Uloga Neterinog naboja u savremenim zi ckim teorijama sa aspekta funkcionalnog formalizma · 2016....

Uloga Neterinog naboja u savremenimfizičkim teorijama sa aspekta funkcionalnog

formalizma

-diplomski rad-

Kandidat: Nemanja Micić Mentor: dr Slobodan Radošević

Novi Sad, septembar 2016.

Uloga Neterinog naboja u savremenim fizičkim teorijama sa aspekta funkcionalnog formalizma

Predgovor

Ovaj rad je pisan na katedri za Teorijsku fiziku pod mentorstvom profesora SlobodanaRadoševića, kome dugujem zahvalnost na savetovanju i sugestijama prilikom konstrukcije,izrade i detaljnog pregledanja diplomskog rada.

Zahvaljujem se takod̄e ostalim članovima ove katedre, koji su me tokom studija naizbornim predmetima uputili u osnove teorijske fizike.

Na kraju, jedno veliko hvala mojoj porodici, prijateljima i kolegama, koji su bili uz menetokom prethodne četiri godine studija i pružali mi podršku.

Nemanja Micić

Stranica 2


Sadržaj

1 Funkcionalni formalizam. 51.1 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Hamiltonov princip u Analitičkoj Mehanici. 112.1 Teorema Emi Neter u analitičkoj mehanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Zakon održanja energije kao posledica vremenske translacije . . . . . 142.1.2 Zakon održanja momenta impulsa kao posledica rotacione invarijantnosti 152.1.3 Zakon održanja impulsa kao posledica translacione invarijantnosti . . 16

3 Osnovi klasične teorije polja 173.1 Varijacioni princip za klasično polje i veza sa mehanikom čestica . . . . . . . 173.2 Ojler - Lagranževe jednačine klasične teorije polja . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Hamiltonov formalizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Teorema Emi Neter u teoriji polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.1 Invarijantnost usled translacije. Simetrizacija tenzor energije - impulsa 263.4.2 Lorenc - invarijantnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4.3 Zakon održanja naelektrisanja kao posledica unutrašnje U(1) simetrije

kod kompleksnog (skalarnog) polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Poasonove zagrade u teoriji polja. Tenzor energije - impulsa . . . . . . . . . 33

4 Primena Neterine teoreme u fizici kondenzovanog stanja materije. Spon-tano narušenje simetrije. 354.1 Goldstonovi bozoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Analiza integrala kretanja Hajzenbergovog modela fero- i antiferomagneta . . 35

5 Zaključak 41

6 Kratka biografija kandidata 44

Stranica 3


UvodSvoju čuvenu teoremu, Emi Neter je dokazala 1915. godine. Sam Ajnštajn, koji je

pročitao njen rad, napisao je Hilbertu pismo koje je u sebi sadržalo sledeću rečenicu : ”Jučeod gospod̄ice Neter primih veoma zanimljiv rad o invarijantama. Zadivljen sam činjenicomda se takvi problemi mogu razumeti na tako opšti način.”

Naime, teorema Emi Neter nudi jasnu vezu izmed̄u simetrije datog fizičkog sistema iveličina koje se očuvavaju tokom vremena. Najpoznatije zakone, sa kojima se susrećemotokom osnovnog školovanja, a to su: zakon održanja impulsa i energije, Neterina teoremalepo dokazuje na osnovu čisto matematičkog formalizma, a zahtevajući da dejstvo lagranževefunkcije bude invarijantno na infinitezimalne transformacije. Ova teorema, kao što će sepokazati kroz rad, doživljava svoju široku primenu ne samo u analitičkoj mehanici, negoi u klasičnoj teoriji polja, koja predstavlja osnovu ka kanonskoj kvantizaciji i prelasku nakvantnu teoriju polja, i u fizici kondenzovane materije. U poslednjem poglavlju analiziranje Hajzenbergov model fero i antiferomagnetnog ured̄enja i primenom ove teoreme, jasno sepokazuje koji su integrali kretanja kod ova dva sistema magnetika. Važno je napomenuti daona svoju primenu nalazi i u teoriji elementarnih čestica, kojoj u ovom radu nije posvećenapažnja. Akcenat je stavljen na sisteme kondenzovane materije. Rad je baziran na četiripoglavlja, od kojih je u prvom posvećena pažnja funkcionalnom formalizmu i nalaženjufunkcionalnih izvoda odred̄enih funkcionala koji su korǐsćeni tokom pisanja rada.

Slika 1 - Emi Neter sa svojim čuvenim kvadrivektorom struje1

U radu su tro - vektori (trodimenzionalni vektori) označeni boldovanjem.

1Slika je preuzeta sa sajta http : //www.famousscientists.org/emmy − noether/

Stranica 4


Poglavlje 1

1 Funkcionalni formalizam.

Funkcionalni formalizam se pokazao kao krucijalan za razvoj teorijske fizike, prven-stveno zato što je olakšao uopštenje procesa kvantizacije (od kvantne mehanike, do nerel-ativističke i relativističke teorije polja, pa sve do teorija struna i polja u zakrivljenomprostor-vremenu), no i zato što je u jedinstveni formalizam obuhvatio dva osnovna pravcateorijske fizike: fiziku visokih energija (tj. fiziku elementarnih čestica) i fiziku kondenzo-vanog stanja materije, omogućivši time razmenu niza osnovnih ideja izmed̄u ove dve oblasti(npr. narušenje simetrije i fazni prelazi). Funkcionalni formalizam je idealan za proučavanjesimetrija neke teorije. Na primer, kod gejdž2 teorija ovaj formalizam omogućava da na el-egantan način zadržimo relativističku kovarijantnost teorije istovremeno fiksirajući kalibra-cioni uslov. Nešto širi krug teorija se može proučavati aproksimativno i u izvod̄enju raznihaproksimativnih šema je funkcionalni formalizam bio od posebne koristi. Ipak, najveći brojteorija od interesa moramo rešavati isključivo numerički, kako bismo dobili zadovoljavajućerezultate. Ovde se vidi dodatna velika prednost funkcionalnog formalizma, pošto je defini-cija funkcionalnih integrala kao limesa diskretnih izraza izuzetno pogodna za numerički rad.Jedna od najvažnijih osobina funkcionalnog formalizma je činjenica da omogućava primenumoćnih numeričkih metoda, kao što je Monte Karlo, za rešavanje relevantnih fizičkih prob-lema. Treba napomenuti, med̄utim, da su numeričke simulacije za računanje funkcionalnihintegrala izuzetno računarski zahtevne [1, 2].

Po definiciji, funkcija je pravilo koje elementima jednog skupa M pridružuje elementedrugog skupa N :

φ : x 7→ φ(x) ; x ∈M ∧ φ(x) ∈ N (1.1)

Sa druge strane, funkcional je definisan kao preslikavanje sa normiranog linearnog prostorafunkcija na polje realnih (kompleksnih) brojeva.

S : φ(x) 7→ S [φ(x)] ∈ R(C) (1.2)

Klasične jednačine kretanja dobijamo iz stacionarnosti dejstva pri infinitezimalnim transfor-macijama tipa:

φ(x)→ φ(x) + δφ(x) (1.3)

gde je δφ(x) - infinitezimalno mala funkcija, odnosno mala popravka na funkciju φ(x). Sadakada je definisana infinitezimalna transformacija tipa (1.3), možemo slično kao i u običnojanalizi, ponašanje funkcionala prilikom male promene njegovog argumenta definisati izvodomfunkcionala [4]:

δS [φ]

δφ(y)= lim

�→0

1

�(S [φ+ �δ(x− y)]− S [φ]) (1.4)

2Gejdž ili lokalne simetrije su dinamičke simetrije koje zavise od prostorno - vremenskih koordinata[1].

Stranica 5


gde �δ(x − y) = δφ(x) igra ulogu male varijacije argumenta funkcionala lokalizovanog okotačke y.

Gornju definiciju funkcionalnog izvoda treba dopuniti uslovom da se granična vrednostlim�→0 uzima pre svih drugih koji se mogu pojaviti u izrazu. Tako osiguravamo odsustvoproblematičnih članova tipa [δ(x− y)]m, gde je m > 1. Važan je i uslov da varijacijafunkcije δφ ǐsčezava na granicama integracije. U nastavku će biti odrad̄eno nekoliko primerafunkcionalnih izvoda zanimljivih za fiziku.

1.1 Primeri

Primer broj 1: Neka je dat funkcional: S[f ] =∫ badtf 2(t). Naći njegov funkcionalni izvod.

Rešenje: Koristimo definiciju funkcionalnog izvoda (1.3):

δS [f ]

δf(τ)= lim

�→0

1

�(S [f + �δ(t− τ)]− S [f ])

= lim�→0

1

�

(∫ ba

dt[f(t) + �δ(t− τ)

]2−∫ ba

dtf 2(t)

)= lim

�→0

1

��

(∫ ba

dt[��f 2(t) + 2f(t)��δ(t− τ)−��

�f 2(t)])

= 2

∫ ba

dtf(t)δ(t− τ)

= 2f(τ) (1.5)

Primer broj 2: Neka je dat funkcional: S[y] =∫ tt0dtf(y(t), ẏ(t)). Od svih funkcija y = y(t),

pronaći onu za koju integral S[y] ima minimalnu (ekstremnu vrednost).Rešenje:

δS[y]

δy(τ)= lim

�→0

1

�

(∫ tt0

dtf

(y + �δ(t− τ), d

dt(y + �δ(t− τ))

)− f(y, ẏ)

)(1.6)

Razvićemo funkciju f(y + �δ(t− τ), d

dt(y + �δ(t− τ))

)u Tejlorov red do linearnih članova:

f

(y + �δ(t− τ), d

dt(y + �δ(t− τ))

)≈ f(y, ẏ) + ∂f

∂y�δ(t− τ) + ∂f

∂ẏ�d

dtδ(t− τ) (1.7)

Iskoristićemo (1.8) u relaciji (1.7):

δS[y]

δy(τ)= lim

�→0

1

��

(∫ tt0

dt[��

�f(y, ẏ) +∂f

∂y ��δ(t− τ) + ∂f

∂ẏ ��d

dtδ(t− τ)−��f(y, ẏ)

])(1.8)

δS[y]

δy(τ)=

∫ tt0

dt[∂f∂yδ(t− τ) +

��

��:0d

dt

(∂f

∂ẏδ(t− τ)

)− ddt

∂f

∂ẏδ(t− τ)

](1.9)

Stranica 6


Član koji je u (1.9) jednak nuli, jednak je iz razloga što varijacije ǐsčezavaju u tačkamaintegracije. Kako tražimo ekstremnu vrednost, izjednačićemo (1.9) sa nulom:

δS[y]

δy(τ)=

∫ tt0

dtδ(t− τ)[∂f∂y− ddt

∂f

∂ẏ

]= 0 (1.10)

Iz (1.10) sledi:

δS[y]

δy(t)=∂f

∂y− ddt

∂f

∂ẏ= 0 (1.11)

Rešavanjem diferencijalne jednačine (1.11) dobijamo onu funkciju y = y(t) za koju integralS[y] ima ekstremnu (minimalnu) vrednost. Ove jednačine su poznate pod nazivom ”Ojler- Lagranževe jednačine”Primer broj 3:Neka je dat funkcional: Fx(φ) = φ(x). Naći funkcionalni izvod.Rešenje:

δFx(φ)

δφ(y)=

δφ(x)

δφ(y)

= lim�→0

1

��(��φ(x) + ��δ(x− y)−��φ(x))

= δ(x− y) (1.12)

Primer broj 4:Neka je dat funkcional: Fx(φ) = ∇xφ(x). Naći funkcionalni izvod.Rešenje:

δFx(φ)

δφ(y)= lim

�→0

1

�(∇x(φ(x) + �δ(x− y))−∇xφ(x))

= lim�→0

1

��(��

��∇xφ(x) + ��∇xδ(x− y)−��∇xφ(x))

= ∇xδ(x− y) (1.13)

* Napomena: Ako su φ(x) i λ(x) nezavisne promenljive, tada je:

δφ(x)

δλ(x)= 0 (1.14)

Primer broj 5:Neka je dat funkcional S[x, y] =

∫ tt0f(t, x(t), y(t), ẋ(t), ẏ(t))dt. Naći funkcionalni izvod po x

i y komponenti.Rešenje:

δS[x, y]

δx(τ)=

∫ tt0

dt

δfδx(t)

δx(t)

δx(τ)+

δf

δy(t)��

0δy(t)

δx(τ)+

δf

δẋ(t)��

0δẋ(t)

δx(τ)+

δf

δẏ(t)��

0δẏ

δx(τ)

(1.15)Stranica 7


δS[x, y]

δx(τ)=

∫ tt0

dtδf

δx(t)δ(t− τ) = δf(x, y, ẋ, ẏ)

δx(τ)(1.16)

Analogno dobijamo rezultat za funkcionalni izvod po y komponenti:

δS[x, y]

δy(τ)=

∫ tt0

dtδf

δy(t)δ(t− τ) = δf(x, y, ẋ, ẏ)

δy(τ)(1.17)

Traženje funkcionalnog izvoda (1.17) prema definiciji (1.4), navešće nas na oblik (1.9), te akobismo iskoristili uslov stacionarnosti, kao rezultat dobijamo Ojler - Lagranževe jednačine,definisane relacijom (1.11).Primer broj 6:Neka je dat funkcional S[y] =

∫ tt0dtf(t, y, y′, y′′). Od svih funkcija y = y(t) naći onu za koju

integral S[y] ima ekstremnu vrednost.Rešenje:

δS[y]

δy(τ)= lim

ε→0

1

ε

∫ tt0

dt

(f(y + εδ(t− τ), d

dt(y + εδ(t− τ)), d

2

dt2(y + εδ(t− τ))− f(y, y′, y′′)

)(1.18)

Razvijamo funkciju f(y + εδ(t − τ), ddt

(y + εδ(t − τ)), d2dt2

(y + εδ(t − τ)) u Tejlorov red, uzaproksimaciju do linearnih članova:

f(y + εδ(t− τ), ddt

(y + εδ(t− τ)), d2

dt2(y + εδ(t− τ)) ≈

f(y, y′, y′′) +∂f

∂yεδ(t− τ) + ∂f

∂y′εd

dtδ(t− τ) + ∂f

∂y′′εd2

dt2δ(t− τ) (1.19)

Jednakost dobijenu razvijanjem u Tejlorov red ćemo uvrstiti u relaciju (1.18), te, tražećiekstremnu vrednost datog funkcionala, izjednačićemo funkcionalni izvod (1.18) sa nulom.

limε→0

1

�ε

∫ tt0

dt

(∂f

∂y �εδ(t− τ) + ∂f

∂y′ �εd

dtδ(t− τ) + ∂f

∂y′′ �εd2

dt2δ(t− τ)

)= 0 (1.20)

Integral (1.20) se sastoji od tri sabirka, od kojih dva mogu da se zapǐsu konciznije i u formikoja je nama zgodna za dalji rad. U tom cilju, sred̄ujemo drugi sabirak:∫ t

t0

dt∂f

∂y′d

dtδ(t− τ) =

∫ tt0

dt

(��

��

�:0d

dt

(∂f

∂y′δ(t− τ)

)− ddt

∂f

∂y′δ(t− τ)

)(1.21)

∫ tt0

dt∂f

∂y′d

dtδ(t− τ) = −

∫ tt0

dtd

dt

∂f

∂y′δ(t− τ) (1.22)

Ostaje nam da sredimo treći član u izrazu (1.20)∫ tt0

dt∂f

∂y′′d2

dt2δ(t− τ) =

∫ tt0

dt

(d

dt

(∂f

∂y′′d

dtδ(t− τ)

)− ddt

∂f

∂y′′d

dtδ(t− τ)

)(1.23)

Stranica 8


U relaciji (1.23) prvi sabirak će analogno prethodnom članu biti jednak nuli, te ostaje samodrugi sabirak, a njega rešavamo parcijalnom integracijom, uzimajući za vrednost u = d

dt∂f∂y′′

,

a za dv = ddtδ(t− τ), te nas to nakon trivijalnog računa dovodi do kompaktnog zapisa trećeg

sabirka iz (1.20): ∫ tt0

dt∂f

∂y′′d2

dt2δ(t− τ) =

∫ tt0

dtδ(t− τ) d2

dt2∂f

∂y′′(1.24)

Dobijene rezultate (1.22) i (1.24) vraćamo u (1.20):∫ tt0

dtδ(t− τ)(∂f

∂y− ddt

∂f

∂y′+d2

dt2∂f

∂y′′

)= 0 (1.25)

Te iz (1.25) sledi:

∂f

∂y− ddt

∂f

∂y′+d2

dt2∂f

∂y′′= 0 (1.26)

Relacija (1.26) predstavlja Ojler - Lagranževu jednačinu kada je funkcija oblika f = f(y, y′, y′′).Analogno, ako je data funkcija tipa f = f(y, y′, y′′, y′′′, ..., y(n)), opšti oblik Ojler - Lagranževejednačine glasi [3]:

∂f

∂y− ddt

∂f

∂y′+d2

dt2∂f

∂y′′− ...+ (−1)n d

n

dtn∂f

∂y(n)= 0 (1.27)

ili konciznije [3]:

n∑k=0

(−1)k dk

dtk∂f

∂y(k)= 0 (1.28)

Primer broj 7:Neka je dat funkcional S[q] =

∫ tt0

∫ ss0L(q(s, t), ∂q

∂t, ∂q∂s

). Od svih funkcija q = q(s, t) naći onu

za koju integral S[q] ima ekstremnu vrednost.Rešenje:

δS[q]

δq(τ, σ)= lim

ε→0

1

ε

(∫ tt0

dt

∫ ss0

ds

(L(X)− L(q, ∂q

∂t,∂q

∂s)

))(1.29)

gde je:

X =

q + εδ(t− τ)δ(s− σ)ddt

(q + εδ(t− τ)δ(s− σ))dds

(q + εδ(t− τ)δ(s− σ))

(1.30)

Stranica 9


Razvićemo funkciju L = L(X) u Tejlorov red, uz aproksimaciju do linearnih članova:

L(X) ≈ L(q, ∂q∂t,∂q

∂s) +

∂L

∂qεδ(t− τ)δ(s− σ) + ∂L

∂(∂tq)εδ(s− σ) d

dtδ(t− τ)

+∂L

∂(∂sq)εδ(t− τ) d

dsδ(s− σ) (1.31)

Ako sada izraz (1.31) uvrstimo u (1.29) nakon sred̄ivanja dobijamo izraz:

δS[q]

δq(τ, σ)=

∫ tt0

dt

∫ ss0

ds(∂L

∂qεδ(t− τ)δ(s− σ) + ∂L

∂(∂tq)εδ(s− σ) d

dtδ(t− τ)

+∂L

∂(∂sq)εδ(t− τ) d

dsδ(s− σ)) (1.32)

U izrazu (1.32) trebamo dovesti drugi i treći sabirak na koncizan zapis, te kao i u prethodnimprimerima, bez detaljnijeg izvod̄enja kažemo da se izraz (1.32) svodi, uzimajući u obzir davarijacije ǐsčezavaju u granicama integracije, kao i da tražimo ekstremnu vrednost funkcionalaL(q) na oblik:

δS[q]

δq(τ, σ)=

∫ tt0

dt

∫ ss0

ds

(∂L

∂q− ddt

∂L

∂(∂tq)− dds

∂L

∂(∂sq)

)δ(t− τ)δ(s− σ) = 0 (1.33)

Iz (1.33) sledi:

∂L

∂q− ddt

∂L

∂(∂tq)− dds

∂L

∂(∂sq)= 0 (1.34)

Na rezultate dobijene u prethodnim primerima ćemo se pozivati u narednim poglavljima.

Stranica 10


Poglavlje 2

2 Hamiltonov princip u Analitičkoj Mehanici.

Posmatrajmo stvarno kretanje čestica bez ili sa idealnim holonomnim vezama i potencijalnimsilama. Definǐsimo Hamiltonovo dejstvo:

S[qi(t)

]=

∫ tt0

dtL (qi(t), q̇i(t)) ; i = 1, 2, 3, . . . , N (2.1)

Kretanje se vrši tako da je dejstvo minimalno, odnosno:

δS[qi(t)]

δqi(τ)= 0 (2.2)

”Stvarno kretanje sistema čestica bez veza ili sa idealnim holonomnim vezama i potencijal-nim silama se vrši tako da Hamiltonovo dejstvo duž pravog puta ima stacionarnu vrednost uodnosu na vrednosti dejstva svih zaobilaznih puteva.”[5]

Korǐsćenjem definicije funkcionalnog izvoda, lako se može naći eksplicitan oblik funkcionalnogizvoda Hamiltonovog dejstva. Ovaj izvod je izračunat, a kao rezultat je dobijena relacija(1.11). Formalnom smenom:

y(t)→ qi(t) ; ẏ(t)→ q̇i(t) ; f [y, ẏ]→ L[qi, q̇i]

Dobijamo:

∂L

∂qi− ddt

∂L

∂q̇i= 0 (2.3)

Diferencijalne jednačine (2.3) su tzv. Ojler - Lagranževe jednačine za varijacioni princip[5].

Hamiltonov princip predstavlja jedan opšti integralni princip mehanike, jer je formulisanu vidu uslova koji mora zadovoljavati dejstvo zadato u integralnom obliku. Analizom se možepokazati da se δ2S[q] za dovoljno mali vremenski interval uvek svodi na minimum dejstva[5].Hamiltonov princip i Ojler - Lagranževe jednačine su ekvivalentni med̄usobno, tj. Ojler -Lagranževe jednačine odred̄uju upravo one funkcije qi(t) za koje Hamiltonovo dejstvo pridovoljno malom vremenskom intervalu (ti, tf ) ima minimalnu vrednost[5].

Stav: Sve Lagranževe funkcije koje se razlikuju totalnim izvodom po vremenu ma kakvefunkcije položaja i vremena su med̄usobno ekvivalentne, tj. daju iste Ojler - Lagranževejednačine.Dokaz: Neka je data Lagranževa funkcija L′(qi, q̇i, t) koja se razlikuje od prvobitne La-granževe funkcije totalnim izvodom po vremenu bilo kakve funkcije vremena i koordinata:

L′(qi, q̇i, t) = L(qi, q̇i, t) +d

dtf(qi, t) (2.4)

Stranica 11


Kako su Lagranževe jednačine ekvivalentne Hamiltonovom principu, potražimo dejstvo La-granževe funkcije L′(qi, q̇i, t):

W ′ =

∫ tt0

dtL(qi, q̇i, t) +

∫ tt0

dtd

dtf(qi, t)

= W +

∫ tt0

df(qi, t)

= W + f(q, t)− f(q0, t0) (2.5)

Pri variranju dejstva W ′ drugi i treći član rezultuju nulom, jer varijacije ǐsčezavaju u grani-cama integracije. Dobija se kao rezultat:

δW = δW ′ = 0 (2.6)

time je stav dokazan.Hamiltonov integralni princip, kao tipičan predstavnik varijacionog principa, pokazuje

izvesnu moć koncepcije varijacionog računa. On u kompaktnoj formi sadrži svu mehanikusistema sa potencijalnim silama i holonomnim vezama i u njemu figurǐsu veličine koje nisuvezane posebnim sistemom koordinata, te kažemo s toga da je ovaj princip invarijantan nabilo kakve transformacije generalisanih koordinata [5].

2.1 Teorema Emi Neter u analitičkoj mehanici

Neka je mehanički sistem opisan Lagranžijanom L i dejstvom S:

S =

∫ tfti

L (q(t), q̇(t), t) dt (2.7)

Svi zakoni održanja su posledica simetrije fizičkog sistema. Ispitivanje simetrije sistemasvodi se na ispitivanje ponašanja dejstva pri simetrijskim transformacijama. Pri kontinual-nim transformacijama, generalisane koordinate i vreme prelaze u nove, primovane general-isane koordinate i primovano vreme prema:

t→ t′(t) ; qi(t)→ q′i(t′) (2.8)

Ograničimo se na infinitezimalne transformacije:

t→ t′ = t+ δt(t) (2.9)

qi(t)→ q′i(t′) = qi(t) + δqi(t)

Sa δt(t) smo označili infinitezimalnu promenu vremena koja može zavisiti od vremena, a saδqi(t) infinitezimalnu promenu generalisanih koordinata.

Potražimo sada promenu dejstva pri transformacijama (2.9). Dejstvo se menja zbogpromene koordinata i vremena. Takod̄e, menjaju se i granice integracije. Donja granica

Stranica 12


postaje t′1 = t1 + δt(t1), slično važi i za gornju granicu. Promenu dejstva definǐsemo nasledeći način:

δS = S ′ − S =∫ t′2t′1

L(q′(t′), q̇′(t′), t′

)dt′ −

∫ t2t1

L (q(t), q̇(t), t) dt (2.10)

U dejstvu S ′ smenićemo promenljive; sa t′ ćemo preći na t. Iz transformacije vremena, lakodobijamo tu vezu med̄u promenljivima:

dt′ = dt

(1 +

d(δt)

dt

)(2.11)

Kao i da je:

L(q′(t′), q̇′(t′), t′

)= L (q′(t+ δt), q̇′(t+ δt), t+ δt)

= L(q′(t), q̇′(t), t

)+dL(q′(t), q̇′(t), t

)dt

δt (2.12)

U drugom sabirku relacije (2.12) ćemo ukloniti primovane generalisane koordinate i brzineod kojih zavisi Lagranžijan, te prelazimo na neprimovane veličine, jer računamo u prvomredu po malim veličinama. Taj član je infinitezimalno mala veličina prvog reda zbog članaδt. Transformisano dejstvo S ′ sada ima oblik:

S ′ =

∫ tfti

dt

(1 +

d(δt)

dt

)(L(q′(t), q̇′(t), t

)+dL

dtδt

)'

∫ tfti

dt

(L(q′(t), q̇′(t), t

)+d(Lδt)

dt

)(2.13)

sa tačnošću do prvog reda po malim veličinama. Ako uvedemo varijaciju forme koordinatasa:

δ0qi(t) = q′i(t)− qi(t) (2.14)

onda je:

L(q′(t), q̇′(t), t

)= L (q(t), q̇(t), t) +

∑i

∂L

∂qiδ0qi +

∑i

∂L

∂q̇iδ0

(dqidt

)(2.15)

Koristeći Ojler - Lagranževu jednačinu možemo izraziti:

∂L

∂qi=

d

dt

(∂L

∂q̇i

)(2.16)

Pa ako nju iskoristimo u relaciji (2.15) dobijamo koncizniji zapis:

L(q′(t), q̇′(t), t

)= L (q(t), q̇(t), t) +

d

dt

(∑i

∂L

∂q̇iδ0qi

)(2.17)

Stranica 13


Prema tome, infinitezimalna promena dejstva δS iznosi, nakon elementarnijeg sred̄ivanja:

δS =

(Lδt+

∑i

∂L

∂q̇iδ0qi

)tfti (2.18)

Pretpostavimo da je dejstvo invarijatno na tranformacije, odnosno δS = 0, onda kažemo dasu te trasformacije simetrija našeg modela. Tada sledi da je:

Q = Lδt+∑i

∂L

∂q̇iδ0qi (2.19)

konstanta kretanja.Ovaj iskaz je poznat pod nazivom Teorema Emi Neter. Teorema Emi Neter igra ve-

liku ulogu u klasičnoj i kvantnoj teoriji polja, kao veza izmed̄u simetrijskih transformacija izakona održanja [6].

Relacija3 (2.20) je tačna u linearnom redu po varijacijama δt i δqi, zato je:

δ0qi(t) = δ0qi(t′)

Uopštenije, dejstvo je invarijantno ukoliko je promena Lagranžijana izvod po vremenu nekefunkcije F.

δS =

∫ tfti

dtd(δF )

dt= δF |tfti (2.21)

Promena dejstva, tj. δF , nalazi se eksplicitno zamenom transformacije (2.9) u dejstvo. Akose ispostavi da je δF 6= 0, tada je:

Q = Lδt+∑i

∂L

∂q̇iδ0qi − δF (2.22)

konstanta kretanja[6].

2.1.1 Zakon održanja energije kao posledica vremenske translacije

Data je translacija sistema u vremenu:

t′ = t+ τ (2.23)

q′i(t′) = qi(t)

3Varijacija forme koordinate δ0qi(t) je povezana sa totalnom varijacijom koordinate δqi(t):

δqi(t) = δ0qi(t) + q̇i(t)δt (2.20)

Stranica 14


gde je τ konstanta. Ako Lagranžijan ne zavisi eksplicitno od vremena, tada je δF = 0,odnosno δS = 0. Iz:

δqi(t) = 0 → δ0qi(t) = −q̇i(t)τ (2.24)

Tada se kao integral kretanja po Teoremi Emi Neter javlja:

Lδt+∑i

∂L

∂q̇iδ0qi = Lτ −

∑i

piq̇iτ

= −τ(∑i

piq̇i − L)

= −τE = const. (2.25)

Zanemarujući konstantu −τ , prepoznajemo u (2.25) da je član u zagradi zapravo Ležandrovatransformacija Lagranžijana, a to je upravo Hamiltonova funkcija, što nam kazuje da jeintegral kretanja energija sistema.

2.1.2 Zakon održanja momenta impulsa kao posledica rotacione invarijantnosti

Lagranžijan slobodnog izolovanog sistema čestica koje interaguju centralnim konzervativnimsilama:

L =1

2

N∑i=1

miṙ2i −

1

2

N∑i,j=1

Uij(|ri − rj|) (2.26)

invarijantan je na rotacije:

t′ = t (2.27)

r′i = ri + δΩ× ri

Tako da je δF = 0. Prema teoremi Emi Neter, kao integral kretanja se javlja:

N∑i=1

∂L

∂ṙiδ0ri =

N∑i=1

miṙi · (δΩ× ri)

= δΩ ·N∑i=1

miṙi × ri

= δΩ · L = const. (2.28)

Ugao rotacije δΩ je konstantan, pa je moment impulsa sistema konstanta kretanja. Rota-ciona simetrija daje moment impulsa kao očuvanu veličinu u toku kretanja.

Stranica 15


2.1.3 Zakon održanja impulsa kao posledica translacione invarijantnosti

Posmatramo identičan Lagranžijan (2.26). On je invarijantan na translacije: r′i = ri +ηηη gdeje ηηη proizvoljna veličina. Posledica ove simetrijske transformacije, prema teoremi Emi Neterjeste da se kao integral kretanja javlja:

N∑i=1

miṙiη = pη = const. (2.29)

Kako je η neka konstanta, sledi da je impuls sistema konstanta kretanja. Translacionasimetrija daje impuls kao očuvanu veličinu tokom kretanja.

Stranica 16


Poglavlje 3

3 Osnovi klasične teorije polja

Klasično polje tretiramo kao sistem sa beskonačnim brojem stepeni slobode i može se opisatifunkcijom koja je definisana u svakoj tački prostora i vremena. Radi jednostavnosti, razma-traćemo realno klasično skalarno polje:

φ = φ (x, t) (3.1)

Ukoliko polje poseduje vǐse komponenti, govorimo o vektorskim ili tenzorskim klasičnimpoljima. U klasičnoj teoriji polja se uvodi i pojam unutrašnjeg stepena slobode (spin, izospin,boja, ukus ...) tako da može biti skalar u odnosu na Lorencove transformacije i istovremenoimati složeniju strukturu u odnosu na unutrašnje stepene slobode.U teoriji polja, kako kvantnoj, tako i klasičnoj, samo polje je dinamička promenljiva. Zato jeod interesa pronaći jednačine kretanja za polje. To je moguće uraditi polazeći od analogijesa mehanikom sistema čestica.

Jednačine klasične teorije polja su bitne, naročito u Hamiltonovom formalizmu, jer ot-varaju put ka kanonskoj kvantizaciji polja. Takod̄e, jednačine klasične teorije omogućavajuispravno tumačenje relativističkih verzija Šredingerove jednačine. Jednačine klasične teorijepolja su prvo razmatrane u Lagranževoj formulaciji, jer se u tom formalizmu najlakše vršiprelaz od mehanike čestica prema teoriji polja.

Lorencova invarijantnost, jedna od fundamentalnih principa savremene fizike, najlakšese ostvaruje u Lagranževom formalizmu. Nakon kratkog osvrta na Lagranžev formalizam,uveden je Hamiltonov princip koji predstavlja osnovu za prelazak na klasičnu teoriju polja.

3.1 Varijacioni princip za klasično polje i veza sa mehanikom čestica

Za široku klasu mehaničkih sistema, dinamička evolucija je odred̄ena Hamiltonovim prin-cipom [7]. Posmatrajmo idealan holonomni sistem koji se sastoji od N čestica i u kojemdeluju potencijalne sile interakcije. Kinematičko stanje tog sistema je odred̄eno poznavan-jem svih generalisanih koordinata i brzina4 u svakom trenutku vremena i reprezentovano jetačkom u µ prostoru - prostor kinematičkih stanja.

Stanje sistema se može pratiti i u konfiguracionom prostoru u kojem su koordinatereprezentativne tačke samo qa(t). Prema Hamiltonovom principu se stvarna evolucija posma-tranog sistema odvija po putanji u konfiguracionom prostoru duž koje Hamiltonovo dejstvoima konstantnu vrednost [7]:

δS [{qa(t), q̇a(t)}] = δ∫ tfti

dtL (q̇a(t), qa(t), t) = 0 (3.2)

Kada uradimo varijaciju Hamiltonovog dejstva i nametnemo uslov da ono mora imati ekstrem(najčešće je to minimum u pitanju), kao rezultat dobijamo Ojler - Lagranževe jednačine

4{qa(t), q̇a(t)}, gde se vrednost a kreće od 1 do 3N

Stranica 17


vǐsečestičnog sistema [7]:

∂L

∂qa− ddt

∂L

∂q̇a= 0 (3.3)

Prelazak na teoriju polja vršimo na sledeći način [8, 9, 4]:

1. Pretpostavimo da je prostor izdeljen na elemente zapremine koje prebrojava diskretnivektor n.

2. Neka se u svakom elementu zapremine nalazi po jedna čestica čije je stanje opisanogeneralisanim koordinatama i brzinama:

qin(t), q̇in(t) ; i = 1, 2, 3

3. U graničnom slučaju, kada pomenuti elementi zapremine teže nuli (i dalje ispunjavajućiceo prostor), diskretni indeks n postaje kontinualni vektor položaja x.

4. Ako se sada za opis sistema kao nebitne mogu ispustiti dve generalisane koordinate poelementarnoj ćeliji (tj. po čestici) i njihove odgovarajuće brzine, dolazi se do pojmaskalarnog polja kao funkcije definisane u svakoj tački prostora i vremena:

qn(t)→ qx(t) ≡ φ(x, t) ≡ φ(x)

pri čemu smo uveli oznaku x za kvadrivektor položaja

x = (x, t) (3.4)

Da bi φ(x) bilo skalarno polje, mora se ponašati na odred̄eni način u odnosu na Lorencovetransformacije. Neka je Λ matrica Lorencovih transformacija takva da pri prelazu x → Λxza polje φ(x) kažemo da je skalarno ako važi [10]:

φ(x)→ φ′(x) = φ(Λ−1x) (3.5)

U mehanici čestica vreme je parametar, a dinamička promenljiva je vektor položaja, odnosnoimpuls čestice. U teoriji polja, dinamička promenljiva je funkcija φ(x, t). Prostorne koordi-nate x postaju parametar koji zajedno sa vremenom karakterǐse dato polje φ(x, t) u svakojtački prostora i vremena. Od fundamentalnog značaja je pojam slobodnog polja5. Poz-nat primer toga je odred̄ivanje elektromagnetnog polja na osnovu ponašanja naelektrisanihčestica u njemu (sondiranje). Ako su poznate trajektorije naelektrisanih čestica u odsustvupolja, vektore električnog i magnetnog polja možemo naći pomoću Lorencove jednačine silei dovoljnog broja eksperimentalnih merenja putanja naelektrisanih čestica u prostoru kojiispunjava ispitivano polje. Tada obično zanemarujemo uticaj elektromagnetnog polja kojegenerǐsu probne čestice, odnosno ispitivano polje je po pretpostavci slobodno. Slični primeri

5To je u principu matematička idealizacija, pogotovo u kontekstu kvantne teorije polja, jer se informacijeo nekom fizičkom sistemu dobijaju uz pomoć njegove reakcije na spoljašnja pobud̄ivanja.

Stranica 18


postoje i u fizici kondenzovanog stanja materije kada neke informacije o sistemu dobijamouz pomoć odzivnih funkcija (magnetna susceptibilnost, toplotni kapacitet, itd.). Pojmu slo-bodnog polja odgovara sistem slobodnih čestica u mehanici. Lagranžijan takvog sistema jenaprosto zbir Lagranžijana svake od pojedinih čestica.

Prilikom prelaska sa sistema čestica na polje, taj zbir lagranžijana postaje integral poprostoru u kojem se nalazi polje, te Lagranževa funkcija postaje funkcional:

L (qa(t), q̇a(t), t)→ L[φ(t), φ̇(t)

]=

∫x

L(φ(x, t), φ̇(x, t)) (3.6)

U gornjem izrazu, za prostorni integral usvojena je konvencija koja nudi pregledniji zapis:∫d3x =

∫x

(3.7)

Uvedena je i nova fizička veličina - gustina Lagranžijana L. Ona je funkcija polja i njegovogizvoda po vremenu. U gustini Lagranžijana, φ̇(x, t) se pojavljuje kao posledica prisustvageneralisanih brzina u Lagranžijanu sistema čestica. Konačan oblik gustine Lagranžijanakoji se koristi u klasičnoj teoriji polja sadrži i izvode polja po prostornim koordinatama∇φ(x, t) koji opisuju varijacije polja od tačke do tačke. Dakle, konačan oblik dat je izrazom:

L[φ(t), φ̇(t)

]=

∫x

L(φ(x, t), φ̇(x, t),∇φ(x, t)) (3.8)

Najčešće se koriste gustine Lagranžijana koje sadrže samo φ̇(x, t) i ∇φ(x, t), a ne i izvodevǐseg reda, kako bi jednačine kretanja polja bile diferencijalne jednačine drugog reda. Uprincipu, mogu se pojaviti i izvodi vǐseg reda [11]. Gustina Lagranžijana ne zavisi ekspicitnood vremena i od vektora položaja. Kvadrivektor x se može pojaviti u gustini Lagranžijanaako se razmatra sistem koji nije zatvoren [12]. Prisustvo člana ∇φ(x, t) u (3.8) se možeobrazložiti i sa stanovǐsta STR. Kako opis fizičkog sistema prema jednom od Ajnštajnovihpostulata ne sme zavisiti od izbora inercijalnog sistema reference, prisustvo člana φ̇(x, t) ugustini Lagranžijana automatski povlači i postojanje ∇φ(x, t), jer se prilikom Lorencovihtransformacija:

∂tφ ≡ ∂0φ (3.9)

polje ponaša kao komponenta kvadrivektora (ako je φ skalarna funkcija).Lorencove transformacije mešaju komponente kvadrivektora tako da gustina Lagranžijana

napisana u proizvoljnom inercijalnom sistemu reference mora sadržati izvode po sve četirikoordinate [8]. Ovaj zaključak važi i za polja složenije strukture (npr. vektorski elektromag-netni potencijal), jer su Lorencove transformacije linearne, te se izrazi tipa ∂αA

β transformǐsukao mešoviti kvadritenzori.

Dejstvo polja definǐsemo analogno dejstvu Lagranžijana u mehanici čestica:

S [φ(t)] =

∫ tfti

dtL[φ(t), φ̇(t)

]=

∫ tfti

dt

∫x

L[φ(x, t), φ̇(x, t),∇φ(x, t)

](3.10)

Stranica 19


Slično uopštavamo i Hamiltonov varijacioni princip koji tvrdi da će polje evoluirati u prostorui vremenu na taj način da dejstvo ima ekstremnu (najčešće minimalnu) vrednost [8, 4, 11]:

δS[φ] = 0 (3.11)

Pretpostavlja se i dalje da varijacija polja na granicama integracije ǐsčezava. Za dalja razma-tranja u Lagranževom formalizmu, pogodno je uvesti kovarijantni kvadrivektor gradijenta:

(∂t, ∂x, ∂y, ∂z) ≡ (∂0, ∂1, ∂2, ∂3) = ∂µ (3.12)

Relativistički invarijantan element zapremine u 4D:

d4x = dtd3x (3.13)

S[φ] =

∫d4xL(φ(x), ∂µ(x)) =

∫x

L(φ(x), ∂µφ(x)) (3.14)

Gde je, opet, usvojena konvencija: ∫d4x =

∫x

(3.15)

Te u konciznijem zapisu Hamiltonov princip postaje:

δ

∫x

L(φ(x), ∂µφ(x)) = 0 (3.16)

Značajna osobina funkcionala dejstva S[φ] je da se sve informacije o dinamici sistema upravonalaze u funkciji gustine Lagranžijana L. Zbog toga se jednačine kretanja mogu izrazitipomoću parcijalnih, a ne pomoću funkcionalnih izvoda [13].

3.2 Ojler - Lagranževe jednačine klasične teorije polja

Jednačine kretanja za klasično polje se dobijaju traženjem ekstremuma funkcionalnog izvodaHamiltonovog dejstva. Sličan rezultat je već dobijen (poglavlje 1, primer broj 2), s tim, štoovde kod formalnog izvod̄enja moramo voditi računa da je delta funkcija data kao δ(x−y) =δ(x − y)δ(t − τ). Takod̄e, treba ukazati i na momenat u traženju ekstremne vrednostifunkcionalnog izvoda Hamiltonovog dejstva, gde se pojavljuje integral tipa:∫

x

∂L∂(∂µφ)

∂µδ(x− y) =∫x

(∂µ

(∂L

∂(∂µφ)δ(x− y)

)− ∂µ

∂L∂(∂µφ)

δ(x− y))

Prvi sabirak predstavlja integral po zapremini divergencije kvadrivektora L. On je praviLorencov skalar, a može se prevesti u površinski integral 4D varijantom Gausove teoreme.Ovaj sabirak nestaje, te od izraza preostaje:

δS[φ]

δφ(y)=

∫x

δ(x− y)[∂L∂φ− ∂µ

L∂(∂µφ)

]= 0 (3.17)

Stranica 20


Te iz relacije (3.17) dobijamo Ojler - Lagranževe jednačine klasične teorije polja:

∂L∂φ− ∂µ

L∂(∂µφ)

= 0 (3.18)

ili, razdvajanjem prostornih i vremenske koordinate, gornja jednačina dobija oblik:

∇ L∂(∇φ)

+ ∂tL

∂(∂tφ)− ∂L∂φ

= 0 (3.19)

Kao što je napomenuto ranije, jednačine kretanja za klasično polje se zaista mogu izrazitisamo pomoću gustine Lagranžijana L. Gornja jednačina je izvedena za slučaj skalarnog polja.Ukoliko skalarno polje ima vǐse komponenti φi, povezanih sa unutrašnjim stepenima slobode,Ojler - Lagranževe jednačine postaju:

∂L∂φi− ∂µ

L∂(∂µφi)

= 0 (3.20)

gde i = 1, 2, 3, ..., nPostavlja se pitanje: ”Na koji način odabrati gustinu Lagranžijana L da bi se dobila

korektna teorija polja?” Savremene teorije polja daju odgovor na to pitanje u vidu dodatnihsimetrija koje trebamo nametnuti funkciji L i funkcionalu Hamiltonovog dejstva, a one su:

• Gustina Lagranžijana Lmora biti Lorencov skalar. Tada je Ojler - Lagranževa jednačinainvarijantna u odnosu na Lorencove transformacije [11].

• Dejstvo mora biti realna funkcija, čime se obezbed̄uje jednak broj jednačina i kompo-nenti polja [11].

Dodatna ograničenja na izbor gustine Lagranžijana nameću tzv. ”kalibracione simetrije”[8, 10, 11, 12]. Lagranžev formalizam u teoriji polja ima prednost da prostorne i vremenskakoordinata ulaze simetrično u jednačine kretanja, tako da je u ovom formalizmu Loren-cova invarijantnost lako vidljiva. Hamiltonov formalizam je pogodniji za uvod̄enje jednačinakvantnih polja, a i vǐse se koristi u fizici kondenzovane materije, jer tu simetrija izmed̄u pros-tornih i vremenske koordinate, kao ni Lorencova invarijantnost nisu toliko bitni. Pokazujese da se Lorencova rotaciona invarijantnost u kristalnim sistemima može primeniti samo kaoniskotemperaturska (dugotalasna) aproksimacija. Na kraju, treba zabeležiti još jedan oblikjednačina kretanja za polje u Lagranževom formalizmu.φ i φ̇ se smatraju nezavisnim promenljivim, važi [4]:

δφ(x, t)

δφ(y, t)=δφ̇(x, t)

δφ̇(y, t)= δ(x− y) (3.21)

Zatim, možemo potražiti funkcionalni izvod Lagranžijana L[φ(x), φ̇(x)] po polju φ(y).Kako je postupak gotovo jednak prethodnom, kao rezultat proizilazi novi oblik Ojler - La-granževih jednačina za polje:

∂tδL[φ, φ̇]

δφ̇− δL[φ, φ̇]

δφ= 0 (3.22)

Stranica 21


Ovaj oblik Ojler - Lagranževih jednačina kretanja ima važnu ulogu prilikom formulisanjazakona kretanja u Hamiltonovom formalizmu. Osim toga, Ojler - Lagranževe jednačinenapisane na ovaj način najvǐse podsećaju na jednačine kretanja sistema čestica iz kojihdobijamo gore navedene jednačine za fizičko polje formalnom zamenom [9]:

qα(t)→ φ(x, t) ∂ → δ

3.3 Hamiltonov formalizam

Slično mehanici sistema čestica [7], prvi korak prilikom prelaska sa Lagranževog na Hamiltonovformalizam u teoriji polja je definisanje impulsa kanonski konjugovanog polju. U teoriji polja,njegova definicija se dobija formalnom zamenom običnog izvoda sa funkcionalnim [4, 10]:

π(x) =δL[φ, φ̇]

δφ̇(x)(3.23)

Gornja relacija se može uprostiti korǐsćenjem definicije izvoda funkcionala, pri čemu trebavoditi računa da su u Lagranževom formalizmu φ i φ̇ nezavisne promenljive. Kao rezultatse dobija:

π(x, t) =∂L

∂φ̇(x, t)(3.24)

Kada je definisan kanonski impuls, Ležandrovom transformacijom se uvodi gustina hamil-tonijana H [4, 8, 11]:

H(x, t) = H (φ(x, t),∇φ(x, t), π(x, t),∇π(x, t))

= π(x, t)φ̇(x, t)− L(φ(x, t),∇φ(x, t), φ̇(x, t)

)(3.25)

Tada je hamiltonijan sistema dat funkcionalom:

H [φ(t), π(t)] =

∫x

H (φ(x, t),∇φ(x, t), π(x, t),∇π(x, t)) (3.26)

U Hamiltonovom formalizmu, nezavisne promenljive su polja φ(x, t) i impulsi π(x, t), te:

δφ(x, t)

δπ(y, t)= 0

δφ(x, t)

δφ(y, t)=δπ(x, t)

δπ(y, t)= δ(x− y) (3.27)

Zbog toga se u definiciji gustine Hamiltonijana implicitno pretpostavlja da su u gustiniLagranžijana veličine φ̇(x, t) izražene preko kanonskog impulsa π(x, t).

Jednačine kretanja u Hamiltonovom formalizmu dobijaju se variranjem hamiltonijana uodnosu na φ(x, t) i π(x, t) [11]. Pozivajući se na funkcionalni izvod dat primerom 5 (poglavlje1), dobijamo Hamiltonove jednačine u teoriji polja:

δH[φ, π]

δπ(x, t)= φ̇(x, t)

δH[φ, π]

δφ(x, t)= −π̇(x, t) (3.28)

Stranica 22


Kako je Hamiltonijan izražen pomoću zapreminskog integrala gustine Hamiltonijana, vari-jacije iz (3.28) se mogu sprovesti do kraja, a kao rezultat se dobija:

δH[φ(t), π(t)]

δφ(x, t)=

∂H∂φ(x, t)

−∇ ∂H∂(∇φ(x, t))

δH[φ(t), π(t)]

δπ(x, t)=

∂H∂π(x, t)

−∇ ∂H∂(∇π(x, t))

(3.29)

Primećujemo da u Hamiltonovim jednačinama (3.28) i (3.29) prostorne koordinate ne ulazeravnopravno sa vremenskom, tako da Lorencova invarijantnost ovako formulisane teorije nijeočigledna. Med̄utim, ovaj prilaz je mnogo pogodniji u fizici kondenzovane materije.

3.4 Teorema Emi Neter u teoriji polja

Razmatrajmo slučaj da se integral dejstva ne menja ako koordinate xµ (µ = 0, 1, 2, 3) podležukontinualnoj transformaciji. Uslov neprekidnosti neophodan je kako bi se mogle tretiratisamo infinitezimalne transformacije. Dovoljno je posmatrati infinitezimalnu transformacijutipa [4]:

x′µ = xµ + δxµ (3.30)

gde je δxµ mala popravka na koordinatu.Odgovarajuća promena polja φr(x) biće:

φ′r(x′) = φr(x) + δφr(x) (3.31)

Date promene rezultuju promenom gustine lagranžijana:

L′(x′) = L(x) + δL(x) (3.32)

Radi preglednosti i konciznijeg zapisa, smatramo je gustina lagranžijana funkcija sledećihpromenljivih [4]:

L(x) = L(φ(x),

∂φ

∂xµ(x)

)(3.33)

Važno je shvatiti da se prethodne varijacije zapravo sastoje od dva procesa:

• transformacija koordinata kvadrivektora x→ x′

• promena oblika funkcije polja usled promene koordinata kvadrivektora φ(x)→ φ′(x′)

Kao primer, zamislimo da vektorsko polje promeni svoj pravac usled rotacije koordinatnogsistema. Korisno je definisati modifikovanu, tzv. totalnu varijaciju koja čuva vrednostkomponenti kvadrivektora x i uzima u obzir samo promenu oblika funkcije polja φ→ φ′ [4]:

δ̃φr(x) = φ′r(x)− φr(x) (3.34)

Stranica 23


Ove dve vrste varijacija su povezane preko sledeće relacije:

δ̃φr(x) = φ′r(x)− φ′r(x′) + φ′r(x′)− φr(x)

= δφr(x)− (φ′r(x′)− φ′r(x))

' δφr(x)−∂φ′r(x)

∂xµδxµ

' δφr(x)−∂φr∂xµ

(3.35)

Prilikom dobijanja ove relacije, dodali smo i oduzeli član φ′r(x′), a u trećem redu smo isko-

ristili razvoj funkcije φ′r(x′) u Tejlorov red, pri čemu smo se zadržali na linearnim članovima

po izvodima u prvoj aproksimaciji, te smo nakon te aproksimacije izvršili još jednu, sma-trajući u prvom redu φ′r(x)→ φr(x), respektivno.

Tako ova jednačina, kao i ostale koje iz nje proizilaze su validne u prvom redu vari-jacija. Rešenja su zadovoljavajuća sve dok radimo sa infinitezimalnim transformacijama.Modifikovana varijacija komutira sa izvodom te im smemo zameniti redosled [4]:

∂

∂xµδ̃φr(x) = δ̃

∂

∂xµφr(x) (3.36)

a to se svakako vidi iz relacije (3.34), od koje ćemo sada potražiti gradijent po koordinatamakvadrivektora xµ, respektivno:

∂

∂xµ(δφr(x)) =

∂

∂xµφ′r(x

′)− ∂∂xµ

φr(x) (3.37)

Opet koristimo ”trik” da jednačini (3.37) dodamo i oduzmemo član ∂φ′r(x

′)∂x′µ

:

∂

∂xµ(δφr(x)) =

(∂φ′r(x

′)

∂x′µ− ∂φr(x)

∂xµ

)+∂φ′r(x

′)

∂xµ− ∂φ

′r(x′)

∂x′µ

= δ

(∂φr(x)

∂xµ

)+∂x

′ν

∂xµ

∂φ′r(x′)

∂x′ν− ∂φ

′r(x′)

∂x′µ(3.38)

Upotrebićemo sledeći identitet koji važi u prvoj aproksimaciji:

∂x′ν

∂xµ= gνµ +

∂δxν

∂xµ

∂

∂xµ(δφr(x)) = δ

(∂φr(x)

∂xµ

)+∂φ′r(x

′)∂δxν

∂x′ν∂xµ

= δ

(∂φr(x)

∂xµ

)+∂φr(x)

∂xν∂δxν

∂xµ(3.39)

Kako infinitezimalne transformacije koje smo upotrebili ostavljaju integral dejstva intvari-jantnim sledi:

δW = 0 =

∫Ω′d4x′L′(x′)−

∫Ω

d4xL(x) (3.40)

Stranica 24


gde je Ω′ ista zapremina kao i Ω samo je opisana novim koordinatama x′.

δW =

∫Ω′d4x′δL(x) +

∫Ω′d4x′L(x)−

∫Ω

d4xL(x) (3.41)

Transformacija elementa zapremine d4x′ vrši se preko Jakobijeve determinante, što nas uprvoj aproksimaciji dovodi do:

d4x′ =| ∂x′µ

∂xν| d4x =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 + ∂δx

0

∂x0∂δx0

∂x1∂δx0

∂x2∂δx0

∂x3∂δx1

∂x01 + ∂δx

1

∂x1∂δx1

∂x2∂δx1

∂x3∂δx2

∂x0∂δx2

∂x11 + ∂δx

2

∂x2∂δx2

∂x3∂δx3

∂x0∂δx3

∂x1∂δx3

∂x21 + ∂δx

3

∂x3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ d4x (3.42)

d4x′ =

(1 +

∂δxµ

∂xµ

)d4x

Zanemarili smo sve članove koji sadrže varijacije vǐseg reda, te u prvom redu aproksimacijedobijamo:

δW =

∫Ω

d4xL(x) +∫

Ω

d4xL(x)∂δxµ

∂xµ

=

∫Ω

d4x

(δ̃L(x) + ∂L(x)

∂xµδxµ

)+

∫Ω

d4xL(x)∂δxµ

∂xµ

=

∫Ω

d4x

(δ̃L(x) + ∂

∂xµ(L(x)δxµ)

)(3.43)

Sada ćemo izraziti totalnu varijaciju gustine lagranžijana:

L̃(x) = ∂L(x)∂φr

δ̃φr(x) +∂L(x)∂(∂µφr)

δ̃

(∂φr(x)

∂xµ

)=

(∂L(x)∂φr

δ̃φr(x)−∂

∂xµ

∂L(x)∂xµδxµ

δ̃φr(x)

)=

(∂L∂φr− ∂∂xµ

∂L(x)∂(∂µφr)

)δ̃φr +

∂

∂xµ

(∂L(x)∂(∂µφr)

δ̃φr(x)

)= 0 (3.44)

Prvi sabirak u jednačini (3.44) predstavlja tzv. Ojler - Lagranževe jednačine koje naše zadatopolje zadovoljava, a po definiciji je ceo prvi sabirak tada jednak nuli, dok nam preostaje:

∂

∂xµ

[∂L(x)∂(∂µφr)

(δφr(x)−

∂φr∂xν

δxν

)+ L(x)δxµ

]= 0 (3.45)

Ova jednačina predstavlja jednačinu kontinuiteta za vektorsko polje [4]:

∂

∂xµjµ(x) = 0 (3.46)

Stranica 25


gde je:

jµ(x) =∂L(x)∂(∂µφr)

δφr(x)−(∂L(x)∂(∂µφr)

∂φr∂xν− gµνL(x)

)δxν (3.47)

kvadrivektor gustine Neterine struje.Kao što je poznato, jednačina kontinuteta je jedan od oblika zapisa zakona održanja

zapisan u diferencijalnoj formi. Ovo postaje očigledno ako jednačinu (3.46) integralimo utrodimenzionalnom prostoru i iskoristimo Gausovu teoremu [4]:∫

V

d3x∂

∂xµjµ(x) =

∫V

d3x∂

∂x0j0(x) +

∫V

d3x∇ · j(x)

=d

dx0

∫V

d3xj0(x) +

∮∂V

dO · j(x) (3.48)

Vrednost površinskog integrala ∂V jednaka je nuli posto pretpostavljamo da polje i izvodipolja opadaju veoma brzo u beskonačnosti. Dakle, ostaju nam veličine:

Q =

∫V

d3xj0(x) (3.49)

kao konstante kretanja (vrednosti im se ne menjaju sa vremenom), a koje se često nazivajuNeterini naboji [4].

Ovo je esencijalni rezultat Neterine teoreme koja glasi:”Neka je dejstvo W invarijantno na transformacije tipa (3.30), (3.31) i (3.32). Tada je mogućedefinisati Neterin kvadrivektor gustine struje jµ(x) prema (3.47) tako da ∂µjµ(x) = 0, aveličine Q =

∫Vd3xj0(x) su konstante kretanja i čine Neterine naboje.” [4]

Sledeći podnaslovi biće posvećeni nekim važnijim primenama Neterine teoreme.

3.4.1 Invarijantnost usled translacije. Simetrizacija tenzor energije - impulsa

Neka je data infinitezimalna translacija tipa:

x′µ = xµ + ηµ (3.50)

koja diktira homogenost prostor - vremena. Pretpostavimo da se oblik polja ne menja usledtranslacije, odnosno [4]:

φ′r(x′) = φr(x) (3.51)

Lokalna varijacija ǐsezava, tj. δφr = 0, te će kvadrivektor gustine Neterine struje imatijednostavan oblik. Diferencijalni oblik zakona održanja (3.46) sada glasi:

∂

∂xµΘµν = 0 (3.52)

gde Θµν predstavlja tzv. kanonski tenzor energije - impulsa dat izrazom [4]:

Θµν =∂L

∂(∂µφr)

∂φr∂xν− gµνL (3.53)

Stranica 26


Zbog ν = 0, 1, 2, 3, ispostavlja se da imamo četiri očuvane veličine, od kojih je jedna energijaE, a druga vektor impulsa P polja. U četvorodimenzionalnoj notaciji:

P ν =

Ec

P1P2P3

= 1c∫V

d3xΘ0ν(x) = const. (3.54)

Važno je naglasiti da tenzor Θµν definisan preko (3.53) u nekim slučajevima nije simetričan.Moguće je, svakako, preći na simetričan tenzor energije - impulsa Tµν = Tνµ dodavanjempogodnog člana koji nestaje primenjujući 4 - divergenciju. Novi tenzor takod̄e zadovoljavazakone održanja (3.52) i daje iste vrednosti kvadrivektora P µ. [4]

Definǐsimo modifikovan tenzor relacijom [4]:

Tµν = Θµν + ∂σχσµν (3.55)

gde je tenzor χσµν proizvoljan, osim u slučaju permutacije prva dva indeksa, kada pokazujeosobinu antisimetrije, respektivno [4]:

χσµν = −χµσν (3.56)

Ovako uveden tenzor zadovoljava jednačinu kontinuiteta:

∂µTµν = ∂µΘµν + ∂

µ∂σχσµν

= ∂µΘµν +1

2∂µ∂σ(χσµν + χµσν)

= ∂µΘµν = 0 (3.57)

Svakako, totalna energija i impuls se ne takod̄e ne menjaju uvodeći modifikovan tenzor:

P̃ν =

∫V

d3xT0ν =

∫V

d3x(Θ0ν + ∂0χ00ν + ∂

kχ0kν) =

∫V

d3xΘ0ν = Pν (3.58)

χ00ν ǐsčezava zbog (3.56), a χ0kν opada dovoljno brzo na velikim rastojanjima, tako da jeosigurano da površinski integral koji dobijamo Gausovom teoremom može biti zanemaren.[4]

Naravno, ovako konstruisan tenzor energije - impulsa Tµν je simetričan na permutovanjeindeksa, tj.:

Tµν = Tνµ (3.59)

Svakako, tenzor energije - impulsa konstruisan je na način koji pruža jednostavniju formu-laciju zakona održanja za ugaoni moment. Definǐsimo modifikovani tenzor ugaonog momenta[4]:

M̃µνλ = Tµλxν − Tµνxλ (3.60)

Pokažimo da ovako formulisan tenzor zadovoljava jednačinu kontinuiteta:

∂µM̃µνλ = (∂µTνλ)xν + g

µνTνλ − (∂µTµν)xλ − gνλTµν = Tνλ − Tλν = 0 (3.61)

Stranica 27


gde je iskorǐsćena osobina simetrije tenzora Tµν . Tenzor M̃µνλ može se predstaviti prekokanonskog tenzora ugaonog momenta Mµνλ [4]:

M̃µνλ = Mµνλ + ∂σξσµνλ (3.62)

gde ξ iskazuje osobinu antisimetrije na permutaciju prva dva indeksa:

ξσµνλ = −ξµσνλ (3.63)

3.4.2 Lorenc - invarijantnost

Četvorodimenzionalan (4D) prostor - vreme izmed̄u ostalog ispoljava osobinu homogenostiusled translacija i izotropnosti usled rotacija. Ono što je bitno, jeste invarijantnost usledprimenjenih Lorencovih transformacija na sistem koordinata.

Lorencove transformacije su one linearne transformacije koordinata x′ = Λx, gde je Λrealna 4×4 matrica, koje ne menjaju kvadrat dužine kvadrivektora, tj. za koje važi x′2 = x2.Matrica Lorencovih transformacija data je sa [14]:

x′0x′1x′2x′3

=

γ −βγ 0 0−βγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

·x0x1x2x3

(3.64)Matrični zapis se može zapisati na elegantniji način:

x′µ = Λµνx

ν

Dakle, Lorencove transformacije možemo tretirati kao uopštenje rotacije 3D koordinatnogsistema na rotaciju 4D koordinatnog prostor - vreme sistema, gde se pored tri vremenskekomponente uključuje i vreme koje vǐse nije samo parametar, kako su predvid̄ale transfor-macije galilejevskog tipa [14]. Zarad toga, posmatrajmo opštu infinitezimalnu rotaciju datuna sledeći način:

x′µ = xµ + δωµνxν (3.65)

Matrica δωµν zavisi od uglova rotacije u četiri dimenzije i ona je antisimetrična:

δωµν = −δωνµ (3.66)

Ovako data rotacija obezbed̄uje da dužina kvadrivektora xµ, merena respektivno Minkowskimetrici, ostane invarijantna usled transformacija. Dokažimo datu tvrdnju.

Napravimo skalarni proizvod:

x′µx′µ = (x

µ + δωµσxσ)(xµ + δωτµxτ )

≈ xµxµ + δωµσxσxµ + δωτµxµxτ +O(ω2)≈ xµxµ + 2xµxνδωµν ≈ xµxµ + xµxν(δωµν + δωνµ) +O(ω2)≈ xµxµ +O(ω2) (3.67)

Stranica 28


čime je tvrdnja dokazana i tačna je u najnižoj aproksimaciji, gde smo zanemarili sve članovevǐseg reda od linearnog.

Transformisana funkcija polja φ′r(x′) daće linearnu zavisnost od uglova rotacije i od vred-

nosti polja φr(x). Opisaćemo ovu zavisnost preko opšteg pristupa:

φ′r(x′) = φr(x) +

1

2δωµν (I

µν)rs φs(x) (3.68)

Veličine Iµν nazivaju se infinitezimalni generatori Lorencovih transformacija. Fizička poljaφr transformisaće se prema ireducibilnim reprezentacijama Lorencove grupe. Dakle, (I

µν)rssu elementi matrice reprezentacije koje korespondiraju infinitezimalnom generatoru rotacija.One opisuju mešanje komponenti vǐsekomponentnog polja (npr. spinorno, vektorsko, itd.).Infinitezimalni Lorencovi generatori mogu biti izabrani tako da budu antisimetrični respek-tivno Lorencovim indeksima µ i ν, Iµν = −Iνµ, jer simetrični deo ne doprinosi (3.68), zbog(3.66). Prema tome, postoje šest nezavisnih generatora. To su, respektivno oznaci (µ, ν),sledeći generatori: (1, 2),(1, 3),(2, 3),(0, 1),(0, 2) i (0, 3), koji opisuju Lorencove boost − ove.Zbog kompletnosti, napomenućemo da generatori Lorencovih transformacija zadovoljavajusledeće komutacione relacije [4]:[

Îµν , Îστ

]= +gνσ Îµτ + gµτ Îνσ − gντ Îµσ − gµσ Îντ (3.69)

Lijeva algebra definǐse strukuru Lorencove grupe, i ona je validna u ma kojoj reprezentaciji.Matrični elementi r, s, · · · u gornjem komutatoru nisu pisani, zbog preglednosti zapisa.

Relacije za transformaciju koordinata (3.65) i za polje (3.68) sada mogu biti ubačeni uNeterinu teoremu. Dobijamo izraz za gustinu Neterine struje:

jµ(x) =∂L

∂(∂µφr)

1

2δωνλ(I

νλrs φs(x)−Θµνδωνλxλ) (3.70)

gde je Θµν već pomenuti tenzor energije impulsa dat relacijom (3.53). Ako iskoristimoantisimetrično svojstvo δωνλ, poslednji član u gornjoj relaciji možemo zapisati kao:

Θµνδωνλxλ =

1

2δωνλ (Θµνxλ −Θµλxν) (3.71)

tada Neterina gustina struje dobija oblik:

jµ(x) =1

2δωνλMµνλ(x) (3.72)

sa uvedenom oznakom:

Mµνλ(x) = Θµλxν −Θµνxλ +∂L

∂(∂µφr)

1

2(Iνλrs φs(x) (3.73)

Odgovarajuća konstanta, odnosno, odgovarajući Neterin naboj koji se očuvava u toku vre-mena jeste sledeći antisimetričan tenzor:

Mνλ =

∫V

d3x

[Θ0λxν −Θ0νxλ +

∂L∂(∂0φr)

1

2(Iνλrs φs(x)

](3.74)

Stranica 29


Ovde Mνλ igra ulogu tenzor angularnog, odnosno ugaonog momenta [4]. Ovo postajeočigledno za prostorne rotacije, odnosno, kada za Lorencove indekse ν i λ uzimamo vrednosti1,2,3 , respektivno. Tada (3.74) postaje zbir dva člana:

Mnl = Lnl + Snl (3.75)

gde:

Lnl =

∫V

d3x(xnΘ0l − xlΘ0n) =∫V

d3x∂L

∂(∂0φr)

(xn

∂

∂xl− xl

∂

∂xn

)φr(x) (3.76)

a

Snl =

∫V

d3x∂L

∂(∂0φr)(Inl)rsφs(x) (3.77)

Prvi deo, Lnl, predstavlja vektorski proizvod izmed̄u vektora položaja i vektora impulsa,tako da on predstavlja orbitalni moment impulsa, ortogonalan kvadrivektorima xn i xl [4].Drugi član, Snl, sadrži matrice Lorencovih generatora transformacija, te on predstavlja spin-ski angularni, odnosno ugaoni moment, koji ima veoma komplikovanu formu za skalarna,spinorna ili vektorska polja [4].

Prostorne komponente tenzora angularnog momenta, Mln, imaju tri nezavisne kompo-nente, koje se mogu opisati trodimenzionalnim vektorom ugaonog momenta J. Ovo se postižekontrakcijom antisimetričnog tenzora [4]:

Mnl = �nlkJk (3.78)

Dekartove komponente vektora J su tada date kao:

Jx = Myz Jy = Mzx J

z = Mxy (3.79)

ili zapisane u konciznoj formi:

Jm =1

2�mnlMnl (3.80)

Ovu relaciju dobijamo pravilom kontrakcije totalno antisimetričnog tenzora III ranga, tzv.Levi - Čivita tenzora [4]:

�nlk�nlm = 2δkm (3.81)

3.4.3 Zakon održanja naelektrisanja kao posledica unutrašnje U(1) simetrijekod kompleksnog (skalarnog) polja

Neka skalarno polje ima dve realne komponente, φ1 i φ2, respektivno [12].

φ =1√2

(φ1 + iφ2)

φ∗ =1√2

(φ1 − iφ2) (3.82)

Stranica 30


Lagranževa funkcija je zadata u sledećoj formi [12]:

L = (∂µφ) (∂µφ∗)−m2φ∗φ (3.83)

Ako tretiramo φ i φ∗ kao vremenski nezavisna polja, Ojler - Lagranževe jednačine daće dveKlajn - Gordonove jednačine [12]:(

� +m2)φ = 0

(� +m2

)φ∗ = 0 (3.84)

Lagranžijan je očito invarijantan na transformacije tipa:

φ→ e−iλφ φ∗ → eiλφ∗ (3.85)

gde je λ realna konstanta.Ova transformacija je poznata kao gejdž transformacija prve vrste. U infinitezimalnoj

formi ova transformacija (3.85) ima oblik [12]:

δφ = −iλφ δφ∗ = iλφ∗ δ (∂µφ) = −iλ∂µφ δ (∂µφ∗) = +iλ∂µφ∗ (3.86)

Neterina teorema daje očuvanu struju:

jµ =∂L

∂(∂µφ)(−iφ) + ∂L

∂(∂µφ∗)(iφ∗) (3.87)

Ubacivanjem (3.83) u (3.88) dobijamo:

jµ = i (φ∂µφ− φ∂µφ∗) (3.88)

Iz (3.84) neposredno sledi da primenom 4-D divergencije na relaciju (3.88), rezultat će datinulu, odnosno ∂µj

µ = 0, što je već poznat rezultat, a kao korespondirajuća očuvana veličinajavlja se [12]:

Q =

∫V

j0dV = i

∫V

(φ∗∂φ

∂t− φ∂φ

∗

∂t

)dV = 0 (3.89)

ova fizička veličina može se identifikovati sa naelektrisanjem, odnosno električnim nabojem[12], te relacija:

∂Q

∂t= 0 (3.90)

predstavlja zakon održanja naelektrisanja [12].Kada je polje realno, tada je φ = φ∗ te je odgovarajuća gornja očuvana veličina jednaka

nuli. [12]Gejdž transformaciji (3.85) možemo pružiti i adekvantnu geometrijsku interpretaciju.

Ako polje zapǐsemo u obliku:

φ = φ1ex + φ2ey (3.91)

Stranica 31


odnosno kao vektor u dvodimenzionalnom prostoru razložen prema svojim ortonormiranimbazisnim vektorima ex ey. Lagranžijan sada ima oblik:

L = (∂µφ)(∂µφ)−m2φ · φ (3.92)

Gejdž transformacija se može zapisati u obliku:

φ′

1 + iφ′

2 = e−iλ(φ1 + iφ2)

φ′

1 − iφ′

2 = e−iλ(φ1 − iφ2) (3.93)

što je ekvivalentno sa:

φ′

1 = φ1 cosλ+ φ2 sinλ

φ′

2 = −φ1 sinλ+ φ2 cosλ (3.94)

Ove relacije predstavljaju čistu rotaciju u (1,2) ravni vektora φ za ugao λ (slika 2) [12].

Slika 2 - rotacija polja ~φ u unutrašnjem prostoru6

Rotacija u 2D prostoru odgovara grupi SO(2) [12]. Sa druge strane, kako su transformacijereprezentovane preko eiλ, što predstavlja jednodimenzionalnu unitarnu matricu:

eiλ(eiλ)∗

= 1 (3.95)

te se radi o grupi U(1) [12].Lako je videti da su ove dve grupe iste: svaki element u SO(2) je dat preko ugla θ -

ugla koji predstavlja rotaciju vektora u ravni. Prostor grupe je onda prostor vrednosti θ.Ako identifikujemo θ sa θ + 2π,θ + 4π itd. , svima njima odgovara ista rotacija. Prostorgrupe je tada krug (slika 3). Grupa U(1), je, sa druge strane, grupa svih brojeva formeeiα = cosα+ i sinα. Sve dok važi cos2 α+ i sin2 α = 1 prostor ove grupe je takod̄e krug [12].

Slika 3 - prostor grupe SO(2)7

6Slika je preuzeta iz [12]7Slika je preuzeta iz [12]

Stranica 32


Dakle, zaključujemo da je posledica unutrašnje U(1) simetrije kod kompleksnog skalarnogpolja, odnosno gejdž transformacija koja ostavlja dejstvo invarijantnim dala kao rezultujućuočuvanu vrednost naelektrisanje (električni naboj) Q [12].

3.5 Poasonove zagrade u teoriji polja. Tenzor energije - impulsa

U Hamiltonovim jednačinama polje i konjugovani impuls, φ(x) i π(x), ne nastupaju simetrično,respektivno. Ovaj prilaz, kao ni Lagranžev, ne omogućava da se direktno nad̄e vremenskaevolucija proizvoljnog funkcionala F [φ, π]. Ovi problemi se u teoriji polja rešavaju slično kaoi u mehanici, uvod̄enjem tzv. Poasonovih zagrada.

Posmatrajmo funkcional F (t) ≡ F [φ(t), π(t)]. Ukoliko ne postoji eksplicitna zavisnostod vremena, jednačina kretanja za ovu veličinu je data sa:

Ḟ (t) =

∫x

(δF (t)

δφ(x, t)φ̇(x, t) +

δF (t)

δπ(x, t)π̇(x, t)

)(3.96)

Ako upotrebimo Hamiltonove jednačine (3.28), jednačina kretanja za F (t) postaje:

Ḟ (t) = [F,H]PZ (3.97)

pri čemu je iskorǐsćena definicija Poasonovih zagrada dva funkcionala (argument t kod φ i πje ispušten radi preglednosti):

[F,G]PZ =

∫x

(δF (t)

δφ(x)

δG(t)

δπ(x)− δF (t)δπ(x)

δG(t)

δφ(x)

)(3.98)

Dakle, uvod̄enjem Poasonovih zagrada se direktnim putem rešava problem dinamičke zavis-nosti proizvoljnog funkcionala F [φ, π].

Što se tiče nesimetrije Hamiltonovih jednačina u odnosu na polje i konjugovani impuls,prvo treba primetiti da je:

[φ(x, t), H(t)]PZ =

∫y

(δφ(x, t)

δφ(y, t)

δH(t)

δπ(y, t)− δφ(x, t)δπ(y, t)

δH(t)

δφ(y, t)

)=

δH(t)

δπ(x, t)(3.99)

pri čemu smo iskoristili jednačine (3.27). Sličnu jednačinu dobijamo i za konjugovani impuls,tako da Hamiltonove jednačine izražene pomoću Poasonovih zagrada glase:

φ̇(x, t) = [φ(x, t), H(t)]PZ ; π̇(x, t) = [π(x, t), H(t)]PZ (3.100)

U jednačinama (3.97), kao i u (3.100), H(t) predstavlja Hamiltonijan sistema, a (3.100) jetražena forma jednačina u kojoj polje i konjugovani impuls ulaze simetrično. Konačno, odinteresa je Poasonova zagrada samog polja i konjugovanog impulsa. Nije teško pokazati dase kao rezultat dobija:

[φ(x, t), π(y, t)]PZ = δ(x− y) (3.101)pri čemu treba obratiti pažnju da se, shodno (3.27), i polje i konjugovani impuls uzimajuu istom trenutku vremena. Ako polje poseduje vǐse komponenti, jednačina (3.101) tadapostaje:

[φi(x, t), πj(y, t)]PZ = δ(x− y)δij (3.102)

Stranica 33


gde δij predstavlja Kronekerov simbol, respektivno.Takod̄e, nije teško pokazati da važi i:

[φi(x, t), φj(y, t)]PZ = [πi(x, t), πj(y, t)]PZ = 0 (3.103)

Jednačine (3.97), (3.100) i (3.101) će omogućiti prelazak sa klasične na kvantnu teoriju poljametodom kanonske kvantizacije, slično kao što se sa klasične mehanike prelazi na kvantnumehaniku [9].

U skladu sa osnovnim idejama Specijalne Teorije Relativnosti, informacije o energiji iimpulsu se mogu objediniti uvod̄enjem tzv. tenzora energije - impulsa. Njegove komponentesu definisane relacijom [11]:

T µν = δµνL −

∂L∂(∂µφ)

∂νφ (3.104)

Kao što je poznato, očuvanje komponenti tenzora energije - impulsa je posledica invarijant-nosti dejstva u odnosu na vremensku i prostorne translacije. Uvod̄enjem tenzora energije -impulsa, moguće je definisati i kvadrivektor impulsa kao [11, 4, 12, 10]:

Pν =

∫x

T 0ν (x) ≡ (−P0, P1, P2, P3) (3.105)

Lako je videti da je:

P0(t) =

∫x

(δ00L −

∂L∂(∂0φ)

∂0φ

)=

∫x

(L − π(x)φ̇(x)

)= −H [φ(t), π(t)] (3.106)

pri čemu je iskorǐsćena definicija kanonskog impulsa (3.24). Takod̄e, pošto za prostornekomponente kvadrivektora važi Pi = P

i iz (3.105) sledi:

Pi =

∫x

(δ0iL −

∂L∂(∂0φ)

∂iφ

)= −

∫x

π(x)∂iφ(x) (3.107)

Odnosno, impuls pridružen polju je:

P(t) = −∫x

π(x, t)∇φ(x, t) (3.108)

Izrazi (3.25), (3.26), odnosno (3.106) i (3.108) igraju važnu ulogu prilikom interpretacijekvantovanih polja, odnosno operatora u drugoj kvantizaciji.

Važno je naglasiti da je osnovni uslov koji se nameće na Hamiltonijan slobodnog poljataj da ono bude pozitivno definisana veličina.

Stranica 34


Poglavlje 4

4 Primena Neterine teoreme u fizici kondenzovanog

stanja materije. Spontano narušenje simetrije.

U prethodna dva poglavlja bilo je reči o Neterinoj teoremi, odnosno, pojavi integrala kretanjausled postojanja kontinualne simetrije, sa osvrtom na mehaniku čestica, kao i teoriju polja.Neterina teorema, pored primene u teoriji elementarnih čestica, svoju primenu nalazi i ufizici kondenzovane materije. U ovom radu, pažnja će biti posvećena magnetnim sistemimaured̄enja tipa feromagnetika i antiferomagnetika, opisani Hajzenbergovim modelom. Usledsimetrije Hamiltonijana, kao i simetrija osnovnih stanja na odred̄ene grupe rotacija, uočićese da li je osnovno stanje feromagneta, odnosno antiferomagneta invarijantno na kompletnugrupu rotacija G = O(3), ili samo na podgrupu grupe G, H = O(2).

Diskusiju je najkonzistentnije započeti od pojma Goldstonovih bozona.

4.1 Goldstonovi bozoni

Goldstonovi bozoni su bezmasene čestice koje se javljaju pri niskim energijama u sistemimagde dolazi do spontanog narušenja globalne simetrije (konkretno narušenja simetrije os-novnog stanja). Neke od njihovih osobina su [15]:

• jedni od Goldstonovih bozona jesu magnoni čija energija teži nuli kada talasni vektork→ 0.

• za njihovo nastajanje potrebna je izuzetno mala količina energije.

Nambu je 1960. godine pokazao da se ove kvazičestice pojavljuju u magnetnim čvrstim te-lima, kada usled primene magnetnog polja dolazi do narušenja rotacione invarijantnosti [17].

Goldstonova teorema u nerelativističkom slučaju relevantna je za fiziku kondenzovanogstanja materije, jer predvid̄a kolektivne ekscitacije sa energijskim gepom ravnim nuli. Važiu odsustvu spinske anizotropije, te ako je ona prisutna, simetrija Ĥ postaje ekvivalentnasimetriji osnovnog stanja sistema, te prestaje važenje Goldstonove teoreme. To dovodi dopojavljivanja gepa u centru Briluenove zone [15].

4.2 Analiza integrala kretanja Hajzenbergovog modela fero- i an-tiferomagneta

Hajzenbergov model opisuje magnetne sisteme sa lokalizovanim spinovima koji ”sede” načvorevima kristalne rešetke i dat je Hamiltonijanom Ĥ:

Ĥ =J

2

∑n,λ

Ŝn · Ŝn+λ J = const. (4.1)

Stranica 35


gde je Ŝn vektorski operator spina na čvoru rešetke n. Sumacija se vrši po najbližim susedimačvorova kristalne rešetke.

Hajzenbergov model je uspešno primenljiv za izučavanje ponašanja ekscitacija u okoliniosnovnog stanja, konkretno za izučavanje spinskih talasa i njegovih kvanata - magnona.U fizici kondenzovane materije, spontano narušenje simetrije se uspešno razmatra i rešavametodom efektivne teorije polja.

Invarijantnost Hajzenbergovog hamiltonijana Ĥ, respektivno Lijevoj grupi G = O(3),odnosno invarijantnost na rotacionu simetriju, što će reći rotacijom svih spinova za isti ugaodobijamo isti hamiltonijan, okarakterisan je generatorima naboja Qi:[

Q̂i, Ĥ]

= 0 (4.2)

što daje očuvane veličine, tzv. Neterine naboje (opisane u poglavlju 3):

Q̂i =

∫d3xĴ0i (x) (4.3)

Ovi generatori zadovoljavaju komutacione relacije:[Q̂i, Q̂j

]= i�ijkQ̂k (4.4)

Konkretna simetrija G = O(3) spontano je narušena na H = O(2), ali treba napomenutida je Hajzenbergova teorija invarijantna u celom domenu grupe G, ali osnovno stanje jeinvarijantno samo u podgrupi H.

Za mikroskopski opis feromagnetika, generator grupe simetrije jeste suma operatora spinapo svim čvorovima rešetke, tačnije, ukupan spin sistema:

Q̂i =∑n

Ŝin (4.5)

i važe komutacione relacije u opštem slučaju:[Ŝin, Ŝ

jm

]= iδn,m�ijkŜ

km (4.6)

gde je pored klasične relacije koja se sreće na kursu kvantne mehanike vezane za spinskekomutacione relacije dodat i kronekerov simbol, jer posmatrajući kristalnu rešetku, dva op-eratora spina na različitim čvorevima rešetke komutiraju.Korisno je zapisati hamiltonijan feromagnetika u sledećem obliku:

Ĥ =J

2

∑n,λ

(ŜznŜ

zn+λ +

1

2

(Ŝ+n Ŝ

−n+λ + Ŝ

−n Ŝ

+n+λ

))(4.7)

Pomoću ovako zapisanog hamiltonijana, lako je uočiti da je osnovno stanje feromagnetikazapravo ono u kome su svi spinovi orijentacije ”up”8.

8po konvenciji, bira se stanje ”up” kao osnovno stanje feromagnetika

Stranica 36


Slika 4 - magnetno ured̄enje feromagnetika9

Generator rotacije spinova reprezentovan je unitarnom transformacijom [19] :

Û(θ) = exp(iŜ · θ

)(4.8)

gde je θ ugao rotacije, te:

Û(θ)ĤU †(θ) = Ĥ (4.9)

jasno uočavamo da je hamiltonijan feromagnetika zapravo invarijantan na rotaciju spinova,što ga čini invarijantnim respektivno Lijevoj grupi O(3).

Osnovno stanje feromagnetika, sa druge strane, kod koga su svi spinovi usmereni u istomsmeru, navodi na to da duž treće ose (recimo z - osa) u spinskom prostoru je invarijantnosamo na grupu H = O(2). Ako bismo izvršili rotaciju osnovnog stanja, dobili bismo novoosnovno stanje koje je ortogonalno na već originalno osnovno stanje. Preciznije:

Û(θ)|up〉 6= |up〉 (4.10)

te sistem poseduje spontano narušenje simetrije, jer osnovno stanje spontano bira orijentacijuspinova ”up”. Ako se u atomima koji ”sede” na čvorovima kristalne rešetke nalazi jedannespareni elektron u stanju ↑, tada će usled elektrostatičkog kulonovskog odbijanja izmed̄uelektrona prostorna talasna funkcija biti antisimetrična, a kako ukupna talasna funkcija morabiti antisimetrična, tada spinska talasna funkcija mora biti simetrična, te nekuplovani spinoviu čvorevima kristalne rešetke poprimaju orijentaciju ”up”. Tada nam se kao očuvani nabojijavljaju vrednosti:

Q̂z =∑n

Ŝzn (4.11)

te nam je očuvana veličina po definiciji:∑n

Ŝzn =

∫d3xĴ0z (4.12)

9Slika je preuzeta sa sajta: https : //www.ornl.gov/content/thin−magnetic− crystals− are− path−ferromagnetic− graphene

Stranica 37


Ako gornju jednačinu usendvičimo izmed̄u osnovnog stanja |up〉 dobijamo:

NS = V 〈up|Ĵ0z |up〉 (4.13)

gde N predstavlja ukupan broj čvoreva kristalne rešetke, S je maksimalna srednja vrednostspinskog operatora Sz~n, a V je ukupna zapremina kristala.

Prema tome, očuvana vrednost z - komponente operatora Neterine struje u osnovnomstanju je različita od nule:

〈up|J0i |up〉 = δziNS

V= δzi Σ (4.14)

gde Σ predstavlja spontanu magnetizaciju.Ova veličina predstavlja parametar ured̄enja feromagnetika, te različitost od nule ove

veličine je direktni ukazatelj na spontano narušenje simetrije. Ako bi osnovno stanje fero-magnetika bilo simetrično respektivno grupi O(3), nijedan od operatora Ĵ0i , koji se trans-formǐse netrivijalno u grupi O(3) ne bi dao očekivanu vrednost u stanju |up〉 različitu odnule. Činjenica da se ovo ne dogad̄a sa komponentom Ĵ0z , direktno ukazuje da osnovnostanje feromagnetika nije invarijantno respektivno grupi O(3), već je ono invarijantno re-spektivno podgrupi H = O(2), te nam 〈up|Ĵ0z |up〉 6= 0 nudi kvantitativno merljivu veličinukao ukazatelj spontanog narušenja simetrije [18].

Antiferomagnet je sistem koji se sastoji od dve ili vǐse podrešetki, tako da najbliži susedipripadaju različitim podrešetkama. Neka spinovi u podrešetki a budu usmereni ↑, a spinoviu podrešetki b u smeru ↓. Time zaključujemo da je spontana magnetizacija antiferomag-netika jednaka nuli.

Slika 5 - magnetno ured̄enje antiferomagneta10

Hamiltonijan, nakon uvod̄enja operatora podizanja i spuštanja Ŝ+ i Ŝ−, respektivno, postaje:

Ĥ =J

2

∑n∈a,λ

(Ŝzn(a)Ŝ

zn+λ(b) +

1

2

(Ŝ+n (a)Ŝ

−n+λ(b) + Ŝ

−n (a)Ŝ

+n+λ(b)

))(4.15)

10Slika je preuzeta sa sajta: http : //images.iop.org/objects/jio/labtalk/3/11/5/figure1.jpg

Stranica 38


pri čemu se sumiranje vrši po najbližim susedima.Stanje u kome svi spinovi a podrešetke bivaju u ↑ orijentaciji, a oni iz podrešetke b u ↓orijentaciji, predstavlja osnovno stanje klasičnog antiferomagneta i naziva se Nelovo stanje[13]:

|Nel〉 =∏n∈a

|S, Sz = +S〉n∏m∈b

|S, Sz = −S〉m (4.16)

Analiza antiferomagneta u okviru teorije spinskih talasa zahteva postojanje jedinstvene osekvantizacije. Kako ovde imamo spinove u fazi ”up” i ”down”, ovaj problem rešavamo takošto npr. podrešetku b rotiramo oko x - ose za 180◦[20, 21], odnosno zamenom:

Ŝ±m(b)→ +Ŝ∓m(b) Ŝzm(b) = −Ŝzm(b) (4.17)

ako sada (4.17) iskoristimo u (4.15) dobija se:

Ĥ =J

2

∑n,λ

(−Ŝzn(a)Ŝzn+λ(b) +

1

2

(Ŝ+n (a)Ŝ

+n+λ(b) + Ŝ

−n (a)Ŝ

−n+λ(b)

))(4.18)

Dok se za Nelovo stanje dobija:

|Nel〉 =∏n∈a

|S, Sz = +S〉n∏m∈b

|S, Sz = +S〉m (4.19)

U novom, tzv. lokalnom koordinatnom sistemu, Nelovo stanje izgleda kao feromagnetno.Takod̄e, jasno je da zbog člana Ŝ−n (a)Ŝ

−n+λ(b) nije osnovno stanje Hajzenbergovog antifero-

magneta. Pravo osnovno stanje antiferomagneta odlikuje se kvantnim fluktuacijama (odstu-panjima od Nelovog stanja), koje se, usled strukture hamiltonijana (4.15) prenose kroz celurešetku [16].Kvantne fluktuacije snižavaju vrednost magnetizacije podrešetke u osnovnom stanju. Hamil-tonijan nakon bozonizacije Hoľstajn - Primakov reprezentacijom11, uz aproksimaciju linearneteorije spinskih talasa, zanemarivanjem proizvoda četiri boze operatora12, kao i konačnomdijagonalizacijom hamiltonijana Bogoljubovljevom transformacijom, dobija se hamiltonijanu aproksimaciji spinskih talasa:

ĤSW =∑α

∑k

ωα(k)N αk + const. (4.20)

Osnovno stanje opisano je kao vakuum boze čestica (N αk = 0). Elementarne ekscitacijesistema (kvantni tzv. spinskih talasa) nazivaju se magnonima, sa energijama jednakimωα(k). Pri zagrevanju magnetika, toplotni kvant smanjuje projekciju spina na jednom čvorukristalne rešetke za jedinicu, usled čega spin počinje da precesira oko svoje nove srednjevrednosti. Ovaj poremećaj se zbog interakcije izmene prenosi na ostale čvorove magnetnerešetke usled čega se pojavljuje talas ”zaljuljanih” spinova, tzv. spinski talas [23].

11Furijeova transformacija nije kanonska za spinske operatore, a jeste za bozonske, te zato vršimo bo-zonizaciju hamiltonijana. Furijeova transformacija predstavlja alat za prelazak u recipročni prostor koji dajepotpunu informaciju o simetriji nekog kristala [22].

12Zanemarivanjem ovog proizvoda zanemarujemo zapravo magnon - magnon interakciju, što je dozvoljenaaproksimacija na niskim temperaturama, gde magnone tretiramo kao neinteragujuće čestice [16].

Stranica 39


Slika 6 - Spinski talas13

Pritom, vakuumu sistema odgovara 〈n̂αk〉0 6= 0, što govori o postojanju kvantnih fluktuacijau osnovnom stanju sistema, što rezultuje smanjenjem magnetizacije podrešetke na T =0K(〈Ŝz(α)〉0 < S), koje je, uzgred, eksperimentalno potvrd̄eno [16]. Parametar ured̄enostikvantnog antiferomagneta je Nelov vektor:

N̂ =∑n∈a

Ŝn(a)−∑m∈b

Ŝm(b) (4.21)

Dakle, već je napomenuto da pravo osnovno stanje antiferomagneta, u oznaci |Ω〉 odlikuje sekvantnim fluktuacijama za razliku od Nelovog stanja, |Nel〉. Nelov vektor definǐse preferiranipravac u spinskom prostoru i osnovno stanje antiferomagneta je invarijantno u odnosu narotaciju oko tog pravca. Nelov vektor nije integral kretanja, što uzrokuje velike posledice naosnovno stanje Hajzenbergovog modela antiferomagneta, nego ono zadovoljava komutacionerelacije [15]: [

N̂, Ĥ]

= −2i∑n,λ

Ŝn(a)× Ŝn+λ(b)[Ŝi, N̂i

]= i�ijkN̂k (4.22)

Radi pored̄enja sa eksperimentalnim rezultatima, pogodno je Nelov vektor izabrati da ležiduž z - ose.

Tada se za parametar ured̄enja, koji karakterǐse antiferomagnetnu fazu, koristi magne-tizacija podrešetke (srednja magnetizacija obračunata po čvoru kristalne rešetke) α = a, b,definisana kao [15, 16]:

〈Ŝz(α)〉 = 1Nα

∑n∈α

〈Ŝzn(α)〉 (4.23)

gde je Nα broj čvorova podrešetke.Dakle, za slučaj feromagnetnog ured̄enja parametar ured̄enja je ukupni spin sistema,

definisan relacijom (4.5), koji komutira sa operatorom Hajzenbergovog hamiltonijana, pred-stavlja integral kretanja, te se u osnovnom stanju ne javljaju kvantne fluktuacije, dok sekod antiferomagneta kao parametar ured̄enja uzima magnetizacija podrešetke, a kako Nelovvektor ne komutira sa operatorom Hajzenbergovog hamiltonijana, jasno je da kod osnovnogstanja antiferomagneta dolazi do kvantnih fluktuacija.

13Slika je preuzeta sa sajta: https : //i.ytimg.com/vi/pWQ3r − 2Xjeo/hqdefault.jpg

Stranica 40


5 Zaključak

U radu je predstavljena teorema Emi Neter. Videli smo da usled invarijantnosti dejstvapri kontinualnoj transformaciji koordinata datom fizičkom sistemu pripisujemo integral kre-tanja (veličinu koja se očuvava u toku vremena). Upravo vezu izmed̄u simetrije sistema itzv. zakona održanja u analitičkoj mehanici diktira Neterina teorema. Naime, usled transla-cione, rotacione i vremenske invarijantnosti, primenom Neterine teoreme dobili smo zakoneodržanja impulsa, momenta impulsa i energije, respektivno. U teoriji polja, gde se primen-juje relativistička mehanika i zahtev da lagranžijan bude Lorencov skalar, kako se ne bimenjao prilikom primene Lorencovih transformacija, formulisan je Neterin 4 - vektor, čijavremenska komponenta usled integracije u 3D prostoru daje konstantnu kretanja - tzv. Ne-terini naboji (naelektrisanja). Sledeći analogiju sa klasičnom, u relativističkoj mehanici seusled translacione invarijantnosti javlja kao integral tenzor energije - impulsa, a usled rota-cione invarijantnosti se kao integral kretanja javlja tenzor ugaonog momenta. Ako sistemposeduje tzv. U(1) simetriju, tada se neposredno primenom Neterine teoreme javlja kaointegral kretanja naelektrisanje. U poslednjem poglavlju primenjena je Neterina teoremana fizičke sisteme fero - i antiferomagnetnih materijala opisanih Hajzenbergovim modelom.Kao integrali kretanja javljaju se ukupan spin sistema (feromagnet), odnosno magnetizacijapodrešetke (antiferomagnet).

Stranica 41


Reference

[1] A. Balaž, Magistarski rad: Nova rekurzivna formula za funkcionalni integral u kvantnojmehanici: analitičke i numeričke osobine, Univerzitet u Beogradu - Fizički fakultet ,Beograd (2004.)

[2] D. Stojiljković, Diplomski rad: Metod efikasnog računanja energetskog spektra ufunkcionalnom formalizmu, Univerzitet u Beogradu - Fizički fakultet , Beograd (2005.)

[3] R. Courant, R; D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics. Vol. I (First English edi-tion), New York (1953.)

[4] W. Greiner, J. Reinhardt, Field Quantization, Springer - Verlag, Berlin (1996.)

[5] -D. Mušicki, Uvod u teorijsku fiziku - Teorijska mehanika, IRO ”Grad̄evinska knjiga”,Beograd (1980.)

[6] V. Radovanović, Teorijska mehanika - Lagranževa i Hamiltonova mehanika, Fizički fakul-tet, Beograd (2015.)

[7] B. S. Milić, Njutnova mehanika, Studentski trg, Beograd (1997.)

[8] N. Zovko, Osnovi relativističke kvantne fizike, Školska knjiga, Zagreb (1987.)

[9] L. I. Šif, Kvantna Mehanika, Vuk Karadžić, Beograd (1968.)

[10] M. E. Peskin, D. V. Schroder, An Introduction to Quantum Field Theory, Addison -Wesley (1995.)

[11] S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields I, Cambrigde University Press (2008.)

[12] L. H. Ryder, Quantum Field Theory, Cambridge University Press, (1996.)

[13] Alexander Atland, Ben Simons, Condesed Matter Field Theory, Cambridge UniversityPress, (2006.)

[14] V. Radovanović, Specijalna teorija relativnosti, Univerzitet u Beogradu, Beograd (2015.)

[15] S. Radošević, Doktorska disertacija: Termodinamička svojstva složenih antiferomagnet-nih sistema opisanih Hajzenbergovim modelom, Univerzitet u Novom Sadu - Prirodno -matematički fakultet, Novi Sad (2012.)

[16] S. Radošević, Master rad: Magnetne osobine antiferomagnetnih halogenida mangana,Univerzitet u Novom Sadu - Prirodno - matematički fakultet, Novi Sad (2009.)

[17] M. Kachelrieß, From the Hubble to the Planck Scale: An Introduction to QuantumFields, Department of Physics - NTNU TRONDHEIM, Norway (2016.)

[18] C. Hofmann, Spin-wave scattering in the effective Lagrangian perspective, Departmentof Physics, University of California at San Diego, San Diego (1998.)

Stranica 42


[19] R. White, T. Geballe, Long Range Order in Solids: Solid State Physics,

[20] A. Auerbach, Interacting Electrons and Quantum Magnetism, Springer-Verlag, (1994.)

[21] D. C. Mattis, Theory of Magnetism I, Springer - Verlag, Berlin (1988.)

[22] P. Mali, Diplomski rad: Primena samousaglašene aproksimacije u analizi slojevitih an-tiferomagnetika, PMF Novi Sad, (2011.)

[23] M. Manojlović, Diplomski rad: ”Spinske ekscitacije i termodinamičke osobine antif-eromagnetika tipa La2CuO4 sa

Uloga Neterinog naboja u savremenim zi ckim teorijama sa aspekta funkcionalnog formalizma · 2016....

Documents

Transcript of Uloga Neterinog naboja u savremenim zi ckim teorijama sa aspekta funkcionalnog formalizma · 2016....