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POSICIONAMENTOS PLANIMÉTRICO E ALTIMÉTRICO

2°Semestre de 2010

UD 2 - MÉTODOS POR SOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS


2°Semestre de 2010

Conhecidos alguns elementos de um triângulo – ângulos e comprimentos de lados – determinar as coordenadas de um dado ponto.

Interseção (a vante): Sobre duas estações de coordenadas conhecidas, determinar as coordenadas de um objeto, sem precisarocupá-lo;Interseção a ré: Com o aparelho estacionado sobre o ponto cujas coordenadas serão calculadas, aponta-se para dois pontos de coordenadas conhecidas.Triangulação: obtém-se figuras geométricas a partir de triângulos, justapostos ou sobrepostos, formados através da medição dos ângulos subtendidos por cada vértice.Trilateração: semelhante à triangulação, porém o levantamento será efetuado através da medição dos lados.


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INTERSEÇÃO À VANTE

γ

β

α c

a

b

Leituras realizadas sobre pontos de coordenadas conhecidas (A e B);Visada para o ponto C, inacessível;Leituras angulares apenas (α e β);

A

B

C


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b = c senγ / sen β

γ = 180º - α - β

a = c senγ / sen α

c = [(XB – XA)2 + (YB - YA)2]1/2

AzBA = tg-1[(XA – XB) / (YA – YB)]

AzAB = tg-1[(XB – XA) / (YB – YA)]

AzAC = AzAB – α AzBC = AzBA + β

XC = XA + bsenAzAC

YC = YA + bcosAzAC

XC = XB + asenAzBC

YC = YB + acosAzBC


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Exemploβ = 64º 32' 28"α = 81º 17' 38 "

Coords B: X = 3369,287 mY = 2890,836 m

Coords C: X = 3300,259 mY = 3082,183 m

β

α

C

a

BA


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Distâncias a = [(XB – XC)2 + (YB – YC)2]1/2 = 203,417 m

b = a senα/senγ = 358,051m

c = a senβ/senγ = 327,050m

Azimutes AzBC = 340° 09' 47”

AzBA = AzBC - α = 258° 52' 09”

AzCA = AzBC – 180º + β = 224° 42' 15”

γ = AzBA – AzCA = 34° 09' 54”


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Partindo do Ponto C

XA = XC + CA sen AzCA= 3048,389m

YA = YC + CA cos AzCA = 2827,699m

Partindo do Ponto B

XA = XB + BA sen AzBA = 3048,389m

YA = YB + BA cos AzBA = 2827,699m


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Podem ser realizadas verificações geométricas dos ângulos lidos e/oucalculados no processo, uma vez que são desconsiderados o erro de fechamento do triângulo e o possível excesso esférico.

Controle do método se dá por medições com mais uma base quepode (ou não) compartilhar um vértice da primeira base.

Realiza-se ajustamento dos ângulos medidos, considerando as direções lidas e o modelo condicionado.


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Exemplo

β1 = 64º 32' 27,5" Coords B: X = 11054,091 m

Y = 9484,370 m

α1 = 81º 17' 37,5 " Coords C: X = 10827,622 m

Y = 10112,150 m

α2 = 37º 39' 28,2 "

β2 = 97º 31' 31,1" Coords D: X = 10000,000 m

Y = 10000,000 m


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β1

α1

C

a

BA

β2

α2

D


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Azimutes

AzBC = 340° 09' 48”AzCB = AzBC - 180°AzCB = 160° 09' 48”

AzCA = AzCB + β1AzCA = 224° 42' 15,4”

AzBA = AzBC – α1 AzBA = 258° 52' 10,4”

Distâncias

BC = 667,380 mCA = a senα1/senγ1 = 1072,991mBA = a senβ1/senγ1 = 1174,699m

γ1 = AzBA - AzCAγ1 = 34° 09' 54”

α1 + β1 + γ1 = 180° (OK)

Coordenadas

XA = XC + CA sen AzCA= 10001,283mYA = YC + CA cos AzCA = 9277,236m

XA = XB + BA sen AzBA = 10001,283mYA = YB + BA cos AzBA = 9277,236m


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Azimutes

AzCD = 262° 16' 58,5”AzDC = AzCD - 180°AzCB = 82° 16' 58,5”

Distâncias

BC = 667,380 mCA = a senα/senγ = 1174,719mBA = a senβ/senγ = 723,924m

Coordenadas

XA = XC + CA sen AzCA= 10002,423mYA = YC + CA cos AzCA = 9276,081m

XA = XB + BA sen AzBA = 10002,423mYA = YB + BA cos AzBA = 9276,081m

AzCA = AzCD + α2AzCA = 224° 37' 30,3”

AzDA = AzDC + β2AzDA = 179° 28' 49,6”

γ1 = AzBA - AzCAγ1 = 34° 09' 54”

α1 + β1 + γ1 = 180° (OK)


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Resumo:

Base A-B: X = 10001,283m Y = 9277,236m

Base B-C: X = 10002,423m Y = 9276,081m

∆ = 1,62m

NECESSITA DE AJUSTAMENTO!!!

Ajust: X = 10002,445m Y = 9277,390m


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Exercício: Considere as estações de monitoramento de satélites91752, de coordenadas UTM (688025,661;7460218,596) e 91780 de coordenadas (688042,312;7460285,057). Calcule as coordenadas de P com base nas observações transcritasna caderneta a seguir:

Estação Visada Leitura

9175291780 0 0 0

P 60 35 40

9178091752 0 0 0

P 42 28 20


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Interseção à ré: também conhecido como resseção ou problema de Pothenot. O equipamento é posicionado no ponto a determinar.

αβ

x

y

B = AzBC - AzBA

A

C

a = [(XB – XA)2 + (YB - YA)2]1/2 b = [(XB – XA)2 + (YB - YA)2]1/2

p

a

b

P


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p/senx = a/senα;

p/seny = b/senβ;senx/seny = bsenα / asenβ; (A)�

αβ

x

y

B = AzBC - AzBA

A

C

p

a

b

P


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α+β = 360° - (x + y + φ) = R; (B) �

x = R – y;

sen x/sen y = sen (R – y)/sen y = (senRcosy – senycosR)/seny

αβ

x

y

φ = AzBC - AzBA

A

C

p

a

b

B

P


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B

A

C

R = φ – α – β; (B) �

α β

x

yφ

P


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sen x = (senRcosy – senycosR) (÷ senRseny)�sen y seny (÷ senRseny)�

sen x/sen y = senR(cotgy – cotgR) = senRcotgy – cosR (C) �

(A) = (C)�

senRcotgy – cosR = bsenα / asenβsenRcotgy = bsenα / asenβ + cosRcotgy = (bsenα / asenβ + cosR)/senR = tg y= asenβsenR / (bsenα + asenβcosR) �

y = arc tg [asenβsenR /(bsenα + asenβcosR)] (D) �x = R – y (E)�


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Exemplo

α = 95º 45' 21"

β = 78º 18' 16 "

A: X = 451609,02m

Y = 206281,02m

B: X = 450514,03m

Y = 206836,17m

C: X = 450899,12m

Y = 207558,62m

β

α

C

b

a

A

B

Py

x


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a = [(XB – XA)2 + (YB – YA)2]1/2 = 1227.68m

b = [(XC – XB)2 + (YC - YB)2]1/2 = 818.67m

AzBA = tg-1[(XA – XB) / (YA – YB)] = 116° 53' 5”

AzBC = tg-1[(XC – XB) / (YC – YB)] = 28° 03' 33”

B = AzBA – AzBC = 88º 49' 32"

R = 360° – (95º 45' 21" + 78º 17' 16" + 88º 49' 32") = 97º 07' 51"

senR = 0,9922651 cosR = -0,1241367


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y = tg-1 [asenβsenR /(bsenα + asenβcosR)]

y = tg-1 {1227.68sen(78º 18' 16 ")sen(97º 07' 51") /

[(818.67sen(95º 45' 21") + 1227.68sen(78º 18' 16 ")cos(97º 07' 51")]}

y = 60° 50' 55”

x = R – y = 36° 16' 57”

XP = XB + psenAzBPp = bseny/senβ = 730,18mAzBP = AzBC + (180° - β - y) = AzBA – (180° - α – x)AzBP = 68° 55' 23”

XP = XB + psenAzBP = 451580,45mYP =YB + pcosAzBP = 207821,21m


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Podem ser calculadas as coordenadas do ponto pelo irradiamentocom base nos três pontos de coordenadas conhecidas, permitindo um controle “grosseiro” dos resultados.

Controle do método se dá por medições com mais uma base quepode (ou não) compartilhar um vértice da primeira base.

Realiza-se ajustamento dos ângulos medidos, considerando as direções lidas e o modelo condicionado.


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Exemplo:

A: X = 88237,920m Y = 80232,030m

α = 44º 55' 30,5"

B: X = 82279,100m Y = 97418,580m

β = 5º 56' 19,4"

C: X = 81802,350m Y = 98696,210m

γ = 19º 56' 18,3"

D: X = 80330,690m Y = 102911,400m


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βα

D

A

B

Pγ

C


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∆ABC:

a = [(XB – XA)2 + (YB – YA)2]1/2 = 18190,26mb = [(XC – XB)2 + (YC - YB)2]1/2 = 1363,68m

AzAB = tg-1[(XB – XA) / (YB – YA)] = 340° 52' 40,3”AzBC = tg-1[(XC – XB) / (YC – YB)] = 339° 32' 12,6”B = 180° + AzAB – AzBC = 181º 20' 27,6"

R = 360°–(44º55'30,5"+5º56'19,4"+181º20'27,7") = 127º 47' 42,5"y = tg-1 [asenβsenR /(bsenα + asenβcosR)]y = tg-1 {18190,26.sen(5º 56' 19,4")sen(97º 07' 51") /

[(1363,68.sen(44º55'30,5") + 18190,26.sen(5º56'19,4")cos(127º 52' 42,5")]}

y = 97° 17' 42,4” x = R – y = 30° 30' 0,1”


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XP = XA + AP.senAzAAPAP=asen(α+x)/senα=24929,653mAzAP=AzAB+x=11° 22' 40,3”XP=XB+p.senAzBP=93156,008mYP=YB+p.cosAzBP= 104671,752m

XP = XB + BP.senAzABPBP=asenx/senα=13073,470mAzBP=AzAB+x+α=56° 18' 10,8”XP=XB+p.senAzBP=93156,008mYP=YB+p.cosAzBP= 104671,752m

XP = XC + CP.senAzACPCP=bsen(y+β)/senβ=12830,146m AzCP=AzBC-180º-y=62° 14' 30,2”XP=XC+p.senAzCP=93156,008mYP=YC+p.cosAzCP= 104671,752m


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∆BCD:

b = [(XC – XB)2 + (YC - YB)2]1/2 = 1363,68mc = [(XD – XC)2 + (YD - YC)2]1/2 = 4464,71m

AzBC = tg-1[(XC – XB) / (YC – YB)] = 339° 32' 12,6”AzCD = tg-1[(XB – XA) / (YB – YA)] = 340° 45' 15,3”B = 180° + AzAB – AzBC = 178º 46' 57,4"

R = 360°–(5º56'19,4"+19º56'18,3"+178º 46' 57,4") = 155º 20' 24,9"y = tg-1 [bsenγsenR /(csenβ + bsenγcosR)]y = tg-1 {1363,68.sen(19º 56' 18,3")sen(155º 30' 24,9") /

[(4464,71.sen(5º56'19,4") + 1363,68.sen(19º 56' 18,3")cos(155º 20' 24,9")]}

y = 78° 32' 37,1” x = R – y = 76° 47' 47,8”


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XP = XB + BP.senAzABPBP=bsen(β+x)/senβ=13074,358m AzBP=AzBC+x=56° 20' 0,5”XP=XB+p.senAzBP=93160,601mYP=YB+p.cosAzBP= 104666,460m

XP = XC + CP.senAzACPCP=bsenx/senβ=12831,748m AzCP=AzBC+ x + β =62° 16' 19,9”XP=XC+p.senAzCP=93160,601mYP=YC+p.cosAzCP= 104666,460m

XP = XD + DP.senAzADPDP=csen(γ+y)/senγ=12949,396m AzDP=AzCD-180º-γ=82° 12' 38,2”XP=XD+p.senAzDP=93160,601mYP=YD+p.cosAzDP= 104666,460m


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Resumo:

∆ABC: X = 93156,008m Y = 104671,752m

∆BCD: X = 93160,601m Y = 104666,460m

∆ABD: X = 93158,414m Y = 104671,886m

∆ACD: X = 93159,099m Y = 104671,598m

NECESSITA DE AJUSTAMENTO!!!

Ajust: X = 93153,645m Y = 104685,246m


2°Semestre de 2010

Exercício: Considere as estações de monitoramento de satélites91752, de coordenadas UTM (688025,661;7460218,596), 91780 de coordenadas (688042,312;7460285,057) e C, de coordenadas(687955,35;7460265,631). Calcule as coordenadas de P com base nas observações transcritas nacaderneta a seguir:

Estação Visada Leitura

P

91780 0 0 0

91752 324 53 40

C 278 57 30


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Triangulação: obtém-se figuras geométricas a partir de triângulos, justapostos ou sobrepostos, formados através da medição dos ângulos subtendidos por cada vértice.

É comum o emprego do termo “cadeia” para as redes de triangulação, uma vez que os vértices calculados geram nova base para cálculo de novos vértices, e assim, sucessivamente, abrangendo grandes áreas.

O cálculo simples emprega os conceitos da lei dos senos e irradiamento para definição dos demais lados e azimutes.

Uma vez que não são observadas distâncias, o método não se limita ao alcance dos distanciômetros; por outro lado, é necessário intervisibilidade entre as estações, normalmente em cotas elevadas.


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Nas triangulações geodésicas a superfície elipsóidica pode ser substituída por uma superfície esférica de curvatura média. Os erros cometidos sobre os lados poderão atingir 1cm, no máximo.

Pelo teorema de Legendre, triângulos esféricos com lados pequenos em relação ao raio da Terra podem ser substituídos por triângulos planos com lados de mesma extensão e ângulos reduzidos de um terço do excesso esférico.

O excesso esférico de um triângulo geodésico é dado pela relação entre a área desse triângulo suposto plano e o quadrado do raio de curvatura média da região considerada.

Pelo teorema de Gauss, o raio médio é dado pela raiz dos raios de curvatura normal e primeiro vertical (M e N).


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Utiliza-se como figura básica o quadrilátero com duas diagonais observadas ou quadrilátero com um ponto central.

Garantem-se os controles de orientação e escala através da introdução dos pontos de LAPLACE, ou azimutes de controle, e das bases. Deve-se introduzir um azimute de controle, a espaços regulares, preferencialmente coincidente com a base.


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O conceito de rigidez é o mais aceitável para, a priori, se controlar e definir a qualidade do desenvolvimento triangular. Quando o limite estipulado para a classe atingir o valor ΣR1, será necessária a introdução de uma base.

No transporte do lado deve-se escolher o melhor caminho, ou seja, aquele que tenha menor coeficiente de rigidez.

Para medir-se a rigidez, calcula-se o coeficiente de rigidez, produto de dois fatores: um relacionado à quantidade de observações e equações de condição e outro relacionado aos ângulos observados.


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Quadrilátero simples com duas diagonais Quadrilátero de ponto central com uma das diagonais observadas.

Pentágono com ponto central

Quadrilátero com ponto central, sem diagonal observada.


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Hexágono com ponto centralHexágono com ponto central Triângulo com ponto central


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Trilateração: processo de estabelecimento de controle geodésico horizontal através da determinação do comprimento de lados de triângulos. (T34-400)

Pode ser empregada nos mesmos casos em que seja viável a triangulação, porém é mais indicada em casos de restrição ou impossibilidade de leitura angular.

Em tese, um pentágono ou um hexágono seriam figuras ideais para trilateração devido à quantidade de condições matemáticas; contudo, do ponto de vista prático, é quase impossível estabelecer figuras como essas no campo.

As especificações (IBGE) definem as condições mínimas para a formação de figuras, preferindo-se a configuração em quadrados na manutenção da rigidez das cadeias;


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Pequenas Trilaterações: pequenos triangulos geodésicos podem ser calculados sobre a esfera de curvatura média (teorema de Legendre) fazendo analogia a triângulos planos de lados de mesmocomprimento.

Grandes Trilaterações: o cálculo dos triângulos exige a determinação do excesso esferóide, ao invés do excesso esférico.

A – A' = (ε” / 3) [1 + (a2 + 7b2 + 7c2)/120R2]B – B' = (ε” / 3) [1 + (b2 + 7a2 + 7c2)/120R2]C – C' = (ε” / 3) [1 + (c2 + 7a2 + 7c2)/120R2]

Para triângulos de lados com mais de 300 km, além do cálculo do excesso esferóide, convém levar em conta a variação da curvatura compreendida entre todos os vértices do triângulo.


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SHORAN (Short Range Navigation): São empregadas aeronaves que medem as distâncias a duas estações pelo tempo de resposta de uma onda eletromagnética. Método vantajoso na ligação entre data

geodésicos, e de ilhas afastadas do datum continental.

HIRAN (High Precision SHORAN): Permite a medida de distâncias de até 800km, permitindo estabelecer ligação entre territórios separados por grandes massas de água (usado no Canadáe nas ligações Escócia – Noruega, Escócia – Ilhas Faroe – Islândia – Groelândia – Canadá, Creta – Líbia);

SHIRAN (S-band HIRAN): Projetado para levantamentos geodésicos, baseia-se na diferença de fase entre o sinal de ida e o de volta. Foi usado no Brasil, aprtindo do datum Chuá até fechar na rede de triangulação do Nordeste.


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Redes de Trilateração HIRAN e SHORANhttp://www.floridageomatics.com/publications/gfl/chapter-three.htm

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