UD 03-Probabilidad-Grado 17-18 · DEIOAC – Estadística –Grado UD-3 probabilidad • A todo...

www.upv.es

Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad UD 3

Probabilidad

Grado en Ingeniería Informática

DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad

Introducción

Asumamos que el conjunto de los 131 alumnos querespondieron a la encuesta realizada en clase constituyen unamuestra representativa de los estudiantes de la UPV .

El 30% de las chicas y el 20.9% de los chicos encuestadosmanifestaron considerarse de izquierdas.

¿Puede afirmarse a partir de estos datos, con una razonableseguridad de acertar, que en la UPV la tendencia de izquierdaes mayor en las chicas que en los chicos?

Libro

(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)


Introducción

1) No. Teniendo en cuenta sólo los datos de la muestra no es posible. Si tomáramos otra muestra ¿saldrían de nuevo los mismo porcentajes?

2) Seguro que no. En otra muestra los porcentajes serían diferentes. ¿Serían mayores, menores, muy distintos o similares?

3) Salvo alguna anomalía, es decir, si las diferencias son sólo fruto del azar, los porcentajes serían muy parecidos, pero nunca iguales.

Las técnicas de Estadística Descriptiva vistas (UD2) no son suficientes para contestar a este tipo de preguntas

Inferencia Estadística


Esquema

PoblaciónEstadística descriptiva

gráficos parámetros tablas

muestreo

Inferencia estadística

Muestra

Conclusiones válidas con razonable seguridad Probabilidad

UD2

UD5

UD4

UD3


ContenidoIntroducción1.- Sucesos. Operaciones con sucesos2.- Probabilidad: concepto, cálculo y propiedades3.- Probabilidad de los sucesos 4.- Independencia de sucesos5.- Probabilidad Condicional6.- Teorema de la Probabilidad Total 7.- Teorema de BayesEjerciciosResumen y GlosarioFuentes y Enlaces


E (Espacio muestral): conjunto de valores que puede tomar una determinada variable aleatoria

A (Suceso): cualquier subconjunto A de E

1 - Sucesos y operaciones con sucesos

• Población: conjunto de individuos acerca de los cuales se quiere obtener información o inferir conclusiones.

• Variable aleatoria: valores que toma la característica a estudiar de los individuos de la población.

¡Recordar! UD2

En UD3 …


Sitios web para aprender… jugando

Proyecto Descartes

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Azar_y_probabilidad/index.htm#intro

http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/gallery/recursos_atica/IES%20Campo%20Charro/portada.swf

Proyecto ATICA


Ejemplo: Lanzamientos de un dado• Población = {todos los lanzamientos que se puedan efectuar con el

dado}• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Suceso A: sacar un número par• Suceso B : sacar un número >3

E1

3 4

5 6

2

B

A


• Suceso seguro : es el asociado a E, que es un subconjunto de sí mismo. Para todos los individuos de la población se verifica dicho suceso.

Tipos de sucesos

• Suceso imposible : es el asociado al subconjunto vacío Φ de E. No contiene ninguno de los posibles valores de E, por lo que no existe individuo alguno en la población para el que se verifique dicho suceso imposible.

• Sucesos excluyentes: son aquellos cuya intersección es el suceso imposible Φ.

• Suceso contrario o complementario a uno dado A, es aquél que se verifica si, y sólo si, no se verifica A. Se le representa por No-A(o también por ).


Tipos de sucesos

• Suma o unión de sucesos A y B : es un nuevo suceso C que se verifica si, y sólo si, se verifica al menos uno de los dos sucesos. La suma de dos sucesos A y B se expresa utilizando el signo ∪ (o +) C = A ∪ B

• Producto o intersección de sucesos A y B : es un nuevo suceso Cque se presenta si, y sólo si, se presentan tanto uno como el otro suceso. El producto de dos sucesos A y B lo representaremos como A∩B (o .) .

Los sucesos complementarios son siempre excluyentes, pero no todos los excluyentes son complementarios


• Suceso seguro E• Suceso imposible Φ• Sucesos excluyentes• Suceso contrario o complementario A o No-A• Suma o unión de sucesos A y B A ∪ B• Producto o intersección de sucesos A y B A∩B• Sucesos elementales y compuestos

Tipos de sucesos


Ejemplo 1: Lanzamiento de un dado

Suceso imposible: sacar un 7

E1

345 62Suceso Seguro


• A todo suceso A se le puede asociar un número comprendidoentre 0 y 1 al que se denomina probabilidad de dicho suceso, yse le representa por P(A)

• Interpretación intuitiva: la probabilidad de un suceso es la proporción de individuos de la población considerada en los que se verifica dicho suceso.

2 - Probabilidad: concepto, cálculo y propiedades

PoblaciónMuestra

Frecuencia relativa (%)

% de veces que sale un 5 al lanzar el dado

Probabilidad (tanto por uno)

P(A) =P(Obtener un nº=5)


1. 0 ≤ P(A) ≤ 1

2. P(E) = 1 Probabilidad de sacar un 1, 2, 3, 4, 5 o 6

3. P(No-A) = 1 - P(A) Prob. de NO sacar un 6 = 1 – Prob de sacar un 6

4. P(Φ ) = 0 Probabilidad de sacar un 9

2 - Probabilidad: Propiedades


• En un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso seaproxima cada vez más a su probabilidad teórica a medida que aumentael número de experiencias que se realizan.

Probabilidad: Ley de los Grandes Números

Ley del Azar o

Ley de los Grandes Números

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Azar_y_probabilidad/azar_probabilidad_2.htm

http://www.math.canterbury.ac.nz/~j.stover/math160081/Applets/probability.html


Probabilidad Ejem. 1: Lanzamientos de un dado• Población = {todos los lanzamientos de un dado}• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}• Suceso A: sacar un número par

E1

3 4

5 6

2AL1

L2 L3

L4 L5

L6

L7

L8

...

...

Li

...

Lanzamientos en los que ha salido par se satisface el suceso A

proporción de lanzamientos en los que ha salido par

P(A)

Población


Probabilidad Ejem. 2: Tiempo de búsqueda en HD• Población = {búsquedas de ficheros en un HD}

• Variable aleatoria: tiempo de búsqueda de ficheros en disco duro t

• E (Espacio muestral) = {0,1 0,11, 0,23, …, 0,5} [0,1 , 0,5] seg.

• Suceso A: tiempo de búsqueda menor que 0,23 s t < 0,23

E0,45

0,4 0,16

0,50,01

0,2AB1

B2 B3

B4 B5

B6

B7

B8

...

...

Bi

...

Búsquedas en las que t < 0,23 sse satisface el suceso A

proporción de búsquedas en

las que t < 0,23 s

P(A)

0,21

0,34

...

...

...

...


Probabilidad: Ejemplo 2 (cont.)• Población = {búsquedas de ficheros en un HD}

• Variable aleatoria: tiempo de búsqueda de ficheros en disco duro t

• E (Espacio muestral) = {0,1 0,11, 0,23, …, 0,5} [0,1 , 0,5] seg.

• Suceso A: tiempo de búsqueda menor que 0,23 s t < 0,23

E0,45

0,4 0,16

0,50,01

0,2AB1

B2 B3

B4 B5

B6

B7

B8

...

...

Bi

...

P(A) = 0,325 0,21

0,34

...

...

...

...

32,5 %


¿Cómo se calcula P(A) ?

Cálculo de probabilidades

P( ) = expresión mateA mática

• Existen modelos (expresiones matemáticas) que se adecuan a las diferentes pautas de variabilidad de las variables aleatorias (UD4)

• Binomial

• Poisson

• Exponencial

• Uniforme

• Normal

Pero antes …


• E es finito• Por razones de simetría puede asumirse que la probabilidad es la

misma para cada uno de sus valores

Cálculo de probabilidades: Regla de Laplace

Casos favorablesP( ) = Casos pos

Aibles

La probabilidad de un suceso coincide con el cociente entre el número de valores favorables a dicho suceso y

el número de valores posibles.


Si un dado es simétrico

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzarlo?

¿Por qué?

Ejemplo


Ejemplo Regla de Laplace• Población = {todos los lanzamientos que se puedan efectuar con el

dado}• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Suceso A: sacar un número par

E

1

3 4

5 6

2A Casos favorables

al suceso A

Casos posiblesP(A )=3/6

Todos los valores tienen la misma probabilidad

de salir en cada lanzamiento

E es finito


3 - Probabilidad de los sucesos

• Unión• Intersección• Producto


Probabilidad de la unión de sucesos

E1

3 4

5 6

2

B

A

Suceso A: sacar número parSuceso B : sacar número >3

Suceso C = A ∪ B = {2, 4, 5, 6}

Casos favorables al suceso A

Casos posibles

P(A ∪ B ) = 4/6 = 2/3


El caso general unión de 2 sucesos es:

Propiedades P(A∪B)

El caso general probabilidad de la unión de 3 sucesos es:

P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)

P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) -P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Esta expresión se puede generalizar para la suma de k sucesos

Calcula la P(A ∪ B) del ejemplo anterior con esta expresión y comprueba el resultado obtenido.


Propiedades P(A∪B)

Si los sucesos son excluyentes :

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)P(A∩B)= O

Calcula la P(A) + P(B).

¿Es la misma que P(A ∪ B)?

EjemploSuceso A: sacar número parSuceso B : sacar número 3


Probabilidad de la intersección de sucesos

E1

3 4

5 6

2

B

A


Suceso C = A ∩ B = {4, 6}

Casos favorables al suceso A

Casos posibles

P(A ∩ B )=2/6


Ejemplo• Población = {todos los lanzamientos de un dado}• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}


A y B ¿Son excluyentes?

¿Si sale un número par implica que no puede ser mayor que 3?

P(A ∪ B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) = 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3

NO


Ejemplo• Población = {todos los lanzamientos de un dado}• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Suceso A: sacar un número par• Suceso B : sacar el número 3

A y B ¿Son excluyentes?

¿Si sale un número par implica que no puede ser 3?

P(A ∪ B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) = 3/6 + 1/6 – 0 = 4/6 = 2/3

Sí


EjemploSuceso A: sacar número parSuceso D : sacar un 3

E1

3 4

5 6

2D

A

Suceso C = A ∩ D = {Φ}

A y D son excluyentes, pero NO complementarios

Suceso A: sacar número parSuceso No-A : sacar imparSuceso C = A∩No-A = {Φ}

E1

3 4

5 6

2No-A

A

A y No-A son complementarios (y excluyentes, por tanto)


Leyes de Morgan

Ejemplo 1 (cont.)

A B A B=


E1

3 4

5 6

2

B

A

A B A B=


Supóngase el experimento consistente en lanzar simultáneamente dos dados que sean perfectamente simétricos.

1) ¿Cuál sería la probabilidad del suceso A "en el primer dado se obtiene un 6" ?

2) ¿y la del suceso B "en el segundo dado se obtiene un 6"?

3) ¿Cuál sería el suceso A∪B?

4) ¿Sería su probabilidad mayor, menor o igual que 2/6?

¿Por qué?

Ejemplo


Ejemplo

3) P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)

1) P(A) = 1/6

2) P(B) = 1/6

P(A∩B) = 1/36 ≠ 0

4) P(A ∪ B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 2/6 – 1/36 < 2/6


Ejercicio repaso

• P(A), (B)• Ejemplo de sucesos exluyentes• Ejemplo de sucesos complementarios• P(A ∪ B) por la Regla de Laplace• P(A ∩ B) por la Regla de Laplace• P(A ∪ B) a partir de la propiedad de la union

Suceso A: sacar número parSuceso B : sacar número >3Suceso C : sacar número 2

• Población = {todos los lanzamientos que se puedan efectuar con el dado}• Variable aleatoria: nº de puntos al lanzar el dado• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}


4 - Independencia de sucesosIntuitivamente:

• A el hecho de que se verifique B no afecta, en absoluto, a que se verifique A.

• Que se cumpla B no modifica la probabilidad de A

Cuando 2 sucesos son independientes:

P(A∩B) = P(A).P(B)


Ejemplo sucesos NO independientes

A y B ¿Son independientes?

Si se trata de adivinar, ¿el saber que en una tirada ha salido un número mayor que 3,

aporta información sobre la probabilidad de que el número sea par?

P(A) x P(B) = 1/2 x 1/2 =1/4 P(A∩B) = 1/3

NO son Independientes

SÍ

Lanzamos un dado simétrico y sean los sucesos:A = obtener un número parB = obtener un número mayor que 3


Ejemplo sucesos independientes

A y B ¿Son independientes?

Si se trata de adivinar, ¿el saber que ha salido un as,

aporta información sobre la probabilidad de que la carta sea de oro?

P(A) x P(B) = 4/40 x 10/40 =1/40 P(A∩B) = 1/40

SÍ son Independientes

NO

Sacamos una carta al azar de una baraja española (40 cartas, 10 de cada palo) y sean los sucesos:

A = sacar un as B = sacar un oro


4 - Independencia de sucesos

IndependientesDependientes


Dados dos sucesos A y B, decimos que la

Probabilidad de A condicionado a B

5 – Probabilidad Condicional

P(A/B)

P(A )P( / B) =B AP(B)

es la probabilidad de que se haya presentado el suceso A sabiendo que se ha presentado el suceso B

Se calcula:


Representa la proporción de individuos que verifican el suceso A en la subpoblación constituida por los individuos que verifican el suceso B

4 – Probabilidad Condicional.

PoblaciónMuestra

Frecuencia relativa condicional (%)

% de veces que se cumple A, sabiendo que

se ha cumplido B

Probabilidad (tanto por uno)

P(A/B)

http://setosa.io/conditional/Explicación visual


Ejemplo probabilidad condicional• Población = {todos los lanzamientos de un dado}• E (Espacio muestral) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}


E1

34

56

2

BA/B

Si es >3 3 valores posibles.

De esos 3 valores, hay 2 que son par

P(A/B) = 2/3

¿ P(A/B) ?


Prob Condicional e Intersección de sucesos

P(A )P( / B) =B AP(B)

¿ P(A∩B) ?

P(A )P( / B) =A BP(A)

¿ P(A∩B) ?

Caso general para obtener la probabilidad del producto de 2 sucesos:

Caso particular, cuando los sucesos son independientes:

P(A∩B) = P(A).P(B/A)

P(A∩B) = P(A).P(B)

P(A∩B) = P(B).P(A/B)

DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad 45

Árbol de probabilidadP(A∩B) = P(B/A) P(A) =

1/2 x 2/3 = 2/6A

Par

> 3B

≤ 3

Impar

> 3B

≤ 3

{1,2,3,4,5,6}

{2,4,6}

{1,3,5}

{4,6}

{2}

{5}

{1,3}

probabilidad

P(A∩ ) = P( /A) P(A) = 1/2 x 1/3 = 1/6

P( ∩ B) = P(B/ )P( ) = 1/2 x 1/3 = 1/6

P( ∩ ) = P( / )P( ) = 1/2 x 2/3 = 2/6


Otras equivalencias sucesos independientesDos sucesos A y B son independientes si se verifica:

P(A/ B) = P(A)

P(B/ A) = P(B)

P(A∩B) = P(A) x P(B)

P( ) = P(A/B A/B)

P( ) = P(B/A B/A)

∩P( ) = P( )xA B A P(B)

∩P( ) = P( )xA B A P(B)

∩P( ) = P( )xA B A P(B)

Puedes Usar el árbol de probabilidades


EjemplosEjercicio: Comprobar que cualquiera de las 8 condiciones anterioresimplica a las otras 7

Respuesta en el Anejo al final del tema

Libro(R. Romero, L. Zúnica. Métodos Estadísticos en Ingeniería)

Estudiar en casa


EjercicioEn una baraja española (40 cartas, 10 de cada palo) sea elexperimento aleatorio sacar una carta al azar y considérense:

Suceso A: sacar un as

Suceso B: sacar un oro

1) Calcular: P(A), P(B), P(A∩B), P(A∪B), P(A/B), P(B/A)

2) ¿Son los dos sucesos independientes?

3) Si se trata de adivinar si ha salido un as ¿sirve para algo saber queha salido un oro? ¿Por qué?

4) Calcular:Libro


A B AP( ) B, P ( ), P ( ) y P( )A B


Otro ejemplo: Categoría laboral y Sexo• Población = {todos los empleados de una empresa}• ESEXO = {mujer, hombre}• ECAT LABORAL = {administrativo, seguridad, directivo}• ECAT LABORALX SEXO = {(administrativo,mujer), (administrativo,hombre) …}

• Suceso A: empleado es directivo• Suceso B : empleado es mujer

directivomujer

empleados

BA¿ P(A/B) ?

DEIOAC – Estadística – Grado UD-3 probabilidad50

Probabilidad condicional: Categoría laboral y Sexo

Administrativo Seguridad DirectivoFrecuencias Marginales

De SEXO

Hombre157 27 74 258

54,4%

Mujer206 0 10 216

45,6%

Frecuencias Marginales

De CATEGORÍA

363

76,6%

27

5,7%

84

17,7%474

Nº de mujeres encuestadas

Nº de empleados encuestadosSuponemos Población

Nº de mujeres que ocupan cargo de

directivo

Suponemos que los 474 empleados son los datos de TODA laPOBLACIÓN


Probabilidad condicional: Categoría laboral y SexoFrec. Relativas condicionales de CATEGORÍA en función de SEXO


De SEXO

Hombre

157

60,9%

27

10,5%

74

28,7%

258

54,4%

Mujer206

95,4%

0

0%

10

4,6%

216

45,6%


De CATEGORÍA

363

76,6%

27

5,7%

84

17,7%474

% de las mujeres que son directivas

(10/ 216)%




De SEXO

Hombre157 27 74 258

54,4%

Mujer206 0 10 216

45,6%


De CATEGORÍA

363

76,6%

27

5,7%

84

17,7%474

Frecuencia Marginal de sexoCumplen B

Población

FrecuenciaConjunta

Cumplen A y B


¿ proporción de individuos que verifican el suceso A en la subpoblación constituida por los individuos que verifican el

suceso B ?


P(A )P( / B) =B AP(B)

¿ % de directivos, de entre las mujeres ? (en tanto por uno)

%(A/B) = 10/216 = 4,6 %

P(A/B) = 0,021 / 0,45 = 0,046 Frecuencia

conjunta relativa

Frecuencia relativa marginal de SEXO

Frecuencia relativa condicional

CATEGORÍA / SEXO


Sucesos excluyentes o independientes• En el Ejemplo:

A = obtener un número parB = obtener el número 3

A y B ¿Son excluyentes?, ¿Son independientes?

• En el Ejemplo:A = obtener un asB = obtener un oro

A y B ¿Son excluyentes?, ¿Son independientes?

Si dos sucesos son excluyentes NO son independientes

SI NO

NO SI


Ejemplo de sucesos NO independientes

Problema de Monty Hall

Fragmento película 21 Black Jack (Monty Hall) http://youtu.be/AtFBwUyJJR0

Web explicación y más sobre problema de Monty Hall http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html

Vídeo explicación Problema de Monty Hall http://youtu.be/s4Y7WcTesLM


En un servidor de correo electrónico, el 20% de los correos resultan ser SPAM, mientras que el otro 80% no lo es.

Para discernir entre ambas situaciones se instala un filtro que puede dar positivo en SPAM o negativo. Se sabe que la probabilidad de que el filtro resulte positivo es 0,95 cuando los correos son SPAM y 0,10 cuando los correos no lo son.

a) Elegido, al azar, un correo recibido, ¿cuál es la probabilidad de que al pasar el filtro de positivo?

b) Sabiendo que en un correo el filtro lo ha catalogado como SPAM, ¿cuál es la probabilidad de que sea realmente un correo SPAM?

6 – Teorema de la Probabilidad Total


6 – Teorema de la Probabilidad TotalA = correo es SPAM

= correo No SPAM

B = filtro da positivo

¿ P(B) ?¿ Probabilidad de que al pasar el filtro resulte positivo ?

P(A) = 0,2

P( ) = 0,8

P(B/A) = 0,95 P(B/ )= 0,1

P(B) = P((A∩B) ∪ P( ∩ B)) = P(A∩B) + P( ∩ B) = excluyentes

P(B/A)P(A) + P(B/ )P( ) = 0,95 x 0,2 + 0,1 x 0,8 = 0,27



0,95 x 0,2 = 0,19A

SPAM

+B

-

No SPAM

+B

-

Probabilidadesenunciado

P(A∩ ) = P( /A) P(A) = 0,05 x 0,2 = 0,01

P( ∩ B) = P(B/ )P( ) = 0,1 x 0,8 = 0,08

P( ∩ ) = P( / )P( ) = 0,9 x 0,8 = 0,72



0,95 x 0,2 = 0,19A

SPAM

+B

-

No SPAM

+B

-

probabilidad

P(A∩ ) = P( /A) P(A) = 0,05 x 0,2 = 0,01

P( ∩ B) = P(B/ )P( ) = 0,1 x 0,8 = 0,08

P( ∩ ) = P( / )P( ) = 0,9 x 0,8 = 0,72P(A∪ ) = P(A) + P( )

= 0,8+0,2 = 1

P(todas las ramas) = 0,95+0,05 = 1

P(todas las ramas) = 0,1+0,9 = 1

P((A∩B)∪ P(A∩ ))=0,19+0,01 = 0,2

P( ∩ B)∪ P( ∩ ))=0,08+0,72 = 0,8


Árbol de probabilidad

A = correo es SPAM

= correo No SPAMB = filtro da positivo

¿ P(B) ?

¿ Probabilidad de que al pasar el filtro resulte positivo ?



0,95 x 0,2 = 0,19A

SPAM

+B

-

No SPAM

+B

-

probabilidad

P(A∩ ) = P( /A) P(A) = 0,05 x 0,2 = 0,01

P( ∩ B) = P(B/ )P( ) = 0,1 x 0,8 = 0,08

P( ∩ ) = P( / )P( ) = 0,9 x 0,8 = 0,72



0,95 x 0,2 = 0,19A

SPAM

+B

No SPAM

+B

probabilidad

P( ∩ B) = P(B/ )P( ) = 0,1 x 0,8 = 0,08

P(B) = P((A∩B) ∪ P( ∩ B)) = P(A∩B) + P( ∩ B) = P(B/A)P(A) + P(B/ )P( ) = 0,95 x 0,2 + 0,1 x 0,8 = 0,27

Teorema de la probabilidad total


6 – Teorema de la Probabilidad Total

Ai mutuamente excluyentes

P(Ai)

¿P(B)?

P(B/Ai)

P (B) = P (A1) P (B / A1) + ... + P (An) P (B / An)

P(A1) P(A2) P(A3)

P(A4)P(A5)

P(B/A1)P(B/A2)

P(B/A5)

P(B/A3)

P(B/A4)


En un servidor de correo electrónico, el 20% de los correos resultan ser SPAM, mientras que el otro 80% no lo es.

Para discernir entre ambas situaciones se instala un filtro que puede dar positivo en SPAM o negativo. Se sabe que la probabilidad de que el filtro resulte positivo es 0,95 cuando los correos son SPAM y 0,10 cuando los correos no lo son.

a) Elegido, al azar, un correo recibido, ¿cuál es la probabilidad de que al pasar el filtro de positivo?

b) Sabiendo que en un correo el filtro ha dado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que sea realmente un correo SPAM?

7 - Teorema de Bayes Ejercicio [Examen]


Árbol de probabilidadP(A∩B) = P(A/B) P(B) = 0,19

B+

SPAMA

No SPAM

-

SPAMA

No SPAM

P(A∩ ) = P(A/ ) P( ) =0,01

P( ∩ B) = P( /B)P(B) = 0,08

P( ∩ ) = P( / )P( ) = 0,72A = correo es SPAM= correo No SPAM


?

?

?

?

Apartado anterior

Por diferencia

Árbol anterior


Árbol de probabilidadP(A∩B) = P(A/B) P(B)

B+

SPAMA

probabilidad

A = correo es SPAM

= correo No SPAM


?

P(A/B) = P(A∩B)/P(B) = 0,19 / 0,27 = 0,703

No lo conozco Lo he calculadoantes

P(A/B) = P(A∩B)/P(B) = P(B/A) P(A)/P(B) = 0,95 x 0,2 / 0,27 = 0,703

= 0,19


7 - Teorema de Bayes

Ai mutuamente excluyentes

P(Ai) P(B/Ai)

P(A1) P(A2) P(A3)

P(A4)P(A5)

P(B/A1)P(B/A2)

P(B/A5)

P(B/A3)

P(B/A4)

B asociado a todos ellos

¿P(Ai/B)?∩

i i

N

j=1

ii

j j

P( ) P( )P( )P( ) = =P( ) P(

///

A B A B AA BB A B A)P( )Teorema de la

Probabilidad Total


Continuación ejemplo

Supongamos que en el servidor se reciben unos 2000 correos diarios, y que se borran todos aquellos que dan positivo en la prueba mencionada. ¿Cuántos mensajes no SPAM se borrarán diariamente en promedio? ¿Cuántos correos se catalogarán en promedio erróneamente cada día? Si la prueba da negativa en un correo, ¿cuál es pese a ello la probabilidad de que realmente sea un correo SPAM?

Ejercicio [Examen]


Tengo en cuenta que…..

MONTAJES EN SERIE

Si las K componentes de un dispositivo electrónico se montan en serie, el dispositivo falla cuando falla cualquiera de las componentes

MONTAJES EN PARALELO

Si las K componentes de un sistema se montan en paralelo, el dispositivo funciona mientras funcione al menos una de las K componentes

K

1

2

1 32 K

Fiabilidad dispositivos


SUCESOS

A1 = Duración componente 1 > t

A2 = Duración componente 2 > t

..........................................................

An = Duración componente n > t

D = Duración de las n componente > t

MONTAJES EN SERIE P(D)=P(A1∩A2 ∩ ..... ∩An) =si son independientes = P(A1) . P(A2) . ..... . P(An)

MONTAJES EN PARALELOP(D)=P(A1 ∪ A2 ∪ ..... ∪ An)

Cualquier otro montaje será una combinación de la ∪ e ∩ de los sucesos



Ejercicios


Unión, Intersección y propiedades


Ejercicio 1Si la probabilidad de que un estudiante X suspenda un cierto examen es 0’5, la probabilidad de que un estudiante Y suspenda es 0’2 y la probabilidad de que ambos suspendan es 0’1a) ¿Cuál será el espacio muestral asociado a la prueba? Representa gráficamente E, y los sucesos A={el estudiante X suspende} y B={el estudiante Y suspende}b) ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen?c) ¿cuál es la probabilidad de que ninguno suspenda el examen?d) ¿cuál es la probabilidad de que solamente uno suspenda el examen?

Sol: b) 0,6, c) 0,4, d) 0,5


En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. Supongamos que el 60% de las familias de la ciudad están suscritas al periódico A, el 40% están suscritas al periódico B y el 30% al periódico C. Supongamos también que el 20% de las familias están suscritas a los periódicos A y B, el 10% a A y C, el 20% a B y C y el 5% a los tres periódicos A, B y C.

a)¿Que porcentaje de familias de la ciudad están suscritas al menos a uno de estos tres periódicos?

b)¿Que porcentaje de familias de la ciudad están suscritas únicamente a uno de los tres periódicos?.

Sol: a) 0,85, b) 0,45

Ejercicio 2


Un determinado dispositivo se fabrica a partir de dos componentes CA y CB.

Sean los siguientes sucesos:

A : la componente CA funciona más de 1000 h sin fallar

B : la componente CB funciona más de 1000 h sin fallar

D : el dispositivo conjunto funciona más de 1000 h sin fallar

1) Si CA y CB se montan en serie (el dispositivo falla en cuanto falle alguna de

ellas) ¿qué relación existirá entre D, A y B?

2) Si CA y CB se montan en paralelo (el dispositivo funciona mientras funcione

al menos una cualquiera de las componentes) ¿qué relación existirá entre

D, A y B?

Ejercicio 3 Fiabilidad


Libro



Sol:1) Si CA y CB se montan en serie (el dispositivo falla en cuanto falle

alguna de ellas) ¿qué relación existirá entre D, A y B?

D = A∩B

2) Si CA y CB se montan en paralelo (el dispositivo funciona mientras funcione al menos una cualquiera de las componentes) ¿qué relación existirá entre D, A y B?

D = A ∪ B

Ejercicio 3 Fiabilidad


Una industria fabrica componentes electrónicos (C) que se utilizan en el montajede dispositivos como el de la figura:

Ejercicio 4 2) Preg. 2 - Primer parcial. 31-03-2014

Calcula la fiabilidad a los 5 años del dispositivo D que se muestra en la figura, sabiendoque C1, C2 y C3 son componentes electrónicos de funcionamiento independiente y deidéntica fiabilidad (fiabilidad a los 5 años de 0,287). Define y describe las variablesaleatorias utilizadas, así como lo que se entiende por dicha fiabilidad


Sucesos: • C1= la componente C1 dura más de 5 años• C2= la componente C2 dura más de 5 años• C3= la componente C3 dura más de 5 años• D = el dispositivo dura más de 5 años

Probabilidades:P(C1) = P(C2) = P(C3) = Fiabilidad a los 5 años = 0,287

La fiabilidad a los 5 años del dispositivo (D) se define como:P(D) = P((C1 ∪ C2) ∩ C3) = P(C1 ∪ C2) x P(C3) = = [P(C1) + P(C2) – P(C1 ∩ C2)] x P(C3) = [P(C1) + P(C2) – P(C1 )xP(C2)]xP(C3) = = [2x0,287-(0,287x0,287)]*0,287 = 0,141



Ejercicio 5Fiabilidad de componentesUn dispositivo está formado por tres componentes diferentes CA, CB y CC montadas tal como se refleja en el siguiente esquema:

CA CB

CC

Se asume que un dispositivo formado por componentes enserie funciona sólo si lo hacen todas las componentes, mientrasque uno formado en paralelo lo hace si funciona al menos unade las componentes.


Ejercicio 5 (cont.)Sean los sucesos:A: componente CA funciona correctamente al cabo de 1000 horasB: componente CB funciona correctamente al cabo de 1000 horasC: componente CC funciona correctamente al cabo de 1000 horas

a) Expresar el suceso {Dispositivo sigue funcionando al cabo de1000 horas} a partir de A, B y C.

b) Sabiendo que P(A)=P(B)=P(C)=0,95, calcular la probabilidad de que el dispositivo funcione correctamente al menos 1000 horas, indicando las hipótesis realizadas para dicho cálculo. Sol: 0,995


Un dispositivo está formado por cuatro componentes diferentes CA, CB, CC y CD montadas tal como refleja el siguiente esquema:

Ejercicio 6

Se conoce que la fiabilidad de las componentes CA, CB y CC es del 80% alas 5000 horas, mientras que la fiabilidad de la componente CD es del 95%a las 5000 horas.Obtener la fiabilidad del dispositivo a las 5000 horas de funcionamiento.Sol: 0,992


Sea el experimento aleatoria consistente en lanzar 6 veces un dado simétrico.

Calcular la probabilidad de sacar al menos un 6 en las 6 tiradas.

Sol: 0,67

Ejercicio 7


La probabilidad de que un alumno apruebe Estadística es 0,6, la de que apruebe Inglés es 0,5 y la de que apruebe las 2 es 0,2.

a) ¿Cuál sería la probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas?

b) ¿y la de que no apruebe ninguna?

c) ¿Cuál sería la probabilidad de que apruebe Estadística y suspenda Inglés?

Sol: a) 0,9, b) 0,1, c) 0,4

Ejercicio 8

Ejercicios

(Martínez, Serra y Debón. Problemas de Introducción a la Estadística)


Probabilidad Condicional e Independencia de Sucesos


Ejercicio 9• Sean dos sucesos A y B. Se conoce que:

P(A)= 0,7 ; P(B)=0,6 ;

¿Son independientes los sucesos A y B? Justifica tu respuesta.

Sol: sí son independientes

+ = 0, 58 P(A B)


Si A y B son dos sucesos cualesquiera y P(A) y P(B) son distintas de 0 y B ≠ E, ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son falsas?

a) P(A/B)=P(A B)/P(B)

b) Si A y B son independientes P(A/B)=0

c) Si A y B son mutuamente excluyentes P(A/B)=0

d) Si A B P(A/B)=1

e) Si A B P(A/B)=P(A)

Sol: a) Cierto, b) Falso, c) Cierto, d) Falso, e) Falso

Ejercicio 10


Ejercicio 11Los votantes de derechas de un distrito electoral (suceso D) representan el 2% del total, los de izquierdas (suceso I) el 35% y los de centro (suceso C) el 23%. Por otro lado un 10% de los votantes están afiliados a n determinado sindicato (suceso S). Se sabe asimismo que de los afiliados al sindicato un 80% son de izquierdas y un 20% de centro.Se pide:a) Indicar si son excluyentes los sucesos D y S.b) Indicar si son excluyentes los sucesos I y S.c) Calcular la probabilidad de que un votante sea de centro o esté afiliado al sindicato.d) Indicar si son independientes D y S por un lado de I y de S por el otro.e) Calcular la probabilidad de que un votante sea de izquierdas y esté afiliado al sindicato.

Sol: a) Sí excluyentes, b) Sí independientes, c) 0,31, e) 0,08


Ejercicio 12

Sea la población constituida por las 50 naranjas de una caja, de las queel 10% están heladas. Se extrae una primera naranja al azar y sea A elsuceso "la naranja está helada". Se extrae a continuación (sin volver areponer la primera naranja extraída) una segunda naranja y sea B elsuceso "la segunda naranja está helada".

Calcular: P(A), P(B), P(B/A), P(B/No-A) ¿Son los dos sucesosindependientes?


Libro



Ejercicio 13A, B y C son tres sucesos:• La probabilidad de que ocurra el suceso B habiendo ocurrido el suceso

C es 0’30. • La probabilidad de que ocurra el suceso A habiendo ocurrido el suceso

C es 0’25.• Los sucesos A y C son independientes. • Los sucesos A y B son igualmente probables.• La probabilidad de que ocurra el suceso C es tres veces la probabilidad

de que ocurra el suceso A. • Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes.

¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra ninguno de los tres sucesos ?


Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes


Una empresa que ofrece un determinado servicio por internet trabaja con 3servidores distintos (A, B y C). El 25% de las solicitudes (accesos) de este serviciose ejecutan en el servidor A, el 35% en el servidor B y el resto en el C. Se tieneconstatado que en el caso del servidor A se produce algún error en el 1% de losaccesos, mientras que este porcentaje es del 2% en el caso del servidor B.Además, se sabe que si se elige al azar un acceso, la probabilidad de que tengaalgún error y se haya ejecutado en el servidor C es del 1%.


a) Dada una solicitud al azar, ¿cuál es la probabilidad de que durante el acceso alservidor se produzca algún error? (5 puntos)

b) Sabiendo que un acceso ha sido correcto, calcula la probabilidad de que éstese haya hecho sobre el servidor A. (5 puntos)


a) Dada una solicitud al azar, ¿cuál es la probabilidad de que durante elacceso al servidor se produzca algún error?

Sucesos:A: el acceso se realiza sobre el servidor AB: el acceso se realiza sobre el servidor BC: el acceso se realiza sobre el servidor CE: el acceso es erróneo (se produce algún error)



Ejercicio 15 (Ejercicio 3 UD)En un fábrica de conservas se utilizan dos llenadoras de botes. La primera, que tiene una capacidad de 500 botes por hora, produce un 1% de botes defectuosos y la segunda, cuya capacidad es 1000 botes/hora, produce un 2% de botes defectuosos.

¿A qué probabilidades condicionales corresponden los valores 1% y 2%?

¿Si las dos máquinas funcionan a pleno rendimiento, cuál será el porcentaje de botes defectuosos producidos en total?

Sol: 1,65%

Libro



Ejercicio 15 (Ejercicio 3 UD)Se selecciona un bote de la producción final y se constata que es defectuoso.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la primera de las dos máquinas?

b) Cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda máquina?

Sol: a) 0,2, b) 0,8

Libro



Ejercicio 15 (Ejercicio 3 UD)Se selecciona un bote de la producción final y se constata que es defectuoso. a) ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la primera de las dos máquinas?b) Cuál es la probabilidad de que proceda de la segunda máquina?

( )( )

( )

( ) ( )

11 11

1 21 2

1 0 013 0 19960 0167

BP A .P x ,P A .B AAP ,B P B ,B BP A .P P A .PA A

= = = =

+


Ejercicio 16El 30% de los enfermos de hepatitis que ingresan en un hospital tienen hepatitis obstructiva que exige una intervención quirúrgica, mientras que el otro 70% tienen hepatitis infecciosa que puede curarse con reposo y medicación. Para diferenciar entre las dos situaciones, se realiza una prueba clínica que pude resultar positiva o negativa. Se sabe que la probabilidad que la prueba resulte positiva es 0,95 cuando los enfermos tienen hepatitis obstructiva y 0,10 cuando la tienen infecciosa.

1) Sabiendo que en un enfermo la prueba ha dado positiva, cuál es la probabilidad de que tenga realmente una hepatitis obstructiva?

Libro



Ejercicio 16

A1:”Tener hepatitis obstructiva”A2:”Tener hepatitis infecciosa”B:”la prueba clínica resulta positiva”

P(A1)=0,3P(A2)=0,7P(B/A1)=0,95P(B/A2)=0,1

Sabiendo que en un enfermo la prueba ha dado positiva, ¿cuál es realmente la probabilidad de que tenga realmente una hepatitis obstructiva? (P(A1/B))

Aplicando el Teorema de Bayes………

SUCESOS

PROBABILIDADES

= = =+

1 11

( ) ( / ) 0,3 0,95( / ) 0,8( ) 0,3 0,95 0,7 0,1

P A P B A xP A BP B x x

Sol:


Ejercicio 162) Supongamos que en el hospital se producen unos 150 ingresos anuales por hepatitis, y se opera a todos los enfermos que dan positivo en la prueba clínica.

A) ¿Cuántos diagnósticos erróneos se producirán en promedio anualmente?B) ¿Cuántas operaciones innecesarias se producirán anualmente?

Libro



Ejercicio 161) Supongamos que en el hospital se producen unos 150 ingresos anuales por hepatitis, y se opera a todos los enfermos que dan positivo en la prueba clínica.

A) ¿Cuántos diagnósticos erróneos se producirán en promedio anualmente?B) ¿Cuántas operaciones innecesarias se producirán anualmente?

= = == = =

+ ==

1 1 1

2 2 2

( ) ( ) ( / ) 0,3 0,05 0,015( ) ( ) ( / ) 0,7 0,1 0,07

150(0,015 0,07) 12,75150 0,07 10,5

P A B P A P B A xP A B P A P B A x

x

Sol:


Ejercicio 163) Si la prueba da negativa en un enfermo, cuál es a pesar de eso la probabilidad de que realmente tenga una hepatitis obstructiva?

Libro



Ejercicio 163) Si la prueba da negativa en un enfermo, cuál es a pesar de eso la probabilidad de que realmente tenga una hepatitis obstructiva?

( )( )

( )( )

11 11

0 3 0 05 0 0231 0 645

BP A .PP A .B A , x ,AP ,B P B ,P B

= = = =

−

Sol:


El 50% de la población trabajadora de cierta comarca se dedica al sector de servicios, el 12% a la construcción, el 3% al sector primario y el resto al sector industrial. La tasa de desocupación en el sector primario es del 10%, en el sector industrial del 28%, en la construcción del 30% y en el de servicios del 18,6%.

a) Calcular el porcentaje de parados en la población

b) Calcular el porcentaje de parados que pertenecen al sector industrial

Ejercicio 17


Ejercicio 17

}{}{

0 5 0 186

0 12 0

Sucesos Probabilidades

PASS Ind . S.Servicis P( SS ) , P( ) ,SSPASC Ind . S.Construc P( SC ) , P( ) ,SC

= ∈ = =

= ∈ = =

}{}{

}{

3

0 03 0 1

0 35 0 28

PASP Ind . S.Pr imari P( SP ) , P( ) ,SPPASI Ind . S.Industrial P( SI ) , P( ) ,SI

PA Ind .no trabaja

P( PA)?

PA PA PAP( PA) P( SS ).P( ) P( SC ).P( ) PP( SP ).P( ) P( SSS SC SP

= ∈ = =

= ∈ = =

=

= + + +

0 5 0 816 0 12 0 3 0 03 0 1 0 35 0 28 0 23 23

420 35 0 28 0 098 0 4260 23 0 2

63

PAI ).P( )SI, x , , x , , x , , x , ,

PAP( SI ).P( ) , x , ,SISIP( ) ,PA P( PA) , ,

%

, %

=

= + + + = →

= = = = →

Sol:


Una empresa que se dedica a la fabricación de CD’s, produce un 15% de defectuosos y dispone de tres líneas de producción. La línea A produce 1000 CD’s; la línea B, 1200 CD’s por hora y la línea C, 1250 CD’s por hora. Las proporciones de CD’s defectuosos en cada línea se desconocen. En un estudio sobre los CD’S defectuosos, se ha constatado que el 30% proceden de la línea A y el 35% de la B. Señalar cuál/es de las siguientes afirmaciones es/son falsa/as. Justifica todas tus respuestas.

Ejercicio 18


a) La proporción de CD’s defectuosos de la línea A es del 15.5%

b) La proporción de CD’s defectuosos de la línea B es del 15.1%

c) La proporción de CD’s defectuosos de la línea C es del 14.5%

d) La proporción de CD’s correctos y fabricados por la línea A es del 85%

e) La proporción de CD’s correctos es del 85%

Ejercicio 18


Ejercicio 18

a) La proporción de CD’s defectuosos de la línea A es del 15,5%

}{}{

0 15

1000 0 293450A

Sucesos Pr obabilidades

D CD Defectuoso P( D ) ,

A CD fabricado L P( A ) ,

= =

= = =

}{

}{

0 3

1200 0 348 0 3534501250 0 362 0 353450

0 15 0 30

B

C

AP( ) ,D

BB CD fabricado L P( B ) , P( ) ,D

CC CD fabricado L P( C ) , P( ) ,D

AP( D ).P( )P( AD ) , x ,DDP( )A P( A ) P( A ) ,

=

= = = =

= = = =

= = = 0 129

5 555 1 , %,= →

Sol:


Ejercicio 18b) La proporción de CD’s defectuosos de la línea B es del 15,1%

}{}{

0 15

1000 0 293450A




= =

= = =

}{

}{

0 3

1200 0 348 0 3534501250 0 362 0 353450

0 15 0 350

B

C

AP( ) ,D



BP( D ).P( )P( BD ) , x ,DDP( )B P( B ) P( B ) ,

=

= = = =

= = = =

= = = 15 10 151348

, %,= →

Sol:


Ejercicio 18

c) La proporción de CD’s defectuosos de la línea C es del 14,5%

}{}{

0 15

1000 0 293450A




= =

= = =

}{

}{

0 3

1200 0 348 0 3534501250 0 362 0 353450

B

C

AP( ) ,D



CP( D ).P( )P( DC ) DDP( )C P( C ) P( C )

=

= = = =

= = = =

= = 0 15 0 35 0 145 14 50 362

, %, x , ,,

= = →

Sol:


Ejercicio 18

d) La proporción de CD’s correctos y fabricados por la línea A es del 85%

}{}{

0 15

1000 0 293450A



A CD fabricado L P( A ) , P(

= =

= = =

}{

}{

0 3

1200 0 348 0 3534501250 0 362 0 353450

0 29 1 0 155 0 29 0 845 0 2

B

C

A ) ,D


CC CD fabricado L P(C ) , P( ) ,D

DP( D.A ) P( A ). P( ) , .( , ) , x , ,A

=

= = = =

= = = =

= = − = = 45 24 5, %→

Sol:


Ejercicio 18e) La proporción de CD’s correctos es del 85%

}{}{

0 15

1000 0 293450A


D CD Defectuso P( D ) ,


= =

= = =

}{

}{

0 3

1200 0 348 0 3534501250 0 362 0 353450

0 15 1 1 0 815 0 85 5

B

C

AP( ) ,D


CC CD fabricado L P(C ) , P( ) ,D

P( D ) , P( D ) P( %D ) , ,

=

= = = =

= = = =

= → = − = − = →

Sol:


En un fábrica de montaje de chips se dispone de 3 máquinas distintas (M1,M2 y M3). La M1 monta a un ritmo de 200 chips/h y genera un 1% de chipsdefectuosos, la M2, monta a un ritmo de 300 chips/hora y produce un 2,5%de chips defectuosos, la M3 monta 500 chips/hora y genera un 2% de chipsdefectuosos.

• ¿A qué probabilidades condicionales corresponden los valores 1%, 2,5% y 2%?

• ¿Si las tres máquinas funcionan a pleno rendimiento, cuál será el porcentaje de chips defectuosos producidos en total?

Sol: 1,95%

Ejercicio 19


En un proceso de fabricación de componentes electrónicos utilizan dos líneas de producción diferentes L1 y L2. La línea L2 tiene el doble de capacidad que la línea L1. Desgraciadamente ambas líneas producen componentes defectuosos. La línea L1 produce 0,2% de componentes defectuosos y la L2 0,5%. a) Si las dos líneas de fabricación funcionan a pleno rendimiento, ¿qué

porcentaje de componentes defectuosos se generan? b) En cierto instante el proceso detecta un componente defectuoso,

¿cuál es la probabilidad de que el componente proceda de la línea L2?

Sol: a) 0,0024, b) 0,83

Ejercicio 20


c) ¿Cuál es el porcentaje de componentes correctos fabricados en total por las líneas L1 y L2? Sol: 0,996

d) ¿Cuál es la proporción de componentes defectuosos y fabricados por la línea L1? Sol: 0,0007

e) ¿Cuál es la proporción de componentes defectuosos y fabricados por la línea L2? Sol: 0,003

f) Se ha tomado al azar un componente y ha resultado correcto, ¿cuál es la probabilidad que proceda de la línea L1? Y de la línea L2? Sol: 0,334 y 0,665

Ejercicio 20


Ejercicio 21En cierta área de investigación hay dos empresas (A y B) que se dedicana proporcionar software. La empresa A proporciona el 60% mientrasque la B suministra el 40% de la producción total del softwareespecífico. Por estudios realizados, se conoce que el 85% del softwaresuministrado por la empresa A se ajusta a la normativa de calidadestablecida, mientras que sólo el 65% del suministrado por la empresa Bse ajusta a las normas.

Calcular la probabilidad de que cierto software lo haya proporcionado laempresa A si se sabe que se ajusta a las normas.

Sol: 0,66


Resumen


ProbabilidadSucesos

• Tipos y operaciones

Probabilidad• Concepto• Propiedades• Cálculo: Regla de Laplace

Independencia de sucesos

Probabilidad condicional

Teorema de la Probabilidad Total

Teorema de Bayes



Formulario


Recuerda

Los sucesos complementarios (o contrarios) son siempre excluyentes, pero no todos los excluyentes son complementarios

Los sucesos excluyentes (incluido contrarios o complementario), NO son independientes y viceversa.


Glosario UD 3Árbol de probabilidadCasos favorablesCasos posiblesCondicional (probabilidad)Contrarios o complementarios (sucesos)Espacio muestralExcluyentes (sucesos)Imposible (suceso)Independientes (sucesos)ProbabilidadProducto o intersección (sucesos)Regla de LaplaceSeguro (suceso)SucesoSuma o unión (sucesos)Teorema de BayesTeorema Probabilidad Total


Fin

Fuentes: Romero y Zúnica: “Métodos Estadísticos en Ingeniería” | Instituto Nacional de Estadística (INE) | Martínez, Serra y Debón. Problemas de Introducción a la Estadística |Material docente de R. Alcover (DEIOAC - UPV) | Material docente de V. Giner (DEIOAC - UPV)

Elaborado por E. Vázquez (DEIOAC - UPV)Estas transparencias NO son unos apuntes, son solo un guión de las explicaciones hechas en clase y algunos ejemplos adicionales.

Esta obra está bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 España de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es/

Probabilidad condicional http://setosa.io/conditional/

http://www.estadisticaparatodos.es/taller/montyhall/montyhall.html

Problema de Monty Hall http://youtu.be/s4Y7WcTesLM

21 Black Jack – Monty Hall http://youtu.be/AtFBwUyJJR0

Enlaces de interés:

UD 03-Probabilidad-Grado 17-18 · DEIOAC – Estadística –Grado UD-3 probabilidad • A todo...

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