste wartosci, S = 0, 2, 4, 6, a oddzia-

ływania kontaktowe nie moga wyprowadzic układu poza ta przestrzen.

Bardzo istotne w przypadku oddziaływan kontaktowych jest to, ze zachowuja

one całkowita magnetyzacje w układzie. W pryncypiach mozna je podzie-

lic na niezalezne oraz zalezne od spinu. Oddziaływania kontaktowe nieza-

lezne od spinu nie powoduja zmiany stanu poczatkowego atomów. W wy-

niku zderzenia atomy nadal pozostaja w tym samym stanie spinowym. W

przypadku oddziaływan kontaktowych zaleznych od spinu - sytuacja jest od-

wrotna. Atomy zmieniaja swój stan spinowy, ale w taki sposób, aby całkowita

magnetyzacja w stanie koncowym była zachowana. Mozna to zilustrowac na

przykładzie dwóch atomów 87Rb, kazdy w stanie z F = 1 i magnetyzacja mFi:

|mF1 = 0〉|mF2 = 0〉 → |mF1 = 1〉|mF2 = −1〉+ |mF1 = −1〉|mF2 = 1〉.

Oddziaływanie kontaktowe zalezne od spinu w niektórych układach moze wy-

wołac dynamike spinu. Wdziecznym przykładem jest układ dwóch atomów 52Cr

przygotowanych w stanie |S1 = 3,m1 = 2〉|S2 = 3,m2 = 2〉. Stan ten mozna

rozkłozyc w bazie całkowitego spinu:

∣∣∣Ψ(t = 0)⟩

=

√6

11

∣∣∣ϕ6

⟩−√

5

11

∣∣∣ϕ4

⟩, (2.8)

gdzie

|ϕ6〉 = |S = 6,M = 4〉 i |ϕ4〉 = |S = 4,M = 4〉 (2.9)

sa stanami własnymi hamiltonianu z oddziaływaniem kontaktowym o ener-

giach odpowiednio E6 = g6n i E4 = g4n, n- gestosc atomów. W zwiazku z

tym∣∣∣Ψ(t)

⟩= e−iE6t/~

(√6

11

∣∣∣ϕ6

⟩−√

5

11e

i

(E6−E4

)t/~∣∣∣ϕ4

⟩). (2.10)

Czestosc oscylacji miedzy stanami |ϕ6〉 i |ϕ4〉 jest proporcjonalna do wyra-

zenia E6 − E4 = n

(g6 − g4

). W chromie to czestosc jest duza, gdyz g6 = 100 a0 ,

zas g4 = 60 a0 (a0-promien Bohra).

W przypadku 87Rb w stanie poczatkowym |F1 = 1,m1 = 0〉|F1 = 1,m1 = 0〉sytuacja jest zupełnie inna. Stan ten rozkłada sie na:

∣∣∣F1 = 1,m1 = 0⟩∣∣∣F1 = 1,m1 = 0

⟩=

√2

3

∣∣∣F = 2,M = 0⟩−√

1

3

∣∣∣F = 0,M = 0⟩,

(2.11)


a siła sprzezenia wynosi ∼ (g2 − g0). Poniewaz dla rubidu g2 ≃ g0, dlatego

dynamika spinu w tym układzie jest zaniedbywalna.

Istnieje takze sytuacja, gdy oddziaływania kontaktowe mimo wszystko nie sa w

stanie zainicjowac dynamiki spinu, np. jesli spiny atomów sa spolaryzowane w

kierunku przyłozonego pola magnetycznego (ferromagnetyczne uporzadkowanie):

|S = 3,mS1 = 3〉|S = 3,mS2 = 3〉 = |S,M〉 = |6, 6〉. Ten stan dwuczastkowy

jest stanem własnym oddziaływan kontaktowych. Dynamike spinu moga w

nim zainicjowac wyłacznie oddziaływania dipolowe. Jednak te kwestie omówie

szczegółowo w Rozdziale 4.

2.2.2 Magnetyczne oddziaływania dipolowe

Neutralne atomy czy tez molekuły maja własny moment dipolowy, a wobec tego

moga oddziaływac siłami dalekozasiegowymi. Hamiltonian magnetycznego od-

działywania dipolowego mozna zapisac:

HD = d2 S1 · S2 − 3(n · S1)(n · S2)

|r1 − r2|3, (2.12)

gdzie ri = (xi, yi, zi) i Si to odpowiednio połozenia i operatory spinu i-tego

atomu, zas współczynnik d2 jest zdefiniowany jako d2 = µ0/(4π) (gµB)2, gdzie:

µ0 jest przenikalnoscia magnetyczna prózni, µB to magneton Bohra, zas g jest

czynnikiem Landego o wartosci przypisanej konkretnemu rodzajowi atomu.

Wektor jednostkowy n = r/r wskazuje kierunek wektora r = r1 − r2 = (x, y, z).

Operatory spinu sa reprezentowane przez macierze spinu danej reprezentacji.

Oddziaływania dipolowe maja charakter długozasiegowy - maleja z odległo-

scia jak 1r3 (dla porównania oddziaływania van der Waalsa maleja jak − 1

r6 ).

Oddziaływania dipolowe sa takze anizotropowe – zaleza od wzajemnego usta-

wienia momentów magnetycznych dwóch atomów. Ta własnosc łatwo do-

strzec w układzie, gdy spiny sa spolaryzowane w kierunku pola magnetycznego~B = (0, 0, B). Wówczas potencjał dipolowy ma postac:

HD = d2 S2 1− 3 cos θ

|r1 − r2|3, (2.13)

gdzie θ jest katem miedzy momentami magnetycznymi atomów, zas r jest odle-

głoscia miedzy połozeniami tychze atomów.


RYSUNEK 2.1: a) Dwa dipole sa zorientowane w kierunku wersorów e1 i e2 wodległosci r od siebie. b) Dipole sa spolaryzowane, a siła oddziaływania mie-dzy nimi zalezy wyłacznie od kata θ oraz wzglednej odległosci miedzy nimi r.Gdy θ = π

2oddziaływanie jest odpychajace (c), gdy θ = 0 oddziaływanie jest

przyciagajace (d), [31].

W zaleznosci od wzajemnego ustawienia spinów oddziaływanie zmienia swój

Rys.(2.1). Gdy cos θ < 13 , potencjał dipolowy jest odpychajacy, gdy θ = 0, to po-

tencjał dipolowy jest przyciagajacy. Okazuje sie wiec, ze w przypadku konden-

satu dipolowego dodatkowa role odgrywa geometria pułapki, która nie tylko

ustala przestrzenny rozkład gestosci atomów, ale równiez wpływa na stabil-

nosc całego układu. W pułapce o geometrii „cygara”, gdy czestosci pułapki

pozostaja w relacji ωx = ωy, ( ωz

ωx) ≪ 1, dominuje przyciaganie. Jednakze obec-

nosc odpychajacych oddziaływan kontaktowych pozostawia ten układ stabil-

nym. W pułapce o geometrii „nalesnika”, gdy ( ωz

ωx)≫ 1, oddziaływania dipolowe

sa głównie odpychajace. W tym przypadku BEC jest zawsze układem stabil-

nym. Natomiast w pułapce sferycznej, gdy rozkład gestosci chmury atomów

jest izotropowy, magnetyczne oddziaływanie dipolowe usrednic sie do zera.

2.2.2.1 Szczegółowa charakterystyka oddziaływan dipolowych

Uwzglednienie oddziaływan dipolowych z punktu widzenia ponizszej rozprawy

jest niezwykle wazne. Dlatego tez szczegółowo przeanalizuje hamiltonian od-

działywania dipolowego. Mozna go podzielic na trzy czesci:

HD = Hd0 +Hd1 +Hd2. (2.14)


Kazdy człon Hdiskłada sie z czesci przestrzennej i spinorowej.

Ponizej omówie poszczególne człony Hdi, kładac nacisk na role, jaka odgry-

waja w procesie dynamiki spinu. Zakładam, ze magnetyzacja układu jest w

kierunku osi z (kierunek przyłozonego pola magnetycznego).

Oto trzy klasy podstawowych zderzen dipolowych:

1. zderzenia bez zmiany rzutu całkowitego spinu (Mz = 0). W tym procesie

oddziałujace atomy nie zmieniaja ani z-owej składowej spinu pary atomów ani

z-owej składowej orbitalnego momentu pedu tych atomów Lz = 0. Funkcja

przestrzenna w Hd0 to:

h0 =d2

r3 (1− 3 z2

r2 ), (2.15)

gdzie r = |−→r |, zas czesc spinorowa reprezentuje operator s0:

s0 = Sz(1)Sz(2)− 1

4(S+(1)S−(2) + S−(1)S+(2)) (2.16)

W przypadku spinu-3 operatory spinowe Sz(i), S±(i) i-tego atomu sa macie-

rzami 7 × 7. Odpowiednio S± = Sx ± i Sy to operator podnoszacy i obnizajacy

rzut z-owej składowej spinu (zawsze o jeden). Taka definicja operatorów spinu

(S±) wymusza nastepujace reguły komutacji [S+(k), S−(j)] = 2 i Sz(j) δk,j. Czesc

spinorowa s0 nie zmienia magnetyzacji układu dwuatomowego, tj. Mz = 0 i

Lz = 0.

Rozwazany człon oddziaływania dipolowego mozna wiec zapisac jako:

Hd0 = h0 · s0. (2.17)

W ten sposób wyraznie widac istote mechanizmu tych oddziaływan, który opiera

sie na zachowaniu całkowitego momentu pedu wzdłuz osi z (Lz +Mz) = 0.

2. zderzenia dipolowe, które zmieniaja z-owa składowa orbitalnego momentu

pedu o jeden kwant Lz = ±1. Człon przestrzenny w hamiltonianie Hd1 to:

h±1(r) = −3 d2

2 r3

z (x± i y)

r2 . (2.18)

Górny (dolny) znak w h±1(r) odpowiada Lz = +1 (Lz = −1). Funkcji h±1(r)

dodatkowo towarzyszy czesc spinorowa:

s∓1 = Sz(1)S∓(2) + S∓(1)Sz(2). (2.19)

Górny (dolny) znak w s∓1 opisuje zmiane magnetyzacji oMz = −1 (Mz = +1).


Skrótowo cały proces mozna zapisac jako:

Hd1 = h+1 · s−1 + h−1 · s+1 (2.20)

Widac, ze warunek: (Lz +Mz) = 0 jest spełniony bezwzglednie.

3. zderzenia dipolowe, które powoduja zmiane z-owej składowej orbitalnego

momentu pedu dwóch atomów o 2 kwanty (Lz = ±2) (kazdy z atomów zmie-

nia swój rzut o jeden kwant). Przestrzenna czesc członu oddziaływania Hd2,

odpowiedzialna za ten proces, ma postac:

h±2(r) = −3 d2

4 r3

(x± i y)2

r2 , (2.21)

zas czesc spinorowa opisuje operator:

s∓2 = S∓(1)S∓(2). (2.22)

Wzgledem tego procesu takze zastosuje uproszczony zapis:

Hd2 = h+2 · s−2 + h−2 · s+2, (2.23)

by podkreslic, ze z-towa składowa całkowitego momentu pedu w układzie dwu-

atomowym musi byc bezwzglednie zachowana (Lz +Mz).

Wykorzystujac postac macierzy spiowych S = 3 mozna oszacowac siłe kazdego

członu dipolowego Hdi. W przypadku hamiltonianu Hd0 siła dipolowa w skład-

niku mS = 3 jest proporcjonalna do wyrazu ∼ S2 d2. W przypadku pozostałych

członów Hd1 i Hd2, które wywołuja transfer spinu z mS = 3 do mS = 2, siła dipo-

lowa skaluje sie odpowiednio: ∼ S3/2 d2 dla procesów z Mz = 1 oraz

∼ S d2 dla procesów z Mz = 1.

Mysle, ze warto raz jeszcze zwrócic uwage, ze dwa ostatnie procesy dipolowe

nie zachowuja magnetyzacji w układzie, natomiast pierwszy typ oddziaływa-

nia dipolowego zachowuje. Bedzie to miało swoje konsekwencje w dalszych

rachunkach.

Rozdział 3

Własnosci sieci optycznej

Opis układu wielociałowego jest niezwykle trudnym zadaniem. Przede wszyst-

kim wymaga uzycia odpowiednich narzedzi. Z matematyczego punktu widzenia

chodzi o zdefiniowanie funkcji bazowych, dzieki którym prowadzenie badan be-

dzie mozliwe i proste. W takim „srodowisku” badawczym jak siec optyczna wy-

godnie jest uzywac bazy funkcji Wanniera. Sposób konstruowania tych funkcji

wraz z ich krótka charakterystyka pokaze własnie tym rozdziałe.

Jednak zanim to nastapi na poczatku pare słów poswiece tworzeniu i wła-

snosciom samej sieci optycznej. Ma ona forme sztucznego kryształu i z tego

powodu wiele jej elementów zahacza o wiedze z fizyki ciała stałego. Rozdział 3.

ma na celu nie tyle ukazanie tej analogii, co poprzez odwołanie do znanych juz

twierdzen i aspektów fizycznych, przyblizenie cech potencjału periodycznego,

który słuzy do pułapkowania ultrazimnych atomów.

3.1 Siec optyczna

Siec optyczna to rodzaj periodycznego potencjału, który powstaje w wyniku od-

działywania materii ze swiatłem. Otóz na skutek efektu Starka linie widmowe

w atomie ulegaja rozszczepieniu i przesunieciu. Wielkosc tego efektu jest pro-

porcjonalna do natezenia pola elektromagnetycznego w przestrzeni. To takze

dowodzi, ze energia wewnetrzna atomu wykazuje zaleznosc od połozenia.

Interferencja kilku wiazek laserowych wytwarza złozony obrazek minimów i

maksimów potencjalnych potocznie zwanych siecia optyczna. Kazde z takich

minimów (tzw. oczkek sieci) jest odseparowane od pozostałych bariera po-

tencjalna, a odległosc pomiedzy nimi jest rzedu fali lasera. W eksperymencie z

reguły uzyskuje sie głebokosc barier optycznych z zakresu µK. Rzedy wielkosci

19

Rozdział 3. Własnosci sieci optycznej 20

sa oczywiscie niezwykle małe. Nie zmienia to faktu, ze po wykonaniu standar-

dowej procedury chłodzenia (poczawszy od chłodzenia dopplerowskiego, me-

tody chłodzenia przez odparowanie, az do temperatur rzedu nK), uzyskany

układ kwantowy mozna spułapkowac w potencjale, jakim jest siec optyczna.

W neutralnych atomach, które znajduja sie w oscylujacym polu elektrycznym~E(~r), indukowany jest elektryczny moment dipolowy ~p(~r). Ów moment oscy-

luje z czestoscia fali lasera i równoczesnie jest w stanie oddziaływac z polem

elektrycznym, które go wywowało. W efekcie tworzy sie potencjał pułapkujacy

atomy Ve.dip(~r):

Ve.dip(~r) = −~p(~r) · ~E(~r) ∝ α(ωL)| ~E(~r)|2 (3.1)

gdzie α(ωL) oznacza polaryzowalnosc atomu. Zazwyczaj czestosc swiatła lasera

ωL jest odstrojona od czestosci rezonansowej atomu ω0, celem unikniecia efek-

tów rozproszeniowych na atomach czy nadmiernego grzania układu z powodu

wzbudzen rezonansowych. Odstrojenie w kierunku czerownym ( ωL < ω0 ) po-

woduje, ze atomy sa pułapkowane w miejscach, gdzie natezenie lasera osiaga

maksimum. W przypadku odstrojenia w kierunku niebieskim ( ωL > ω0 ) atomy

sa pułapkowane w pozycjach, gdzie natezenie lasera osiaga minimum.

W obrazku, w którym ultrazimne atomy umieszczone sa w przestrzennie mo-

dulowanym potencjale optycznym, widac duza analogie do elektronów znajdu-

jacych sie w pułapkach jonowych czy w kryształach. Niemniej jednak warto

podkreslic, ze siec optyczna ma wiele wiecej zalet. Po pierwsze łatwiej w niej

unikniac defektów, co w przypadku produkcji kryształów jest niemal niemoz-

liwe. Po drugie kazda próbka doswiadczalna, choc wykonana tymi samymi

narzedziami, nie jest idealna kopia poprzedniej. Jesli idzie o siec optyczna -

mozna ja w prosty sposób kontrolowac, bo wystarczy sterowac zewnetrznymi

parametrami lasera. W szczególnosci głebokosc sieci optycznej mozna modulo-

wac natezeniem wiazki laserowej. Siecia mozna trzasc, poruszac m.in zmienia-

jac polaryzacje swiata lasera albo zmieniajac w czasie czestotliwosci lasera. I co

wazniejsze - bez problemu mozna powrócic do poczatkowych ustawien lasera.

Geometria sieci jest uzalezniona od wzajemnej konfiguracji wiazek laserowych.

Mozna bowiem tworzyc sieci kwadratowe, trójkatne czy heksagonalne (tzw.

plastra miodu). Istotna role odgrywa tez ilosc wiazek laserowych: jedna para

laserów tworzy siec jednowymiarowa, dwie pary - siec dwuwmiarowa, itd. W

przeciwienstwie do fizyki ciała stałego, gdzie stała sieci jest w ogólnosci wiel-

koscia rzedu angstremów, tak w sieci optycznej odległosc miedzy oczkami jest

z reguły trzy rzedy wielkosci wieksza.


RYSUNEK 3.1: a) siec dwuwymiarowa, b) - siec trówymiarowa, c) - siec jed-nowymiarowa, [32].

Zamysł tego podrozdziału polegał na przedstawieniu podstawowej wiedzy o po-

wstawaniu sieci optycznej oraz jej własnosci. Jednak na koncu chciałabym

jeszcze wspomniec o nowinkach eksperymentalnych. Otóz w bardzo inspiru-

jacej pracy [33] pokazano metode swobodnej kreacji wielogeometrycznej sieci

optycznej.

Autorzy [33] podali jak w jednej realizacji doswiadczalnej mozna dowolnie prze-

chodzic z jednej geometrii sieci do drugiej. Siec optyczna, kóra tworza, jest

opisywana równaniem:

V (x, y) = −Vx cos2(kx+ θ/2)− Vx cos2(kx)

−Vy cos2(ky)− 2α√VxVy cos(kx) cos(ky) cos(φ) (3.2)

gdzie Vx, Vx, Vy to głebokosci jednowymiarowych potencjałów (proporcjonal-

nych do natezenia swiatła lasera), α okresla stopien widzialnosci wzoru in-

terferencyjnego, k jest wektorem falowym (k = 2πλ ). Fazy miedzy wiazkami

mozna regulowac na biezaco (w przypadku pracy [33] wybrano θ = π oraz

φ = 0). Zmiana wzglednych natezen w laserach pozwala realizowac róznorodne

struktury sieciowe, prezentowane na Rys.(3.1).

Dotychczas kazdy eksperyment był realizowany w sieci o okreslonej geometrii,

tzn. pojedyncza konfiguracja wiazek laserowych determinowała stały kształt

potencjału. W przypadku metody zaproponowanej w [33] wydaje sie, ze po-

wstaje szansa, by te same badania prowadzic w sieciach, w których geometria


RYSUNEK 3.2: Siec optyczna o regulowanej geometrii: a) Trzy przeciwbieznewiazki laserowe tworza dwuwymiarowy potencjał zgodny z równaniem (2.2.).Wiazki X i Y interferuja konstruktywnie, tworzac siec na wzór szachownicy.Z kolei wiazka X zupełnie niezaleznie produkuje fale stojaca. Połozenie wia-zek X, X wzgledem siebie determinuje parametrem δ. b) Mozna wytworzycrózne sieci: Przejscie miedzy siecia trójkatna (T ) a dimerowa (D) wyznaczalinia kropkowana. Przekroczenie linii przerywanej jest jednoznaczne z osia-gnieciem rezimu parametrów sieci heksagonalnej (H.c). W granicy Vx >> Vx

i Vx >> Vy powstaje łancuch jednowymiarowy (1D.c.). Powyzszy diagram pre-zentuje dostepne geometrie sieci w funkcji głebokosci sieci Vx i Vx. c) Poten-cjał plastra miodu w przestrzeni połozen posiada dwuoczkowa komórke prosta

oraz wektory sieci, które sa do siebie prostopadłe, [33].

układu zmienia sie w sposób dynamiczny, acz kontrolowany. Pod tym wzgle-

dem metoda [33] jest bardzo nowatorska.

3.2 Potencjały periodyczne w fizyce

W tym podrozdziałe omówie podstawowe własnosci układów z potencjałem pe-

riodycznym dla czastek nieoddziałujacych. Skoncentruje sie na przypadku jed-

nowymiarowej sieci optycznej. Prostota problemów jednowymiarowych czesto

pomaga wyjasnic sedno problemów fizycznych. Inna zaleta znajomosci roz-

wiazan układów jednowymiarowych jest aspekt matematyczny. Jesli potencjał

trójwymiarowy separuje sie na niezalezne kierunki przestrzenne, wówczas zna-

lezienie rozwiazania dla całego układu, sprowadza sie do zsumowania rozwia-

zan z układów jednowymiarowych.


Okazuje sie, ze istnieje duza analogia miedzy elektronami siedzacymi w we-

złach sieci krystalicznej a ultrazimnymi atomami umieszczonymi w periodycz-

nym potencjale optycznym. W wyniku tego podobienstwa, wiedze na temat

materii skondensowanej wykorzystano do opisu ultrazimnych układów kwa-

nowych w sieci optycznej. Punktem wyjscia jest twierdzenie Blocha.

3.2.1 Twierdzenie Blocha i funkcja Blocha

Twierdzenie Blocha podaje ogólne rozwiazanie równania Schrödingera na

funkcje falowe φn,k . Hamiltonian układu H z potencjałem periodycznym

V (x) = V (x+ d) w postaci:

H =p2

2m+ V (x). (3.3)

Zgodnie z twierdzeniem Blocha - stany własne φn,k hamiltonianu H mozna

zapisac jako iloczyn fali płaskiej oraz funkcji periodycznej z okresem poten-

cjału d:

φn,k(x) = ei k x un,k(x), un,k(x+ d) = un,k(x) (3.4)

gdzie k jest wektorem falowym.

Wstawiajac (3.4) do H φn,k(x) = En,k φn,k(x), otrzymujemy równanie własne na

funkcje okresowa un,k(x):

[1

2m(p+ ~k)2 + V (x)

]un,k(x) = En,k un,k(x), (3.5)

które w porównaniu z (3.3) posiada pewna modyfikacje w pierwszym członie,

zwiazanym z energia kinetyczna.

Teoria Blocha wprowadza pojecie kwazipedu ~k. Oczywistym jest, ze zbiezosc

tej wielkosci z pedem jest znikoma. Jednak z punktu widzenia „dynamiki w

danym srodowisku”, znaczenie ~k w strukturze periodycznej jest równie fun-

damentalne jak rola pedu w przestrzeni. Istnienie kwazipedu jest niezbeedne,

gdyz tylko wtedy operator przesuniecia o stała sieci d, komutuje z hamiltonia-

nem.

Wektor falowy k posiada skonczone wartosci w obrebie pierwszej strefy Brillo-

uina, t.j. −πd 6 ~k 6

πd , gdzie d jest okresem sieci. Zaleznie od wyboru wartosci

kwazipedu ~k istnieje nieskonczenie wiele rozwiazan (3.5). Choc pojedynczej

wartosci ~k odpowiada jedno równanie, to juz jego rozwiazaniem jest pewna

rodzina rozwiazan o dyskretnym widmie energii, En,k, numerowanym indek-

sem n. Energia En,k zmienia sie w sposób ciagły wraz ze zmiana k, a wiec jest


to typowa relacja dysperesyjna En(k). W obszarze strefy Brillouina zalezonsc

En(k) przypomina kształtem pasma o skonczonej szerokosci. Stad zastepcza

nazwa teoria Blocha - „teoria pasmowa”.

3.3 Jednowymiarowa siec optyczna

Rozpatrze teraz stacjonarne równanie Schrödingera z potencjałem periodycz-

nym V (x) = −V0 sin2(kx):

[− ~

2

2m

d2

dx2 − V0 sin2(kx)

]φn,k(x) = En,k φn,k(x) (3.6)

W nowych zmiennych η = kx, gdzie jednostka energii jest energia odrzutu

atomu ER = ~2k2

2m , równanie przybiera postac :

[− d2

dη2 − V 0

(1− cos(2η)

)]φn,k(η) = En,k φn,k(η) (3.7)

Głebokosc sieci V 0 i energia układu En,k jest podawana w jednostkach energii.

RYSUNEK 3.3: Struktura pasmowa w jednowymiarowej sieci optycznej dlaróznych wysokosci potencjału sieci a) V0 = 5ER, b) V0 = 10ER, c) V0 = 25ER;

gdzie q = ~k, zas Eq = En,k, [34].

Rys.(3.3) pokazuje jak zmienia sie relacja dyspersyjna En(k) = En,k dla róz-

nych wysokosci bariery potencjalnej V0. Gdy czastki sa swobodne (V0 = 0ER),

ich energia jest proporcjonalna do ∼ k2. Przy niezerowej wartosci V0, obrazek

poziomów energetycznych znacznie sie komplikuje. Powstaje bowiem pewna

struktura pasmowa, która jest funkcja kolejnych wzbudzen n oraz wartosci

wektora falowego k. Poszczególne pasma, numerowane liczbami kwantowymi


n i n′, oddziela od siebie przerwa energetyczna. Przy niskich barierach przerwa

ta wystepuje wyłacznie na brzegu strefy Brillouina ~kd = ±π. W miare zwiek-

szania wysokosci, przerwa energetyczna rosnie i skaluje sie jak V0/2. Szerokosc

pasm takze zalezy od wysokoci V0, jednak przejawia sie to tendencja odwrotna:

niska siec – szerokie pasmo, wysoka siec – mała szerokosc pasma. Przy bardzo

głebokich sieciach, widmo energii niskich stanów jest niemal zdegenerowane

w k.

Obrazek energetyczny bardzo dobrze oddaje charakter funkcji własnych φn,k(x)

w układzie. Otóz przy braku jakiegokolwiek potencjału, φn,k(x) sa po prostu

falami płaskimi. Gdy pojawia sie periodycznosc i rosnie bariera potencjału,

wówczas rozwiazaniami własnymi hamiltonianu z takim potencjałem sa funk-

cje Blocha. Funkcje Blocha sa funkcjami zdelokalizowanymi. Z tego powodu

nie sa najlepsza baza do opisu czastek zlokalizowanych w oczku sieci optycz-

nej.

3.4 Funkcje Mathieu

Równanie (3.7) ma postac równania Mathieu, którego rozwiazaniami sa funkcje

Mathieu. Funkcje te naleza do klasy funkcji specjalnych, a swa niebagatelnosc

podkreslaja szerokim wachlarzem zastosowan, np. w osrodkach periodycznych

takich jak siec optyczna.

Charakterystyczne równanie na jednowymiarowe funkcje Mathieu :

[d2

dx2 + an,ν − 2 Q cos(2x)

]Mn,ν(x) = 0 (3.8)

gdzie n numeruje pasma energetyczne, parametr ν to numer stanu wibracyj-

nego w pasmie, an+ν jest funkcja energii, symetryczna w ν (an,ν = an,−ν), zas

M∗n,ν(x) = Mn,−ν(x) to funkcja Mathieu.

Powyzsze równanie (3.8) mozna zapisac jako:

H Mn,ν(x) = an,ν Mn,ν(x) (3.9)

H = − d2

dx2 + 2Q cos(2x) (3.10)

Parametr an,ν reprezentuje zbiór wartosci własnych równania (3.10). Oprócz

tego jest takze skomplikowana funkcja ν i Q, an,ν = aν(n,Q).

Równanie (3.8) jest po prostu „innym” zapisem równania (3.7) Porównujac


oznaczenia mozna znalezc nastepujace współzaleznosci: ν odpowiada kwazi-

pedowi k, V 0 = 4Q, zas an,ν wiaze formuła an,ν = En,ν + 2Qν.

Zachowanie funkcji Mathieu jest niezwykle skomplikowane Choc sa perio-

dyczne (z okresem π lub 2π), to wykazuja nietrywialna zaleznosc od dwóch

parametrów Q i ν.

Formuła Floquet’a pozwala wyrazic funkcje Mathieu jako Mn,ν(x) = ei νx P (x),

gdzie ν jest charakterystycznym wykładnikiem potegowym, P (x) pewna funk-

cjaa periodyczna. Z matematycznego punktu widzenia funkcje Blocha mozna

zastapic przez funkcje Mathiue.

3.5 Funkcje Wanniera

Do opisu układu w periodycznym potencjale mozna uzyc dowolnej bazy funk-

cji. Wygodnym jednak wyborem jest baza funkcji Wanniera. Jest ona szczegól-

nie uzyteczna, gdy przychodzi do opisu układu periodycznego w przyblizeniu

ciasnego wiazania, tzn. gdy atomy sa zlokalizowane w pojedynczym oczku sieci

optycznej.

Funkcje Wanniera to układ ortonormalnych funkcji, które wiernie opisuja za-

chowanie czastek w poszczególnych pasmach, a co wiecej sa zlokalizowane w

konkretnych oczkach sieci. Z definicji:

Wn(x− x0) =∑

ν

e iνx0φn,ν(x) (3.11)

gdzie suma przebiega po indeksie ν w obrebie pierwszej strefy Brillouina, φn,ν(x)

to funkcja Blocha, zas x0 wskazuje miejsce, wokół którego zlokalizowana jest

funkcja Wanniera. W ten sposób funkcje Wanniera sa unitarna transforma-

cja funkcji Blocha. Funkcje Blocha φn,ν(x) mozna takze zastapic funkcjami

Mathieu, co tez uczynie w nastepnym podrozdziale konstruujac baze funkcji

Wanniera.

Wszystkim stanom Wanniera z danego pasma ν mozna przypisac ta sama po-

stac funkcji periodycznej un,ν(x) = un(x). W zwiazku mozna podac przyblizona

postac funkcji Wanniera wycentrowana wokół x0 = 0:

Wn(x) =

( π/d∑

ν=−π/d

eiνx)un(x) = un(x)

sin(πx/d)

x, (3.12)


Z dala od centrum pułapki funkcje Wanniera rozsprzestrzeniaja sie ze stop-

niowo malejaca amplituda na pozostałe oczka sieci. Okazuje sie, ze powstajace

tam oscylacje funkcji sa konieczne dla zapewnienia ortogonalnosci pomiedzy

róznymi funkcjami Wanniera.

W głebokich sieciach optycznych, gdzie sprawdza sie model ciasnego wiazania,

przekrycie miedzy sasiednimi funkcjami Wanniera a) jest dostatecznie małe,

by obrazek czastek izolowanych był poprawny, b) jest na tyle duze, ze stany

nie sa całkowicie izolowane. Te załozenia pozwalaja na oszacowanie całek tu-

nelowania miedzy stanami Wanniera w sasiednich oczkach.

Dla bardzo wysokich barier potencjalnych zlokalizowane funkcje Wanniera sa

czesto przyblizane funkcjami Gaussa. Nalezy jednak podkreslic, ze choc an-

zatz gaussowski jest poprawny w obszarze oczka, to nie daje on mozliwosci

poprawnego wyznaczenia elementów macierzy tunelowania (głównie z powodu

braku oscylacji w ogonach funkcji falowych).

3.6 Konstrukcja funkcji Wanniera

W typowej pułapce harmonicznej energie stanów własnych sa skwantowane i

zaleza od liczby numerujacej wzbudzenia. W strukturach periodycznych sy-

tuacja jest nieco inna. W sieci optycznej poziomy energetyczne grupuja sie

w pewne pasma - kazde ma swoja własna szerokosc. Pasma sa numerowane

liczba kwantowa n, jednakze w obrebie pasma wystepuje niezliczona ilosc sta-

nów wibracyjnych (oznaczonych przez ν). W sieci optycznej pasma maja sze-

rokosc i zaleza od wysokosci bariery potencjalnej V0. Oczywiscie im wieksze V0,

tym mniejsza szerokosc kazdego pasma. Jednak tylko w przypadku nieskon-

czenie wysokiej sieci (pułapka harmoniczna), mozna mówic o zerowej szeroko-

sci pasm.

Wyznaczenie funkcji Wanniera z pasma n wymaga, by wysumowac wyrazenie

podcałkowe (w tym funkcje Mathieu) po wszystkich stanach wibracyjnych ν w

danym pasmie.

Jednowymiarowe funkcje Wanniera:

Wn(x− x0) =1√2

∫ 1

−1dν e−iνx0 Mn,ν(x) =

1√2

∫ 0

−1dν e−iνx0 Mn,ν(x) +

1√2

∫ 1

0dν e−iνx0 Mn,ν(x) =

1√2

∫ 1

0dν

(e−iνx0 Mn,ν(x) +

(e−iνx0Mn,ν(x)

)∗)

(3.13)


3.6.1 Energie srednie funkcji Wanniera

Z definicji:

En =

∫dx W ∗

n(x− x0) H Wn(x− x0) (3.14)

gdzie H = p2

2M + V (x). Wstawiajac po powyzszego równania całkowa postac

funkcji Wanniera otrzymujemy:

En =1

2

∫dx

∫ 1

0dν

∫ 1

0dν ′ ×

[e−iνx0 Mn,ν(x) +

(e−iνx0Mn,ν(x)

)∗]H

[e−iν′x0 Mn,ν′(x) +

(e−iν′x0Mn,ν′(x)

)∗]

=1

2

∫dx

∫ 1

0dν

∫ 1

0dν ′[e−i(ν−ν′)x0 Mn,ν(x)HM∗

n,ν′(x) +(e−i(ν−ν′)x0 Mn,ν(x)HM∗

n,ν′(x))∗

+ e−i(ν+ν′)x0 Mn,ν(x)HMn,ν′(x) + ei(ν+ν′)x0 M∗n,ν(x)HM∗

n,ν′(x)

](3.15)

Na całej przestrzeni wyrazenie podcałkowe jest okresowe, zas funkcje Mathieu

przypisane róznym wskaznikom ν i ν ′ sa ortogonalne. Mozna skorzystac wła-

snosci (3.10), a nastepnie zmieniajac kolejnosc całkowania - wykonac całke po

przestrzeni. Ostatecznie powstaje wzór na srednia energie:

En =

∫ 1

0dν an,ν (3.16)

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 10 20 30 40 50 60

En

Vo

RYSUNEK 3.4: Wykres sredniej energii En trzech pierwszych pasm n = 0, 1, 2w zaleznosci od wysokosci bariery. Szerokosc pasm maleje, gdy rosnie bariera

potencjalna V0.

Energia funkcji Wanniera w pasmie n jest całka po energiach an,ν stanów wi-

bracyjnych ν tego pasma. Rys.(3.6.1) przedstawia zaleznosc energii wibracyj-

nych an,ν jak równiez szerokosc formujacych sie pasm energetycznych n od

wysokosci bariery.


3.6.2 Tunelowanie czastek w stanach Wanniera

Z definicji:

Jn =

∫dx W ∗

n(x− x0 + d)HWn(x− x0) (3.17)

Postepowanie w tym podrozdziale jest analogiczne jak w poprzednim. Osta-

tecznie podam po prostu wzór na energie tunelowania:

Jn =

∫ 1

0dν an,ν cos(νd) (3.18)

Rozdział 4

Dynamika spinu

Badania prezentowanne na łamach tej rozprawy doktorskiej dotycza ultrazim-

nego układu atomów chromu. Chrom 52Cr nalezy do grona pierwiastków o

duzym momencie magnetycznym (µ = 6µB). Dodatkowo posiada az 7 składni-

ków magnetycznych i miedzy innymi dlatego obserwacja dynamiki spinu w tym

układzie jest bardzo ciekawa i spektakularna. Istnieja dwa typy oddziaływan

odpowiedzialnych za ewentualna dynamike spinu. Kazde z nich jest całkowicie

inne, kazde rzadzi sie innymi prawami - jak pokazuje rozdział 2.

W rozdziale 4. przedstawie własne wyniki badan dynamiki spinu w zaleznosci

od rodzaju potencjału pułapkujacego.

Pierwsza czesc rozdziału 4. bedzie dotyczyc rachunku numerycznego na dwóch

oczkach sieci z N atomami. Pokaze, ze dynamika spinu w zerowym polu ma-

gnetycznym moze byc zdeterminowana przez zalezne od spinu oddziaływania

kontaktowe zgodnie z modelem Heisenberga t− J. Wszystkie uwzglednione w

tym modelu oddziaływania zachowuja magnetyzacje.

W drugiej czesci rozdziału 4. skupie sie na obserwacji dynamiki spinu inicjo-

wanej przez rezonansowe, magnetyczne oddziaływania dipolowe, a nastepnie

kontynuowanej przez zalezne od spinu oddziaływania kontaktowe. W tym celu

rozwazam pojedyncze oczko wysokiej, kwadratowej sieci optycznej, w której

znajduja sie dwa atomy w stanie mS = 3. Warunkiem koniecznym obserwacji

dynamiki spinu jest wybór rezonansowej wartosci pola magnetycznego. Dzieki

temu procesy dipolowe nie gwałca zasady zachowania energii oraz całkowitego

momentu pedu. Istnieja wiec dwa typy wzbudzen dipolowych, które w tych

warunkach moga miec miejsce, i które powoduja zmiane magnetyzacji w ukła-

dzie: Mz = ±1 lub Mz = ±2. Oba zostana szczegółowo omówione.

Własnie w tej czesci rozdziału pojawi sie jedna z kluczowych obserwacji całej

31

Rozdział 4. Dynamika spinu 32

rozprawy. Potencjał pojedynczego oczko sieci optycznej skrywa w sobie sub-

telne cechy. Sa to anharmonicznosc i anizotropowosc oczka. Okazuje sie, ze

te cechy mocno wpływaja na cały przebieg dynamiki w szczególnosci, gdy pod

uwage bierze sie wysoko wzbudzone orbitalne stany Wanniera. Nawet mały

efekt anharmonicznosci moze miec powazne konsekwencje. Jednym z pierw-

szych artykułułów, który to uwypuklił był [19, 20].

Ostatnimi czasy zademonstrowano przepis na rezonansowa demagnetyzacje ze

spolaryzowanymi atomami chromu w sieci optycznej [16]. Ten artykuł potwier-

dził, ze prowadzone przeze mnie badania nie sa ciekawe wyłacznie dla teorety-

ków. Wrecz przeciwnie - wnosza bardzo duzy wkład do zrozumienia wyników

doswiadczalnych. Pokaze to na samym koncu rozdziału 4.

4.1 Dynamika spinu via oddziaływania kontaktowe

w dwóch oczkach sieci

Rozwaze prosty model wysokiej sieci przyblizony przez układ dwóch oczek. Pa-

rametrem sieci jest długosc fali lasera λ = 532 nm. Typowa jednostka długosci

w układzie to 1k = λ

2π , zas jednostka energii jest energia odrzutu ER = ~2k2

2M , co

w przeliczeniu na czestotliwosc daje ER

~= 2π × 13.5 kHz. M jest masa atomów

chromu. Przyjełam, ze wysokosc bariery V0 kazdego oczka wynosi V0 = 25 ER.

Jest to wartosc, która uzyskuje sie w typowych eksperymentach. W swoim

modelu uwzgledniam wszystkie składniki magnetyczne.

Głównym zadaniem, jakie przede mna stoi jest okreslenie wpływu oddziaływan

kontaktowych zaleznych od spinu na dynamike układu. Zupełnie niedawno -

ku memu zaskoczeniu - ukazała sie praca [35], w której autorzy doswiadczalnie

zrealizowali podobny pomysł. Wyniki ich pracy wyprzedziły w czasie publika-

cje moich rezultatów. Owa zbieznosc w zainteresowaniu tym samym tematem

pokazuje, ze problem takiej dynamiki jest ciekawy zarówno dla badan teore-

tycznych jak i doswiadczalnych. Nie zwazajac na publikacje [35], zaprezentuje

w tym podrozdziale własne wyniki numeryczne.

Do opisu ultrazimnych atomów o spinie S umieszczonych w sieci optycznej

słuzy (2S + 1) składnikowy spinor. Chrom posiada całkowity spin S = 3, stad

mowa o 7-składowym spinorze:

Ψ(~r) =3∑

mS=−3

ΨmS(~r)⊗ χmS

, (4.1)


gdzie suma przebiega po wszystkich jego składowych, ΨmS(~r) to operator pola

stanu o magnetyzacji mS, zas

χmS=

0

...

1

...

0

← mS (4.2)

jest wektorem jednostkowym z jedynka na pozycji mS. Układ, który rozwaze,

znajduje sie w zerowym polu magnetycznym. W rezultacie wszystkie oddziały-

wania w hamiltonianie musza zachowywac magnetyzacje. Jak wspomniałam,

zmiana magnetyzacji jest kosztowna energetycznie i jest mozliwa tylko w obec-

nosci pola magnetycznego, dla którego energia zeemanowska jest odpowiednia.

W stanie poczatkowym atomy znajduja sie w stanie podstawowym pułapki, tj.

w stanie opisywanym funkcja Wanniera W0(~r) z najnizszego pasma. Oznacza

to, ze mozna ograniczyc sie do jednej funkcji przestrzennej i zapisac opera-

tor pola jako ΨmS(~r) = W0(~r) bmS

, gdzie bmSjest operatorem anihilacji, który

niszczy czastke w stanie spinowym mS opisanym funkcja W0(~r).

W stanie poczatkowym, w kazdym oczku w stanie mS = 2 umieszczam taka

sama liczbe atomów. Docelowo rozwaze N = 2, 4, 6 atomy w układzie.

Bede badała ewolucje stanu poczatkowego, obserwujac srednie obsadzenie

kazdego składnika magnetycznego w funkcji czasu. Hamiltonian układu cha-

rakterem przypomina model t− J, dobrze znany w fizyce ciała stałego [36, 37,

38]. Model t − J opisuje proces wymiany spinów fermionów umieszczonych w

sasiednich wezłach sieci krystalicznej. Ma on zastosowanie w opisie dynamiki

nierównowagowej.

W modelu, który opisze, nierównowagowa dynamike moga wywołac dipolowe

oddziaływania momentów magnetycznych atomów miedzy sasiednimi oczkami:

Hd0 =d2

r3

(1− 3z2

r2

) (Sz(1)Sz(2)− 1

4

(S+(1)S−(2) + S−()S+(2)

)), (4.3)

gdzie indeksy 1, 2 numeruja atomy. Jesli atom 1 jest w jednym oczku sieci, a

atom 2 w drugim oczku, to podobienstwo do modelu t− J:

Ht−J = −t∑

<ij>σ

(a†

i,σaj,σ + h.c)

+ J∑

<ij>

(~Si · ~Sj − ninj/4

)(4.4)

jest widoczne. Ten typ oddziaływan dipolowych powoduje zmiane spinu kazdej

pary atomów w taki sposób, by magnetyzacja układu była zachowana. Zasada


zachowania magnetyzacji w układzie dotyczy takze pozostałych członów hamil-

tonianu. Przejde wiec do jego opisu.

Hamiltonian układu w bazie funkcji Wanniera ma postac:

Ht−J = −J3∑

m=−3

(b†

m(1) bm(2) + h.c

)

+2∑

i=1

3∑

m=−3

∑j

mj=∑

jm

′j

Um1,m2,m

′1

,m′2

b†m1

(i) b†m2

(i) bm

′1

(i) bm

′2

(i)

+∑

i6=j

3∑

m=−3

∑j

mj=∑

jm

′j

Vm1,m2,m

′1

,m′2

b†m1

(i) b†m2

(j) bm

′1

(i) bm

′2

(j),

(4.5)

gdzie suma przebiega po wszystkich mozliwych magnetyzacjach, bm(i) i b†m(i)

to bozonowe operatory, które odpowiednio anihiluja i kreuja atom w stanie z

magnetyzacja m w i-tym oczku.

Pierwsza linijka (4.5) opisuje tunelowanie. Proces ten zachodzi w przestrzeni

stanów zachowujacych energie i magnetyzacje. Druga linijka w hamiltonia-

nie Ht−J dotyczy lokalnych oddziaływan w oczku. Człon Um1,m2,m

′1

,m′2

to suma

energii oddziaływania kontaktowego Um1,m2,m

′1,m

′2i oddziaływania dipolowego

Dm1,m2,m

′1,m

′2w tym samym oczku. Zauwazmy, ze U

m1,m2,m′1,m

′2≫ D

m1,m2,m′1,m

′2.

W ostatniej linijce (4.5) wyraz VmS4,mS3

,mS2,mS1

opisuje sprzezenie dipolowe

miedzy atomami w róznych oczkach. Ta energia zalezy od odległosci miedzy

oczkami jak ∼ 1d3 (w przypadku badanym w pracy doktorskiej d = λ/2 =

266 nm) i jest znacznie mniejsza niz lokalne oddziaływania dipoloweDm1,m2,m

′1,m

′2.

Brak pola magnetycznego pozwala rozwazac wyłacznie takie procesy dipolowe,

dla których M = m1 +m2 = m′

1 +m′

2 jest stała. Człony hamiltonianu dipolo-

wego, które zmieniaja magnetyzacje o jeden lub dwa kwanty zostana omówione

w nastepnym rozdziale. Te procesy wymagaja obecnosci rezonansowego pola

magnetycznego, a w przypadku jego braku - stanowia jedynie małe zaburzenie

w układzie (zaniedbywalne).

Kluczowa sprawa w tym problemie jest takze wybór odpowiedniej bazy. Wiaze

sie to z rosnacym potegowo wymiarem D×D macierzy, która nalezy zdiagona-

lizowac. Jednoczastkowa przestrzen dostepnych stanów składa sie z siedmiu

komponentów spinowych mS = −3, ..., 3 w pierwszym oczku i z siedmiu w

drugim oczku m′

S = −3, ..., 3. Liczba wszystkich mozliwych stanów N cza-

stek w tych czternastu stanach wynosi D = 105 dla N = 2, D = 2380 dla

N = 4, zas dla N = 6 jest równa D = 72352. Jednak wiekszosc tych stanów ma

rózna magnetyzacje, mS + m′

S. W stanie poczatkowym wszystkie czastki sa w


stanie o magnetycznej liczbie kwantowej mS = 2, czyli poczatkowa magnety-

zacja układu wynosiM = 2N . Ten warunek bardzo ogranicza liczbe istotnych

stanów. Do obliczen uzyłam jedynie te stany N-czastkowe, które zachowuja

magnetyzacje.

W wybranej bazie stanów obliczenia numeryczne nie stanowiły juz problemu.

W układzie z N = 2 atomami wymiar przestrzeni wynosi D = 7, z N = 4 ato-

mami wynosi D = 46, zas w przypadku N = 6 atomów trzeba zdiagonalizowac

macierz kwadratowa w bazie D = 217 stanów.

Mimo, ze hamiltonian układu jest zapisany w jezyku drugiej kwantyzacji, ze

wzgledu na stosunkowo niewielka liczbe czastek w układzie, opisujac wyniki

bede stosowała notacje „pierwszej kwantyzacji”. I tak

|mS1 ,mS2 , ...,mSk〉1 ⊗ |m

′

S1,m

′

S2, ...,m

′

Sl〉2, (4.6)

to stan, w którym w pierwszym oczku pierwszy atom jest w stanie o magnety-

zacji mS1, drugi w stanie mS2, ... itd. Analogicznie, m′

S1to stan spinowy pierw-

szego atomu w drugim oczku, itd. Oczywiscie l + k = N - całkowita liczba

atomów w układzie. Mimo, ze poczatkowo liczba atomów w pierwszym i dru-

gim oczku była taka sama, to obecnosc tunelowania daje atomom mozliwosc

przeskoku, stad w ogólnosci l 6= k (∑k

i=1mSk+∑l

i=1mSl= 2N). Sytuacje,

gdy w i-tym oczku nie ma zadnej czastki, oznaczam symbolicznie jako |Ω〉i.

⊚ Dwa atomy w układzie (srednio jeden atom na oczko)

Stan poczatkowy ma postac:

|2〉1 ⊗ |2〉2. (4.7)

Zbadam wiec sytuacje, gdy w kazdym oczku w stanie spinowym mS = 2

znajduje sie jeden atom. Obsadzenie pozostałych komponentów spino-

wych wynosi zero. Dynamika spinu w małym układzie nie jest trywialna.

Juz sam fakt, ze zachodzi kaze sie zastanowic, które z oddziaływan za to

odpowiada i jakie stany biora udział w dynamice.

W swoim rachunku, co juz podkreslałam, bede obserwowac ewolucje

stanu poczatkowego. By móc mówic o dynamice spinu w układzie, na

skali czasu tk powinnam zaobserwowac zmiane obsadzenia stanu poczat-

kowego. Atomy przejda wtedy do innych składników. Ewolucje układu

prezentuje Rys.(4.1). Mozna odczytac z wykresu, ze w chwili czasu tk = 15 ms

w stanach spinowych mS = 1 oraz mS = 3 pojawiaja sie atomy, a obsa-

dzenie stanu poczatkowego jest minimalne.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60

Sre

dnie

obsadzenie

sta

nu m

S

t [ms]

mS = 2mS = 3mS = 1

RYSUNEK 4.1: Dynamika spinu dwóch atomów w układzie, przy wysokoscibariery V0 = 25 ER

Dynamike spinu w układzie moga wywołac m.in. nielokalne długozasie-

gowe oddziaływania dipolowe. Ewentualny proces,który inicjuja wyglada

nastepujaco:

|2〉1 ⊗ |2〉2V1,3,2,2=V3,1,2,2−−−−−−−−−−→ |3〉1 ⊗ |1〉2 + |1〉1 ⊗ |3〉2 (4.8)

Nielokalne oddziaływania dipolowe stanowia najmniejsza skale energii,

np. V1,3,2,2 = 8.1918 × 10−4 ER, co odpowiada czestosci ωV = 2π × 0.0111 kHz.

Mozna oszacowac, po jakim czasie pod wpływem tych oddziaływan, na-

stapi zauwazalna zmiana w układzie. Z grubsza ten czas jest jest propor-

cjonalny do wyrazenia tVk ∼ 1ωV≃ 14.35 ms. Moge tak napisac, gdyz energie

stanu poczatkowego i koncowego w (4.8) sa porównywalne. Oba leza w

podprzestrzeni o tej samej energii (brak oddziaływan kontaktowych).

Widac, ze czasy tVk i tk sa niemal identyczne. To pozwala sadzic, ze wła-

snie nielokalne oddziaływania dipolowe sa odpowiedzialne za dynamike

spinu w tym układzie.

Aby to udownownic, po kolei wyłacze w programie numerycznym niektóre

człony hamiltonianu. Jako teoretyk mam taka mozliwosc. W ten sposób

pokaze, na jakich skalach czasu istotne sa poszczególne oddziaływania

oraz sprawdze poprawnosc wczesniejszych wniosków.

Na poczatek wyłaczyłam człon dipolowy VmS4,mS3

,mS2,mS1

. Pozostałe wyrazy

w Ht−J sa niezerowe. Gdy w kazdym oczku jest tylko jeden atom, wszyst-

kie lokalne dwuciałowe oddziaływania sa równe 0. W zwiazku z tym za-

lezne od spinu oddziaływania kontaktowe nie moga inicjowac dynamiki

spinu. Tunelowanie takze nie moze wywołac dynamiki. Jednakze oba

człony moga wniesc swój wkład poprzez procesy wirtualne, dzieki czemu

po pewnym charakterystycznym czasie mozna by obserwowac zapełnianie


kolejnych składników magnetycznych. Pokaze to na przykładzie:

|2〉1 ⊗ |2〉2 J−→ |2, 2〉1 ⊗ |Ω〉2|2, 2〉1 ⊗ |Ω〉2

U1,3,2,2=U3,1,2,2−−−−−−−−−−→ |1, 3〉1 ⊗ |Ω〉2 (4.9)

Analogiczne procesy wystepuja takze w oczku drugim. (4.9) ma wiec cha-

rakter symboliczny, gdyz nalezy pamietac, ze do prawej strony nalezy do-

dac wyraz z zamienionymi oczkami.

Okazuje sie jednak, ze taki schemat dynamiki prezentowany w (4.9) jest

zabroniony, gdyz łamie zasade zachowania energii. Energia stanu kon-

cowego z (4.9) zawiera w sobie energie kontaktowa U1,3,1,3 = 2.07 ER. Zbyt

duza przerwa energetyczna miedzy stanem poczatkowym i koncowym spra-

wia, ze dynamika spinu srednio jednego atomu pod wpływem oddziały-

wan kontaktowych nie moze wogóle miec miejsca. Aby zaobserwowac

dynamike spinu poprzedzona procesem wirtualnym, jedna czastka musi

jeszcze opuscic oczko, w którym były obie czastki. W schemacie (4.9)

nalezy uwzglednic proces typu:

|1, 3〉1 ⊗ |Ω〉2 J−→ |1〉1 ⊗ |3〉2 + |3〉1 ⊗ |1〉2 (4.10)

Dla wyliczonych wartosci tunelowania J = 1.472 × 10−3 ER oraz za-

leznego od spinu oddziaływania kontaktowego U1,3,2,2 = 0.334 ER, mozna

oszacowac, ze czas charakterystyczny dla tego procesu tJk jest rzedu

∼ ( J2

U1,3,2,2)−1 ≃ 106. Poprawnosc tego szacowania potwierdzaja wyniki

numeryczne, lewy wykres na Rys.(4.2). Mozna odczytac z wykresu, ze po

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

Sre

dnie

obsadzenie

sta

nu m

S

t [ms]

mS = 2mS = 3mS = 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40 50 60

Sre

dnie

obsadzenie

sta

nu m

S

t [ms]

mS = 2mS = 3mS = 1

RYSUNEK 4.2: a) Dynamika spinu w układzie z jednym atomem na oczkoinicjowana w drugim rzedzie procesu przez oddziaływania kontaktowe za-lezne od spinu, przy wyłaczonych nielokalnych oddziaływaniach dipolowych.Zmiana obsadzenia składników magnetycznych ma miejsce dopiero wtedy,gdy czastka przetuneluje do sasiedniego oczka (lewy wykres). b) Dynamikaspinu w układzie z jednym atomem na oczko inicjowana przez nielokalne od-

działywania dipolowe. Tunelowanie jest równe zero (prawy wykres).


charakterystycznym czasie tk = 50000 ms w układzie obsadzaja sie nowe

stany. Oznacza to, ze jeden z atomów zdazył przetunelowac do sasied-

niego oczka, zaczał oddziaływac kontaktowo z drugim atomem, a nastep-

nie wytunelował. Skala czasu tk jest niebywale duza. W porównaniu

z czasem zycia atomów w pułapce ∼ 1 s, czas tk jest wrecz absurdalnie

długi.

W drugim podejsciu w mojej analizie wyłaczyłam człon tunelowania J.

Oddziaływania dipolowe lokalne i nielokalne były rózne od zera. Wyniki

pokazuje prawy wykres Rys.(4.2). Niczym sie on nie rózni od Rys.(4.1),

gdy ewolucja stanu poczatkowego zachodziła przy pełym hamiltonianie.

Czas charakterystyczny dynamiki spinu zgadza sie z tym oszacowanym,

tk = 15 ms.

Okazuje sie, ze przy barierze V0 = 25 ER w układzie z jednym atomem

na oczko, długozasiegowe odziaływanie momentów magnetycznych ato-

mów sa kluczowe. Na skalach czasu ∼ 10 ms dochodzi do obsadzenia

dwóch, pocztkowo pustych, komponentów spinowych mS = 1 oraz mS = 3.

Bez wzgledu na to czy wystepuje tunelowanie, proces dynamiki spinu ma

miejsce. Na dodatek przy barierze V0 = 25 ER tunelowanie jest na tyle

małe, ze w obrazku z jednym atomem na oczko moze byc nawet zanie-

dbane.

Zupełnie na zakonczenie, tak z ciekawosci, postanowiłam zobaczyc jak

bedzie wygladała ewolucja stanu poczatkowego, gdy oddziaływania kon-

taktowe sa wyłaczone. Rys.(4.3) pokazuje taka sytuacje. Widac tam,

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100 120

Sre

dnie

obsa

dzenie

sta

nu m

S

t [ms]

mS = 2mS = 3mS = 1

RYSUNEK 4.3: Dynamika spinu w układzie z jednym atomem na oczko, przywysokosci bariery V0 = 25 ER: oddziaływanie kontaktowe UmS4

,mS3,mS2

,mS1= 0.

ze zmiana obsadzenia stanu poczatkowego odbywa sie na niezmienionej

skali czasu i wciaz pod wpływem nielokalnych oddziaływan dipolowych.

Układ znajduje sie z rezonansie, gdyz jego energia w stanie posrednim, z


dwoma atomami w oczku, jest taka sama jak w poczatkowym i koncowym

stanie z jednym atomem na oczko (brak oddziaływan kontaktowych). Na

Rys.(4.3) liczba atomów w składniku mS = 2 spada do zera i jest to jedyna

róznica w porównaniu z Rys.(4.1).

Rys.(4.3) i Rys.(4.2) potwierdzaja długozasiegowy charakter oddziaływan

dipolowych. Tak naprawde w układzie ze srednio jednym atomem na

oczko zasada zachowania energii wyróznia nielokalne oddziaływania di-

polowe jako te, które inicjuja dynamike spinu. Tunelowanie ma wpływ

nieznaczny, gdy bariera jest wysoka. Przy nizszej barierze dynamika z

pewnoscia bedzie szybsza. Z kolei oddziaływania kontaktowe powoduja

jedynie zmniejszenie efektywnego transferu atomów. Jednak skale cza-

sowe w problemie i tak zostaja niezmienione.

Cały rachunek to koronny dowód na to, ze to oddziaływania dipolowe na

odległosc, a nie zalezne od spinu oddziaływania kontaktowe, sa najwaz-

niejsze w układzie z jednym atomem na oczko.

⊚ Cztery atomy w układzie (srednio dwa atomy na oczko)

Przeanalizuje teraz przypadek z dwoma atomami na oczko. Stan poczat-

kowy układu:

|2, 2〉1 ⊗ |2, 2〉2. (4.11)

W kazdym oczku znajduja sie dwa atomy, co oznacza, ze w tym stanie sa

oddziaływania kontaktowe. Stanowia one najwieksza skale energii w ha-

miltonianie (zalezne od spinu oddziaływania kontaktowe U1,3,2,2 = 0.334 ER,

ωU = 2π × 4.509 kHz). W porównaniu z nielokalnymi oddziaływaniami di-

polowymi sa one o piec rzedów wielkosci wieksze. Z tego tez powodu

jako pierwsze wprowadza zauwazalna zmiane w układzie. Na krótkich

skalach czasowych oddziaływania kontaktowe moga inicjowac dynamike

spinu typu:

|2, 2〉1 ⊗ |2, 2〉2U1,3,2,2=U3,1,2,2−−−−−−−−−−→ |1, 3〉1 ⊗ |2, 2〉2 (4.12)

Powyzszy zapis nalezy rozumiec symbolicznie. Oczywiscie zadne oczko

sieci nie jest wyróznione, w zwiazku z tym wyrazenie z prawej strony

(4.12) nalezało by uzupełnic o człon z zamienionymi oczkami (indeksy

1 i 2).

Szacowany charakterystyczny czas jest rzedu ∼ 1ωU≃ 0.222 ms. Potwierdza

to niejako Rys.(4.4). Dynamika spinu w układzie z dwoma atomami na

oczko jest bardzo efektywna. Juz na krótkich skalach czasu pojawiaja sie

szybkie oscylacje. Co wiecej bez wzgledu na to czy jest tunelowanie albo


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2

Sre

dnie

obsadzenie

sta

nu m

S

t [ms]

mS = 2mS = 3mS = 1

RYSUNEK 4.4: Obsadzenie składników magnetycznych w funkcji czasu zesrednio dwoma atomami na oczko.

dipolowe oddziaływanie, dynamike spinu zawsze inicjuja oddziaływania

kontaktowe zalezne od spinu.

Dynamika spinu dwóch atomów jest wyraznie szybsza niz jednego atomu.

Cecha wspólna obydwu przypadków jest to, ze ostatecznie dynamika za-

chodzi w przestrzeni tylko trzech składników: mS = 3, 2, 1.

⊚ Szesc atomów w układzie (srednio trzy atomy na oczko)

Na koniec pokaze jeszcze rachunek, gdy w pojedynczym oczku sa srednio

trzy atomy. Tyle mniej wiecej czastek mozna srednio uzyskac w typowym

eksperymencie. Rozwazam nastepujacy stan poczatkowy:

|2, 2, 2〉1 ⊗ |2, 2, 2〉2 (4.13)

Rys.(4.5) prezentuje wynik numeryczny. Dynamika spinu jest nieco bo-

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Sre

dnie

obsadzenie

sta

nu m

S

t [ms]

mS = 2mS = 3mS = 1mS = 0

RYSUNEK 4.5: Obsadzenie składników magnetycznych w funkcji czasu zesrednio trzema atomami na oczko dla wysokosci bariery V0 = 25 ER.

gatsza ze wzgledu na fakt, ze rozwazam układ o wiekszej gestosci, czyli

wiekszej energii całkowitej.


Podobnie jak poprzednio dynamike spinu inicjuja zalezne od spinu od-

działywania kontaktowe:

|2, 2, 2〉1 ⊗ |2, 2, 2〉2U1,3,2,2=U3,1,2,2−−−−−−−−−−→ |1, 2, 3〉1 ⊗ |2, 2, 2〉2 (4.14)

W stanie koncowym w (4.15), w składniku mS = 2 oraz mS = 1 znajduje

sie po jednym atomie. Taka sytuacja sprzyja dalszemu procesowi z za-

chowaniem magnetyzacji, tj.

|1, 2, 3〉1 ⊗ |2, 2, 2〉2U0,3,1,2=U3,0,1,2−−−−−−−−−−→ |0, 3, 3〉1 ⊗ |2, 2, 2〉2 (4.15)

Widac, ze cały schemat opiera sie na zaleznych od spinu oddziaływaniach

kontaktowych. Obecnosc pozostałych członów z Ht−J w zaden sposób nie

poprawia ani nie psuje dynamiki spinu.

Głównym ’nowum’ w układzie z trzema atomami w oczku jest z pewnoscia

to, ze pojawia sie niezerowe obsadzenie stanu spinowego mS = 0, czego

nie było w układach poprzednio analizowanych. Charakterystyczny czas,

w którym to zachodzi, mozna oszacowac jako tk ∼ (ωU )−1 ∼ 0.2 ms, co

rzeczywiscie potwierdza Rys.(4.5).

Istota powyzszych rachunków było pokazanie dynamiki spinu w układzie dwóch

oczek. Moje rachunki dowodza, ze mozliwe sa dwa rodzaje procesów prowa-

dzacych do zmiany spinu:

1. procesy wywołane przez dalekozasiegowe oddziaływania dipolowe, które

decyduja o dynamice w przypadku jednego atomu na oczko. Wtedy zmiana

spinu odbywa sie na stosunkowo duzej skali czasu tk ∼ 10 ms,

2. procesy wywołane przez oddziaływania kontaktowe, w przypadku liczby

atomów na oczko wiekszej niz jeden, gdzie charakterystyczne czasy ewo-

lucji sa rzedu ∼ 0.2 ms.

Wnioski, jakie zdołałam przedstawic jakosciowo potwierdza eksperyment opi-

sany w artykule [35], który ukazał sie w chwili spisywania mojej pracy doktor-

skiej.

Sytuacja fizyczna, która omówiłam w tej czesci rozdziału jest mozliwa tylko,

jesli nie zostało właczone pole magnetyczne o wartosci rezonansowej. Przypad-

kiem z obecnoscia pola zajme sie w nastepnej czesci tego rozdziału.


4.2 Dynamika spinu via oddziaływania dipolowe

w pojedynczym oczku sieci

Zajme sie teraz nieco skromniejszym układem - pojedynczym oczkiem sieci

optycznej. Wysokosc bariery oczka jest taka sama jak w czesci pierwszej

V0 = 25 ER. Tunelowanie atomów J jest zbyt małe, by na krótkich skalach

czasu wprowadzic znaczaca zmiane w układzie. Jesli chodzi o nielokalne od-

działywania dipolowe, to równiez mozna je zaniedbac, szczególnie, ze badany

układ znajduje sie w polu magnetycznym. Obecnosc tego pola wyróznia tylko

te procesy dipolowe, które nie zachowuja magnetyzacji w układzie.

Dynamika spinu w pojedynczym oczku jest intrygujacym zagadnieniem, po-

niewaz silnie zalezy od postaci potencjału pułapkujacego. Inaczej wygladaja

rezonanse dipolowe w pułapce harmonicznej, a zupełnie inaczej w rzeczywistej

sieci optycznej. W tej czesci rozdziału zaprezentuje wyniki badan zaleznie od

modelu potencjału.

4.2.1 Hamiltonian

Badam prosty układ dwóch atomów Chromu 52Cr w stanie podstawowym z

magnetyzacja S = 3. Atomy sa spułapkowane w pojedynczym oczku dwuwy-

miarowej, kwadratowej sieci optycznej utworzonej za pomoca dwóch par prze-

ciwbieznych wiazek laserowych (kazda o długosci fali λ i pedzie k = 2 πλ ). W

kierunku przestrzennym z zakładam harmoniczny potencjał o czestosci Ωz.

Ponadto przyjmuje, iz siec optyczna jest na tyle głeboka, iz tunelowanie do

sasiednich oczek jest zaniedbywalne. Od tego momentu bede posługiwac sie

bezwymiarowymi wielkosciami. Wszystkie odległosci sa mierzone w 1k = λ

2 π ,

zas energie sa podawane w jednostkach energii odrzutu ER = ℏ2 k2

2 M , gdzie M

jest masa atomu. Jednoska czasu jest ~

ER. Pole magnetyczne jest wyrazone

w jednostkach ER

g µB, gdzie µB to magneton Bohra, zas g = 2 jest czynnikiem

Landego atomu chromu.

Hamiltonian układu ma postac :

H = H0 +HC +HZ +HD (4.16)


H0 =2∑

i=1

[−∇2

i + V0(sin2 xi + sin2 yi) + κ2z2i )]

HC = δ(r1 − r2)2S∑

S=0

gSS∑

M=−S|S,M〉〈S,M|

HZ = − (S1 + S2) ·B

HD = d2 S1 · S2 − 3(n · S1)(n · S2)

|r1 − r2|3, (4.17)

gdzie ri = (xi, yi, zi) i Si to odpowiednio połozenie i operator spinu i - tego

atomu. Wektor jednostkowy n = r/r wskazuje kierunek wektora r = r1 − r2 = (x, y, z).

Operatory spinu sa prezentowane przez maceirze spinu 7 × 7. Parametr κ jest

bezwymiarowa wielkoscia charakteryzujaca czestosc osiowa: κ = (~Ωz)/(2ER).

Poszczególne elementy w hamiltonianie (4.16) posiadaja nastepujacy sens fi-

zyczny. HamiltonianH0 odpowiada energiom jednoczaskowym, gdzie pod uwage

wzieto zarówno energie kinetyczna jak i potencjalna. Hamiltonian HC opisuje

oddziaływania kontaktowe miedzy czastkami. Szczegółowy opis tych oddzia-

ływan znajduje sie w podrozdziale [2.2.1]. Siła oddziaływan kontaktowych w

jednostkach bezwymiarowych w danym kanale S (S = 0, 2, 4, 6) jest proporcjo-

nalna do długosci rozpraszania aS w fali s:

gS = 8πkaS . (4.18)

Hamiltonian HZ to liniowy efekt Zeemana. Zewnetrzne pole magnetyczne zmie-

nia jednoczastkowe energie w układzie, a tym samym pozwala dopasowywac

do siebie wzgledne energie dwuczastkowe. W przedstawionej analizie zakła-

dam jednorodna postac pola magnetycznego w kierunku osi z, prostopadle do

płaszczyzny sieci optycznej. Hamiltonian HD odnosi sie do energii oddziaływa-

nia dwóch atomów siła dipolowa. Szczegółowy opis oddziaływan dipolowych

znajduje sie w podrozdziale [2.2.2]. Siłe oddziaływan dipol-dipol wyraza bez-

wymiarowych czynnik: d2 = µ0/(4π)(gµB)2(k3/ER), przy czym µ0 jest przenikal-

noscia prózni.

Atomy sa przygotowane w stanie podstawowym oczka sieci w obecnosci silnego

pola. To zapewnia ferromagnetyczne uporzadkowanie ich spinów (polaryzacja

układu). W takiej sytuacji dynamike spinu inicjuja wyłacznie oddziaływania

dipolowe.


4.2.2 Przyblizenie harmoniczne

Zakładam na wstepie, ze potencjał zewnetrzny w poblizu srodka pułapki w−→r = 0 mozna przyblizyc za pomoca oscylatora harmonicznego. Innymi słowy –

z rozwiniecia potencjału sieci optycznej

Vtrap(~r) =[V0

(sin2(x) + sin2(y)

)+ κ2z2)

](4.19)

wokół jednego z jego minumów, biore pod uwage wyłacznie człony najnizszego

rzedu. Stad

Vtrap = V0 (x2 + y2) + κ2 z2. (4.20)

Taki potencjał pułapkujacy Vtrap posiada symetrie osiowa. Zachodza nastepu-

jace relacje Ω⊥ = ωx = ωy = 2√V0 i Ωz = 2κ. Stosunek czestosci wyraza wzór

Ωz

Ω⊥= κ√

V0i okresla on miare odejscia od symetrii sferycznej.

W stanie poczatkowym dwa oddziałujace atomy znajduja sie w stanie podsta-

wowym zewnetrznego potencjału. Atomy te sa spolaryzowane w kierunku osi

z pułapki, co odpowiada zapisowi |S = 6,M = 6〉 (kazdy z atomów jest w stanie

S = 3,mS = 3). Stan poczatkowy jest osiowosymetryczny:

Ψstart(~r1, ~r2) = φ00(x1, y1) ϕ0(z1) φ00(x2, y2) ϕ0(z2), (4.21)

przy czym φ00(x, y) ϕ0(z) jest przestrzennym stanem podstawowym dla poten-

cjału Vtrap.

Aby przedstawione rachunki były bardziej realne, wybieram typowe parametry

stosowane w doswiadczeniach. Zakładam, ze siec optyczna jest tworzona przez

dwie przeciwbiezne wiazki laserów o długosci fali λ = 532 nm. Jednostka energii

jest energia odrzutu, która w przypadku chromu o masie M ∼ 87 × 10−27 kg

wynosi ER/~ = 2π ×13.5 kHz. Typowa wysokosc bariery potencjału to V0 = 25 ER,

co odpowiada wartosci V0/~ = 2π×336 kHz. Czestosc charakterystyczna pułapki

wynosi Ω⊥/~ = 10 ER/~ = 2π × 135 kHz; zas czestosc osiowa Ωz/~ = 16 ER/~ =

2π × 218 kHz. Powyzsze parametry definiuja tak naprawde charakterystyczne

rozmiary badanego układu, tj. a⊥ = 38 nm oraz az = 30 nm. Srednia gestosc

atomów na oczko jest rzedu n0 ∼ 2.8×10−15 cm−3. W kanale o całkowitym spinie

S = 6 w stanie dwuczastkowym oddziaływania kontakowe wynosza Uc/~ =

2π × 18.9 kHz, zas dipolowe Ed/~ = 2π × 0.37 kHz. Wyraznie widac rozpietosc

w powyzszych skalach energii. Otóz najwieksza energia jest róznica miedzy

jednoczastkowymi poziomami w pułapce (Ω⊥,Ωz). Energia kontaktowa jest od

niej siedem razy mniejsza, a dipolowa az trzy rzedy wielkosci (energia dipolowa


jest najmniejsza energia w układzie). To potwierdza, ze oddziaływanie dipol-

dipol, które nie zmienia całkowitej magnetyzacji dwóch atomów (tj. proces z

Mz = 0), mozna smiało zaniedbac. Wkład od niego stanowi jedynie mała

poprawke do oddziaływan kontaktowych.

Podazajac tym torem myslenia mozna by oczywiscie zaniedbac pozostałe człony

oddziaływania dipolowego - zwłaszcza te odpowiedzialne za dynamike spinu. W

koncu zasada zachowania całkowitej energii w układzie, tj. ℏ(Ω⊥ + Ωz) = Ed

dla procesów Mz = ±1 lub 2 ℏΩ⊥ = Ed dla procesów Mz = ±2, wyklu-

cza bezposredni transfer spinu wywołany przez oddziaływania dipolowe. Mamy

bowiem do czynienia z sytuacja, gdy ℏ(Ω⊥ +Ωz)≫ Ed oraz 2 ℏΩ⊥ ≫ Ed. Je-

sli jednak zniwelowac róznice energii zeemanowskich za pomoca zewnetrznego

pola magnetycznego ℏ(Ω⊥ +Ωz) = Ed +gµBB oraz 2ℏΩ⊥ = Ed +gµBB, wów-

czas dynamika spinu mogłaby miec miejsce. Komponenty spinowe, z uwagi na

przypisana im magnetyzacje, w charakterystyczny dla siebie sposób zacho-

wuja sie w polu magnetycznym. Jesliby zredukowac róznice energii miedzy

komponentami mS = 3 a mS = 2, to transfer spinu byłby efektywny. Róznica

energii jednoczastkowych Ω⊥ wymaga pola B = 48.2 mGs. By zredukowac od-

działywania kontaktowe potrzeba pola Bc = 6.75 mGs, natomiast do redukcji

oddziaływan dipolowych - pola Bd = 132µGs. Precyzja w uzyskaniu tej ostat-

niej wartosci Bd stanowi pewien problemem i jest niebywałym wyzwaniem dla

eksperymentatorów.

Zaczynajac od osiowo-symetrycznego stanu podstawowego Φstart = 〈~r1, ~r2 | start 〉mozna rozpatrywac dwa typy zderzen dipolowych – zmiana magnetyzacji obu

oddziałujacych atomów o jeden (Mz = ±1) lub o dwa kwanty (Mz = ±2).

W kazdym z tych przypadków koncowy stan dwuczastkowy jest inny. Oka-

zuje sie, ze przestrzenny człon oddziaływan dipolowych ustala przestrzenna

postac funkcji falowej stanu koncowego (we współrzednych wzglednych). Zna-

jac postac tej funkcji mozna okreslic energie stanów koncowych. W przypadku

procesu z Mz = ±1, przestrzenny człon dipolowy ma postac ∼ z(x + i y).

Energia najnizszego stanu koncowego w pułapce jest wiec równa Ω⊥ + Ωz.

W drugim kanale oddziaływan dipolowych z Mz = ±2, przestrzenny człon

dipolowy jest typu ∼ (x+ i y)2, co oznacza, ze energia najnizszego stanu kon-

cowego wynosi 2 Ω⊥. Jesli róznica czestosci Ωz−Ω⊥ jest znacznie wieksza

niz energia dipolowa, to kazdy z procesów dipolowych Mz = ±1 i Mz = ±2

moze byc przeanalizowany niezaleznie, gdyz oba zachodza w innych polach B.

Jednym z etapów całej analizy jest znalezienie najnizej lezacego wzbudzonego

stanu dwuczastkowego, który jest sprzezony ze stanem podstawowym poprzez


oddziaływania dipol-dipol. W głównej mierze za strukture stanu koncowego

(przy załozeniu, ze stan poczatkowy jest stanem podstawowym Wanniera z fer-

romagnetycznym uporzadkowaniem spinowym) odpowiada struktura hamil-

tonianu dipolowego. To pozwala ograniczyc baze stanów jednoczastkowych,

które posłuza do analizy, i w „okrojonej” bazie diagonalizowac w polu magne-

tycznym hamiltonian H. Tym sposobem zostały znalezione energie własne oraz

wektory własne hamiltonianu dla kazdej wartosci pola B.

Kazdy wektor własny, który jest równa superpozycja stanu poczatkowego i

koncowego, , swiadczy o istnieniu rezonansu dipolowego. Rezonans ten po-

jawia sie przy okreslonej wartosci pola magnetycznego.

Stan koncowy, choc jest stanem własnym hamiltonianu HD, w ogólnosci nie

musi byc stanem własnym hamiltonianu jednoczastkowego i kontaktowego

(H0 + HC). Dlatego tez jednym z zadan całego rachunku było rozpisanie stanu

koncowego w bazie stanów własnych hamiltonianu (H0 + HC). Kazdy taki

stan własny jest nadal sprzezony ze stanem podstawowym w polu rezonan-

sowym. Jednak w przypadku, gdy energie własne tych stanów hamiltonianu

(H0 + HC) róznia sie od siebie, wówczas rezonanse dipolowe pojawia sie przy

róznych wartosciach pól magnetycznych.

W zerowym przyblizeniu energia stanu koncowego, czyli stanu osiaganego w

wyniku oddziaływania dipolowego, jest dana jako suma energii jednoczastko-

wych. W kanale ∆Mz = −1 energia ta wynosi Ω⊥ +Ωz, zas w kanale ∆Mz = −2

jest równa 2Ω⊥. Oczywiscie to podejscie pozwala jedynie w przyblizeniu osza-

cowac połozenie pola rezonansowego. By podac jego dokładna wartosc trzeba

uwzglednic oddziaływania kontaktowe.

Efekty tych oddziaływan sa bardzo wazne. Człony kontaktowe nie tylko dopre-

cyzowuja połozenie rezonansów, ale takze rozsuwaja energie róznych kompo-

nentów spinowych. Pojawia sie przez to o wiele wiecej rezonansów, co znaczaco

wzbogaca strukture rezonansowa.

Do opisu siły oddziaływania dipolowego doskonale sie nadaje „energia własna”

stanu |start〉 o energii jednoczastkowej E0(B):

Esf (B) =∑

i

D2i√(

Ei(B)−E0(B)2

)2+D2

i

. (4.22)

Ei(B) to wartosc własna dwuciałowego hamiltonianiu bez oddziaływan dipolo-

wych, (H0 + HC + HZ)|Ψi〉 = Ei(B)|Ψi〉, zas |Ψi〉 jest wektorem własnym odpo-

wiadajacym wartosci własnej Ei(B). Człon Di = 〈start|HD|Ψi〉 jest elementem

macierzowym hamiltonianu dipolowego.


„Energia własna” jest wiec miara „wydajnosci” sprzezenia miedzy dwuczast-

kowym stanem |start〉 a stanem posrednim |Ψi〉. Wyrazenie (4.22) jest duze

jedynie w obszarze rezonansu, gdzie:

Ei(Bres) ≃ E0(Bres). (4.23)

W rezonansie Esf (Brez) = Di. Poza rezonansem Esf (B) = 0.

Postac energii własnej wynika głównie z tego, ze kazdy rezonans efektywnie

jest układem dwupoziomowym.

4.2.3 Przejscie dipolowe z ∆Mz = −1

We wzglednym układzie współrzednych w kanale ∆Mz = −1 przestrzenna za-

leznosc najnizszego stanu koncowego jest proporcjonalna do wyrazu z (x+ iy).

W podejsciu drugiej kwantyzacji taki stan mozna przedstawic jako wynik dzia-

łania operatora v†1 na próznie, gdzie

v†1 =

1√2

[p†

z

(p†

x + ip†y

)− s†

(d†

xz + id†yz

) ]. (4.24)

Operator v†1 tworza jednoczastkowe operatory bozonowe, które sa przypisane

stanom oscylatora harmonicznego:

• s† kreuje czastke w stanie podstawowym φ00(x, y)ϕ0(z),

• p†x i p†

y kreuja czastke w stanach powłoki p, odpowiednio w φ10(x, y)ϕ0(z) i

φ01(x, y)ϕ0(z),

• z kolei operatory d†xz i d†

yz odpowiadaja stanom jeszcze wyzszej powłoki d

φ10(x, y)ϕ1(z) i φ01(x, y)ϕ1(z).

Funkcja ϕ1(z) to pierwszy stan wzbudzony w kierunku osiowym pułapki.

Definicja operatora v†1 pozwala w sposób prosty zapisac stan z orbitalnym

momentem pedu Lz = 1. Pierwszy człon iloczynowy w (4.24) opisuje stan

dwuczastkowy, gdzie jedna czastka posiada kwant wzbudzenia w kierunku osi

pułapki, podczas gdy druga doswiadcza wzbudzenia typu ’wir’ (p†x + ip†

y). Drugi

człon w (4.24) opisuje stan, w którym jedna czastka zabiera pełne wzbudzenie,

zas druga pełni funkcje ’biernego obserwatora’ (jej przestrzenna funkcja sie

nie zmienia).


Operator v†1 pozwala okreslic tylko przestrzenna czesc stanu z Lz = 1 :

|L1〉 = v†1|0〉. (4.25)

Do pełnego opisu stanu koncowego brakuje czesci spinorowej. Mnozac |L1〉przez całkowicie zsymetryzowany element spinora, tj. taki, w którym jeden

atom jest w stanie spinowym |mS = 3〉, a drugi w |mS = 2〉, otrzymujemy naste-

pujaca postac stanu koncowego:

|F〉 =1√2

(|3〉|2〉+ |2〉|3〉

)|L1〉. (4.26)

Warto zwrócic uwage, ze w stanie |L1〉 zawsze oddziaływania kontaktowe zni-

RYSUNEK 4.6: Rezonans dipolowy z ∆Mz = −1 w pułapce harmonicznej:Energia wzbudzenia dwuatomowego układu jako funkcja zewnetrznego polamagnetycznego. Linia pozioma odpowiada energii stanu poczatkowego |start〉(dwa spolaryzowane atomy w stanie spinowym |3〉|3〉). W B = 0 jest to stanpodstawowy. Drugim prezentowanym stanem jest najnizej lezacy stan wzbu-dzony |L1〉, który sprzega sie ze stanem |start〉 dzieki oddziaływaniom dipol-dipol w kanale ∆Mz = −1 (górny rysunek po prawej stronie). Widoczne tu an-typrzeciecie jak i maksymalna wartosc energii własnej (górny rysunek po pra-wej stronie) jest oznaka silnego sprzezenia miedzy stanami bioracymi udziałw rezonansie. Dwa dolne rysunki pokazuja zredukowane, jednoczastkowemacierze gestosci stanu |L1〉 w danym stanie spinowym (diagonalne elementymacierzy dla magnetyzacjimS = 2). Po lewej stronie - przeciecie gestosci płasz-czyzna xy (w z = 1/

√κ), po prawej stronie: przeciecie gestosci płaszczyzna xz

(w y = 0).

kaja, gdyz 〈r, r|L1〉 = 0. Dwuczastkowa funkcja falowa znika, gdy r1 = r2,

a wiec znika oddziaływanie krótkozasiegowe w tym stanie. Ta cecha sprawia,

ze |L1〉 pozostaje stanem własny hamiltonianu zarówno jednoczastkowego jak

i hamiltonianu oddziaływania kontaktowego.


W kanale ∆Mz = −1 istnieje efektywne sprzezenie miedzy |L1〉 a stanem po-

czatkowym. Spełniony musi byc tylko jeden warunek - równosc energii sta-

nów: poczatkowego (dwa atomy w mS = 3) Estart = U33 + 2(3B) oraz konco-

wego (jeden atom w mS = 2, a drugi w mS = 3) EL1 = Ω⊥ + Ωz + (2 + 3)B. W

takiej sytuacji wartosc rezonansowego pola magnetycznego powinna wynosic:

Bres = (Ωz + Ω⊥) − U33. U33 = (g6/8)√

Ω2⊥Ωz/π3 to energia oddziaływania kon-

taktowego dwóch atomów w stanie podstawowym oscylatora harmonicznego w

składniku spinowym mS = 3.

Stan |L1〉 ma jeszcze jedna ciekawa własciwosc. Mianowicie jest stanem wła-

snym H0 +HC nawet w pojedynczym oczku kwadratowej sieci optycznej, czyli

gdy obecna jest anharmonicznosc. W takim potencjałe kierunek z separuje

sie niezaleznie od współednych x i y. To powoduje, ze w kanale ∆Mz = −1

stany dxz i dyz nie tylko sa separowalne, ale ich energie jednoczastkowe to tak

naprawde suma energii z pasma p. Zatem oba składniki tworzace |L1〉 (pierw-

szy składnik - dwie czastki wzbudzone jednokrotnie, drugi składnik - jedna

czastka wzbudzona podwójnie, druga niewzbudzona) sa zdegenerowane. Nie

zmieni tego nawet anharmonicznosc, która choc przesuwa energie stanów dxz

i dyz, to robi to w sposób identyczny.

Jesli jednak energie orbitali px i py (w tym takze dxz i dyz) sa rózne, to uwaga

poczyniona w poprzednim akapicie bedzie nieprawdziwa. Stan |L1〉 stanie

sie wtedy superpozycja dwóch stanów o róznych energiach. To spowoduje, ze

kazdy ze stanów bedzie osiagalny w zupełnie innym polu magnetycznym. W

rezultacie pojawia sia dwa rezonanse.

Wszystkie prezentowane wyniki i wnioski sa poparte numeryczna diagonali-

zacja całkowitego hamiltonianu w bazie oscylatorowej (lub bazie Wanniera).

Odwołujac sie jedynie do niskoenergetycznych wzbudzen, poszukiwałam sta-

nów dipolowo sprzezonych ze stanem |start〉. Rys.(4.6) przedstawia energie

własne dwóch stanów hamiltonianu, a antyprzeciecie jest oznaka dipolowego

sprzezenia miedzy tymi stanami.

Na dole rysunku widac jednoczastkowe gestosci w komponencie spinowym

mS = 2 (przeciecie wzdłuz xy i xz). W płaszczyznie z = 0 mozna zauwazyc

zerowanie sie funkcji falowej - jest to charakterystyczne dla pierwszego stanu

wzbudzonego w kierunku osi z. Jesli chodzi o gestosc jednoczastkowa, to z

pewnoscia nie ma ona postaci wiru jednoczastkowego, co mógłby sugerowac

zapis stanu |L1〉 we współrzednej wzglednej. Stan |L1〉 w przestrzeni dwu-

czastkowej jest tworzony przez zbyt wiele innych stanów, by móc spodziewac

sie zera gestosci w srodku pułapki w przecieciu płaszczyzna z.


Prawa strona górnej czesci Rys.(4.6) przedstawia energie własna stanu po-

czatkowego w polu magnetycznym. Wysokosc piku w rezonansie odzwierciedla

wartosc elementu dipolowego, dzieki któremu dwa stany sa sprzegniete.

4.2.4 Przejscie dipolowe z ∆Mz = −2

4.2.4.1 Pułapka harmoniczna

W tym rozdziale omówie kolejny proces dipolowy. Zajme sie przypadkiem, w

którym dwa oddziałujace atomy równoczesnie zmieniaja swój stan spinowy

|3〉|3〉 przechodzac do stanu |2〉|2〉.

W swojej analizie zakładam, ze dwa atomy chromu 52Cr znajduja sie w pułapce

harmonicznej, opisanej równaniem (4.20). W takim układzie, w obecnosci

oddziaływan dipolowych rozwazam transfer atomów miedzy róznymi stanami

spinowymi. Przestrzenna czesc funkcji falowej najnizszego stanu koncowego

jest proporcjonalna do wyrazu ∼ (x + iy)2. Jest to konsekwencja natury od-

działywan oraz stanu poczatkowego. Dzieki prostej formie funkcji falowej w

zmiennych wzgledych łatwo dostrzec, ze stan ten charakteryzuja dwa kwanty

orbitalnego momentu pedu ∆Lz = 2.

Nadmieniam tu, ze obliczenia sa prowadzone w bazie dwuczastkowej.

Przez stan z dwoma kwantami orbitalnego momentu pedu ∆Lz = 2, bede teraz

rozumiała stan kreowany przez dwuczastkowy operator v†2:

v†2 =

1

2√

2

[s†(d†

xx + i√

2d†xy − d†

yy

)(4.27)

−((p†

x)2 + i√

2p†xp

†y − (p†

y)2) ].

Baze wczesniej zdefiniowanych operatorów s i p rozszerzam o kolejna grupe:

d†xx, d

†yy i d†

xy. Kazdy z tych operatorów tworzy czastke w drugim stanie wzbu-

dzonym oscylatora harmonicznego, w stanie opisanym odpowiednio funkcja

falowa: φ20(x, y)ϕ0(z), φ02(x, y)ϕ0(z) i φ11(x, y)ϕ0(z).

Pierwsza linijka w (4.27) opisuje sytuacje, gdy jedna czastka znajduje sie w

stanie podstawowym s, zas druga w stanie wzbudzonym powłki d z dwoma

kwantami orbitalnego momentu pedu. Druga linijka w (4.27) odpowiada sy-

tuacji, gdy kazda z czastek jest w tym samym stanie wzbudzonym z jednym

kwantem orbitalnego momentu pedu.


Powinnam podkreslic, ze wybrane przeze mnie operatory s, px, py, dxx, dyy,

dxy rozpinaja przestrzen, która jest wystarczajaca, by opisac najnizszy rzad

procesu dipolowego w kanale ∆Mz = 2. Oczywiscie pełnym opisem stanu

koncowego jest iloczyn czesci przestrzennej i spinowej. Dlatego stan podsta-

wowy nalezy uzupełnic o człon |3〉|3〉, zas stan koncowy o |2〉|2〉.

W pierwszym rzedzie rachunku zaburzen dynamike spinu inicjuja wyłacznie

dipolowe oddziaływania. W drugim rzedzie rachunku zaburzen (gdy atomy sa

juz w stanie |2〉|2〉) dynamika spinu moze byc wywołana zarówno dipolowo jak

i poprzez zalezne od spinu oddziaływania kontaktowe. Poniewaz oddziaływania

kontaktowe swa wartoscia dominuja nad dipolowymi odziaływaniami, dlatego

indukuja transfer spinu ze stanu |2〉|2〉 do stanu(|1〉|3〉+ |3〉|1〉

)/√

2.

Istnieje doswiadczalna metoda, która pozwala odstroic swiatłem przejscie do

symetryzowanego stanu |3〉|1〉. Na chwile wykorzystam ten argument, by za-

niedbac zderzenia kontaktowe przerzucajace dwa atomy do stanu z przestrzeni

spinowej |3〉|1〉.

Diagonalizuje wiec całkowity hamitonian (4.16) w bazie stanów dwuczastko-

wych opisanych za pomoca jednoczastkowych operatorów s, p, d w dwóch

przestrzeniach spinowych (mS = 3 i mS = 2) dla róznych wartosci zewnetrz-

nego pola magnetycznego.

Wyniki numeryczne i fizyczny obraz tych wyników mozna wytłumaczyc w opar-

ciu o rachunek zaburzen traktujac oddziaływanie dipolowe jako małe zaburze-

nie. Wynikiem diagonalizacji hamiltonianu H0 +HZ +HC jest stan |L2〉:

|L2〉 = v†2 |0〉. (4.28)

Najbardziej zaskakuje tu fakt, ze w tym stanie znika energia kontaktowa. Oka-

zuje sie, ze jest to cecha samego potencjału harmonicznego, która mocno de-

terminuje dynamike spinu w pułapce harmonicznej. Jednak te mysl rozwine

nieco pózniej.

Energia stanu koncowego EL2 = 2Ω⊥ + 2(2Brez) w odpowiednio dobranym polu

magnetycznym jest równa energii stanu poczatkowego Estart = U33 + 2(3Brez).

Pole, w którym dochodzi do tej sytuacji, to Bres = Ω⊥−U33/2. Ku wyjasnieniu:

U33 = (g6/8)√

Ω2⊥Ωz/π3 jest energia oddziaływania kontaktowego dwóch atomów

w stanie spinowym mS = 3 i stanie podstawowym potencjału harmonicznego.

Taka postac stanu |L2〉 sprawia, ze istnieje niezerowe sprzezenie ze stanem

poczatkowym D = 〈L2|h+2|start〉 6= 0. Co wiecej diagonalizacja hamiltonianu z

uwzglednieniem juz członu dipolowego pokazała, ze |L2〉 jest tak naprawde

jedynym stanem, który sprzega sie ze stanem poczatkowym. Z tego powodu


RYSUNEK 4.7: Rezonans dipolowy z ∆Mz = −2 w pułapce harmonicznej:Energia wzbudzenia dwuatomowego układu jako funkcja zewnetrznego polamagnetycznego. Linia pozioma oznacza energie stanu |start〉 (gdzie dwa atomysa spolaryzowane w stanie spinowym |3〉|3〉). W B = 0 jest to stan podsta-wowy. Druga linia odpowiada energii stanu |L2〉. jest to jedyny niskolezacystan wzbudzony, który sprzega sie ze stanem |start〉 dzieki oddziaływaniomdipol-dipol w kanale ∆Mz = −2. Antyprzeciecie w energiach jak i maksimumw energii własnej (prawy górny rysunek) swiadcza o silnym sprzezeniu miedzystanami bioracymi udział w rezonansie. Dolny rysunek pokazuje zreduko-

wana, jednoczastkowa gestosc stanu |L2〉 (w płaszczyznie xy).

mozna powiedziec, ze w samym rezonansie istnieje efektywnie dwupoziomowy

układ stanów |start〉 i |L2〉. Na Rys.(4.7) pokazano energie obydwu stanów.

Antyprzeciecie w obszarze rezonansowego pola magntycznego Bres jest konse-

kwencja sprzezenia tych stanów.

Oczywiscie w badanym układzie istnieje znacznie wiecej stanów wzbudzonych,

które sprzegaja sie ze stanem podstawowym za pomoca oddziaływania dipolo-

wego. Nie uwzgledniam ich jednak w swej bazie. Koncentruje sie bowiem na

najnizszym wzbudzonym stanie.

W prawym górnym rogu Rys.(4.7) pokazano energie własna stanu poczatko-

wego |start〉 w funkcji pola magnetycznego. W obszarze rezonansu energia

Estart osiaga maksimum. Kształtem przypomina to pik, którego wysokosc jak i

szerokosc jest miara sprzezenia dipolowego D.

Słabosc oddziaływania dipolowego sprawia, ze tylko precyzyjny wybór pola ma-

gnetycznego pozwala dostroic sie do wspomnianego wyzej rezonansu. Gdy to

jednak nastapi atomy zaczna oscylowac miedzy dwoma stanami z czestoscia

Rabiego, zmieniajac tym samym obsadzenie obydwu stanów.


Jednoczastkowa gestosc w składniku spinowym mS = 2 dla stanu |L2〉 prezen-

tuje dolna czesc Rys.(4.7). W srodku pułapki widac tylko niewielkie minimum,

gdyz |L2〉 nie jest stanem z dwoma kwantami orbitalnego momentu pedu w

przestrzeni pojedynczej czastki. Jest to wir we współrzednej wzglednej dwóch

czastek. Jesli - hipotetycznie - w jakis sposób otrzymac podwójnie okupowany

wir(px1 + i py1

)(px2 + i py2

), to taki stan zawierałby wzbudzenie srodka masy.

W przypadku dwuciałowych oddziaływan, w pułapce harmonicznej taki scena-

riusz jest w ogóle niemozliwy.

Na koncu tego podrozdziału chciałabym powrócic do uwagi na temat znikania

oddziaływan kontaktowych w stanie |L2〉|2〉|2〉, tj. U22 = g22 〈L2|δ(r1−r2)|L2〉 = 0,

gdzie g22 = (6g6 + 5g4)/11. Zerowa wartosc U22 wynika z zerowania sie dwu-

ciałowej funkcji falowej, jesli tylko r1 = r2. Analogicznie jest z oddziaływa-

niem kontaktowym, które odpowiada za transfer typu: jeden atom w skład-

niku mS = 3, a drugi w mS = 1, tj. U22,31 = g22,31〈L2|δ(r1 − r2)|L2〉 = 0, gdzie

g22,31 =√

30/11(g6 − g4). W harmonicznej, osiowo-symetrycznej pułapce dy-

namika spinu oparta na zaleznych od spinu zderzeniach kontaktowych jest

całkowicie zabroniona. Nie trzeba wiec martwic sie o ewentualny transfer do

pozostałych stanów spinowych. Okazuje sie, ze własnosc pułapki harmonicz-

nej samoistnie temu zapobiega, co stoi w sprzecznosci do eksperymentu wy-

konanego przez grupe z Francji [15] z atomami chromu w sieci optycznej. Mój

teoretyczny rachunek jasno wskazuje, ze stosowane do sieci optycznej przybli-

zenie harmoniczne, nie opisuje wystarczajaco dobrze dynamiki spinu w cyto-

wanym artykule. Z tego powodu efekty widziane w doswiadczeniu winny byc

tłumaczone nieco dokładniej.

4.2.4.2 Pułapka anharmoniczna

Ten podrozdział jest próba zrozumienia jaki wpływ na dynamike spinu w ka-

nale z ∆Mz = −2 ma anharmonicznosc. By wyjasnic te kwestie rozwaze mode-

lowy potencjał - pułapke anharmoniczna o symetrii osiowej.

Jesli dokładnie przyjrzec sie rozwinieciu potencjału sieci optycznej (zwłaszcza

jego wyzszym członom), to widac, ze potencjał nie jest ani harmoniczny, ani

osiowy:

V (r) = V0ρ2 − 1

3V0ρ

4 + κ2z2 +1

3V0x

2y2, (4.29)


gdzie ρ2 = x2 + y2. Człon ∼ ρ4 wprowadza anharmoczninosc, zas ostatni człon

jest odpowiedzialny za łamanie osiowej symetrii. Chciałabym wiec odseparo-

wac udział anharmonicznosci i anizotropii w procesie dynamiki spinu. Naj-

prostszym krokiem jest zaniedbanie ostatniego członu w (4.29), dzieki czemu

potencjał bedzie osiowy i anharmoniczny:

V (r) = V0ρ2 − 1

3V0ρ

4 + κ2z2. (4.30)

O tym jak duza jest anharmonicznosc decyduje stosunek energii anharmonicz-

nej do harmonicznej na typowej odległosci ρ0. Stosunek ten wynosi: γ = 13ρ

20.

Parametr ρ0 jest promieniem funkcji falowej stanu podstawowego, z definicji:

ρ0 = 1/√

Ω⊥, gdzie Ω⊥ = 2√V0 jest czestoscia radialna w potencjale harmo-

nicznym.

Główna cecha potenciału anharmonicznego jest brak równoodległych pozio-

mów energetycznych. Z tego powodu stan |L2〉 przestaje byc stanem własnym

hamiltonianu H0 +HZ +HC.

RYSUNEK 4.8: Rezonans dipolowy z ∆Mz = −2 w pułapce anharmonicznej:Energia wzbudzenia dwuatomowego układu jako funkcja zewnetrznego polamagnetycznego. Linia pozioma oznacza energie stanu |start〉 (gdzie dwa atomysa spolaryzowane w stanie spinowym |3〉|3〉). W B = 0 jest to stan podstawowy.Na rysunku pokazano dodatkowo niskoenergetyczne stany wzbudzone, któresprzegaja sie ze stanem |start〉 poprzez oddziaływania dipol-dipol. Dwa an-typrzeciecie w energiach jak i dwa maksima w energii własnej (srodkowy ry-sunek) sa symbolem sprzezenia dipolowego w obszarze rezonansowego polamagnetycznego. Dolny rysunek przedstawia zredukowane, jednoczastkowegestosci stanów koncowych osiaganych w kanale ∆Mz = −2. Odpowiadajaone kolejnym rezonansowym wartosciom pola widocznym na srodkowym ry-

sunku.


By skonstruowac dwuciałowe stany własne w potencjale anharmonicznym,

najpierw musiałam znalezc stany jednoczastkowe na powłokach s, p i d . Do

tego celu wykorzystałam rachunek numeryczny. Majac juz te stany jedno-

czastkowe przystapiłam do skonstruowania stanów dwuczastkowych, ale ta-

kich, które składaja sie na stan |L2〉. Nastepnie w tak dobranej bazie zdiago-

nalizowałam pełen hamiltonian. Przy dwóch wartosciach pól magnetycznych,

znalazłam stany: |va1〉 i |va2〉, do których nastepował dipolowy transfer atomów.

Widac to jako antyprzeciecie poziomów energetycznych Rys.(4.8). Kazdy re-

zonans to efektywnie układ dwupoziomowy, w którym atomy oscyluja miedzy

stanem |start〉 i jednym ze stanów rezonansowych, tj. |va1〉 albo |va2〉.

Dolna czesc Rys.(4.8) prezentuje jednoczastkowe macierze gestosci stanów kon-

cowych dla wysokosci bariery V0 = 25 ER. Nalezy tu zaznaczyc, ze gestosc

stanu |va2〉 tylko pozornie przypomina charakterem „wir” (gestosc nie osiaga

zera w srodku pułapki).

Srodkowa czesc Rys.(4.8) to energia własna stanu |start〉 w funkcji pola B. W

punkcie rezonansu energia ta osiaga maksimum.

Wyniki numeryczne prosto tłumaczy rachunek zaburzen, gdzie małym para-

metrem jest energia dipolowa. Otóz stan |L2〉 to superpozycja dwóch stanów:

|L2〉 =1√2

(|vd〉 − |vp〉

), (4.31)

gdzie stan |vd〉 z powłoki d ma postac:

|vd〉 =1

2

[s†(d†

xx + i√

2d†xy − d†

yy

) ]|0〉, (4.32)

z kolei stan |vp〉 jest stanem z powłoki p:

|vp〉 =1

2

[(p†

x)2 + i√

2p†xp

†y − (p†

y)2]|0〉. (4.33)

W powyzszych wyrazeniach (4.32) i (4.33) ponownie wystepuja operatory s, p,

d, ale ich znaczenie jest zgoła inne niz tych operatorów w pułapce harmonicz-

nej. Choc uzywam tego samego oznaczenia, to obecne operatory s, p, d kreuja

czastke w stanach jednoczastkowych, ale w pułapce anharmonicznej.

Z powodu anharmonicznosci stany |vp〉 i |vd〉 maja rózne energie. Niemniej

oba nadal sa nadal stanami własnymi z-owej składowej orbitalnego momentu

pedu. Stan |vd〉 to stan, w którym jedna czastka jest w przestrzennym sta-

nie podstawowym, zas druga w stanie wzbudzonym na powłoce d z Lz = 2.


Stan |vp〉 jest z kolei stanem, w którym obydwa atomy okupuja ten sam stan

orbitalny z Lz = 1 na powłoce p.

Oczywiscie w pułapce harmonicznej oba wyróznione stany maja identyczne

energie. W obecnie rozwazanej pułapce, anharmonicznosc rozsuwa te energie,

a tym samym pozwala rozróznic poszczególne człony stanu |L2〉 .

Stosujac rachunek zaburzen z małym parametrem γ, mozna oszacowac, ile

wynosi wzgledna zmiana energii δE tych stanów:

δE = 2γΩ⊥. (4.34)

Energia stanu |vd〉 jest oczywiscie mniejsza niz energia stanu |vp〉. Dodatkowo

oba stany |vd〉 i |vd〉 oddziałuja kontaktowo:

U22 =g22

16π3/2

√ΩzΩ⊥, (4.35)

gdzie g22 = (6g6 + 5g4)/11. Dlatego tez prawdziwe wektory własne i energie

własne układu musza byc rozwiazaniami problemu własnego:

−δE U22

U22 0

αa

βa

= εa

αa

βa

. (4.36)

Powstaja wiec nastepujace superpozycje:

|va1〉 = αa|vd〉 − βa |vp〉 i |va2〉 = βa|vd〉 + αa |vp〉.

Gdy wartosc oddziaływania kontaktowego znaczaco przekroczy rozszczepienie

energii U22 >> δE/2, czyli jesli rozszczepienie w wyniku anharmonicznosci

mozna zaniedbac:

V0 >>256

9

π3

(g22)2Ωz, (4.37)

wówczas mozna osiagnac taki rezim parametrów, dla których odzyskiwana jest

harmonicznosc układu, co szczegółowo opisze ponizej. Oznacza to, ze w proce-

sie dynamiki spinu bedzie uczestniczyc tylko jeden stan koncowy (jak to miało

miejsce w podrozdziale [4.2.4]).

W tym kontekscie wazna jest rola czestosci osiowej pułapki Ωz. Okazuje sie, ze

w potencjale o geometrii cygara (kształt wydłuzony) owe odzyskiwanie harmo-

nicznosci nastepuje znacznie wolniej w porównaniu z potencjałem o geometrii

spłaszczonej. W obecnym przypadku, gdy Ωz = 16 ER, efekt anharmonicznosci

moze byc zaniedbany przy bardzo duzych wysokosciach V0 >> 29 ER. Wek-

tory własne hamiltonianu beda wówczas miały postac: |va1〉 ≃ (|vd〉 − |vp〉)/√

2


i |va2〉 ≃ (|vd〉 + |vp〉)/√

2. Wektor własny |va1〉 bedzie odpowiednikiem stanu re-

zonansowego z pułapki harmonicznej, zas drugi stan, |va2〉, przestanie wogóle

byc osiagalny. Stan |va2〉 zawiera w sobie wzbudzenie srodka masy, a taki

typ wzbudzenia nie wystepuje w przypadku pułapki harmonicznej. Wobec tego

oddziaływanie dipolowe sprzegajace ten stan ze stanem podstawowym znika.

Sprawdziłam, ze nawet przy V0 = 40 ER (co z punktu widzenia eksperymentu

oznacza bardzo głeboka siec), anharmonicznosc nie moze byc zaniedbana.

Warto poswiecic chwile na omówienie tej kwestii - w jaki sposób harmonicz-

0

2

4

6

20 40 60 80 100

7×10-2

V0 (ER)

D (

ER

)

D1

D2

RYSUNEK 4.9: Sprzezenie dipolowe D1 do stanu rezonansowego |va1〉 oraz D2

do stanu rezonansowego |va2〉 w funkcji wyskosci bariery.

nosc w układzie jest odzyskiwana. Mocnym dowodem na to, ze tak sie dzieje,

jest silne sprzezenie tylko do jednego stanu rezonansowego, który wzbudza sie

w pułapce harmonicznej. W pułapce anharmonicznej wraz ze wzrostem wy-

sokosci bariery, zwieksza sie odległosc miedzy dwoma rezonansami. Dipolowe

elementy macierzowe, które odpowiadaja rezonansom, skaluja sie odpowied-

nio: D1 = 〈va1 |HD|ini〉 ∼ V1/2

0 , zas D2 = 〈va2 |HD|ini〉 ∼ δE dazy do stałej (nie

zalezy od V0), Rys.(4.9). Przy bardzo wysokich barierach stosunek D2/D1

staje sie bardzo mały i wobec tego wnioskuje, ze tylko jeden ze stanów |vai〉

sprzega sie rezonansowo przez oddziaływania dipolowe.

Jesli zachodzi warunek U22 << δE/2, to mozna zaniedbac oddziaływania

kontaktowe. Stany własne układu sa wtedy przyblizane przez |va1〉 ≃ |vd〉 i|va2〉 ≃ |vp〉. Gestosc jednoczastkowa stanu |va2〉 sugeruje, ze jest to dobry stan,

by obserwowac w nim efekt EdH, gdyz w stanie koncowym obie czastki sa w


tym samym stanie przestrzennym, odpowiadajacym wirowi. Przypadek poka-

zany na Rys.(4.8) odpowiada sytuacji, gdy δE ∼ U22.

Do tego momentu zaniedbywałam oddziaływania kontaktowe zalezne od spinu.

Gdyby jednak nie stosowac tego załozenia, to oprócz dipolowego transferu

spinu do stanu |2〉|2〉, nalezałoby uwzglednic dalszy kontaktowy proces dyna-

miki spinu, tj. |2〉|2〉 → |3〉|1〉.

• Uproszczony obrazek kontaktowego transferu

Po pierwsze załózmy, ze oddziaływania kontaktowe nie sa w stanie istotnie

zmienic dwuczastkowej funkcji falowej ze wzgledu na zachowanie energii.

Wobec tego |va1〉 i |va2〉 (stany własne hamiltonianu kontaktowego z pod-

przestrzeni |2〉|2〉) posiadaja swoje przestrzenne repliki funkcji w podprze-

strzeni spinowej |3〉|1〉. Energie jednoczastkowe tych stanów sa oczywi-

scie takie same. Jedyna odmiennosc stanowi fakt, ze stan |vai〉|2〉|2〉 jest

sprzezony ze stanem |vai〉(|1〉|3〉 + |3〉|1〉)/

√2 poprzez człon kontaktowy

g22,31〈vai|δ(r1 − r2)||vai

〉, gdzie i = 1, 2.

Ten cały opis jest jednak uproszczony, gdyz w kazdym stanie spinowym

sa jeszcze oddziaływanie kontaktowe. W podprzestrzeni |2〉|2〉 energia

oddziaływania kontaktowego jest proporcjonalna do wyrazu g22 = (6g6 +

5g4)/11, a w podprzestrzeni |3〉|1〉 do g31 = (5g6 + 6g4)/11. Ma to swój

wpływ chociazby na wektory własne, bowiem nieco inne wektory diago-

nalizuja hamiltonian kontaktowy w podprzestrzeni spinowej |3〉|1〉 a jesz-

cze inne hamiltonian z podprzestrzeni |2〉|2〉. Wobec tego róznica ener-

gii kontaktowych miedzy danymi podprzestrzeniami spinowymi wynosi

g22 − g31 = g22,31/√

30. Jest ona√

30 razy mniejsza od członu g22,31- energii

kontaktowej sprzegajacej obydwie podprzestrzenie spinowe.

Dokładny opis transferu kontaktowego jest bogatszy, niemniej jednak

chce zauwazyc, ze cała dyskusja w oparciu o uproszczony obrazek od-

daje jakosciowo idee procesu oraz liczbe rezonansów.

• Dokładny opis transferu kontaktowego

By własciwie podejsc do problemu, nalezy rozwazyc wektory |vd〉 i |vp〉zarówno w jednej jak i w dugiej przestrzeni spinowej. Dalszy etap ra-

chunku sprowadza sie potem do zdiagonalizowania macierzy 4×4. Stany

własne takiego układu to superpozycje stanów o róznej magnetyzacji. Je-

sli wartosci zewnetrznego pola magnetycznego zostana odpowiednio do-

brane, wówczas kazdy z czterech stanów rezonansowych ma szanse byc

realizowalny doswiadczalnie.


RYSUNEK 4.10: Rezonans dipolowy z ∆Mz = −2 w pułapce anharmonicz-nej: Energia wzbudzenia dwuatomowego układu jako funkcja zewnetrznegopola magnetycznego. Linia pozioma oznacza energie stanu |start〉 (gdzie dwaatomy sa spolaryzowane w stanie spinowym |3〉|3〉). W B = 0 jest to stanpodstawowy. Dodatkowe linie odpowiadaja niskowzbudzonym stanom, któresa sprzezone ze stanem |start〉 dzieki oddziaływaniom dipolowym jak i zalez-nym od spinu oddziaływaniom kontaktowym. Uwzgledniono tu bowiem od-działywania kontaktowe, które sprzegaja podprzestrzenie spinowe |2〉|2〉 oraz

1√

2(|3〉|1〉 + |1〉|3〉). Cztery antyprzeciecia w energiach jak i cztery maksima w

energii własnej (srodkowy rysunek) swiadcza o istnieniu sprzezenia dipolo-wego i kontaktowego w obszarze rezonansowego pola magnetycznego. Czterydolne rysunki to zredukowane, jednoczastkowe gestosci stanów koncowychodpowiadajace kolejnym rezonansom dipolowym i zaleznym od spinu kontak-

towym - prezentowanym w srodkowym rysunku.

Rys.(4.10) pokazuje cztery rezonanse przy wysokosci sieci optycznej V0 = 25 ER.

Z kazdym rezonansem jest stowarzyszona jednoczastkowa gestosc ryso-

wana w składniku spinowym |2〉|2〉 (najnizsza czesc rysunku).

Przy małych wartosciach pól magnetycznych, dwa pierwsze rezonansowe

stany koncowe sa zdominowane przez stan orbitalny |vd〉 bez wzgledu

na podprzestrzen spinowa. Stan |vd〉 składa sie głównie z kombinacji

stanów powłoki d oraz stanu podstawowego pułapki s. Duzy wkład po-

chodzacy od stanu s powoduje, ze w jednoczastkowej macierzy gestosci

w srodku pułapki gestosc jest duza. W dwóch kolejnych rezonansach,

uzyskane przy wiekszych wartosciach pól magnetycznych stany koncowe

sa zdominowane przez wzbudzenia z pasma p. To tłumaczy, dlaczego w

srodku pułapki, w dwóch ostatnich jednoczastkowych gestosciach wyste-

puje minimum.


Jeszcze raz pragne podkreslic, ze nawet mała anharmonicznosc moze w spo-

sób znaczacy zmodyfikowac dynamike spinu. Przypadek pułapki harmonicz-

nej pokazał jeden rezonans, w którym dwa atomy oscylowały w rezonansowym

polu magnetycznym Bres miedzy stanami |start〉|3〉|3〉 i |L2〉|2〉|2〉. Przestrzennaczesc stanu koncowego |L2〉 miała niezerowy orbitalny moment pedu Lz = 2,

bez wzbudzen srodka masy.

W pułapce anharmonicznej mozna mówic o czterech rezonansach. Zgodnie

z wynikami z podrozdziału (4.1) dynamika spinu w układzie dwuatomowym

moze zachodzic w obrebie trzech przestrzeni spinowych ms = 3, 2, 1. W pu-

łapce anharmonicznej kazda przestrzenna funkcja falowa odpowiadajaca da-

nemu rezonansowi, nadal pozostaje stanem własnymi operatora orbitalnego

momentu pedu. Jednak w przeciwienstwie do pułapki harmonicznej, stanów

rezonansowych jest wiecej i dodatkowo maja one wzbudzony srodek masy.

4.2.4.3 Pojedyncze oczko kwadratowej sieci optycznej

Przejde wreszcie do kluczowej czesci całego rozdziału. Przedyskutuje problem

dynamiki spinu dwóch atomów w warunkach realistycznych, a mianowicie w

oczku kwadratowej sieci optycznej. Kształt pojedynczego oczka cechuje: ani-

zotropia i anharmonicznosc. W moich rachunkach maja one szczególne zna-

czenie, gdyz mocno modyfikuja obrazek rezonansowy.

Dla porzadku powtórze jeszcze raz cel i kolejne kroki mojego rachunku. Poszu-

kuje takiego stanu dwuczastkowego, który sprzega sie ze stanem poczatkowym

|start〉|3〉|3〉 za sprawa oddziaływan dipolowych. Stan ten powinien byc stanem

własnym dla sumy hamiltonianów H0 + HZ + HC. Wybór bazy jest oczywi-

scie kluczowy. W odróznieniu od poprzednich typów pułapek (harmonicznej

i anharmonicznej, gdzie posługiwałam sie baza funkcji oscylatorowych), teraz

wybieram baze funkcji Wanniera. Jak poprzednio zakładam, ze funkcja falowa

stanu poczatkowego znajduje sie w stanie podstawowym oscylatora harmo-

nicznego w kierunku z. Dla czytelnosci przedstawianych wyników omine pisa-

nie zaleznosc od z. Zaznaczam jednak, ze w rachunkach brałam pod uwage

pełne trójwymiarowe stany jednoczastkowe.

Ograniczam sie do trzech pasm w pułapce. Z nich wybieram stany odpowied-

nie do opisu najnizej lezacego stanu wzbudzonego z Lz = 2. Poprzednio zde-

finiowany Operator dwuczastkowy v†2, zdefiniowany w (4.27), kreuje taki stan

„wirowy”. Co prawda zmianie uległy znaczenia operatorów jednoczastkowych,


tj. s†, p†x, p

†y, d

†xx, d

†yy, d

†xy. Dotychczas te operatory kreowały czastke w sta-

nach oscylatora harmonicznego. Obecnie, w przypadku sieci optycznej, tworza

one czastke w stanach Wanniera. Na przyklad: s† kreuje czastke w stanie

Ψ00 = W0(x)W0(y), d†xx kreuje czastke w stanie Ψ20 = W2(x)W0(y), d†

xy kreuje

czastke w stanie Ψ11 =W1(x)W1(y), itd.

Dla wygody postanowiłam wprowadzic nieco inne uporzadkowanie w członach

budujacych stan |L2〉:|L2〉 = |v1〉+ |v2〉+ |v3〉, (4.38)

gdzie:

|v1〉 =1

2√

2

(s†(d†

xx − d†yy

) )|0〉, (4.39)

|v2〉 = − 1

2√

2

(p†

xp†x − p†

yp†y

)|0〉, (4.40)

|v3〉 =i

2

(s†d†

xy − p†xp

†y

)|0〉. (4.41)

Kryterium podziału stanowiły energie jednoczastkowe w sieci.

Wkład od jednoczastkowych energii do całkowitej energii stanów |v1〉, |v2〉 i |v3〉mozna zapisac jako: E1 = Es+Ed, E2 = 2Ep, E3 = E2. Z powodu symetrii układu

(D4), dwa ostatnie stany maja równe energie. Nadmieniam, ze anharmonicz-

nosc odpowiada za nierównosc energii E1 < E2.

Cecha charakterystyczna w stanie |v3〉 jest znikanie kontaktowych oddziały-

wan. Na podobnej zasadzie znikaja tez oddziaływania kontaktowe miedzy |v3〉a pozostałymi stanami w sieci. W rezultacie |v3〉 jest stanem własnym dwucia-

łowego hamiltonianu H0 +HZ +HC.

Inaczej prezentuje sie sprawa z wektorami |v1〉 i |v2〉. Stany te oddziałuja kon-

taktowo, a ich liniowe superpozycje diagonalizuja hamiltonian kontaktowy.

Potwierdza to rachunek numeryczny. Transfer spinu ma miejsce dla trzech

róznych wartosci pól magnetycznych (Rys.4.11). Kazdy taki rezonans obrazuje

sprzezenie dipolowe stanu poczatkowego z niskolezacym stanem koncowym.

Antyprzeciecia miedzy energiami sa objawem tego sprzezenia. Pod kazdym

rezonansem widac odpowiednio: jednoczastkowe gestosci stanów koncowych

(dolna czesc Rys.(4.11)) oraz energie własna stanu poczatkowego (srodkowa

czesc Rys.(4.11)). Z wykresu energii własnej mozna odczytac zarówno wartosc

sprzezenia jak i szerokosc samego rezonansu. Warto przypomniec, ze w osio-

wosymetrycznej pułapce harmonicznej, wszystkie trzy rezonanse współtworza

we współrzednej wzglednej jeden stan z orbitalnym momentem Lz = 2.


RYSUNEK 4.11: Rezonans dipolowy z ∆Mz = −2 w pojedynczym oczku siecioptycznej: Energia wzbudzenia dwuatomowego układu jako funkcja zewnetrz-nego pola magnetycznego. Linia pozioma oznacza energie stanu |start〉 ( gdziedwa atomy sa spolaryzowane w stanie spinowym |3〉|3〉). W B = 0 jest to stanpodstawowy. Dodatkowe linie odpowiadaja niskowzbudzonym stanom, któresa sprzezone ze stanem |start〉 dzieki oddziaływaniom dipolowym. Trzy anty-przeciecia w energiach jak i trzy maksima w energii własnej (srodkowy rysu-nek) swiadcza o istnieniu sprzezenia dipolowego w obszarze rezonansowegopola magnetycznego. Trzy dolne rysunki to zredukowane, jednoczastkowe ge-stosci stanów koncowych odpowiadajace kolejnym rezonansom dipolowym -

prezentowanym w srodkowej czesci.

Rozszerzenie rachunku o kolejna przestrzen spinowa (tzn. |3〉|1〉) znacznie

wzbogaca dynamike spinu. Bazowe funkcje falowe odpowiadajace wektorom

|v1〉 i |v2〉 sa identyczne w obydwu podprzestrzeniach. Sytuacja jest analo-

giczna do tej, dyskutowanej w pułapce anharmonicznej. Ponownie mamy do

czynienia z problemem własnym 4×4. Rozwiazaniami w tym wypadku sa cztery

rózne wektory własne zwiazane zarówno spinowymi stopniami swobody jak i

poprzez przestrzenne funkcje falowe. W pojedynczym oczku sieci (wliczajac

stan |v3〉) mam wiec piec niskoenergetycznych stanów, dipolowo sprzezonych

ze stanem podstawowym. Na dodatek stan |v3〉 nie zmienia sie w wyniku od-

działywania kontaktowego. Jego połozenie wyznaczaja jedynie jednoczastkowe

energie pasm. Rezonans adresowany za pomoca tego stanu jest widoczny w ko-

lejnosci jako trzeci u góry Rys.(4.12). Pozostałe cztery rezonanse, które takze

sa dowodem istnienia sprzezenia dipolowego ze stanem |start〉, zostały otrzy-

mane w wyniku numerycznej diagonalizacji hamiltonianu H (4.16) w bazie

funkcji Wanniera. Jednoczastkowe macierze gestosci tych stanów widac u dołu

Rys.(4.12).


RYSUNEK 4.12: Rezonans dipolowy z ∆Mz = −2 w pojedynczym oczku siecioptycznej: Energia wzbudzenia dwuatomowego układu jako funkcja zewnetrz-nego pola magnetycznego. Linia pozioma oznacza energie stanu |start〉 (gdziedwa atomy sa spolaryzowane w stanie spinowym |3〉|3〉). W B = 0 jest to stanpodstawowy. Dodatkowe linie odpowiadaja niskowzbudzonym stanom, któresa sprzezone ze stanem |start〉 dzieki oddziaływaniom dipolowym jak i zalez-nym od spinu oddziaływaniom kontaktowym. Uwzgledniono tu bowiem od-działywania kontaktowe, które sprzegaja podprzestrzenie spinowe |2〉|2〉 oraz

1√

2(|3〉|1〉 + |1〉|3〉). Piec antyprzeciec w energiach jak i piec maksim w ener-

gii własnej (srodkowy rysunek) swiadczy o istnieniu sprzezenia dipolowego ikontaktowego zaleznego od spinu, w obszarze rezonansowego pola magne-tycznego. Piec dolnych rysunków to zredukowane, jednoczastkowe gestoscistanów koncowych odpowiadajace kolejnym rezonansom dipolowym i zalez-

nym od spinu kontaktowym - prezentowanym w srodkowej czesci.

4.2.5 Porównanie z eksperymentem I

Rezonansowa demagnetyzacja w układzie ze spolaryzowanymi atomami 52Cr w

stanie spinowym |mS = 3〉 w sieci optycznej niedawno została doswiadczalnie

zaobserwowana w [16]. Proces tego typu sa inicjowane przez oddziaływania

dipolowe.

W tym rozdziale chciałabym odniesc sie do wyników eksperymentalnych z [16]

i pokazac własne, teoretyczne obliczenia przy uzyciu realistycznych parame-

trów. Geometria sieci w [16] była dosc skomplikowana z powodu nietypowego

ustawienia wiazek laserowych. Dlatego tez geometria sieci, na której opiera sie

moja cała analiza, nie jest idealnym odzwierciedleniem sytuacji eksperymen-

talnej.

Wysokosc bariery w płaszczyznie horyzontalnej jest równa V0 = 25 ER, co suge-

ruje, ze układ jest w fazie izolatora Motta z dwoma atomami na oczko. Choc w

realnym układzie, w pojedynczym oczku pojawiaja sie czasem trzy lub wiecej


0

5

10

15

2

4

6

8

10

12

14×103

40 60 80 100 120 140 160 180 200

18×10-3

Energ

ia w

lasna

(Er)

m=

3

ato

m n

um

ber

0

5

10

15

40 60 80 100 120 140 160 180 200

2

4

6

8

10

12×10317×10

-3

Energ

ia w

lasna

(Er)

Magnetic field (kHz)

m=

3

ato

m n

um

ber

RYSUNEK 4.13: Wyniki prezentowane w górnym panelu odpowiadaja sytuacji,gdy pole magnetyczne jest ustawione wzdłuz osi y, wyniki w dolnym panelu

direction - gdy pole magnetyczne jest w kierunku osi x.

atomów, postanowiłam zaniedbac tunelowanie. W rzeczywistosci we wzbu-

dzonych stanach Wannier tunelowanie prowadzi do znaczacego poszerzenia

rezonansów i jest wieksze niz energia oddziaływania dipolowego. Niemniej jed-

nak liczba rezonansów i ich połozenie nie zalezy od tunelowania. Zaniedbanie

tunelownaia było najwazniejszym przyblizeniem w moim rachunku.

W płaszczyznie horyzontalnej osie główne oczka sa nieco obrócone wzgledem

linii łaczacych poszczególne minima oczek. Kazde oczko sieci jest anizotropowe

ωx/2π = 170(10) kHz, ωy/2π = 55(5) kHz i ωz/2π = 100(10) kHz. Wszystkie czestosci

sa podane w przyblizeniu harmonicznym.

Potencjał uzyskany w doswiadczeniu nie jest separowalny, dlatego nie mozna

przyblizyc go przez sume kwadratów funkcji ‘sinus’ - jak to ma miejsce w mo-

ich badaniach. Widac to zwłaszcza, gdy rozwiniac potencjał wokół jednego z

jego minimów. Otóz w doswiadczalnym potencjale wystepuja nie tylko człony

kwadratowe, ale oprócz nich pojawiaja sie takze człony 3-ciego stopnia. Z kolei

w rozwinieciu potencjału: ∼ sin2 wystepuja co prawda człony stopnia drugiego

i czwartego, ale brak jest członów stopnia trzeciego. Ze wzgledu na fluktuacje

potencjału sieci doswiadczalnej, precyzja w dopasowaniu potencjału teoretycz-

nego nie jest celowa. W tym rozdziale postaram sie jedynie zrobic oszacowanie


wyników eksperymentalnych opierajac sie na najlepszym z mozliwych przy-

blizen trójwymiarowej sieci optycznej przez potencjał separowalny. Przyjełam

nastepujaca forme potencjału:

V (x, y, z) = V0[sin2(kxx) + sin2(kyy)

]+ Vz sin2(kzz), (4.42)

gdzie V0 = 25 i kz = 1. Pozostałe parametry kx, ky oraz Vz wybrałam tak, aby

odpowiadały czestosciom eksperymentalnym, tj. ωx = 2kx

√V0, ωy = 2ky

√V0,

ωz = 2√Vz.

Zakres pola magnetycznego w [16] wyznacza ogranicznie dla czestosci Larmora

~ωL = gsµBB < 2π× 200 kHz, a przez to wiec ograniczenie na ilosc wzbudzonych

stanów orbitalnych, osiagalnych poprzez oddziaływania dipolowe. Stany dwu-

czastkowe ponumerowano iloscia wzbudzen kwantowych (Nx, Ny, Nz). Reguły

wyboru tych stanów wynikały z hamiltonianu dipolowego. Gdy pole magne-

tyczne jest skierowane wzdłuz osi z, obowiazuje zasada:

• ∆M = −1, wtedy Nx i Nz sa nieparzyste, Ny - parzyste lub Ny i Nz sa

nieparzyste, Nx - parzyste.

• ∆M = −2, wtedy Nx +Ny jest parzyste, Nz - parzyste

Jesli energia tych stanów spełnia zaleznosc

Efin = (Nxωx +Nyωy +Nzωz) ER < ~ (2π × 400) kHz, (4.43)

to stany te moga byc obsadzane poprzez oddziaływania dipolowe (granica ener-

gii wynika z maksymalnej wartosci pola magnetycznego z eksperymentu). Sto-

sujac sie do (4.43) oraz reguł wyboru, mozna wyróznic odpowiednie stany re-

zonansowo sprzezone ze stanem podstawowym. Istnieje wiec dziesiec stanów,

gdy pole magnetyczne jest skierowane wzdłuz osi x, oraz osiem stanów, gdy

orientacja pola jest w kierunku osi y. Szczegółowy opis stanów koncowych

mozna znalezc w [16].

W pułapce harmonicznej stan koncowy osiagany w wyniku przejscia dipolo-

wego jest bardzo wyjatkowy – jest to jedyny stan rezonansowy. W takim ukła-

dzie wzudza sie tylko współrzedna wzgledna i nie ma wzbudzenia srodka masy.

Inaczej wyglada sytuacja w rzeczywistym potencjale anharmonicznym. Liczby

kwantowe (Nx, Ny, Nz) definiuja jedynie „powłoke energetyczna” (wyznaczona

przez zasade zachowania energii), do której musi nalezec stan koncowy dwóch

atomów. Kazde wzbudzenie Ni musi byc rozłozone miedzy dwa atomy, tj.


Ni = ni +n′i, gdzie ni i n′

i to kwanty wzbudzen pojedynczego atomu, (i = x, y, z).

Jak juz wspomniałam, na danej powłoce energetycznej istnieje wiele stanów

dwuczatkowych (zsymetryzowane stany bozonowe) sprzezonych ze stanem po-

czatkowym poprzez dipolowe oddziaływania. By znalezc połozenie jak i siłe

sprzezenia w stanach rezonansowych, zdiagonalizowałam całkowity hamilto-

nian w bazie stanów dwuczastkowych. Baza obejmowała zarówno stan po-

czatkowy jak i stany z róznych pasm, których energie spełniaja nierównosc

(4.43). Wszystkie oddziaływania kontaktowe wewnatrzpasmowe jak i miedzy

pasmami zostały uwzglednione. Jest to dosc istotne, ze miedzypasmowe od-

działywania nie moga byc pominiete. Zauwazmy, ze najmniejsze odległosci

miedzy pasmami sa rzedu 2π × 55 kHz. Nie sa one az tak duze w porównaniu z

czestosciami charakterystycznymi dla oddziaływan kontaktowych ∼ 2π×10 kHz.

Stan podstawowy nalezy do przestrzeni spinowej |3〉|3〉, zas stany wzbudzone

do przestrzeni spinowej |2〉|2〉 oraz (dzieki zaleznym od spinu oddziaływaniom

kontaktowym) do przestrzeni spinowej |3〉|1〉.

Wykres energii własnej i dane eksperymentalne w funkcji pola magnetycz-

nego (wyrazanego przez czestosc Larmora) dla dwóch róznych orientacji tego

pola (w kierunku osi x lub y) przedstawia Rys.(4.13). Wykres energii wła-

snej pokazuje dipolowe rezonanse i ma kształt „poszarpanych pików” (czarne

linie). Punkty odpowiadajace wynikom eksperymentalnym skopiowano z ar-

tykułu [16] (Fig.2), a przedstawiaja one liczbe atomów w poczatkowym stanie

spinowym mS = 3. W miejscu rezonansu liczba atomów powinna byc mała, tj.

minima w krzywej eksperymentalnej powinny odpowiadac maksimom energii

własnej. Do porównania wyników dodatkowo wykresliłam jeszcze rachunki w

przyblizeniu harmonicznym bez oddziaływan kontaktowych (przerywana, czer-

wona linia).

Teoretyczne przewidywania pokazuja znacznie wezsze struktury rezonansowe

niz te obserwowane w rzeczywistosci. Doswiadczalne przyczyny tych poszerzen

omówiono w artykule [16]. Tłumaczono, ze a) im wyzsze pasma sieci, tym ich

szerokosc ulega zwiekszeniu z powodu wiekszych tunelowan, b) duze fluktu-

acje głebokosci sieci jak i fluktuacje pola magnetycznego powoduja poszerzenie

rezonansów o co najmniej 10 kHz. Odkrycie tak subtelnej, waskiej struktury

(czyli maksimów energii własnej) jest prawdopodobnie poza zasiegiem dzisiej-

szych eksperymentów, gdyz wymaga niewiarygodnej precyzji w kontrolowaniu

pola magnetycznego.


Warto zwrócic uwage na bogactwo rezonansów w oszacowanej przeze mnie

strukturze energetycznej. Jest ona konsekwencja anharmonicznosci i ani-

zotropowosci. Degeneracje kazdej powłoki energetycznej zostaje zniesiona, a

wczesniej zdegenerowane stany teraz sa „dostrzezone” za sprawa oddziały-

wan dipolowych. Anharmonicznosc oraz oddziaływania kontaktowe przesu-

waja pozycje rezonansów w kierunku mniejszych wartosci pól. W przypadku

stanów wzbudzonych z wyzszych pasm zmiana ich energii moze byc wieksza

niz 2π × 10 kHz.

Uwzglednienie anharmonicznosci i anizotropii nie zmienia natomiast szeroko-

sci rezonansów. Ich efekt objawia sie głównie w rozdzieleniu kazdego piku

harmonicznego na szereg mniejszych. Szerokosc kazdego takiego subtelnego

piku jest co prawda nieco mniejsza niz szerokosc piku w przyblizeniu harmo-

nicznym, ale jest wciaz rzedu ∼ 10 µG. Z tego powodu jest niemozliwym, by

eksperymentalnie zaobserwowac taka subtelna strukture. Jesli chodzi o sze-

rokosc pojedynczej struktury, powstałej w wyniku anizotropii i anharmonicz-

nosci oczka, to jest ona rzedu 10 mG. Odpowiada ona szerokosci eksperymen-

talnie zaobserwowanych niskich rezonansów. Na tej podstawie wnioskuje, ze

moje obliczenia zgadzaja sie z eksperymentem. Na lepsza analize nie pozwala

mała dokładnosc wyników eksperymentalnych.

O typowym charakterze rezonansowym mozna by mówic tylko dla małych cze-

stosci Larmora. Obierajac wartosci: ωx/2π = 160 kHz, ωy/2π = 60 kHz,

ωz/2π = 110 kHz, odtworzyłam w miare dokładnie pozycje trzech pierwszych

minimów, gdy pole magnetyczne miało kierunek osi x. Podobna zgodnosc uzy-

skałam dla orientacji pola wzdłuz osi y. W obszarze duzych ωL rezonanse

wystepuja gesto i blisko siebie. Pamietajac, ze w rzeczywistych układach re-

zonanse sa szersze (z powodu tunelowania do sasiednich oczek), jasnym jest,

ze przy wyzszych energiach charakter rezonansowy w formie osobnych pików

przestaje obowiazywac. Potwierdzaja to niejako wyniki eksperymentalne w ob-

szarze duzych ωL.

Wybrane przeze mnie wartosci czestosci harmonicznych znalazły sie w grani-

cach błedu czestosci eksperymentalnych. Niemniej sa one inne od tych z pracy

[16]. Tak naprawde nawet mała niepewnosc parametrów doswiadczalnych po-

zwala na ’dobre’ dopasowanie zarówno teorii harmonicznej (bez oddziaływan)

jak i tej, która bierze pod uwage anharmonicznosc jak i anizotropie oczka sieci

optycznej. Jednak szerokosc rezonansów, która wynika takze ze złozonosci

struktury rezonansowej, zdecydowanie nie moze byc odtworzona, jesli zastoso-

wac przyblizenie harmoniczne.


4.2.5.1 Porównanie z eksperymentem II

W tym samym artykule [16] zaprezentowano takze dane eksperymentalne do-

tyczace rezonansowej dynamiki spinu w układzie ze srednio dwoma i srednio

trzema atomami na oczko. Zbadano tylko wzbudzenie (Nx, Ny, Nz) = (0, 2, 0),

poniewaz rozwazano waski zakres pól magnetycznych. Zmieniono ponadto

jedna czestosc: ωy/2π = 45 kHz. Dwie pozostałe czestosci pozostały takie same

jak w eksperymencie I. W artykule [16] znalazły tez miejsce teoretyczne osza-

cowania, jednak podwazam ich poprawnosc.

Postanowiłam odniesc sie do wyników [16] wyliczajac energie własna i konfron-

tujac je z danymi doswiadczalnymi. Czestosci w kierunku x i z przyjełam jak

w poprzednim podrozdziale: ωx/2π = 160kHz, ωz/2π = 110kHz, zas w kierunku

y – ωy/2π = 45kHz. Baze stanów dwuczastkowych tworzyły: stan poczatkowy

z przestrzeni spinowej |3〉|3〉 oraz orbitalne stany wzbudzone postaci sdyy i

pypy z przestrzeni |2〉|2〉 i |3〉|1〉. W stanach koncowych Ny = 2, wobec czegony = 0, ny′ = 2

ny = 1, ny′ = 1. Jak widac baza jest ograniczona do konkretnego pasma.

Tym razem nie uwzgledniałam miedzypasmowych oddziaływan kontaktowych.

0

1

2

3

4

5

6

7

36 38 40 42 44 46

0.2

0.4

0.6

0.8

Energ

ia w

lasna [

10

-3 E

r]

m=

3 p

op

ula

tion

Magnetic field [ kHz ]

RYSUNEK 4.14: Górny wykres: Czerwone punktu i linie je łaczace dotyczasytuacji ze srednio dwoma atomami na oczko. Oszacowania teoretyczne wpostaci self energy jest pokazana u dołu wykresu w postaci czerwonych pików.Dolny wykres: Niebieskie punktu i linie to je łaczace odpowiadaja sytuacji, gdyw układzie sa srednio trzy atomy na oczko. Orientacja pola magnetycznego w

obydwu przypadkach była ustawiona w kierunku osi y.


Wymienione stany sa jedynymi, których energia miesci sie w zakresie wartosci

pól magnetycznych. Co wiecej jako jedyne w tym zakresie energii, sprzegaja

sie ze stanem poczatkowym dipolowym oddziaływaniem w pierwszym rzedzie

procesu. W przyblizeniu harmonicznym energie stanów jednoczastkowych sdyy

i pypy sa równe. W sieci optycznej, w której wpływ anizotropii i anharmoniczno-

sci jest widoczny, struktura energetyczna i rezonansowa wyraznie sie zmienia.

Co wiecej, wkład wnosza tez zalezne od spinu oddziaływania kontaktowe, które

efektywnie sprzegaja przestrzenie: |2〉|2〉 i |3〉|1〉. To dodatkowo modyfikuje te

strukture. Nie istnieje bezposredni transfer dipolowy atomów ze stanu spi-

nowego |3〉|3〉 do |3〉|1〉, ale dzieki oddziaływaniom kontaktowym zaleznym od

spinu takowe niewielkie sprzezenie sie pojawia. Widac to na Rys.(4.14) w po-

staci czterech czerwonych pików energii własnej. Dwa rezonanse sa wyraznie

mocne, dwa pozostałe (z powodu niewielkiego wkładu od oddziaływan dipolo-

wych) sa mało wyrazne. Minima powstałe po połaczeniu linia danych ekspery-

mentalnych bardzo dobrze odpowiadaja pozycjom pików energii własnej.

0

1

2

3

36 38 40 42 44 46

0.2

0.4

0.5

0.6

0.8

En

erg

ia w

lasn

a [

10

-3 E

r]

m=

3 p

op

ula

tion


0

2

4

6

36 38 40 42 44

0.2

0.4

0.6

0.8

En

erg

ia w

lasn

a [

10

-3 E

r]

m=

3 p

op

ula

tion


RYSUNEK 4.15: Dane teoretyczne i dosciadczalne umieszczono na jednymwykresie. Czerwone linie dotycza wariantu ze srednio dwoma atomami na

oczko, zas niebieskie, gdy w układzie sa srednio 3 atomy.

W układzie ze srednio trzema atomami na oczko (dolna czesc Rys.(4.15)) baza

istotnych stanów była nieco wieksza. Oczywiscie stan podstawowy to zsyme-

tryzowany stan z trzema atomami w orbialu s w przestrzeni spinowej mS = 3.

Oddziaływania dipolowe pozwalaja, by dwa atomy zmieniły stan spinowy |3〉|3〉 → |2〉|2〉i tylko w taki sposób, by całkowity moment pedu w układzie był zachowany.

Trzeci atom pozostaje w stanie mS = 3. W kolejnym rzedzie, gdy atomy sa w

stanie spinowym |2〉|2〉, dominujaca role w procesie ewolucji przejmuja oddzia-

ływania kontaktowe.

Ilosc istotnych stanow dwuczastkowych została ograniczona do szesciu. Gdyby


nie wykorzystywac specyfiki oddziaływan dipolowych oraz zasady zachowania

energii przy konstrukcji bazy stanów, wówczas hamiltonian układu miałby wy-

miar 165× 165.

Poprawnosc wyników z diagonalizacji pełnego hamiltonianu w bazie stanów

istotnych i bazie wszystkich stanów, potwierdził słusznosc wyboru stanów.

Oczywiscie w kazdej realizacji (srednio 2 atomy w oczku i srednio 3 atomy w

oczku) nalezy miec na uwadze poszerzenia, jakie wystepuja w wyniku tunelo-

wan.

Rozdział 5

Dwuskładnikowy model BH

W tym rozdziale rozwaze nowa klase dwuskładnikowego modelu Bosego-Hubbarda

BH w nieskonczonej, dwuwymiarowej sieci optycznej. W rezonansowym polu

magnetycznym Brez dwa stany zeemanowskie: stan podstawowy o rzucie spinu

mS = 3 i stan wzbudzony z niezerowym orbitalnym momentem pedu z prze-

strzeni spinowej mS = 2, maja równe energie. Rozwazany model BH jest zu-

pełnie nowatorski, uwzglednia bowiem oddziaływania dipolowe. To sprawia,

ze pojawia sie w nim dodatkowy stopien swobody - dwa sprzezone składniki

spinowe. Dzieki temu mozna go uogólnic takze na inne stany spinowe.

Do swoich rachunków uzyłam metody pola sredniego i znalazłam stabilne fazy

w przestrzeni o zadanej liczbie czastek na oczko. Otrzymałam diagram fazowy

stanu podstawowego, rózniacy sie od diagramu znanego z przejscia fazowego

izolator Motta MI – faza nadciekła SF [39].

Jednym z załozen prezentowanego modelu jest osiowy charakter oczka sieci.

Jak wynika z poprzedniego rozdziału anharmonicznosc i anizotropia sa istot-

nymi elementami przy uwzglednianiu wzbudzonych stanów Wanniera. Choc

nie nalezy o tym zapominac, to w tym rozdziale pomine anharmonicznosc, bo-

wiem istota problemu jest dwuskładnikowy układ. Dzieki tym załozeniom bede

rozwazała rezonansowe sprzezenie do stanu Px + i Py.

W poczatkowych podrozdziałach przedstawie jednoskładnikowy model Bosego-

Hubbarda oraz krótko go scharakteryzuje. Opisze takze jedna ze standardo-

wych technik (metode pola sredniego), która słuzy do wyznaczania przejscia

fazowego oraz zaprezentuje diagram fazowy otrzymany przy uzyciu tej metody.

Dalsza czesc rozdziału 5. to prezentacja wyników dotyczacych dwuskładniko-

wego modelu BH z oddziaływaniem dipolowym.

71

Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH 72

5.1 Jednoskładnikowy model Bosego-Hubbarda BH od-

działujacych bozonów w sieci

Podstawowym modelem oddziałujacych atomów w sieci optycznej jest jedno-

składnikowy model Bosego-Hubbarda:

H =

∫d3r Ψ†(~r)

(− ~

2

2M∇2 + Vtrap(~r)

)Ψ(~r) +

+1

2

4π~2

MaS

∫d3r1 d

3r2 Ψ†(~r1) Ψ†(~r2)δ(~r1 − ~r2) Ψ(~r1) Ψ(~r2) (5.1)

W porównaniu z hamiltonianem (2.2), który stanowi punkt wyjscia tej roz-

prawy, hamiltonian (5.1) nie zawiera członu dipolowego.

Ponadto operator pola (2.4) w jednoskładnikowym układzie redukuje sie do

postaci:

Ψ(~r) =∑

i,α

ai,αwα(~r − ~ri), (5.2)

gdzie α numeruje pasma, indeks i numeruje oczka na sieci, operator ai,α ani-

hiluje czastke w stanie opisywanym zlokalizowana funkcja Wanniera wα(~r−~ri).

Dodatkowo operator ai spełnia bozonowe relacje komutacji, tj. [ai, a†j ] = δi,j.

Jesli dynamika obejmuje wyłacznie niskolezace stany energetyczne, a koszt

wzbudzenia do drugiego pasma w oczku jest duzy, wówczas mozna rozwazac

wyłacznie funkcje Wanniera z pasma najnizszego. Ograniczajac sie wiec do

przypadku α = 0 i podstawiajac operator pola (5.2) do (5.1), otrzymujemy

nowa forme jednoskładnikowego hamiltonianu BH (zapisanego w formalizmie

drugiej kwantyzacji):

H = −∑

i6=j

Jij a†i aj +

∑

i

ǫi a†i ai +

1

2

∑

i

Ui,j,k,l a†i a

†j akal, (5.3)

przy czym wielkosci pod suma sa liczone odpowiednio:

Jij =

∫d3r w∗(~r − ~ri)

[− ~

2

2m∇2 + V (~r)

]w(~r − ~rj),

Uijkl =

∫d3r w∗(~r − ~ri)w

∗(~r − ~rj) w(~r − ~rk)w∗(~r − ~rl),

ǫi =

∫d3r w∗(~r − ~ri)

[− ~

2

2m∇2 + V (~r)

]w(~r − ~ri). (5.4)

Funkcje Wanniera sa funkcjami zlokalizowanymi w oczku. W odpowiednio głe-

bokich sieciach optycznych, w wyrazeniu na oddziaływanie dominujacy wkład


wnosi jedynie człon U = Uiiii. W przypadku człou Jij najwazniejsze jest tu-

nelowanie do najblizszych sasiadów J = Jij. ǫi jest energia jednoczastkowa.

Majac na uwadze powyzsze załozenia oraz ǫi = 0, hamiltonian BH przybiera

najprostsza z mozliwych postaci:

H = −J∑

<i,j>

a†i aj +

U

2

∑

i

a†i a

†j akal (5.5)

Pierwszy człon opisuje tunelowanie J atomów miedzy parami < i, j >, gdzie i

oraz j sa najblizszymi sasiadami. Operator a†i (ai) kreuje (anihiluje) czastke w

oczku i. Drugi człon w [5.5] opisuje siłe oddziaływania kontaktowego U miedzy

dwoma atomami znajdujacymi sie w i-tym oczku. Taki prosty model układu z

ultrazimnymi atomami posiada dwa rodzaje stanu podstawowego.

5.1.1 Stan podstawowy BH w fazie nadciekłej SF

RYSUNEK 5.1: W fazie Sf stanem podstawowym układu jest falowe pole ma-terii. Po wypuszczeniu kondensatu z periodycznego potencjału, powstaje wzórinterferencyjny bedacy efektem koherencji faz funkcji falowych w oczkach.Oznacza to, ze makroskopowa funkcja falowa ma dobrze okreslona faze.

Liczba atomów w oczku w fazie SF fluktuuje, [40].

Jesli oddziaływania w układzie sa słabe U/J ≪ 1 i tunelowanie dominuje nad

energia oddziaływania, wówczas układ przypomina pole falowe materii. Atomy

moga rozprzestrzeniac w dowolnym kierunku. Układ jest wtedy w stanie nad-

ciekłym i mozna go opisac parametrem porzadku ψ o okreslonej fazie. Funkcja

falowa kazdej czastki jest zdelokalizowana na sieci i dlatego liczba czastek w

oczku fluktuuje. Nagłe wyłaczenie potencjału pułapkujacego atomy, pozwala

uzyskac wzór interferencyjny Rys.(5.1), co swiadczy o spójnosci pola materii w

fazie nadciekłej.

Stan podstawowy z N bozonami w M oczkach sieci mozna zapisac:

|ΨSF 〉U≈0 ∝( M∑

i=1

a†i

)N

|0〉, (5.6)


Jedna z charakterystycznych cech stanu w fazie nadciekłej moze byc niezni-

kajaca wartosc oczekiwana operatora pola w tym stanie. Okazuje sie, ze w

kazdym i-tym oczku sieci stan układu mozna w sposób przyblizony opisac sta-

nem koherentnym |φi〉. Srednia wartosc ai w tym stanie, to ψi = 〈φi|ai|φi〉 –parametr porzadku w i-tym oczku. Oznacza to, ze stan |φi〉 w oczku jest pewna

superpozycja stanów Focka z rózna liczba czastek, |φi〉 =∑∞

n=0Cn|n〉. W prak-

tyce tylko kilka amplitud Cn jest róznych od zera.

RYSUNEK 5.2: a) Rozkład atomów w fazie SF podlega statystyce Poissona.Stan własny kazdego oczka jest stanem koherentnym - superpozycja stanówFocka o róznej liczbie atomów. b) W kazdym oczku istnieje przypadkowa liczba

atomów, [40].

5.1.2 Stan podstawowy BH w fazie izolatora Motta MI

RYSUNEK 5.3: a) Statystyka atomów w fazie MI dla srednio n = 1 i n = 2atomów. Stanem własnym kazdego oczka to stan Focka. b) W kazdym oczku

jest zdefiniowana ilosc atomów, [40].

Jesli w hamiltonianie dominuja oddziaływania (U/J ≫ 1), to układ jest w fazie

izolatora Motta. Atomy lokalizuja sie wówczas w konkretnych oczkach, defi-

niujac tym samym srednia liczbe atomów na oczko Rys.(5.3).

Opis takiego układu jest daleki od opisu makroskopowego pola materii, totez

brak jest jakiegokolwiek wzoru interferencyjnego po wypuszczeniu atomów z


RYSUNEK 5.4: W fazie MI kazde oczko jest wypełnione ustalona liczba ato-mów. Wzgledna faza funkcji falowej w róznych oczkach jest jednak nieokre-slona. Brak jest jakiegokolwiek wzoru interferencyjnego, gdy gaz atmów zo-

stanie uwolniony z pułapki, [40].

pułapki Rys.(5.4). Jest to konsekwencja braku ustalonej fazy miedzy oczkami.

Wielociałowy stan podstawowy w fazie izolatora Motta jest iloczynem stanów

Focka o okreslonej liczbie atomów n w oczku:

|ΨMI(n)〉J≈0 ∝M∏

i=1

(a†

i

)n

|0〉 (5.7)

Taki stan moze byc zrealizowany, gdy liczba atomów w oczku sieci jest liczba

całkowita.

5.2 Przejscie fazowe

Bardzo interesujace jest przejscie od układu silnie do słabo oddziałujacego. W

modelu BH obserwowane jest przejscie miedzy faza MI a SF . By charakte-

ryzowac i odróznic kazda z faz, nalezy przyjrzec sie okreslonym obserwablom,

m.in. sredniej liczbie czatek oraz wielkosci fluktuacji. Faze MI definiuje okre-

slona liczba atomów na oczko. Czastki nie tuneluja. Odwrotnie jest w fazie

SF . Tu czastki moga rozprzestrzeniac sie na całej sieci w dowolnym kierunku,

ustalajac wzajemna faze. Jednak liczba czastek w oczku nie jest dobrze okre-

slona.

Układ doznaje przejscia fazowego przy pewnej krytycznej wartosci parametrów

U/J. Przejscie od fazy izolatora do nadciekłej (MI − SF ) w modelu BH jest wy-

nikiem wyłacznie fluktuacji kwantowych. Oznacza to, ze takie zjawisko bedzie

zachodzic takze w temperaturze T = 0, gdy brak jest wzbudzen termicznych.

Jedna z metod, która słuzy do wyznaczenia granicy miedzy faza MI a faza

nadciekła SF jest metoda pola sredniego w układzie nieskonczonym, autorstwa

Fisher’a [41].


5.2.1 Metoda Fisher’a w układzie nieskonczonym

Dokładna analiza układów nieskonczonych jest niemozliwa, dlatego rozwiazan

szuka sie zazwyczaj w oparciu o istotne przyblizenia. Jedna z cech metody

Fisher’a jest to, ze cały opis układu jest zredukowany wyłacznie do jednego

oczka sieci optycznej. W takim podejsciu zakłada sie, ze w kazdym oczku sieci

optycznej maja miejsce identyczne procesy fizyczne.

Metoda Fisher’a (inaczej zwana metoda pola sredniego) pozwala wyznaczyc gra-

nice miedzy faza izolatora Motta MI a faza nadciekła SF w układzie nieskon-

czonym. Do tego celu nalezy wprowadzic parametr porzadku, tzw. pole srednie

o nastepujacych własnosciach: w fazie nadciekłej wartosc parametru porzadku

jest niezerowa, zas w fazie izolatora Motta ów parametr jest równy zero. Gra-

nice miedzy obiema fazami definiuje sie jako miejsce na diagramie fazowym, w

którym parametr porzadku dazy do zera, gdy T → 0. Postaram sie to wyjasnic

dokładniej w kilku krokach.

Głównym przyblizeniem w metodzie Fisher’a jest zastapienie operatora anihi-

lacji (kreacji) przez jego srednia wartosc 〈ai〉 = φi plus mała poprawka δai:

ai = φi + δai, a†i = φ∗

i + δa†i . (5.8)

Robiac powyzsze podstawienie w pierwszym członie w (5.5), przy ograniczeniu

do wyrazów liniowych w φi, hamiltonian pola sredniego przyjmuje postac:

HP Ś = H0 +H1

H0 =∑

i

(U

2ni(ni − 1)− µni

)

H1 = − J∑

i

(φ

∗i ai + φia

†i

)(5.9)

gdzie φi =∑

<j>iφj to suma parametrów porzadku sasiadujacych z oczkiem

i-tym. W tym podejsciu zakłada sie, ze parametr porzadku jest mały, dlatego

w (5.9) ograniczyłam sie do wyrazów liniowych w φi.

Przyblizenie pola sredniego czyni hamiltonian HP Ś lokalnym (HP Ś =∑

iHP Śi ).

Obliczenia redukuja sie do podprzestrzeni jednego oczka. W wyniku tego przy-

blizenia nie jest zachowana liczba atomów w oczku. To wymusza pojawienie sie

w hamiltonianie niezaburzonym H0, potencjału chemicznego µ. Wprowadzajac

µ przechodzimy do formalizmu wielkiego zespołu kanonicznego, w którym za-

kłada sie, ze istnieje sprzezenie pojedynczego oczka z pewnym rezerwuarem

czastek, do którego i z którego czastki moga sie przedostawac. Wobec tego


paramterem kontrolujacym srednia liczbe czastek jest własnie potencjał che-

miczny µ – nietrywialna funkcja liczby atomów i temperatury.

Wyznaczenie wielkiej sumy statystycznej Z = Tr[e−β(H0+H1)] równiez wymaga

uzycia przyblizenia. H1 jest małym zaburzeniem wzgledem H0 (Jφ1 ≪ U).

Mozna wiec rozwinac wielka sume statystyczna w sposób nastepujacy:

Z ≃ Tr[e−βH0 ]−∫ β

0dτ Tr[e−(β−τ)H0 H1e

−τH0 ] + ϑ(φ2). (5.10)

W granicy β → ∞ (T → 0), jedyny wkład do Z pochodzi od stanu o najnizszej

energii Z = Tr[e−β(H0+H1)] ≃ eβE0.

Z kolei parametr porzadku jest dany jako:

φi =1

ZTr

[ai e

−βH

], (5.11)

co prowadzi do:

φi = − 1

Z

∫ ∞

0dτ Tr[aie

−(β−τ)H0 H1 e−τH0 ] =

= −eβE0∑

|Φ,i〉

∫ β

0dτ 〈Φ, i|aie

−(β−τ)H0 H1 e−τH0 |Φ, i〉 (5.12)

gdzie slad przebiega po wszystkich stanach własnych hamiltonianu H0,

H0|Φ, i〉 = E|Φ,i〉|Φ, i〉.

Ostatecznie, po wyliczeniu sladu i wycałkowaniu wyrazenia (5.12), otrzymu-

jemy:

φi = (n|Φ〉i + 1)

[eβ(E0−E|Φ+1,i〉)

E|Φ,i〉 − E|Φ+1,i〉+

eβ(E0−E|Φ,i〉)

E|Φ,i〉 − E|Φ+1,i〉

](5.13)

gdzie n|Φ,i〉i = 〈Φ, i|ni|Φ, i〉 oznacza srednia liczbe czastek w oczku i-tym, zas

E|Φ,i〉 = 〈Φ, i|H0|Φ, i〉 to energia stanu |Φ, i〉. Istotny wkład do sumy (5.12) wno-

sza tylko dwa stany, mianowicie sa to takie stany Focka, które róznia sie o ±1

atom od stanu Focka o energii E0. W rezultacie powstaje jednorodne równanie

na parametr porzadku:

φi = φi J

[ni + 1

U ni − µ− ni

U(ni − 1)− µ

]. (5.14)

Zakładajac, ze układ jest jednorodny, φi ≡ φ, i sumujac (5.14) po wszystkich

oczkach, dostajemy:

φ = φ zJ

[ni + 1

U ni − µ− ni

U(ni − 1)− µ

], (5.15)


co mozna inaczej zapisac jako:

(1− zJ

[ni + 1

U ni − µ− ni

U(ni − 1)− µ

])φ = 0, (5.16)

gdzie z jest liczba sasiadów i zalezy od geometrii sieci. Dla dwuwymiarowej,

kwadratowej sieci z = 4. Jednym z rozwiazan (5.16) jest φ = 0. Odpowiada to

fazie izolatora Motta MI. Niezerowe rozwiazanie jednorodnego równania (5.16)

na φ jest mozliwe, gdy(1 − zJ

[ ni+1U ni−µ −

ni

U(ni−1)−µ

])= 0. To równanie pozwala

wyznaczyc granice miedzy faza MI a SF . Granica jest dana przez zaleznosc

µ(J/U), dla której współczynnik w (5.16) znika.

Ponizszy podrozdział prezentuje wyniki przeprowadzone na podstawie wyzej

przedstawionej metody.

5.2.2 Diagram fazowy BH w wielkim zespole kanonicznym

Bazujac na najprostszym z mozliwych przypadków hamiltonianu BH (5.5) mozna

otrzymac diagram fazowy dla ustalonej sredniej liczby atomów w oczku ni

w przyblizeniu pola sredniego. Hamiltonian mozna sparametryzowac dwoma

wielkosciami J/U oraz µ/U .

W obszarze wysokich sieci (małych wartosci J/U ), układ jest w fazie Motta z

okreslona liczba atomów na oczko. Ta faza znajduje sie na Rys.(5.6) wewnatrz

małego obszaru, na którego wierzchołku znajduje sie punkt krytyczny (J/U)c.

W zaleznosci od geometrii układu i jego wymiaru połozenie punktu krytycznego

moze ulec zmianie.

RYSUNEK 5.5: Wartosci krytycznych punktów diagramu fazowego otrzyma-nych metoda pola sredniego dla róznych wymiarów D sieci ((J/U)mf ) orazinnymi metodami wedle kolejnosci: DMRG (D = 1), Monte Carlo (D = 2) i

Gutzwiller’a (D = 3) odpowiednio, [31].


RYSUNEK 5.6: Diagram fazowy ha-

miltonianu BH otrzymany metoda

pola sredniego. MI(n) oznacza

faze izolatora Motta o okreslonej

sredniej liczbie atomów na oczko.

Poziomice na wykresie sa numero-

wana liczba atomów w oczku, [31].

Na Rys.(5.6) widac cztery pierwsze

„loby” otrzymane metoda pola sred-

niego dla sieci nieskonczonej. Wy-

razne, grube, czarne linie wyznaczaja

granice miedzy faza MI - SF . Na ze-

wnatrz izolowanych obszarów wyste-

puje faza SF . Z kolei cienkie linie wy-

chodzace oraz linie okalajace te ob-

szary, odpowiadaja potencjałowi che-

micznemu µ/U dla ustalonej sredniej

wartosci atomów n.

Wyznaczenie dokładnej wartosci (J/U)c

było priorytetem wielu grup teore-

tycznych. W tabeli (5.5) zestawiono

krytyczne wartosci uzyskane metoda

pola sredniego (trzecia kolumna) z

wartosciami uzyskanymi za pomoca

innych metod numerycznych w za-

leznosci do wymiaru sieci (metoda

DMRG - w 1D, metoda Monte Carlo

- 2D, metoda Gitzwiller’a - 3D, [31]).


5.3 Dwuskładnikowy model BH z oddziaływaniem di-

polowym

Rozwaze dwuwymiarowa, kwadratowa siec optyczna, w której znajduja sie

atomy chromu. Potencjał ma postac: V0[sin2(2πx) + sin2(2πy)], zas jego para-

metry to: długosc swiatła lasera λ = 523 nm i wysokoscia bariery V0. Jednostka

energii jest energia odrzutu ER = ~2(2π)2/(2mλ2), za pomoca której wyraziłam

wszystkie pozostałe energie wystepujace w układzie. Odległosci przepisałam w

jednostkach długosci λ.

W kierunku osi z atomy sa zwiazane przez potencjał harmoniczny, mω2zz

2/2,

o czestosci ~ωz = 16 ER. W płaszczyznie xy stan atomów w oczku jest opisany

funkcjami Wanniera.

Kluczowym krokiem w mojej analizie jest ograniczenie podprzestrzeni stanów

bazowych. Moge to zrobic ze wzgledu na fakt, ze oddziaływania dipolowe, które

zostały uwzglednione w dwuskładnikowym model BH, sa selektywne. Ta cecha

wynika ze słabosci samych oddziaływan i oznacza, ze tylko dzieki wyborowi

odpowiedniej wartosci pola magnetycznego [14], oddziaływania dipolowe nie

sie zaniedbywalne. Mimo, ze istnieje wiele kanałów zderzen dipolowych, to

do kazdego z nich mozna dostroic sie indywidualnie. To pozwala analizowac

wzbudzenia atomów w podprzestrzeni scisle okreslonych stanów Wanniera.

Zakładam wiec, ze układ znajduje sie w jednorodnym polu magnetycznym

skierowanym w kierunki osi z o wartosc takiej, ze przesuniecie zeemanowskie

zrównuje energie: stanu podstawowego o rzucie spinu mS = 3 (s) i orbitalnym

momencie pedu l = 0 oraz stanu mS = 2 o przestrzennej zaleznosci Px + iPy

(l = 1). Wartosc pola zalezy od wysokosci sieci V0.

Stan o najnizszej energii ma posatc: ψa(x, y, z) ∼ W0(x)W0(y) exp(−z2ωz/2), z

kolei stan wzbudzony to: ψb(x, y, z) ∼ [W1(x)W0(y) + iW0(x)W1(y)] exp(−z2ωz/2)

(ψb(x, y, z) jest stanem z jednym kwantem orbitalnego momentu pedu). W0(x) i

W1(x) to podstawowy i pierwszy stan wzbudzony Wanniera w jednowymiarowej

sieci optycznej V0 sin2(2πx). Energie jednoczastkowe wymienionych wyzej sta-

nów oznaczono odpowiednio jako Ea i Eb. Stan ψb(x, y, z) jest analogiem stanu

∼ (x+ iy) exp[−(x2 + y2)/2− z2ωz/2], który jest stanem własnym potencjału har-

monicznego.

W poprzednim rozdziale pokazano, ze typowa róznica miedzy energiami sta-

nów: podstawowego i wzbudzonego Wanniera, jest zdecydowanie wieksza niz


energia dipolowa (najmniejsza skala energii w układzie, pomijajac tunelowa-

nie), Edip = 10−4 ER ≪ Eb − Ea ∼ ER. Obecnosc pola rezonansowego B0 pozwala

zredukowac róznice energii jednoczastkowych Ea − gµBB0 = Eb (gdzie µB jest

magnetonem Bohra, zas g = 2 czynnikiem Landego). Wówczas na skali czasu

~/Edip ≃ 10−2 s mozna oczekiwac bardzo efektywnego transferu spinu miedzy

dwoma komponentami. Charakterystyczna szerokosc rezonansu (jak poka-

zano w [42]) jest dosc mała, rzedu Edip ≈ gµBB, tj. B ≈ 100µG, co pozwala

słusznie załozyc, ze zadne dodatkowe stany nie beda uczestniczyc w procesie.

Jak juz mówiłam, badany układ jest rozpiety w przestrzeni dwóch stanów:

składnik a - atomy sa w stanie mS = 3, l = 0 (s) oraz składnik b - atomy sa

w stanie mS = 2, l = 1 (Px + i Py).

Stan Focka |na, nb〉 oznacza stan w pojedynczym oczku, gdzie na (nb) jest liczba

atomów w składniku a (b). Kazdy składnik a i b jest opisywany przez hamil-

tonian analogiczny do hamiltonianu (5.5). Elementem, który sprzega obydwa

składniki pozwalajac na przejscie miedzy stanami a i b, jest człon dipolowy.

Istnieje jeszcze oddziaływanie kontaktowe miedzy oboma składnikami, ale to

oddziaływanie nie moze zmienic obsadzenia zadnego ze stanów. Wobec tego

całkowity hamiltonian dwuskładnikowego modelu BH ma postac:

H =∑

i

[(Ea − gµBB) a†

iai + Eb b†ibi + Uab a

†ib

†iaibi

+Ua

2a†2

i ai2 +

Ub

2bi

†2bi2 +D(bi

†2ai2 + a†2

i bi2)

]

−∑

〈i,j〉

[Ja a

†iaj + Jb b

†ibj

]. (5.17)

Wszystkie parametry hamiltonianiu zaleza od wysokosci sieci V0 oraz od cze-

stosci ωz. Wyrazy Ua, Ub, Uab oznaczaja energie oddziaływania kontaktowego z

małym wkładem od energii dipolowej (identyczne człony wystepuja zarówo w

hamiltonianie kontaktowym jak i dipolowym). Wyraz D wyraza siłe sprzeze-

nia dipolowego dwóch składników, zas Ja i Jb to energie tunelowania. Ha-

miltonian (5.17) opisuje nowa, dotychczasowo niebadana klase modeli typu

Bosego-Hubbarda.

W hamiltonianie (5.17) znalazły sie tylko lokalne człony dipolowe, które wywo-

łuja dynamike spinu. Pominieto zas oddziaływania dipolowe miedzy oczkami.

Co prawda potencjał dipolowy jest długozasiegowy, to wciaz jest na tyle słaby,

ze jedynym efektywnym sprzezeniem oczek jest tunelowanie.

Tunelowanie Jb atomów we wzbudzonych stanach Wanniera rózni sie od tu-

nelowania Ja w stanach podstawowych Wanniera. Róznica jest nie tylko w


bezwzglednej amplitudzie, |Jb| ≫ |Ja|, ale i w znaku. Tunelowanie Jb posiada

wartosc ujemna, bowiem funkcja falowa ψb(x, y, z) jest antysymetryczna w x i

y. Z tego powodu fazy funkcji Wanniera w stanie wzbudzonym powinny zostac

wybrane zgodnie z uporzadkowaniem „antyferromagnetycznym”, tj. faza zmie-

nia znak od oczka do oczka sieci. W takim ustawieniu układ posiada mniejsza

energie niz gdyby fazy wzbudzonych funkcji Wanniera w kazdym oczku były

takie same.

5.4 Diagram fazowy układu

Przedstawione ponizej wyniki opisuja układ z mała liczba czastek. Rozwaze nie

wiecej niz jeden atom na oczko, który moze znajdowac sie w jednym z dwóch

stanów a lub b.

Obie energie stanów jednoczastkowych |1, 0〉 i |0, 1〉 sa równe. Pole magnetyczne

spełnia warunek rezonansu: Eb = Ea−gSµBB0. Energie Ea i Eb zaleza oczywi-

scie od wysokosci bariery V0, co powoduje, ze pole rezonansowe takze przejawia

zaleznosc B0 = B0(V0).

Jesli jest tylko jeden atom w oczku to oddziaływania dipolowe nie sa w stanie

sprzac dwóch rozwazanych stanów. Jesli jednak uwzglednic niezerowe tunelo-

wanie, wówczas wkład od oddziaływan dipolowych jest obserwowany w drugim

rzedzie rachunku zaburzen. Stan podstawowy i stan wzbudzony (z niezerowym

momentem pedu i innym rzucie spinu) sa wiec efektywnie sprzezone.

W tym rodziale chce wyznaczyc energetycznie stabilne fazy w układzie. Do tego

celu zastosuje standardowa metode pola sredniego z podrozdziału [5.2.1].

Hamiltonian (5.17) jest translacyjnie niezmienniczy. Wobec tego załozenie, ze w

kazdym oczku, w najnizszym stanie energetycznym zachodza identyczne pro-

cesy fizyczne, jest całkowicie poprawne.

Metoda Fishera wymaga wprowadzenia parametru porzadku, który jest sred-

nia z operatora anihilacji po zespole statystycznym w granic T → 0. Model,

który rozwazam, jest dwuskładnikowy. To oznacza, ze wystepuja tu dwa pa-

rametry porzadku: φ(a) = 〈ai〉 i φ(b) = 〈bi〉. Całkowity hamitonian zapisany


przy uzyciu wyzej wprowadzonych parametrów mozna wyrazic jako sume jed-

noczastkowych hamiltonianów H0 +HI

H0 = −µ(a†a+ b†b) +1

2Ua a

†a†aa+1

2Ub b

†b†bb

+Uab a†b†ab+D (b†b†aa+ a†a†bb), (5.18)

HI = −Ja φ∗(a)a− Jb φ

∗(b)b+ h.c. (5.19)

(ominełam człony kwadratowe w φa (φb) oraz indeksy numeryjace oczka).

Po tych przyblizeniach hamiltonian H0 + HI nie zawiera sprzezenia do sasied-

nich oczek. Cena jest niezachowanie liczby czastek. Hamiltonian H0 + HI

opisuje jedynie sprzezenie pojedynczego oczka z rezerwuarem czastek w sieci.

Parametr, który kontroluje przepływ czastek ’z’ i ’do’ oczka, jest poten-

cjał chemiczny µ. Przechodze wiec do opisu układu w formalizmie wielkiego

zespołu kanonicznego.

W ogólnosci parametr porzadku stanowi wazne zródło informacji o układzie -

pozwala okreslic, jaka jest faza w tym układzie. W fazie izolatora Motta, gdy

czastki nie tuneluja, parametr porzadku znika. Niezerowy jest tylko w fazie

SF , bowiem wtedy srednia liczba atomów na oczko fluktuuje. Na granicy faz

MI i SF parametr φa (φb) jest infinityzymalnie mały. Wobec tego stan Motta

traci stabilnosc, gdy parametr porzadku staje sie rózny od zera.

Z definicji, w granicy β → ∞, parametry porzadku (w najnizszym rzedzie ra-

chunku zaburzen wzgledem tunelowania) sa nastepujace:

〈a〉 = φ(a) = − limβ→∞

1

Z(β)

∫ ∞

0dτ Tr[aie

−(β−τ)H0 H1 e−τH0 ]

〈b〉 = φ(b) = − limβ→∞

1

Z(β)

∫ ∞

0dτ Tr[bie

−(β−τ)H0 H1 e−τH0 ], (5.20)

gdzie Z(β) jest wielka suma statystyczna (5.10).

Slad Tr[. . . ] nalezy wykonac po wszystkich stanach z liczba czastek zmienia-

jaca sie od zera do nieskonczonosci. W temperaturze T > 0 jest to bardzo

złozone zadanie, gdyz wymaga diagonalizacji hamiltonianu dla róznej liczby

czastek. W przypadku mojego rachunku z pomoca przychodzi fakt, ze intere-

suje mnie stan podstawowy układu, czyli β → ∞ (T → 0). W tej granicy wkład

do sladu wnosi wtedy tylko kilka stanów. W szczególnosci wkład do Z(β) po-

chodzi tylko od stanu podstawowego o energii E0, Z(β) = e−βE0.

Energia E0 jest funkcja potencjału chemicznego µ. W zaleznosci od wartosci

µ, stan podstawowy bedzie odpowiadał róznej liczbie czastek. I tak dla µ < 0


stanem o najmniejszej energii jest stan bez czastek. Dla 0 < µ < Ua stanem

podstawowym jest stan z jedna czastka w oczku. W miare wzrostu µ stan

podstawowy bedzie lezał w przestrzeni z coraz wieksza liczba czastek.

Pełen hamiltonian, oprócz energii jednoczastkowej, kontaktowej i dipolowej,

posiada jeszcze wkład od tunelowania. Tunelowanie, jesli odpowiednio duze,

moze prowadzic do destabilizacji fazy izolatora Motta i tym samym zmienic

charakter stanu podstawowego na stan nadciekły. Wyrazenie na nadciekły

parametr porzadku (5.20) zawiera wkład od tunelowania w najnizszym rzedzie

rachunku zaburzen. W granicy β → ∞ (5.20) opisuje procesy, gdy jedna

czastka wejdzie lub wyskoczy z oczka. Jesli w wyniku tych procesów energia

w układzie sie zwieksza, to stan podstawowy dla danego µ jest stabilny. W

przeciwnym razie układ przechodzi do stanu nadciekłego z niezerowa wartoscia

pola sredniego.

-0.2

0

0.2

0.4

0 22

42

62

82

102

122

µ/U

a

Ja/Ua (10-3

)

MS

Sb

S

M

z=4

-0.2

0

0.2

0.4

0 42

82

122

z=3

23

4

5

6

7

8

9

RYSUNEK 5.7: Diagram fazowy dla 2-wymiarowej sieci optycznej, z = 4. Wy-rózniono nastepujace fazy : M – izolator Motta jednoczastkowego stanu, tj.równej superpozycji komponentów a i b, MS – superfluid w składniku a i b(gdzie b-jest dominujacy) oraz izolator Motta w ortogonalnej superpozycji, S– faza superfluid obydwu komponentów a i b, Sb – superfluid w składnikub. Mniejszy rysunek przedstawia diagram fazowy dla z = 3. Dodatkowo nie-niesiono linie potencjału chemicznego µ(N) dla danej stałej liczby atomów -wyniki scisłej diagonalizacji. Kazdej z lini - w kolejnosci od dołu - odpowiadakonkretna wartosc całkowitego obsadzenia plakietki N = 2, . . . , 9. Gdy µ > Ub

(jasnoszary obszar) wyzej omówione fazy przestaja byc stabilne, gdyz stanempodstawowym układu jest stan dwuczastkowy. Oczywiscie stabilnosc faz wy-

stepuje tu w odniesieniu do tunelowania jednej czastki.

Moim głównym zamiarem było wyznaczenie diagramu fazowego dla µ < Ua,

czyli dla przypadku, gdy srednia liczba czastek na oczko jest ≤ 1. Dla wiekszej

wartosci µ nalezałoby rozwazac stany jedno-, dwu- i trzyczastkowe.


By wyznaczyc diagram fazowy Rys.(5.7), w tym celu zdiagonalizowałam hamil-

tonian H0 dla jednej i dwóch czastek w oczku. Wkłady od stanów z trzema i

wiecej czastkami znikaja w granicy T → 0. Za znikanie tych wyzszych wkła-

dów w głównej mierze jest odpowiedzialny wyraz 1/Z(β) = eβE0, wystepujacy w

równaniu (5.20).

Szczegółowe rachunki ostatecznie prowadza do jednorodnego i liniowego układu

równan na pola φ(a) i φ(b):

(1 + zJa A11(µ, V0) zJb A21(µ, V0)

zJa A12(µ, V0) 1 + zJb A22(µ, V0)

) (φa

φb

)= 0 (5.21)

gdzie pod symbolami Aij(µ, V0) kryja sie wyrazenia złozone z elementów ha-

miltonianu (5.17), które sa sparametryzowane jedna wielkoscia V0. Ponadto

zachodzi równosc elementów A12(µ, V0) = A21(µ, V0). Ze wzgledu na zbyt długa

forme tych wyrazen, umiesciłam je w Dodatku C. Obecnie głównym celem jest

ukazanie samej idei rachunku.

Powyzszy układ równan obowiazuje, o ile jest spełniona nierównosc: µ < Ub < Ua.

Dla ujemnych wartosci potencjału chemicznego µ < 0, stanem o najmniejszej

energii jest stan prózni |0, 0〉. Dodatkowo A12(µ, V0) = A21(µ, V0) = 0 , wiec układ

(5.21) przyjmuje prostsza postac:

(1 + zJa A11(µ, V0)

)φa = 0, (5.22)

(1 + zJb A22(µ, V0)

)φb = 0. (5.23)

Rózne od zera rozwiazania dostajemy, gdy:

(1 + zJa A11(µ, V0)

)= 0, wtedy φa 6= 0 (5.24)

lub (1 + zJb A22(µ, V0)

)= 0, wtedy φb 6= 0. (5.25)

Rozwiazujac (5.24) i (5.25) ze wzgledu na µ, dostaje dwie krzywe µa(V0)

oraz µb(V0). Definiuja one granice stabilnosci stanu Motta (w tym przypadku

stanu Motta bez czastek). Krzywa niebieska na Rys.(5.7) odpowiada µb(V0), zas

krzywa czerwona – µa(V0).

Czarny obszar na Rys.(5.7) zakonczony niebieska krzywa okresla granice sta-

bilnosci stanu podstawowego.

Pierwsze przejscie fazowe jest przejsciem do fazy nadciekłej Sb w składniku b.


Jest to zrozumiałe, gdyz |Jb| ≫ |Ja|. Obecnosc tunelowania zdecydowanie ob-

niza energie układu (gdy wysokosc bariery maleje – rosnie tunelowanie). To

oznacza, ze składnik b ma mniejsza energie niz składnik a. Stan podstawowy

staje sie wtedy stanem o srednim obsadzeniu oczka 0 < na + nb < 1.

W miare dalszego obnizania bariery (|Jb| i |Ja| rosna), faza Sb przestaje byc sta-

nem podstawowym. Po przekroczeniu lini µa(V0) (krzywa czerwona na Rys.(5.7)),

pojawia sie faza S. W tej fazie współistnieja dwie składowe nadciekłe, φa i φb,

w składniku a (standardowa faza nadciekła) i w składniku b - orbitalna super-

ciecz Px + i Py.

Przejde teraz do omówienia obszaru dla dodatnich wartosci potencjału che-

micznego, tj. 0 < µ < Ua. Otóz w tym zakresie wartosci µ pewnym problemem

jest fakt, ze w układzie z jedna czastka na oczko wystepuje degeneracja. Stany

|1, 0〉 i |0, 1〉 maja w rezonansie równa energie. Z pomoca przychodzi analiza

oparta o hamiltonian efektywny uwzgledniajacy wirtualne procesy tunelowania

’z’ i ’do’ oczka (drugi rzad rachunku zaburzen w tunelowaniu). Z tej analizy

wynika, ze w obszarze 0 < µ < Ua, stan podstawowy to: |g〉 = 1√2

(|1, 0〉 − |0, 1〉

).

Własnie ten stan uzyłam do wyznaczenia sladu w (5.20).

Układ równan na pola φ(a) i φ(b), gdy stanem podstawowym jest |g〉, ma postac

(5.21). Elementy pozadiagonalne A12(µ, V0) (A12(µ, V0) = A21(µ, V0)) w tym przy-

padku sa rózne od zera. To powoduje, ze macierz (5.21) jest niesymetryczna,

i dlatego formalnie posiada prawe i lewe wektory własne. Postanowiłam wiec

zmienic forme układu równan, tzn. macierz (5.21) zapisałam w taki sposób, by

uczynic ja symetryczna:

(1/(zJa) + A11(µ, V0) A21(µ, V0)

A21(µ, V0) 1/(zJb) + A22(µ, V0)

) (zJa φa

zJb φb

)= 0 (5.26)

Zdiagonalizowałam macierz (5.26). Wektory własne Ψ(a) i Ψ(a) to liniowe kom-

binacje „starych” parametrów porzadku φ(a) i φ(b). Znajomosci Ψ(a) i Ψ(a)

pozwoliła wprowadzic odpowiadajace tym wektorom własnym, bozonowe ope-

ratory: A† = (κa a† + κb b

†) i B† = (−κb a† + κa b

†), gdzie κ2a + κ2

b = 1. Te

operatory beda pomocne w interpretacji wyników. Jak widac A† i B† tworza

czastke w dwóch ortogonalnych superpozycjach stanów a i b.


W bazie wektorów własnych macierz (5.26) jest macierza diagonalna Mii(µ, V0),

czyli

M11(µ, V0) Ψa = 0,

M22(µ, V0) Ψb = 0.

(5.27)

Poszukiwałam niezerowych rozwiazan na Ψ(a) i Ψ(b). Rozwazyłam zatem dwa

niezalezne przypadki: Ψa 6= 0, gdy M11(µ, V0) = 0 oraz Ψb 6= 0, gdy

M22(µ, V0) = 0. Kazdy warunek M11(µ, V0) = 0 i M22(µ, V0) = 0 pozwolił

wyznaczyc jedna krzywa, odpowiednio µ1(V0) i µ2(V0). Równania w (5.27) sa

równaniami na µ. Rozwiazałam je numerycznie. Wyniki przedstawiłam na dia-

gramie fazowym Rys.(5.7) dla 0 < µ < Ua. Kolorem niebieskim oznaczyłam

rozwiazania µ2(V0), zas kolorem czerwonym rozwiazania µ1(V0).

Niebieska linia oznacza granice fazy izolatora Motta M . W tym obszarze ba-

dany stan podstawowy |g〉 jest stabilny i wówczas w kazdym pojedynczym

oczku atom jest w superpozycji stanu podstawowego i stanu Wanniera z mo-

mentem pedu. Granice fazy M wyznacza warunek M22(µ, V0) = 0.

Na samej granicy i na prawo od niej (w fazie MS), srednia operatora B ma

niezerowa wartosc. Drugie pole srednie ΨA, które jest opisane przez operator

A† ≃ a†, w omawianym obszarze MS jest równe zero. W obszarze MS istnieje

wiec niezerowy nadciekły parametr ΨB, ΨB = −κbφ(a) + κaφ(b). Wyniki nume-

ryczne pokazały, ze na krzywej µ2(V0) (granica stabilnosci fazy izolatora Motta

M): κa ≃ −0.99, zas stosunek amplitud wynosi (κb/κa)2 ≃ 0.02. Wobec tego

stan ΨB jest zdominowany przez składnik b - stan orbitalny Wanniera z nieze-

rowym momentem pedu (stad B† ≃ b†). Oczywiscie jest to pewne uproszczenie,

gdyz pole Ψb (Ψa) posiada mała domieszke drugiego składnika a (b).

Faza MS jst bardzo ciekawa. Stan podstawowy w tym obszarze jest superpo-

zycja dwóch stanów: izolatora Motta MI w składniku zdominowanym przez

czastki o mS = 3 w stanie podstawowym Wannier oraz stanu nadciekłego

zdominowanego przez czastki o mS = 2 w stanie wzbudzonym Wannier typu

Px + iPy.

Przy wiekszych wartosciach tunelowan ma miejsce drugie przejscie fazowe.

Wówczas stan MS traci swa stabilnosc. Oznacza to, ze na granicy µ1(V0)

(rozwiazanie równania M11(µ, Ja, Jb) = 0) pojawia sie niezerowe pole srednie

ΨA = κaφ(a) +κbφ(b), które istnieje takze na prawo od granicy µ1(V0), w obszarze

duzych tunelowan S. W przypadku pola ΨA wartosc współczynnika κa wynosi


κa ≃ 0.97, zas maksymalna wartosc stosunku (κb/κa)2 ≃ 0.06 jest na tyle mała,

ze składnik a stanowi czesc dominujaca pola ΨA.

W obszarze (S) egzystuja oba superfluidy ΨA i ΨB jednoczesnie.

Szary obszar na Rys.(5.7) odpowiada warunkowi µ > Ua. W tym obszarze

stanem podstawowym jest stan z dwiema czastkami na oczko. Akurat tego

stanu nie badałam w rozprawie. Jednak, co widac na diagramie, w tym obsza-

rze istnieje krzywa niebieska µ1(V0). Pokazuje ona, ze badany stan układu z

jedna czastka na oczko |g〉 = 1√2

(|1, 0〉 − |0, 1〉

)jest nadal stabilnym stanem

ze wzgledu na tunelowanie. Nie jest to jednak stan podstawowy.

Chciałabym zaznaczyc, ze powyzsze wyniki zostały potwierdzone równoległym

rachunkiem - metoda scisłej diagonalizacji. Choc rachunek ten nie był wyko-

nany przeze mnie, to omówie go skrótowo, by dac dowód na zbieznosci wyników

obu metod.

W skonczonym układzie (plakietka 2 × 4) z periodycznymi warunkami brzego-

wymi zbadano stabilnosc stanu podstawowego dla ustalonej liczby atomów w

układzie N = 1, ..., 9. Diagonalizuja hamiltonian wyznaczono stan podstawowy

układu. W rezonansie taki stan posiada równe obsadzenie składników a i b.

Mały diagram fazowy wewnatrz Rys.(5.7) został otrzymany metoda pola sred-

niego. Na nim nałozono wyniki uzyskane ze scislej diagonalizacji. Linie na

diagramie oznaczaja potencjał chemiczny dla stałej liczby czastek na oczko za-

leznie od wysokosci bariery (wszystkie parametry w hamiltonianie zaleza od

V0). Dzieki nałozonym liniom wyraznie widac, ze fazy M oraz MS sa osiagalne

w układzie z dokładnie jednym atomem na oczko (osiem atomów na plakietce).

Tylko ta linia wchodzi w obszar fazy izolatora Motta.

Obliczono takze parametry przeskoków atomów, tj. wartosci srednie operato-

rów ha =∑

<j>〈a†j ai〉 i hb =

∑<j>〈b†

j bi〉. Operatory przeskoków anihiluja

0

0.5

1

0 22

42

62

82

102

122

142

Hoppin

g (

arb

. u.)

Ja/Ua (10-3

)

RYSUNEK 5.8: Przeskoki w niskoenergetycznym stanie na plakietce 2×4 otrzy-mane ze scisłej diagonalizacji. Górna linia – składnik b, nizsza linia – skład-

nik a.


atom w oczku i-tym, kreujac go w oczku sasiednim. W tym sensie sa one

analogiem pól srednich φa i φb. Rys.(5.8) przedstawia przeskoki w układzie z

jednym atomem na oczko.

Gdy tunelowanie jest duze, duze sa takze parametry ha, hb. Przy wartosci

Ja/Ua ≃ 0.064 w układzie dochodzi do pierwszego przejscia fazowego. ha gwał-

townie spada do zera (w składniku a pojawia sie faza izolatora Motta), zas hb

nadal pozostaje niezmienione (faza nadciekła w składniku b). Drugie przej-

scie fazowe pojawia sie przy wartosci Ja/Ua ≃ 0.002. Wówczas wartosci obu

parametrów przeskoków sa małe, a układ wchodzi w obszar izolatora Motta z

jednym atomem na oczko.

Wyniki numeryczne ze scisłej diagonalizacji w pełni potwierdzaja wyniki, które

otrzymałam metoda pola sredniego.

5.5 Uwagi na temat dwuskładnikowego modelu BH

W rodziale 5. zaprezentowałam innowacyjna klase dwuskładnikowego modelu

BH, w którym dwa stany spinowe sa sprzezone dipolowym oddziaływaniem.

Innowacyjnosc takiego modelu mozna dostrzec w tym, ze dla jednej wartosci

µ istnieja dwa krytyczne wartosci tunelowania, przy których stan podstawowy

zmienia swa postac. Kwantowe przejscie fazowe w tym układzie jest wiec dwu-

stopniowe. W odróznieniu od standardowego, jednoskładnikowego diagramu

fazowego, w dwuskładnikowym modelu BH pojawia sie wieksza liczba mozli-

wych faz. Jedynym odstepstwem od rzeczywistosci w tym modelu jest załozenie

o osiowej symetrii oczka. Chce jednak wyraznie podkreslic, ze jakosciowe prze-

widywania modelu nadal pozostaja poprawne.

Potencjał osiowy powoduje, ze energie wzbudzen Px i Py sa równe. W takim

przypadku mogłam zbadac rezonans miedzy stanem podstawowym a stanem

orbitalnym Px + i Py. Inaczej by było w oczku anizotropowym. Jesli by roz-

wazyc układ, w którym najmniejsza czestosc jest w kierunku x, wówczas re-

zonansowe wzbudzenia dipolowe do Px i Py beda miały miejsce przy innych

wartosciach pola magnetycznego (jak to ma miejsce w eksperymencie analizo-

wanym w [4.2.5]). Mozna wówczas dostroic pole magnetyczne do jednego z

tych stanów Px albo Py. W dalszym jednak ciagu w kazdym rezonansie bedzie

realizowany dwuskładnikowy model BH z oddziaływaniem dipolowym. Zmie-

nia sie rzecz jasna wartosci parametrów w hamiltonianie oraz postac stanu

koncowego, ale bedzie to widoczne wyłacznie w połozeniu punktu krytycznego


na diagramie fazowym, w którym dochodzi do przejscia fazowego. Poza tym

aspektem - cały przedstawiony rachunek oraz struktura hamiltonianu pozo-

stanie niezmieniona. W tym sensie proponowany tu dwuskładnikowy model

Bosego - Hubbarda jest uniwersalny.

W bardzo wysokich barierach bardzo trudno o doswiadczalna realizacje tego

modelu. Po pierwsze nalezy spełnic warunek rezonansu. Wybór pola ma-

gnetycznego jest kluczowy i jedynie precyzja kontroli pola B moze zapewnic

pomyslny przebieg doswiadczenia. Szerokosc rezonansu ∆B dla wysokosci

V0 = 25 ER wynosi w przyblizeniu gSµB|∆B| ≈ 4.821 × 10−3 µGs. Dla nizszej ba-

riery V0 = 10 ER, obszar rezonansowy jest szerszy, tzn. gSµB|∆B| ≈ 4.821µGs.

Te szacowania pokazuja, ze im wyzsza jest wysokosc bariery, tym trudniej do-

stroic sie do rezonansu.

Rozdział 6

Podsumowanie

Tematyka tej rozprawy jest skondentrowana wokół spinowych stopni swobody

w sieci optycznej. Moim głównym zamierzeniem było zbadanie dynamiki spinu

w ultrazimnym gazie atomów chromu w potencjale optycznym.

Dynamike spinu moga inicjowac dwa rodzaje oddziaływan: zalezne od spinu

oddziaływania kontaktowe oraz długozasiegowe magnetyczne oddziaływania

dipolowe. Te pierwsze zachowuja magnetyzacje w układzie, zas te drugie rza-

dza sie zupełnie innymi prawami. Wnioski i wyniki moich badan zostały przed-

stawione w rozdziale czwartym i piatym.

W czesci pierwszej rozdziału 4. opisałam ewolucje N atomowego układu w ob-

rebie dwóch oczek sieci optycznej z uwzglednieniem tunelowania. W chwili po-

czatkowej jednakowa liczba atomów okupowała stan spinowy mS = 2 kazdego

oczka. Najwieksza energia w hamiltonianie stanowiły oddziaływania kontak-

towe, najmniejsza zas - długozasiegowe oddziaływania dipolowe. Dla stanu

spinowego mS = 2 przejscie do innych składowych magnetycznych mogło byc

wywołane zarówno przez oddziaływania kontaktowe jak i dipolowe. W ukła-

dzie ze srednio jednym atomem na oczko dynamike spinu inicjowały wyłacz-

nie nielokalne oddziaływania dipolowe. Sytuacja uległa diametralnej zmianie,

gdy liczba atomów na oczko była wieksza niz jeden. Rachunek pokazał, ze

w procesie dynamiki spinu role przywódcza przejmuja wtedy oddziaływania

kontaktowe zalezne od spinu. Liczba obsadzanych stanów magnetycznych za-

lezy wtedy od liczby atomów w układzie. W trakcie ewolucji układu z jednym

lub dwoma atomami na oczko maksymalnie były obsadzane 3 składniki ma-

gnetyczne. Dla duzej liczby atomów mozna oczekiwac obsadzenia wszytkich 7

składników spinowych.

Druga czesc rozdziału czwartego dotyczy rezonansowej dynamiki spinu dwóch

atomów chromu pod wpływem magnetycznych oddziaływan dipolowych. Układ

91

Rozdział 6. Podsumowanie 92

znajdował sie w niezerowym polu magnetycznym Brez. Przeanalizowałam dwa

typy wzbudzen dipolowych w pojedynczym oczku, i) gdy tylko jeden atom

zmienia stan spinowy (∆Mz = −1), ii) gdy oba atomy robia to równoczesnie

(∆Mz = −2). Poczatkowo dwa atomy znajdowały sie w stanie podstawowym po-

tencjału z magnetyzacja mS = 3. Proces dynamiki spinu został ograniczony do

podprzestrzeni maksymalnie trzech składników magnetycznych, tj. najpierw

w konfiguracji mS = 3, 2, a potem mS = 3, 2, 1. To ograniczenie wynikało

z postaci oddziaływan dipolowych i kontaktowych. Wszystkie procesy dipo-

lowe przebadałam dla trzech typów potencjałów: model idealnego oscylatora

harmonicznego, model anharmoniczny, rzeczywiste oczko sieci optycznej. W

kazdym przypadku pokazałam strukture energetyczna rezonansowo sprzezo-

nych stanów, jednoczastkowe gestosci stanów koncowych oraz energie własna

stanu poczatkowego. Takie podejscie do problemu pozwoliło zademonstrowac

jak anharmonicznosc i anizotropowosc modyfikuja dynamike spinu w oczku.

Swiadectem tego była rozbieznosc wyników miedzy powszechnie stosowanym

przyblizeniem harmonicznym a rzeczywista sytuacja, która wystepuje w sieci

optycznej.

W dipolowej pułapce optycznej o symetrii osiowej, w gazie ultrazimnych ato-

mów przewidziano realizacje eksperymentu EdH [13]. W sieci optycznej taki

scenariusz okazuje sie niemozliwy. Główna przeszkoda jest kształt pojedyn-

czego oczka, którego nawet w przypadku wysokich barier potencjalnych, nie

mozna traktowac jako osiowo-symetrycznego. Wszelkie spekulacje i próby za-

obserwowania wiru na sieci optycznej nie moga miec miejsca. Istnieja jednak

dobre strony takiego obrotu spraw. . . Mój rachunek pokazał, ze oddziały-

wania dipolowe sa bardzo dobrym sposobem próbkowania dwuciałowych sta-

nów wzbudzonych w zewnetrznym potencjale przy róznych wartosciach pola

magnetycznego. Oddziaływania te sa bardzo czułe, dlatego wychwytuja takie

niedoskonałosci jak anharmonicznosc czy brak osiowej symetrii pojedynczego

oczka. Bogactwo strukury rezonansowej to takze wynik samych oddziaływan

kontaktowych, które znosza degeneracja w stanach dwuczastkowych.

Rezonansowe oddziaływanie dipolowe mozna uznac za kolejne, pomocne na-

rzedzie kontroli wielociałowego układu. Na dodatek moze ono posłuzyc jako

precyzyjna metoda w wyznaczaniu nieznanych długosci rozpraszania atomów

uwikłanych w dynamike spinu, np. dla Dysprozu czy Erbu [43, 44].

Wyniki z rozdziału 4-tego sa tematycznie powiazane z aktualnie prowadzonymi

doswiadczeniami grupy francuskiej pod kierunkiem prof. Bruna Laburthe-

Tolra. Odniosłam sie do danych eksperymentalnych tej grupy [16, 35]. Moje

teoretyczne oszacowania jakosciowo zgadzaja sie z wynikami doswiadczalnymi,


ale ukazuja takze niedoskonałosci eksperymentu. Poprawny opis układu ul-

trazimnych atomów w sieci optycznej jest dosc złozony i bardzo subtelny. Tak

samo wyglada sprawa od strony eksperymentalnej, gdyz wymagana jest nieby-

wała precyzja w kontroli pola magnetycznego (∼ 100µG).

W Rozdziałe 5-tym zaproponowałam dwuskładnikowy model Bosego-Hubbarda.

Dwa składniki magnetyczne mS = 3 i mS = 2 były ze soba sprzegniete dipo-

lowym oddziaływaniem. Klasa modeli tego typu nie była do tej pory badana.

Skupiłam sie na analizie układu z co najwyzej jednym atomem na oczko. Po-

kazałam, ze w moim dwuskładnikowym modelu BH wystepuja dwa przejscia

fazowe oraz dodatkowo egzotyczne fazy. Dowodem na to jest diagram fazowy

układu. W magnetycznym polu rezonansowym przywidziałam trzy typy faz:

• izolator MottaM , gdzie atom jest superpozycji stanu podstawowego o ma-

gnetyzacji mS = 3 oraz stanu Wanniera z orbitalnym momentem pedu

∆Lz = 1 i magnetyzacji mS = 2,

• faze MS bedaca superpozycja fazy Motta w składniku a i fazy nadciekłej

Px + i Py w składniku b,

• faze S, w której faza nadciekła współistnieje w obydwu składnikach a i b.

Cały rachunek przeprowadziłam wzorujac sie na metodzie Fishera. Pragne

podkreslic, ze przedstawiony model jest niezwykle uniwersalny. Sprawdza sie

dla dowolnego układu dwupoziomowego, w którym dwa rezonansowe stany sa

sprzezone dipolowym oddziaływaniem. Mozna wiec go realizowac bez wzgledu

na charakter oczka sieci optycznej. Miejmy nadzieje, ze teoretyczne przewidy-

wania dotyczace dwuskładnikowego modelu Bosego-Hubbarda z oddziaływa-

niem dipolowym zostana zweryfikowane doswiadczalnie.

Jestem pierwszym autorem dwóch publikacji, na których opiera sie powyzsza

praca doktorska:

1. J. Pietraszewicz, T. Sowinski, M. Brewczyk, J. Zakrzewski, M. Lewenstein,

M. Gajda, Phys. Rev. A 85, 053638 (2012).

2. J. Pietraszewicz, T. Sowinski, M. Brewczyk, M. Lewenstein, M. Gajda,

Phys. Rev. A 88, 013608 (2013).

Oprócz tego jestem współautorem dwóch innych artykułów:


1. T. Swisłocki, T. Sowinski, J. Pietraszewicz, M. Brewczyk, M. Lewenstein,

J. Zakrzewski, M. Gajda, Phys. Rev. A 83, 063617 (2011).

2. T. Sowinski, M. Łacki, O. Dutta, J. Pietraszewicz, P. Sierant, M. Gajda, J.

Zakrzewski, M. Lewenstein, arXiv:1304.6299.

Wyniki kazdego zagadnienia wsparto rachunkiem numerycznym. Szczegółowe

rachunki analityczne dotyczace zagadnien w powyzszej rozprawie mozna zna-

lezc w Dodatkach.

Dodatek A

Dodatek A

A.1 Hamiltonian

H = H0 +HC +HD +HB,

gdzie H0 = − ~2

2m∇2 + V (~r) to hamiltonian jednoczastkowy, HC oznacza od-

działywanie kontaktowe, HD - oddziaływanie dipolowe, zas HB to hamiltonian

zwiazany z zewnetrznym polem magnetycznym.

W badanym modelu pole magnetyczne redukuje róznice energetyczna miedzy

wybranymi stanami dwuczastkowymi. Jako dodatek w hamiltonianie pozwala

na wybór dipolowego rezonansu.

Potencjał pułapkujacy V (~r) ma postac: V(x, y)+Ωz2. Rachunki sa prowadzone

w 3D przestrzeni, przy czym kierunek osi z ogranicza pułapka harmoniczna o

czestosc Ω.

Zaleznosc funkcji falowej od z opisuje stan podstawowy oscylatora. W ogólno-

sci postac jednoczastkowej funkcji falowej przyjmuje postac:

Φnx,ny ,nz (~r) = wnx(x)wny (y)fnz (√

Ω z), (A.1)

gdzie wnα(α) to jednowymiarowe funkcje Wanniera o szerokim spektrum wzbu-

dzen nα w kierunku α = x, y, zas nz to wzbudzenie w kierunku osi z.

W stanie poczatkowym atomy obsadzaja stan: Φ0,0,0(~r) = w0(x)w0(y)f0(√

Ω z).

95

DodatekA. 96

A.2 Wzbudzenie atomów w kanale z Mz = −1

Powołuje sie na rezonans, w którym jeden z dwóch atomów zmienia swój stan

kwantowy. Stan koncowy, który w ten sposób osaga, rózni sie od stanu po-

czatkowego rzutem całkowitego orbitalnego momentu pedu na os z (Lz = 1)

oraz rzutem spinu na os z (Mz = −1). Zasada zachowania momentu pedu

jest spełniona, dlatego taki typ wzbudzenia jest mozliwy.

Za transfer atomówmiedzy stanem poczatkowym a koncowym odpowiada prze-

strzenny element HD, postaci:

h+1(~r) ∼ 1√2z (x+ i y) =

1√2

(z1 − z2)

[(x1 − x2) + i (y1 − y2)

]=

=1√2

(z1 − z2)

[(x1 + iy1)− (x2 + i y2)

]=

=1√2

[z1(x1 + iy1) + z2(x2 + i y2)− z2(x1 + iy1)− z1(x2 + i y2)

]=

=

[Φ000(~r)

(Φ101(~r) + i Φ011(~r)

)− Φ001(~r)

(Φ100(~r) + i Φ010(~r)

)]=

=

[ΨR1,000(~r)−Ψ001,R0(~r)

] | ⇑〉| ⇓〉+ | ⇓〉| ⇑〉√2

To jednoczesnie pokazuje, z jakim stanem sprzega sie stan poczatkowy układu.

| ⇑〉 oznacza, ze czastka jest w stanie spinowym mS = 3.

| ⇓〉 oznacza, ze czastka jest w stanie spinowym mS = 2.

A.3 Potencjał sieci optycznej V(x, y) = V0

sin2 (kx)+sin2 (ky)

- analiza i wyniki numeryczne.

Baza jednoczastkowa w kazdej z przestrzeni spinowych mS = 3, 2:

Φ000(~r) = w0(x)w0(y)f0(z)

Φ100(~r) = w1(x)w0(y)f0(z)

Φ010(~r) = w0(x)w1(y)f0(z)

Φ001(~r) = w0(x)w0(y)f1(z)

Φ101(~r) = w1(x)w0(y)f1(z)

Φ011(~r) = w0(x)w1(y)f1(z)

DodatekA. 97

W stanie poczatkowym w oczku sieci optycznej obydwa atomy znajduja sie

w stanie podstawowym o magnetyzacji mS = 3. Pole magnetyczne pozwala

dostroic sie do rezonansu dipolowego.

Stan koncowy to proste złozenie 4 róznych stanów dwuczastkowych, które sa

obsadzane z tym samym prawdopodobienstwem. Te cztery stany: Φ000 Φ101,

Φ000 Φ011, Φ001 Φ100, Φ001 Φ010 maja nie tylko równe energie. Takze wartosc ich

sprzezenia ze stanem podstawowym jest identyczna (równosc odpowiednich

elementów macierzowych hamiltonianu).

W bazie wybranych funkcji, w wyniku diagonalizacji całkowietego hamilto-

nianu otrzymano nastepujacy stan koncowy:

(ΨR1(~r) Ψ000(~r)− ΨR0(~r) Ψ001(~r)

)(| ⇑〉| ⇓〉+ | ⇓〉| ⇑〉)

√2

. (A.2)

Jesli jedna czastka przebywa w stanie o spinie mS = 3, to druga czastka jest w

stanie z magnetyzacja mS = 2. Przestrzenna funkcja falowa czastek nalezy do

tej samej pary funkcji dwuczastkowych.

W sieci kwadratowej - niezaleznie od potencjału pułapkujacego - zawsze jest re-

alizowany jeden stan koncowy. Dodatkowo jest on stanem własnym operatora

momentu pedu.

A.4 EdH w pułapce harmonicznej z N atomami w ukła-

dzie

Rozwaze teraz nieco bardziej ogólny przypadek: N atomów w układzie w pu-

łapce osiowysymetrycznej i harmonicznej. Rachunki numeryczne [? ] dowio-

dły, ze w przypadku duzej liczby N atomów obsadzany jest jeden stan prze-

strzenny (choc w ogólnosci dostepne sa az cztery mozliwe). Ta tendencje po-

srednio tłumaczy bozonowe wzmocnienie i statystyka Bosego-Einsteina.

Tym stanem przestrzennym jest jednoczastkowy stan wzbudzony w kierunku

osi z, który posiada zerowa gestosci w srodku pułapki.

Niech operator ai (bi) kreuje czastke w stanie o magnetyzacji mS = 3 (mS = 2)

i opisanym przestrzenna funkcja falowa ϕi(~r). Dodatkowo niech ni oznacza

liczbe atomów w stanie i-tym, gdzie i ǫ 0, z, R0, R1. Stan takiego układu opi-

suje stan Focka:

|n0, nz, nR0, nR1〉mS=3 ⊗ |n0, nz, nR0, nR1〉mS=2.

DodatekA. 98

Funkcje jednoczastkowe:

ϕ0(~r) = Φ000(~r)

ϕz(~r) = Φ001(~r)

ϕR0(~r) =1√2

(Φ100(~r) + i Φ010(~r)

)

ϕR1(~r) =1√2

Φ001(~r)

(Φ100(~r) + i Φ010(~r)

)

Lokalna postac hamiltonianu dipolowego w pojedynczym oczku sieci (zapis

symboliczny):

HD = T ( a†0b

†R1a0a0 + h.c. ) + T ( a†

R1b†0a0a0 + h.c. )

+ T ( a†R0b

†za0a0 + h.c. ) + T ( a†

zb†R0a0a0 + h.c. )

W stanie poczatkowym wszystkie atomy znajduja sie w stanie Focka: |N〉(|N, 0, 0, 0〉mS=3 ⊗ |0, 0, 0, 0〉mS=2). W działaniu na ten stan hamiltonianem di-

polowym powstaja 4 mozliwosci przejsc:

1. a†0b

†R1a0a0 |N〉 = (N − 1)

√N |N − 1, 0, 0, 0〉mS=3 ⊗ |0, 0, 0, 1〉mS=2

2. a†zb

†R0a0a0 |N〉 =

√N (N − 1) |N − 2, 1, 0, 0〉mS=3 ⊗ |0, 0, 1, 0〉mS=2

3. a†R0b

†za0a0 |N〉 =

√N (N − 1) |N − 2, 0, 1, 0〉mS=3 ⊗ |0, 1, 0, 0〉mS=2

4. a†R1b

†0a0a0 |N〉 =

√N (N − 1) |N − 2, 0, 0, 1〉mS=3 ⊗ |1, 0, 0, 0〉mS=2

Trzy z czterech procesów maja te same amplitudy. Jesli ograniczyc sie do 2

atomów w oczku, to wszystkie amplitudy sa jednakowe. Sytuacja ulega zmianie

przy wiekszej liczbie atomów. Pokaze to ponizszy dowód analityczny.

Stan koncowy układu N atomów mozna zapisac w zwartej formie:

|END〉 = α |1〉+ β|2〉

|1〉 = ϕR1(~r)| ↓↑〉+ | ↑↓〉√

2

|2〉 =1√3

(ϕR0(~r) + ϕz(~r) + ϕ0(~r)

) | ↓↑〉+ | ↑↓〉√2

Stan |2〉 jest liniowa kombinacja trzech stanów, przy których stoja te same

amplitudy. Znajomosc tych amplitud pozwala jednoczesnie wyprowadzic ana-

lityczna zaleznosc współczyników α = α(N), β = β(N) od liczby atomów w

DodatekA. 99

układzie:

α(N) =

√N − 1

N + 2(A.3)

β(N) =

√1

N + 2(A.4)

Rys.(A.1) prezentuje wyniki.

RYSUNEK A.1: Zaleznosc współczynników α2 = α2(N) (kolor czerwony) orazβ2 = β2(N) (kolor niebieski) od liczby atomów w układzie.

W przypadku małej liczby atomów, m.in. N = 2, amplitudy α i β sa porówny-

walne. W takiej sytuacji gestosc stanu koncowego w stanie spinowym mS = 2

jest gaussowska gestoscia z małym dołkiem w srodku pułapki.

Dla duzego N ,N > 50, jedna z amplitud wyraznie spada do zera. Niezerowa

wartosc drugiej amplitudy α wskazuje, ze w tym rezimie duzej liczby atomów

okupowany bedzie stan ϕR1(~r).

A.5 Elementy hamiltonianu

Niezbedne funkcje, całki i oznaczenia:

f0(z) = (Ωz

π)1/4 e−Ωz z/2 f1(z) = (

Ωz

π)1/4

√2 Ωz ze

−Ωz z/2

U(z)10 =

∫|f1(z)|2|f0(z)|2 =

1

2

√Ωz

2π

U0 =

∫|w0(x)|4dx U10 =

∫|w0(x)|2|w1(x)|2dx

DodatekA. 100

Stan koncowy sprzezony dipolowo ze stanem poczatkowym w kanale ∆Mz = −1

to tak naprawde superpozycja dwóch stanów:

|1〉 = ΨR1,000(~r1, ~r2)| ↓↑〉+ | ↑↓〉√

2

|2〉 = ΨR0,001(~r1, ~r2)| ↓↑〉+ | ↑↓〉√

2.

Wyszczegółnione wyzej stany stanowia dwufunkcyjna baze, w której wyraze

wszystkie elementy całkowitego hamiltonianu.

Energie stanów bazowych:

ΨR0,001(~r1, ~r2) =

[ΦR0(~r1) Φ001(~r2)

]

zs

ΦR0(~r) = w1(x)w0(y)f0(z) ⇒ E1 + E0 + E(z)0

Φ001(~r) = w0(x)w0(y)f1(z) ⇒ 2E0 + E(z)1

ΨR1,000(~r1, ~r2) →[ΦR1(~r) Φ000(~r)

]

zs

Φ000(~r) = w0(x) w0(y) f0(z) ⇒ 2E0 + E(z)0

ΦR1(~r) =1

2

[w1(x) w0(y) + i w0(x) w1(y)

]f1(z) ⇒ E1 + E0 + E

(z)1

Nawias [...]zs oznacza symetryzacje funkcji po połozeniu czastek.

Oddziaływania kontaktowe:

U = geff3

∫dr3 Ψ∗

R1,000(~r)〈↓↑ |+ 〈↑↓ |√

2ΨR1,000(~r)

| ↓↑〉+ | ↑↓〉√2

= geff3

∫dr3 |ΨR1,000(~r)|2

(A.5)

U = geff3

∫dr3 |ΨR1,000(~r)|2 = 2 geff3

∫dr3 |ΦR1(~r)|2 |Φ000(~r)|2

= 2geff3

∫dr3 w2

0(x)w20(y) f2

0 (z) f21 (z)

w1(x)w0(y)− i w0(x)w1(y)√2

w1(x)w0(y) + i w0(x)w1(y)√2

= 2 geff3

∫dr3 w2

0(x)w20(y)f2

0 (z)f21 (z)

w21(x)w2

0(y) + w20(x)w2

1(y)

2= geff3 U

(z)10 U0 U10

Hamiltonian zapisany w bazie stanów |1〉, |2〉:

|1〉 |2〉〈1| E1 + E0 + E

(z)0 + 2E0 + E

(z)1 + U U

〈2| U E1 + E0 + E(z)1 + 2E0 + E

(z)0 + U

DodatekA. 101

(lub nieco bardziej symbolicznie)

|1〉 |2〉〈1| E + U U

〈2| U E + U

Hamiltonian ma dwa wektory własne:

v1(~r1, ~r2) =1√2

(ΨR1,000(~r1, ~r2)−ΨR1,000(~r1, ~r2)

) | ↓↑〉+ | ↑↓〉√2

λ1 = E1 + E0 + E(z)1 + E

(z)0 + 2E0 = E

v2(~r1, ~r2) =1√2

(ΨR1,000(~r1, ~r2) + ΨR1,000(~r1, ~r2)

) | ↓↑〉+ | ↑↓〉√2

λ2 = E1 + E0 + E(z)1 + E

(z)0 + 2E0 + 2U = E + 2U.

Najwazniejszy jest wektor v1, gdyz jako jedyny sprzega sie dipolowo ze stanem

poczatkowym.

Jednoczastkowa gestosc dla stanu v1(~r1, ~r2) = 1√2

(ΨR1,000(~r1, ~r2)−ΨR1,000(~r1, ~r2)

)=

12

(Ψ101,000(~r1, ~r2)−Ψ100,001(~r1, ~r2)

)+ i

2

(Ψ011,000(~r1, ~r2)−Ψ010,001(~r1, ~r2)

)ma postac:

=∑

i,j

〈v1|a†i aj |v1〉(dla i = j) =

1

2|Ψ000(~r)|2 +

1

2|Ψ001(~r)|2 +

1

4

(|Ψ101(~r)|2 + |Ψ011(~r)|2 + |Ψ010(~r)|2 + |Ψ100(~r)|2

)

Dodatek B

Dodatek B

B.1 Hamiltonian

H = H0 +HC +HD (B.1)

gdzie H0 - hamiltonian jdnoczastkowy, HC - hamiltonian kontaktowy, HD -

hamiltonian dipolowy. Oznaczenia stosowane na funkcje dwuczastkowe:

〈 ~r1, ~r2|Ψnxny ,nxny〉 = Ψnxny ,nxny (~r1, ~r2)

gdzie dwie pierwsze liczby kwantowe nx i ny dotycza rodzaju wzbudzenia pierw-

szej czastki, zas kolejne para liczb - wzbudzenia drugiej czastki. Kierunek osi

z odpowiada wzbudzeniu nz = 0. Funkcje te daje sie zapisac w sposób nieco

bardziej rozbudowany:

Ψnxny ,nxny (~r1, ~r2) =∑

α

cαΦnx1ny1(~r1)Φnx2ny2(~r2) (B.2)

przy czym zachodzi warunek nx1ny1 + nx2ny2 = 2.

Φnxny (~r) = wnx(x) wny (y) f0(z) (B.3)

B.2 Dipolowy rezonans dwuczastkowy z ∆Mz = 2.

1. Współczynniki oddziaływania kontaktowego w podprzestrzeni spinowej

|3〉 i |2〉 :geff1 = g6 geff2 = 6

11 g6 + 511 g4 geff3 = 2 g6

103

DodatekB. 104

2. Najwazniejsze funkcje dwuczastkowe, tj. stany własne hamiltonianu (H0 +HC),

ich energie oraz oddziaływania kontaktowe, które wystepuja miedzy tymi

funkcjami:

|Ψ20,00〉 → 1√2

(Φ20(~r1) Φ00(~r2) + Φ00(~r1) Φ20(~r2)

): E2 + E0 + U20

|Ψ02,00〉 → 1√2

(Φ02(~r1) Φ00(~r2) + Φ00(~r1) Φ02(~r2)

): E2 + E0 + U20

= Uxy20

|Ψ10,10〉 →(

Φ10(~r1) Φ10(~r2)

): 2E1 + U10

|Ψ01,01〉 →(

Φ01(~r1) Φ01(~r2)

): 2E1 + U10

= Uxy10

|Ψ11,00〉 → 1√2

(Φ11(~r1) Φ00(~r2) + Φ00(~r1) Φ11(~r2)

): 2E1 + U11

|Ψ10,01〉 → 1√2

(Φ10(~r1) Φ01(~r2) + Φ01(~r1) Φ10(~r2)

): 2E1 + U11

= U11

3. Całki jednowymiarowe :

u0 =

∫dx |w(x)|4

u1 =

∫dx |w1(x)|4

u10 =

∫dx |w1(x)|2|w0(x)|2

u20 =

∫dx w2(x)|w0(x)|3

u21 =

∫dx w2(x)|w1(x)|2w0(x)

4. Hamiltonian H0 +HC w podprzestrzeni spinowej |2〉|2〉:

|Ψ20,00〉 |Ψ02,00〉 |Ψ10,10〉 |Ψ01,01〉 |Ψ11,00〉 |Ψ10,01〉〈Ψ20,00| E2 + E0 +A1 A2 C1 C2 0 0

〈Ψ02,00| A2 E2 + E0 +A1 C2 C1 0 0

〈Ψ10,10| C1 C2 2E1 +A3 A4 0 0

〈Ψ01,01| C2 C1 A4 2E1 +A3 0 0

〈Ψ11,00| 0 0 0 0 2E1 +A5 A5

〈Ψ10,01| 0 0 0 0 A5 2E1 +A5

Współczynniki C1, C2, Ai, gdzie i = 1, . . . 5, sa symbolicznymi oznacze-

niami całek kontaktowych.

DodatekB. 105

5. Obrót powyzszej macierzy prowadzi do nastepujacej bazy stanów :

〈 ~r1, ~r2|1a〉 =1√2

(Ψ20,00(~r1, ~r2)−Ψ02,00(~r1, ~r2)

)

〈 ~r1, ~r2|1s〉 =1√2

(Ψ20,00(~r1, ~r2) + Ψ02,00(~r1, ~r2)

)

〈 ~r1, ~r2|2a〉 =1√2

(Ψ10,10(~r1, ~r2)−Ψ01,01(~r1, ~r2)

)

〈 ~r1, ~r2|2s〉 =1√2

(Ψ10,10(~r1, ~r2) + Ψ01,01(~r1, ~r2)

)

〈 ~r1, ~r2|3a〉 =i√2

(Ψ11,00(~r1, ~r2)−Ψ10,01(~r1, ~r2)

)

〈 ~r1, ~r2|3s〉 =i√2

(Ψ11,00(~r1, ~r2) + Ψ10,01(~r1, ~r2)

)

W efekcie rozwazany hamiltonian H0 +HC ulega podziałowi na dwie, od-dzielne klatki macierzy. l

|1a〉 |2a〉 |3a〉 |1s〉 |2s〉 |3s〉

E2 + E0 + A1 − A2 C1 − C2 0 0 0 0

C1 − C2 E2 + E0 + A3 − A4 0 0 0 0

0 0 2 E1 0 0 0

0 0 0 E2 + E0 + A1 + A2 C1 + C2 0

0 0 0 C1 + C2 2 E1 + U11 0

0 0 0 0 0 2 E1 + 2 A5

Okazuje sie, ze superpozycje stanów ze znakkiem ‘ + “ (oznaczone litera′s′) nie sprzegaja sie ze stanem podstawowym za pomoca oddziaływan di-

polowych. Transfer atomów jest mozliwy jedynie do stanów z pierwszej

klatki macierzy hamiltonianiu. W przypadku pułapki harmonicznej sym-

bole Ai, gdzie i = 1, . . . 5 sa sobie równe, zas współczynniki C1, C2 wiaze

relacja C1 = −C2. Te warunki całkowicie znosza sprzezenie dla superpo-

zycji ′s′.

Od tego momentu dalsza analiza bedzie dotyczyc wyłacznie pierwszej klatki

hamiltonianu - a wiec kombinacji antysymterycznych (gdyz jedynie stany

z tej klatki jako stany wzbudzone beda dipolowo sprzegac sie ze stanem

podstawowym).

6. Kolejnym krokiem jest wyliczenie analitycznych wyrazen na człony od-

działywania kontaktowego. W bazie funkcji dwuczastkowych (zaleznych

od połozen czastek) wyliczam najwazniejsze elementy, które kryja sie pod

symbolami Ai (i = 1, . . . 5) oraz C1, C2.

DodatekB. 106

Ogólny wzór na oddziaływanie kontaktowe w podprzestrzeni spinowejmS = 2:

Ucont = geff2

∫d~r1 d~r2 Ψ∗

ij,kl(~r1, ~r2)Ψi′j′,k′l′(~r1, ~r2) δ(~r1 − ~r2) (B.4)

Całki kontaktowe w bazie stanów antysymetrycznych:

(a)

Ux20 = geff2

∫d~r1 d~r2 Ψ∗

20,00(~r1, ~r2)Ψ20,00(~r1, ~r2) δ(~r1 − ~r2) =

= geff2

∫d~r1 d~r2

(Φ∗

20(~r1) Φ∗00(~r2) + Φ∗

00(~r1) Φ∗20(~r2)

)√

2×

×(Φ20(~r1) Φ00(~r2) + Φ00(~r1) Φ20(~r2)

)√

2δ(~r1 − ~r2) =

= geff2

∫d~r

2 Φ∗20(~r) Φ∗

00(~r)√2

2 Φ20(~r) Φ00(~r)√2

= 2 geff2

∫d~r |Φ20(~r)|2 |Φ00(~r)|2

Ux20 = 2 geff2

∫d~r |Φ20(~r)|2 |Φ00(~r)|2 =

= 2 geff2

∫d~r |w2(x)w0(y)f0(z)|2 |w0(x)w0(y)f0(z)|2 =

= 2 geff2

∫dx |w2(x)| |w0(x)|2

∫dy |w0(y)|4

∫dz |f0(z)|4 = 2 geff2 u

(z)0 u2 u0

Uy20 = Ux

20 U20 = Ux20 + Uy

20 = 2Ux20

A1 = U20 A2 = Uxy20

Uxy20 = geff2

∫d~r1 d~r2 Ψ∗

20,00(~r1, ~r2)Ψ02,00(~r1, ~r2) δ(~r1 − ~r2) =

= geff2

∫d~r1 d~r2

(Φ∗

20(~r1) Φ∗00(~r2) + Φ∗

00(~r1) Φ∗20(~r2)

)√

2×

×(Φ02(~r1) Φ00(~r2) + Φ00(~r1) Φ02(~r2)

)√

2δ(~r1 − ~r2) =

= geff2

∫d~r

2 Φ∗20(~r) Φ∗

00(~r)√2

2 Φ02(~r) Φ00(~r)√2

= 2 geff2

∫Φ∗

20(~r) Φ02(~r) |Φ00(~r)|2

Uxy20 = 2 geff2

∫Φ∗

20(~r) Φ02(~r) |Φ00(~r)|2 =

= 2 geff2

∫d~r w∗

2(x)w∗0(y)w0(x)w2(y) |f0(z)|2 |w0(x)w0(y)f0(z)|2 =

= 2 geff2

∫dx w∗

2(x)w0(x) |w0(x)|2∫dy w∗

0(y)w2(y) |w0(y)|2∫dz |f0(z)|4 =

= 2 geff2 u(z)0 u2

20

DodatekB. 107

Wobec tego energie stanów symetrycznych i antysymetrycznych sa

nastepujace:

〈 ~r1, ~r2|1a〉 = 1√2

(Ψ20,00(~r1, ~r2)−Ψ02,00(~r1, ~r2)

)→ E2 + E0 + (U20 − Uxy

20 )

〈 ~r1, ~r2|1s〉 = 1√2

(Ψ20,00(~r1, ~r2) + Ψ02,00(~r1, ~r2)

)→ E2 + E0 + (U20 + Uxy

20 )

Z punktu widzenia transferu dipolowego jedynie pierwszy stan (w tym

i jego energia) beda istotne. Energie drugiego stanu napisałam tylko

dla porzadku.

(b)

Ux10 = geff2

∫d~r1 d~r2 Ψ∗

10,10(~r1, ~r2) Ψ10,10(~r1, ~r2) δ(~r1 − ~r2) =

= geff2

∫d~r1 d~r2 Φ∗

10(~r1) Φ∗10(~r2) Φ10(~r1) Φ10(~r2) δ(~r1 − ~r2) =

= geff2

∫d~r |Φ10(~r)|4

Ux10 = geff2

∫d~r |Φ10(~r)|4 = geff2

∫d~r |w1(x)w0(y)f0(z)|4 =

= geff2

∫dx |w1(x)|4

∫dy |w0(y)|4

∫dz |f0(z)|4 = geff2 u

(z)0 u1 u0

Uxy10 = geff2

∫d~r1 d~r2 Ψ∗

10,10(~r1, ~r2)Ψ01,01(~r1, ~r2) δ(~r1 − ~r2) =

= geff2

∫d~r1 d~r2 Φ∗

10(~r1) Φ∗10(~r2) Φ01(~r1) Φ01(~r2) δ(~r1 − ~r2) =

= geff2

∫d~r Φ∗

10(~r) Φ∗10(~r) Φ10(~r) Φ10(~r) = geff2

∫d~r(Φ∗

10(~r))2 (

Φ01(~r))2

Uxy10 = geff2

∫d~r(Φ∗

10(~r))2 (

Φ01(~r))2

=

= geff2

∫d~r(w∗

1(x)w∗0(y)

)2 |f0(z)|4(w0(x)w1(y)

)2=

= geff2

∫dx(w∗

1(x)w0(x))2∫dy(w∗

0(y)w1(y))2∫dz |f0(z)|4 =

= geff2 u(z)0 u2

10

Uy10 = Ux

10 U10 = Ux10

A3 = U10 A4 = Uxy10

DodatekB. 108

Tak jak poprzednio, w dalszej analizie najwazniejsza bedzie energia

stanu antysymetrycznego (stan z litera ′a′):

〈 ~r1, ~r2|2a〉 = 1√2

(Ψ10,10(~r1, ~r2)−Ψ01,01(~r1, ~r2)

)→ 2 E1 + (U10 − Uxy

10 )

〈 ~r1, ~r2|2s〉 = 1√2

(Ψ10,10(~r1, ~r2) + Ψ01,01(~r1, ~r2)

)→ 2 E1 + (U10 + Uxy

10 )

(c)

Ux11 = geff2

∫d~r1 d~r2 Ψ∗

11,00(~r1, ~r2)Ψ11,00(~r1, ~r2) δ(~r1 − ~r2) =

= geff2

∫d~r1 d~r2

(Φ∗

11(~r1) Φ∗00(~r2) + Φ∗

00(~r1) Φ∗11(~r2)

)√

2×

×(Φ11(~r1) Φ00(~r2) + Φ00(~r1) Φ11(~r2)

)√

2δ(~r1 − ~r2) =

= geff2

∫d~r

2 Φ∗11(~r) Φ∗

00(~r)√2

2 Φ11(~r) Φ00(~r)√2

= 2 geff2

∫d~r |Φ11(~r)|2 |Φ00(~r)|2

Ux11 = 2 geff2

∫d~r |Φ11(~r)|2 |Φ00(~r)|2 =

= 2 geff2

∫d~r |w1(x)w1(y)f0(z)|2 |w0(x)w0(y)f0(z)|2 =

= 2 geff2

∫dx |w1(x)| |w0(x)|2

∫dy |w1(y)| |w0(y)|2

∫dz |f0(z)|4 = 2 geff2 u

(z)0 u2

10

Uy11 = Ux

11 U11 = Ux11

A5 = U11 A6 = Uxy11 = A5

Uxy11 = geff2

∫d~r1 d~r2 Ψ∗

11,00(~r1, ~r2)Ψ10,01(~r1, ~r2) δ(~r1 − ~r2) =

= geff2

∫d~r1 d~r2

(Φ∗

11(~r1) Φ∗00(~r2) + Φ∗

00(~r1) Φ∗11(~r2)

)√

2×

×(Φ10(~r1) Φ01(~r2) + Φ01(~r1) Φ10(~r2)

)√

2δ(~r1 − ~r2) =

= geff2

∫d~r

2 Φ∗11(~r) Φ∗

00(~r)√2

2 Φ10(~r) Φ01(~r)√2

= 2 geff2

∫Φ∗

11(~r) Φ∗00(~r)Φ10(~r) Φ01(~r)

DodatekB. 109

Uxy11 = 2 geff2

∫Φ∗

11(~r) Φ∗00(~r)Φ10(~r) Φ01(~r) =

= 2 geff2

∫d~r w∗

1(x)w∗1(y)w∗

0(x)w∗0(y) |f0(z)|2w1(x)w0(y)w0(x)w1(y) =

= 2 geff2

∫dx |w1(x)|2 |w0(x)|2

∫dy |w1(y)|2 |w0(y)|2

∫dz |f0(z)|2 =

= 2 geff2 u(z)0 u2

10

Energie stanów symetrycznego i antysymetrycznego :

〈 ~r1, ~r2|3a〉 = 1√2

(Ψ11,00(~r1, ~r2)−Ψ10,01(~r1, ~r2)

)→ 2 E1

〈 ~r1, ~r2|3s〉 = 1√2

(Ψ11,00(~r1, ~r2) + Ψ10,01(~r1, ~r2)

)→ 2 E1 + 2 U11

7. Hamiltonian H zapisany w przestrzeni stanów dwuczastkowych o spinie

mS = 2 (stany |1a〉, |2a〉 i |3a〉 sprzegaja sie dipolowo ze stanem poczatko-

wym o spinie mS = 3).

H =

|1a〉 |2a〉 |3a〉E2 + E0 + U20 − Uxy

20 Uxy12 0

Uxy12 E2 + E0 + U20 − Uxy

20 0

0 0 2E1

⇒

|1a〉 |2a〉 |3a〉E1 Uxy

12 0

Uxy12 E2 0

0 0 E3

Uxy12 =

1

2geff2

∫d~r1 d~r2

(Ψ∗

20,00(~r1, ~r2)−Ψ∗02,00(~r1, ~r2)

)×

×(

Ψ10,10(~r1, ~r2)−Ψ01,01(~r1, ~r2)

)δ(~r1 − ~r2) =

=1√2geff2

∫d~r

(Ψ∗

20,00(~r, ~r)−Ψ∗02,00(~r, ~r)

)(Ψ10,10(~r, ~r)−Ψ01,01(~r, ~r)

)=

=2√2geff2

∫d~r

(Ψ∗

20,00(~r, ~r)Ψ10,10(~r, ~r)−Ψ∗02,00(~r, ~r) ·Ψ10,10(~r, ~r)

)

Jawna postac funkcji:

Ψ∗20,00(~r, ~r) Ψ10,10(~r, ~r) = w2(x) w4

0(y) w0(y) w21(x) f4

0 (z)

Ψ∗02,00(~r, ~r) Ψ10,10(~r, ~r) = w2(x) w2

0(y) w21(y) w3

0(x) f40 (z)

DodatekB. 110

Uxy12 =

2√2geff2

∫d~r

(Ψ∗

20,00(~r, ~r)Ψ10,10(~r, ~r)−Ψ∗02,00(~r, ~r) ·Ψ10,10(~r, ~r)

)=

2√2geff2 u

(z)0

(u0 u21 − u10 u20

)

Obraz, jaki powstaje wpływem hamiltonianu H0 + HC pozwala oczekiwac

co najmniej trzech rezonansów. Wszystko zalezy bowiem od geometrii

potencjału pułapkujacego atomy:

a). jeden rezonans w potencjale harmonicznym.

b). dwa rezonanse w potencjale anharmonicznym, izotropowym.

c). trzy reoznanse w potencjale oczka sieci(

sin2(x) + sin(y)2).

8. Diagonalizacja hamiltonianu.

λ1 =1

2

(E1 + E2 −

√dE2 + 4 (Uxy

12 )2)

λ2 =1

2

(E1 + E2 +

√dE2 + 4 (Uxy

12 )2)

λ3 = E3

9. Ustalenie pozycji rezonansów.

Stan jednoczastkowy Φ00(~r) = w0(x)w0(y) f0(z) jest stanem o najniz-

szej energii E0. Stan dwuczastkowy Ψ00,00(~r1, ~r2) = Φ00(~r1) Φ00(~r2), który

jest stanem podstawowym w przestrzeni dwóch czastek, posiada energie

E0 = 2 E0 + U00.

Stany spinowe sa czułe na obecnosc pola magnetycznego. Ich zachowa-

nie jest warunkowane wyrazeniem: N ·mS ·B, gdzie N oznacza liczbe ato-

mów (w rozwazanym przeze mnie przypadku N = 2). Istotna sprawa wy-

nikajaca z uwzglednienia pola magnetycznego w układzie jest mozlwosc

zrównywania wzglednych energii (energii stanu podstawowego mS = 3 i

energii stanu wzbudzonego mS = 2). Dzieki temu mozna łatwo osiagnac

odpowiedni rezonans dipolowy. W ogólnosci nalezy rozwiazac ponizsze

równanie:

λi = E0 − 2 ·B, i = 1, 2, 3 (B.5)

10. Informacje uzupełniajace

Stany własne odpowiadajace koeljnym wartosciom własnym hamiltonianu H:

|F1〉 = α |1a〉 − β |2a〉

|F2〉 = i |3a〉 (B.6)

|F3〉 = β |1a〉+ α |2a〉, (B.7)

DodatekB. 111

gdzie współczynniki α i β zaleza od wysokosci bariery. W pułapce osio-

wosymetryczne istnieje jeden stan rezonansowy, który jest sprzezony ze

stanem poczatkowym siła D = 〈wir|HD|wir〉:

|wir〉 =1

2

[ |1a〉 − |2a〉√2

+ i |3a〉]

(B.8)

W przypadku stanów koncowych |Fi〉, gdzie i = 1, 3, siłe sprzezenia di-

polowego mozna wyrazic jako:

〈F1|HD|F1〉 = 〈F1|wir〉〈wir|HD|wir〉〈wir|F1〉 = |〈F1|wir〉|2 〈wir|HD|wir〉 =

= |〈F1|wir〉|2 D = |α+ β|2 D4

〈F3|HD|F3〉 = 〈F3|wir〉〈wir|HD|wir〉〈wir|F3〉 = |〈F3|wir〉|2 〈wir|HD|wir〉 =

|〈F3|wir〉|2 D = |α− β|2 D4

Jesli α = β, wówczas dipolowe sprzezenie do jednego ze stanów Fi jest

zerowe. Tak sie dzieje w przypadku pułapki harmonicznej.

11. Przykłady

Przykłady trzech wektorów własnych dla wysokosci bariery V0 = 40 ER i

Ωz = 16 ER oraz ich jednoczastkowe gestosci:

(a) w pierwszym rezonansie

|F1〉 =

√7

4|1a〉 − 1

4|2a〉, F1(~r1, ~r2) = 〈 ~r1, ~r2|F1〉

F1(~r1, ~r2) =

√7

4

[Ψ20,00(~r1, ~r2)−Ψ02,00(~r1, ~r2)

]−1

4

[Ψ10,10(~r1, ~r2)−Ψ01,01(~r1, ~r2)

]

1(~r, ~r) =7

16

[|Φ20(~r)|2+|Φ02(~r)|2

]+

7

8|Φ00(~r)|2+

1

8

[|Φ10(~r)|2+|Φ01(~r)|2

]

(b) w drugim rezonansie

|F2〉 = |3a〉, F2(~r1, ~r2) = 〈 ~r1, ~r2|F2〉

F2(~r1, ~r2) =i√2

(Ψ11,00(~r1, ~r2)−Ψ10,01(~r1, ~r2)

)

2(~r, ~r) =1

2

[|Φ11(~r)|2 + |Φ00(~r)|2 + |Φ10(~r)|2 + |Φ01(~r)|2

]

DodatekB. 112

(c) w trzecim rezonansie

|F3〉 =1

4|1a〉+

√7

4|2a〉, F3(~r1, ~r2) = 〈 ~r1, ~r2|F3〉

F3(~r1, ~r2) =1

4

[Ψ20,00(~r1, ~r2)−Ψ02,00(~r1, ~r2)

]+

√7

4

[Ψ10,10(~r1, ~r2)−Ψ01,01(~r1, ~r2)

]

3(~r, ~r) =1

16

[|Φ20(~r)|2+|Φ02(~r)|2

]+

1

8|Φ00(~r)|2+

7

8

[|Φ10(~r)|2+|Φ01(~r)|2

]

12. Wybór bazy stanów

Człon hamiltonianu dipolowego hd±2(~r) odpowiedzialnego za transfer dwóch

atomów był podstawa do tego,by z przestrzeni nieskonczonej ilosci stanów

wieloczastkowych wybrac tylko pewna ich ilosc. Cały hamiltonian hd±2(~r)

jest zapisany we współrzednej wzglednej obu czastek, a przepisany we

współrzednych kazdej z czastek z osobna prowadzi do postaci:

|wir〉 = (x + i y)2 =

[(x1 − x2) + i · (y1 − y2)

]2

=

=

(x1 − x2

)2

−(y1 − y2

)2

+ 2 · i ·(x1 − x2

)(y1 − y2)

)

= (x21 + x2

2 − 2x1x2)− (y21 + y2

2 − 2y1y2) + 2i

((x1y1 + x2y2)− (x1y2 + x2y1)

)

= (x21 + x2

2)− (y21 + y2

2)− 2(x1x2 − y1y2) + 2i

((x1y1 + x2y2)− (x1y2 + x2y1)

)

Powyzsze wyrazenie mozna zapisac w bazie funkcji własnych oscylatora

harmonicznego Φ00(~r), Φ10(~r), Φ01(~r), Φ20(~r), Φ11(~r), Φ02(~r) - odpowiadaja-

cym orbitalom typu s, px, py, dxx, dxy, dyy.

|wir〉 = 1√2

(Φ20(~r1)Φ00(~r2) + Φ00(~r1)Φ20(~r2)

)− 1√

2

(Φ02(~r1)Φ00(~r2) + Φ00(~r1)Φ02(~r2)

)

−(Φ10(~r1)Φ10(~r2)− Φ01(~r1)Φ01(~r2)

)

+ i(Φ11(~r1)Φ00(~r2) + Φ00(~r1)Φ11(~r2)

)− i

(Φ10(~r1)Φ01(~r2) + Φ01(~r1)Φ10(~r2)

)=

=(Ψ20,00(~r1, ~r2)−Ψ02,00(~r1, ~r2)

)−(Ψ10,10(~r1, ~r2)−Ψ01,01(~r1, ~r2)

)

+ i√

2(Ψ11,00(~r1, ~r2)−Ψ10,01(~r1, ~r2)

)=

√2

(Ψ20,00(~r1,~r2)−Ψ02,00(~r1,~r2)

)√

2−√

2

(Ψ10,10(~r1,~r2)+Ψ01,01(~r1,~r2)

)√

2+ 2 i

(Ψ11,00(~r1,~r2)−Ψ10,01(~r1,~r2)

)√

2

=√

2 |1a〉 −√

2a |2〉+ i 2 |3a〉

Unormowany wektor:

|wir〉 =1

2√

2

(|1a〉 − |2a〉+ i

√2 |3a〉

)

DodatekB. 113

W przypadku pułapki harmonicznej energie jednoczastkowe kazdego z

tych stanów |1a〉, |2a〉, |3a〉 sa równe. Ten warunek pozwala stworzyc stan

z wirem (x + iy)2. Jesli jednak pułapka nie posiada osiowej symetrii,

a wiec kolejne energie jednoczastkowe nie sa od siebie równoodległe, to

stan wir nie powstanie. Profil jednoczakastkowej macierzy gestosci tego

stanu jedynie pozornie bedzie przypominał wir, bowiem jego własnosci

bedza całkowicie inne od cech wiru z pułapki harmonicznej.

13. Jednoczastkowa macierz gestosci w pułapce harmonicznej dla stanu wir

〈 ~r1, ~r2|wir〉 =

√2

4

(Ψ20,00(~r1, ~r2)−Ψ02,00(~r1, ~r2)

)−√

2

4

(Ψ10,10(~r1, ~r2)−Ψ01,01(~r1, ~r2)

)

+i

2

(Ψ11,00(~r1, ~r2)−Ψ10,01(~r1, ~r2)

)

osc(~r, ~r) =1

8

(|Φ20(~r)|2 + |Φ02(~r)|2

)+

1

2|Φ00(~r)|2 +

1

4|Φ11(~r)|2

+1

2

(|Φ10(~r)|2 + |Φ01(~r)|2

)(B.9)

B.3 Potencjału kulombowski jako przykład potencjału

anharmonicznego

Potencjał kwadratowej sieci optycznej jest separowalny.

V (x, y) = V0(

sin2 (kxx) + sin2 (kyy))

(B.10)

Taka własciwosc potencjału sprawia, ze po pierwsze powstaja trzy rezonanse

dipolowe, a po drugie - ze mozliwe jest wzbudzenie srodka masy. Odpowie-

dzialne za to sa: anharmonicznosc oraz brak osiowej symetri w układzie. Dla-

tego tez teraz nalezy przekonac sie, w jakim stopniu anharmonicznosc, a w

jakim osiowosc lub jej brak, wpływa na ilosc rezonansów.

Zasadnosc postawionego pytania wynika z obserwacji teoretycznych. Cechy tj.

harmonicznosc i osiowosc wystepujace w pułapce harmonicznej gwarantuja

jeden rezonans dipolowy, zas całkowicie przeciwny wariant (obecnosc anhar-

monicznosci i anizotropowosci) zwieksza ilosc rezonansów do trzech.

Niech pomoca w zrozumieniu sytuacji w sieci kwadratowej bedzie nastepujacy

rachunek. Wybieramy jakikolwiek potencjał osiowosymetryczny ale - co wazne

- nieharmoniczny (energie poziomów sa róznoodległe). Potencjał kulombowski

spełnia te załozenia.

DodatekB. 114

Potencjał typu:

Vcul(~r) =1

|r| =1

|~r1 − ~r2|, (B.11)

gdzie ~ri =

(ri sin(θi) cos(φi), ri sin(θi) sin(φi), ri cos(θi)

), i = 1, 2. Mozna wiec za-

pisac:

|~r1 − ~r2| =

[(r1 sin(θ1) cos(φ1)− r2 sin(θ2) cos(φ2))2 +

(r1 sin(θ1) sin(φ1)− r2 sin(θ2) sin(φ2))2 + (r1 cos(θ1)− r2 cos(θ2))2]1/2

Opearator momentu pedu z-owej składowej pierwszej i drugiej czastki:

Lz1

1

r= i

∂

∂φ1[...]1/2 = i(−1

2

1

r3/2) (−2r1 sin θ1 sinφ1rx + 2r1 sin θ1 cosφry)

Lz2

1

r= i

∂

∂φ2[...]1/2 = i(−1

2

1

r3/2) (2r2 sin θ2 sinφ2rx − 2r2 sin θ2 cosφry)

∇r1

1

|r| = −∇r2

1

|r|

(∇r1 +∇r2)1

r= 0

(Lz1 + Lz2)1

|r| = 0

(Lz1 + Lz2)1

|r|3 = 0

Funkcje własne hamiltonianu z potencjałem kulombowskim to iloczyn funkcji

radialnej oraz harmoniki sferycznej. Jets to takze funkcja własna operatora

momentu pedu:

Ψnlm(~r) = fnl(r)Ylm(θ, φ) (B.12)

opisana trzema liczbami kwantowymi n, l,m. Potencjał diplowy, który zapewnia

transfer dipolowy zapisany za pomoca harmoniki sferycznej:

hD =Y2,2(θ, φ)

r3

gdzie

Y2,2(θ, φ) =(x+ i y)2

r2 =1

r2 [(x1 + i y1)− (x2 + i y2)]2 =

=1

r2

[(x1 + i y1)2 + (x1 + i y)2

2 − 2 (x1 + i y1) (x2 + i y2)]

=

=1

r2

[Y(2,2)(θ1, φ1)Y(0,0)(θ2, φ2) + Y(0,0)(θ1, φ1)Y(2,2)(θ2, φ2)− 2Y(1,1)(θ1, φ1)Y(1,1)(θ2, φ2)

]

DodatekB. 115

zas hD(~r) = 1r5

[r2

1 Y22(1) + r22 Y22(2)− 2 r1 r2 Y11(1) Y11(2)

].

Całka dipolowa:

Ddip =

∫fn1l1(1)fn2l2(2)Y ∗

l1m1(1)Y ∗

l2m2(2)×

×[r2

1 Y22(1) + r22 Y22(2)− 2 r1 r2 Y11(1) Y11(2)

]

r5 f10(1) f10(2) Y00(1)Y00(2)

Wartosc własna operatora momentu pedu z definicji (Lz1 + Lz2):

(Lz1 + Lz2)hD =[2 r2

1 Y22(1) + 2 r22 Y22(2)− 2 r1 r2 (1 + 1)Y11(1)Y11(2)

] 1

r5 = 2hD

Wzór:

⟨Ψn1l1m1Ψn1l1m1 |

∑

l′1l

′2m

′1m

′2

fl′1(r1)f

l′2(r2)Y

l′1m

′1(1)Y

l′2m

′2(2) δ(m

′

1 +m′

2, 2)

⟩(B.13)

pozwala okreslic, jakich kombinacji stanów dwuczastkowych, całka dipolowa

jest niezerowa. Majac na uwadze wyłacznie wzbudzenia niskoenergetyczne

oraz spełnienie warunku m′

1 + m′

2 = m1 + m2 = 2 otrzymuje

nastepujaca baze:

Ψn1,2,2 Ψn2,0,0 Ψn1,0,0 Ψn2,2,2 Ψn1,1,1 Ψn2,1,1

n1 = 3

n2 = 1

n1 = 1

n2 = 3

n1 = 2

n2 = 2

Baza funkcji w stanie spinowym mF =2:

Ψ ∼ α |vα(1, 2)⟩

+ β |vβ(1, 2)⟩

(B.14)

gdzie

|vα(1, 2)⟩

= f32(1)f10(2)Y22(1)Y00(2) + f32(2)f10(1)Y22(2)Y00(1)

|vβ(1, 2)⟩

= f21(1)f21(2)Y11(1)Y11(2)

Amplitudy przejsc do stanów |vα〉, |vβ〉:

A1 ∼∫ ∫

dr21dr1r

22dr2 f32(1) f10(2)

r21

r5 f10(1) f10(2)

A2 ∼∫ ∫

dr21dr1r

22dr2 f21(1) f21(2)

(−2)r1r2

r5 f10(1) f10(2).

Amplitudy A1 i A2 wycałkowane po zmiennych katowych dΩ daja ta sama war-

tosc.

DodatekB. 116

Wobec tego mozna skupic swa uwage tylko na dwóch stanach koncowych. Ty-

powy Hamiltonian

H =

|vα〉 |vβ〉〈vα| E32 + U1 U12

〈vβ| U12 2E21 + U2

U1 = 2

∫ ∫d3r1d

3r2 v∗α(1, 2) vα(1, 2) δ(r1, r2) = 2

∫d3r |vα|2(r, r) =

2

∫ ∫ ∫dr dθ dφ (

√3

16 12π)2 r2 sin2 (θ) e−2r r2 sin (θ) = 2

( √3

192π

)2

U

U2 =

∫ ∫d3r1 d

3r2 v∗β(1, 2) vβ(1, 2) δ(r1, r2) =

∫d3r |vβ|2(r, r) =

∫ ∫ ∫dr dθ dφ(

1

64π)2r2 sin2 (θ)e−2rr2 sin (θ) =

(1

64π

)2

U

U12 =√

21

64π

√3

192π

∫ ∫d3r1 d

3r2 v∗α(1, 2) vβ(1, 2) δ(r1, r2) =

∫d3r v∗

α(r, r) vβ(r, r) =

=√

21

64π

√3

192π

∫ ∫ ∫dr dθ dφr2 sin2 (θ) e−r r2 sin2 (θ) e−r r2 sin (θ) =

√2

1

64π

√3

192πU

Otrzymane wyniki całek: U1 = 13072π , U2 = 1

2048π , U12 = 5√

32 U2, U1 = 2

3U2.

W potencjale kulombowskim E32 = R/9, E21 = R/4, gdzie R stała Rydberga.

Pomocnicze funkcje radialne:

f10(r) =e− r

2√2

f21(r) =r e− r

2√24

f32(r) =r2 e− r

2

12√

5

oraz funkcje katowe:

Y00(θ, φ) =1√4π

Y11(θ, φ) = −1

2

√3

2πsin (θ) eiφ Y22(θ, φ) =

1

4

√15

2πsin2 (θ) e2 iφ

B.4 Momentów magnetycznych skondensowanych ato-

mów

Istotna sprawa w badaniach magnetycznych własnosci skondensowanych ato-

mów sa wartosci momentów magnetycznych ~µ = gF µB~F .

gF = gJF (F + 1)− I(I + 1) + J(J + 1)

2F (F + 1)

DodatekB. 117

8737Rb = [Kr]5s1 L = 0, S =

1

2, J = S, gJ = 2

I =3

2J =

1

21 =< F =< 2

a) F = 1, J =1

2, I =

3

2, gF = −1

2, µ = −µB

2

b) F = 2, J =1

2, I =

3

2, gF =

1

2, µ = µB

5224Cr = [Ar]3d54s1 L = 0, S = 3, J = S, gJ = 2

I = 0, J = 3, F = 3

gF = 2 µ = 6µB

16466 Dy = [Xe]4f106s2 L = 6, S = 2, J = 8, gJ =

5

4I = 0, J = 8, F = 8

gF =5

4µ = 10µB

16868 Erb = [Xe]4f126s2 L = 5, S = 1, J = 6, gJ =

7

6I = 0, J = 6, F = 6

gF =7

6µ = 7µB

6

8

10

12

14

16

18

20

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Dip

ole

V0

Chrom

6

8

10

12

14

16

18

20

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Dip

ole

V0

Rubidium

RYSUNEK B.1: Połozenie trzech rezonansów w sieci optycznej w funkcji wy-sokosci bariery z udziałem atomów a) Chromu, b) Rubidu.

Na rysunkach (B.1) i (B.2) pokazano połozenie rezonansów dipolowych w sieci

optycznej w dwóch podprzestrzeniach spinowych mF = 3 i mF = 2. Kazdy

DodatekB. 118

6

8

10

12

14

16

18

20

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Dip

ole

V0

Erbium

6

8

10

12

14

16

18

20

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Dip

ole

V0

Dysprosium

RYSUNEK B.2: Połozenie trzech rezonansów w sieci optycznej w funkcji wy-sokosci bariery z udziałem atomów a) Erbu, b) Dysprozu.

punkt wykresu został obarczony słupkiem błedu w postaci wartosci sprzeze-

nia dipolowego. Wyraznie widac, ze im wieksza energia dipolowa atomów w

układzie, tym szybciej dochodzi do przykrycia rezonansów i odzyskiwania two-

rzenia stanu, który charakterem oddaje stan z pułapki harmonicznej.

B.5 Połozenie rezonansów dipolowych z ∆Mz = −1 oraz

∆Mz = −2 dla róznych geometrii sieci.

Mozna rozwazac dwa typy rezonansów dipolowych w zaleznosci od wysokosci

bariery. W sieci optycznej, gdy dwa atomy zmieniaja stan spinowy ∆Mz = −2,

wystepuja trzy rezonanse. W przypadku rezonansu dipolowego z ∆Mz = −1

(tylko jeden z atomów zmienia swój stan spinowy), wystepuje jeden rezonans.

Sterujac geometria sieci, np. czestoscia w kierunku z (Ωz = 2κ), mozna odsepa-

rowac od siebie oba typu wzbudzen z ∆Mz = −1 oraz ∆Mz = −2. To powoduje,

ze odpowiadajace im rezonanse bede wystepowac w róznych polach magnetycz-

nych. Uzyłam tego argumentu, by w tej rozprawie doktorskiej móc rozpatrzec

6

8

10

12

14

16

18

20

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Bre

z

V0

6

8

10

12

14

16

18

20

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Bre

z

V0

RYSUNEK B.3: Porównanie wartosco rezonansowych pól magnetycznych, gdya) κ = 8 b) a) κ = 10, w przypadku transferu dipolowego z dLz = 2 (linie

kolorowe) oraz z dLz = 1 (linia czarna)

kazdy z reoznansów osobno. Na Rys.(B.3) i Rys.(B.4) widac jak zmienia sie

DodatekB. 119

6

8

10

12

14

16

18

20

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Bre

z

V0

RYSUNEK B.4: Porównanie wartosco rezonansowych pól magnetycznych, gdyΩ = 20, w przypadku transferu dipolowego z dLz = 2 (linie kolorowe) oraz z

dLz = 1 (linia czarna).

połozenie rezonansów (∆Mz = −1 i ∆Mz = −2) w funkcji wysokosci bariery oraz

dla kilku wartosci parametrów κ.

Dodatek C

Dodatek C

C.1 Hamiltonian układu dwuskładnikowego:

H0 =∑

i

(Eb − Ea −B)b†ibi + µ(a†iai + b†ibi

)+

1

2Uab

†ib

†ibibi +

1

2Ubb

†ib

†ibibi

+Uab a†ib

†iaibi +D

(Ubb

†ib

†iaiai + a†ia

†ibibi

)

H1 = −Ja

∑

<i,j>

a†iaj + Jb

∑

<i,j>

b†ibj

• Hamiltonian H0 w układzie z jedna czastka na oczko E10 0

0 E01

|10〉|01〉

E10 = −µ

E01 = Eb − Ea −B − µ

• Hamiltonian H0 w układzie z dwoma czastkami na oczko

E20 0 ǫ

0 E11 0

ǫ 0 E02

|2, 0〉|1, 1〉|0, 2〉

E20 = Ua − 2µ

E11 = Eb − Ea −B + Uab − 2µ

E02 = 2 (Eb − Ea −B) + Ub − 2µ

dE = E02 − E20 ǫ = 2D

∆ =√dE2 + (2ε)2

121

DodatekC. 122

Rozwiazania własne:

λ1;2 =1

2

(E20 + E02 −

√dE2 + (2ε)2

)|1; 2> = γ1 |2, 0 > + γ2 |0, 2 >

λ3;2 =1

2

(E20 + E02 +

√dE2 + (2ε)2

)|3; 2> = γ2 |2, 0 > − γ1 |0, 2 >

|2, 0> = γ1 |1; 2 > + γ2 |3; 2 >

|0, 2> = γ2 |1; 2 > − γ1 |3; 2 >

α1 =2 ǫ√

(2 ǫ)2 + (−dE + ∆)2α2 =

dE −∆√(2 ǫ)2 + (−dE + ∆)2

• Opis zaburzenia H1 za pomoca pola sredniego

H1 = Ja

∑

<i,j>

a†i aj + Jb

∑

<i,j>

b†i bj

Opis pola sredniego wymaga wprowadzenia parametru porzadku, zaste-

pujac operatory anihilacji (kreacji) składników a i b przez srednie z tych

pól z jakas mała poprawka. Dodatkowo zaniedbywane sa wyrazy kwadra-

towe w małym zaburzeniu.

ai 7→ 〈ai〉+ δai 〈ai〉 = φai

bi 7→⟨bi

⟩+ δbi

⟨bi

⟩= φbi

a†i aj 7→

(φai

+ δa∗i

) (φaj

+ δaj

)≃≃ φai

φaj+ φai

δaj + φajδa∗

i ≃

≃ φaiaj + φaj

a†i

Analogicznie jest w składniku b. Wówczas hamiltonian H1 mozna zapisac

jako zaburzenie jednooczkowe:

H1 = Ja

∑

i

(φaa†i + φ

∗aai) + Jb

∑

i

(φbb†i + φ

∗b bi) =

∑

i

H i1,

• Pole rezonansowe wynosi Brez = Eb − Ea.

• W obszarze rezonansu stanem o najmniejszej energii E0 jest stan

|1a〉 =(α1 |1, 0〉 − α2 |0, 1〉

).

DodatekC. 123

Energie jednoczastkowe E10 i E01 odpowiadajace stanom Focka |10〉 i |01〉sa równe. Przy niezerowym tunelowaniu taka superpozycja w układzie

zesrednio jedna czastka na oczko ma najmniejsza energie. Stan |1b〉 =(α2|10〉+ α1|01〉

)posiada wieksza energie.

C.2 Srednie operatorów pola składnika a i b.

〈ai〉 = limβ→∞

− 1

Z

∫ β

0dτ Tr

[ai e

−(β−τ)H0 H i1 e

−τH0

]

〈bi〉 = limβ→∞

− 1

Z

∫ β

0dτ Tr

[bi e

−(β−τ)H0 H i1 e

−τH0

](C.1)

gdzie Z =e−β E0.

Niech θ = ai e−τ H0 H i

1 e−(β−τ)H0 = ai e

−τ H0

(Ja φa a

†i + Jb φb b

†i

)e−(β−τ)H0, zas

ϑ = bi e−τ H0 H i

1 e−(β−τ)H0 = b e−τ H0

(Ja φa ai + Jb φb bi

)e−(β−τ)H0.

Chwilowo bede pomijała dolne indeksy i numeryjace oczka.

Układ równan (C.1) rozwazam w bazie |0, 0〉, |1a〉, |1; 2〉, |1, 1〉 i |3; 2〉.

〈 a 〉 = − limβ→∞

eβ E0

β∫

0

dτ

〈0, 0| θ |0, 0〉+ 〈1a| θ |1a〉+ 〈11| θ |11〉+ 〈1; 2| θ |1; 2〉+ . . .

⟨b⟩

= − limβ→∞

eβ E0

β∫

0

dτ

〈0, 0| ϑ |0, 0〉+ 〈1a| ϑ |1a〉+ 〈11| ϑ |11〉+ 〈1; 2| ϑ |1; 2〉+ . . .

DodatekC. 124

C.2.1 Obliczenia dotyczace 〈a〉

〈0, 0| θ |0, 0〉 = 〈0, 0| a e−τ H0

(Ja φa a

† + Jb φb b†)e−(β−τ)H0 |0, 0〉 =

= 〈1, 0| e−τ H0

(zJa φa |1, 0〉+ Jb φb |0, 1〉

)= Ja φa e

−τ E10

〈1a| θ |1a〉 =(α1 〈1, 0| − α2 〈0, 1|

)a e−τ H0

(Ja φa a

† + Jb φb b†)e−(β−τ)H0

(α1 |1, 0〉 − α2 |0, 1〉

)=

=

[√2α1 〈2, 0| − α2 〈1, 1|

]e−τ H0

[Ja φa

(√2α1 |2, 0〉 − α2|1, 1〉

)+

+Jb φb

(α1 |1, 1〉 −

√2α2 |0, 2〉

)]e−(β−τ)E0 =

= Ja φa

[α2

2 e−(β−τ)E0e−τE11 + 2 α2

1 〈2, 0|e−τH0 |2, 0〉 e−(β−τ)E0

]+

− Jb φb

[α1 α2 e

−τE11e−(β−τ)E0 − 2 α1 α2 〈2, 0|e−τH0 |0, 2〉e−(β−τ)E0

]=

= Ja φa

[α2

2 e−βE0eτ(E0−E11) +

+ 2 α21 e

−(β−τ)E0

(γ1〈1; 2| − γ2〈3; 2|

)e−τH0

(γ1|1; 2〉 − γ2|3; 2〉

)e−τE0

]+

− α1 α2 Jb φb

[e−βE0eτ(E0−E11) − 2 γ1 γ2 e

−(β−τ)E0

(e−τλ1;2 − e−τλ3;2

)]=

= Ja φa

[α2

2 e−βE0eτ(E0−E11) +

+ 2 α21

(e−βE0 γ2

1 eτ(E0−λ1;2) + e−βE0 γ2

2 eτ(E0−λ3;2)

)]+

− Jb φb α1 α2

[e−βE0eτ(E0−E11) − 2 γ1 γ2

(e−βE0eτ(E0−λ1;2) − e−βE0eτ(E0−λ3;2)

)]

〈 a 〉 = − limβ→∞

eβ E0 Ja φa

(−1)

E10e−τ E10

∣∣∣β

0+

[α2

2 e−βE0

1

E0 − E11eτ(E0−E11)

∣∣∣β

0+

+ 2 α21

(e−βE0

γ21

E0 − λ1;2eτ(E)−λ1;2)

∣∣∣β

0+ e−βE0

γ22

E0 − λ3;2eτ(E0−λ3;2)

∣∣∣β

0

)]+

+ limβ→∞

eβ E0 Jb φb α1 α2

[e−βE0

1

E0 − E11eτ(E0−E11)

∣∣∣β

0+

− 2 γ1 γ2

(e−βE0

1

E0 − λ1;2eτ(E0−λ1;2)

∣∣∣β

0− e−βE0

1

E0 − λ3;2eτ(E0−λ3;2)

∣∣∣β

0

)]

DodatekC. 125

〈 a 〉 = − limβ→∞

Ja φa

(−1)

E10

(e−β (E10−E0) − eβ E0

)+

[α2

21

E11 − E0

(1− e−β(E11−E0)

)+

+ 2 α21

(γ2

1

λ1;2 − E0

(1− e−β(λ1;2−E0)

)+

γ22

λ3;2 − E0

(1− e−β(λ3;2−E0)

))]+

+ limβ→∞

Jb φb α1 α2

[1

E11 − E0

(1− e−β(E11−E0)

)+

− 2 γ1 γ2

(1

λ1;2 − E0

(1− e−β(λ1;2−E0)

)− 1

λ3;2 − E0

(1− e−β(λ3;2−E0)

))]

• Jesli E0 = E10 = E01 oraz α1 = α2:

〈 a 〉 = −Ja φa

(−1)

E10+

[α2

2

E11 − E0+ 2 α2

1

(γ2

1

λ1;2 − E0+

γ22

λ3;2 − E0

)]+

+Jb φb α1 α2

[1

E11 − E0− 2 γ1 γ2

(1

λ1;2 − E0− 1

λ3;2 − E0

)].

Powyzsze równanie istnieje, jesli sa spełnione warunki:

E0 < 0, λ1;2 > E0, λ3;2 > E0 i E11 > E0.

W rezonansie |1a〉 = 1√2(|1, 0〉 − |0, 1〉), czyli α1 = α2 = 1/

√2, wówczas:

〈 a 〉 = −Ja φa

(−1)

E10+

[1

2 (E11 − E0)+

(γ2

1

λ1;2 − E0+

γ22

λ3;2 − E0

)]+

+1

2Jb φb

[1

E11 − E0− 2 γ1 γ2

(1

λ1;2 − E0− 1

λ3;2 − E0

)].

• Jesli α1 = 1 i α2 = 0, |1a〉 = |1, 0〉, to:

〈 a 〉 = −Ja φa

(−1)

E10+ 2

(γ2

1

λ1;2 − E0+

γ22

λ3;2 − E0

).

Warunki jakie powinny byc spełnione sa okreslone nierównosciami:

E10 < 0, E01 > E10, λ1;2 > E10, λ3;2 > E10 i E11 > E10.

• Jesli α1 = 0 i α2 = 1, |1a〉 = |0, 1〉

〈 a 〉 = −Ja φa

1

E11 − E0.

Warunki jakie powinny byc spełnione sa okreslone nierównosciami:

E01 < 0, E10 > E01, λ1;2 > E01, λ3;2 > E01 i E11 > E01.

DodatekC. 126

C.2.2 Obliczenia dotyczace 〈b〉

〈0, 0| ϑ |0, 0〉 = 〈0, 0| b e−τ H0

(Ja φa a

† + Jb φb b†)e−(β−τ)H0 |0, 0〉 =

= 〈0, 1| e−τ H0

(Ja φa |1, 0〉+ Jb φb |0, 1〉

)= Jb φb e

−τ E01

〈1a| ϑ |1a〉 =(α1〈1, 0| − α2〈0, 1|

)b e−τ H0

(Ja φa a

† + Jb φb b†)e−(β−τ)H0

(α1|1, 0〉 − α2|0, 1〉

)=

=

(α1〈1, 1| −

√2α2〈0, 2|

)e−τ H0

[zJa φa

(√2α1|2, 0〉 − α2|1, 1〉

)+

+zJb φb

(α1|1, 1〉 −

√2α2|0, 2〉

)]e−(β−τ)E0 =

= Ja φa

[(−α1 α2) e−τE11e−(β−τ)E0 + 2α1 α2〈0, 2|e−τH0 |2, 0〉e−τE0

]+

+Jb φb

[α2

1e−τE11e−(β−τ)E0 + 2 α2

2〈0, 2|e−τH0 |0, 2〉e−(β−τ)E0

]

= Ja φa α1 α2

[− e−τE11e−(β−τ)E0 +

+ 2

(γ2〈1; 2|+ γ1〈3; 2|

)e−τH0

(γ1|1; 2〉 − γ2|3; 2〉

)e−(β−τ)E0

]+

+Jb φb

[α2

1e−βE0eτ(E0−E11) +

+ 2 α22

(γ2〈1; 2|+ γ1〈3; 2|

)e−τH0

(γ2|1; 2〉+ γ1|3; 2〉

)e−(β−τ)E0

]=

= Ja φa α1 α2

[− e−βE0eτ(E0−E11) + 2 γ1 γ2

(e−τλ1;2 − e−τλ3;2

)e−(β−τ)E0

]+

+Jb φb

[α2

1 e−βE0eτ(E0−E11) + 2 α2

2

(γ2

2 e−τλ1;2 + γ2

1 e−τλ3;2

)e−(β−τ)E0

]

⟨b⟩

= − limβ→∞

eβ E0 Ja φa α1 α2

− e−βE0

1

E0 − E11eτ(E0−E11)

∣∣∣β

0+

+ 2 γ1 γ2

(e−βE0

1

E0 − λ1;2eτ(E0−λ1;2)

∣∣∣β

0− e−βE0

1

E0 − λ3;2eτ(E0−λ3;2)

∣∣∣β

0

)+

− limβ→∞

eβ E0 Jb φb

(−1)

E01e−τ E01

∣∣∣β

0+ e−βE0

α21

E0 − E11eτ(E0−E11)

∣∣∣β

0+

+ 2 α22

(e−βE0

γ22

E0 − λ1;2eτ(E0−λ1;2)

∣∣∣β

0+ e−βE0

γ21

E0 − λ3;2eτ(E0−λ3;2)

∣∣∣β

0

)

DodatekC. 127

⟨b⟩

= − limβ→∞

Ja φa α1 α2

(−1)

E11 − E0(1− e−β(E11−E0) +

+ 2 γ1 γ2

(1

λ1;2 − E0(1− e−β(λ1;2−E0))− 1

λ3;2 − E0(1− e−β(λ3;2−E0))

)+

− limβ→∞

Jb φb

1

E01(eβ E0 − e−β(E01−E0)) +

α21

E11 − E0(1− e−β(E11−E0)) +

+ 2 α22

(γ2

2

λ1;2 − E0(1− e−β(λ1;2−E0)) +

γ21

λ3;2 − E0(1− e−β(λ3;2−E0))

)

• Jesli E0 = E10 = E01 oraz α1 = α2:

⟨b⟩

= Ja φa α1 α2

1

E11 − E0− 2 γ1 γ2

(1

λ1;2 − E0− 1

λ3;2 − E0

)+

− Jb φb

(−1)

E01+

α21

E11 − E0+ 2 α2

2

(γ2

2

λ1;2 − E0+

γ21

λ3;2 − E0

)


E0 < 0, λ1;2 > E0, λ3;2 > E0 i E11 > E0.

W rezonansie |1a〉 = 1√2(|1, 0〉 − |0, 1〉), czyli α1 = α2 = 1/

√2, wówczas:

⟨b⟩

=1

2Ja φa

1

E11 − E0− 2 γ1 γ2

(1

λ1;2 − E0− 1

λ3;2 − E0

)+

− Jb φb

(−1)

E01+

1

2 (E11 − E0)+

(γ2

2

λ1;2 − E0+

γ21

λ3;2 − E0

)

• Jesli α1 = 1 i α2 = 0, |1a〉 = |1, 0〉

⟨b⟩

= − Jb φb

(1

E11 − E0

)


E10 < 0, λ1;2 > E10, λ3;2 > E10 i E11 > E10.

• Jesli α1 = 0 i α2 = 1, |1a〉 = |0, 1〉

⟨b⟩

= − Jb φb

(−1)

E01+ 2

(γ2

2

λ1;2 − E0+

γ21

λ3;2 − E0

)

DodatekC. 128

Poprzednio zaniedbałam wskazniki dotyczace numeracji oczek. Teraz ponow-

nie do nich powróce.

〈 ai 〉 = −Jaiφai

(−1)

E10+

[1

2 (E11 − E0)+

(γ2

1

λ1;2 − E0+

γ22

λ3;2 − E0

)]+

+1

2Jbi

φbi

[1

E11 − E0− 2 γ1 γ2

(1

λ1;2 − E0− 1

λ3;2 − E0

)]

⟨bi

⟩=

1

2Jai

φai

1

E11 − E0− 2 γ1 γ2

(1

λ1;2 − E0− 1

λ3;2 − E0

)+

− Jbiφbi

(−1)

E01+

1

2 (E11 − E0)+

(γ2

2

λ1;2 − E0+

γ21

λ3;2 − E0

)

Rozwazam rezonansowe warunki w układzie, tzn. Brez = Eb − Ea.

Powyzsze wyrazenia nalezy wysumowac po wszystkich oczkach

∑

i

⟨ai⟩

= Φa,∑

i

φai= zΦa (C.2)

∑

i

⟨bi⟩

= Φb,∑

i

φbi= zΦb (C.3)

Ostatecznie

[1 + Ja

((−1)

E10+[ 1

2 (E11 − E0)+( γ2

1

λ1;2 − E0+

γ22

λ3;2 − E0

)])]Φa +

−Jb

[1

E11 − E0− 2 γ1 γ2

( 1

λ1;2 − E0− 1

λ3;2 − E0

)]Φb = 0

−1

2Ja

[1

E11 − E0− 2 γ1 γ2

(1

λ1;2 − E0− 1

λ3;2 − E0

)]Φa +

[1 + Jb

(2α2

2

E01 − λ1;2+

ω23

λ2;3 − λ1;2+

ω43

λ4;3 − λ1;2

)]Φb = 0

Powyzszy układ równan mozna zapisac w postaci macierzy niesymetrycznej:

(1 + zJaA11(µ, V0) −zJbA21(µ, V0)

−zJaA12(µ, V0) 1 + zJbA22(µ, V0)

)(Φa

Φb

)= 0

albo w postaci macierzy symetrycznej:

(1/zJa + A11(µ, V0) −A21(µ, V0)

−A21(µ, V0) 1/zJb +A22(µ, V0)

)(zJaΦa

zJbΦb

)= 0

DodatekC. 129

Wynikiem diagonalizacji macierzy symetrycznej jest nastepujacy układ własny:

1. wartosc własna

λa =1

2

[1/(zJa) + A11(µ, V0) + 1/(zJb) +A22(µ, V0) +

−

√√√√√((

1/(zJb) +A22(µ, V0))−(1/(zJa) + A11(µ, V0)

))2

+(2A21(µ, V0)

)2]

wektor własny

Ψa = κaΦa + κbΦb

2. wartosc własna

λb =1

2

[1/(zJa) + A11(µ, V0) + 1/zJb +A22(µ, V0) +

+

√√√√√((

1/(zJb) +A22(µ, V0))−(1/(zJa) + A11(µ, V0)

))2

+(2A21(µ, V0)

)2]

wektor własny

Ψa = −κbΦa + κaΦb

Macierz diagonalna M w bazie wektorów własnych Ψa i Ψb

(λa 0

0 λb

)(Ψa

Ψb

)= 0.

Bibliografia

[1] J. Kronjäger, C. Becker, P. Soltan-Panahi, K. Bongs, and K. Sengstock

Phys. Rev. Lett. 105, 090402 (2010).

[2] M. Matuszewski, K. Bongs, J. Kronjäger, Phys. Rev. A 85, 023635 (2012).

[3] E. Demler, F. Zhou, Phys. Rev. Lett. 88, 163001 (2002).

[4] Á. Rapp, G. Zaránd, C. Honerkamp, W. Hofstetter, Phys. Rev. Lett. 98,

160405 (2007).

[5] E. A. Donley, N. R. Claussen, S. L. Cornish, J. L. Roberts, Eric A. Cornell,

Carl E. Wieman, Nature 412, 295 (2001).

[6] M. Griesmaier, J. Werner, S. Hensler, J. Stuhler, and T. Pfau, Bose-Einstein

Condensation of Chromium, Phys. Rev. Lett. 94, 160401 (2005).

[7] J. Stuhler, A. Griesmaier, T. Koch, M. Fattori, S. Giovanazzi, P. Pedri, L.

Santos and T. Pfau , Phys. Rev. Lett. 95, 150406 (2005).

[8] http://www.pi5.uni-stuttgart.de/en/research/projects.php/A/

[9] A. Einstein and W.J. de Haas, Verh. Dtsch. Phys. Ges. 17, 152 (1915).

[10] A. Einstein, W. J. de Haas, Experimental proof of the existence of

Ampe‘re’s molecular currents (in English), Koninklijke Akademie van We-

tenschappen te Amsterdam, Proceedings, 18 I, pp. 696 96711 (1915).

[11] Y. Kawaguchi, H. Saito, and M. Ueda, Phys. Rev. Lett. 96, 080405 (2006).

[12] L. Santos and T. Pfau, Phys. Rev.Lett. 96, 190404 (2006).

[13] K. Gawryluk et al., Phys. Rev. Lett. 99, 130401 (2007).

[14] T. Swisłocki et al., Phys. Rev. A 83, 063617 (2011).

[15] B. Pasquiou, E. Maréchal, G. Bismut, P. Pedri, L. Vernac, O. Gorceix, and

B. Laburthe-Tolra, Phys. Rev. Lett.106, 255303 (2011).

131

Bibliografia 132

[16] A. de Paz, A. Chotia, E. Maréchal, P. Pedri, L. Vernac, O. Gorceix,B.

Laburthe-Tolra, Phys. Rev. A 87, 051609(R) (2013).

[17] D.Peter, A. Griesmaier, T. Pfau, H.P.Büchler, Phys. Rev. Lett. 110, 145303

(2013).

[18] T. Sowinski, M. Łacki, O. Dutta, J. Pietraszewicz, P. Sierant, M. Gajda, J.

Zakrzewski, M. Lewenstein arXiv:1304.6299

[19] A. Collin, J. Larson, and J.-P. Martikainen, Phys. Rev. A 81, 023605

(2010).

[20] F. Pinheiro, J.-P. Martikainen, and J. Larson, Phys. Rev. A 85, 033638

(2012).

[21] I. Bloch, J. Dalibard, W. Zwerger, Rev. Mod. Phys. 80, 885 (2008).

[22] M. Lewenstein et al., Advances in Physics 56, 243 (2007).

[23] M. A. Baranov, Phys. Rep. 464, 71 (2008).

[24] T. Lahaye et al., Rep. Prog. Phys. 72, 126401 (2009).

[25] K. Rodrigues et al., Phys. Rev. Lett 105 050402 (2010).

[26] P.Soltan-Panahi et al. Nature Phys. 7, 434, (2011).

[27] M. Lewenstein, W. V. Liu, Nature Physics 7, 101 (2011).

[28] L. Santos, T. Pfau, Phys. Rev. Lett. 96, 190404 (2006).

[29] Roberto B. Diener and Tin-Lun Ho, Physical Review Letters 96, 190405

(2006).

[30] A. J. Leggett, Rev. Mod. Phys. Volume 73, April (2001).

[31] C. Trefzger, C. Menotti, B. Capogrosso-Sansone, M. Lewenstein J. Phys.

B: At. Mol. Opt. Phys. 44, 193001 (2011)

[32] I. Bloch, Nat. Phys. 1 23-30 (2005).

[33] L. Tarruell, D. Greif, T. Uehlinger, G. Jotzu, T. Esslinger, Nature 483, 302

-305 (2012).

[34] D. Jakscha, P. Zoller, „The cold atom Hubbard toolbox”, Annals of Physics

Volume 315, Issue 1, Pages 52 - 79, January (2005).

[35] A. de Paz, A. Sharma, A. Chotia, E. Marechal, J. Huckans, P. Pedri, L.

Santos, O. Gorceix, L. Vernac, B. Laburthe-Tolra arXiV: 1306.2754

Bibliografia 133

[36] J. Spałek, arXiv:0706.4236v1, 28 Jun (2007)

[37] E. Eisenberg, R. Berkovits,D. A. Huse1, and B. L. Altshuler, Phys. Rev. B

65, 134437 (2002)

[38] F. C. Zhang , Phys. Rev. B 37, 3759 (1988)

[39] T. Kimura, S. Tsuchiya, S. Kurihara , Phys. Rev. Lett. 94, 110403 (2005).

[40] M.Greiner, "Ultracold quantum gases in three-dimensional optical lattice

potencials "Dissertation in München, January 22 (2003).

[41] M. P. A. Fisher et al., Phys. Rev. B 40, 546 (1989).

[42] K. Gawryluk, K. Bongs, and M. Brewczyk, Phys. Rev. Lett. 106 140403

(2011).

[43] M. Lu, N. Q. Burdick, S. H. Youn, B. L. Lev, Phys. Rev. Lett. 107, 190401

(2011)

[44] K. Aikawa, A. Frisch, M. Mark, S. Baier, A. Rietzler, R. Grimm, F. Ferlaino,

Phys. Rev. Lett. 108, 210401 (2012)

Ultra zimne atomy bozonowe ze słabym magnetycznym...

Documents

Transcript of Ultra zimne atomy bozonowe ze słabym magnetycznym...