Uji Kruskal-Wallis

Uji statistika parametrika (ji t dan uji F) hanya dapat digunakan jika data

menyebar normal atau tidak ditemukannya petunjuk pelanggaran kenormalan dan

keragaman atau variasi antara perlakuan-perlakuan atau peubah bebas yang

dibandingkan homogen. Data yang memenuhi syarat tersebut skala pengukurannya

menimal interval (misalnya data dalam satuan persen dan data yang interval

pengukurannya ≥ 5) lebih baik lagi data yang mempunyai skala pengukuran rasional

(misalnya data yang mempunyai satuan pengukuran

berat,panjang,volumedansebagainya).

Untuk data yang mempunyai skala pengukuran nominal (misalnya ada/tidak,

mati/hidup.sembuh/sakit dan sebagainya) data yang mempunyai skala pengukuran

ordinal (data yang ada urutannya misalnya agak sakit, sakit dan sembuh; tidak

senang, senang dan amat senang; tidak ada kelainan sedikit ada kelainan dan ada

kelainan; dan sebagainya). Jadi uji t dan uji F hanya bisa digunakan jika tidak ada

petunjuk pelanggaran kenormalan dan keragaman antar perlakuan yang dibandingkan

homogen. Untuk data yang memunyai skala pengukuran interval dan rasional bila

syarat uji t dan uji F dilanggra masih bisa diusahakan dengan melakukan transformasi

data jika setelah ditransformasikan belum juga terpenuhi maka harus diusahakan uji

lain.

Untuk data yang tidak memenuhi syarat uji t dan ujiF dan data dengan satuan

pengukuran nominal dan ordinal digunakan uji lain kelompok uji ini disebut uji

statistika nonparametrik.

Kruskal-wallis test adalah Anova one-way dengan menggunakan Rank.

Hipotesis test ini adalah bahwa sampel berasal dari populasi yang sama.

Uji ini umumnya digunakan jika skala pengukuran datanya ordinal dan skala

intervalmaupun rasional yang tidak memenuhi syarta untuk uji t atau uji f

.kategori/perlakuan yang diteliti lebih besar dari dua (P>2) dan termasuk klasifikasi

satu arah (tidak ada peubah lain selain perlakuan ) atau tidak berpasangan atau dalam

rancangan percobaan/lingkungan terkenal dengan nama Rancangan Acal Lengkap

(RAL).

Yang banyak digunakan teknis nonparametrik untuk menguji hipotesis nol

bahwa beberapa sampel yang telah diambil dari populasi sama atau populasi identik

adalah analisis varians satu arah kruskal-wallis melalui rank. (Kruskal-Wallis one

way analysis of variance by ranks). Untuk dua sampel, uji kruskal-wallis setara

dengan uji mann-whitney.

Uji kruskal-wallis memerlukan lebih informasi daripada uji median. Sebagai

akibatnya, uji kruskal-wallis biasanya lebih powerful dan lebih baik, seandainya data

yang tersedia diukur sekurang-kurangnya skala ordinal.

Asumsi

1. data untuk terdiri atas k sampel acak, berukuran n1, n2, …, nk.

2. observasi saling bebas didalam dan diantara sampel

3. variabel pengamatan adalah kontinu

4. skala pengukuran seukrang-kurangnya ordinal.

Hipotesis :

HO : fungsi distribusi k populasi identik

H1 : median dari k populasi tidak sama

Statistik uji :

Data pengamatan uji kruskal-wallis dinyatakandalam tabel berikut ini :

Tabel 4.33 Contoh Data Pengamatan Uji Kruskal-WallisSampel

1 2 … k

X11 X21 … Xk1

X12 X22 … Xk2

… … … …

… … … …

… … … …

X 1n1X 2 n2

… X knk

Data penamatan pada tabel tersebut, selanjutnya diganti oleh nilai rank yang

relatif terhadap semua pangamatan k sampel. Data penamatan terkecil diganti oleh

nilai rank 1, data terkecil kedua dengan nilai rank 2, dan seterusnya, sehingga data

terbesar dengan nilai rank N.

Dalam kasus data pengamatan yang sama (tied), nilai rank disemua kelompok,

terjadi bukan kebetulan, (a matter of chance), sehingga nilai rank kecil atau besar

tidak terpusat pada satu sampel. Dengan kata lain, jika hipotesis benar, maka

diharapkan jumlah rank di setiap sampel kira-kira sama.

Statistik uji Kruskal-Wallis ditulis sebagai berikut:

1. Tidak ada data kembar

KW= 12N (N+1)∑i=1

kR2 jnj

−3(N+1)

2. Ada angka kembar

KW=

12N (N+1)∑i=1

kR2 jnj

−3 (N+1)

1−(∑ t j (t j2−1)

N ( N 2−1 ) )Disini

K; nilai Kruskal-Wallis dari hasilperhitungan

Ri: jumlah rank dari kategori/perlakuan ke i

Ni : Banyaknya ulanganpada kategori/perlakuan ke-i

k: banyaknya kategori/perlakuan (i=1,2,3,…..,k)

N:Jumlah seluruh data (N=n1+n2+n3+………..+nk)

Hipotesisnya

Ho :r1 =r2=r3=……=rk

H1 : ri≠ri’,untuk suatu pasangan ri ( i≠i)

Contoh Soal :

Misalkan ada 3 orang guru yang dinilai bedasarkan sikapnya

GURU A GURU B GURU C

SIKAP OTORITER

96 82 115128 124 14983 132 16661 135 147101 109

Langkah-langkah Uji Kruskal-Wallis Dengan Program SPSS

1. Buat data guru dan diberi kode pada Value, misalnya

Variabel guru A = 1, guru B = 2, dan guru C = 3

2. Buat data sikap dan sesuaikan dengan sekor sikap

dan kode guru

3. Analyze, pilih Sub Nonparametric Test, pilih K-Independent Samples

4. Masukkan data sikap ke Test Variable List

5. Masukkan data guru ke Grouping Variable

6. Difine Groups isi dengan kode angka, minimum 1, dan

maksimum 3 (sesuaikan dengan kode yang telah

dipakai)

7. Continue dan OK

Mungkin untuk mempermudah diurutkan bedasarkan nilai sikap terendah ke nilai sikap tertinggi

Guru Sikap

1 (A) 612 (B) 821 (A) 831 (A) 961 (A) 1012 (B) 1093 (C) 1152 (B) 1241 (A) 1282 (B) 1322 (B) 1353 (C) 1473 (C) 1493 (C) 166

Bentuk Gambar 1 , Gambar SPSS pada Data Variabel

Bentuk Gambar 2 , Gambar SPSS pada Variabel View

Berikut Ini Merupakan Hasil setelah diproses Melalui Program SPSS dengan Menggunakan Uji Kruskal-Wallis Test

Ranks

GURU N Mean Rank

SIKAP

A 5 4.40

B 5 7.40

C 4 11.50

Total 14

Dapat dibahas bahwa jumlah data semuanya ada 14 data. Dimana untuk Guru A ada 5

data, B ada 5 data sedangkan C ada 4 data.

Test Statisticsa,b

SIKAP

Chi-Square 6.406

Df 2

Asymp. Sig. .041

a. Kruskal Wallis Test

b. Grouping Variable:

GURU

Dari data tersebut dapat dilihat apabila datanya untuk,

Ho : Tidak ada perbedaan redaksi 3 orang guru dilihat dari nilai sikap otoriternya

H1 : ada perbedaan redaksi 3 orang guru dilihat dari nilai sikap otoritenya

Ho dapat diterima apabila nilai siginifikasinya > 0,05. Tapi bedasarkan uji

Kruskal-Wallis ternyata nilai siginifikasinya 0,041 yang artinya kurang dari 0,05

sehingga Ho ditolak dan dapat disimpukan bahwa “ada perbedaan redaksi 3 orang

guru dilihat dari nilai sikap otoritenya“.

Contoh yang ke-2:

Misalkan seorang dosen ingin meneliti kualitas dari tiga buah bimbingan belajar,

yakni bimbingan belajar A, B, dan, C. Untuk keperluan penelitian, dosen tersebut

melakukan interview langsung ketiga bimbingan belajar tersebut untuk memperoleh

data mengenai jumlah siswa yang lulus keperguruan tinggi negeri selama 6 tahun

terakhir. Berikut data mengenai jumlah siswa yang lulus keperguruan tinggi negeri

dari ketiga bimbingan belajar A,B, dan C selama 6 tahun terakhir.

Data Jumlah Kelulusan Siswa pada Bimbingan Belajar A,B,C Selama 6 Tahun

Terakhir di Perguruan Tinggi Negeri

BIMBINGAN BELAJAR

tahun ke A B C

2000 50 80 80

2001 70 69 85

2002 65 50 90

2003 60 65 120

2004 70 65 150

2005 45 45 200

Pada tabel di atas, pada tahun 2000, jumlah siswa yang lulus keperguruan tinggi

negeri pada bimbingan belajar A adalah 50, bimbingan belajar B adalah 80, dan

bimbingan belajar C adalah 80 dan seterusnya.

Berikut tahap-tahap yang diperlukan dalam uji Kruskal-Wallis.

Tahap pertama : menghitung nilai dari uji statistik chi kuadrat

Tabel 2

Data Untuk Perhitungan Uji Statistik

Chi Kuadrat

BIMBINGAN BELAJARTahun Ke- Ranking A Ranking B Ranking C

1 3,5 12,5 12,52 10,5 9 143 7 3,5 154 5 7 165 10,5 7 176 1,5 1,5 18

Jumlah Ranking 38 40,5 92,5Untuk memperoleh hasil pada tabel 2, tahap pertama adalah menggabungkan seluruh

data.

50 80 8070 69 8565 50 9060 65 12070 65 15045 45 200

Kemudian mengurutkan nilai data dari yang paling kecil sampai yang paling besar.

Urutan Jumlah Jumlah Urutan Jumlah

1 45 7 65 13 80

2 45 8 65 14 85

3 50 9 69 15 90

4 50 10 70 16 120

5 60 11 70 17 150

6 65 12 80 18 200

Nilai dari 45 merupakan nilai yang paling kecil. Karena 45 terdapat 2 buah maka nilai

45 berada pada urutan ke-1 dan urutan ke-2 dan seterusnya.

Kemudian memberi rangking untuk setiap nilai. Sebagai contoh, nilai 45 terdapat 2

buah yakni pada urutan ke-1 dan urutan ke-2 sehingga rangking untuk nilai 45 adalah

1+22

=1,5

Nilai 65 terdapat tiga buah, yakni pada urutan ke-6,7, dan 8 sehingga rangking untuk

nilai 65 adalah

6+7+83

=7

Dan setrusnya sehingga table data untuk perhitungan uji statistic chi kuadrat seperti

berikut

BIMBINGAN BELAJAR

tahun ke Ranking A Ranking B Ranking C

1 3,5 12,5 12,5

2 10,5 9 14

3 7 3.5 15

4 5 7 16

5 10,5 7 17

6 1,5 1,5 18

jumlah ranking 38 40,5 . 92,5

Kemudian menentukan nilai uji statistik chi kuadrat..

X2= 12N (N+1) [ R1

2

n1

+R2

2

n2

+…+Rk

2

n3]−3(N+1)

⟺ X2= 1218(18+1) [ 382

6+ 40.52

6+ 92.5

6 ]−3 (18+1 )

⟺ X2=11,073

Sehingga nilai uji Statistik chi kuadrat adalah 11,073.

Tahap kedua : perumusan hipotesis

Uji Kruskal-Wallis merupakan uji nonparametrik yang digunakan untuk menguji tiga

atau lebih sampel independen apakah kelompok-kelompok sampel tersebut berasal dari

populasi yang sama atau dengan kata lain apakah rata-rata dari ketiga populasi tersebut

sama atau identik. Dalam kasus ini, jika kelompok-kelompok sampel berasal dari populasi

yang sama berarti kualitas ketiga bimbingan belajar tersebut adalah sama. Namun jika

terdapat satu atau lebih sampel berasal dari populasi yang berlainan berarti terjadi perbedaan

kualitas di antara ketiga bimbinga belajar tersebut. Perumusan hipotesisnya sebagai berikut.

Ho : μ1=μ2=μ3

H 1:terdapat satu atau lebih populasi yang memiliki nilai rata-rata yang berbeda atau

terdapat perbedaan kualitas diantara ketiga bimbingan belajar.

Tahap ketiga : menentukan nilai kritis berdasarkan tabel nilai kritis chi kuadrat

Misalkan nilai tingkat signifikansi adalah 5% atau 0,05. Distribusi chi kuadrat

hanya memiliki satu daerah penolakkan yang terletak di sebelah kanan sehingga uji

hipotesisnya satu arah.

Untuk menentukan nilai kritis, terlebih dahulu menentukan nilai derajat bebas.

Berikut rumus dari derajat bebas.

Sehingga derajat bebas= 3-1=2. Nilai kritis bedasarkan table nilai kritis chi khuadrat

dengan derajat bebas 2 dan tingkat signifikansi 5% adalah 5,991 sehingga nilai kritis adalah

5,991.

Tabel Chi Kuadrat

Tahap keempat : pengambilan keputusan

Tahap keempat adalah pengambilan keputusan. Berikut aturan dalam pengambilan

keputusan berdasarkan uji statistik chi kuadrat.

Jika X2 < nilai kritis, hipotesis nol diterima

Jika X2 > nilai kritis, hipotesis nol ditolak

Diketahui nilai statistik X2 adalah 11,073 dan nilai kritis adalah 5,991. Karena

nilai statistik lebih besar dari nilai kritis, maka Ho ditolak dan H1 diterima. Ini berarti

bahwa pernyataan terdapat satu atau lebih populasi yang memiliki nilai rata-rata yang

berbeda atau terdapat perbedaan kualitas di antara ketiga bimbingan belajar dapat

dibenarkan pada tingkat signifikansi 5%. Secara kasat mata, bimbingan belajar C

mempunyai tingkat kelulusan besar dibandingkan bimbingan belajar yang lain

sehingga terjadi perbedaan nilai rata-rata.

Penyelesaian dengan SPSS

Bangun Tabel SPSS dari contoh ini yaitu

Bentuk SPSS di atas merupakan bentuk SPSS dari Bentuk Variabel View,

Selanjutnya Bentuk Data View

Kemudian klik menu Analyze => Nonparametric Test => K Indpendent Samples

sehingga muncul kotak dialog Test for Several Indepndent Samples seperti berikut

Pada kotak Test Variables List, masukkan variabel jumlah_kelulusan. Kemudian pada

kotak Grouping Variable, klik Define Range. Nilai Minimum : diisi dengan 1 dan nilai

Maximum diisi dengan 3 kemudian klik Continue. pada Test Type, pilih Kruskal-Wallis

H. Kemudian klik OK. Sehingga hasil nya sebagai berikut.

Hasil Outputnya yaitu

Ranks

Bimbel N Mean Rank

Jumlah_Kelulusan

Bimbel A 6 6.33

Bimbel B 6 6.75

Bimbel C 6 15.42

Total 18

Pada tabel Ranks, kolom Mean Rank memberikan informasi bahwa Mean Rank

atau rata-rata ranking dari bimbingan belajar : adalah 6,33. Nilai tersebut

merupakan hasil bagi antara jumlah ranking pada bimbingan belajar :, yakni 38 dengan banyaknya elemen yakni, 6 dan seterusnya.

Test Statisticsa,b

Jumlah_Kelulus

an

Chi-Square 11.165

df 2

Asymp. Sig. .004

a. Kruskal Wallis Test

b. Grouping Variable: Bimbel

Pada tabel Test Statistics memberikan informasi bahwa nilai uji statistik chi kuadrat adalah

11,165. Karena nilai uji statistik chi-kuadrat, yakni 11,165 lebih besar dari nilai kritis,

yakni 5,991, maka 01 ditolak dan 0 diterima.

Selain itu, pada tabel Test Statistics juga memberikan nilai probabilitas kumulatif atau

Asymp. Sig. Yakni 0,004.

Jika nilai Probabilitas kumulatif > nilai tingkat signifikansi, Ho Diterima.

Jika Nilai Probabilitas kumulatif < nilai tingkt signifikansi, Ho Ditolak.

Karena nilai Probabilitas kkumulatif yakni 0,004 lebih kecil dari nilai ingkat

signifikansi, yakni 0,05 maka hipotesis nol ditolak.