UAP NOCIONES DE PRUEBA DE HIPÓTESIS.pdf
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1
NOCIONES DE PRUEBA DE HIPTESIS
1 Conceptos bsicos
Prueba de Hiptesis
Una Prueba de Hiptesis es hacer una afirmacin acerca del valor que el parmetro de la
poblacin bajo estudio puede tomar. Esta afirmacin puede estar basada en alguna creencia
o experiencia pasada que ser contrastada con la evidencia que nosotros obtengamos a
travs de la informacin contenida en la muestra.
La prueba de hiptesis involucra una suposicin elaborada sobre algn parmetro de la
poblacin. Se usa una muestra aleatoria para decidir si se rechaza o no la suposicin
planteada. Para tomar esta decisin se establece una regla antes de seleccionar la muestra.
Hiptesis nula H0 Es la hiptesis que se acepta inicialmente como verdadera y cuya
validez ser sometida a la comprobacin experimental.
Hiptesis alterna H1 Es la negacin de la hiptesis nula. Es la hiptesis que se acepta en
caso se rechace H0. (H1 es generalmente la hiptesis de investigacin).
Ejemplo 1 H0: El tiempo medio de atencin a un cliente en el mdulo de informacin es de 2,8
minutos o menos.
H1: El tiempo medio de atencin a un cliente en el mdulo de informacin es de ms de 2,8
minutos.
H0: 2,8 minutos H1: > 2,8 minutos
Ejemplo 2 H0: El porcentaje de personas que votar por un candidato es del 50%.
H1: El porcentaje de personas que votar por un candidato es menor al 50%.
H0: p = 0,50
H1: p 0,50
Contraste de hiptesis
El hecho de no rechazar la hiptesis nula no implica que sta sea cierta, significa que los
datos de la muestra no proporcionan evidencia suficiente que contradiga lo supuesto en la
hiptesis nula.
La hiptesis que se contrasta es rechazada o no en funcin de la informacin muestral. La
hiptesis alternativa se especifica como opcin posible si se rechaza la hiptesis nula.
Tipos de errores
Error tipo I
Es el error que se comete al rechazar la hiptesis nula cuando sta es realmente verdadera.
La probabilidad de cometer el error tipo I ( ) se define como: = P (Rechazar H0/ H0 es cierta) se denomina el nivel de significacin de la prueba.
El valor es fijado por la persona que realiza la investigacin, por lo general, en 1%, 5% 10%. Tambin se le llama riesgo
Error tipo II
Es el error que se comete al no rechazar la hiptesis nula H0 cuando sta en realidad es
falsa.
La probabilidad de cometer el error tipo II () se define como:
= P (No Rechazar H0/ H0 es falsa)
Decisin
Rechazar H0 No rechazar H0
H0 cierta Error tipo I Decisin correcta
H0 falsa Decisin correcta Error tipo II
-
2
PASOS A SEGUIR EN UNA PRUEBA DE HIPTESIS
Paso 1: Plantear hiptesis acerca del parmetro . En este curso puede ser , (media
poblacional), 2 (varianza poblacional) o p (proporcin poblacional) 1 - 2 (diferencia
de medias poblacionales) o p1 - p2 (diferencia de proporciones poblacionales) o 2
2
2
1
cociente de varianzas poblacionales
Paso 2: Fijar el nivel de significacin.
Paso 3: Establecer las regiones crticas
Regin crtica La regin crtica o de rechazo de la hiptesis nula H0 es un intervalo de
valores de la estadstica de la prueba que depende del nivel de significacin y de la hiptesis alterna H1.
*Intervalos de valores de la estadstica que se observaran con una probabilidad muy baja
en el caso en que la hiptesis nula fuera cierta.
*La regin crtica se usa para establecer la regla de decisin para la prueba.
Paso 4: Calcular el valor del estadstico de prueba con los datos de la muestra, y la regla
de y la regla de decisin. Tomar la decisin
Regla de decisin
Sea Zc Tc Fc el estadstico de prueba (valor calculado)
Si el estadstico de prueba pertenece a la regin crtica o regin de rechazo se rechaza H0
Si el estadstico de prueba no pertenece a la regin crtica no se rechaza H0
Paso 5. Conclusin dar las conclusiones en el contexto del problema.
Uso de valores p para la toma de decisiones
En la estadstica aplicada los usuarios han adoptado de forma extensa la aproximacin del
valor P. La aproximacin se disea para dar al usuario una alternativa a la simple
conclusin de rechazo o no rechazo
Un valor Pe s el nivel (de significancia) ms bajo en el que el valor observado de la estadstica de prueba es significativo.
El valor P es el nivel de significancia ms pequeo que conduce al rechazo de la hiptesis nula Ho.
El valor P es el mnimo nivel de significancia en el cual Ho sera rechazada cuando se utiliza un procedimiento de prueba especificado con un conjunto dado
de informacin. Una vez que el valor de P se haya determinado, la conclusin en
cualquier nivel particular resulta de comparar el valor P con
1. Valor P rechazar Ho al nivel 2. Valor P > No rechazar Ho al nivel
Clculo del valor p
A continuacin se da la forma de como hallar el p de la prueba dependiendo del
parmetro que se est contrastando
Unilateral
)(1 czzPp
Unilateral
)( czzPp
Bilateral
)(12 czzPp )(1 1 cn ttPp
)( 1 cn ttPp
)(12 1 cn ttPp
-
3
2. PRUEBA DE HIPTESIS PARA UNA MEDIA POBLACIONAL
Caso 1 Prueba de hiptesis para con varianza 2 conocida .Poblacin normal o n30
Procedimiento para realizar la prueba de hiptesis
1. Planteamiento de las hiptesis
Unilateral
01
00
:
:
H
H
Unilateral
01
00
:
:
H
H
Bilateral
01
00
:
:
H
H
2. Fijar el nivel de significacin: para hallar los puntos crticos3. Regiones crticas
4. Clculos: estadstico de la prueba
n
xzc
/
0
1zzc 1zzc
2/1
2/1
zz
zz
c
c
5. Conclusiones.
Ejemplo 1 a. Se trata de probar si el tiempo medio de lmparas fluorescentes
producidas por una cierta empresa que se mantienen encendidas antes de echarse a perder
es a lo ms 1550horas con una desviacin estndar de 120 horas. Para ello se toma una
muestra de 102 lmparas y se dejan encendidas hasta que se apagan. El resultado de la
muestra dio una duracin por da de 1500 horas Utilice un riesgo del 2%
b. Halle el p de la prueba
c. Qu tipo de error se comete?
Solucin
PRUEBA DE HIPTESIS UNILATERAL
1.
01
00
:
:
H
H
?1550:0 H El tiempo medio de lmparas fluorescentes producidas por una cierta empresa que se mantienen encendidas antes de echarse a
perder es a lo ms 1550 horas
1550:1 H El tiempo medio de lmparas fluorescentes producidas por una cierta empresa que se mantienen encendidas antes de echarse a
perder es ms de 1550 horas
2. 02.0
Como alfa =0.02 99.02
101.02
Buscamos en la tabla Z el valor crtico 33.299.01 ZZ
3. Regin crtica o regin de rechazo
4. Estadstico de la prueba
n =102 15501500120 0 x
208.4
102
120
15501500
/
0
n
xzc
Decisin Como ZC < 2.32 NO se rechaza Ho.
5. Al nivel de significancia del 2% hay suficiente evidencia para aceptar que el tiempo
medio de las lmparas fluorescentes producidas por una cierta empresa que se mantienen
encendidas antes de echarse a perder es a lo ms 1550 horas
b. Usando el p de la prueba
05.0101)208.4(1)(1 zPzzPp c No se rechaza H0
c) Se comete Error tipo II
RRRR
RRRA
-
4
Ejemplo 2 Un fabricante de detergente afirma que el contenido de los paquetes que
vende pesa, por trmino medio, al menos 200 gramos. Se sabe que la distribucin de los
pesos es normal, con desviacin tpica de cuatro gramos. Una muestra aleatoria de 16
paquetes da un peso medio muestral de 198,4 gramos. Contrastar, al nivel de significacin
del 10% la afirmacin del fabricante.
Solucin
Caso 2 Varianza 2 desconocida y X tiene Poblacin normal
A continuacin consideramos el caso donde la desviacin estndar de la poblacin se estima mediante la desviacin estndar muestral s. En este caso se puede utilizar la
distribucin t para hacer inferencias acerca del valor de la media de la poblacin.
Procedimiento para realizar la prueba de hiptesis
1. Planteamiento de las hiptesis
Unilateral
01
00
:
:
H
H
Unilateral
01
00
:
:
H
H
Bilateral
01
00
:
:
H
H
2. Fijar el nivel de significacin: para hallar los puntos crticos3. Regiones crticas
4. Clculos. Hallar el valor del estadstico de la prueba
ns
xtc
/
0
1,1 nc tt 1,1 nc tt
1,2/1
1,2/1
nc
nc
tt
tt
5 Conclusiones.
Ejemplo3 Una compaa que se dedica a la venta de franquicias afirma que, por
trmino medio, los delegados obtienen durante el primer ao un rendimiento del 10% (para
clculo tomar 10) en sus inversiones iniciales. Una muestra aleatoria de 10 de estas
franquicias present los siguientes rendimientos el primer ao de operacin
6,1 9,2 11,5 8,6 12,1 3,9 8,4 10,1 9,4 8,9
a. Asumiendo que los rendimientos poblacionales tienen distribucin normal, contrastar la
afirmacin de la compaa.
b. Halle el p de la prueba
c. Qu tipo de error se comete?
Solucin
-
5
Prueba de hiptesis bilateral
1.
?10:0 H
para la compaa que se dedica a la venta de franquicias por
trmino medio, los delegados obtienen durante el primer ao un
rendimiento del 10%
10:1 H Para la compaa que se dedica a la venta de franquicias por trmino medio, los delegados no obtienen durante el primer ao un
rendimiento del 10%
2. 05.0 gl 0.975
Como alfa =0.05 975.02
1025.02
9 2.262
3. Regin crtica o regin de rechazo
4. Estadstico de la prueba
n = 10 100 xS
ns
xtc
/
0
Decisin Como tC cae en la regin se rechaza Ho.
5. Conclusin
Al nivel de significancia del 5%...............................suficiente evidencia para afirmar que
para la compaa que se dedica a la venta de franquicias por trmino medio, los delegados
obtengan durante el primer ao un rendimiento del 10%
b) Hallando el p de la prueba
*212)(12)(12 9tPttPp c p rechazar Ho c. Qu tipo de error se comete?.............................................................................................. ...
Ejemplo 4 Cuando funciona correctamente un proceso produce frascos de champ
cuyo contenido pesa, en promedio 200 gramos. Una muestra aleatoria de nueve frascos de
una remesa present los siguientes pesos (en gramos) para el contenido
214 197 197 206 208 201 197 203 209
Asumiendo que la distribucin de la poblacin es normal, contrastar al nivel del 5%, la
hiptesis nula de que el proceso est funcionando correctamente.
Solucin
Ejemplo 5 Suponga que el peso (en kilogramos) de ciertos paneles publicitarios
sigue una distribucin normal. Para realizar un control de calidad de los mismos, se
tomaron al azar una muestra de 7 de ellos, encontrndose los siguientes resultados:
RRRR
RRRA
RRRR
-
6
Paneles 1 2 3 4 5 6 7
Peso(en kilos) 55,50 56,20 61,00 64,50 67,80 62,10 56,70
a. Se desea probar si las evidencia muestral permiten suponer que el verdadero peso
promedio de estos paneles es menos de 59 kilos. Sabiendo que los pesos siguen una
distribucin normal y = 0,05 b. Halle el p de la prueba
c. Qu tipo de error se comete?
Solucin
Caso 3 Varianza 2 desconocida y n30
Desviacin estndar de la poblacin se estima mediante la desviacin estndar muestral
s
Procedimiento para realizar la prueba de hiptesis
1. Planteamiento de las hiptesis
Unilateral
01
00
:
:
H
H
Unilateral
01
00
:
:
H
H
Bilateral
01
00
:
:
H
H
2. Fijar el nivel de significacin: para hallar los puntos crticos3. Regiones crticas
4. Clculos.
ns
xzc
/
0
1zzc 1zzc
2/1
2/1
zz
zz
c
c
Ejemplo 6 Los inspectores de INDECOPI al investigar el cargo levantado contra una
embotelladora de que no llena adecuadamente las botellas, tomaron una muestra de 100
botellas y encontraron que el contenido tena una media de 31,65 onzas con una desviacin
estndar de dos onzas. Las botellas indican en su etiqueta que contienen 32 onzas. Al nivel
de significacin del 2%.
a. Deberan los inspectores aceptar que las botellas estn siendo llenadas con menos contenido
medio que el indicado?
b. Halle el p de la prueba
c. Qu tipo de error se comete?
Solucin PRUEBA DE HIPTESIS UNILATERAL
1. 32:0 H
El contenido neto de las botellas es por lo menos a 32 onzas
32:1 H ? El contenido neto de las botellas es menos a 32 onzas
-
7
2. 02.0 98.01
3. Regin crtica o regin de rechazo
4. Estadstico de la prueba
n = 100 3265.312 0 xS
75.1
100
2
3265.31
/
0
nS
xzc
Decisin Como ZC se rechaza Ho.
5. Al nivel de significancia del 4% no hay suficiente evidencia para aceptar que la
embotelladora no llena adecuadamente las botellas, es decir, los inspectores de INDECOPI
no tenan razn
b) Usando el p de la prueba
02.00409.0)75.1()( zPzzPp c No se rechaza H0
c. Qu tipo de error se comete?............................................................................................
Ejemplo 7 Una cadena de restaurantes de comida rpida afirma en su anuncio
publicitario: Te atendemos en menos de 3 minutos. Para corroborar esta afirmacin se le encarga a usted verificarla y para ello decide seleccionar al azar una muestra de 50 clientes
de uno de estos restaurantes encontrando que el tiempo promedio de espera era de 2,75
minutos con una desviacin estndar de 1 minuto.
a. Ser cierta la afirmacin dada por esta cadena de restaurantes? Use un nivel de
significancia del 5%.
b. Halle el p de la prueba
c. Qu tipo de error se comete?
Solucin
PRUEBAS DE HIPTESIS PARA UNA PROPORCIN POBLACIONAL
Procedimiento para realizar la prueba de hiptesis
1. Planteamiento de las hiptesis
Unilateral
01
00
:
:
ppH
ppH
Unilateral
01
00
:
:
ppH
ppH
Bilateral
01
00
:
:
ppH
ppH
2. Fijar el nivel de significacin
3. Regiones crticas
4. Clculo del estadstico de la prueba
RRRR
RRRA
-
8
n
qp
ppzc
00
0
1zzc 1zzc
2/1
2/1
zz
zz
c
c
5. Conclusiones
Ejemplo 8 El jefe de personal opina que el 18% de los empleados de la compaa
trabajan horas extras cada semana. El porcentaje observado esta semana en una muestra de
100 empleados es de 9%. Con un nivel de significacin del 5%. La opinin del jefe de
personal ha cambiado?
Solucin
Ejemplo 9 En una encuesta a 400 electores de un distrito, el 52 % estaban de
acuerdo con la gestin del alcalde. Con un nivel de significacin del 5%. Se puede afirmar
que ms de la mitad de los electores del distrito estn de acuerdo con la gestin del alcalde?
Solucin
Ejemplo 10 En abril del 2010 un diario de la capital public en base a una encuesta
realizada por una prestigiosa encuestadora a una muestra de 2735 limeos el siguiente
grfico:
-
9
Es posible concluir en base a la informacin muestral que a lo ms el 60% de los limeos
son trabajadores independientes? Use =0,03
Solucin
Ejemplo 11 Una organizacin de defensa del consumidor afirma que ms del 15% de
los clientes de una compaa que presta servicios de desratizacin necesita que se repita el
proceso despus del perodo de garanta de 90 das. Para determinar la validez de esta
afirmacin, selecciona una muestra aleatoria de 100 clientes y descubre que 22 necesitaron
repetir el proceso despus del perodo de garanta de 90 das. Usando un nivel de
significacin del 5%, hay evidencia estadstica de que la afirmacin sea vlida?
Solucin
PRUEBA DE HIPTESIS PARA DOS VARIANZAS POBLACIONALES
Al comparar las varianzas de dos poblaciones normales usaremos datos obtenidos de dos
muestras aleatorias independientes, una de la poblacin 1 y la otra de la poblacin 2. Las
dos varianzas de las muestras, y sern la base para realizar la inferencia acerca de las dos
varianzas poblacionales 2
2
2
1 y Las muestras son independientes y las poblaciones tienen distribucin normal
Procedimiento para realizar la prueba de hiptesis
1. Planteamiento de las hiptesis
2
2
2
11
2
2
2
10
:
:
H
H
2. Fijar el nivel de significacin: alfa
3. Regiones crticas. F1, F2 valores crticos
-
10
1;1,2
2
12
1
nnF
F
1;1,2
121
nn
FF
4. Estadstico de la prueba
2
2
2
1
s
sFc
n1 : Es el tamao de la muestra de la poblacin 1.
n2 : Es el tamao de la muestra de la poblacin 2. 2
1 : Es la varianza de la muestra de la poblacin 1. 2
2 : Es la varianza de la muestra de la poblacin 2. F: Es la distribucin F con n11 y n21 grados de libertad.
5. Conclusin
Ejemplo 12 .En un estudio de investigacin referente al nmero de accidentes de
trnsito diario que ocurren en Lima segn distrito, realizado por el Diario El Comercio,
destaca que tanto en el Cercado de Lima y en el Distrito de la Victoria en el ao 2008 son
los distritos que presentan mayor incidencia de accidentes. Bajo el supuesto de
normalidad de la variable en estudio. Con un nivel de significacin del 5%, existe
evidencia para afirmar que la variabilidad del nmero accidentes de trnsito diario es
diferente para ambos distritos?
Cercado (1) 70 90 84 65 75 85 71
La Victoria(2) 43 43 51 56 44 64 58
Distrito n media Desviacin
estndar
Accidentes
Cercado 7 77.14 9.263
La Victoria 7 51.29 3.160
Solucin
Ejemplo 13. La empresa de investigacin de mercados ABC realiza un estudio para
evaluar el tiempo que pasan conectados a Internet, por mes, adultos y jvenes de los
niveles socioeconmicos A y B. En un estudio preliminar, se concluy que, en promedio,
los adultos pasan ms tiempo conectados a Internet que los jvenes. Suponga que para
confirmarlo esta empresa toma una muestra de 25 adultos y otra de 21 jvenes. Las
desviaciones estndar de las cantidades de tiempo que pasan conectados a Internet son 94 y
58 minutos, respectivamente. Estos resultados favorecen la conclusin que las varianzas
de los tiempos que pasan conectados a Internet los adultos es diferente al de los
jvenes? Use alfa= 0,05. Asuma distribucin normal.
Solucin
-
11
Ejemplo 14 Una agencia de Informes de consumidores deseaba comparar el precio de
una marca particular de una calculadora en dos ciudades diferentes: Se seleccion una
muestra aleatoria de seis tiendas en una ciudad y de ocho tiendas en la segunda ciudad, con
los siguientes resultados
Usando un nivel de significacin del 5% se puede confirmar que existe una diferencia
significativa en la variabilidad del precio de la calculadora en las dos ciudades?
Solucin:
PRUEBA DE HIPTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
POBLACIONALES
Caso 1 : Varianzas conocidas de la poblacin, las muestras son independientes y cada una
de las poblaciones tiene distribucin normal o los tamaos de muestra son suficientemente
grandes.
Procedimiento para la prueba de hiptesis
1. Planteamiento de las hiptesis
Unilateral
211
210
:
:
H
H
Unilateral
211
210
:
:
H
H
Bilateral
211
210
:
:
H
H
2. Fijar el nivel de significacin: para hallar los puntos crticos3. Regiones crticas
4. Clculos: Estadstico de la prueba
2
2
2
1
2
1
2121
nn
uuxxzc
1zzc 1zzc
2/1
2/1
zz
zz
c
c
5. Conclusiones
Ciudad 1 10 12 9 14 12 10
Ciudad 2 13 16 8 12 14 13 11 14
-
12
Ejemplo 15 Se llev a cabo un estudio para comparar el tiempo que toma a los
hombres y mujeres efectuar determinada maniobra en una lnea de ensamble. Se utilizaron
muestras independientes de 50 hombres y 50 mujeres en un experimento en el cual se
tomaba a cada persona el tiempo para hacer tareas idnticas. Los resultados fueron los
siguientes:
Datos N 2 x Hombres1 50 18 42s
Mujeres2 50 14 38s
Presentaron estos datos la evidencia suficiente como para decir que hay una diferencia
entre los verdaderos tiempos de terminacin para hombres y mujeres? A un nivel se
significancia del 5%
Solucin
Para realizar las pruebas de hiptesis acerca de la diferencia entre las medias de dos
poblaciones con varianzas poblacionales desconocidas y poblaciones independientes que
siguen una distribucin normal, usaremos la distribucin t.
Aqu las varianzas poblacionales, pueden ser similares o diferentes, para ello ser
necesario realizar previamente la prueba de la razn de las varianzas poblacionales. Esto
afectar al clculo del error tpico de la diferencia de medias muestrales y el grado de
libertad del estadstico de prueba.
Caso 2 y 3 Varianzas desconocidas pero iguales o diferentes, las muestras son
independientes y las poblaciones tienen distribucin normal.
Procedimiento para la prueba de hiptesis
1. Planteamiento de las hiptesis
Unilateral
211
210
:
:
H
H
Unilateral
211
210
:
:
H
H
Bilateral
211
210
:
:
H
H
2. Fijar el nivel de significacin: para hallar los valores crticos3. Regiones crticas
4. Clculos: estadstico de la prueba
Si las varianzas poblacionales son similares
221
21
2
2121
11
nn
p
c t
nnS
uuxxt
2
11
21
2
22
2
112
nn
snsnS p
Si las varianzas poblacionales son diferentes
vc t
n
s
n
s
uuxxt
2
2
2
1
2
1
2121
2
11 1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
n
n
s
n
n
s
n
s
n
s
v
Rechazar Ho si
-
13
1,1 nc tt 1,1 nc tt
1,2/1
1,2/1
nc
nc
tt
tt
5. Conclusiones.
Ejemplo 16 Ciertos observadores de medios afirman que la cantidad promedio de
minutos dedicados a las noticias de negocios y finanzas durante los noticieros de dos
canales de televisin no son similares. Para cada canal, seleccionaron de manera aleatoria
e independiente diez emisiones semanales y observaron durante la transmisin la cantidad
de minutos dedicados a la noticia de negocios y finanzas. Los tiempos medidos en estas
muestras independientes se presentan a continuacin. Asumiendo normalidad en las
poblaciones y varianzas similares en el tiempo que dedican a las noticias de negocios y
finanzas, es correcta la afirmacin de los observadores utilizando un nivel de significacin
del 5%?
Canal
8 (1) 3,8 2,7 4,9 3,4 3,7 4,5 4,2 2,8 3,5 4,6
Canal
10 (2) 3,6 4,0 4,5 5,2 4,8 4,3 5,7 3,5 3,7 5,8
Solucin
Ejemplo 17. Usted desea determinar si un cambio en os procedimientos has
disminuido el tiempo que su empresa se demora instalando el servicio de televisin
por cable en el domicilio del cliente. Para ello, posee los siguientes registros de
muestras aleatorias para el procedimiento viejo, tiene una muestra de 25 instalaciones
con un promedio muestral de 149 minutos y desviacin de 21 minutos, para el nuevo,
31 instalaciones con promedio muestral de 135 minutos y desviacin de 19 minutos.
a. Se desea saber si las varianzas de los procedimientos son iguales. Existe evidencia de diferencia en las varianzas, con una probabilidad
de incurrir en error tipo I del 1%?
Solucin
Se desea comparar las varianzas del procedimiento antiguo y del nuevo, a las cuales
se llamar respectivamente X;Y.
1ro PRUEBA DE HIPTESIS BILATERAL
2
2
2
11
2
2
2
10
:
:
H
H
2. Fijar el nivel de significacin: alfa=0.01= Error tipo I
3. Regiones crticas. F1, F2 valores crticos
3484.087.2
1
1
1
24,30,005.0
1;1,2
2
12
F
FF
nn
30,24,005.0
1;1,2
121
F
FFnn
2.73
n1 =25: tamao de la muestra de la poblacin 1. n2 =31: tamao de la muestra de la
poblacin 2. 2
1 : Es la varianza de la muestra de la poblacin 1. 2
2 : Es la varianza de la muestra de la poblacin 2. F: Es la distribucin F con n11 =24y n21=30 grados de libertad.
-
14
4. Estadstico de la prueba
2216.119
212
2
2
2
2
1 s
sFc
No Rechazo H0
5. Al nivel de significancia del 1% No existe evidencia de diferencia en las varianzas.
b. Existe evidencia de disminucin de los tiempos de instalacin, si usted desea correr
un riesgo mximo del 0.5% es decir que existe una disminucin, cuando en realidad
no la hay?
Solucin
1.
211
210
:
:
H
H
2. Fijar el nivel de significacin: =0.5% = 0.005 para hallar los valores crticos3. Regiones crticas
3. Clculo estadstico de la prueba
4.
6154.2
31
1
25
19137.19
0135149
11
21
2
2121
nnS
uuxxt
p
c
221
2
22
2
112 9137.192
11
nn
snsnS p
No rechazo H0
5. No existe evidencia para rechazar la igualdad de las medias.
c. Calcule la probabilidad de afirmar que no existe evidencia de disminucin de
tiempos, cuando en realidad dicha disminucin es de 10 minutos
Solucin
La probabilidad aqu solicitada corresponde a la definicin de , la probabilidad de incurrir en el error tipo II.
El valor sensible es una diferencia de 10 minutos.
Dada la conclusin de la prueba, el error tipo II se hace muy relevante para los resultados
de la misma. Es por eso que lo mejor es hallar lo desde el principio de la prueba
En este caso, el valor que separa las reas de rechazo y no rechazo, una vez estudentizado
es 2.6699 del cual se puede obtener el valor 21 xx al despejarlo de la definicin del estadstico de la prueba
msxx
nnS
nnS
uuxxt p
p
c
2924.1400723.0)9137.19(6699.2
0733.011
9137.196699.211
21
21
22
21
2
2121
De donde se debe calcular,
%69.78802.00723.09137.19
02924.14
)2924.14(
5454
21
tPtP
xxP
Como la probabilidad de cometer error tipo II e suficientemente grande como para
revaluar el tamao de muestra de la prueba. Si se supone que la desviacin
poblacional conjunta es de 20.6 (para ello se puede hacer una prueba de hiptesis) el
tamao que se requerira por diseo para alfa=0.5% y beta=5%
RRRR
RRRA
-
15
Sera
tiempos
zzn
yx
152010
645.1576.26.206.20
2
222
2
01
2
11
22
Este resultado implica 152 mediciones para el procedimiento antiguo, y 152 para el
nuevo.
En este caso el experimento deber repetirse.
Ejercicio 18 Un vendedor de jugo de naranja natural compra paquetes de 100 naranjas
de dos tipos y tiene la sospecha que la cantidad promedio de jugo extrado de la naranja
tipo 1 es mayor al del tipo 2. Al seleccionar al azar 10 paquetes de cada tipo de naranja y
anotar la cantidad de jugo extrado (en litros) obtuvo los siguientes resultados:
Tipo 1 20,3 22,5 23,3 29,1 26,5 22,1 20,8 28,6 23,3 21,5
Tipo 2 23,5 26,5 28,6 21,5 26,4 27,9 26,5 25,5 26,7 28,9
Adems se sabe que el vendedor compra mensualmente paquetes del tipo 1 y 2. Utilice un
nivel de significacin del 5% para corroborar su afirmacin.
Solucin
Ejemplo 19 El Gerente de Ventas de la compaa M&E desea analizar 2 tcnicas de
ventas A y B, para ello seleccion al azar 2 muestras aleatorias independientes de 31 y 41
vendedores que aplicaron las 2 tcnicas, obteniendo como resultado ventas promedio de 37
y 35 mil soles y varianzas de 21 y 9 (mil soles)2 respectivamente. Al nivel de significacin
del 5%.
a. Se puede inferir que la variabilidad de las ventas para las 2 tcnicas son diferentes?
b. Se puede inferir que el valor de las ventas promedio aplicando las tcnicas A y B no
son similares?
Solucin
-
16
Caso 4 Varianzas conocidas de la poblacin, las muestras son independientes y tiene
tamaos de muestra suficientemente grandes.
Procedimiento para la prueba de hiptesis
1. Planteamiento de las hiptesis
Unilateral
211
210
:
:
H
H
Unilateral
211
210
:
:
H
H
Bilateral
211
210
:
:
H
H
2. Fijar el nivel de significacin: para hallar los puntos crticos3. Regiones crticas
4. Clculos: Estadstico de la prueba
2
2
2
1
2
1
2121
n
s
n
s
uuxxzc
1zzc 1zzc 2/12/1 zzzz cc
5. Conclusiones
Ejemplo 20 El centro de exmenes del Touring Automvil Club del Per sostiene que
el puntaje promedio obtenido por los hombres al rendir el examen escrito para obtener la
licencia de conducir es mayor al puntaje promedio de las damas al rendir el mismo examen.
Para probar esta hiptesis la institucin tom dos muestras de postulantes que rindieron el
examen la ltima semana, obtenindose los siguientes resultados:
Hombres Mujeres
Tamao de muestra 41 46
Promedio 25,45 17,68
Desviacin estndar 1,3 1,2
Si se muestrearon dos poblaciones independientes se puede afirmar con un nivel de
significacin del 5% que es cierto lo manifestado por el centro de exmenes de esta
institucin?
Solucin
-
17
PRUEBA DE HIPTESIS PARA DOS MEDIAS POBLACIONALES PAREADAS:
MUESTRAS DEPENDIENTES
La prueba estadstica t de Student para muestras dependientes es una extensin de la
utilizada para muestras independientes. De esta manera, los requisitos que deben
satisfacerse son los mismos, excepto la independencia de las muestras; es decir, en esta
prueba estadstica se exige dependencia entre ambas, en las que hay dos momentos uno
antes y otro despus. Con ello se da a entender que en el primer perodo, las observaciones
servirn de control o testigo, para conocer los cambios que se susciten despus de aplicar
una variable experimental.
En el diseo con muestras pareadas o dependientes se someten a prueba dos medias
poblacionales bajo condiciones similares; por consiguiente, este diseo conduce con
frecuencia a un menor error muestral que el diseo con muestras independientes.
Procedimiento para la prueba de hiptesis
1. Planteamiento de las hiptesis
Unilateral
211
210
:
:
H
H
Unilateral
211
210
:
:
H
H
Bilateral
211
210
:
:
H
H
2. Fijar el nivel de significacin: para hallar los puntos crticos3. Regiones crticas
4. Clculos: Estadstico de la prueba
n
s
udt
d
d
c
d:es la diferencia delapar de datos; de estos datos se obtiene la media y la desviacin
1,1 nc tt 1,1 nc tt
1,2/1
1,2/1
nc
nc
tt
tt
5. Conclusiones
Ejemplo 21 La publicidad del gimnasio Gym Center asegura que al trmino del curso
de 6 meses que ofrece se obtendr una efectiva prdida de peso corporal. Una muestra
aleatoria de 8 registros seleccionados al azar de este gimnasio permiti observar el peso
corporal (en Kilos) entre los meses de febrero a julio de 8 participantes que asistieron al
curso. Los resultados se muestran a continuacin:
Participante 1 2 3 4 5 6 7 8
Febrero
2011
70 103 63 73 95 74 83 77
Julio 2011 69 93 66 71 88 68 77 74
a. Si los pesos corporales se distribuyen normalmente y con un nivel de significancia del
5%, se puede afirmar que lo ofrecido por este gimnasio es cierto?
b. Halle el intervalo de confianza
Solucin
-
18
Ejemplo 22 Doce individuos participaron en un experimento para estudiar la
efectividad de cierta campaa publicitaria, registrndose la informacin de sus consumos
realizados (en soles) antes y despus de observar por televisin la publicidad de dicho
producto. Los datos que se presentan a continuacin:
Sujetos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Antes (1) 201 231 221 260 228 237 326 235 240 267 284 201
Despus (2) 200 236 216 233 224 216 296 195 207 247 210 209
a. Con un nivel de significacin del 5% se puede concluir que la campaa publicitaria es
efectiva para aumentar los niveles de consumo de dicho producto? Asuma normalidad.
b. Halle el intervalo de confianza
Solucin
PRUEBA DE HIPTESIS PARA DOS PROPORCIONES POBLACIONALES
En las pruebas de hiptesis en las que el valor hipottico de (p1 p2) es cero, el cero indica que no hay diferencia entre las dos proporciones poblacionales, p1 y p2.
En este caso se deben combinar las dos proporciones muestrales para obtener un estimado
de la proporcin poblacional. Si el valor hipottico de (p1 p2) es diferente de cero, entonces utilizaremos las proporciones muestrales para estimar el error tpico de la
diferencia de proporciones muestrales.
1. Planteamiento de las hiptesis
Unilateral
211
210
:
:
ppH
ppH
Unilateral
211
210
:
:
ppH
ppH
Bilateral
211
210
:
:
ppH
ppH
2. Fijar el nivel de significacin y hallar los valores crticos
3. Regiones crticas
4. Clculo del estadstico de la prueba
21
21
21
2211
21
2121
11)1(
nn
xx
nn
pnpnp
nnpp
pppp
zc
2
2
1
1
2#1#
n
muestralaenxitosdep
n
muestralaenxitosdep
1zzc 1zzc
2/1
2/1
zz
zz
c
c
5. Conclusiones
Ejemplo 23 En una encuesta realizada el ao pasado se determin que 20% de 505
hombres y 25% de 426 mujeres encuestados, estaban a favor de prohibir la venta libre de
cerveza, vinos y licores en el pas. Con un nivel de significacin del 5%, considera usted
que las mujeres favorecen ms a la prohibicin?
Solucin
-
19
Ejemplo 24 La asociacin de ex alumnos de la Facultad de Ingenieras y arquitectura
ha seleccionado una muestra aleatoria de 100 graduados en el 2 010. En la muestra, 36
fueron de ingeniera de Sistemas e ingeniera Industrial y 64 de las otras especialidades.
Los resultados de cada muestra indican que 15 egresados de cada especialidad ganan por lo
menos 3 000 $ mensuales . Al nivel de significacin del 5% Existe diferencia entre la
proporcin de graduados de ingeniera de Sistemas e ingeniera Industrial y los egresados
de otras materias que ganan cuando menos 3 000 dlares mensuales?
Solucin
Ejemplo 25 Se tiene la siguiente informacin muestral resultante de una encuesta
realizada a alumnos de dos universidades:
Correo electrnico preferido
Hotmail Gmail Yahoo
Universidad A 85 75 95
Universidad B 107 98 65
Es posible afirmar que la proporcin de alumnos de la universidad A que no prefieren el
correo electrnico Gmail es mayor a la proporcin de alumnos de la universidad B? Utilice
un nivel de significancia del 1%.
Solucin