Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel
description
Transcript of Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel
![Page 1: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel
13. mai 2005
Reeno ReederTTÜ Elektroonikainstituudi üliõpilane
![Page 2: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Sissejuhatus Kvantmehaanika
1920. aastatel tekkinud teadusharu Pooljuhtelektroonika alus Tulevikutehnoloogiate alus
(kvantkeemia, nanotehnoloogia) Orbitaalidest arusaamise tähtsus
kasvab Numbrilised lahendusmeetodid
arengujärgus
![Page 3: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Mida me otsime?
tixtx exp)(,
Ajast mittesõltuv lainefunktsioon (otsime)
xExVx
x
m
2
2
2
Ajast sõltuv lainefunktsioon
Ajast mittesõltuv Schrödingeri võrrand
kompleksne kompleksnereaalne
![Page 4: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Schrödingeri võrrand
Seob elektroni energia ja lainefunktsiooni vastavalt etteantud potentsiaalijaotusele
Energia on diskreetne, igale energia omaväärtusele vastab omalainefunktsioon
Lainefunktsiooni ruut on elektroni jaotustihedus
xExVx
x
m
2
2
2
![Page 5: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Schrödingeri võrrandi lahendusmeetodid Analüütilised
Suur täpsus, kuid ideaalsete olukordade jaoks
Suur ülevaatlikkus Numbrilised
Reaalsete olukordade jaoks Probleemid täpsusega (täpsus vs
lahendusaeg)
![Page 6: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/6.jpg)
6
nn Tulistamismeetod (shooting method) Lahendite katseline otsimine, mis
rahuldaksid piiritingimusi Itereerides energia E väärtusi, otsitakse
lahendeid, mille korral
Saadakse hulk E väärtusi, mis on võrrandi omaväärtused, kirjeldavad kvantsüsteemi diskreetseid energiaolekuid.
0, xE
![Page 7: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Tulistamismeetodi plussid Lihtsalt realiseeritav ja mõistetav Seega õppeotstarbel hea kasutada Saab lihtviisil kogu
energiavahemiku läbi “kammida”. Mugav rakendada 1D või quasi-3D
süsteemide korral
![Page 8: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Tulistamismeetodi miinused Kriitiline vigade suhtes
Tulemuste numbriline ja tsükliline töötlemine põhjustab vigade kuhjumist
Nõrgalt seotud ülesande osad põhjustavad vigade suurenemist
Raskused mittesümmeetriliste potentsiaalide korral
Arvutusressursi ebaotstarbekas kasutamine
![Page 9: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Rakenduste realiseering Kasutatakse programmeerimisvahendeid C
ja shell scripting Tulemuste graafiliseks väljastamiseks
kasutatakse Gnuploti graafikujoonistustarkvara (www.gnuplot.info)
Rakendatud Paul Harrison ideid raamatust Computational Methods in Physics, Chemistry and Biology
![Page 10: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Vigade tekke näide
Isegi küllalt väikeste energia ebatäpsuste korral hakkab ψ barjääri sees taas kasvama või kahanema - varjatud komponendi mõju, kus
karLxA exp
EVmeLkar
02
![Page 11: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Kaksik-kvantaugu ülesanne
Lbarj = 10 Å E1 = 0,298 eV E2 = 0,298 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
![Page 12: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Kaksik-kvantaugu ülesanne
Lbarj = 2 Å E1 = 0,295 eV E2 = 0,301 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
![Page 13: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Kaksik-kvantaugu ülesanne
Lbarj = 1 Å E1 = 0,282 eV E2 = 0,309 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
![Page 14: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Kaksik-kvantaugu ülesanne
Lbarj = 0,5 Å E1 = 0,254 eV E2 = 0,319 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
![Page 15: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Kaksik-kvantaugu ülesanne
Lbarj = 0 Å E1 = 0,084 eV E2 = 0,334 eVLauk = 2 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
![Page 16: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Kaksik-kvantaugu ülesanne
0
0,050,1
0,15
0,2
0,250,3
0,35
0,4
10 5 2 1 0,5 0,2 0,1 0
Barjääri laius, Å
En
erg
ia,
eV
E1 E2
0,2980,334
0,084
![Page 17: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Kolmik-kvantaugu ülesanne
E1 = 0,298 eV E2 = 0,298 eV E3 = 0,298 eVLbarj = 5 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
![Page 18: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Kolmik-kvantaugu ülesanne
E1 = 0,294 eV E2 = 0,298 eV E3 = 0,302 eVLbarj = 2 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
![Page 19: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Kolmik-kvantaugu ülesanne
E1 = 0,276 eV E2 = 0,296 eV E3 = 0,314 eVLbarj = 1 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
![Page 20: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/20.jpg)
20
Kolmik-kvantaugu ülesanne
E1 = 0,237 eV E2 = 0,284 eV E3 = 0,328 eVLbarj = 0,5 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
![Page 21: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Kolmik-kvantaugu ülesanne
E1 = 0,165 eV E2 = 0,249 eV E3 = 0,339 eVLbarj = 0,2 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
![Page 22: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Kolmik-kvantaugu ülesanne
E1 = 0,038 eV E2 = 0,154 eV E3 = 0,347 eVLbarj = 0 Å Lauk = 3 × 10 Å Vauk = 10 eV
Esitatud lainefunktsioonid vastavad parameetritele:
![Page 23: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Kolmik-kvantaugu ülesanne
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
10 5 2 1 0,5 0,2 0,1 0
Barjääri laius, Å
En
erg
ia,
eV
E1 E2 E3
0,298
0,347
0,154
0,039
![Page 24: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Kolmik-kvantaugu mudel (1)
![Page 25: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Kolmik-kvantaugu mudel (2)
![Page 26: Ühemõõtmelise Schrödingeri võrrandi numbriline lahenda-mine kaksik-kvantaugu näitel](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061514/5681503b550346895dbe3847/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Kokkuvõte Vaadeldud kaksik- ja kolmik-
kvantaugu ülesanded näitavad ilmekalt, kuidas lainefunktsioonid kombineeruvad ja energianivood lahknevad aatomite teineteisele lähenedes
Numbrilised meetodid sobivad hästi keeruka potentsiaalijaotusega ülesannete lahendamiseks