FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1 1

Udsagn (propositioner)

Eksempler

a) “Jorden er en planet”

b) “Månen er lavet af grøn ost”

c) “Hvad er klokken?”

d) “Din lærer er klog”

Definition

Et udsagn er en sætning, som enten er sand eller falsk.

sandt udsagn

falsk udsagn

ikke et udsagn

ikke et udsagn(evt. en tautologi)

FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1 2

Åbne udsagnFølgende er ikke udsagn:

1. x2 < 42. a2 + b = 33. “Hun har aldrig været i fængsel”

De har ikke en sandhedsværdi før x, a, b og “hun” har fået tildelt værdier fra passende grundmængder.

x, a, b og ”hun” er frie variable.

1.- 3. kaldes åbne udsagn

FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1 3

Sammensatte udsagn – logiske operationer

• Konjunktion (og) : A B• Disjunktion (eller) : A B• Negation (ikke) : ¬ A• Implikation (medfører) : A B

(Martin skelner mellem: ‘→’ og ‘’, hvor ‘→’ anvendes mellem logiske variable, og ‘’ anvendes mellem udsagn. Ofte er det ikke nødvendigt at skelne.)

• Biimplikation (ensbetydende) : A BNogle gange bruges A ≡ B.(Martin skelner (som ved ‘’) mellem A ↔ B og A B,

men det har ikke stor praktisk betydning)

FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1 4

SandhedstabelA B A B A B ¬ A ¬ B A B A Bs s s s f f s ss f f s f s f ff s f s s f s ff f f f s s s s

Det eneste underlige er implikationen .......

FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1 5

Implikation

• A : Sønnen spiser ikke sin rosenkål

• B : Faderen slår sønnen

• A B : “Hvis du ikke spiser din rosenkål, så slår jeg dig!”

• A B : “Hvis det er godt vejr, så ta’r vi i skoven!”

• A: ?

• B: ?

FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1 6

Implikation

Vigtig egenskab ved implikation:

p q ≡ (p) q

Vis ved sandhedstabel.

FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1 7

”Sære” udsagn

• Tautologi: er altid sand:

• p ¬ p

• true

• Modstrid: er aldrig sand:

• p ¬ p

• false

• Hvis p er en tautologi, så er ¬p en modstrid

FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1 8

de Morgans love

a) ( A B ) (A B)

b) ( A B ) (A B)

(kendes muligvis fra Boolsk algebra)

FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1 9

Bevis for de Morgan a)

Sandhedstabel:

A B AB (AB) A B ABs s s f f f fs f f s f s sf s f s s f sf f f s s s s

Da de to søjler er ens, gælder formlenQED

( A B ) (A B)

FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1 10

Propositioner og mængder

• Bemærk lighederne:– konjunktion og fællesmængde– disjunktion og foreningsmængde– negation og komplementærmængde

FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1 11

Regneregler – oversigt(jf. mængder)

Kan vises ved sandhedstabell

er

Øvelser Martin 1.1

FEN 2013-23-01 Udsagn/Seminar 1 12

Fra Martin 3rd Ed.: