Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und LeistungselektronikTechnische Universität München Prof. Dr.-Ing. Ralph Kennel

Arcisstraße 21D–80333 München

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LeistungselektronikGrundlagen und

Standardanwendungen

Übung 6: Verlustleistung und Kühlung

1 Theorie1.1 Verluste

Die in Halbleiterbauelementen auftretenden Verlustleistungen können folgendermaßen unter-teilt werden:

1.1.1 Durchlassverluste

Am leitenden (stromführenden) Bauteil tritt ein Spannungsabfall auf; bei Dioden und Thyristo-ren kann von einer Strom-Spannungs-Kennlinie wie in Abbildung 1.1 ausgegangen werden. Zur

00

∆i

∆u

u

i

US

Abbildung 1.1: Durchlasskennlinie einer Diode bzw. eines Thyristors mit eingetragener Nähe-rungsgerade

Vereinfachung der Berechnung wird der ansteigende Teil der Kennlinie durch eine Gerade ange-nähert. Diese schneidet die Spannungs-Achse im Punkt u = US. US wird als Schleusenspannungbezeichnet. Aus der Steigung der Geraden kann der differentielle Widerstand

rD = ∆u∆i (1.1)

berechnet werden. Somit lässt sich die Näherungsgerade durch folgende Gleichung beschreiben:

u = US + rD · i (1.2)

Daraus folgt für die Verlustleistung (zeitabhängig):

pD = u · i = US · i+ rD · i2 (1.3)

Sind u und i periodisch zeitabhängig, ergibt sich die abzuführende Wärmeleistung zu

PD = 1T

T∫0

pD dt = US ·1T

T∫0

i dt+ rD ·1T

T∫0

i2 dt. (1.4)

Verwendet man den zeitlichen Mittelwert

IAV = 1T

T∫0

i dt (1.5)

2

und den Effektivwert

IRMS =

√√√√√ 1T

T∫0

i2 dt, (1.6)

so ergibt sichPD = USIAV + rDI

2RMS. (1.7)

Diese Formel kann auch zur Berechnung der Durchlassverlustleistung bei einem bipolaren Tran-sistor oder einem IGBT verwendet werden.

Bei einem Feldeffekttransistor ist der Bahnwiderstand Ron zwischen Drain und Source nähe-rungsweise konstant, deshalb ergibt sich hier

PD = I2RMSRon. (1.8)

1.1.2 Sperrverluste

Bei hoher anliegender Spannung fließt ein relativ geringer Sperrstrom. Zur Abschätzung derSperrverluste muss der Verlauf der Sperrspannung uR(t) bekannt sein, der Zeitverlauf des Sperr-stromes iR(t) kann mit Hilfe einer Ersatzgeraden abgeschätzt werden. Oftmals ist es jedochausreichend, für den Sperrstrom einen konstanten Wert IR anzunehmen, wie in Abbildung 1.2zu erkennen ist.

00uR

iR

IR

Abbildung 1.2: Sperrkennlinie einer Diode bzw. eines Thyristors

Für den Fall einer sinusförmigen Sperrspannung uR(t) = uR · sin(ωt) ergibt sich

PR = 1T

T∫0

pR(t) dt = 1TIR

T∫0

uR(t) dt = 1πuRIR. (1.9)

Sperrverluste sind allerdings meist vernachlässigbar klein.

1.1.3 Steuerverluste

Zum Einschalten eines Bauelements ist ein Steuerstrom notwendig. Die hierbei verursachtenVerluste sind ebenfalls meistens vernachlässigbar.

3

1.1.4 Ein- und Ausschaltverluste

Beim Übergang vom gesperrten zum leitenden Zustand und umgekehrt treten kurzzeitig gleich-zeitig hohe Werte von Strom und Spannung auf (kurzzeitig stark erhöhte Verlustleistung).

Schaltverluste sind proportional zur Schaltfrequenz. Die Einschaltverluste können mit Hilfe derGleichung

Won =t0+ton∫t0

p dt, (1.10)

die Ausschaltverluste mit Hilfe von

Woff =t0+toff∫t0

p dt (1.11)

berechnet werden.

Wird der Schalter mit der Frequenz f ein- und ausgeschaltet, so ergeben sich die gesamtenSchaltverluste zu

PS = f (Won +Woff) . (1.12)

0 ton0 t

u, i, p Einschaltenuip

0 toff0 t

u, i, p Ausschaltenuip

Abbildung 1.3: Schaltverluste beim Ein- und Ausschalten (stark vereinfacht)

4

1.2 Thermisches Ersatzschaltbild

1.2.1 Wärmeleitung

Die Wärmeleitung in einem Körper, in dem ein Wärmestrom von einer Stelle 1 zu einer Stelle 2geführt wird, kann folgendermaßen beschrieben werden:

Rth = ϑ1 − ϑ2

P(1.13)

Rth = d

λA(1.14)

mit

Rth : Wärmewiderstand[KW

]

λ : Wärmeleitfähigkeit[WKm

]A : Querschnittsfläche des Körpers senkrecht zum Wärmestromd : Dicke des Körpers in Richtung des Wärmestroms

1.2.2 Wärmespeicherung

Überlegung: Die in die Masse eingebrachte Energie P dt wird vollständig in Temperaturände-rung dϑ umgesetzt:

P = Cthdϑdt (1.15)

Cth = V γc (1.16)

mit

Cth : Wärmekapazität[WsK

]V : Volumenγ : Spezifische Massec : Spezifische Wärmekapazität

1.2.3 Analogie zum elektrischen Stromkreis

Temperaturverläufe lassen sich analog zu Spannungsverläufen im elektrischen Stromkreis be-rechnen:

• Die abzuführende Verlustleistung P entspricht dem elektrischen Strom (Wärmestrom)

• Die Temperaturen entsprechen den elektrischen Potentialen bzw. Spannungen

1.2.4 Allgemeines thermisches Ersatzschaltbild

Ein allgemeines thermisches Ersatzschaltbild für den Wärmeübergang und die Wärmespeiche-rung mit n Körpern ist in Abbildung 1.4 angegeben.

5

W Cth1′ Cth2′ Cthn′

RthA1′ Rth12′ Rthn′BϑA

AϑB

B. . .

. . .

p

Abbildung 1.4: Thermisches Ersatzschaltbild

1.2.5 Äquivalentes thermisches Ersatzschaltbild in Partialbruchdar-stellung

Für die Berechnung von Bauteilerwärmungen ist das in Abbildung 1.4 angegebene Ersatz-schaltbild nur bedingt geeignet. Aus diesem Grund wird ein äquivalentes Reihenersatzschalt-bild verwendet, das auf eine Partialbruchdarstellung führt. In Abbildung 1.5 ist ein solchesgezeigt; es ist demjenigen aus Abbildung 1.4 äquivalent, wenn die Werte Rth1, Rth2, . . . Rthnund Cth1, Cth2, . . . Cthn entsprechend gewählt werden.

W

Rth1

ϑ1

Rth2

ϑ2

Rthn

ϑn

Cth1 Cth2 Cthn

ϑA

AϑB

B. . .

. . .

p

Abbildung 1.5: Thermisches Ersatzschaltbild in Partialbruchdarstellung

Wird eine zeitlich veränderliche Leistung im Punkt A eingespeist, ergibt sich folgende Differen-tialgleichung:

p(t) = ϑ1

Rth1+ Cth1

dϑ1

dt = ϑ2

Rth2+ Cth2

dϑ2

dt = . . . (1.17)

Für den Fall, dass auf ein sich im thermischen Gleichgewicht befindliches Element eine konstanteLeistung geschaltet wird, d. h. p(t) = 0 ∀ t < 0, p(t) = P = const. ∀ t ≥ 0, ergeben sich für dieeinzelnen Körper folgende Temperaturverläufe:

ϑi = PRthi

(1− e−

tτthi

), i = 1 . . . n (1.18)

mitτthi = RthiCthi (1.19)

Somit ergibt sich die Temperatur im Punkt A zu

ϑA =n∑i=1

ϑi + ϑB (1.20)

Für stationären Betrieb mit p = const., d. h. t 4τmax, können die Wärmekapazitäten ver-nachlässigt werden.

6

1.2.6 Transiente Wärmewiderstände

Das in Abbildung 1.5 angegebene Ersatzschaltbild kann durch die Einführung von sogenanntentransienten Wärmewiderständen weiter vereinfacht werden. Diese sind folgendermaßen definiert:

Zthi(t) = Rthi

(1− e−

tτthi

)(1.21)

Das resultierende Ersatzschaltbild mit transienten Wärmewiderständen ist in Abbildung 1.6 zusehen.

W

Zth1 Zth2 ZthnϑA

AϑB

B. . .

. . .

p

Abbildung 1.6: Thermisches Ersatzschaltbild mit transienten Wärmewiderständen

Wird Gleichung (1.21) in (1.18) eingesetzt und die resultierende Gleichung wiederum in (1.20),so ergibt sich für die Temperatur im Punkt A unter Verwendung der transienten Wärmewider-stände folgender Zusammenhang:

ϑA(t) = P ·n∑i=1

Zthi(t) + ϑB (1.22)

1.2.7 Betrieb mit veränderlicher Verlustleistung

Bei zeitlich veränderlicher Belastung kann das Superpositionsprinzip angewandt werden, d. h.die Lösungen der Gleichungen (1.17) und (1.20) für die einzelnen Zeitabschnitte können addiertwerden. Dieses Prinzip ist in Abbildung 1.7 dargestellt.

7

0 t0 t10

P0

t

p(t) Leistungsimpuls

0 t0 t10

P0

t

p(t) Positiver Leistungssprung

0

−P0

t0 t1t

p(t) Negativer Leistungssprung

0 t0 t10

ϑA max

t

ϑA(t) Temperaturverlauf resultierend aus positivem Leistungssprung

0

−ϑA max

t0 t1t

ϑ(t) Temperaturverlauf resultierend aus negativem Leistungssprung

0 t0 t10

ϑA max

t

ϑA(t) Temperaturverlauf resultierend aus Leistungsimpuls

Abbildung 1.7: Anwendung des Superpositionsprinzips zur Ermittlung zeitlicher Temperatur-verläufe

8

2 Übungsaufgaben2.1 Leistungsdiode

Eine Diode wird mit Halbschwingungen eines sinusförmigen Stromes belastet. Die Impulsehaben eine Dauer von ti = 100 µs, der Scheitelwert der Impulse beträgt iD = 500A. Die maximalzulässige Verlustleistung beträgt 150W. Die Kennlinien-Daten der Diode sind: US = 1,4V,rD = 0,9mΩ.

Gesucht ist die maximale Folgefrequenz fp der Impulse unter der Annahme, dass die Schalt-verlustenergie

a) vernachlässigt werden kann und

b) bei einmaligem Schalten 0,2Ws beträgt.

Hinweis:∫

sin2 (ax) dx = x

2 −sin (2ax)

4a

9

2.2 Dioden-Verlustleistung

Eine Diode, deren Durchlasskennlinie in Abbildung 2.1 aufgetragen ist, wird von einem peri-odisch zeitabhängigen Strom (Periodendauer T ) durchflossen:

i = IM = 50A für 0 ≤ t <T

2i = 0A für T2 ≤ t < T

Gesucht ist die Durchlassverlustleistung (Wirkleistung) PD, die in der Diode in Wärme umge-setzt wird.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

u [V]

i [A]

Abbildung 2.1: Durchlasskennlinie der Diode

10

2.3 Thyristor

Für einen Thyristor mit Kühlkörper gelten bei der Frequenz f = 50Hz die in Abbildung 2.2angegebenen Kennlinien. Hierbei ist ZthJC der innere und ZthCA der äußere transiente Wärme-widerstand, δ ist der Zündwinkel des Thyristors (0 ≤ δ ≤ 180). Die Temperatur im Halbleiterdarf maximal ϑJ = 115 C betragen, die Umgebungstemperatur kann zu ϑA = 45 C angenom-men werden.

Zeichnen Sie das thermische Ersatzschaltbild.

Gesucht ist die Verlustleistung P des Thyristors unter der Annahme, dass dieser

a) für die Dauer von t = 10 s Gleichstrom führt,

b) im Dauerbetrieb Gleichstrom führt,

c) im Dauerbetrieb Strompulse mit f = 50Hz führt (δ = 30).

10−3 10−2 10−1 1 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

t [s]

ZthJC [ KW ]

δ = 30

δ = 90

δ = 180

DC

10−1 1 10 102 103 1040

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

t [s]

ZthCA [ KW ]

Abbildung 2.2: Innerer (links) und äußerer (rechts) transienter Wärmewiderstand eines Thyris-tors bei f = 50Hz

11

2.4 Thermisches Ersatzschaltbild

Gegeben sei eine Diode mit US = 1,05V und einem differentiellen Widerstand rD = 0,9mΩ.Diese führt einen sinusförmigen Strom (nur positive Halbschwingungen) mit dem Scheitelwerti = 300A.

a) Welche Durchlassverluste P entstehen in der Diode?

b) Zeichnen Sie das thermische Ersatzschaltbild!

c) Die Diode weist für die angegebene Dauerbelastung die Wärmewiderstände ZthJC = 0,143 KW

und ZthCA = 0,6 KW auf. Die maximale Sperrschichttemperatur beträgt ϑJmax = 115 C.

Berechnen Sie die maximal zulässige Kühlmitteltemperatur ϑAmax!

d) Auf welchen Grenzwert ϑCmax muss ein Temperaturwächter eingestellt werden, der übereinen Fühler die Temperatur im Gehäuse überwacht und ϑJmax = 115C sichergestellt seinsoll?

e) Wie hoch darf die Verlustleistung P ′ maximal sein, wenn eine maximale Kühlmitteltempe-ratur von ϑA’max = 35 C zugelassen wird?

Hinweis:∫

sin2 (ax) dx = x

2 −sin (2ax)

4a

12

2.5 Temperaturverlauf

Der Wärmeübergang zwischen der Sperrschicht einer Diode und deren Gehäuse sei durch ins-gesamt 4 thermische RC-Glieder (Rthi ‖ Cthi), die in Reihe geschaltet sind, annäherbar. Dieeinzelnen Wärmewiderstände und -kapazitäten haben folgende Werte:

Rth1 = 0,019 KW, Rth2 = 0,033 K

W, Rth3 = 0,222 KW, Rth4 = 0,068 K

WCth1 = 0,158 Ws

K , Cth2 = 0,758 WsK , Cth3 = 0,468 Ws

K , Cth4 = 14,68 WsK

Die Diode wird mit dem in Abbildung 2.3 gezeigten Verlustleistungsimpuls beaufschlagt.

0 5 350

300

800

t [ms]

P [W]

Abbildung 2.3: Verlustleistungsimpuls

a) Zeichnen Sie das thermische Ersatzschaltbild!

b) Berechnen Sie die Zeitkonstanten τthi der transienten Wärmewiderstände!

c) Berechnen Sie die Erwärmung der Sperrschicht gegenüber dem Gehäuse am Ende des Im-pulses!

d) Skizzieren Sie den Temperaturverlauf über der Sperrschicht während des Impulses!

13

e) Die Diode wird auf einen Kühlkörper für verstärkte Luftkühlung montiert. In Abbildung 2.4ist der transiente Wärmewiderstand ZthCA des Kühlkörpers einschließlich Wärmeübergangfür verstärkte Luftkühlung zu sehen. Nach welcher Zeit erreicht bei einer Verlustleistung von85W die Sperrschichttemperatur den Wert 80 C, wenn die Umgebungstemperatur 35 Cbeträgt?

f) Wie groß ist die zulässige Verlustleistung P (Annahme: P = const.) bei einer Umgebungs-temperatur von 35 C und einer zulässigen Sperrschichttemperatur von 125 C?

1 10 102 103 1040

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

t [s]

ZthCA [ KW ]

Abbildung 2.4: Transienter Wärmewiderstand des Kühlkörpers für verstärkte Luftkühlung

14

3 Lösung der Übungsaufgaben3.1 Leistungsdiode

In Abbildung 3.1 ist der zeitliche Verlauf der sinusförmigen Halbschwingungen des Stromsangegeben.

0 ti Tp

0

iD

t

iD(t)

Abbildung 3.1: Halbschwingungen des sinusförmigen Stroms durch die Diode

Für den Verlauf des Stroms iD(t) gilt:

iD(t) = iD sin(π

tit)für 0 ≤ t ≤ ti

iD(t) = 0 für ti ≤ t ≤ Tp

Für die an der Diode anliegende Spannung gilt:

uD(t) = US + iD(t) · rDWährend eines Stromimpulses wird in der Diode die Energie

WD =ti∫

0

uD(t) · iD(t) dt =

=ti∫

0

US · iD(t) dt +ti∫

0

rD · i2D(t) dt =

=ti∫

0

US · iD sin(π

tit)dt +

ti∫0

rD · i2D sin2(π

tit)dt =

= US · iD ·[−tiπ

cos(π

tit)]ti

0+ rD · i2D ·

t2 −

sin(

2πtit)

4πti

ti0

=

= US · iD ·[tiπ

+ tiπ

]+ rD · i2D ·

[ti2 − 0

]=

= US · iD · 2tiπ

+ rD · i2D ·12ti =

= 55,81mWs

freigesetzt.Aus der maximal zulässigen Verlustleistung ergibt sich:

a) fp = PmaxWD

= 2,69 kHz

b) fp = PmaxWD+WS

= 0,59 kHz

15

3.2 Dioden-Verlustleistung

Der zeitliche Mittelwert des Stroms beträgt

IAV = 1T

T∫0

i dt = 1TIMT

2 = IM2 = 50A

2 = 25A.

Der Effektivwert berechnet sich zu

IRMS =

√√√√√ 1T

T∫0

i2 dt =√

1TI2MT

2 = IM√2

= 50A√2

= 35,4A.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

u [V]

i [A]

Abbildung 3.2: Durchlasskennlinie der Diode

Aus Abbildung 3.2 kann die Schleusenspannung

US = 0,8V

entnommen werden.

Der differentielle Widerstand lässt sich ebenfalls aus Abbildung 3.2 berechnen:

rD = ∆u∆i = 0.2V

50A = 4,0mΩ.

Somit lässt sich die Verlustleistung berechnen:

P = US · IAV + rD · I2RMS = 25W

16

3.3 Thyristor

In Abbildung 3.3 ist das thermische Ersatzschaltbild dargestellt.

W

ZthJC ZthCA

ϑJ ϑC ϑAp

Abbildung 3.3: Thermisches Ersatzschaltbild des Thyristors mit Kühlkörper

a) Aus Abbildung 2.2 können für die transienten Wärmewiderstände die Werte ZthJC = 0,6 KW

und ZthCA = 0,4 KW entnommen werden. Somit ergibt sich für die zulässige Verlustleistung:

P = ϑJ − ϑAZthJC + ZthCA

= 70W

b) Hier betragen die transienten Wärmewiderstände ZthJC = 0,6 KW und ZthCA = 1,2 K

W . Dieresultierende Verlustleistung beträgt nun:

P = ϑJ − ϑAZthJC + ZthCA

= 39W

c) Für eine impulsförmige Strombelastung haben die transienten Wärmewiderstände die WerteZthJC = 1,2 K

W und ZthCA = 1,2 KW . Daraus resultiert eine zulässige Verlustleistung von

P = ϑJ − ϑAZthJC + ZthCA

= 29W

17

3.4 Thermisches Ersatzschaltbild

a) Der zeitliche Mittelwert des Stroms beträgt

IAV = 12π

2π∫0

iD(ωt) dωt = 12π

π∫0

iD sin (ωt) dωt = . . . = iDπ.

Der Effektivwert des Stroms beträgt

IRMS =

√√√√√ 12π

2π∫0

i2D(ωt) dωt =

√√√√√ 12π

π∫0

i2D sin2 (ωt) dωt = . . . = iD2 .

Somit kann die Verlustleistung in der Diode zu

P = USIAV + rDI2RMS = 121W

berechnet werden.

b) Das thermische Ersatzschaltbild ist in Abbildung 3.4 zu sehen.

W

ZthJC ZthCA

ϑJ ϑC ϑAp

Abbildung 3.4: Thermisches Ersatzschaltbild der Diode

c) Die maximal zulässige Kühlmitteltemperatur ϑAmax wird folgendermaßen berechnet:

∆ϑJA = ZthJA · P = (ZthJC + ZthCA) · P = 90 CϑAmax = ϑJmax −∆ϑJA = 25 C

d) Der Grenzwert des Temperaturwächters berechnet sich wie folgt:

ϑCmax = ϑJmax − ZthJC · P = 98 C

e) Die Verlustleistung berechnet sich zu

P ′ = ϑJmax − ϑA’max

ZthJC + ZthCA= 108W.

18

3.5 Temperaturverlauf

a) Das thermische Ersatzschaltbild ist in Abbildung 3.5 zu sehen.

W

Rth1

ϑ1

Rth2

ϑ2

Rth3

ϑ3

Rth4

ϑ4

Cth1 Cth2 Cth3 Cth4

ϑJ

JϑC

Cp

Abbildung 3.5: Thermisches Ersatzschaltbild zwischen Sperrschicht und Gehäuse der Diode

b) Die Zeitkonstanten τthi(t) der transienten Wärmewiderstände berechnen sich nach der For-mel

τthi = Rthi · Cthi.

Es ergeben sich die folgenden Werte:

τth1 = 0,003 s, τth2 = 0,025 s, τth3 = 0,104 s, τth4 = 0,998 s

c) Die Erwärmung der Sperrschicht gegenüber dem Gehäuse wird mit folgender Formel berech-net:

ϑA(t) = P ·4∑i=1

Zthi(t) = P ·4∑i=1

Rthi

(1− e−

tτthi

)Wegen der kurzen Impulsdauer kann die Gehäusetemperatur als konstant angenommenwerden. Der Verlustleistungsimpuls wird in einen positiven Leistungssprung von 800W vont = 0 bis t = 5ms und einen negativen Leistungssprung von 500W von t = 5ms bis t = 35mszerlegt. Die beiden Erwärmungen werden einzeln berechnet und anschließend überlagert. AmEnde des Impulses, bei t = 35ms, ergibt sich für den positiven Leistungssprung

ϑJ+ = 800W(

0,019 KW + 0,025 K

W + 0,063 KW + 0,0023 K

W

)= 87,5 C

und für den negativen Leistungssprung

ϑJ− = −500W(

0,019 KW + 0,023 K

W + 0,056 KW + 0,002 K

W

)= −50 C.

Somit ergibt sich die Sperrschichterwärmung am Ende des Verlustleistungsimpulses zu

ϑJ = ϑJ+ + ϑJ− = 37,5 C.

d) Der Temperaturverlauf über der Sperrschicht während des Impulses ist in Abbildung 3.6 zusehen.

e) Aus der Skalierung von Abbildung 2.4 geht hervor, dass die Zeitkonstante τthCA zwischenGehäuse und Kühlkörper sehr viel größer ist als die Zeitkonstanten τthi der Strecke zwischen

19

−50

0

37.5

87.5

t [ms]

ϑ(t) [C]

ϑJ+(t)ϑJ−(t)ϑJ(t)

535

Abbildung 3.6: Sperrschichterwärmung am Ende des Verlustleistungsimpulses

Sperrschicht und Gehäuse. Somit kann vereinfachend mit dem transienten thermischen Wi-derstand ZthCA und der Summe der inneren Widerstände RthJC gerechnet werden:

ϑJ = P (RthJC + ZthCA)

Zu Beginn des Vorgangs hat die Sperrschicht dieselbe Temperatur wie die Umgebung. Fürden Temperaturanstieg ergibt sich somit

∆ϑJ = ϑJmax − ϑA = 80 C− 35 C = 45 C.

Daraus folgt für den transienten Wärmewiderstand

ZthCA = ∆ϑJP−RthJC = 0,187 K

W .

Aus Abbildung 2.4 kann somit eine Erwärmungszeit von 100 s abgelesen werden.

f) Die Annahme P = const. bedeutet in diesem Fall Dauerbetrieb. Für diese Betriebsart kannin Abbildung 2.4 der transiente Wärmewiderstand ZthCA = 0,24 K

W abgelesen werden. Diezulässige Erwärmung beträgt ∆ϑJ = 90 C. Die zulässige Verlustleistung für Dauerbetriebergibt sich zu

P = ∆ϑJRthJC + ZthJC

= 155W.

20