Ünite 4 CEBİRSEL FONKSİYONLAR

Amalar

Bu niteyi altktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonlar tanyacak ve bu

trden baz fonksiyonlarn grafiklerini renmi olacaksnz. indekiler

Giri 123 Polinom Fonksiyonlar 123 Rasyonel Fonksiyonlar 129 Deerlendirme Sorular 135

alma nerileri

nite 3 renmeden bu niteyi almaya balamaynz Grafik izimlerinde hangi tr noktalara nem verildiine dik-

kat ediniz ve bu tr noktalarn nasl bulunduunu iyi reniniz. Grafii verilen fonksiyonlara benzer fonksiyonlar yazp grafik-

lerini izmeye alnz Dorunun eiminin anlamn iyi reniniz Doru ve parabol izimlerine nem veriniz

NTE

4Cebirsel FonksiyonlarYazarProf.Dr. Vakf CAFEROV

A N A D O L U N V E R S T E S

Bir fonksiyonun tanm kmesi aka verilmemise tanm k-mesinin nasl bulunacan mutlaka reniniz.

A I K R E T M F A K L T E S

1. GiriBir fonksiyonun tam olarak belirlenebilmesi iin tanm kmesinin, deer kmesi-nin ve kuralnn ak olarak bilinmesi gerektiini nite 3 de ifade etmitik. Fonksi-yonlar, kurallarna gre, cebirsel, stel, logaritmik, trigonometrik, ters trigonomet-rik, v.s. gibi isimler alrlar. Biz bu nitede cebirsel fonksiyonlar ksaca gzden gei-receiz.

Uygun bir kme zerinde tanml bir fonksiyonun kuralnda deikenle ilgili topla-ma, karma, arpma ve blme gibi ilemlerin yan sra kk alma ilemini de ierenksaca kural cebirsel bir ifade ile verilen fonksiyonlara cebirsel fonksiyonlar denir.rnein,

fonksiyonlar birer cebirsel fonksiyondur.

2. Polinom Fonksiyonlara0, a1, ... , an IR , a0 0 ve n doal say olmak zere

P: IR IR , P(x) = a0 xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x + an

gibi fonksiyonlara n. dereceden polinom fonksiyonlar denir.

P(x) = c sabit fonksiyonuna da 0. dereceden polinom fonksiyon olarak baklabilir.

Aksi sylenmedike, bir polinom fonksiyonun tanm kmesi olarak IR gerel say-lar kmesi alnr. a, b, c IR , a0 0 olmak zere P(x) = ax + b birinci derecedenpolinom fonksiyona dorusal fonksiyon, P(x) = ax2+ bx + c ikinci dereceden poli-nom fonksiyona ise kuadratik fonksiyon da denir.

y = ax + b dorusal fonksiyonunun grafiinin bir doru olduunu gsterelim. Bu-nun iin y = ax + b fonksiyonunun grafii zerinde koordinatlar (x1 , y1) ve (x2, y2) olan iki farkl A ve B noktalarn alalm. Bu noktalar y = ax +b nin grafiizerinde olduklarndan onun denklemini salamak zorundadrlar:

C E B R S E L F O N K S Y O N L A R 123

f: IR IR, f (x) = -4x3 + 5x2 - 2g: IRIR , g (x) = 4x - 1

x2 + 9h: [0, ) IR , h (x) = x

k: IR - 0 IR , k(x) = 1x2

3

l: IR IR , l(x) = x2 - 1 25

x2 + 1


y1 = ax1 +b , y2 = ax2 +b . Bu eiklikleri taraf-tarafa karrsak

y2 - y1 = a (x2 - x1) veya

bulunur. te yandan geometriden bildiimize gre farkl iki noktadan tek bir dorugeer. imdi yukardaki (x1 , y1) ve (x2 , y2) noktalarndan geen dorunundenklemini bulmaya alalm. Bu doru zerinde (x, y) koordinatl herhangi Cnoktasn alalm. ekilden grld gibi

AD = x2 - x1 , AE = x - x1 ,BD = y2 - y1 , CE = y - y1

dir.

ABD ve ACE genlerinin benzerlikle-rinden

veya

yazabiliriz. Buradan

dr. olduundan y - y1 = a (x - x1 ) veya y = ax+ y1 - ax1 kar. te yan-

dan, y1 = a x1 + b eitliinden b yi bulursak b = y1 - ax1 elde ederiz. Bunu yukardayazarsak

y = ax + b

buluruz. Bu onu gsteriyor ki (x1 , y1) ve (x2 , y2) noktalarndan geen doru-nun denklemi y = ax + b dir ve tersine, y = ax + b fonksiyonunun grafii bu iki nokta-dan geen doru olur.

Burada a saysna dorunun eimi denir. x = 0 iken y = b olduundan b saysbu dorunun ordinatlar eksenini hangi noktada kestiini gsterir. Eer y = ax + beitliinde y = 0 yazar ve x i zersek bu dorunun apsisler eksenini kestii noktaybulmu oluruz. y = 0 ise ax + b = 0 olur. Bu denklemden

bulunur.

C E B R S E L F O N K S Y O N L A R124

y2 - y1x2 - x1

= a

CEAE

= BDAD

y - y1x - x1

= y2 - y1 x2 - x1

y - y1 = y2 - y1 x2 - x1 (x - x1)

y2 - y1x2 - x1

= a

x = - ba

ekil 4.1:


Aadaki ekilleri inceleyerek eimin bir doru iin nemini anlamaya alnz.

Yukarda sylenilenlerden grld gibi y = ax + b nin grafiini izmek iin doruzerinde iki nokta bulmak yeterlidir. Bu iki nokta olarak genellikle dorunun x -ek-seni ve y-eksenini kestii noktalar tercih edilir. Bunun iin doru denkleminde y= 0 yazp x bulunur, sonra ise x=0 yazp y bulunur.

rnek: y = - 3x +2 dorusunu iziniz.

zm: x = 0 ise y = 2; x =1 ise y = -1. Buna gre (0, 2) ve (1, -1) noktalarndan geendoruyu izersek y = -3x + 2 nin grafiini elde ederiz.

rnek: y = 2x +4 dorusunu iziniz.

zm: y = 0 ise, x = -2; x = 0 ise y = 4. Buna gre (-2, 0) ve (0, 4) noktalarndan geendoru aranan dorudur.


x0 x00

y = ax + b

+ 1

b

a

-b/a

y0

0

(0

(1, -1)

y =- 3x +2

0

(0, 4)

(-2, 0)

ekil 4.2: ekil 4.3:

ekil 4.4: ekil 4.5:

(0, 2)

Y = 2x +4


imdi P(x) = ax2 + bx + c ikinci dereceden polinom fonksiyonlar (kuadratikfonksiyonlar) ele alalm. y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiine parabol e-risi denir (a 0 olduunu bir daha hatrlayalm). nite 3 de y = x2 nin grafiin-den bahsetmitik. a > 0 olmak zere, y = ax2 nin grafii olan parabol eriside y = x2 grafii gibi izilir. a bydke bu paraboln kollar daralarak ykse-lir, a kldke paraboln kollar y-ekseninden uzaklar.

Eer a < 0 ise y = ax2 fonksiyonunun grafii y = (-a)x2 parabolnn x-ekseninegre simetriidir ve |a| bydke paraboln kollar x-ekseninden uzaklar.

imdi y = ax2 + bx + c fonksiyonun grafiini inceleyelim. Gsterelim ki bu fonk-siyonun grafii y = ax2 nin grafiinden kaydrma ilemleri ile elde edilebilir. Buamala ax2 + bx + c ifadesini aadaki ekilde yazalm:

Burada

ax2 + bx + c = a (x -p)2 + q

olur. Buradan grld gibi y = ax2 + bx + c parabolnn grafiini izmek iiny = ax2 parabolnn grafiini |p|kadar sola veya saa kaydrdktan sonra yenigrafii |q|kadar aaya veya yukarya kaydrmak gerekmektedir. Buna gre eera > 0 ise parabolun bir tane en alak noktas, eer a < 0 ise bir tane en yksek noktasvardr. Bu noktaya paraboln tepe noktas denir. Yukardaki ifadelerden grld- gibi paraboln tepe noktasnn koordinatlar


ax2 + bx + c = a x + b2a

2 + 4ac - b

2

4a .

p = - b2a

, q = 4ac - b2

4a dersek

ekil 4.6: ekil 4.7:


olur. Paraboln tepe noktasndan geip, y-eksenine paralel olan doruya parabolnekseni denir. Akca grld gibi y = ax2 + bx + c parabolnn ekseninindenklemi

dr.

rnek: 1) y = x2 - 3x + 5 2) y = -2x2 + 4x - 5 parabollerinin tepe noktalarn, eksenlerini bulup grafiklerini iziniz.

zm: 1) a =1, b = -3, c = 5 olduundan gibi yazabiliriz.

O zaman tepe noktasnn koordinatlar , parabol ekseninin denklemi ise

Eer y = x2 parabolunu birim kadar saa kaydrdktan sonra elde edilen grafii

birim kadar yukar kaydrrsak aranan grafii buluruz.

2) a = -2, b = 4, c= - 5 olduundan -2x2 + 4x - 5 = - 2 (x-1)2 - 3 yazlabilir. Bunagre tepe noktas (1, - 3), parabol ekseninin denklemi ise x =1 dir. Eer y = - 2x2paraboln 1 birim kadar saa kaydrdktan sonra 3 birim kadar aaya kaydrr-sak aranan grafii elde ederiz.


x = - b2a

x2 - 3x + 5 = x - 32

2 + 11

4

32

, 114

x = 32

olur.

32

114

(p, q) = - b2a

, 4ac - b2

4a

ekil 4.8: ekil 4.9:


y = ax2 + bx + c parabolnn koordinat eksenleri ile kesiim noktalar bulunursa,grafik daha kolay izilebilir. Genellikle, y = f(x) denklemi ile verilmi erinin x-ekse-ni ile kesiim noktalarnn apsisleri, eer varsa, f(x) = 0 denkleminin kkleridir. Bugrafiin y-ekseni ile kesiim noktas kolay bulunur, nk y =f(x) de x = 0 yazarsaky = f(0) bulunur ve y-ekseni ile kesiim noktas (0, f(0)) olur.

rnek: 1) y = -x2 + 2x + 3 2) y = x2 + x + 1parabollerinin tepe ve eksenleri kestii noktalarn bulup grafiklerini iziniz.

zm: 1) a = -1, b = 2, c = 3 olduundan tepe noktas (1, 4) dr. x = 0yazarsak y = 3 dr. -x2 + 2x + 3 = 0 denkleminin kkleri x1 = -1 , x2 = 3 dr.Buna gre parabolun y-ekseni ile kesiim noktas (0, 3), x-ekseni ile kesiim noktala-r ise (-1, 0) ve (3, 0) noktalardr.

2) a = b= c =1 olduundan tepe noktas dr. x = 0 yazarsak y=1 bulu-

nur. x2 + x +1 = 0 denkleminin gerel kkleri yoktur. nk diskirminant ne-

gatiftir: = b2 - 4ac = 12 - 4.1.1 = - 3 < 0. Bu parabol y-eksenini (0, 1) noktasn-

da keser, ancak x-eksenini kesmez.

1) y = 2x2 + 5x - 32) y = 9x2 + 6x + 1parabollerinin tepe noktalarn, eksenlerini, koordinat eksenleri ile kesiimnoktalarn bulup grafiklerini iziniz.

Cevaplarnz aadaki gibi olmaldr.


?

- 12

, 34

ekil 4.10: ekil 4.11:


Daha yksek dereceden (n 3) polinom fonksiyonlarn grafikleri trev kavramyardmyla incelenebilir. Bu konuyu nite 10 da ele alacaz.

3. Rasyonel FonksiyonlarP(x) ve Q(x) birer polinom fonksiyon, S = { x| Q(x) = 0, x IR } olmak zere

fonksiyonuna rasyonel fonksiyon denir. Bu fonksiyonun tanm kmesinin Q(x) = 0denkleminin kkleri dndaki tm gerel saylar kmesi olduuna dikkat ediniz.rnein,

1) 2) 3)

fonksiyonlarnn her biri rasyonel fonksiyonlardr. Bunlardan birincisinin tanmkmesi IR - { 0 }, ikincinin IR - { 2 } iken nc fonksiyonun tanm kmesi ise x2 -5x + 6 = 0 denkleminden bulunan x = 2 ve x = 3 saylar dndaki gerel saylar k-mesidir, yani IR - { 2, 3 } dr.

rnek: zm: Grafii, x e bir ka deer verip, bu deerlerin grntleri olan y deer-lerini bularak izmeye alalm. Bunun iin aadaki tabloyu oluturalm.

Bulunan noktalar "uygun" bir eri ile birletirirsek in grafiini eldeederiz. Bu eriye hiperbol denir.


f : IR - S IR , f(x) = P(x)Q(x)

f(x) = 1x f(x) = 2x2 + x + 1

x - 2 f(x) = 3x

3 + 2x2 - x + 1x2 - 5x + 6

y = 1x fonksiyonunun grafiini iziniz.

-3 -1

-1 -2 -3 3

x

y = f(x) = 1x15

5

2

-5 - 12

- 13

13

12

- 15

- 13

1

1

3

13

ekil 4.12: ekil 4.13:

y = 1x


Dzlemde bir eri ve bir doru verilsin. Eer eri zerindeki her hangi P noktas e-ri zerinde hareket ederek orijinden uzaklatnda bu noktann o dorudan olanuzakl sfra yaklayor ise bu doruya o erinin asimptotu denir. Tanmdan g-rld gibi hiperbolnn iki asimptotu vardr. Bunlardan biri x - ek-seni, dieri y - eksenidir.

rnek: fonksiyonunun grafiini iziniz ve asimptotlarn bulunuz.

zm: Tanm kmesi x = 0 dndaki gerel saylardr. Grafik izimi iin tablooluturalm.

x -3 -2 -1 1 2 3

1 4 9 9 4 1

Tablodaki deerlere kar gelen noktalar bulup"uygun" bir eri ile birletirirsek, g-rafik erisini bulmu oluyoruz. Bu erinin de iki asimptotu vardr : Biri x - ekseni, di-eri y - eksenidir.


y = 1x

y = 1x2

y = f(x) = 1x2

- 12

- 13

13

12

19

14

14

19

ekil 4.14:

ekil 4.15:


rnek:

zm: Tanm kmesi x -2 deerleridir. Bu fonksiyonun grafii,

grafii 2 birim sola kaydrlarak elde edilir. Asimptotlar ise x - ekseni ve x = -2 do-

rusudur.

rnek:

zm: Fonksiyonun tanm kmesi x -1 deerleridir. (3x + 4) (x + 1) e blersek

elde ederiz. Buna gre fonksiyonun grafiini nce 1

birim sola, sonra 3 birim yukar kaydrrsak fonksiyonunun grafiini

buluruz. Asimptotlar ise y = 3 ve x = -1 dorulardr.

Yukarda bahsettiimiz kaydrma yntemi ile fonksiyonunun grafii-

ni elde etmek mmkndr.


y = 3x + 4x + 1

fonksiyonunun grafiini ve grafik erisinin asimptotlarn bulunuz.

ekil 4.16:

ekil 4.17:

y = ax + bcx + d

y = 1(x + 2)2

fonksiyonunun grafiini ve grafik erisinin asimptotlarn bulunuz.

y = 1x2

nin

y = 3x + 4x + 1

3x + 4x + 1

= 3 + 1x + 1

y = 1x


rnek:

i) tanm kmesini ve f(2), f (-2), f(1) deerlerini bulunuz.ii) f(a) = 1 eitliini salayan a deerlerini hesaplaynz.

zm: i) -x2 + 2x + 3 = 0 denkleminin kkleri x1 = -1 ve x = 3 olduundantanm kmesi R - { -1, 3 } kmesidir.

ii)

olur. Bu denklemi zersek a1 = 2, a2 = - 3 deerleri bulunur.

imdi rasyonel fonksiyon olmayan bir ka cebirsel fonksiyonun grafiini grelim.

rnek:

zm: Karekk altndaki ifade negatif olmayacandan -3x + 2 0 olmaldr.

Buradan - 3x - 2 veya bulunur. Buna gre fonksiyonun tanm

kmesi araldr. Grafii izmek iin deerler tablosu oluturalm.

x 0 -1 -2 -3 -4 -5

0 1,41 2,23 2,82 3,31 3,74 4,12

(Bu ve bundan sonraki tablolarda irrasyonel saylarn yaklak deerleri alnmtr).

Bu deerlere gre grafik aadaki gibidir.


f(2) = 3 . 2 - 3-22 + 2 . 2 + 3

= 33

= 1 , f(-2) = 3 . (-2) - 3

-(-2) 2 + 2 . (-2) + 3 = - 6 - 3

- 4 - 4 + 3 = -9

-5 = 9

5 ,

f(1) = 3 . 1 - 3

-12 + 2 . 1 + 3 = 0

4 = 0

f(a) = 3a - 3- a 2 + 2a + 3

= 1 eitliinin her iki tarafn - a2 + 2a + 3 ile arpalm. 3a - 3 = - a2 + 2a + 3 veya a2 + a - 6 = 0

y = f(x) = -3x + 2 fonksiyonunun tanm kmesini bulup grafiini iziniz

x -2-3

ve x 23

(- , 23

]

y = f(x) = -3x + 2

23

y = f(x) = 3x - 3-x2 + 2x + 3

fonksiyonunun,


rnek: 1)

2)

fonksiyonlarnn grafiklerini iziniz.

zm: 1) Herhangi gerel saynn tek dereceden kk tanml olduundan, bufonksiyonun tanm kmesi IR dir. Grafik izimi iin aadaki tabloyu oluturalm.

Grafik aadaki gibidir.

2) Fonksiyonun tanm kmesi x > 0 eitsizliini salayan x gerel saylardr.

Grafik izimi iin aadaki tabloyu oluturalm.


y = -x5

y = 1x

- 3 -2

1,32 1,25 1,15 1 0 - 1

x

y = - x 5

- 1 0 1 2

-1,15

- 4

-1,25

3 4

-1,32

ekil 4.18:

ekil 4.19:


x 0,3 0,5 1 1,5 2 3 4

1,83 1,41 1 0,82 0,71 0,57 0,5

fonksiyonun grafiini iziniz ve asimptotlarn bulunuz.

fonksiyonun grafiini iziniz.

Cevaplarnz aadaki gibi olmaldr.

Genel olarak cebirsel fonksiyonlarn grafiklerini elle izmek kolay deildir. An-cak gnmzde bu grafikler bilgisayarlar yardm ile kolayca izilmektedir.


y = x + 3x - 1

y = x23

- 1 ?

ekil 4.20:

ekil 4.21: ekil 4.22:

y = 1x


Deerlendirme Sorular1. y = 4x2 - 12x + 13 parabolnn tepe noktasnn koordinatlar hangisidir?

2.

3. f : IR IR , f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 fonksiyonunun grnt kmesi hangisi-dir?A. (0, )B. [0, )C. IRD. [1, )E. (1, )

4.

A. 2B. 1C. 0D. -1E. -2


(x) = 2x + 3x2 - 1

iin 1 + xx . 1x = ?

A. 32

, 0 B. - 3

2 , -4

C. (3, -4) D. 3

2 , 4

E. 3

2 , - 4

A. 2 + 3x1 - x

B. 2 + 3x

1 + x C. 2 - 3x

1 - x D. 2 - 3x

1 + x E. 2 + 3x

1 - x2

f(x) = 3x + 5 2x - 1

iin f(a) = 15

i salayan a deeri katr?


5.

A. x = 2 , y = 2B. x = -2C. y = 2D. x = - 2, y = 2E. x = - 2, y = - 2

6.

A. [0, 3]B. (- , 3)C. [0 , 3)D. (- , 0) E. (2, 4)

7.A. (4, )B. [2, 4]C. [4 , )D. [- 2, 2) E. (2, 4)

8. f : IR IR , f(x) = 4x2 - ax + 13 fonksiyonu veriliyor. f(2) = 5 olmas iin aka olmaldr?A. 7B. 8C. 9D. 11E. 12

9. f(x) = - 2x2 + ax + 3 fonksiyonunun maksimum deerinin 11 olmas iinpozitif a deeri ka olmaldr?A. 5B. 6C. 7D. 8E. 9


y = 2x -3 x + 2

fonksiyonunun grafiinin asimptotlar aadaki seeneklerden hangisinde verilmitir?

f(x) = x3 - x

fonksiyonunun tanm kmesi hangisidir?

f(x) = x - 4 + x2 - 4 fonksiyonunun tanm kmesi hangisidir?


10. Grafii yanda verilen f fonksiyonu iinaadakilerden hangileri dorudur?i) f(0) = 6ii) f(3) = 0iii) x = 1 asimptotturiv) y = 2 asimptotturv) f(- 1) > 2

A. i, ii, vB. ii, iii, C. i, ivD. i, ii, iii, ivE. i, ii, iii, iv, v

Deerlendirme Sorularnn Yantlar

1. D 2. A 3. C 4. E 5. D 6. C 7. C 8. E 9. D 10. E


Ünite 4 CEBİRSEL FONKSİYONLAR

Documents

Transcript of Ünite 4 CEBİRSEL FONKSİYONLAR