U6 Estadística

8/14/2019 U6 Estadstica

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MINISTERIO DE EDUCACIN, CIENCIA YTECNOLOGA 79

Con esta unidad se inicia una serie dedicada a la Geometra, la parte de la Matemtica que estudia las

formas y las medidas de las figuras, los cuerpos y los espacios.

Los objetos de estudio de la Geometra constituyen elementos e ideas abstractas que sirven para estudiar

los objetos reales. As, una figura plana como el crculo se puede asociar con la imagen que vemos de la

luna llena, y un cuerpo como el cilindro, con la forma del tronco de un rbol.

Los primeros conocimientos geomtricos se remontan a la Antigedad, y surgieron a partir de

la observacin del cielo y de la naturaleza. En las unidades 1 y 2 de Ciencias Naturales, dedicadas a la

Astronoma, pudiste ver cmo interviene la Geometra en el estudio de los astros y planetas, y las

relaciones entre ellos.

La palabra geometra quiere decir medida de la Tierra, y viene del griego:geo, tierra ymetro, medida.

Los pueblos antiguos usaron la Geometra para resolver problemas de la vida cotidiana, como medir y

dividir la tierra para cultivar, construir viviendas y edificios sagrados, inventar diferentes clases de objetos

como medios de transporte, utensilios, armas para la guerra, y tambin crear coreografas para las dan-

zas rituales. Por ejemplo, los babilonios y los egipcios tenan conocimientos prcticos acerca de los temas

que vas a ver en esta unidad: los tringulos y los ngulos. Con posterioridad, esos conocimientos pasaron a

los griegos, que dieron a la Geometra su carcter de ciencia.

En Geometra, como en otras reas del conocimiento matemtico, es tan importante el proceso de razona-miento que lleva a la solucin de un problema como su resultado final. En esta unidad encontrars algunoscaminos para la exploracin de figuras geomtricas en la seguridad de que el dilogo con tus compaeros ytus maestros te llevar a descubrir otros procedimientos posibles. Vas a realizar actividades para descubrir laspropiedades de las figuras triangulares.

En la actividad 1 estudiars algunas propiedades de los ngulos de un tringulo. Necesitars papel, tijeras,tiles de Geometra.

a) Si observs qu tipo de construcciones hay en el lugar donde vivs, podrs ver que algunastienen formas triangulares. Qu otros objetos o construcciones conocs que contengan figuras

triangulares? Dnde estn? Por qu ser que en las grandes construcciones que muestran las fotos,

los arquitectos e ingenieros que las disearon decidieron usar estructuras en forma de tringulos?

UNIDAD 6 Tringulos

TEMA 1: LOS TRINGULOS Y SUS ELEMENTOS

06 Matematica 7-Unidad 6 9/13/07 7:18 PM Page 79


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A medida que avances en la resolucin de las actividades de esta unidad vas a encontrar las respuestas a estasy otras preguntas a travs del conocimiento de las propiedades de los tringulos. Por ejemplo, si se unen tresvarillas formando un tringulo, la rigidez de su forma lo hace tan slido y tan fuerte que se torna indeformable.Entre las actividades propuestas a continuacin, algunas requieren dibujar o construir. En algunas ocasionestendrs que colocar figuras; es importante que lo hagas para que puedas moverlas libremente.

Si se quiere limitar una superficie plana con trazos rectos es necesario considerar por lo menos tres lados.

En cualquier tringulo EST, se pueden reconocer:

- tres lados: ES, ST, ET- tres vrtices: E, S, T- tres ngulos interiores: EST, STE, TES- seis ngulos exteriores: , , , , ,

En la actividad 2 vas a usar hojas de papel transparente o de calcar, hilo y algunos sorbetes. Separ algunossorbetes para otras actividades.

1. Suma de los ngulos interiores

a) Dibuj en una hoja de papel grueso un tringulo PRQ cualquiera y recortalo.

1. Usalo como molde para dibujar otro tringulo PRQ igual en tu carpeta.

2. Ponele letras a los vrtices del tringulo dibujado y las mismas letras en los ngulosdel tringulo de papel.

T

E

S

UNIDAD 6

SecretaradeTurismodelaN

acin

MinisteriodeEducacinyCiencia

deEspaa



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3. Romp en tres pedazos el tringulo de papel de modo que cada trozo contenga uno de losngulos y peg los trozos en tu carpeta, uno a continuacin del otro, haciendo coincidir

los vrtices de los ngulos, como muestra la figura 2.

b) Respond en tu carpeta:

1. La suma de los ngulos interiores del tringulo PQR, a cuntos ngulos rectos equivale?

2. Compar tu respuesta con las de otros compaeros y cada uno escriba en su carpeta unaconclusin general.

c) Cres que es verdadero o falso que en cualquier tringulo STL el ngulo exterior con vrticeen L es igual a la suma de los ngulos interiores Ty S?

1. Para comprobarlo, dibuj el tringulo en una hoja y recortalo. Us el recurso de romper entres trozos el tringulo recortado como hiciste en la parte a) de esta actividad y de esta maneracompar la suma de los ngulos interiores Ty S con el ngulo exterior en L.

2. Hac lo mismo con los otros ngulos exteriores y repet tu exploracin con dos o mstringulos diferentes. Compar tu trabajo con el de otros compaeros.

3. Peg en tu carpeta las figuras con las que trabajaste en esta actividad, en el orden que quieras;luego copi y complet el texto siguiente:

En cualquier tringulo, uno de sus ngulos exteriores es equivalente a la suma d

R

QP

P

Q R

T

S L

figura 1 figura 2

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En las cuatro actividades que siguen vas a aprender diferentes formas en las que se pueden clasificar los trin-gulos y las vas a aplicar. Para eso trabajars con distintos tipos de tringulos y vas a conocer un sistema paraclasificarlos.

2. Clasificacin de tringulos segn sus lados

a) Prepar una coleccin de sorbetes recortados: 3 largos (aproximadamente de 8 cm), 3 cortos(aproximadamente de 4 cm) y tres medianos.

b) Tom 3 sorbetes de diferente longitud (comprob que son diferentes ponindolos en escalera)

y pasales el hilo para que se forme un contorno triangular. Copi el contorno en tu carpeta. Poncomo ttulo: Clasificacin de tringulos segn sus lados.

Los tringulos que tienen sus tres lados diferentes se llaman escalenos.

c) Cambiando un solo sorbete de tu tringulo escaleno y usando los sorbetes que tens recortados,form un tringulo que no sea escaleno. Observ que esta vez los lados no son todos diferentes

entre s.

d) Escrib en tu carpeta qu relacin hay entre las longitudes de los lados de este nuevo tringulo.El tringulo que construiste y los que construyeron tus compaeros, no son escalenos: tienen

dos lados iguales.

Los tringulos que no son escalenos se llaman issceles.Los tringulos issceles que tienen tres lados iguales se llaman equilteros.

3. Familia de tringulos

a) Calc los tringulos de la siguiente coleccin de fichas en papel de calcar y despus recortlas fichas.

b) Para explorar los tringulos dibujados en las fichas que recortaste, med con la regla cada ladode los tringulos. Anot la medida sobre cada lado.

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4. Clasificacin de tringulos por sus ngulos

En la actividad anterior clasificaste los tringulos por sus lados. Ahora los vas a clasificar por sus ngulos.

Para clasificar los tringulos por sus ngulos es necesario que tengas presente esta informacin:Los ngulos menores que un recto se llaman agudos. Los mayores que un recto se llaman obtusos.Los tringulos, segn cmo sean sus ngulos interiores, se denominan: acutngulos, si todos sus ngulosson agudos, es decir, menores que un ngulo recto; rectngulos, si tienen un ngulo recto yobtusngulos,si uno de sus ngulos es obtuso.

a) Us las fichas con tringulos que recortaste en la parte a) de la actividad 3. Observ cada uno

de ellos y escrib en cada ficha si se trata del dibujo de un tringulo rectngulo, acutngulo u obtu-sngulo. Para decidir qu clase de tringulo es, vas a tener que comparar sus ngulos con un ngulo

recto. Un mtodo prctico para hacerlo consiste en usar como instrumento un ngulo recto de

papel que pods obtener haciendo un doblez en un papel cualquiera y luego otro haciendo coincidir

los bordes del doblez anterior. Si abrs el papel vers que han quedado formados 4 ngulos rectos.

Cuando est doblado te sirve para decidir si otro ngulo es mayor, menor o igual que un recto.

b) Pga las fichas en tu carpeta. Los tringulos ya estn clasificados segn sus lados pues lo reali-zaste en la actividad 3 y tambin, por sus ngulos.

c) Respond en tu carpeta:

1. Se puede dibujar un tringulo rectngulo equiltero? Por qu?

2. Se puede dibujar un tringulo que resulte obtusngulo equiltero? Por qu?

3. Convers sobre estas respuestas con tu maestro y tus compaeros.

5. Clases de tringulos

a) Reunite con un compaero para confeccionar un afiche que muestre cmo se pueden clasificarlos tringulos segn la medida de sus lados y de sus ngulos.

Una posibilidad consiste en completar una tabla como la siguiente, con un dibujo adecuado en

cada caso. Pero no es la nica, pueden elegir otra forma de hacerlo.

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En el tema 1 trabajaste con distintas clases de tringulos observando y comparando los lados o los ngulos.En el tema 2, vas a profundizar en las relaciones que existen entre los lados de un mismo tringulo y segu-ramente vas a poder comprobar si la respuesta que penss ahora para la pregunta del prximo ttulo escorrecta.

Para realizar la actividad 7 necesits cartulina, tijeras y los tiles de Geometra.

6. Relacin triangular

a) Elijan 3 sorbetes de cualquier longitud para formar un tringulo y clasificarlo por sus lados

y sus ngulos. Prueben con distintos sorbetes. Luego respondan en la carpeta.

1. Con cualquier terna de segmentos; es decir, con cualquier conjunto de tres sorbetes,se puede construir un tringulo que los tenga como lados?

2. Pablo tom un sorbete de 12 cm, otro de 5 cm y el tercero de 6 cm; por qu no pudo cerrarun tringulo?

TEMA 2: CON TRES SEGMENTOS, SIEMPRE SE PUEDE CONSTRUIR UN TRINGULO?

Clasificacin segn

Lados

ngulos

Acutngulos

Rectngulos

Obtusngulos

EscalenosEscalenos

Issceles no equilteros

No escalenos: issceles

Issceles equilteros

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3. Qu condicin tienen que cumplir los lados para que se pueda formar un tringulo?

La relacin entre la medida de los lados de un tringulo es muy importante, ya que es sucondicin de existencia y se la conoce como propiedad triangular.

Segn la propiedad triangular, en todo tringulo cada lado es menor que la suma de los otros dosy mayor que su diferencia.

En smbolos:a < b + c a > b + cb < a + c b > a + c

c< b + a c> b + a

(las letras a, b y c representan la medidade cada uno de los lados)

b) Copi la siguiente tabla en la carpeta y respond las siguientes preguntas:

1. Se pueden construir tringulos con las medidas de los lados indicadas en cada rengln?

2. En los casos en que sea posible realizar la construccin, hganla con regla y comps.

c) Clasifiquen los tringulos que dibujaron en acutngulo, rectngulo u obtusngulo. Para ello,anoten la cualidad de cada ngulo (agudo, recto u obtuso) en las figuras realizadas.

a b

c

Lados

a

2,5 cm

7 cm

3,4 cm

7 cm

4,5 cm

b

5 cm

8 cm

9 cm

3,5 cm

4,5 cm

c

8 cm

4 cm

2 cm

3,5 cm

3 cm

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En la actividad 7 vas a construir las piezas de un rompecabezas. Todas las piezas estarn construidas

tomando como base un tringulo equiltero de 2 cm de lado (tringulo base del rompecabezas).

7. Rompecabezas triangular

a) Realiz las siguientes consignas.

1. Recort un tringulo equiltero de cartulina de 2 cm de lado, el tringulo base.

2. Sobre un papel, dibuj las otras piezas del rompecabezas (que despus recortars en cartulina)

utilizando como molde el tringulo base. Debers construir cada nueva pieza buscando que

la superficie del tringulo base sea , , , y de la superficie de cada una de las nuevas

piezas, sin cortar el tringulo base. Por ejemplo, para construir la primera debers utilizar dos

tringulos base. Solamente trabajars con figuras cuyos bordes no presenten hundimientos,

como sucede en este caso:

Si tens alguna dificultad para formar estas piezas, pedile ayuda a tu maestro.

3. Recort las piezas del rompecabezas.

b) Con las piezas que obtuviste debers armar un tringulo equiltero de 10 cm de lado usandosiete piezas diferentes: un tringulo base, un rombo, un tringulo equiltero, dos trapecios, un

paralelogramo y un hexgono.

c) Dibuj en tu carpeta el rompecabezas armado y pint con distintos colores las diferentes piezas.Compar tu rompecabezas armado con los que hicieron otros compaeros; te sorprender ver

que hay ms de una solucin.

d) Copi en tu carpeta la siguiente tabla y completala. Luego, respond las preguntas.

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1. Cres que la variacin entre el nmero de tringulos base de cada pieza del rompecabezas ysu permetro es directamente proporcional? Por qu? Explicalo en tu carpeta.

La siguiente actividad es para que la realicen entre dos o ms compaeros. Podrn analizar con qu datoses indispensable contar para construir un tringulo. Necesitarn hojas, lpices y los tiles de Geometra.

8. Cmo construir un tringulo igual a uno dado?

a) Cada uno de los compaeros dibuje en una hoja un tringulo cualquiera y luego junten todaslas hojas.

b) Repartan los dibujos de los tringulos entre todos, uno para cada uno. Controlen que lestoque uno diferente al que cada uno dibuj.

c) Escriban en otra hoja las instrucciones para que cualquier otro compaero dibuje un tringuloque pueda superponerse exactamente con el que ustedes recibieron.

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Pieza del rompecabezas de10 cm de lado

Fraccin de tringulo

1

2

125

225

425

425

6

8

Nmerode tringulos base

Permetro (en cm)



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d) Intercambien los mensajes entre ustedes y dibujen el tringulo siguiendo las instrucciones

recibidas, sin pedir aclaraciones orales. Pueden emplear los procedimientos de construccinque quieran, por ejemplo, usar regla y transportador, o regla y comps.

e) Superpongan colocando al trasluz, los dibujos y discutan sobre los resultados obtenidos.

Para finalizar

A lo largo de esta unidad, clasificaste tringulos segn sus lados y sus ngulos, y estudiaste propiedadesque tienen muchas aplicaciones en el estudio de otras figuras:

- La suma de los ngulos interiores de un tringulo es equivalente a la suma de dos ngulos rectos.

- En todo tringulo, un ngulo exterior es equivalente a la suma de los otros dos ngulos interiores.

- En todo tringulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

En otras unidades volvers sobre estos conceptos cuando estudies temas de Geometra.

En la unidad 8 vas a trabajar sobre cuerpos geomtricos. En esa oportunidad usars un material que esconveniente que vayas preparando con tiempo. Se trata de construir con cartn (no cartulina) una coleccinde figuras que se conoce como formaedro, por lo menos 6 de cada una, segn los modelos que se muestrana continuacin. Consult con tu maestro cmo construirlo y en qu tiempo.

Para orientarte en la construccin de la figura, observ las fotos de la unidad 8, pginas 101 y 102.

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Consult con tu maestro en qu momento conviene que resuelvas estos problemas de ingenio, curiosida-des y juegos; podrs resolver todos o algunos, en tu casa o en la escuela.

1.Construccin de un tringuloa) Dibuj un tringulo issceles con un ngulo igual a la mitad de un recto.

b) Hall la medida de los otros dos ngulos. Compar tus respuestas con las de tus compaeros.

Cuntas soluciones creen que se pueden obtener al resolver este problema? Por qu?

2. Pares y nonesPuede ser la suma de los quince primeros nmeros naturales impares igual a la suma de los quinceprimeros nmeros naturales pares? Por qu?

3. Tringulos en tringulosa) Dibuj en una hoja un tringulo cualquiera. Recortalo. Marc un segmento que tenga por extremos

los puntos medios de dos lados. Dobl el recorte por ese segmento. Cmo son los tringulos que

quedaron formados? Por qu?

b) Cuntos tringulos como el ms pequeo se necesitan para cubrir el ms grande? Cmo se

puede comprobar?

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