U4: COORDENADAS POLARES, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
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U4: COORDENADAS POLARES,
CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
U4: COORDENADAS POLARES,
CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
Elaboración:
JEANETT LÓPEZ GARCÍA
03-06-2021
1
COORDENADAS POLARES, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS 2
2
❖ Coordenadas polares➢ Transformación entre coordenadas cartesianas y polares➢ Cónicas en coordenadas polares➢ Descripción de curvas en coordenadas polares
❖ Coordenadas Cilíndricas➢ Transformación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas➢ Descripción de superficies en coordenadas cilíndricas
❖ Coordenadas Esféricas➢ Transformación entre coordenadas cartesianas y esféricas➢ Descripción de superficies en coordenadas esféricas
¡No pretendo enseñar fórmulas! Por ejemplo: cómotransformar unas coordenadas esféricas a cartesianas yviceversa:
Coordenadas cartesianas Coordenadas esféricas
1,1,1( ) 3, tg-1 2( ),p
4
æ
èç
ö
ø÷
En Cálculo:
En Geometría o Álgebra:
Coordenadas cartesianas Cooordenadas cilíndricas
Integrales en otros sistemas coordenados
De coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas (cilindro y dos planos)
De coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas (plano, cono y esfera)
d
r
dθd
z
d
z
d
yd
x
d
φ
d
ρ
d
θ
Elementos diferenciales en sistemas coordenados
1. En este caso el objetivo es enseñar qué hacen lasmatrices de rotación sobre tríadas en el proceso detransformaciones de coordenadas.
2. ¿Cuáles son las componentes de la base si estamostrabajando en otro tipo de coordenadas, por ejemplo,coordenadas esféricas o cilíndricas?
3. ¿Cuáles son las propiedades geométricas de unsistema de coordenadas cartesianas?
¿Cómo podemos describir el nuevo sistema primado?
Dada la base ... quiero otra base
¡rotación!
Podemos verificar que los tres vectores de la base de un sistema de coordenadas están relacionados con otra base, a través de la transformación lineal:
Matriz de transformación
Los coeficientes de transformación son iguales a los cosenos directores de los ejes definidos por el sistema primado en relación con el sistema no primado.
Casos particulares: coordenadas esféricas
coordenadas cilíndricas
¿Qué piensan los estudiantes después de la explicación?
ˆ ˆ ˆ, ,i j kVectores unitarios del Sistema coordenado cartesiano
Pero, ¿de dónde vienen?
¿Qué sucede cuando cambiamos de coordenadas cartesianas a cualquier
otro tipo de coordenadas?
Coordenadas curvilíneas(coordenadasgeneralizadas
–Física–)
Superficie q3Superficie q3
Superficie q1
Superficie q2
Coordenadas cartesianasCoordenadas cartesianas
El vector de posición Ԧ𝑟 tiene la misma dirección que elcambio en el vector de posición producido por un aumentoinfinitesimal en la coordenada generalizada
Definimos los vectores unitarios de la base de coordenadasgeneralizadas como:
e1 =
¶r
¶q1
¶r
¶q1
, e2 =
¶r
¶q2
¶r
¶q2
, e3 =
¶r
¶q3
¶r
¶q3
¿Qué sucede con la tríada cuando elegimos un punto que es diferente de (0,0,0)?
ˆ ˆ ˆ, ,i j k
x=constantey=constante
z=constante
x + Δx=constantey + Δy =constantez + Δz=constante
En coordenadas esféricas tenemos dos superficies
curvadas y la tercera es un plano.
Coordenadas esféricas
Mathematica animation
Superficies curvas y su vector normal
¿Qué pasa con el vector normal en el cono?
Vectores normales para esferas
¿Qué sucede con los vectores base en coordenadas esféricas? ˆ ˆˆ, ,r
2-Geogebra program
Superficies curvadas y sus planos tangentes
Plane tangentea la esfera r
Plano tangenteal plano
Plano tangenteal cono
1-Geogebra program
Pudimos ver la gráfica de los nuevos vectores base. Ahorapodemos entenderlos matemáticamente. Tomamos el punto (x=1,y=1,z=1) y si usamos como entrada de la matriz
luego obtenemos los componentes de cada vector base como una combinación lineal de
r = 3,q = tg-1 2( ),f =p
4
æ
èç
ö
ø÷
Con Maple
ˆ
ˆ
ˆ
r
=
Usando la propiedad de que T es una matriz ortogonal, la relación inversa es
O equivalentemente,
TT =T-1
TTT =TTT =1
i
j
k
æ
è
çççç
ö
ø
÷÷÷÷
=
senq cosf cosq cosf -senf
senqsenf cosqsenf cosf
cosq -senq 0
æ
è
ççç
ö
ø
÷÷÷
er
eq
ef
æ
è
çççç
ö
ø
÷÷÷÷
Transformación entre coordenadas cartesianas y esféricasTransformación entre coordenadas cartesianas y esféricas
vs. otras expresiones (¡tenga cuidado!)vs. otras expresiones (¡tenga cuidado!)
𝝆 = constante𝝆 = constante 𝜽 = constante𝜽 = constante
𝝓 = constante𝝓 = constante
o Vector posiciónr = rcosq( ) i + rsenq( ) j + zk
3-Geogebra program
Transformación entre coordenadas cartesianas y cilíndricasTransformación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas
ො𝒆𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝜽, 𝒔𝒆𝒏𝜽
ො𝒆𝜽 = −𝒔𝒆𝒏𝜽, 𝒄𝒐𝒔𝜽
Base canónica (COORD. POLARES):C.RECTANGULARES →C.POLARESC.RECTANGULARES →C.POLARES
C.POLARES →C.RECTANGULARESC.POLARES →C.RECTANGULARES
𝒓 = constante𝒓 = constante 𝒛 = constante𝒛 = constante
𝜽 = constante𝜽 = constante
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REFERENCIAS
• López-García, J., Jimenez-Zamudio, J.J., and Canut-Díaz Velarde, M. E. (2017). Visualization ofOrthonormal Triads in Cylindrical and Spherical Coordinates. Springer Proceedings inMathematics & Statistics (Conference: Special Sessions in Applications of Computer Algebra).Springer Vol. 198 pp. 257-266. DOI: 10.1007/978-3-319-56932-1_17
• Larson R. y Edwards, B. H. (2010). Cálculo 2 De varias variables. México: McGraw Hill.