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1Soluciones a los ejercicios y problemas
PÁGINA 37
R A C T I C A
O p e r a c i o n e s c o n n ú m e r o s e n t e r o s . C a l c u l a d o r a
1 Calcula paso a paso y comprueba el resultado con la calculadora utilizandolas teclas de paréntesis.
a) 2(15 – 7)2 – 43 b) 3 – 2(24 – 3 · 5)5 c) (3 · 52 – 23 · 5) : 7
d) 8(2 – 5)3 : 62 e) 1 – [23(5 – 32)] : 32 f) –[3 – (–7)2] – 24
a) 2 · 82 – 64 = 128 – 64 = 64
b) 3 – 2(16 – 15)5 = 3 – 2 = 1
c) (3 · 25 – 8 · 5) : 7 = 35 : 7 = 5
d) 8(–3)3 : 36 = –216 : 36 = –6
e) 1 – [8(5 – 9)] : 32 = 1 – (–32) : 32 = 1 + 1 = 2
f ) –(3 – 49) – 16 = 46 – 16 = 30
F r a c c i o n e s
2 Agrupa las fracciones que sean equivalentes.
= = = =
3 Simplifica las fracciones siguientes:
= ; = ; = ; = ; = ; =
4 Expresa en forma de fracción la parte coloreada de estas figuras:
Azul = ; rojo = = ; amarillo = = 58
1016
12
816
716
916
225400
52
12550
23
2639
34
5168
1912
11472
25
2460
225400
12550
2639
5168
11472
2460
45
1015
1421
2436
37
1535
2149
37
1535
1015
1421
45
2436
2149
P
Pág. 1
Unidad 1. Los números y sus utilidades I
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1Soluciones a los ejercicios y problemas
5 En cada apartado, reduce a común denominador y ordena de menor a mayor:
a) , , , , b) – , – , – , – c) , – , , – , , –
a) , , , , 8 < < < <
b) – , – , – , – 8 – < – < – < –
c) , , , , , , 8 – < – < – < < <
6 Efectúa y simplifica descomponiendo en factores como en el ejemplo:
• · = = =
a) · b) ·
c) · d) ·
e) · f) ·
a) = = b) = =
c) = = d) = =
e) = = f ) = = 1
7 Expresa como suma de un número entero y una fracción igual que se haceen el ejemplo:
• = = + = 2 +
a) b) c) d) – e) –
a) = = 1 + b) = = 1 +
c) = = 2 + d) – = = –1 –
e) – = = –2 – 13
–6 – 13
73
12
–2 – 12
32
27
14 + 27
167
78
8 + 78
158
35
5 + 35
85
73
32
167
158
85
23
23
63
6 + 23
83
9 · 2 · 5 · 2 · 77 · 5 · 9 · 2 · 2
90 · 1435 · 36
75
13 · 4 · 3 · 74 · 3 · 5 · 13
13 · 8412 · 65
512
9 · 4 · 54 · 4 · 9 · 3
9 · 2016 · 27
53
4 · 3 · 5 · 77 · 3 · 3 · 4
12 · 357 · 36
115
6 · 55 · 5 · 6 · 3
6 · 525 · 18
47
3 · 4 · 55 · 3 · 7
3 · 205 · 21
1436
9035
8465
1312
2027
916
3536
127
518
625
2021
35
15
3 · 5 · 73 · 7 · 5 · 5
15 · 721 · 25
725
1521
1124
512
38
16
53
74
– 4024
1024
– 424
924
– 4224
1124
12
712
58
34
1824
1424
1524
1224
56
710
23
35
815
1630
2130
2030
1830
2530
53
512
16
38
74
1124
34
712
58
12
815
710
23
35
56
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Unidad 1. Los números y sus utilidades I
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1Soluciones a los ejercicios y problemas
C á l c u l o m e n t a l
8 Calcula mentalmente.
a) –17 + (–13) b) –15 + 17 – (–8) c) 5(–7 – 5)
d) –50 – 5(–11) e) –3(6 + 4) + 7 f) (–3)2 – (–2)3
a) –30 b) 10 c) –60
d) 5 e) –23 f ) 17
9 Calcula y simplifica mentalmente.
a) 2 + b) + c) –
d) 2 · e) : 2 f) ·
g) · h) : 3 i) · 21
a) b) c)
d) e) f )
g) h) i) 49
10 Calcula mentalmente el número que se pide en cada caso:
a) Los dos tercios de un número valen 22. ¿Cuál es el número?
b) Los cinco cuartos de un número valen 35. ¿Cuál es el número?
c) Los siete décimos de una cantidad son 210. ¿Cuál es esa cantidad?
a) 33 b) 28 c) 300
O p e r a c i o n e s c o n f r a c c i o n e s
11 Calcula paso a paso y, después, comprueba el resultado con la calculadorautilizando las teclas de fracción y paréntesis.
a) 2 – + : b) – · + – + :
c) 3 – 1 – 2 + (–2) d) – + · : 2 – 1 +
a) + : = 1 + =
b) – + – + = – + – – = –1912
412
912
812)3
413(3
423
43
13
12
16)5
3(35
])53(1
2[)14
23
56
52(3
8)14(2
3
)23
12
13(3
412
43
12
16)1
3(35
47
32
15
13
52
310
34
73
73
127
94
23
13
35
23
54
15
12
14
12
13
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Unidad 1. Los números y sus utilidades I
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1Soluciones a los ejercicios y problemas
c) 3 – · – = 3 – – = – – =
d) – + : 2 – · = : 2 – = : =
PÁGINA 38
12 Calcula y comprueba con la calculadora.
a) · – 2
– – 2
b) 5 : + 12
– 3 : –
c) – 3 – – – 1 · – 3
d) – + 13 – 12
: –
a) · – · = – = 0
b) 5 : – 3 : = – 12 = –
c) – 3 – – – · – = – 3 – – = – (2) = –
d) + 13 · : – = 2 : – = –3
13 Reduce a una fracción.
a) b) c)
a) = b) = – c) = – 74
21—40–3—10
53
–5—123—12
711
7—211—2
7 3— · —8 51 1— – —5 2
1 2— – —4 35 7— – —6 12
13 + —237 – —2
)23()2
3()19
59(
34
38)2
535(3
8])83()3
20(35[3
8
889
209
14
94
124
124
14
16
116
23
)23(])2
3()19
23([
])13()17
20(35[3
8
)14
12()1
2()1
356(1
6)12
34(2
3
114
23
116)4
3(116)8
312()1
656
52(
158
68
38
248
34
38
34
916
23
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Unidad 1. Los números y sus utilidades I
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1Soluciones a los ejercicios y problemas
14 Cuadrados mágicos. Completa cada casilla para que las filas, columnas ydiagonales sumen lo mismo.
a) b)
a) b)
P o t e n c i a s y r a í c e s
15 Calcula las potencias siguientes:
a) (–3)3 b) (–2)4 c) (–2)–3
d) –32 e) – 4–1 f) (–1)–2
g) –3 h) – –2 i) 0
a) –27 b) 16 c) –
d) –9 e) – f ) 1
g) 8 h) 4 i) 1
16 Expresa como una potencia de base 2 ó 3.
a) 64 b) 243 c) d) e) –
a) 26 b) 35 c) 2–5 d) 3–1 e) –(3)–3
17 Calcula.
a) – 1–3
: –2
b) 2 +–2
· 3–2
a)–3
:–2
= –1
= 2 b)–2
· = · =
18 Expresa como potencia única.
a)–3
:2
b) c) + 1–1 3
d)3
:2
a)–5
b) = 22 c)–3
d)–1)1
2()32(2–2
2– 4)34(
)14()1
2(])12([25 · 2–7
2– 4)34()3
4(
149
19
949
19)7
3()12()1
2()12(
)13()1
2()32(
127
13
132
14
18
)43()1
2()12(
5/8 5/4 3/8
1/2 3/4 1
9/8 1/4 7/8
1/6 2/3 5/6
1 1/3 1/3
1/2 2/3 1/2
3/8
1/2 3/4 1
1/6 5/6
1/3
1/2
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1Soluciones a los ejercicios y problemas
19 Calcula utilizando las propiedades de las potencias.
a) b)
c) d)
e) f)
☞ Mira el ejercicio resuelto 2 c) de la página 28.
a) = 23 · 32 = 72 b) =
c) = 2–3 = d) = 34 = 81
e) = 2–5 · 34 = f ) =
20 Simplifica.
a) – 4 b) –3 · (a–1)–2
c) –3 –2 d) –3 –1(a–1 · b)–2
a) = b) · a2 =
c) = a · b2 d) · a2 · b –2 =
21 Calcula.
a) b)
c) d)
a) 2 b) c) d) –1
22 Halla las raíces siguientes:
a) b)
c) d)
a) 6 b) –2 c) –3 d) 4
6√4 0965√–243
7√–1283√216
12
45
5√–13 1√8
16√ 254√16
ba
b3
a3a3 · a–2
b–2
b3
ab 3
a3b2
aa–1
b–2
])ba([)a
b()1a(
)ab(a3
b2)ab(
32
2–5 · 23 · 32 · 3–2
2– 4 · 24 · 2–1 · 3–18132
22 · 32 · 34
23 · 32 · 24
25 · 32 · 2–2
23 · 3–218
2–5 · 26
24
52
32 · 52 · 24
24 · 32 · 2 · 524 · 34 · 26
32 · 27
2–5 · 8 · 9 · 3–2
2– 4 · 42 · 6–162 · 92
23 · (–3)2 · 42
25 · 32 · 4–1
23 · 9–12–5 · 43
16
152 · 42
122 · 1064 · 82
32 · 23 · 24
Pág. 6
Unidad 1. Los números y sus utilidades I
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1Soluciones a los ejercicios y problemas
I E N S A Y R E S U E LV E
23 Una mezcla de cereales está compuesta por 7/15 de trigo, 9/25 de avena yel resto de arroz.
a) ¿Qué parte de arroz tiene la mezcla?
b) ¿Qué cantidad de cada cereal habrá en 600 g de mezcla?
a) Parte de arroz: 1 – + =
b) Trigo = 280 g; avena = 216 g; arroz = 104 g.
24 Los 5/12 de las entradas de un teatro son butacas, 1/4 son entresuelo, y elresto, anfiteatro. De las 720 entradas que tiene el teatro, ¿cuántas son de anfitea-tro? ¿Qué parte del total representan?
· 720 = 300 butaca
· 720 = 180 entresuelo
720 – (300 + 180) = 240 son de anfiteatro
= 8 parte que representan las entradas de anfiteatro.
25 Julia gastó 1/3 del dinero que tenía en libros y 2/5 en discos. Si le han so-brado 36 €, ¿cuánto tenía?
1 – + =
del total son 36 € 8 total = 36 · = 135 €
26 De los 300 libros de una biblioteca, 1/6 son de poesía; 180, de novela, y elresto, de historia. ¿Qué fracción representan los libros de historia?
· 300 = 50 poesía; 30 – (180 + 50) = 70
= son libros de historia.
27 El café pierde 1/5 de su peso al tostarlo. Si que-remos obtener 84 kg de cafétostado, ¿qué cantidad de café tendremos que poner en la tostadora?
del café sin tostar son 84 kg de café tostado.
84 · = 105 kg de café tendremos que poner en la tostadora.54
45
730
70300
16
154
415
415)2
513(
13
240720
14
512
1375)9
25715(
PPág. 7
Unidad 1. Los números y sus utilidades I
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1Soluciones a los ejercicios y problemas
PÁGINA 39
29 Del dinero de una cuenta bancaria, retiramos primero los 3/8 y, después, los7/10 de lo que quedaba. Si el saldo actual es 1 893 €, ¿cuánto había al principio?
Se retiran primero y, después, · = .
La parte que queda es 1 – + = que son 1 893 €.
Lo que había al principio es 1 893 · = 10 096 €.
30 De un depósito de aceite, se vacía la mitad; de lo que queda, se vacía otravez la mitad y, luego, los 11/15 del resto. Si al final quedan 36 l, ¿cuántos había alprincipio?
Sacamos ; después, · = . Queda 1 – – = .
Sacamos · = 8 quedan – = , que son 36 litros.
Lo que había al principio son 36 · 15 = 540 litros.
31 Compro a plazos una bicicleta que vale 540 €. Pago el primer mes los 2/9;el segundo, los 7/15 de lo que me queda por pagar, y luego, 124 €.
a) ¿Cuánto he pagado cada vez?
b) ¿Qué parte del precio me queda por pagar?
a) Primer mes: 540 · = 120 € 8 quedan por pagar 420 €.
Segundo mes: 420 · = 196 €.
Tercer mes: 124 €.
b) Quedan por pagar: 540 – (120 + 196 + 124) = 100 €.
= 8 Parte que queda por pagar.
32 Gasto 1/10 de lo que tengo ahorrado en mi hucha; después, ingreso 1/15 delo que me queda y aún me faltan 36 € para volver a tener la cantidad inicial. ¿Cuálera esa cantidad?
Gasto , quedan ; ingreso · = .
En la cuenta hay 1 – + = de lo que había.
Falta , que son 36 €.
La cantidad inicial es 25 · 36 = 900 €.
125
2425
350
110
350
910
115
910
110
527
100540
715
29
115
1160
14
1160
14
1115
14)1
412(1
412
12
12
163
316)7
1638(
716
710
58
38
Pág. 8
Unidad 1. Los números y sus utilidades I
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1Soluciones a los ejercicios y problemas
33 La diferencia entre las diagonales de un rombo es 14 cm, y la menor es 4/11de la mayor. Halla sus longitudes.
La diferencia entre la diagonal mayor y la menor es 1 – = .
Como son 14 cm, la longitud de la diagonal mayor es 14 · = 22 cm.
La menor mide · 22 = 8 cm.
34 En un rectángulo, la base mide 4 cm más que la altura, y esta es los 7/9 dela base. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?
La diferencia entre la base y la altura es 1 – = de la base, que son 4 cm.
La base mide 4 · = 18 cm, y la altura, · 18 = 14 cm.
El perímetro del rectángulo es (18 + 14) · 2 = 64 cm.
35 Justifica cuál debe ser el valor de a, en cada caso, para que se verifique laigualdad:
a) a3 = 26 b) a–1 = 2 c) =
d) = 1 e) a–2 = f) a–5 = –1
a) a = 22 b) a = c) a =
d) a = 1 e) a = 2 f ) a = –1
E F L E X I O N A S O B R E L A T E O R Í A
36 Busca cuatro números fraccionarios comprendidos entre 1/3 y 1/2.¿Cuántos puedes escribir?
Buscamos fracciones equivalentes a y con un denominador común, por ejem-
plo 36:
= =
Entre y están comprendidas , , , .
Si en lugar de 36 elegimos un denominador común muy grande, podemos escribirtantas como queramos. Hay infinitas.
1636
1536
1436
1336
1836
1236
1836
12
1236
13
12
13
R
1625
12
14
4√a
45
√a
79
92
29
79
411
117
711
711
411
Pág. 9
Unidad 1. Los números y sus utilidades I
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1Soluciones a los ejercicios y problemas
37 ¿Cuál es la fracción inversa de –3/5? ¿Y la de 1/7? Justifica tu respuesta.
La inversa de – es – porque su producto es igual a 1: – · – = 1
La de es 7, ya que · 7 = 1.
38 La raíz de índice par de un número positivo tiene dos valores. Cuando es-cribimos – nos referimos a la raíz negativa. Es decir, – = –2. ¿Cuál es el va-lor de las siguientes expresiones?:
a) – b) c) –
d) e) – f)
a) –8 b) 3 c) –1
d) 1 e) –3 f ) –2
39 ¿Por qué no se puede hallar la raíz de índice par de un número negativo?
Calcula, cuando sea posible, estas raíces:
a) b) c)
d) e) – f)
Porque al elevar un número negativo a un exponente par, obtenemos un número po-sitivo.
a) 4 b) –3 c) Imposible.
d) –1 e) –6 f ) Imposible.
40 Si a < b, compara los pares de fracciones de cada apartado (a y b son nú-meros naturales):
a) y b) y c) y
a) > b) > c) >
R O F U N D I Z A
41 La diferencia entre dos fracciones es 1/3 y la segun-da es los 3/5 de la prime-ra. Calcula las dos fracciones.
1 – = diferencia entre la mayor y la menor.
de la primera fracción es igual a .
La primera es · = .
La segunda es · = .12
56
35
56
52
13
13
25
25
35
P
ab
a + 1b
ab + 1
ab
1b
1a
ab
a + 1b
ab + 1
ab
1b
1a
6√–1√365√–1
4√–163√–27
4√256
3√–8√96√1
√14√81√64
√4√4
17
17
)53()3
5(53
35
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Unidad 1. Los números y sus utilidades I
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1Soluciones a los ejercicios y problemas
42 Observa:
1 + 1 – + – + – + …
a) Halla el valor de la expresión con 4 sumandos.
b) Si aumentamos el número de sumandos, ¿aumenta o disminuye el valor de laexpresión?
c) Calcula el valor de la expresión cuando el número de sumandos sea 100.
d) ¿A qué valor se aproxima la expresión cuando hay infinitos sumandos?
a) 1 + 1 – + – + – = 2 – =
b) 1 + 1 – + – + – + – + – = 2 – =
Aumenta el valor de la expresión porque la fracción que le restamos al 2 va sien-do más pequeña a medida que aumenta el número de sumandos.
c) Con 100 sumandos: 2 – =
d) Cada vez restaremos a 2 un número menor.
Por ejemplo con 10 000 sumando obtenemos 2 – que es un número muypróximo a 2.
El valor de la expresión se aproxima a 2.
43 ¿En qué número termina 283?
☞ Observa en qué cifra terminan las sucesivas potencias de 2 y busca una regla quete permita saber la última cifra de cualquier potencia de base 2.
21 = 2 25 = 32
22 = 4 26 = 64
23 = 8 27 = 128
24 = 16 28 = 256
Las cifras 2, 4, 8, 6 se repiten de 4 en 4.
Como 83 = 80 + 3 8 283 terminará en la misma cifra que 23, en 8.
110 000
199100
1100
116
16
16
15
15
14
14
13
13
12
12
74
14
14
13
13
12
12
)14
13()1
312()1
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