Uber die Rolle der transfiniten Schluflweisen in einer allgemeinen Idealtheorie.

Von JURGEN SCHMIDT in Berlin.

(Eingegangen am 18. 1. 1952.)

Die Entwicklung, welche die transfiniten Methoden deq allgemeinen Mengen- lehre allmlililich hat in der modernen Algebra heimisch werden lassen, ist keines. wegs geradlinig verlaufen ; man denke nur an die unterschiedlichen Haltungen in den drei Auflagen von VAN DER WAERDENS Buch. Entschieden wurde dieser ProzeB wohl durch das immer deutlicher werdende BewuBtsein der Liicken- haftigkeit, welche die Algebra bei Verzicht auf jene Methoden, d. h. bei kon- sequenter Durchfiihrung des sogenannten finiten Standpunktes, notwendig be- halten miisse. Wir hoffen daher annehmen zu diirfen, da13 das algebraische Biirgerrecht der transfiniten Methoden heutzutage unbestritten sei.

Die vorliegende Note will gerade zeigen, daB es unter allen mathematischen Disziplinen recht eigentlich die Algebra ist, fur welche die auf dem beruhmten Zornschen Lemma beruhenden SchluBweisen charakteristisch sind.

Ausgehend von den Begriffen der Hiillenstruktur ( 5 l), der Algebra ( 5 2) und des Ideals ( 5 4) beweisen wir nlimlich den Satz ( 5 5 ) , da13 ein induktives Hiillensystem im wesentlichen nichts anderes ist als das System aller Ideale einer geeigneten Algebra.

Die abschlieBenden Beispiele ( 5 8) sollen unter anderem die Einbeziehung der .sogenannten Metamathematik in die Algebra illustrieren.

g 1. Huilenstrukturen. Im folgenden haIten wir ein fur allemal eine gewisse nichtleere Menge E als

Grundmenge fest. Die Elemente von E bezeichnen wir mit kleinen lateinischen Buchstaben, a, b , c , . . . , die Teilmengen von E mit groBen lateinischen Buch- staben, A , B , C, . . . ; insbesondere sei 0 die leere Menge. Als Mengenspteme bezeichnen wir Mengen von Teilmengen von E , d. h. also die Teilmengen der Potenznienge @ ( E ) ; wir notieren diese rnit groBen deutschen Buchstaben, 91, 8,6, . . .; insbesondere sei D das leere Mengensystem.

Ein Mengensystem @ heil3e ein Hiillens ystem, wenn

$1. E E @ , $ 2 . der Durchschnitt n T jedes n i ch t l ee ren Teilsystems 5€ von

TEE Element von $ ist.

166 J. Schmidt, Rolle der transfiniten SchluBweisen in einer allgemeinen Idedtheorie.

Setzt man sinnvollerweise fest, daB die ganze Nenge E der Durchschnitt des leeren Mengensystems D seil), so kann man die beiden obigen Postulate in eines zusammenziehen :

Sjl/2. der Durchs~hnitt n T jedes be l ieb igen Teilsystems % von @ TE'X

ist Element von @.

1st $I ein Hiillensystem und H E $, so sagen wir auoh, H sei @-abgeschlossen, kurz: ahgeschlossen. 1st M e k e beliebige Teilmenge von E, so definieren wir als die Q-abgeschlossene HuEle von M , in Zeichen CQ M , den Durchschnitt aller M un~fassenden ~-abgeschlossenen Mengen :

Auf Grund der Durchschnittseigenschaft von Q ist C S 7 M in der Tat @ah- geschlossen und somit die kleidste @-abgeschlossene, M umfassende Menge. Bekanntlich erfiillt die durch (1) definiefie eindeutige Abbildung c = cS7 von

( E ) in sich die folgenden drei Hullenaxiome2) :

c 1 . wenn MI 2 M , , so c MI 2 C M , c2. n c c x (Extensionalit&t), C 3 . C C M = C M (Idempotenz).

(Monotonie),

8 ist dann nichts itnderes a19 der Wertevorrat dieses Operators. Und umgekehrt : ist c ein H u l l ~ ~ o ~ ~ r ~ ~ o r , d . h. eine eindeutige Abb~dung von P(B) in sich, welche den drei Hiillenaxiomen geniigt, so ist dcr Wertevorrat 8 von c ein ~ i i l l e n s y s t e ~ ia dem oben definierten Sinne und es gilt (1). Die Zuordnung Hiillensysteme - Hullenoperatoren ist also urnkehrbar eindeutig.

Durch die Vorgabe eines Hu~lensystems Q wird der Grundmenge E eine Struktur aufgepragt ; wir nennen das geordnete Paar [E, Q] eine Hullenstruktur. Nach dem soeben Gesagten hiitten wir ebensogut das geordnete Paar [ E , c], wo c ein Hiillenoperator ist, als Hiillenstruktur definieren konnen.

Der Begriff der Hiillenstruktur, der zweifelsohne zu den fundamentalen Ronzeptionen3) der Mathematik gehort, und den entdeckt zu haben das Ver- dienst vonE. H. MOORE*) ist, vernllgemeinert urn ein weniges den Begriff des

I) So bei BOURBAKI [4], S. 24. 2, Siehe BIRKHOFF [3], S. 49ff., sowie EVERETT [S], NOBELING [IS], ORE [19], [ZO], [Zl],

RIaUET [%I, TARSEI [ZS] und WARD [32]. 3, Dieser fundamentale Charakter kann meineg Erachtens don sogenannten ,,destuften"

odcr ,,mehrstufigen" Riiumen, bei denen der Begriff des Hullenoperators durch Weglassen des Axioms der Idempotenz abgeschwiicht wird, nicht mehr zugebilligt werden. Jene all- gemeineren Operatoren stellen im Grunde nichts als eine spezielle unter zahlreichen anderen Erzeugungsweisen von Hullenstrukt~en dar ; ein selbstibdiges Interesse bieten sie dariiber hinaus wohl kaum. 1st niimlichQ ein solch allgemeiner Operator, so bilden die Q-abge- schlossenen Mengen, d. h. die Mengen Af mit Q N = N, eia Hu~enaystem 8 mit dem zugehorigen Hiillenoperator C , dem ,,kleinsten" Q majorisierenden Hullenoperator. Siehe auch S. 171, E(u0n. 1.

Siehe E. II. MOORE [l6], S. 66ff.

J, Schmidt, Rolle der transfiniten SchluBweisen in einer allgemeinen Idealtheorie. 167

Kuratowski-Raumesl) ; sein Nutzen indes erstreckt sich weit uber den engeren Rahmen der mengentheoretischen Topologie hinaus. So interessieren uns in vorliegender Note gerade die Hullenstrukturen, welche in- der Algebra auftreten, sowie in demjenigen Teil der mtbthematischen Logik, den TARS HI^) a h ,,Metho- dologie der deduktiven Wissenschaften" bezeichnet. Es sei des weiteren unsere Aufgrcbe, LU zeigen, daI3 letztere, fur die wir den Namen ,,Wiasenschaftslehre"q bevorzugen, ein Teilgebiet einer ,,allgemeinen Algebra" - etwa im S h e von G. RIRKEIOFB~) - ist, ein Zusammenhang, der merkwurdigerweise bis heute weder von mathematischer noch von der Seite der rnathematischen Logik aus beachtet worden zu sein scheint.

8 2. ner Begriff der Algebra. Nach wie vor operierend in der Grundmenge E , Yeratehen wir unter einer

~ - s ~ e ~ ~ i g e n O~era~ion eine Menge R van geordneten (m + 1)-tupeln [xl , . . . , x, ; y] von Elementen von E ; die positiv-ganze Zahl n = n(R) heilje die Stellemzahl von R. Eine n-stellige Operation ist hiernach nichts anderes, als eine (n + l)-iire Relation ; insbesondere ist eine einstellige Operation dasselbe wie eine biniire Relation. 1st R eine n-stellige Operation und [%, . . . , x,] ein beliebiges geord- netes n-tupel von Elementen von E , so bezeichnen wir als das R-PraEukt von [xl, . . . , x,], in Zeichen R(x, , , . . , x,), die Menge aller Elernente 3 E E , welche die Eigenschaft haben, daI3 [x1, . . . , x,,; $1 < R ist. 1st das Produkt niemals leer, so heiBt R unbeschrankt ausfiihrbar; ist das Produkt stets hachstene einelementig, d. h. also entweder leer oder einelementig, so heiljt R eindeutig. Wir bemerken ausdrucklich, daB hier, anders als bei G. B ~ ~ o F B ~ ) , weder das eine noch das andere postuliert wird, da durch diese Einschr&nkungen der Allgemeinheit unnatig Abbruch getan wiirde, ohne dalj man irgend etwas gewonne.

Eine Teilmenge M van E heide nun R - a b g ~ c ~ ~ 8 s e n Y wenn aus X~ , . . . , X~ E M und y < R (xl, . . . , xn) stets y E M folgt, oder kurzer: wenn

gilt. Durch Vorgabe einer Menge 8 von endIichsteIIigen Operationen wird der

Menge E eine Struktur aufgepriigt; wir nennen das geordnete Paar [E, R] eine Algebra. Es sei hervorgehoben, dalj die Mtichtigkeit von 9? keinerlei Beschrtinkung unterliegt, insbesondere also unendlich sein kann. Eine End~chkeitseigenschaf~ kommt lediglich dadurch ins Spiel, dalj verlangt wird, jede einzelne der in 9?

1) Siehe ~ U R A T O W S ~ [ ~ ~ ~ , ~ ~ 0 ~ ~ 3 1 (foreword on topology). Im AnschluB an ALEXAXDROFF-HOPF [l], 8.37 pflegt man heute drte eogenannte erste oder Frechetsche Trennungsaxiom (ALEXKNDROFE-HOPIF [ 11, S. 59) beim Begriff dea Kuratowski-Raumes (toplogisohen Raumes) nicht mebr vorauszusetaen; so auch bei BOIJRBAEI [5], S. 1,

2) TARSKI [26], siehe auch [B], [28). Die Tarskische , , ~ c t h ~ o l o ~ e " ist nichte apderea ala cine Theorie der algebraischen Hullenstrukturen in Bereichen, deren Elemente Aus- driioke sind:

, R(M x M x * - * x M ) L M

MCKXNSEY-TARSICI [15], NoBELMD [18].

*) SCHROTER [24], S. 80 sagt ,,Wimensohaftsfheorie". *) BIRHEOFF [3] (foreword on algebra). 6 ) BIRXHOFF, loc. cit.

168 J. Schmidt, Rolle der transfiniten Sohlul3weieen in einer allgemeinen Idealtheorie.

auftretenden Operationen solle endlichstellig') sein : allein durch diese For- derung findet eine Abgrenzung gegenuber alfgemeineren Gtrukturbegriffen 2,

statt ; irn iibrigen werden die Operationen einer Algebra hinsichtlich ihrer Stel~enzahlen keiner irgendwie gearteten Bedingung unterworfen.

Eine Teilmenge von E heil3e nun % - ~ b g e $ c h Z ~ $ ~ e ~ , wenn sie beziigfich jeder Operation R E % abge~chlossen ist. Das System @ = 8% der %-abgese~~lossenen Mengen ist ein Hullensysteni, und per definitionem sind %-Abges~~hlossen~~eit und ~-Abgeschlos~enl~eit dasselbe ; als Besonderlieit werde vermerkt, daB die leere Menge 0 zu @ gehort.

Jede Algebra [ E , %] ,,erzeugt" also eine Hiillenstruktur [ E , $1, und wir werden, vorbehaltlich einer endgiiltigen Definition, eine sol~~iermaBen erzeugte eine algebraische € ~ ~ l l ~ n s t r u ~ t u r nennen. Wichtig ist hier die Bernerkung, daB sehr wold zwei versohiedene Algebren [ E , und rE, g2] ein und dieselhe Hiillenstruktur [ E , $11 erzeugen konnen. Durch den ubergang von [ E , CR] z ~ i [ E , @] findet also eine Strukturverarmung statt, oder anders ausgedrucltt : nnmoglicli ist es, ulle Aussagen uber eine gewisse Algebra [E, %] aus der bloBen Kenntnis t3er zugeordneten Hiillenstruktur [E, 61 zu gewinnen. Aus der nio-

dernen Algebra, speziell aus der Verbandstheorie, ist jedoch wohlbekitnnt, in welch erstaunlicheni MaBe die Hiillenstruktur [E, @] Aufscli.1usse iiber die AIgehra [ E , %] Iiefert ; jtl die veribandstheoretischen Eigenschaften von $I stellen geradezu ein wesentliches Klassifikationsprinzip fur die Gesamtheit aller Algebren, oder solcher von eineni speziellen Typus, wie z , B. der Ringe, dnr.

Wir werden sehen, daB es auch Hullenstrukturen nic h t -algebraischer N ~ I tur gibt ; uns korrinit es hier gerade diirauf an, Charukteristika fiir die algebraisvhen in der Gesamtheit aller Hullenstrukturen zu finden.

Hier erscbeint die Bemerkuhg angebracht, daB es zu jeder Algebra, [ E , ,XI eine Algebra [ E , %'I gibt, welche die gleiche Hullenstruktur [ E , $1 erzeugt und deren siimtliche Uperationen eindeutig und unbeschrgnkt ausfulirbar sind. Fiir den Gegenstand dieser Arbeit, die atgebraischen Hiillenstrukturen. ware es also letzten Endes gleiehgiiltig, ob wir die Birkhoffschen Forderungen der Ein- deutigkeit und Ausful~rba~keit ~ u f r e ~ ~ i t e r h ~ l t e n wollten oder nic*ht, Zum Ue- weise unserer ~ e ~ i a u ~ t L ~ n g geniigt die Bemerkung, daB s id i zuniichst jede Operation R E 8 auf m ~ ~ n n i g f ~ c ~ ~ e Weise eraetzen la& durch eine Faniilie ( (R2) )2 von eindeutigen Operationen RA ( A variierend in einem gewissen P ~ ~ r a m e t e r ~ e r e i e ~ ~ A) , und zwar so, daf3 n(R?,) = %(R) = n fur jedes Parsmfter- wert 2 , und daB

lJ . . * , XS) = R(Xl , . . . , Zn) A € A

(2)

fur jedes xl, . . . , xS E E . Durclr einen ehenso simple" Kunstgrifll IiiBt sicli weiter jede Operation R,, unter Erlieltung der Eindeutigkeit, unbesvhriinkt ausfiihrhar machen, indeni man namlivh

(falls RA(xl,. . . , 2%) = O ) ,

R>,(x,, . . . , zS) (falls RJ. (%~, . . I , 2%') $. 0) (3) R:(%,, . . . , Xn) =

setzt.

l) BIRKHOFF, loc. cit.: finitary. *) Siehe BIRKIIOFF [Z], 8. 441, BOURnAkIr [4], s. 41ff., KRASNER [Ill, RICUET [23].

J. Schmidt, Rolle der t ~ n e f ~ ~ n S e ~ u ~ w e i ~ n in einer allgemeinen Idealtheorie. 169

5 3. Konstruktion der 8-abgesehlossenen Hiillo und Folgerungen. Eine Grundaufgabe jeder spezielfen Algebrs [ E , %I wird die explizite Angabe

der %-abgeschlossenen Hulle cw M einer beliebigen Menge M sein. Wir kiinnen ~llgemein nur soviel sagen, duB man diese, wie leicht einzusehen, ills T'er- einigungsrnenge der folgendernia Ren rekursiv definierten, monoton wachsenden Mongenfolge ( (M, . ) ) l ) erhiilt :

(4)

Es gilt also

Mo = M , M , ;,I = M,, w U &(My x M , x *

n f R > RCBL ' - x M,) ( Y 0, 1,2, . . .).

Q)

C.JZM= u M , , . v=O

6)

Man kann aber daniit rechnen, duB in giinstig gelsgerten Flllen die Polge ( ( M , ~ ~ abbrirht, genauer: da13 von einerri Index N , hiiufig setion von N = 1 ab, M v = MN und soniit CotM = illN wird.

Ails der a n ~ e ~ e ~ ) e n e n Konstr~iktion von CsMflieDt nun ohne groBe Muhe der

Satz 12): 1st S j das System aller 8-abgeachlossenen Mengen einer AEgebra fE', 81, und c der z ~ g e h ~ ~ g e ~ ~ ~ ~ e n o ~ r a t o r , so erfdtlt ,@ die folgende E n d l i c h - k e i t s b e d i n g u n g :

ist M 5 E', und x f C M , so gibt es eine end l i che Teilmenge F von 'M &rat%, ~a~ x f CF.

Reweis induktiv iiber den Index der Mengenfolge ( ( M , ) ) . Ein einfarhes Kesultat dieser Arheit ist nun die folgende Unikehriin~ :

Satz 2. Es sei S j ein Hullensystem ?nit der Eigenschaft, dab die leere Menge O E ~ m ~ n t von Q ist: 8 erfiitle jerner die obige ~ n d l i ~ h k e ~ t € b ~ i n g ~ ~ ~ . Dann gibt ea eine Menge % von endlichstelligelz Operationen derart, dab $3 gerade das System aller %-abgesehlossenen Mengen ist.

Der Beweis heriiht darauf, do13 es, wenn iiberhuupt eine, so eine grol3te fj erzeugende Operationennienge % gibt. namlich die folgenderniaBen definierte : es sei R f % dann und nur dann, wenn jede fj-abgesc~ilossene Menge auch R-abgeschlossen iut. Es bleibt zu zeigen, da13 die so definierte Menge 3 in der Tat Q erzeugt. d . 11. daB jede $7-tihgeschlossene Menge %-ahgeschlossen ist, und unigekehrt. Das erste ist trivial t iuf Crund der Definition van %. Urn die Um- kehrung zu heweisen, benotigen wir wesentlich die Endlichkeitsbedingung.

I ) Hier haben wir daa einfschete Beispiel der Erzcugung eines H u l l e n o ~ r a ~ r s c mit Hilfe einea monotonen, extensionalen, aber niclit notwendig ideinpotentcn Operators Q . Indem wir niimlich QM F H, setzen, ist C M gerade durch Formcl ( 5 ) definiert. I m all- gemcineren Falle wird man die Folge (( M,) ) , die einer eukzessiven Hin~rcinanderaus- fuhrung des Operators Q ihre Entatehung verdankt, durch eine transfinite Folge von eincm im allgemeinen iibcrabziihlbaren Ordinaluthltypue zu ersetzen haben; Musterbeispiel hier- fur sind die Baireechen Funktionenkl~~n, aus denen auch die Idee der gestuften Riiulnc entaprungen ist. Val. aucb S. 166, FuDn. 3.

2, Fur den Spezialfall, dal3 fR nur aus einer einzigen Operation R besteht, findet' sich diescr Satz bei SCIXROTER [24], S. 77f.

170 J. Schmidt, Rolle der t ~ n ~ ~ t e n ~ch~u~weiaen in einer &l lgem~en Idealtheorie.

In der Tat, es seiM 3-abgeschlossen, und es sei x f c M . Wegen der Endlich- keitsbed~ngung gibt es nun eine endliche Teilmenge F von H derart, daB x E c F . VoraussetzungsgemiiB ist 0 E @, d. h. 0 = c 0. Wegen x E'c F mu13 also F + 0 sein. Es gibt also eine positive ganze Zahl a , welche gerade die Amah1 der EIemente von P angibt. Mit dieser $tellenzahl definieren wir nun eine Operation R, wie folat :

Aus dieser Definition folgt sofort, daI3 jede @-abgeschlossene Menge auch R,-abgesehlossen ist, mit anderen Worten: es ist Ro E 3. M war aber 3-ab- geschlossen, also ist Y ~~-abgeschlossen. Wegen F s= M ist also x E M . Letzteres gilt fur jedes x E c M I , also ist c M = M , d. h. M ist @-abgesehlossen, q. e.d.

8 4. Reduzierte Hiillen8ysterne. IdeaIe.

Der letzte Beweisgang lie13 deutlich die Stelle hervortreten, an der die Voraus- setzung 0 E @ benutzt wurde, und so unscheinbar diese Stelle auch aussieht, so ist, weil die leere Menge in jeder Algebra abgeschlosaen ist, doch klar, daI3 wir auf diese Voraussetzung nioht, wie es wunschenswert erscheint, ohne weiteres verzichten konnen. Wie dies trotzdem, in volliger Obereinstimmung mit dem in speziellen Fallen iiblichen Verfahren, allgemein zu erreichen sei, daruber sol1 hier einiges gesagt werden.

Es sei @ ein zunlichst vollig beliebiges Hullensystem rnit dem Hiillen. operator c . Wir definieren ein reduxiertes Hullensystem @* wie folgt:

Fall 1 : 0 ff 8 - dann setzen wir @* = 8; Fall 2: 0 E @, und @ - {0} ist kein Bullensystem -

dann setzen wir gleichfalls @* = 8 ; Fall 3: 0 E $j , und @ - (0) ist Hullensystem -

dann setzen wir a* = @ - (0). @* ist also jedenfalls ein Hullensystem, das &oh von @ hochstens urn das Ele- ment 0 unterscheidet. EP sei weiter

Dann ist c* gerade der zu Q* gehorige redwierte Hullenoperator. In den Fiillen 1 und 3 ist ub~rhaupt nichts zu beweisen. I m Falle 2 schlieBe man so: es gibt ein Teilsystem Z von 8 - {0}, dessen Durchschnitt D n i c h t zu @ - (0) 'gehort. Wegen D E @ muB D = 0 sein. Somit ist erst recht der Durohschnitt c* 0 von @ - (0) gleich 0. Per definitionem ist c 0 c* 0, also ist c 0 = c* 0 und somit c M = c* Y fur jede Teilmenge M von E , 4. e. d.

Satz 3. Das H ~ l ~ e n ~ ~ s ~ e ~ 8 ~ ~ f ~ l ~ ~ die ~ ~ l i ~ h ~ ~ ~ ~ ~ b ~ i n ~ u ~ g d a m und nur dann, wenn dies bei dem rdwier t ea H u l ~ n 8 ~ s ~ e ~ @* der Fall is&.

Hier ist nur im Falle 3 etwas zu beweisen. ZunLchst erfulle Q die Endlich- keitsbedingung, und es sei x E c * H . 1st x E C M , so gibt es ein endliches

3. Schmidt, Rolle der transfiniten SohluSweisen in einer allgemehen Idealtheorie. 171

F L M mit x E C P , und es ist dann erst recht x E c * P , 1st x 6 C M , so ist M = 0 und nichts zu beweisen. Umgekehrt erfulle nun @* die Endlichkeits- bedingung, und es sei x E C M . Dann ist erst recht x E c * M . Es gibt also ein endliches F C ill derart, daB z E C * F . 1st x E c F , so sind wir fertig. 1st dies nicht der Fall, so ist P = 0. Wegen x € till und x $: C P murj M $: F , d. h. M =+= 0 sein. Es gibt also ein y E M . {y} ist eine endliche Teilmenge von M . Wegen 2 E C* 0 ist erst recht z E c* {y} = C {y}, q. e. d.

Von der liier angegebenen Reduktion macht man nun in der Algebra, und wohl ausschlieBlich dort, fast stiindigen Gebrauch. Keineswegs tritt indes in der Algebra immer der Fall 3 ein, mit anderen Worten: unsere Reduktion liefert nicht immer etwas Neues, I n ~ e r e i n s t i m m u ~ mit der gewijhnlichen Algebra, speziell mit der Theorie der Ringe, wollen wir nun folgendes verabreden.

Es sei ( E , 81 eine Algebra, ,'$ das System der 8-abgeschlossenen Mengen, 3 = @* das zugehorige reduzierte Hiillensystem. Dann nennen wir die Mengen I E 3 W-abgeschlossen im engeren Binne oder auch die %.IdeaZe, kurz: Ideale. Insbesondere heil3e c * O das Nullideal; wir gebrauchen dafur ausnahmslos den Buchstaben N. Dieses Ideal kann leer sein, braucht es aber nicht ; die Elemente von N mijgen neutrale Elememte heiaen. Demgegenuber werde die ganze Menge E auch als ~ i m s i d e a ~ bezeichnet.

Man beweist nun ohne groBe Miihe, g e ~ s ~ r ~ a B e n als Korollar zu Satz 2, den S&tz 4: Es sei 3 ein ~ u l l e n s ~ s t e m , ~ e ~ c h e s die leere Menge 0 nicht e ~ t ~ ~ t ,

wohl d e r die E ~ ~ i ~ h k e i t s b ~ i n g ~ n g erfiiltt. Dann gibt es eine Algebra [A', a] derart, dap 3 gerade das Bystem der 8-ldeale ist.

Es sei niimlich @ .= 3 u (0). Dann ist Q ein Hullensystem mit dem redu- zierten System @* = 3. Nach Batz 3 erfullt @ die Endlichkeitsbedingung. Nach Satz 2 gibt es also eine Algebra [ E , 81 derart, daB gerade das System der 8-abgeschlossenen Mengen ist. 3 ist dann das System der R-Ideale.

Xaeh allem erscheint es nun sinnvoll, als azgebraische ~ i i l l e m s t ~ k t ~ r e n end- gtililtig solche zu definieren, welche die End~chkeitsbedingung erfullen, ohne Riicksicht darauf, wie iiber die leere Menge verfugt ist.

f3 6. Induktivitiit. Hauptclatz uber algebraische Hiillsnsysteme. Ein Mengensystem lrJz heifit? dnduktivl), wenn die Vereinigungsmenge jeder

nichtleeren2) Hette RLlrJz Element von ist. Dabei heifit ein Mengen- system $ eine Kette, wenn es durch die Beziehung 2 (einfach) geordnet ist. Die fundamentale Bedeutung dimes Begriffes fur die Vereinfachung der trans- finiten SchluBweisen hat als erster in vollem Umfange M, Z O R N ~ ) erkannt; er hat als erster in volfer Al~gemeinheit sein ,,m~ximum p r i n c i ~ ~ e ~ ' ausg~~pro€hen,

1) Implizite findet sich dieser Begriff bei BOURBAEI [4], S. 30f. Siehe aber FuRn. 2. *) Vielfach wird die bier erhobene Forderung an jede, nicht nur an jede nichtleere,

Kette gestellt. Da formal auch das leere Mengensystem D eine Kette ist, so hiitte jene scurfere Forderung zur Folge, daR jedes induktive Mengensystem die leere Menge 0, niimlich die Vereinigungsmenge des leeren Mengensystems D, ale Element enthielte, was sich gerade in vorliegender Note als iluRerst unzweckmiiRig erweist.

ZORX [33].

172 J. Schmidt, Rolle der transfiniten SchluDweisen in einer allgemeinen Idectltheorie.

das vor ihm bei R. L. ~ O O R E ~ ) und BROUWER~) noch in topologischem Gewande erachien. Wir wiihlen gleich die bequernste und ani hiiufigsten benutzte Form.

Zornsches Lemma: 1st Im ein induk€ives ~ e n g e n s ~ s t e m ulzd A E %IJZ, so gibt es ein A ~m~assendea masimaks Element B f Im (d, h. eine Menge B E %I derart, dap B C C und C E Im stets B = C nach sich zieht),

Es ist wohlbekannt, daB dieses Lemma dem Zermeloschen Auswahlaxiom und daher auch dem Wohlordnungssatz iiquivalent ist3). Man darf wohl sagen, daB das Zornsche Lemma gleichsani in einer NuBschale die Quintessenz aller mf dem Auswahla~iom beruhenden tra~sfiniten Schlusse enthalt. Abgesehen von seiner groBeren technischen Einfachheit beruht sein groBer, sein - wenn dieses Wort gestattet ist - iisthetischer Vorzug darauf, daB es sich ausschlieB- lich mit der ge~rohnlichen mengentheoretis~hen Anordnung von ~engensystemen? als niit der natiirlichsten Gegebenheit der Welt, beschaftigt, und da13 man fortan nicht mehr, wie beim Wohlordnungsprinzip, notig hat, der betrachteten Grund- nienge eine hochst wi l l~ur l ic~~e? in keinerlei innerer ~ e r b i n ( ~ u n g niit den Gegeben- heiten stehende Struktur, wie die Wohlordnung, nufzupragen.

Es ist irn gegenwilrtigen Zusamrnenhange bemerkenswert, daB ZORN, als er sein Prinzip erstnialig formulierte, gerade an die Verwendung in der Algebra dachte*). Tatsachlich ergibt sich, wie diese Arbeit zeigen wird, die von derii gerade in der Algebra zuzeiten so belidbten , ,finiten Standpunkt" aus paradoxe Situation, daB die von ZORN ins Ange gefaBten transfiniten Sc~lu~weisen nicht niir ein integrierender Bestandteil der Algebra, sondern reoht eigentlich fur diese charakteristiuch sind.

Die erste wesentliche Stelle, an der das Zornsche Leninia anwendbnr wird, findet man leicht aus der Endlichkeitsbedingung, der die algebraischen Hiillen- strukturen unterliegen. Es gilt niirrilich

Satz 5: Ein algebraisches HuElensystem ist induktiv. Der Beweis ist nur die Wiederholung einer SchluBmeise, die in der konkreten

Algebra t a u s e ~ d ~ a ~ ~ i vorkommt ; er ist in1 Ubrigen vollig automatisch. Es seien hier, gewissermaBen als Korollare, einige wohlbekannte Anwendun-

gen dieses ebenso trivialen wie fundamentden Satzes in Algebra und Logik erwiihnt.

Zuvor eine Definition! Es sei [ E , #] eine Algebra. Ein #-Ideal 1 heifit redu- zibel, wenn es gleich dem Dnrchschnitt D aller wirklich grofieren Ideale J ist; anderenfalls heil3t I ~rreduz~be~6). Hiernacli ist z. B. das Einsideal E redueibel; denn das System nller echten Obermengen, erst recht also das System aller echten Oberideale von E , ist leer, und der Durchschnitt des leeren Systems ist, wie eingangs festgestellt, gleich E'. Man sieht dies auch auf Grund clef

I) R. L. MOORE [17], S. 84. 2) Siehe A L E X A ~ ~ R O F ~ - H O ~ F [I], 8. 123. 3, Siehe BIRKHOFP [3], S. 42ff. 4 ) Der Titel seiner Note 1331 ist programmatisch. 6) Siehe GRELL [lo], S. 401. Dieser Begriff ist nicht zu verwechseln mit dem schwkche-

ren ~rreduzibjli~tsbegriff von E. NOETXER, welch letzteren offenbar FTJCIIS in seiner X'ote [9] zugrunde legt, obwohl der Wortlaut dw Fuchssohen Definition uiiseren Begriff litfert.

J. Schmidt, Rolle der transfiniten SohluDweisen in einer allgemeinen Idealtheorie. 173

Bemerkung ein, da8 jedes irreduaible Ideal im System aller Ideale genau einen oberen Nachbarn besitzt; das Einsideal E besltzt aber uberhaupt keinen oberen Nachbarn imd muR demnnch reduzibel seinl). Dariiber hinaus bildet, wie leicht einzusehen, das System aller reduziblen Ideale pin Hullensystem ; mithin gibt es zu jedern Ideal I ein kleinstee I unifassendes reduzibles Ideal J , die ~ e ~ ~ z i b ~ Hiill? von I . UXIS interessieren him gerade die irrednziblen Ideale. Es gilt der

Satz 6 (McCoy-Fuchs) a) : Eilz beliebiges Idea2 I ist gleich den, Uzwchuchnitt D aller irreduziblen Oberideale J von I .

Beweis (FUCHS) : Trivialenveise ist I 2 D, Nun sei 2 E E - I . Das System aller Teilmengen von E - {XI ist trivialerweise induktiv. Wegen Satz 5 ist also izuch das System aller in E - {x} enthaltenen Ideale induktiv. Da I zu diesem System gehiirt, gibt es nach dem Zornschen Lemma in diesem System eiii maximakes Element J mit I 2 J . Wegen der Maximalitat von J ist x in jedein echten Oberideal von J , also in deren Durehschnitt enthalten; da andererseits x nicht in J enthalten ist, ist J irreduzibeI. Somit ist D 5 J , also D 2 E - {XI, oder x E E - D. Dies gilt fur jedes x E E I , also ist E - I 2 E - D, oder D L I , d . h . D = f , q . e . d .

Wir driicken diesen Satz auch so aus: das System der irreduzibeh Ideale ist eine ~ u l l e n b ~ i s des Systems aller Ideale. Es gilt foIgende Verscharfung :

Sstz 2': Das System der irredu~ibeln Ideale ist die k l e i n s t e ~u l l enbas i s des Systems aller Ideale.

Es sei nLmlich 23 eine beliebige Hiillenbasis, d. h. jedes Ideal I sei darstellbar aIs Durclischnitt der in 23 enthaltenen Oberideale von I . I sei nun ein irreduzibles Ideal. Ware I nicht in 23 enthalten, so ware jedes I iiinfassende Ideal aus 8 wirklich groBer als I , infolgedessen ware der Durchschnitt f3 aller echten Oher- ideale von I enthalten in dem Durchschnitt aller I umfassenden Ideale aus 8. Letzterer sollte aber gleich I sein; somit ware D 2 I, was der Irreduzibilitat von f widerspricht.

Auf diesem Satz beruht die Bedeutung der irreduziheln ldeale. Zu ihnen gehiiren speziell die Ultraideale (maximalen Ideale, teilerlosen Ideale) ; als solcha wollen wir die maximalen Elemente des Systems der e igen t l i chen ldeale (d, h. der Ideale I =/= E ) , oder, was dasselbe ist, die unteren Nachbarn des Einsideals E , bezeichnen. Nicht jedes irreduzible Ideal ist ein Ultraideal ; aus Satz 7 resultiert direkt das

Korollrsr : Damit jedes i r r e d ~ ~ ~ ~ ~ e Ideal ein W ~ ~ r a i ~ ~ a l sei, ist ~ a ~ t ~ e n d i ~ und hinreichend, dap das System der Ultraideale cine Hullenbasis des Systems aller ldeale ist.

&fit diesen ~etrachtungen ist die Existenz von ~l t ra idealen keineswegs ge- sichert; sie kann im allgemeinen auch gar nicht behauptet werden. Es gibt nun

--

l ) In Abweichung von PUOES [S], S. 335. 2 ) So fur den Spezialfall der Idealtheorie in Ringen ttei F V ~ H S [9]. McCoy [14], S. 490

hat den wichtigsten Teil des Fuchsschen Satzes bewiesen, niimlich: zu jedem nieht neutralen Element x gibt es ein irreduzibles Ideal J , welehes x nicht enthhlt. Beide Autoren benutzen aber den schwilcheren Noetherschen Irreduzibilitiitsbegriff (siehe S. 172, FuRn. 5); insofern aind ihre Aussagen weniger scharf.

174 J. Schmidt, Rolle der transfiniten SchluDweisen in einer allgemeinen Idealtheorie.

einen klassischen Fall, wo dies moglich ist. Hierzu definieren wir als eine Er- zeugende eines Ideals I jede Menge M , welche die Eigenschaft hat, daR I das kleinste M enthaltende Ideal jst, oder, um uns unserer friiheren Sym- bolik zu bedienen, jedes M mit c* M = I . Wenn wir von einer Erzeugenden schlechthin sprechen, so meinen wir stets eine Erzeugende des Einsideals E , und wir nennen eine solche auch eine Erzeugende der Algebra [ E , 81. Eines be. sonderen Typs von Idealen sei hier gedacht, niimlich derjenigen, die eine ein- elementige Erzeugende { x } besitzen; diese heiRen Hauptideab. 1st das Einsideal ein Hauptideal, und { x } eine Erzeugende, so nennen wir das Element x eine Einheit. Es gilt nun iiber Satz 5 hinaus der

Satz 8: Es sei [ E , 931 eine Algebra, welche eine endliche Erzeugende F besitzt. Dann ist das System aller eigentlichen Ideale indziktiv.

Zum Beweise geniigt die Bemerkung, daB ein eigentliches Ideal definiert werden kann als ein Ideal I mit F $ I , und daR das System aller Mengen N mit F a, M , auf Grund der Endlichkeit von F , induktiv ist. , In der Wissenschaftslehre nennt Inan eine endliche Erzeugende ein Aximen-

system, und ein Ideal I , das ein solches besitzt, axiomatisierbar. Mit Hilfe des Zornschen Lemmas erhalt man das folgende, aus der Wissenschaftslehre s t a mmende

Korollar I (Lindenbaum)l): In einer Algebra [ E , 931, welche eine endliche Erzeugende besitzt, gibt es xu jedem eigentlichen Ideal I ein Ultraideal U mit I U .

In der Sprache der Wissenschaftslehre lautet dieser Satz so: In einer axio- matisierbaren Theorie gibt es zu jeder logisch abgeschlossenen, widerspruchs- freien Satzmenge I eine vollstandige, logisch abgeschlossene und widerspruchs- freie Satzmenge U mit I U. Ein Spezialfall des Lindenbaumschen Satzes ist das der klassischen Idealtheorie der Ringe entstammende

Korollar 2 (Krull) 2, : I n einer Algebra [ E , 931, in welcher Einheiten existieren, gibt es z u jedem eigentlichen Ideal I ein Ultraideal U mit I 2 U .

Diese Situation tritt insbesondere dann ein, wenn j edes Ideal Hauptideal ist, d. h. in Algebren, welche wir als Hauptidealalgebren bezeichnen konnten.

Darnit wollen wir die Anwendungen des Satzes 5 verlassen und uns seiner Umkehrung zuwenden. Es gilt namlich - und das ist das Hauptresultat dieser Arbeit - der

Satz 9: Ein induktives Hiillensystem 6 ist algebraisch.

Zum Beweise benotigen wir aus der allgemeinen Mengenlehre den

Hilfssatz 1 : Jede unendliche Menge P ist darstellbar als Vereinigungsmenge einer Kette R von Mengen, deren Machtigkeiten kleiner sind a b die von P .

Es werde niimlich P nach dem Typus der Anfangszahl der zur Miichtigkeit von P gehorigen Zahlklasse wohlgeordnet. $ sei das System aller Abschnitte P, in dieser Wohlordnung.

l) Siehe TAFSKI [26], S. 394f. *) Siehe KRULL [12], S. 732. Ein wichtiger SpezialfaIl dieses Satzes ist der Satz vom

Ultrafilter (BOURBAKI [5], S. 26).

J. Schmidt, Rolle der transfiniten SchluBweisen in einer allgemeinen Idealtheorie. 173

Aus diesem Sat2 folgern wir - und das ist die einzige Stelle, an der die Induktivitat von 6 benutzt wird - den

Hilfssak 2: 1st P eine ~ n e ~ Z i c h e blenge, und ist x E C P (C der 221 8 g e ~ ~ i g e H ~ ~ ~ e n o p e r a ~ o r ~ , so gibt es eine ~ ~ ~ l ~ ~ n g ~ P' vom P, deren ~ ~ c h ~ i g ~ e i ~ kle~neq ist a& die von P , and fur die x f C P' gilt..

Es sei niimlicli R die Kette des Hilfssatzes 1. Diese ist natiirlich nichtleer. Wegen der Monotonic des Operators c ist dann auch das System aller c K niit .IT€ R eine nichtleere Kette. Wegen der Induktivitat von 8 ist also die Ver- einigungsmenge alter c K Q-abgeschlossen, d. h. es gilt

C ( u CK)= u C K . K e g K€ST

Andererseits ist nach einer bekannten Formel der Hullentheorie

Bornit haben wir C P = U C K .

K6L

Unter Berucksichtigung der Eigenschaften von R ist damit der Hilfssatz 2 bewiesen.

Ordnen wir nun, unter abermaliger Benutzung des Auswahlaxiorns, jeder unendlichen Menge P 2 E eine Menge P' nach MaDgabe des Hilfssstzes 2 zu, und nehnien wir an, daB H eine gewisse feste unendIiche Menge mit x E C M sei, so konnen wir sukzessive die Mengen in, iff', M", . . . bilden. Wir gelangen SO xu einer wirklich fal~enden Folge entsprechender Kardinalzahlen, und du diese wohlgeordnet sind, mui3 die Folge nach endlicli vielen Schritten abbrechen. Das letzte Folgeglied .F = N@) ist dann eine endliche Teilmenge von B' niit x E CP. Dainit ist der Satz vollst~ndig bewiesen.

Zusammenfassend formulieren wir den

Hauptsatz uber algebraische Hullensystme : Ein Hiillensystem ist algebraisch genau dann, wenn es induktiv ist.

Die Induktivitat, und damit die Anwendbarkeit des Zornschen Lemmas, fur die wir zahlreicho Beispiele gegeben haben, bildet also geradezu das Merkmal der Unterscheidung zwischen den algebraischen Hiillensystemen und den franszendenten, als welche wir die nicht-algebraischen, d. h. die nicht-induktiven Hiillensysteme fortan bezeichnen wollen.

g 6. Spezialfall der Knratowski-Riiume. Teilbarkeits-Relation. Man kann in setir einfacher Weise eine wohlbekannte Klasse von Hiillen-

strukturen als transzendent erkennen und sich dadurch der Existenz solcher Strukturen Trcrsichern.

Bin ~ ~ e n g e n s ~ t ~ m 8 heii3e u ~ ~ i t i v , wenn mit zwei Mengen HI und M , stets aucfi die Verejnigungsmenge -MI u iff, zu gehort. 8 heiBe v o Z ~ - a ~ ~ i ~ ~ v , wenn die Vereini~ungsmenge u T jedes n i ch t l ee ren T e i l s ~ t e m s 2 von %R zu F531

gehort {man vergleiche mit der Eigenschaft @ 2 der Hiillensysteme), Es gilt nun FEZ

Bfath. Nachr. lP52, Bd. 7, E[. 3. 12

176 J. Schmidt, Roue der transfi~ten SchluRweiaen in einer allgemeinen Idwltheorie.

Sat2 I@: Damit ein Mengensystern %I voll-additiv sei, ist notwendig und hin- reichend, dap es additiv and induktiv ist .

Die Notwendigkeit der Bedingung ist klar. Es sei also umgekehrt %I additiv und induktiv. Z sei ein nichtleeres Teilsystem von %X mit der Vereinigungs- menge V . Das System aller Teilmengen von V ist trivialerweise additiv und induktiv, auf Grund der Voraiissetzung also auch das System %Iv aller ZII %R gehorenden Teilmengen von Y . Wegen 5 t3328 ist %XV nichtleer; naclz dem Zornschen Lemma besitzt %Xv also ein maximales Element M , Es sei nun T E. 5E; dann ist wegen T E !?R, und M E %Imp auch T u M E %Xv, und wegen der Maximalitat von M ist dann T u M = M , d, h. T 2 M . Letzteres gilt fur jedes T E 2, also ist V M . Andererseits ist aber M & V , also ist V = M und somit Y E % , q.e .d ,

Auf Grund unseres Hauptsatzes erhalten wir also das Korollar 1: Ein additives Hiillemystern ist algebraisch dann und nur dann,

wenn es volt-additiv ist. Eine additive Hiillenstruktur [ E , $1, in der die leere Menge abgeschlossen

ist, nennt man bekanntlich einen Kuratowski-Rauml). Aus Korollar 1 ergibt sich das speziellere

Korollar 2: Ein K~ratowski -Ru~~m [ E , 431 is$ a ~ g e b $ a ~ s ~ damn und nur dann, wenn 8 voll-additiv ist2).

Alle wesentlichen Kuratowski-Riiurne, oder besser gesagt die in der mengen- theoretischen Topologie vornehmlich interessierenden Kuratowski-Riiunie sind aber bekanntlich n ic h t 'voll-additiv und damit transzendent.

Das in Korollar 2 enthaltene Resultat, da13 jeder voll-additive Kuratowski- Raum ~lgebraisch ist, ist ubrigens wohlbekannt und kann auf vie1 elementarerem Wege hergeleitet werden.

Es sei 6 ein vollig beliebiges Hullensystem mit den1 Hullenoperator c. Aus 6 laitet man eine gewisse einstellige Operation oder biniire Relation & = QQ ab, indem man &(x) definiert als Menge aller y E E mit der Eigenschaft, dafi y E c{x}, oder, was sbuf dasselbe hinausbuft, da13 c{y} & c{x}. Q ist reflexiv und transitiv, also eine Quasi-Ordnun~s) im Sinne von G. BIRKEEOFF. 1st y E a(.), so heil3t y ein Vielfaches VOYL x und z ein Teiler eon y , in Zeichen x y4). Q wird auch als die TeiEburkeits-Relation bezeichnet. 1st x y und y X , d. h. ist C{Z> =I: c(y}, so heil3en x und y assoziiert. Diese Relation ist eine Aquivalenz-Relation in E , die irri allgemeinen nicht mit der Relation der ldentitat ubereinstimmt; ist das doch der Fall, d. h. erfullt Q das Axiom der A n t i - ~ y r n m e ~ r i e ~ ~ , so nennen wir ein un~isyrnrn~~rischeg oder auch ein Kol- m ~ g ~ r o i ~ s c h ~ s 6 ~ Hiillensys~em.

1) Siehe S. 169, FuSn. I . 8 ) ALEXANDROFF-HOPF (11, S. 38 bezeiohnen die voll-additiven RiGume als diskrete

8 ) BIRKHOFE [3], S. 4. 4) Die in der Zahlentheorie iibliche Notation z I y erscheint fiir den allgemeinen Ge-

6, BXRXEOFF[~], S. 1. 8 ) Denn die Anti-Symmetrie von Q entsprioht offenbar genau dem sogenannten nullten

Riiume.

brawh wenig suggeativ.

oder Kolomogoroffschen Ikennungsrtxiom (siehe ALEXANDROFB-HOPF [ 11, S. 68).

Y. Schmidt, Rolle der t r a n ~ ~ i t e n Soh~u~weikisen in einer allgemeixsen ~ ~ ~ l t h e o r i e , 177

Offenbar ist die aus dem reduaierten Hiillensystem Q* abgeleitete Teilbar- keits-Relation Qp niit der aus 8 abgeleiteten, QQ, identisch.

Eine Teilmenge M von B heiBe nun aufsteigend oder ein Ende,, wenn aus x E M und x y stets y E M folgt, d. h. wenn .M in bezug auf die T e ~ ~ b a r ~ ~ i t s - Relation rtbgeschlossen ist. Das Xystem Q aller Enden ist nach Fruherem ein Hiillensy&em, welches die leere Menge enthlilt. Dariiber hinaus ist 0. voll- additiv; wir konnen auch sagen, Q sei zugleich ein Hullen- und ein ~ e r n s ~ s t e ~ . Jede Q-abgeschlossene Menge ist ein Ende, d. h. es gilt 8 5 Q . Die Umkehrung ist im allgemeinen nicht richtig, kann es gar nicht sein; aber es gilt der

- Satz 11: Es sei [ E , @] eine H ~ l ~ ~ s t r u ~ ~ u ~ . Damit 8 mit dem Xystem 65 aller en ident~s~h sei, ist ~otwendig und h i n r e i ~ ~ ~ n d , dap [ E , @] ein ~ o l l - ~ d i ~ i ~ e ~ Kuratowski- Raum dst.?)

Die Notwendigkeit dieser Bedingung ist nach dern soeben Bemerkten trivial. 3% sei also umgekehrt [ E , $1 ein voll-additiver &~ratowski-Raum. Zu zeigen ist nur noch, daR Q & 8 ist. M sei ein Ende. 1st M leer, so ist M Q. M sei also nichtleer. Es sei S das System aller C{Z} mit x f M , und V die Vereinigungs- menge von 5 . Zuniichst ist M 4 V. Es sei nun 1/ E V . Dann gibt es ein x E M mit y E c {x}, d. h. x 2 y . Da M ein Ende ist, ist y E bl. Somit ist V 5 M , d. h. V = N. Da M nichtleer ist, ist aber Z nichtleer. Wegen Z 2 @ jst also, da 8 voll-additiv iat, M E 8 , q. e. d.

Aus diesem Satz geht abermals hervor, da13 ein voll-additiver Kuratowski- Raum algebraisch ist; aber er sagt vie1 mehr, denn er stellt eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den Quasi-Ordnungen von E und den voll- additiven Kuratowski-Riiumen in E her. Das ist ein markantes Beispiel dafur, daR gelegentlie~ die Kenntnis der H~lenstruktur [ E , $31 vollig zur Beherrschung der zugrunde liegepden Algebra [ E , %] 'ausreicht.

0 7, Un~bh~ngigkeit, In jeder Algebra spielt neben dern System aller Ideale noch ein zweites

induktives Mengensystem eine wesentliche Rolle: es ist das System der un- abhiingigen Mengen.

Es sei zunachst wieder [ E , @] eine vollig beliebige Hu~le~struktur mit dem Hiillenoperator c. Eine Teilmenge .M van E heiBe Q-unabhangig, wenn aus X 6 M und c T = c M atets T = M folgt. Offenbar gilt: die leere Menge, jede Teilmenge einer unabhiingigen Menge ist unabhiingig. Letzteres driicken wir auch 80 aua: das System der unabhiingigen Mengen ist absteigend.

Nun sei [E, 81 eine Algebra, und 3 das System aller 3-Ideale; dann be- teichnen wir jede $-unabhiingige Menge auch ale 3-unabhang~g. Man beachte, daB wir hierbei das Hullensystem aller 8-Ideale, nicht das Hullensptem aller ~-abgeschlossenen Mengen zugrunde legen. Das hat zur Folge, daR jede ein neutrales Element enthaltende Menge yon vornherein abMngig ist ; die ein- elementigen unabhangigen Mengen {x} sind gerade diejenigen, deren einziges Element x nicht neutral ist.

l) Fiir den Fall, daR daa Kohogoroffsche !benndgBaxiom erfullt ist, findet sich dieser Satz bei BOUBBAXX[~], S. 7f. Ein Spezialfall dee Bourbakikischen Sotzes findet sich bei BIFCXEOFF [3], 6. 13f.

la*

178 J. Schmidt, Rolle der transfiniten SohluDweisen in einer allgemeinen Idealtheorie.

Nach J. W. TUKEY~) bezeichnen wir ein Mengensystem 93 als ein Mengen- system von finitem Charakter, wenn M E YX damit gleichbedeutend ist, daB jede endliche Teilmenge F von M Element voii ist. Dieser Begriff ist fur die Algebra wichtig durch den

Satz 12: Das Xystem aller R-un~bhangigen ~ ~ ~ g e n einer Algebra [ E . R] isf von finitem Charakter.

Beweis: Nach der oben gemachten Bemerkung ist j e d e , nicht nur jede endliche, Teilrnenge einer unabhangigen Menge unabhiingig . Nun sei M eine Menge mit der Eigenschaft, daB jede endliche Tei~menge von M unab€iangig ist. Es sei T 2 M iind C*T = c * M . Angenommen, es ware T += M. Dann giibe es ein x E M - T. Wegen x E M ist x E C * T . Auf Grund der Endlichkeits- bedingung gibt es nun eine endliche Teilmenge F iron T derart, daB x E C*F. .F w {x} ist eine endliche Teilmenge von H, also nach Voraussetzung unab- hiingig. Wegen x E c*F ist c * ( F - {x}) = c * F , also miiBte .F u {x) = P und sornit x E F sein, im Widerspruch zu F 2 T und x 6 T. Also ist T = M , und somit M unahhangig, q. e. d.

Den AnschluD an das Friihere gewinnen wir nun durch Erwiihnnng der wohlbekannten Tatsache, daB jedes Mengensystem von finitem Charakter indulitiv ist. Mit Hilfe des Zortlscheii Lemmas erhalten wir also das

Korollitr: Zu jeder unabhangigen. Menge U einer Algebra [ E , %!I gibt es cine maximale unabhiingige Menge V mit U 2 V .

Den Weft dieses Korollars diirf man nicht uherschatzen. Wir bemerken niimlich, daB eine maximale unabh~ngige Menge im allgemeinen noch nicht eine Basis, d. 11. eine unabhangige oder, was auf dasselbe hinausliiuft, eine minimale Erzeugende zu sein braucht. %"ur so vie1 ist sicher: jede Basis ist eine maximale unahhbngige Menge. Es sind also die folgenden drei Verhaltensweisen denkbar, welclie aueh alle drei tatsaehlich vorkommen :

1. Es existiert keine Basis. 2. Es esistiert eine Batsis; aher niclit jede niaximaIe unabh8ngige Mengo ist

3. Jede maximale unabhiingige Menge ist eine Basis. Und wir werden eine Algebra vom Typus 1 eine basis~se, eine Algebra vont

Typ~is 2 oder 3 eine basische, und zwar eine Algebra vom Typus 2 eine schwach basische, eine voin Typus 3 eine stark basische Algebra nennen.

Wir beinorken noch, daB eine Algebra [ E , %] mit Einlieiten zumindest schwach basisdien Cliarakters ist. Hier sind zwei E&Ile zu unters~lioiden. Erstens kann es eintreten, da13 die inh he it en zugleich die neutralen Elemente siad; das ist dann und nur ditnn der Fall, wenn dits Einsideal E das einzige Ideal ist, woraus folgt, daB dann al le Elemente neutral sirid und die leere Menge die einzige unabhdngige Menge und zugleich eine Busis ist. In dieserri Trivialfall ist [ E , R] also gewil3 stark basisch. I m zweiten Falie liingegen, und der ist der normaJe, ist lireine Einheit neutral, und dann sind die cinele~ientigen Mengen {x ) , die gerade &us einer Einheit x bestehen, Basen.

&ne Basis.

') Siehi BIRKHOFF [3], 8. 42, BOURBAKI [4], s. 37.

J. Schmidt, Rolle der transfiniten SchluBweisen in einer allgemeineii Idealtheorie. 179

Allgemeiner kiinnen wir sagen, daB eine Algebra [ E , %], die eine endliche Erzeugende besitzt, zumindest schwach basisch ist. Denn unter alles endlichen Erzeugenden gibt es gewil3 eine init klcinster Mlicahtigkeit ; diese mu13 eine Basis sein.

lfelir sei hier iiher den Begriff der thabhangigkcit nicht gesugt. Es diirfte aher in dieseni Zusamnienhanpc eine neue Charakterisierung dcr Mengensysteme von finitem Charokter interessieren, durcnh die der Tukeysche Begriff im Grunde vollkominen ulnerfldssig wird. Wir bemerken zuvor, daB man sich die Tukeysche Definition leirlit so 11 inforinen kann : daniit ein Mengensystem 9.X von finitein Charakter sei, ist notwendig und hinreichend, daB %l die folgenden beiden Eigen- schnften besitzt:

1. 9ll ist iibsteigend ; 2. ist M eine Menge von der Art, duB jede endliche Teilmenge F von M

Wir konnen nun die zweite Eigenschuft durrh die lnduktivitat ersetzen ;

Satz 13: Jedes induktive Mengensystem 9ll besitzt die soeben angegebene Eigen-

Element von 9.2 ist, so ist M E 9R.

denn es gilt der

schaft 2 der Mengensysteme von finitem Charakter.

Der Reweis stutzt sicah auf den Hilfssatz 1 zu Satz 9. Mit seiner Hilfe beweisen wir niimlich den dem daniiiligen Hilfssatz 2 entsprechenden

Hilfssstz: Ist P eine ufiendliche Menge, welche nicht Element uon W ist, so gibt es eine Teilmenge P‘ von P , deren Machtigkeit kleiner ist a k die von P, und welche gleichfalk nicht zu %I geh&t.

Denn sei R die Kette des zitierten Hilfssntzes. Ware 9 C 911, so \\%re auf Grund der Induktivitiit van W auch die Vereinigungsmenge P von 9 ein Element ron 1132.

S u n denken wir uns wieder jeder unendlichen Menge P eine Teilmenge P’ nach MaBgttbe rinscres Hilfssatzes zngeordnet. Es sei M eine Menge init der Eigenschaft, daB jede endliche Teilmenge von .M Element von ‘132 ist. Angenom- men, M selbst gehorte nicht zu 9ll. Dann wiire M unendlich und wir konnten nun sukzessive die Folge M , M ’ . M ” , . . . bilden, welche ails denselben Grunden \vie irn Beweb des Satzes 9 nach endlich vielen Schritten zu einer endlichen Teilriienge F = M(’) von M fiihren wiirde. VoraussetzungsgeinaB gehorte nun F zu W, was der Konstruktion unserer Folge widerspricht.

Korollar : Die Mengensysteme won finitem Charakter sind genau die absteigen- den, induktiven Mcngcnspteme.

Wir schliel3en niit zwei in diesen ldeenkreis gehorenden Fragen :

1. Frage: Kann Pin nichtleeres absteigendes Mengensptem stets aufgefapt werden ala S!ystem der Q-unabhangigen Mengen einer geeigneten Hullenstruktur

2. Frage: Es sei @ ein Hullensystem mit der Eigrnschaft, dab das System der

[ E , *$>]?

Q-unabhangigen Mengen induktiv ist. Ist dann auch 8 induktiv?

180 J. Schmidt, Rolle der transfiniten SchluBweisen in einer allgemeinen I ~ l t h e o r i e .

$j 8. Beispiele. 1. Es sei E eine Gruppe, 9 eine Mengc zugehoriger Operatoren'). Rl sei die zweis&llige,

eindeutige, u n b ~ c h r ~ k t a u s f ~ r b a r e G~pp~mul t ip l ika t ion , R, die einstellige, eindeutige, unbeschriinkt ausfuhrbare Operation, die jedem a E. E sein Inverses u-l zuordnet. R3 sei die einstellige, im allgemeinen nicht eindeutige und - wenn fa nicht gerade leer ist - unbeschriinkt ausfubbare Operation, die jedem a € E die Menge dcr Produkte ma mit w E 9 zuordnet. Offenbar kann man R, in naturlicher Weise ersetzen durch eine Familie (( R o ) ) w E ~ von einstellig~n, eindeu~igen, unb~chrsinkt au~uhrbaren Operationen Rw , wobei R, dem Element a das Produkt m a zuordnet.

Diese >,Cruppen mit Operatoren" bilden eine au~rordentlich u ~ ~ n ~ e i c h e KIaase im Bereich unserer Algebren; es darf daher nicht verwundern, wenn wir uber diese Klasse keine in den Rahmen dieser Untersuchungen passenden allgemeinen Aussagen machen kijnnen. Allgemein Itil3t sich nur soviel sagen, daB unsere Ideale gerade die zuliissigen Unter- gruppen*) sind; neutrales Element ist allein das Einselement. 1st speziell L? leer, so sind alle ~ n ~ ~ u p ~ n zulilssig. Ist 9 die Menge der inneren A~tomorph~men bzw. aller Auto- morphismen, so sind die zulilssigen Untergruppen die Normalteiler bzw. die charakteristi- schen Untcrgruppen. 1st E ein Ring und f2 die Mcnge der Rechts- bzw. der Linksmulti- plikationen bzw. beider zusammen, so sind unsere Ideale gerade die rechts- bzw. links- bzw. beiderseitigen Ideale im ublichen ringtheoretisohen Sinne. 1st E ein Vektorraum und $2 der Skslark&per, so sind die zultissigen Untergruppen die Unterrsiume (Linearmannig- faltigkeiten) usw. Im zuletzt erwtihnten Fall kann man bekanntlich erschopfende Struktur- a u ~ a g e n machen,); so z. B. liegt eine Algebra von stark basischem Charaktcr vor und alle irreduzibeln Ideale sind Ultraideale (Hyperebenen).

2. Es sei E die E u k ~ ~ d ~ c h e Ebene, und es sei R die Operation, die jedem Paar von Vektoren [a, 61 mit a d b die Verbindungsstrccke 3 zuordnet, R ist eine zweistellige. weder eindeutige noch u n b ~ c h r ~ n k t a u s f ~ b a r e ope ratio^. Statt dieser konnen wir auch die Familie (( R a ) ) o r i s 1 zweistelliger, eindeutiger, unbeschriinkt ausfiihrbarer Opera- tionen Ra betrachten, wobei Ra dem geordneten Paar [a, b] den Vektor ila + ( I - 1 ) b zuordnet. Die Ideale sind hier die konvexen Mengen einschlieljlich der leeren Menge. Es gibt also keine neutralen Elemente und ebenso keine Einheiten, ja nicht einmal eine end- liche Erzeugende. Die Mengenfolge ((&€,,)), weIche bei der Bildung der konvexen Hiilb von &€ auftritt, bricht bei N = 2 ab. Die irreduzibeln Ideale sind genau die Mengen, ifie aus einer offenen Halbebene inklusive einer offenen Halbgeraden ihrer Begrenzung bestehen. Diese Algebra ist schwach basischen Charakters, So sind z. B. Ellipse und Parabel maximale unabhiingige Mengen, aber keine Basen ; die Hyperbcl hingegen ist eine Basis.

3. Es sei A eine Menge von mindestens zwei Elementen und E = A x A . R sei die zweistellige, eindeutige, nicht unbeschriinkt ausfiihrbare Operation in E , die jedem ge- ordneten Paar [[z, 91, [y, z]] von geordneten Paaren Cz, g] und [g , z] aus A das geordnete Paar [z, z] zuordnet. Die Ideale sind hier die transitiven Relationen in A einschliel3lich der leeren Relation. Es gibt also keine neutralen Elemente und ebenso keine Einheiten; ja, wenn A unendlich ist, gibt es iiberhaupt keine endliche Erzeugende. 1st M eine beliebige Relation in A , d. h. cine Teilmenge von 1, so bricht die bei der Bildung der transitiven Wulle von LW auftretende Folge ((.MY)) von Relationen LWv irn allgemeinen nicht ab. Diese Algebra ist schwach basischen Charakters. 1st z. B. a, ein festes Element von A und B die Menge aller geordneten Paare [ao, b] und [b , u,l mit b E A - {ao), so ist B eine Basis: NachVoraussetzung gibt es nun ein bo E A - {a,,}. Streichen wir in B das geordnete Paar [a,,, bO] und orsetzen dieses durch das Paar [b,. b,], so erhalten wir eine maximale u n a b ~ n ~ i g e Mengc C, welche keine Basis ist.

4. Es sei 1 eine duroh eine %lation E, ~lbgeordnete (hilweise geordnete) Menge4). R, sei die einstellige, nicht eindeutige, aber unbeschriinkt ausfuhrbare Operation, die jedem

l ) Siehe VAN DER WAERDEN[31], 3. Aufl., s. 147. 2 ) VAN DER W A ~ D E N , loc. cit. 3, Siehe BOURBAKI [6], S. 32ff. *) Partially ordered set im Sinne von BIRKROPE [3], 8. 1.

J. Schmidt, Rolle der tmnsfiniten Schlu~weisen in einer afigemeinen Idealtheorie. 181

a E E die Menge aller 1, E E mit b E, a zuordnet. Rp sei die zweistellige, eindeutige, im all- gemeinen nicht u n b ~ ~ & n k t ausfiihrb~e Operation, die jedem g ~ r ~ e ~ n Pam [a, 61 die Vereinigung a u 6 , sofern diese existiert, zuordnet. Unpre %-abgeschlossenen Mengen stellen in diesem Falle eine einfaohe Verallgemeinerung der Ideale im verbandstheoretischen Sinnel) dar; da ein neutrales Element im allgemeinen nicht existiert, erweist sich in der Theorie .der halbgeordne~n Mengen der generelle gang von den %-abgeschl~enen Mengen im weiteren zu denen im engeren Sinne, d. h. zu den W-Idealen, ah unzweckmiiBig. Betrachtet man speziell die wohlgeordnete Menge der natiirliohen Zahlen, so hat man das einfachste Beispiel einer basislosen Algebra ; denn die niohtleeren unabhstngigen Mengen sind hier gerade die einelementigen, und eine Einheit existiert nicht.

5. Es sei E die Menge der Ausdriicke (sinnvollen Aussagen) des AussagenkaUriils. R, sei die Abtrennungsoperation, d. h. die zweistellige, eindeutige, nicht unbeschriinkt aus- fiihrbare Operation, die dem gaordneten Pmr [ H I , H I + H J den Ausdruck HZ zuord- net. .Rg sei die Einsetzungsoperation, d. h. die einstellige, nicht eindeutige, aber un- beschriinkt ausfiihrbare Operation, welche dem Ausdruck W, die Menge aller Ausdriicke H3 zuordnet, welche &us Hr dadurch entstehen, daD wir in HI eine gewisse Variable p4 iiberali durch einen gewissen AusdPuck HB ersetzen.

Die Ideale im Sinne dieser Algebra sind die abgeschlossenen oder deduktiven Systeme von TARSEI~). Neutrale Elemente existieren nicht, wohl aber Einheiten; zu ihnen gehoren unter anderen die Aussagenvariabeln, aber auch Ausdriicke wie pG --c p f , wo pc und pd verschiedene AussagenvariabeIn sind. Die Bfenge der auss&ge~ogisehen Identitilten biIdet ein Ultraideal U; ein darin enthaltenes Ideal ist die Menge I der Identitiiten des intuitio- nistiscthen Aussagenkalkiils, von der TARSEI~) bewiesen hat, daD sie auf eine und nur eine W e b v e ~ o l l s ~ n d i ~ werden kann, mit anderen Worten: &I3 U das einzige I ent- haltende Ultraideal ist. Nach Satz 7 dieser Arbeit gibt es also irreduziblefdeale, welchenicht vollst&ndig, d. h. keine Ultraideale sind.

Literatur. [1] P, ALEXANDROFF und H. HOPF, Topologie. Berlin 1936. 123 G. BIBEHOFF, On the combination of subalgebras, Proc. Cambridge philos, Soc. 29,

[3] -, Lattice theory. (American Mathematical Society Colloquium Publications,

[4] N. BOURBSI, Thhorie des enkembles. Actual. sci. industr. 846 (1939). c51 - , Structures topologiques. Actual. sci. industr. 858 (1940). re1 - , Alghbre lineaire. Actual. sci. industr. 103% (1947). c71 - , Sur le theoreme de Zorn. Arch. Math., Karlsmhe %, 434-437 (1949/50). [S] C. J. EVERETT, Closure operators and Galois theory in lattices. Trans. Amer. math.

[9] L. Fncm, gber die Ideale arithmetischer Ringe. Comment. math. Helvetici XLB, 334-341

[IO] Ix. GRELL, M ~ u l ~ u p ~ n und -inversionen bei prim&ren Integrit&tsbereichen. Diese

[ll] M. KRASNER, CBn6ralisation abstraite de la th6orie de Galois. Colloques internat.

[I21 VV. KRULL, Die Idealtheorie in Ringen ohne ~n~ ichke i t sbed in~ngen . Mhth. Ann,,

[13] C. KURATOWSKI, Sur l’ophration 2 de l’analysis situs. Fundamenta Math. 3, 182-199

[14] N. H. McCoy, Subrings of infinite direct sums. Duke math. J. 4, 486-494 (1938). [15] J. C. C. M C K ~ S E Y and A. TARSKI, The algebra of topology. Ann. Math., Princeton,

. 4 4 1 4 8 4 (1933).

Vol. 25.) Rev. ed., New York 1948.

SOC. 55, 514-525 (1944).

(1949).

Nachr. 4, 3 9 2 4 0 7 (1950/51).

Centre nat. Rech. Sci. 24, 163-188 (1950).

Berlin 101, 729-744 (1929).

(1922).

II. S. 45, 141-191 (1944).

l) BIRKROFF [3], S. 21. a) TARSKI [25], [26], [30]. *) TARSKI [29].

182

[IS] E. H. MOORE, Introduction to a form of general analysis. New Haven 1910. [17] R. L. MOORE, Foundations of point set theory. New York 1932. [IS] G. NOBELING, Topologie der Vereine und Verbiinde. Arch. Math., Karlsruhe I, 154-159+

[19] 0. ORE, Some studies of closure relations. Duke math, J. 10, 761-785 (1943). f20l - , combination^ of closure relations. Ann. Math., Princeton, 11. S. 44, 514-535

[211 - , Mappings of closure relations. Ann. Math., Princeton, 11. S. 41, 56-72 (1946). [22] J. RIQUET, Relations binaires, fermetures et correspondances de Galois. Bull. Soc.

~231 - , Produit tensoriel de treillis et thbrie de Galois g6n6ralis8e4 Colloques internst.

[24] K. SCHROTER, Was ist eine mathematische Theorie? Jher. Deutsche Math.-Verein..

[25] A. TARSPI, Untersuchungen uber den Aussagenkalkiil. Ergebn. math. Koll. Wien

[26] ---, Fundamentale Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissenschaften.

[271 - , Uber einige fundamentale Begriffe der Metamathematik. C. r. SOC. Sci.

[281 - , Remarques sur lea notions fondamentales de la mbthodologie des math&

~ 9 1 - , Uber die ~ r w e i ~ r ~ g e n der u n v o l ~ t ~ n d ~ g e n Systeme des Aussagenkalk~ls.

[30] -, Crundziige des Systemenkalkiils. I; 11. Fundamenta Math. 25, 503-526

[31] B. L. VAN DER WAERDEN, Moderne Algebra. I; 11. 1. Aufl,, Berlin 1930; 1931.2.Aufl.,

[321 M. WARD, The closure operators of a lattice. Ann. Math., Princeton, 11. S. 43, 191-196.

3. Schmidt, Rolle der traiisfiniten Schlu~weisen in einer allgemeinen Idealtheorie-

(1948).

(1943).

math. France 16, 114-155 (1948).

Centre nat. Rech. Sci. 24, 174-178 (1950).

53, 69-82 (1943).

2, 13-14 (1929/30).

Monatsh. Math. Physik 3%, 36-04 (1930).

Varsovie 23, 22-29 (1930).

matiques. Ann. SOC. Polon. Math. 7, 270-272 (1930).

Ergebn. math. Koll. Wien 7, 51-57 (1935).

(1935) ; 26, 283-301 (1936).

Berlin 1937; 1940. I. 3.Aufi., Berlin 1950. . -

(1942). [331 M. ZORN, A remark on method in transfinite algebra. Bull. Amer. math. Soc. 41, - -

667-670 (1935).