Übungsaufgaben Höhere...

Hochschule MünchenFakultät 03

ÜbungsaufgabenHöhere Festigkeitslehre

Übungsaufgaben

Höhere Festigkeitslehre

Wintersemester 2014/15

Dr. C. Katzenschwanz

festigkeit.userweb.mwn.de

Die mit (∗) gekennzeichneten Aufgaben sind ehemalige Prüfungsaufgaben.

c© Dr. C. KatzenschwanzVersion 1.05

1 Wintersemester 2014/1518. Oktober 2014



Inhaltsverzeichnis

1 Schnittgrößenverläufe 3

1.1 Fachwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Ermittlung des Grades der statischen Unbestimmtheit I (∗) . . . . . . . . . . . 4

1.3 Ersatzmodelle für einen Tragflügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Abgestrebter Flugzeugflügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Flügel mit Querruder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 Flügel mit symmetrischer und antimetrischer Belastung . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 Flügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.8 Flugzeugrumpf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.9 Fahrwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.10 Tragflügel unter Torsionslast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.11 Flugzeugspant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.12 Schnittgrößen an einem 3-dimensionalen Balken (∗) . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Energiemethoden 11

2.1 Kragbalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Kragträger unter Einzellast (Einfluss der Schubverformung) . . . . . . . . . . . 11

2.3 Biegung eines Kragträgers mit unterschiedlicher Steifigkeit . . . . . . . . . . . 12

2.4 Verdrehung eines symmetrisch belasteten Balkens . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Verschiebungen an einem Fachwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6 Tragwerk 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7 Tragwerk 2 (∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8 Tragwerk 3 (∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.9 Balken mit Gelenk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.10 Flügel mit Querruder (statisch unbestimmt) (∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.11 Castigliano 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.12 Castigliano 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.13 Castigliano 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.14 Castigliano 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.15 Rahmen 1 (∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.16 Rahmen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.17 Balken mit Feder (∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.18 Menabrea 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.19 Menabrea 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.20 Verschiebungsberechnung Rahmen 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.21 Verschiebungsberechnung an einem statisch unbestimmten Balken . . . . . . . 21





1 Schnittgrößenverläufe

1.1 Fachwerk

Bestimmen Sie die

Kräfte in dem neben-

stehend skizzierten

Fachwerk.

a

FA

aa

B

aa





1.2 Ermittlung des Grades der statischen Unbestimmtheit I (∗)

Bestimmen Sie für die nachfolgend skizzierten Tragwerke den Grad der statischen Unbestimmt-

heit und die kinematische Verschieblichkeit.

e)

d)

c)

starre

Scheibe

b)

starre

Scheibe

a)





1.3 Ersatzmodelle für einen Tragflügel

Für die drei nachfolgend skizzierten ebenen Ersatzmodelle für einen Flugzeugflügel sollen für

die gegebene Belastung

1. die Lage der Resultierenden der äußeren Last,

2. die Auflagerreaktionen beim Punkt A und

3. die Schnittgrößen N, Qz und My über der Spannweite bestimmt werden.

Der Gesamtauftrieb ist in allen Fällen gleich A.

Geg.: A, l

Modell 1 (Einzellast):

xz

l2

l2

A

A

Modell 2 (konstante Streckenlast):

xz

l

q2

A

Modell 3 (elliptische Auftriebsverteilung):

xz

A

q3 q(x) =−q3

√

1− x2

l2

l





1.4 Abgestrebter Flugzeugflügel

Ein abgestrebter Flugzeugflügel werde durch eine Kraft F belastet. Gesucht sind die Auflager-

kräfte und die Schnittgrößen im gesamten Tragwerk.

xz

x

z

a aa

F

B

A

1.5 Flügel mit Querruder

Ein Flugzeugflügel mit angeschlossenem Querruder werde durch eine Kraft F belastet. Gesucht

sind die Auflagerreaktionen bei A und die Schnittgrößen im Tragwerk.

F

l2

l4

l4

a

a

A

B C

xz

xz





1.6 Flügel mit symmetrischer und antimetrischer Belastung

Ein Flugzeugflügel werde durch zwei Kräfte F belastet. Der erste Lastfall sei symmetrisch, der

zweite antimetrisch. Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen und Schnittgrößen im Flügel.

Symmetrische Belastung:

a b ax

z

A BF F

Antimetrische Belastung:

a b ax

z

A BF F

1.7 Flügel

Zwei Varianten eines Flugzeugflügels werden jeweils durch eine Kraft F belastet. Bestimmen

Sie die Auflagerreaktionen und Schnittgrößen im Flügel für beide Flügel.

α l2

l2

xy

A

F

α

b

l2

l2

xy

A

F

xy





1.8 Flugzeugrumpf

Ein Flugzeugrumpf werde durch das Eigengewicht q0 und die Auftriebskraft A des Flügels im

Gleichgewicht gehalten. Bestimmen Sie

• die erforderliche Auftriebskraft A und

• die Schnittgrößenverläufe.

xz

lR2

lR2

q0

A

1.9 Fahrwerk

Ein Fahrwerk werde durch die Kräfte F1 und F2 sowie durch das Moment M0 belastet.

Berechnen Sie die Auflagerreaktionen bei A und B und die Schnittgrößenverläufe im gesamten

Fahrwerk.

xz

x

z

A B

aa

a

F1

a) Radandrehkraft

A B

F2

b) Landestoß

A B

M0

c) Moment





1.10 Tragflügel unter Torsionslast

Für den skizzierten Tragflügel soll der Torsionsmomentenverlauf bestimmt werden. Belastet sei

er durch eine konstante Streckenlast q0, die einen Abstand e zum Schubmittelpunkt besitzt.

xz

l

q0

A

Schub-

mittel-punkt

e

q0

1.11 Flugzeugspant

Ein Flugzeugspant sei durch einen rechteckigen Rahmen idealisiert. Der Spant ist bei A und B

wie skizziert gelagert. Bei C sei der Spant geschlitzt. Die eingezeichneten Koordinatensystem

sind zu verwenden.

A B

C

h

b2

b2

xz

xz

xz

xz

Bestimmen Sie für die 4 Lastfälle die Schnittgrößen N(x), Qz(x) und My(x).





Lastfall 1:M0 M0

Lastfall 2:

F1 F1

Lastfall 3:

F2 F2

Lastfall 4:

M1 M1

1.12 Schnittgrößen an einem 3-dimensionalen Balken (∗)

Bestimmen Sie die Auflagerreaktionen bei A und die Schnittgrößen für den abgebildeten, räum-

lichen Balken. Am Punkt B greife nacheinander die äußere Last FBx , FB

y , FBz , MB

x , MBy und MB

z

an. Die Richtung der äußeren Last und der Auflagerreaktionen ist in positiver Koordinatenrich-

tung anzunehmen.

xz a

xy x

y

A

B

b

FBx





2 Energiemethoden

2.1 Kragbalken

Bestimmen Sie die Verschiebungen w1 und w2 nach der Methode der virtuellen Arbeit und

Castigliano.

Geg.: l, F , EI, GA → ∞

F

l/2

l

x

z

w2 w1

2.2 Kragträger unter Einzellast (Einfluss der Schubverformung)

Für den schubweichen Kragträger soll die Gesamtverformung wges bestimmt werden. Der Quer-

schnitt des Balkens beträgt b ·h und sei entlang der Balkenachse konstant. Stellen Sie den Ein-

fluss der Schubverformung wS zur Biegeverformung wB dar.

x

z

l

F

wges = wB +wS

y

z

h

b

Geg.: l, F , E, ν , Iy, A





2.3 Biegung eines Kragträgers mit unterschiedlicher Steifigkeit

Bestimmen Sie die Durchbiegung des Kragträgers an der Stelle der Kraft F .

F

wl2

l2

A1,(EIY )1

A2,(EIY )2

2.4 Verdrehung eines symmetrisch belasteten Balkens

Für den nachfolgend skizzierten gelenkig gelagerten Balken soll die Verdrehung aufgrund der

Last F bestimmt werden.

xz

F

β

l2

l2

2.5 Verschiebungen an einem Fachwerk

Das nachfolgend skizzierte Fachwerk ist durch eine Kraft F belastet. Bestimmen Sie die Ver-

schiebung w.

Geg.: l, F , EA = konst. für alle Stäbe

F

l

A

1

3

1

2

3

4

5

6

30o

w





2.6 Tragwerk 1

Das unten skizzierte Tragwerk in Mischbauweise (Balkentragwerk und Fachwerk) wird durch

eine konstante Streckenlast f0 =F2a

belastet.

Geg.: κ , GA, EA, EIy

Bestimmen Sie:

1. die Auflagerreaktionen,

2. die Schnittgrößen (Normalkraft-, Querkraft- und Biegemomentenverlauf) sowie

3. die vertikale Verschiebung im Punkt C.

a

B

a aa

x

z

C

Af0

Lösung: wc =Fa(12+6

√2)

EA+ Fa3

8EI+ Fa

2κGA

2.7 Tragwerk 2 (∗)

Ein Gerüst sei entsprechend der Skizze als masseloses, ebenes Tragwerk idealisiert. Es ist durch

zwei Einzelkräfte und eine Streckenlast beansprucht.

Geg.: F , q0 =2Fl

, EI, EI1 =EI6

, EI2 =EI2

, EI3 =EI5

, GA → ∞, EA → ∞

Bestimmen Sie

1. die vertikale Verschiebung w an der Stelle A und

2. die Neigung ϕ des oberen Trägers an der Stelle B.





2l

2F

q0

l 3ll

AB

C

D

FEI2

EI3

EI1

Lösung: wA = 17014

Fl3

EI;ϕB = 93Fl2

EI

2.8 Tragwerk 3 (∗)

Das dargestellte Tragwerk besteht aus einem eingespannten dehnstarren Balken mit der Biege-

steifigkeit EIBalken und zwei Stäben gleicher Dehnsteifigkeit EAStab.

Geg.: a, F , EIBalken, EABalken → ∞, GABalken → ∞, EAStab

Wie groß sind die Vertikal- und Horizontalverschiebung des Kraftangriffspunktes?

a

F

a

a

EI

EA

Lösung: wH = Fa3

2EI− Fa

EA,wv =

4Fa3

3EI+

(1+2√

2)Fa

EA





2.9 Balken mit Gelenk

Ein gemäß untenstehender Skizze gelagerter Balken mit einem Gelenk sei durch eine Einzel-

kraft F und eine konstante Streckenlast f belastet.

B

A G

Ff

a a a

xz

xz

w

Geg: a, F , f = Fa

, EI = konst. (GA → ∞,EA → ∞).

Hinweis: Verwenden Sie das eingezeichnete Koordinatensystem!

Bestimmen Sie:

1. Die Lagerreaktionen,

2. den Querkraft- und Biegemomentenverlauf infolge von f und F und

3. die Verschiebung w an der Angriffsstelle von F nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit.

Stellen sie dabei den Biegemomentenverlauf infolge der virtuellen Einheitsbelastung dar.

2.10 Flügel mit Querruder (statisch unbestimmt) (∗)

Die Lagerung des Querruders am Flügel soll untersucht werden.

F

l4

l4

a

aB CD

xz (EA)i (EA)a(EA)a

Gegeben: EIy,QR, EAQR → ∞, GAQR → ∞, F , a, l





2.11 Castigliano 1

Für den dargestellten Balken ist die Absenkung

an der Krafteinleitungsstelle zu berechnen

(EI=konst.).

Lösung: f = FR3

EI

[

7π2−10

]

F

R

R

A

B

II

I

2.12 Castigliano 2

Der skizzierte Träger wird durch eine Kraft F

normal zur Zeichenebene belastet. Bestimmen

Sie die Verschiebung des Kraftangriffspunktes.

Geg.: F , r, EI, GIT

Lösung: w = Fr3[

3π4EI

+ 9π+84GIt

]

F

2r

F





2.13 Castigliano 3

Zwei Blattfedern gleicher und konstanter Biegesteifigkeit

sind jeweils fest eingespannt und stützen sich bei B momen-

tenfrei aufeinander ab. Es sind nur die Biegesteifigkeiten zu

berücksichtigen.

1. Welche Berührkraft FB ist zwischen den Federn wirk-

sam?

2. Welche Neigung α gegen die Vertikale hat der gerade

Balkenteil?

3. Welche horizontale Auslenkung fC erfährt der Punkt

C?

Lösung: FB = F2,α = FR3

2EI, fC = FR3

EI

[

12+ π

8

]

F

R

R

A

B

CD

2.14 Castigliano 4

Bestimmen Sie

1. die Absenkung der Kraftangriffsstelle und

2. die Verdrehung an der Stelle B.

Hinweis: Betrachten Sie nur die Biegeanteile in den Balken.

Die Biegesteifigkeit beträgt konstant für alle Balken EI.

Lösung: f =R3(F+M

R)

EI

[

13+ π

4

]

,

αB = R3

EI

[

FR

(

13+ π

4

)

+ MR2

(

13+ π

2

)

]

F

MA

B

R





2.15 Rahmen 1 (∗)

Für den skizzierten Rahmen ist der

Verlauf des Biegemomentes zu er-

mitteln.

Geg.: f , l, EI, GA → ∞,

EA → ∞

l

l

f

x

z

x

z

x

z

2.16 Rahmen 2

Für den dargestellten Rahmen ist der Momen-

tenverlauf zu bestimmen.

Geg.: a, f , EI, GA → ∞, EA → ∞

a

2a

f

a





2.17 Balken mit Feder (∗)

Der unten dargestellte Träger ist in der Mitte durch eine Feder gestützt und durch die Strecken-

lasten f belastet. Im unbelasteten Zustand ist die Feder nicht vorgespannt.

l

c

l

f C BA

xz

Geg: l, f , c, EI (EA → ∞,GA → ∞)

Hinweis: Verwenden Sie das eingezeichnete Koordinatensystem!

1. Bestimmen Sie die Lagerreaktionen, den Querkraft- und Biegemomentenverlauf im Trä-

ger und die Verschiebung des Punktes C für den Fall c = 0.

2. Schneiden Sie zwischen dem Balken und der Feder frei.

a) Zeichnen Sie die Federkraft FC ein.

b) Um wieviel verschiebt sich der Balken, wenn die Federkraft FC wirkt?

c) Wie lautet die Verträglichkeitsbeziehung der Verschiebungen für den Punkt C? Be-

stimmen Sie die Federkraft FC. Wie groß ist die Verschiebung an der Stelle C?

3. Für die nachfolgenden Aufgabenteile wird die Feder durch ein Lager ersetzt, es gilt c →∞.

a) Bestimmen Sie die Lagerkraft bei C.

b) Bestimmen Sie den Biegemomentenverlauf im Träger.





2.18 Menabrea 1

Für das skizzierte statisch unbestimmte System

sind die Auflagerreaktionen zu bestimmen. Es

sind nur die Biegeanteile zu berücksichtigen.

Lösung: FB = F 2π+89π+8

,FA = F 7π9π+8

,

MA = FR2π+89π+8

F

RB

A

2.19 Menabrea 2

Für den skizzierten Balken sind die Auflagerreaktionen zu bestimmen (EI=konst.) Berechnen

Sie nach dem Verfahren von Menabrea und virtueller Energie.

Lösung: MA =−18Fl





2.20 Verschiebungsberechnung Rahmen 1

Bestimmen Sie die Verschiebung und Verdrehung in der Mitte des horizontalen Balkens.

Geg.: l = 500mm, p = 1000 Nm

, E = 200000 MPa, Iy = 2500mm4, EA → ∞, GA → ∞

xz

xz x

z

ll

p

ϕu

2.21 Verschiebungsberechnung an einem statisch unbestimmten

Balken

Bestimmen Sie die Verschiebung u und Verdrehung ϕ in der Mitte des Balkens.

Geg.: l = 500mm, M = 20Nm, E = 200000 MPa, Iy = 2500mm, EA → ∞, GA → ∞

M

l

l2

u

ϕ

xz



Übungsaufgaben Höhere...

Documents

Transcript of Übungsaufgaben Höhere...