UACH Fisica en La Medicina 03 Hidrodinamica

Hidrodinámica

en la Medicina

Dr. Willy H. Gerber

Objetivos: Comprender como fluye la sangre y que aspectos se deben

considerar en un modelamiento.

www.gphysics.net – UACH-2008-Fisica-en-la-Mediciona-03-Hidrodinamica–Version-03.09

Dr. Willy H. Gerber

Instituto de Fisica

Universidad Austral

Valdivia, Chile

Existen dos tipos de flujo: laminar y turbulento

Dos tipos de flujo


El tipo de flujo depende del numero de Reynold

ρ Densidad [kg/m3]

v Velocidad [m/s]

Que tipo de flujo tenemos? - Numero de Reynold

v Velocidad [m/s]

r Largo característico (ej. Radio) [m]

A Sección [m2]

η Viscosidad dinámica [Pa s = kg/ms]

ν = η/ρ Viscosidad cinética [m2/s]

En el caso de la sangre:

ρ 1g/cm3 = 1x103 kg/m3

η 3.2 mPa s = 3.2x10-3 Pas

v 1.3mm/s = 1.3x10-3m

r 20µm = 2.0x10-5 m

ν = 3.2x10-6 kg/m s

Re = 8.14x10-3


Diametro Numero Seccion Largo

Elemento mm total cm2 cm Re

Aorta 10.000 1 0.8 40 1.04E+05

Grandes Arterias 3.000 40 3 20 2.93E+03

Ramas arteriales principales 1.000 600 5 10 1.09E+02

Ramas arteriales secundarias 0.600 1800 5 4 2.17E+01

Ramas arteriales terciarias 0.140 76000 11.7 1.4 2.81E-01

Ramas arteriales terminales 0.050 1000000 19.6 0.1 1.28E-02

Ramas arteriales finales 0.030 13000000 91 0.15 2.73E-03

Arteriolas 0.020 40000000 1250 0.2 8.14E-03

Capilares 0.008 1200000000 600 0.1 5.21E-05

Numero de Reynold

Ch

rist

op

hH

art

un

g

Venolas 0.030 80000000 570 0.2 2.78E-03

Ramas venosas finales 0.075 13000000 570 0.15 4.28E-02

Ramas venosas terminales 0.130 1000000 132 0.1 2.23E-01

Ramas venosas terciarias 0.280 76000 47 1.4 2.25E+00

Ramas venosas secundarias 1.500 1800 30 4 3.26E+02

Ramas venosas principales 2.400 600 27 10 1.41E+03

Grandes Venas 6.000 40 11 20 2.15E+04

Vena hueca 12.500 1 1.2 40 1.95E+05

Cuidado: nombres traducidos del alemán, posibles errores

Re >> 50000 flujo turbulento

Re ≈ 2300-50000 transición

Re << 2300 flujo laminar

Mid

izin

isch

eH

och

sch

ule

Ha

nn

ov

er,

Ch

rist

op

h


Composición de la Sangre

a: Glóbulos rojos (eritrocitos)

b: Glóbulos blancos (leucocitos)

c: plaquetas (trombocitos)

d: plasma

45.0%

1.0%

<1.0%

54.0%

6-8 µm

From Wikipedia


Supongamos que la sangre es un liquido

• incompresible y

• de viscosidad homogénea

Las venas y arterias se puede describir en primera aproximación por cilindros:

Modelo

: flujo [m3/s]

: radio [m]

: velocidad [m/s]


El flujo se regiría por la ley de Hagen-Poiseville

Modelo según Hagen Poiseville

: largo del cilindro [m]

: diferencia de presión en el largo L [N/m2]

: viscosidad [N/m3]

que aplica a líquidos “Newtonianos”


En tal caso se puede tratar la sangre como un “circuito” eléctrico definiendo

una Resistencia al fluir:

Ley de Darcy

Modelo “eléctrico” – Ley de Darcy

: “Resistencia” al flujo (resistencia hidráulica) [kg/m4s]


Las mediciones muestran que el flujo puede ser modelado en una primera

aproximacion como lienal con la diferencia de presion (suponiendo un gradiente

minimo) pero que la viscosidad tiene una dependencia mas compleja (velocidad,

posicion en el vaso) que lo que se suponia:

Ley de Darcy

Revision critica del modelo

?

Antes de analizar con mas detalle el problema de la viscosidad se puede ver la

utilidad del modelo “eléctrico” suponiendo que ajustamos siempre la viscosidad.

Microcirculation Laboratory, PennState, Herbert H. Lipowsky


Se puedo modelar una vaso con una estenosis como un elemento de mayor

resistencia:

Efecto de una estenosis – vasos en serie


Al ser el flujo igual y variar solo la resistencia se obtiene una curva para la

caída de presión

Pre

sió

n e

n l

a v

en

a [

Pa

]

Efecto de una estenosis – vasos en serie

Largo de la vena [m]

Pre

sió

n e

n l

a v

en

a [

Pa

]


Use el simulador para poder visualizar el efecto de la obstrucción:

Simulador


El simulador se puede encontrar bajo mySoftware en mi pagina www.gphysics.net

También se puede estudiar como reacciona el sistema cuando existen vasos

paralelos al que esta obstruido:

Modelar una estenosis – vasos paralelos


En este caso se tiene dos variaciones: la roja por el vaso con la obstrucción y

la azul por la parte libre.

Pre

sió

n e

n l

a v

en

a [

Pa

]

Modelando una estenosis – vasos paralelos

Largo de la vena [m]

Pre

sió

n e

n l

a v

en

a [

Pa

]


Existen varios efectos que hacen mas complejo el modelar el flujo sanguíneo

y que le restan precisión al modelo recién mostrado:

La presencia de “cuerpos” dentro del torrente; los llamados

hematocitos que mayormente están compuesto de glóbulos rojos y que

conforman aproximadamente el 44% del volumen

El hecho que por el gradiente de tensiones se deformen dichos

Otros efectos a considerar – la viscosidad variable

hematocitos según su posición en el torrente sanguíneo.

El efecto Fahraeus-Lindqvist según el cual en torrentes de líquidos con

material en suspensión (los hematocitos) por cilindros de radios

menores a 0.3mm dicho material tiende a depositarse en las paredes

obstruyendo el flujo.

Todos estos efectos repercuten sobre la viscosidad tanto en su valor como en

su distribución.


La presencia de hematocitos conlleva a un incremento de la viscosidad

en función de la concentración de estos.

Según un modelo de Einstein la función

es en primera aproximación lineal:

siendo

Efecto de los hematocitos

siendo

Bajo condiciones normales Ht = 45 esto

implica que la viscosidad de la sangre seria

de 3.2 cP = 0.032 P = 0.0032 Pas.

Poise es otra de las unidades de viscosidad dinamica y equivale a

1 Poise (P) ≡ 1 g/cms ≡ 0,1 Pa·s = 0.1 kg/ms

cP es un centi-Poise o 0.01 Poise

Laboratorz of Hemodynamics and Cardiovascular Technology, EPFL, Switzerland


Con mayores velocidades de flujo aumenta la tensión

tensión

Efecto de la deformación y rotación de los hematocitos

Con lo que el glóbulo rojo se

• deforma

• gira en función de la corriente

lo que lleva a una reducción de

la viscosidad a mayores

velocidades

Vesicle micro-hydrodynamics, Petia M. Vlahovska, CM06 workshop I, IPAM, UCLA, 27 march 2006



El efecto de Fahraeus-Lindqvist lleva a que glóbulos rojos se adhieran

a las paredes de las venas

Efecto Fahraeus-Lindqvist

Esto lleva a que la viscosidad se

Reduzca en los bordes y el perfil

De velocidades en función del radio

pierda la típica forma parabólica

Sea mas pareja a lo ancho del

cilindro.

pared

Vesicle micro-hydrodynamics, Petia M. Vlahovska, CM06 workshop I, IPAM, UCLA, 27 march 2006



Por ultimo existen tres otros efectos que no se pueden despreciar y que

afectan el modelar del torrente sanguíneo:

La viscosidad del plasma varia en forma importante con la temperatura

(2% por grado) lo que hace muy distinto analizar el torrente en zonas

como el cerebro (caliente) que en los pies (frio).

Los vasos no cilindros rectos si no “tubos” con deformaciones

Otras limitantes

Los vasos no cilindros rectos si no “tubos” con deformaciones

relevantes.

Las paredes de los vasos tienen propiedades mecánicas siendo en parte

elásticos y no rígidos y pudiendo ser influenciados en forma activa por

el cuerpo.


Conclusión

Para comprender el comportamiento general sin buscar precisión en el

pronostico de valores es recomendable trabajar con modelos análogos

a los circuitos eléctricos tomando en consideración que para la

resistencia no solo se debe trabajar con el radio si no que también con

una viscosidad efectiva según la situación que se estudia.

Conclusiones para la aplicación

Para cálculos mas exactos es necesario primero modelar la viscosidad

en función de la velocidad, concentración de hematocitos, localización

dentro del vaso etc. para proceder a una solución numérica de las

ecuaciones hidrodinámicas (excepto casos aislados que se logren

resolver en forma teórica).


Simulaciones


Contacto

Dr. Willy H. Gerber

[email protected]

Instituto de Fisica

Universidad Austral de Chile

Campus Isla Teja

Casilla 567, Valdivia, Chile


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