Twierdzenie Pitagorasa
description
Transcript of Twierdzenie Pitagorasa
![Page 1: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/1.jpg)
Opracowali: Michał Starzonek i Artur Szumalski
![Page 2: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/2.jpg)
Żył w latach około 570-497 przed naszą erą
Grecki filozof-mistyk i matematyk Uznawał liczbę za prazasadę bytu Założył szkołę pitagorejską Odkrył odcinki niewspółmierne Sformułował twierdzenie dziś nazywane
twierdzeniem Pitagorasa
![Page 3: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/3.jpg)
przyprostokątna
przyprostokątna
przeciwprostokątna 60
30
![Page 4: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/4.jpg)
W trójkącie prostokątnym kwadrat długości
przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów
długości jego przyprostokątnych.
![Page 5: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/5.jpg)
222 cba
![Page 6: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/6.jpg)
2c2a
2b
![Page 7: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/8.jpg)
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to pole kwadratu zbudowanego na
przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów
zbudowanych na przyprostokątnych!
![Page 9: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/9.jpg)
Rozwiążemy wspólnie jedno zadanie, które sprawdzi waszą wiedzę na temat
w/w twierdzenia Pitagorasa.
![Page 10: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/10.jpg)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątna a ma długość 3 cm a przyprostokątna b 4 cm. Oblicz długość przeciwprostokątnej.
![Page 11: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/11.jpg)
![Page 12: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/12.jpg)
Wielokątem o najmniejszej liczbie boków jest trójkąt, czyli płaszczyzna ograniczona najmniejszą liczbą linii prostych.
![Page 13: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/13.jpg)
Trójkąt pitagorejski - trójkąt o bokach a, b, c wyrażonych liczbami naturalnymi, spełniających wyrażenie:
Wzór ten odnosi się do twierdzenia Pitagorasa.
Przykładowy dowód tego twierdzenia został umieszczony poniżej.
222 cba
![Page 14: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/14.jpg)
Dowodów twierdzenia Pitagorasa jest wiele. Przedstawiam najłatwiejszy w zrozumieniu dowód w postaci układanki. Gdybyśmy zbudowali na bokach trójkąta prostokątnego kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na jego przyprostokątnych będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Ilustruje to animacja znajdująca się obok.
![Page 15: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/15.jpg)
Trójkąt egipski - najprostszy z trójkątów pitagorejskich. Jego stosunek długości boków wynosi 3:4:5. Egipcjanie wiedzieli, że jest on trójkątem prostokątnym i wykorzystywali go do wyznaczania kąta prostego przy procesie odnawiania granic gruntowych.
![Page 16: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/16.jpg)
n a b c
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 9 40 41
5 11 60 61
6 13 84 85
7 15 112 113
8 17 144 145
![Page 17: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/17.jpg)
Jeżeli w trójkącie kwadratu długość jednego boku jest równy sumie
kwadratów długości boków pozostałych, to ten trójkąt jest
prostokątny. Założenie: a, b, c - boki trójkąta,
c2 =a2+b2
![Page 18: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/18.jpg)
Ślimak to konstrukcja złożona z trójkątów prostokątnych, w których jedna z przyprostokątnych ma długość 1, a druga jest równa długości przeciwprostokątnej poprzedniego trójkąta.
I tak kolejne przeciwprostokątne mają następujące długości:
... ,39 ,8 ,7 ,6 ,5 ,24 ,3 ,2
![Page 19: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/19.jpg)
Kilka dodakowych zadań
![Page 20: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/20.jpg)
Chłopiec trzyma latawiec na sznurku długości 37 m. Jego kolega stoi w odległości 35 m od niego i widzi, że latawiec jest dokładnie nad nim. Oblicz jak wysoko latawiec zawisł nad głową chłopca.
Na początku warto wykonać rysunek pomocniczy:
37 m
35 m
a = 35 m
b =
?
c =
![Page 21: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/21.jpg)
37 m
a = 35 m
b =
?
c =
a2 + b2 = c2
Ponieważ musimy wyznaczyć b przekształcamy wzór:
b2 = c2 – a2
Podstawiamy dane do wzoru:
b2 = 372 – 352
b2 = 1369 – 1225
b2 = 144144b b =12
Odp. Latawiec zawisł 12 metrów na głową chłopca.
![Page 22: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/22.jpg)
Na powierzchni jeziora, którego głębokość jest równa 8 m, znajduje się boja zakotwiczona na lince długości
17 m. Oblicz średnicę okręgu, jaki boja może „zakreślić” na powierzchni wody.
Wykonujemy rysunek pomocniczy:
r = ?r = ?
l = 17 m
l = 17 m
g =
8 m
g =
8 m
![Page 23: Twierdzenie Pitagorasa](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081419/5681439c550346895db01a53/html5/thumbnails/23.jpg)
r = ?r = ?
l = 17 m
l = 17 m
g =
8 m
g =
8 m
g2 + r2 = l2
wyznaczamy r:
r2 = l2 - g2
Podstawiamy dane do wzoru:
r2 = 172 – 82
r2 = 289 – 64
r2 = 225225r
r =15
Odp. Boja może „zakreślić” okrąg o średnicy 30 metrów.
d = 15 · 2 = 30