Tuzla, januara 2016. godine 1 - cms.pztz.bacms.pztz.ba/userfiles/pztz/files/Takmicenje/Zbirka...

Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uenika osnovnih kola za takmienje

1

Tuzla, januara 2016. godine


2


Godina 2016.

Izdava:

Pedagoki zavod Tuzlanskog kantona

Bosne srebrene br. 119.

75 000 Tuzla

www.pztz.ba

Za izdavaa:

Mr.sc. Nikola ia, direktor Zavoda

Urednici:

Dr.sc. Hariz Agi, Savjetnik za obrazovanje u PZTK i

Edis atibui, profesor matematike

Objavljeno na: www.pztz.ba

U izradi zbirke uestvovali su nastavnici:

Sanela Buljubai, Prva osnovna kola Srebrenik, Olgica Bei, O Bukinje, Suada Mehi,

O Gnojnica, Admira Ahmetovi, O Slavinovii, Emira Ljubuni, O Safvet-beg

Baagi, Jasmina ari i Sokoljak Saida, O Simin Han, Amira Kori, O Mramor,

Munira Jahi, O Novi Grad, Haida Ahmetovi, O erii, Aida Dananovi, O

Orahovica, Mara Keina, O Solina, Fata Husejnovi, O eli, Kurtali Alma, O

Kreka, Amra Mei i Enesa Devedi, Druga osnovna kola Graanica, Hajrija

Salkanovi, Behida Malki, Nermina Isovi i emsa Begi , O Tuanj, Jasmina Hodi i

Edin Mrkanovi , O Brijesnica, Amela Salki, Suada Beirovi, Fahrudin Bei , O

Purai, Amra Bekti, Samir Dananovi i Elvir Muji, O Hasan Kiki Graanica,

Elvira Muratovi, Enesa Smajlbegovi i Bilal Softi, O Klokotnica, Amra idi i Nedad

Udvini, O Zelinja Donja, Ajia Nakievi i Senad Avdi, O Teoak, Almir

Ljubuni, O Rapatnica, Mirnes Poljakovi, O Sapna, Nihad Zaketovi, O

Dakule, Mirsad Mehmedi, O Centar, Hasan Smaji, O Maleii, Damir Krdi i

Salim Kova, O Sladna, Edin Gostevi, O Podrinje Mihatovii, Asim Imamovi,

O Kalesija, Asim Krnji, O Gnojnica, Emir Hozi, Druga osnovna kola Srebrenik,

Ferid Nuki i Omer Brki, O Poljice, Mujo Rami, Muhamed migalovi i Nermin

Avdi, Druga snovna kola ivinice, Nermina Dani, Mirza Udvini, Selmir Kari i Rasim

Dugi, O Ivan Goran Kovai Gradaac, Edis atibui, O eli.

http://www.pztz.ba/http://www.pztz.ba/


3

Uvodne rijei

Potovani uenici i uenice,

uvaene kolege/ce nastavnici i nastavnice,

pred nama je Zbirka zadataka iz matematike za pripremu uenika osnovnih kola za

takmienje. Ideja oko izdavanja ove zbirke se provlai kroz aktivnosti Pedagokog zavoda TK

i Udruenja matematiara TK, partnera Pedagokog zavoda TK u organizaciji i izvoenju

takmienja uenika osnovnih i srednjih kola iz matematike.

Poznato je da postojee zbirke zadataka i udbenici ne odgovaraju, u potpunosti, potrebama

uenika za kvalitetnije pripremanje za takmienje, naroito na niim nivoima.

Sa druge strane, na tritu postoje publikacije i zbirke, uglavnom, ve vienih zadataka na

zvaninim takmienjima, kako na naem Kantonu, tako i u zemljama u okruenju, koji ne

obezbjeuju fond zadataka sa postepenim uvoenjem matematikih vjetina, od prostog ka

sloenom.

Zato je zakljueno, da nedostaje materijal za pripremu takmienja, kako rekosmo, na niim

nivoima, npr. kolskim, opinskim, a djelimino i kantonalnim, koji bi trebao sadravati

zadatke umjerene sloenosti, ije rjeavanje bi efikasnije premostilo jaz izmeu redovne i

dodatne nastave matematike i jednog ozbiljnijeg pristupa pripremanja za takmienje.

Ideja je potekla u Udruenju matematiara TK, jer se iz iskustva znalo da su uenici bili

nezadovoljni sa konceptom zadavanja takmiarskih zadataka, koji su ponekad veinu njih

znali iznenaditi svojom sloenou. Preovladalo je miljenje da u ovom procesu trebaju

uestvovati svi nastavnici matematike, jer oni rade direktno sa svojim uenicima na pripremi

za takmienje. Svaki od njih je poslao zadatke, koji su primjereni njihovim uenicima, sa

rjeenjima i uputama za rjeavanje zadataka.

U nekim kolama, na prijedlozima zadataka, su radili i uenici, ve poznati takmiari.

Koristimo priliku da im se zahvalimo na njihovom trudu.

Zadaci su svrstani po razredima i oblastima sa rjeenjima ili kratkim uputama. U prilog ove

zbirke smo postavili i sve formule i matematike simbole iz gradiva matematike za osnovne

kole, da se uenicima nau na dohvat ruke u eventualnoj, praktinoj primjeni.

Koristimo priliku da se zahvalimo svim nastavnicima i uenicima, koji su uestvovali u izradi

prijedloga zadataka, koji sadre mnotvo matematikih ideja. Nadamo se da e ovaj materijal

dobro doi uenicima i nastavnicima u kvalitetnijoj pripremi za takmienje uenika osnovnih

kola iz matematike.

Molimo sve korisnike ove zbirke da svojim sugestijama i ispravkama eventualnih greaka,

poboljaju kvalitet ove Zbirke zadataka.

Iz Pedagokog zavoda TK


4

Sadraj

Uvodne rijei ........................................................................................................................................... 3

Sadraj ..................................................................................................................................................... 4

Zadaci za esti razred .............................................................................................................................. 5

Skupovi................................................................................................................................................ 6

Uglovi ................................................................................................................................................ 12

Skup prirodnih brojeva ...................................................................................................................... 22

Djeljivost u skupu prirodnih brojeva ................................................................................................. 38

Razlomci ............................................................................................................................................ 45

Zadaci za sedmi razred .......................................................................................................................... 52

Cijeli brojevi ...................................................................................................................................... 53

Racionalni brojevi ............................................................................................................................. 62

Trougao ............................................................................................................................................. 74

Zadaci za osmi razred ............................................................................................................................ 84

Kvadriranje i korjenovanje ................................................................................................................ 85

Procentni raun .................................................................................................................................. 97

Cijeli racionalni izrazi ..................................................................................................................... 107

Pitagorina teorema ........................................................................................................................... 117

Trougao, etverougao i mnogougao ................................................................................................ 130

Proporcionalnost .............................................................................................................................. 135

Koordinatni sistem .......................................................................................................................... 144

Zadaci za deveti razred ........................................................................................................................ 145

Algebarski izrazi ............................................................................................................................. 146

Linearna funkcija ............................................................................................................................. 148

Jednadbe ........................................................................................................................................ 159

Sistemi linearnih jednaina ............................................................................................................. 174

Nejednakosti i nejednadbe ............................................................................................................. 182

Prosti i sloeni brojevi. Djeljivost ................................................................................................... 185

Trougao i etverougao. Mnogougao ............................................................................................... 188

Racionalni izrazi .............................................................................................................................. 193

Analitika geometrija. Mnogougao ................................................................................................. 197

Simboli. Formule ................................................................................................................................. 199


5

Zadaci za esti razred

Skupovi

Uglovi

Skup prirodnih brojeva

Djeljivost u skupu prirodnih brojeva

Razlomci

Svaki djelilac proizvoljnog broja , razliit od samog broja , nazivamo pravi djelilac

broja . Pravi djelioci broja 6 su brojevi 1, 2 i 3. Njihov zbir je 1 + 2 + 3 = 6. Dakle, broj 6

je jednak zbiru svojih pravih djelilaca. To svojstvo ima i broj 28, iji su pravi djelioci brojevi

1, 2, 4, 7 i 14, pa je 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Brojevi sa ovakvom osobinom nazivamo savrenim brojevima. Slijedei savreni

brojevi su 496 i 8128. Savreni broj 8128 bio je poznat Nikomahu1. Fibonai2 je za

odreivanje savrenih brojeva koristio izraz

1

2 2(2 1)

gdje je prost broj. Za {2, 3, 5, 7}, a koristei prethodnu formulu dobijamo slijedee

savrene brojeve: 6, 28, 469, 8128. Peti savreni broj 33550336 pronaao je

Regiomontanus3. esti savreni broj je 8589056, sedmi savreni broj je 137438691328,

osmi savreni broj je 2305843008139952128, ... Do kraja 2013. godine poznato je 48

savrenih brojeva i svi su parni. Posljednji i najvei savreni broj pronaen je 2013. godine i

zapisuje se pomou 34850340 cifara.

1 Nikomah (starogrki: ; 60. 120. g. n. e.) bio je starogrki matematiar i filozof. U svojoj uticajnoj knjizi Uvod u

aritmetiku po prvi put u povijesti grke matematike aritmetiku je postavio nezavisnom od geometrije. 2 Leonardo od Pise, poznat kao Leonardo Bonacci ili Leonardo Fibonacci je talijanski matematiar koji je ivio u periodu oko 1170. 1250. godine. Bio je jedan od najtalentiranijih matematiara srednjeg vijeka. Najpoznatiji je po tome to je rairio upotrebu arapskih cifara u

Evropi, te po nizu Fibonaccijevih brojeva. 3 Johannes Mller Regiomontanus je njemaki matematiar, astronom, astrolog i prevoditelj. ivio je u periodu 1436. 1476. godine. Najvanija su mu djela: O bilo kojim trokutima, Tabele kretanja planeta, Oblik neba.


6

Skupovi

1. Od 1100 uenika, 470 se bavi skijanjem, 250 plivanjem, a 542 uenika se ne bavi ovim

sportovima. Koliko uenika se bavi sa oba sporta?

Rjeenje:

Broj uenika koji se bavi sportom je 1100 542 = 558. A broj uenika koji se bavi sa oba

sporta je (250 + 470) 558 = 720 558 = 162

2. Skup ima 22 elementa, skup 17. Ako skup ima 25 elemenata, koliko elemenata

ima skup i skup ?

Rjeenje:

Skup = ( + ) ( ) = 22 + 17 25 = 14 elemenata.

Skup = ( ) = 22 14 = 8 elemenata.

3. Koliko je bilo ukupno uesnika na jednom savjetovanju ako svaki od njih govori bar jedan

od tri strana jezika i to:

2 uesnika govore francuski, engleski i njemaki, 9 uesnika govori samo francuski i engleski, 13 uesnika govori francuski i njemaki, 12 uesnika govori njemaki i engleski, 29 uesnika govori engleski, 6 uesnika govori samo francuski, 7 uesnika govori samo njemaki. Rjeenje:

Zadatak rjeavamo pomou Venovog dijagrama: Ukupno 53 uesnika.


7

4. Neka je skup slova koja ine rije matematika, a skup slova koja ine rije takmienje.

Koliko se dvolanih skupova moe nainiti od elemenata skupa ?

Rjeenje:

Odredimo elemente skupa = {, , , , , } i elemente skupa = {, , , , , , ,

}. Elementi skupa = {, , , , , }. Svi dvolani skupovi koji se mogu nainiti od

elemenata skupa su: {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, ,

{, }, {, }, {, }, {, }, {, }.

Ukupno 14 dvolanih skupova.

5. Od uenika jednog razreda svaki od njih voli bar jedno od ova tri voa: banana, groe,

kruke. Njih 21 voli banane, 11 banane i groe, 16 groe, 2 sve tri vrste voa, a 14 kruke.

Koliko uenika ima u razredu i koliko od njih voli tano dvije vrste voa?

Rjeenje:

Prema tekstu zadatka imamo Venov dijagram:

Razred ima 38 uenika, a njih tano 9 voli dvije vrste voa.

6. Osjeni dio dijagrama koji odgovara skupovnim operacijama ( ) ( ).

Rjeenje:


8

7. Svi uenici jednog odjeljenja Prve O Srebrenik uestvuju u radu bar jedne od sekcija:

odbojkake, matematike ili historijske. U sve tri sekcije ulanjena su tri uenika, u samo po

dvije sekcije ukljuena su po etri uenika, a u samo jednu sekciju ulanjeno je po pet

uenika. Koliko uenika ima u odjeljenju? Koliko uenika je u odbojkakoj, koliko u

matematikoj, a koliko u historijskoj sekciji?

Rjeenje:

= {| }

= {| }

= {| }

( ) = 3

( ) = 4

( ) = 4

( ) = 4

( ( )) = 5

( ( )) = 5

( ( )) = 5

( ) =?

() =?

() =?

() =?

() = 5 + 4 + 4 + 3 = 16

() = 5 + 4 + 4 + 3 = 16

() = 5 + 4 + 4 + 3 = 16

() = 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 = 30

U razredu je ukupno 30 uenika, a u svaku od sekcija ukljueno je po 16 uenika.

8. Dati su skupovi: A = { |250 < 300 i djeljiv sa 6} i = { |250 300 i djeljiv sa 9}. Odredi najveu moguu razliku dva broja iz skupa . Rjeenje:

= {252, 258, 264, 270, 276, 282, 288, 292}, = {252, 261, 270, 279, 288, 297} = {252, 270, 288}. Najvea mogua razlika se dobije oduzimanjem od najveeg najmanji element skupa , a to je 288 252 = 36.


9

9. U koli ima 60 nastavnika. Od tog broja njih 39 pije kafu, 28 pije aj, 16 pije i aj i kafu.

Ima li nastavnika koji ne pije ni aj ni kafu ?

Rjeenje:

skup svih nastavnika skup nastavnika koji piju kafu skup nastavnika koji piju aj

Nastavnici koji piju samo kafu: 39 16 = 23 Nastavnici koji piju samo aj: 28 16 = 12 Nastavnici koji ne piju ni aj ni kafu: 60 (23 + 16 + 12) = 60 51 = 9 Dakle, 9 nastavnika ne pije ni aj ni kafu.

10. U nekoj grupi uenika njih 20 vole sport, 9 muziku, a 6 muziku i sport. Odredi koliko ima

uenika u toj grupi, koliko onih koji vole samo sport , a koliko onih koji vole samo muziku?

(Koristi Venov dijagram! )

Rjeenje:

Ukupan broj uenika je 23. Samo sport voli 14 uenika, a samo muziku 3 uenika.

11. Odredi skup tako da vai: a) {1, 2} = {1, 2, 3};

b) {1, 2} = {1, 2, 3};

c) {1, 2, 3} = {1, 2}.

Rjeenje:

a) Takav skup ne postoji.

b) Postoje etiri rjeenja: = {3}, = {1, 3}, = {1, 2, 3}.

c) je bilo koji skup koji sadri 1 i 2 i ne sadri 3.


10

12. Od 1050 uenika 870 se bavi skijanjem, 480 nogometom, a 65 uenika ne bavi se ovim sportovima. Koliko se uenika bavi skijanjem i nogometom?

Rjeenje:

Broj uenika koji se bavi bar jednim od ova dva sporta je 1050 65 = 985. Skup (skijanje) ima 870 uenika. Skup (nogomet) ima 480 uenika.

Oznaimo sa broj uenika koji se bave sa oba sporta = (870 + 480) 985 = 365

13. Dati su skupovi = {1,2,3} i = {3,4,5}. Odredi skup ako je = i

= \(\). Koliko rjeenja ima zadatak?

Rjeenje:

Zadatak ima tri rjeenja: = {3}, = {2,3}, = {1,2,3}.

14. U jednoj koli ima 450 uenika. Sportom se ne bavi samo njih 20. Ostali igraju koarku,

odbojku ili fudbal. Koarku i odbojku igra 215 uenika, fudbal i odbojku igra 323 uenika. Koliko uenika se bavi svakim od ovih sportova?

Rjeenje:

Fudbal: 215, Odbojka 108, Koarka 107

15. Koliko ima prirodnih brojeva manjih od 1000, koji nisu djeljivi ni sa 4 ni sa 6?

Rjeenje:

Napiimo elemente skupova:

= {1, 2, 3, , 998, 999}, skup koji sadri brojeve manje od 1000

= {4, 8, 12, , 992, 996}, skup koji sadri brojevedjeljive sa 4

= {6, 12, 18, , 990, 996}, skup koji sadri brojeve djeljive sa 6

= {12, 24, 36, , 984, 996}, skup koji sadri brojeve djeljive sa 4 i sa 6

Kako je svaki etvrti broj djeljiv sa 4, svaki esti djeljiv sa 6 i svaki dvanaesti broj djeljiv sa

12 imamo:

999: 4 = 249 (3), ostatak dijeljenja Znai: () = 999

999: 6 = 166 (3), ostatak dijeljenja () = 249


11

999: 12 = 83 (3), ostatak dijeljenja () = 166

( ) = 83

249 83 = 166

166 83 = 83

Traeni brojevi koji nisu djeljivi ni sa 4 ni sa 6 sadri skup \() i ima ih

999 (166 + 83 + 83) = 999 332 = 667.

16. U jednoj koli 320 uenika ide na informatiku sekciju, a 124 na matematiku. 256

uenika ne ide ni na jednu od navedenih sekcija. Ako je u toj koli 600 uenika, koliko

uenika ide samo na matematiku i samo na informatiku sekciju?

Rjeenje:

600 256 = 344320 + 124 = 444

} 444 344 = 100

324 100 = 224

124 100 = 24

Na informatiku sekciju ide 224, a na matematiku sekciju 24 uenika.


12

Uglovi

1. Zadane su prave , i (kao na slici). Taka nalazi se na pravcu . Ako je

= 136, = 105 kolika je veliina ugla ?

Rjeenje:

Na pravoj odrediti taku , a na pravoj taku , pa je = 180 105 = 75,

= = 75, = 136 75 = 61 =

2. Zbir komplementnog i suplementnog ugla iznosi 150. Koliko iznosi ugao ?

Rjeenje:

Prema tekstu zadatka imamo jednainu: (90 ) + (180 ) = 150 = 60.

3. Koliki je ugao ako je zbir njegovog komplementnog i suplementnog ugla 10?

Rjeenje:

Prema tekstu zadatka formirajmo jednainu, ije je rjeenje

(90 ) + (180 ) = 10 = 22 30

4. Razlika dva suplementna ugla i jednaka je uglu . Izraunati uglove i .

Rjeenje:

+ = 180, = = 2 pa je + 2 = 180 iz ega slijedi = 60 i

= 120


13

5. Zb i r u g l a ko j i j e k om pl em en t an u g l u i ugla koji je suplementan uglu tri puta je vei od ugla . Odredi ugao . Rjeenje:

+ = 90, + = 180, + = 2, 90 + 180 = 2, 5 = 270, = 54

6. Uglovi i su komplementni. Uglovi koji su suplementni sa i razlikuju se za 13 30 . Odredi uglove i . Rjeenje:

+ = 90 , + = 180, + = 180, = 13 30, = + 13 30 + = 166 30, = 166 30 = 180 166 30 + 180 = 90 2 = 256 30 = 128 15 = 38 15 = 51 45

7. Uglovi i su suplementni a uglovi i komplementni. Odrediti uglove , i ako je ugao pet puta vei od ugla . Rjeenje:

+ = 180, + = 90, = 5. Iz datih jednakosti dobijemo = 90 , dakle

5 + 90 = 180 = 22 30 = 112 30 = 67 30

8. Od dva ugla iji je zbir 114 jedan je komplementan a drugi suplementan uglu . Izraunati ugao . Rjeenje:

Ugao koji je komplementan je 90 , a ugao koji je suplementan oznaavamo sa 180 . Zbir ta dva ugla je 114. Imamo jednainu ije je rjeenje 90 + 180 = 114 = 78


14

9. Dvije prave se sijeku i obrazuju etiri ugla. Odrediti te uglove ako je jedan od njih 11 puta manji od zbira ostala tri ugla.

Rjeenje:

Uglovi i su unakrsni i meusobno su jednaki, a takoer uglovi i su unakrsni i

meusobno jednaki. Neka je ugao najmanji. Prema tekstu zadatka moemo formirati

jednainu: 11 = + + , tj. 11 = 2 + . Znamo jo da je + = 180

= 180 . Uvrtavanjem poslednje jednakosti u jednainu 11 = 2 + imamo:

11 = 2 (180 ) + = 30, = 150, = 30, = 150

10. Razlika dva komplementna ugla je 1 5. Kolike su veliine tih uglova?

Rjeenje:

Prema tekstu zadatka moemo formirati jednaine: + = 90

= 1 5}. Iz druge jednadbe

dobijamo da je = + 1 5, odakle uvrtavanjem ove jednakosti u prvu jednadbu

dobijamo: + 1 5 + = 90 = 44 2730. Onda ugao iznosi = 45 3230.

11. Koliki je ugao ako je njegov suplementni ugao za 30 vei od njegovog dvostrukog

komplementnog ugla?

Rjeenje:

Prema tekstu zadatka moemo formirati jednadbu:

180 = 2 (90 ) + 30 = 30

12. Ugao jednak je polovini svog suplementa. Odredi njegov komplement.

Rjeenje:

= 2 = : 2 = 2 + = 90

+ = 180 + = 180 = 90 60

+ = 90 + 2 = 180 = 30

=? 3 = 180

= 60


15

13. Ako se suplement ugla povea za 18 dobije se isto kada se ugao povea za 1

5 svoje

vrijednosti. Odredi komplement ugla . Rjeenje:

(180 ) + 18 = + 11

5 = 90 pa je komplement ugla = 40 54 33

14. Razlika dva suplementna ugla je 1 2.

a) Koliki su ti uglovi?

b) Koliki e biti ugao od 1 2 ako se posmatra kroz lupu koja daje petostruko poveanje?

Rjeenje:

a) + = 1800 = 1 2 + 89 29 = 1 2 = 90 31

1 2 + + = 1800

= 89 29

15. Ako su uglovi i komplementni, i suplementni i je est puta manji od .

Izraunati + + .

Rjeenje:

+ = 90 + 6 = 180 + = 90 = 6

+ = 180 + + 5 = 180 + 18 = 90 = 6 18

= 6 90 + 5 = 180 = 90 18 = 108

5 = 180 90 = 72

5 = 90

= 18

Dakle, + + = 72 + 18 + 108 = 198


Rjeenje:

Komplement ugla je 90 a njegov suplement je 180 . Prema uslovima zadatka je

7 = 90 + 180 = 30


16

17. Jedan ugao je za 73 30 vei od njemu uporednog ugla. Koliki su ti uglovi?

Rjeenje:

Dva ugla i su uporedni ako je njihov zbir jednak 180.

+ = 180, = 180

Iz uslova zadatka vrijedi da je = + 73 30 = 180 + 73 30 = 126 45

= 53 15

18. Razlika ugla i njemu uporednog ugla je 48. Izraunati ugao komplementan uglu .

Rjeenje:

Ako je = 180 , to je 180 2 = 48 . Slijedi da je = 66, pa je njemu

komplementan ugao od 24.

19. Izraunati mjere uglova na slici

Rjeenje:

Kako je (3 + 1) + ( + 7) = 180, to je 4 = 172, odnosno = 43. Slijedi da su na

slici uglovi od 130 i 50.

20. Uglovi i su komplementni. Odredi uglove i , ako je njihova razlika jednaka

treini veeg ugla .

Rjeenje:

Neka je > . Kako je + = 90 i =2

3 , to je = 54 i = 36.


17

21. Razlika mjera dva komplementna ugla je 2007. Odredi mjere tih uglova .

Rjeenje:

Neka je mjera manjeg ugla . Kako je 2007 = 33 27, slijedi da je mjera veeg ugla

+ 33 27. Koristei uslov komplementnosti dobivamo da je 2 + 33 27 = 90, pa je

2 = 56 33. Slijedi da je mjera manjeg ugla 28 16 30, a mjera veeg ugla 61 43 30.

22. Dvije prave se sijeku i obrazuju etiri ugla. Zbir dva otra ugla vei je za 20 od jednog

tupog ugla. Koliki su ti uglovi?

Rjeenje:

+ = 180

+ = + 20 = 2 20

- iz gornje dvije jednakosti imamo:

+ 2 20 = 180 = 66 40

= 66 40 = 2 20

} = 2 66 40 20

= 113 20

23. Uglovi i su suplementni. Da su oba manja za po 24, tada bi jedan ugao bio etiri puta vei od drugog ugla. Koliko iznose uglovi i ? Rjeenje:

Neka je > + = 180 24 = 4 ( 24) = 4 72 + = 180 4 72 + = 180 5 = 252 = 252: 5 = 50 24 = 180 50 24 = 129 36

24. Uglovi i su suplementni, a uglovi i komplementni. Odredi uglove , i ako je

ugao pet puta vei od ugla .

Rjeenje:

+ = 180, + = 90, = 5

Iz jednakosti + = 90 dobijemo da je = 90 , dakle

5 + 90 = 180 = 22 30 = 112 30 = 67 30


18

25. Zbir etiri ugla , , , je puni ugao. Ako se oni razlikuju redom po 10 odrediti

njihovu vrijednost.

Rjeenje:

+ + 10 + + 20 + + 30 = 360 4 = 300 = 75 tj. prvi ugao, drugi 85,

trei 95 i etvrti ugao 105.

26. Uglovi i su suplementni, a uglovi i su komplementni. Izraunaj uglove , i

ako je zbir uglova i jednak 124.

Rjeenje:

= 107, = 73, = 17

27. Uglovi i su suplementni. Pet estina ugla i treina ugla su komplementni.

Odredi uglove i .

Rjeenje:

= 60, = 120

28. Dat je ugao = 160 i podijeljen je na etiri dijela tako da je prvi dva puta vei od

drugog, drugi etiri puta vei od etvrtog, a trei tri puta vei od etvrtog. Izraunati koliko

iznosi svaki od tih dijelova.

Rjeenje:

80, 40, 30, 10

29. Ugao je za 1997 manji od svog suplementnog ugla. Za koliko je ugao manji od svog suplementnog ugla?

Rjeenje:

123 17

30. Mjera ugla + je za 38 41 24 vea od mjere ugla . Odredi mjeru ugla .

Rjeenje:

= 19 20 42


19

31. Zbir ugla i njemu uporednih uglova je 325. Odredi ugao i njemu uporedan ugao.

Rjeenje:

= 145

32. Dvije prave se sijeku i obrazuju dva para unakrsnih uglova. Zbir dva otra ugla manji je

od jednog tupog ugla za 18. Odredi te uglove.

Rjeenje:

= 54, = 126

33. Dvije prave se sijeku i obrazuju etiri ugla. Zbir dva otra ugla je vei za 20 od jednog tupog. Koliki su ti uglovi?

Rjeenje:

= 66 40, = 113 20

34. Dvije prave se sijeku u taki i obrazuju etiri ugla. Zbir unakrsnih otrih uglova jednak je polovini jednog od unakrsnih tupih uglova. Odredi mjerne brojeve svakog od tih uglova.

Rjeenje:

= 36, = 144

35. Ako se saberu polovina, etvrtina i osmina ugla onda se dobije ugao suplementaran uglu

. Koliki je ugao koji je komplementaran sa uglom suplementarnim uglu ?

Rjeenje:

1 = 4

36. Dvije prave se sijeku zbir tri od nastala cetiri ugla je 213 20. Koliki je svaki od nastalih

uglova?

Rjeenje:

= 360 213 20

= 146 40

2 + 2 = 360

2 = 360 293 20

2 = 66 40

= 33 20


20

37. Razlika ugla i njemu uporednog ugla je 76. Izraunaj ugao koji je komplementan

uglu .

Rjeenje:

Uglovi: i - uporedni uglovi

i - komplementni uglovi

+ = 180 + = 90

= 76 + = 76 + 52 + = 90

= 90 52

= 38 Traeni ugao je = 38.

Pa imamo:

76 + + = 180

76 + 2 = 180 = 52

38. Dvije prave se sijeku i obrazuju etiri ugla (kuta). Odredi te uglove ako je jedan od njih 9

puta manji od zbira ostala tri.

Rjeenje:

I nain

Traeni uglovi su: 36, 144, 36 i 144.

II nain

Iz uslova zadatka proizilazi da sva etiri ugla iznose 10 jednakih dijelova punog ugla tako da

imamo 360: 10 = 36. Znai ugao koji je devet puta manji od zbira ostala tri ugla iznosi

36. Prema crteu neka je to ugao = 36. Kako je = (unakrsni uglovi), to je, = 36.

360 2 36 = 360 72 = 288

Zbir druga dva unakrsna ugla iznosi 288: 2 = 144. Znai = = 144.

Traeni uglovi su: 36, 144, 36 i 144.

+ + = 9 + = 180

+ ( + + ) = 360 36 + = 180

+ 9 = 360 = 180 36

10 = 360 = 144

= 360: 10

= 36

Kako je = to i = 36. Kako je = to je = 144.


21

39. Dva ugla su suplementna . Jedan je 3 puta vei od drugog. Odredi te uglove i napii vrstu

dobivenih uglova.

Rjeenje:

+ = 180

4 = 180 = 45 = 135, uglovi su otri i tupi respektivno.


Rjeenje:

Komplement: 90

Suplement: 180

(90 ) + (180 ) = 4 = 45


22

Skup prirodnih brojeva

1. Ako od zbira najveeg etverocifrenog broja sa razliitim ciframa i najmanjeg petocifrenog

broja sa razliitim ciframa oduzme neki broj dobie 20000. Koji je to broj?

Rjeenje:

Najvei etverocifreni broj sa razliitim ciframa je 9876, a najmanji petocifreni broj sa

razliitim ciframa je 10234 pa imamo jednadbu

9876 + 10234 = 20000

20110 = 20000

= 20110 20000

= 110

2. Izraunaj (1700 + 1701 ++ 1799 + 1800): 175 =

Rjeenje:

1700 + 1800 = 3500, 1701 + 1799 = 3500,.

1700 + 1701 ++ 1799 + 1800 = 3500 101: 2 = 353500 2 = 176750

(1700 + 1701 ++ 1799 + 1800) 175 = 176750 175 = 1010

3. Koliko ima etverocifrenih brojeva kojima je proizvod cifara 4? Ispii ih.

Rjeenje:

Cifre biramo iz skupova {4,1} i {2, 1} pa imamo:

4111, 1411,1141, 1114, 2211, 2121, 2112, 1122, 1212, 1221, tj. ukupno 10 brojeva.

4. Za numeraciju stranica jedne knjige upotrijebljeno je 300 cifara. Koliko stranica ima ta

knjiga?

Rjeenje:

Za numerisanje prvih 9 stranica upotrijebljeno je 9 cifara, a za sledeih 90 upotrebljeno je

90 2 = 180 cifara. Ostatak cifara 300 180 9 = 121 upotrijebljeno je za numerisanje

trocifrenih stranica kojih ima 111: 3 = 37. Sada, knjiga ima 9 + 90 + 37 = 136 stranica.


23

5. U 5 kutija nalazi se 100 jabuka. U prvoj i drugoj kutiji ima 52 jabuke, u drugoj i treoj 43

jabuke, u treoj i etvrtoj 34 i u etvrtoj i petoj 30 jabuka. Koliko jabuka ima u svakoj od tih

kutija?

Rjeenje:

Oznaimo redom kutije sa , , , i . Tada imamo po tekstu zadatka podatke:

+ + + + = 100

+ = 52

+ = 43

+ = 34

+ = 30

Zamjenom druge i etvrte jednadbe u prvu dobijamo: 53 + 34 + = 100 = 14.

to znai da u petoj kutiji ima 14 jabuka, u etvrtoj e biti onda 16, u treoj 18, u drugoj 25 i

u prvoj 27.

6. Kolinik dva boja i je 10, a ostatak 40. Nai te brojeve ako je njihov zbir 1679.

Rjeenje:

Imamo da je 10 + = 1679 = 10 + 40

}. Zamjenom druge jednadbe u prvu dobijamo:

10 + 40 + = 1679 odakle je rjeenje za jedan od datih brojeva = 149

Tada je = 1530.

Traeni brojevi su 1530 i 149.

7. Postoji li broj iji je proizvod cifara 462?

Rjeenje:

Rastavimo dati broj na faktore 462 = 2 3 7 11. Kako je jeadn faktor 11 to je broj, nije

cifra pa zakljuujemo da takav broj ne postoji.

8. Odrediti cifre i u broju 879 tako da on bude djeljiv sa 18.

Rjeenje:

Da bi broj bio djeljiv sa 18 treba biti djeljiv i sa 2 i sa 9. Ako je djeljiv sa 2 onda mu zadnja

cifra mora biti 0, 2, 4, 6, 8. Imamo sada sluajeve brojeva: 8790 , 8792 , 8794 , 8796 ,

8798 . Da bi dati brojevi bili djeljivi sa 9, zbir cifara im mora biti djeljiv sa 9, pa imamo da

su traena rjeenja: 87390, 87192, 87894, 87496, 87298.


24

9. Dokazati da je zbir prirodnih brojeva od 1 do 1000 djeljiv sa 7.

Rjeenje:

Izraunajmo zbir prvih 1000 brojeva:

1 + 2 + 3 ++ 998 + 999 + 1000 = 1001 500 = 500500

pa kada sada dobijeni zbir podijelimo sa 7 dobiemo: 500500: 7 = 71500. Zakljuujemo da

je zbir prvih 1000 uzastopnih prirodnih brojeva djeljiv sa 7.

10. Zbir tri broja, od kojih je svaki slijedei tri puta vei od prethodnog, iznosi 481. Koji su to

brojevi?

Rjeenje:

Ako je najmanji od tih brojeva, srednji po veliini je 3, a najvei 3 3 = 9. Uslove zadatka opisuje jednadba + 3 + 9 = 481 = 37. Pa su traeni brojevi 37, 111 i 333.

11. Ivana je za roendan od svojih prijatelja dobila 24 rue. Rue su bile bijele, ute i crvene boje. Bijelih je bilo dva puta manje od utih, a crvenih koliko bijelih i utih zajedno. Koliko je

bilo bijelih, koliko utih, a koliko crvenih rua?

Rjeenje:

Bijele rue , ute rue 2, crvene rue + 2 Imamo jednadbu + 2 + + 2 = 24, rjeavanjem jednadbe dobijemo 6 = 24, = 4. Prema tome, bijelih je rua bilo 4, utih 2 4 = 8, a crvenih 4 + 8 = 12. Dakle, bijelih je 4, utih dva puta vie, dakle 8 i crvenih koliko bijelih i utih zajedno, znai 12.

12. Sok u flai kota 40 . Sok je 7 puta skuplji od flae. Koliko kota flaa, a koliko sok? Rjeenje:

Flaa , sok 7 Imamo jednadbu + 7 = 40 = 5 Prema tome, flaa kota 5, a sok 7 5 = 35

13. Zbir tri uzastopna parna prirodna broja je 216. Koji su to brojevi? Rjeenje:

Ako je najmanji traeni broj, sljedea dva parna broja su + 2, + 4. Njihov zbroj je

216, pa dobijemo jednadbu + ( + 2) + ( + 4) = 216. Njeno rjeenje je = 70, to

znai da su traeni brojevi 70, 72 i 74.


25

14. Razlika dva broja je 327, a kolinik 4. Koji su to brojevi? Rjeenje:

Ako je kolinik dva broja 4, znai da je jedan broj 4 puta vei od drugoga, pa ih moemo

oznaiti sa i 4. Iz injenice da je njihova razlika 327 dobijemo jednainu 4 = 327.

Njeno rjeenje je = 109, pa su traeni brojevi 109 i 436.

15. U jednom kokoinjcu ima 3 puta vie kokoki nego pijetlova, a pijetlova je za 16 manje nego kokoki. Koliko ima kokoki, a koliko pijetlova u tom kokoinjcu?

Rjeenje:

Ako sa oznaimo broj pijetlova, onda je 3 broj kokoki i vrijedi 3 = 16 , otkud

dobijemo = 8. Dakle, ima 8 pijetlova i 24 kokoke.

16. Brat je 4 puta stariji od sestre, a sestra je 9 godina mlaa od brata. Koliko godina ima sestra, a koliko brat?

Rjeenje:

Ako sestra ima , brat ima 4 godina i vrijedi 4 = 9, otkud slijedi = 3. Sestra ima 3,

a brat 12 godina.

17. Zbir tri broja je 147. Prvi od njih vei je 15 puta od drugoga, a trei je za 28 vei od drugoga. Odredi te brojeve.

Rjeenje:

drugi broj, 15 prvi broj i + 28 trei broj

15 + + + 28 = 147 17 = 147 28 17 = 119 = 7 je drugi broj, prvi broj je 15 = 105 i trei broj je + 28 = 35.

18. Ana je rekla Mariji: Zamislila sam neki broj. Ako tom broju dodam 13 i dobijeni rezultat podijelim sa razlikom broja 60 i proizvoda broja 8 i zamiljenog broja, dobit u broj 5. Moe li pomoi Mariji da odgonetne koji je broj Ana zamislila ?

Rjeenje:

Ako sa oznaimo zamiljeni broj, dobijemo jednadbu ( + 13): (60 8 ) = 5, otkud

slijedi + 13 = 5 (60 8). Rjeenje te jednadbe je = 7. Ana je zamislila broj 7.


26

19. Kutija sa 20 jednakih kuglica ima masu 400. Ako u kutiju dodamo jo 5 kuglica ukupna

masa e biti 470. Kolika je masa kutije?

Rjeenje:

Moemo zakljuiti da 5 kuglica tei 70. Onda jedna kuglica tei 70: 5 = 14. Sada, 20

kuglica ima teinu 20 14 = 280. Dakle, kutija sama tei: 400 280 = 120.

20. U ZOO vrtu smjeteni su zeevi, ptice i zmije. Djeca su prebrojala 24 glave, 14 krila i 62 noge. Koliko ima kojih ivotinja?

Rjeenje:

Prema broju glava zakljuujemo da ima 24 ivotinje. Kako krila ima 14 zakljuujemo da je ptica 7. Sada zeeva i zmija ima 17. Broj nogu kod ptica je takoer 14, pa 62 14 = 48 je broj nogu kod zeeva. Kako zec ima 4 noge, to je njihov broj 12. Ostane jo da zakljuimo da zmija ima 17 12 = 5. Dakle, zmija ima 5, zeeva 12 i ptica 7.

21. Izraunati zbir prvih 2016 prirodnih brojeva. Rjeenje:

Zbir moemo pisati :

1 + 2 + 3 + 4 ++ 2013 + 2014 + 2015 + 2016 = = (1 + 2016) + (2 + 2015) + + (1013 + 1014) = 1013 2017 = 2043221

22. Zbir pet uzastopnih prirodnih brojeva je 1375. Izraunati te brojeve. Rjeenje:

Prirodni brojevi imaju osobinu da je svaki sljedei od svog prethodnika za 1 vei. Ako uzmemo da je prvi broj u nizu , onda su sljedei + 1, + 2, + 3 i + 4. Formirajmo jednadbu. Imamo: + + 1 + + 2 + + 3 + + 4 = 1375 = 273 Traeni brojevi su 273, 274, 275, 276 i 277.

23. Razlika dva broja je 83. Ako vei broj uveamo 4 puta, a manji ostane nepromijenjen nova razlika je 674. Koji su to brojevi? Rjeenje:

Ako manji broj oznaimo sa , onda je vei broj + 83. Pa sada formirajmo jednadbu po tekstu zadatka: 4 ( + 83) = 674 = 114, a vei broj je 114 + 83 = 197. Traeni brojevi su 197 i 114.


27

24. Amir je proitao knjigu za 4 dana. Drugi dan je proitao 14 stranica vie nego prvi dan. Trei dan je proitao koliko prvi i drugi dan zajedno, a etvrti da je proitao koliko polovinu

broja proitanih stranica drugog i treeg dana. Koliko stranica je imala knjiga ako znamo da je

Amir prvi dan proitao 32 stranicu? Rjeenje:

Amir je prvi dan proitao 32 stranicu, drugi dan 46 stranica, trei dan 78 stranica i etvrti dan proitao je 62 stranice. Knjiga ima ukupno 218 stranica.

25. Svijea visine 18 jednoliko gori i cijela izgori za tri sata. Za koliko e minuta od trenutka kada je zapaljena, svijea biti visine 13? Rjeenje:

Prema uslovima zadatka cijela svijea izgoriti e za 180 minuta? Jedan centimetar svijee izgoriti e za 180: 18 = 10 minuta. Kako svijea treba da izgori za 18 13 = 5 , od njene poetne duine, zakljuujemo da e svijea biti visoka 13 nakon 5 10 = 50 minuta.

26. Izraunati: {345 [(720: 6) 2 4 + 2]: 2 + 44}: 3 25: 5 = Rjeenje:

{345 [(720: 6) 2 4 + 2]: 2 + 44}: 3 25: 5 = 85

27. Zbir dva broja je 96 a kada vei broj podijelimo manjim dobiemo kolinik 9 i ostatak 6. O kojim brojevima je rije?

Rjeenje:

Ako su traeni brojevi i , onda po definiciji dijeljenja imamo : = () odakle djeljenjik moemo pisati kao = + . Na osnovu teksta naeg zadatka imamo jednadbe: + = 96 i = 9 + 6 odakle dobijamo 9 + 6 + = 96 = 9. Tada je drugi broj 87. Traeni brojevi su 87 i 9.

28. Da li je mogue da je za numeraciju stranica jedne knjige upotrebljeno 2016 cifara? Ako je mogue, koliko stranica e imati ta knjiga?

Rjeenje:

Za prvih 9 stranica upotrebljeno je 9 cifara, za slijedeih 90 stranica upotrebljeno je 90 2 = 180 cifara. Ostatak cifara 2016 189 = 1827 upotrebljeno je obiljeavanje trocifrenih stranica kojih ima 1827: 3 = 609. Knjiga ima 9 + 90 + 609 = 708 stranica.


28

29. Uenik je zamislio jedan broj. Kada ga je pomnoio sa 8 i tom proizvodu dodao 8 dobio je broj koji je za 11 vei od 701. Koji broj je uenik zamislio? Rjeenje:

Jedan od naina rjeavanja zadatka jeste da se po tekstu zadatka formira jednadba.

Pretpostavimo da je traeni broj. 8 + 8 = 712 = 88. Traeni broj je 88.

30. Voke su zasaene tako da je u svakom redu 15 voki. Kada bi u vonjaku bilo 6 redova manje, a u svakom redu 5 voki vie, onda bi u cijelom vonjaku bilo ukupno 10 voki vie. Koliko je redova voki zasaeno i koliko voki ima u vonjaku?

Rjeenje:

Neka je u vonjaku bilo redova zasaeno. Tada je u vonjaku bilo 15 voaka. S druge strane, ako je 6 redova manje a u redovima pet voaka manje, onda ukupno voaka e biti ( 6) 20 10. Sada imamo jednadbu 15 = ( 6) 20 10 = 26 U vonjaku je zasaeno ukupno 26 redova, a ukupno voki ima 390.

31. Zbir tri broja je 689. Odredi te brojeve ako se zna da je zbir prvog i drugog broja 452, a

drugog i treeg 605.

Rjeenje:

Oznaimo te brojeve sa , , . Tada vrijedi + + = 689, + = 452 i

+ = 605. Zamjenom prve jednakosti u drugu dobijamo 452 + = 689 = 237.

Zamjenom prve jednakosti u treu dobijamo: + 605 = 689 = 84

Sada u drugu jednakost uvrstimo i zraunamo 84 + = 452 = 368

32. Ako se trocifrenom broju doda broj 13, zbir je djeljiv sa 13. Ako se od broja

oduzme broj 17, razlika je djeljiva sa 17. Ako se broj podijeli sa 2, kolinik je djeljiv sa 2.

Odredi broj .

Rjeenje:

Kako je zbir + 13 djeljiv sa 13, a sabirak 13 djeljiv sa 13, onda je i broj djeljiv sa 13.

S obzirom da je razlika 17 djeljiva sa 17, a umanjitelj 17 djeljiv sa 17, onda je i

djeljiv sa 17. Budui da kada se podijeli sa 2 dobijamo kolinik djeljiv sa 2, onda je i

djeljivo sa 4. Dakle m mora biti djeljivo sa 13, 17 i 4. ( 13, 17, 4 ) = 884. Traeni broj

je 884.


29

33. Proizvod tri prirodna broja je 13600. Izraunaj proizvod prvog i drugog broja ako je

proizvod prvog i treeg broja 544, a proizvod drugog i treeg 425.

Rjeenje:

Ako podijelimo proizvod sva tri broja s proizvodom prvog i treeg broja, dobit emo drugi

broj. Drugi broj je 13600 544 = 25. Ako podijelimo proizvod sva tri broja s proizvodom

drugog i treeg broja, dobit emo prvi broj. Prvi broj je 13600 425 = 32. Traeni proizvod

prvog i drugog broja je 32 25 = 800.

34. Dvije cigle kotaju 4 i pola cigle. Kolika je cijena jedne cigle? Rjeenje:

Neka je npr. Darko Emiru prodao dvije cigle za 3 i pola cigle. Ovo pak znai da je Darko prodao samo ciglu i po za 3 pa jedna cigla kota 2. Zadatak se mogao rijeiti i

postavljanjem jednaine 2 = 3 +

2.

35. Izraunaj (1 + 2 + 3 ++ 52 + 53 + 54): 3: (3 3: 3 3) = Rjeenje:

(1 + 2 + 3 ++ 52 + 53 + 54): 3: (3 3: 3 3) = = 1485: 3: (9: 3 3) = 495: (3 3) = 495: 9 = 55

36. Merlina je zamislila neki broj i dodala mu 25. Kada je taj broj pomnoila sa 25 dobila je

2025. Koji broj je zamislila Merlina?

Rjeenje:

Oznaimo sa broj koji je zamislila Merlina. Prema uslovima zadatka dobija se jednadba ( + 25) 25 = 2025 = 56.

Dakle, Merlina je zamislila broj 56.

37. Proizvod 1 2 3 4 5 6 7 8 9 podijeliti brojem 4536.

Rjeenje:

Kako je 4536 = 2 2 2 3 3 3 3 7, to je

(1 2 3 4 5 6 7 8 9) (2 2 2 3 3 3 3 7) = 80.


30

38. Iznos od 6000 treba podijeliti na tri osobe tako da prva dobije dva puta vie od druge,

a trea 180 vie nego prva i druga zajedno. Koliko novca je dobila svaka osoba?

Rjeenje:

prva osoba

= 2 druga osoba

= + 2 + 180 trea osoba

+ 2 + + 2 + 180 = 6000

6 = 5820 / : 6

= 970

= 2 970 = 1940

= 970 + 1940 + 180 = 3090

39. Izraunaj zbir svih prirodnih brojeva veih od 52, a manjih od 68.

Rjeenje:

Trebamo izraunati koliko je 53 + 54 + 55 ++ 66 + 67. To emo izraunati tako da prvo

izraunamo 1 + 2 + 3 +67, a zatim od toga oduzmemo zbir 1 + 2 + 3 ++ 52. Kako je

1 + 2 + 3 ++ 67 = 2 278, 1 + 2 + 3 ++ 52 = 1 378 i 2278 1378 = 900, traeni

broj je 900.

40. Odredi dvocifreni broj koji se povea 26 puta ako mu sa lijeve strane dopiemo cifru 9. Rjeenje:

Neka je = traeni dvocifreni broj. Vrijedi jednakost 9 = 900 + , odnosno

26 = 900 + , a odavde je = 36 i to je traeni broj.

41. Koliko ukupno strana ima knjiga, ako prve tri strane nisu numerisane, a ostale su

numerisane poevi od broja 1, i ako je za numeraciju knjige upotrijebljeno 375 cifara? Rjeenje:

Prve tri strane nisu numerisane, a za numerisanje slijedeih 9 strana upotrijebljeno je 9 cifara.

Za numerisanje slijedeih 90 strana upotrebljeno je 2 90 = 180 cifara. Naredne strane su

numerisane trocifrenim brojevima, a kako je upotijebljeno 375 (180 + 9) = 186 cifara,

onda e takvih strana biti 186: 3 = 62.

Dakle, knjiga ima ukupno 3 + 9 + 90 + 62 = 164 strane.


31

42. Odredi zbir: 5 + 10 + 15 + 20 ++ 2000 + 2005. Rjeenje:

5 + 10 + 15 + 20 ++ 2000 + 2005 =

= 5 ( 1 + 2 + 3 + 4 ++ 400) + 2005 =

= 5 401 200 + 2005 = 403005

43. Izraunaj razliku zbira svih parnih i zbira svih nepranih prirodnih brojeva manjih od

2007.

Rjeenje:

(2 + 4 + +6 ++ 2004 + 2006) (1 + 3 + 5 ++ 2003 + 2005) =

= (2 1) + (4 3) + (6 5) + + (2004 2003) + (2006 2005) =

= 1 + 1 + 1 ++ 1 + 1 = 1003

44. Selma je za roendan od svojih prijatelja dobila 24 rue. Rue su bile bijele, ute i crvene

boje. Bijelih je bilo dva puta manje od utih, a crvenih koliko bijelih i utih zajedno. Koliko je

bilo bijelih, koliko utih a koliko crvenih rua?

Rjeenje:

Oznaimo sa broj bijelih rua, onda na osnovu teksta zadatka imamo da je utih 2 a

crvenih + 2 = 3. Kako ih je ukupno bilo 24 postavimo jednadbu:

+ 2 + 3 = 24 = 4

45. Odrediti trocifreni broj, ako za cifre tog broja vrijedi:

- Cifra desetica je 5;

- Zbir cifara je 15;

- Zamjenom cifara stotice i jedinice, novi broj je za 39 vei od dvostrukog starog broja.

Rjeenje:

Cifra desetica u broju je 5 pa je zbir cifara stotica i jedinica 10. Sa oznaimo cifru stotica,

onda je 10 cifra jedinica. Sada trocifreni broj moemo zapisati kao:

510 = 100 + 10 5 + 1 (10 ) = 100 + 50 + 10 = 99 + 60

Novi broj nastaje zamjenom cifara stotica i jedinica, tj.

10 5 = 100 (10 ) + 10 5 + 1 i vrijedi slijedea jednakost:

100 (10 ) + 10 5 + 1 = 2(99 + 60) + 39

1000 100 + 50 + = 198 + 120 + 39

297 = 891

= 3

Cifra stotica je 3 onda je cifra jedinica 10 3 = 7, dakle traeni broj je 357.


32

46. Odredi najmanji i najvei petocifreni neparni prirodni broj kojem su 3 cifre neparne, a 2

parne.

Rjeenje:

Prirodni broj je neparan ako mu je cifra jedinica 1, 3, 5, 7 ili 9. Da bi broj bio najmanji mogui cifre mu trebaju biti 1 i 0, a da bi bio najvei mogui cifre mu trebaju biti 9 i 8. Najmanji peterocifreni neparni prirodni broj kojemu su 3 cifre neparne, a 2 parne je broj 10011. Najvei peterocifreni neparni prirodni broj kojemu su 3 cifre neparne, a 2 parne je broj 99889.

47. Koliki je zbir svih dvocifrenih prirodnih brojeva ?

Rjeenje:

99 10 + 1 = 90 sabiraka

(10 + 99) + (11 + 98) + + (54 + 55) = 109 45 = 4905

48. Od 262 uenika jedne kole 125 trenira odbojku, 67 karate, a 116 uenika ne trenira niti

jedan od ovih sportova. Koliko uenika trenira i odbojku i karate? Koliko uenika trenira

samo karate?

Rjeenje:

262 116 = 146

(125 + 67) 146 = 46 uenika trenira i odbojku i karate, a 67 46 = 21 samo karate.

49. Otac ima pet sinova, pri emu su svi sinovi razliite starosti. Otac ima odredenu koliinu

novca koju eli podijeliti petorici svojih sinova. Najmlaem e dati najmanje novca, a svakom

slijedeem starijem po 5 vie. Najstariji sin e dobiti 3 puta vie nego najmlai.

Koliko e novaca dobiti sin koji je trei po starosti?

Rjeenje:

Trei po starosti dobie 20.

50. Zbir etri broja je 100. Zbir prvog, treeg i etvrtog je 65, a zbir prvog, drugog i treeg je

78. Odredi te brojeve ako je prvi za 10 manji od drugog.

Rjeenje:

25, 35, 22, 18


33

51. Zbir tri broja je 5280. Prvi broj je za 340 vei od drugog, a tri puta manji od zbira drugog i treeg. Koliki je svaki broj?

Rjeenje:

320, 980, 2980

52. U pet kutija se nalazi ukupno 200 kuglica. U prvoj i drugoj ima 104 kuglice, a u drugoj i

treoj 86 kuglica, u treoj i etvrtoj 68 kuglica, a u etvrtoj i petoj ima 60 kuglica. Koliko kuglica ima u svakoj kutiji?

Rjeenje:

54, 50, 36, 32, 28

53. Jedan uenik je kupio 4 knjige. Za prve tri knjige je platio 1600 , za prvu, drugu i

etvrtu je platio 2100 . Za prvu, treu i etvrtu je dao 2400 , a za drugu, treu i

etvrtu 2600 . Koliko kota svaka od knjiga?

Rjeenje:

300, 500, 800, 1300

54. Zbir etiri broja je 208. Ako se prvom broju doda 3 ili se drugom oduzme 3 ili se trei

pomnoi sa 3 ili se etvrti podijeli sa 3, uvijek se dobije isti rezultat. Odredi ova 4 broja?

Rjeenje:

36, 42, 13, 117

55. U jednoj korpi ima dva puta vie jabuka nego u drugoj. Ako se iz svake korpe uzme po 20

jabuka onda e u prvoj korpi ostati 3 puta vie nego u drugoj. Koliko je bilo jabuka u svakoj korpi?

Rjeenje:

= 80 i = 40

56. Od tri broja , , sabiranjem po dva dobili smo 332, 408, 466. Odrediti te brojeve.

Rjeenje:

137, 195, 271


34

57. U bazenima , , , i nalazi se ukupno 130 riba. U bazenu i ima ukupno 50 riba, u

bazenu i ma 56, u bazenu i ima 53 a u i ima 48 riba. Koliko riba ima u svakom bazenu?

Rjeenje:

26, 24, 32, 21, 27

58. Uenik je kupio 4 knjige. Prve tri kotaju 36 , sve knjige bez druge kotaju 40 ,

bez tree 38 , a sve bez prve kotaju 42 . Koliko kota svaka knjiga ponaosob?

Rjeenje:

+ + = 36

+ + = 40

+ + = 38

+ + = 42 Saberemo sve etiri jednakosti pa imamo:

3 + 3 + 3 + 3 = 36 + 40 + 38 + 42

3( + + + ) = 156

+ + + = 156: 3

+ + =36

+ = 52 = 52 36 = 16

Nastavljajui isti postupak imamo: = 10 = 12 = 14 = 16

59. Zbir 100 uzastopnih prirodnih brojeva je 6050. Koji su to brojrvi?

Rjeenje:

Neka su traeni uzastopni prirodni brojevi:

, + 1, + 2, . . . , + 99

+ + 1 + + 2+. . . + + 99 = 6050

100 + (1 + 2 + 3+. . . +99) = 6050

1 + 2 + 3 ++ 99 = 1 + 99 + 2 + 98 + 3 + 97 ++ 49 + 51 + 50 = 49 100 + 50 =

= 4900 + 50 = 4950

100 + 4950 = 6050

100 = 6050 4950

100 = 1100

= 1100: 100

= 11

Traeni uzastopni brojevi su: 11, 12, 13, , 109, 110.


35

60. Proizvod dva dvocifrena broja zapisan je samo pomou etvorki. Odrediti te brojeve!

Rjeenje:

Proizvod dva dvocifrena broja moe biti samo trocifren ili etverocifren broj. Po uslovu

zadatka moe biti ili 444 ili 4444. Rastavljanjem brojeva na faktore imamo 444 = 2 2 3 37 = 12 37 pa je jedino rjeenje

12 i 37.

4444 = 4 11 101 gdje je 101 prost broj pa zakljuujemo da je 4444 nemogue zapisati kao proizvod dvocifrenih brojeva pa je mogue samo prvo rjeenje.

61. Zbir tri broja je 240. Zbir prvog i drugog broja je 110, a zbir prvog i treeg broja je 180.

Odredi te brojeve.

Rjeenje:

I nain

Neka su to brojevi: , i ( + ) + = 240 ( + ) + = 240 + ( + ) = 240

Prema uslovima zadatka: 110 + = 240 180 + = 240 + (130 + 60) = 240

+ + = 240 = 240110 = 240 180 + 190 = 240

+ = 110 = 130 = 60 = 240 190

+ = 180 = 50

Traeni brojevi su 50, 60 i 130

II nain

240 110 = 130

240 180 = 60

240 (130 + 60) = 240 190 = 50

62. U dvije posude je bilo ukupno 40 vode. Ako iz prve posude prespemo u drugu posudu

5 tada e u drugoj posudi biti tri puta vie vode. Koliko je bilo u svakoj posudi vode?

Rjeenje:

I nain

Iz uslova zadatka proizilazi da je nakon presipanja u posudama ukupno 4 jednaka dijela

40 4 = 10 jedan dio. U prvoj posudi 10. U drugoj posudi 10 3 = 30.

Prije presipanja u posudama je bilo:

10 + 5 = 15 u prvoj posudi vode

30 5 = 25 u drugoj posudi vode


36

II nain

Prije presipanja: Poslije presipanja:

u prvoj posudi ( 5) u prvoj posudi

u drugoj posudi ( + 5) u drugoj posudi

+ = 40 = 40 Prema uslovu zadatka je:

3 ( 5) = + 5

3 ( 5) = 40 + 5 = 15

= 40 = 25

U posudama je bilo 15 i 25 .

63. Amir, Mario i Alen su skupljali sliice. Amir i Mario su skupili 206 sliica, Alen i Mario

165, a Amir i Alen 183. Koliko je svaki od njih skupio sliica ako su ukupno imali 277

sliica?

Rjeenje:

+ = 206 + =206

+ = 277 = 71

+ = 165 = 165 71 = 94

+ = 183 = 183 71 = 112

Amir je imao 112, Mario 94, a Alen 71 sliicu.

64. Za numerisanje knjige Dervi i smrt Mea Selimovi upotrijebljeno je 1290 cifara.

Koliko stranica ima ta knjiga?

Rjeenje:

(1290 189): 3 = 367

367 + 90 + 9 = 466

Knjga ima 466 stranica

65. U jednoj ulici kue su numerisane tako da su sa jedne strane kue sa parnim, a sa druge

strane kue sa neparnim brojevima. Sa neparne strane brojevi idu od 1 do 169, a sa parne od

2 do 114. Koliko je cifara (znakova) upotrebljeno za numerisanje svih kua u toj ulici?

Rjeenje:

Sa neparne strane je upotrebljeno: 5 1 + 45 2 + 35 3 = 5 + 90 + 105 = 200 cifara.

Sa parne strane je upotrebljeno: 4 1 + 45 2 + 8 3 = 4 + 90 + 24 = 118 cifara.

Ukupno je za numerisanje kua u ulici upotrebljeno: 200 + 118 = 318 cifara.


37

66. Zbir nekih 20 uzastopnih prirodnih brojeva je 2590. Koji su to brojevi?

Rjeenje:

To su brojevi: , + 1, + 2, , + 19, + 20

+ + 1 + + 2 + + + 19 = 2590

20 + (9 20 + 10) = 2590

20 + 180 + 10 = 2590

20 + 190 = 2590

20 = 2400

= 120


38

Djeljivost u skupu prirodnih brojeva

1. Odredi najmanji prirodni broj zapisan pomou cifara 0 i 4 djeljiv s 15.

Rjeenje:

Prirodni broj je djeljiv s 15 ako je djeljiv i s 3 i s 5. Da bi bio djeljiv s 5, zadnja cifra mu mora biti 0. Da bi bio djeljiv s 3, zbir cifara mu mora biti djeljiv s 3. Najmanji zbroj etvorki djeljiv s 3 je 4 + 4 + 4. Traeni broj je broj 4440.

2. Zadana su tri broja: prvi broj pri dijeljenju sa 9 ima ostatak 6, drugi broj pri dijeljenju sa 9 ima ostatak 4, a trei broj pri dijeljenju sa 9 ima ostatak 5. Koliki ostatak pri dijeljenju sa 9 ima njihov zbroj?

Rjeenje:

Ti brojevi su oblika 9 + 6, 9 + 4 i 9 + 5. Njihov zbir je

(9 + 6) + (9 + 4) + (9 + 5) = 9 + 6 + 9 + 4 + 9 + 5 = 9 + 9 + 9 + 15.

Poetni dio 9 + 9 + 9 je djeljiv s 9, no ostatak pri dijeljenju sa 9 ne moe biti 15 ( jer

ostatak ne moe biti vei od djelitelja ), pa kad jo i 15 rastavimo, dobijemo da je zbir zadanih

brojeva jednak 9 + 9 + 9 + 9 + 6, otkud zakljuujemo da je ostatak pri dijeljenju sa 9

jednak 6.

3. Odredi najmanji etverocifreni broj djeljiv sa brojem 15. Rjeenje:

Najmanji etverocifreni brojevi imaju prvu cifru 1. Zbog djeljivosti s 5 zadnja cifra mu mora

biti 0 ili 5, a zbog djeljivosti s 3 zbir cifara mu mora biti djeljiv sa 3. Ako je zadnja cifra 0, taj

broj izgleda ovako 1 _ _ 0 , a srednje cifre biramo tako da zbir svih cifara bude djeljiv s 3 i da

broj bude to manji, pa dobijemo broj 1020. Ako je zadnja cifra 5, onda taj broj izgleda

ovako 1 _ _ 5, pa srednje cifre mogu biti nule, tj. radi se o broju 1005. Manji od navedenih

brojeva je 1005, pa je to traeni broj.

4. Odredi sve prirodne brojeve oblika 969 djeljive s 3 kojima su cifre desetice i tisuice prosti brojevi.

Rjeenje:

Broj je djeljiv s 3 ako je zbir njegovih cifara djeljiv s 3 pa je zbir 9 + + 6 + + 9 = 24 + + djeljiv s 3. Kako su i prosti brojevi, onda su , {2, 3, 5, 7}. Za = 2 imamo da je 26 + djeljiv s 3 pa je = 7 Za = 3 imamo da je 27 + djeljiv s 3 pa je = 3 Za = 5 imamo da je 29 + djeljiv s 3 pa je = 7 Za = 7 imamo da je 31 + djeljiv s 3 pa je {2, 5}. Traeni brojevi su 92679, 93639, 95679, 97629, 97659.


39

5. Odredi najmanji sedmocifren broj 3219 koji je djeljiv sa 90. Rjeenje:

Da bi broj bio djeljiv sa 90 treba biti djeljiv sa 9 i 10. Ako je broj djeljiv sa 10 onda on zavrava sa 0. Na osnovu toga zakljuujemo da je na broj oblika 32190 . Kako je broj djeljiv sa 9 to je i zbir cifara naeg broja djeljiv sa 9. Zbir cifara naeg broja je 15 + + . Da bi ovaj zbir bi djeljiv sa 9, mora biti + = 3 ili + = 12, tj. cifre i su rjeenja ureenih parova brojeva: (, ) = {(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0), (3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6), (7, 5), (8, 4), (9, 3)}. Zakljuujemo da je traeni najmanji takav broj koji je djeljiv sa 90, broj 3 219 030.

6. Nai sve estocifrene brojeve oblika 2016 koji su djeljivi sa 36. Rjeenje:

Broj treba biti djeljiv sa 4 i sa 9. Ako bi dati broj bio djeljiv sa 4 onda su traeni brojevi oblika: 20164 , 20168 . Sada trebamo jo provjeriti da dati brojevi budu djeljivi sa 9, tj. da im zbir cifara bude djeljiv sa 9. Za prvi broj imamo sluaj 520164, a za drugi 120168. Dakle, traeni brojevi su: 520164 i 120168.

7. Odrediti sve trocifrene brojeve koji su djeljivi sa 4 i iji je proizvod cifara 24. Rjeenje:

Kako je proizvod cifara tih brojeva 24 ti brojevi su sainjeni od faktora tog broja. Rastavimo 24 na faktore. Imamo: 24 = 1 2 2 2 3. Dati brojevi moraju biti trocifreni i djeljivi sa 4. Traeni brojevi su: 164, 416.

8. U parku su posaeni ruini grmovi. Ima ih vie od 350, a manje od 400. Koliki je taan broj grmova ako znamo da su saeni u redovima, a u svakome je 51 grm? Rjeenje:

Ako je u svakom redu 51 grm, onda je broj grmova djeljiv s 51. Brojevi djeljivi s 51 su:

51, 102, 153, 204, 255, 306, 357, 408 itd. Od svih njih, izmeu 350 i 400 se nalazi 357.

Dakle, bilo je tano 357 grmova.

9. Odredi sve osmocifrene prirodne brojeve oblika djeljive s 15. Postupak

obrazloi.

Rjeenje:

Ako je broj djeljiv s 15, onda je djeljiv i s 5 i s 3. Zbog djeljivosti s 5 cifra zadanog broja

moe biti 5 ili 0. Zbog djeljivosti s 3 zbir cifara zadanog broja mora biti djeljiv s 3

1. sluaj: = 0

Zadani osmocifreni broj je oblika 0000 . Zbir njegovih cifara je 4 pa vrijedi

da je {3, 6, 9}.


40

Traeni brojevi su 33330000, 66660000 i 99990000.

2. sluaj = 5

Zadani osmocifreni broj je oblika 5555 . Zbir njegovih cifara je 4 + 20 pa

vrijedi da je {1, 4, 7}.

Traeni brojevi su 11115555, 44445555 i 77775555.

10. Zadana su dva broja: prvi broj pri dijeljenju sa 7 ima ostatak 3, dok drugi broj pri dijeljenju sa 7 ima ostatak 4. Koliki ostatak pri dijeljenju sa 7 ima njihov zbir? Rjeenje:

Poto prvi broj pri dijeljenju sa 7 ima ostatak 3, on je oblika 7 + 3. Drugi broj pri dijeljenju

sa 7 ima ostatak 4, pa je on oblika 7 + 4. Pogledajmo njihov zbir:

(7 + 3) + (7 + 4) = 7 + 3 + 7 + 4 = 7 + 7 + 7.

Taj je izraz djeljiv sa 7 jer su svi sabirci djeljivi sa 7. Dakle, njihov zbir pri dijeljenju sa 7 ima

ostatak 0.

11. Odredi cifru u broju 5124 tako da taj broj bude djeljiv sa 36.

Rjeenje:

Broj je djeljiv sa 36 ako je istovremeno djeljiv sa 4 i sa 9. Broj je djeljiv sa 4 ako mu je

dvocifreni zavretak djeljiv sa 4, {0 , 2 , 4 , 6 , 8}, tj to su brojevi :

51204 , 51224 , 51264 , 51284. Broj je djeljiv sa 9 ako mu je zbir cifara djeljiv sa 9.

= 6, tj. to je broj 51264. Vidimo da je broj koji se ponavlja 51264 (djeljiv sa 4 i sa 9),

pa je = 6 rjeenje naeg zadatka.

12. Orediti razliku najveeg i najmanjeg peterocifrenog broja djeljivih sa 127. Rjeenje:

Kako je 10 000: 127 = 78(4) i 99 999: 127 = 787(50), najmanji broj je 127 79 = 10 003. Najvei traeni broj 999999 50 = 999949.

13. Od etiri proizvoljno odabrana prirodna broja uvijek e se nai dva koja pri dijeljenju sa 3 daju isti ostatak. Dokazati!

Rjeenje:

Ostaci pri dijeljenju sa 3 mogu biti 0, 1 i 2 (najvie 3 razliita ostatka). Kako imamo 4 broja a najvie 3 razliita ostatka, bar 2 od 4 broja imaju iste ostatke pri dijeljenju sa 3.


41

14. Zbir dva dvocifrena broja koji se zapisuju istim ciframa a u obrnutom redosljedu je djeljiv

sa 55. Odredi te brojeve. Rjeenje:

+ = (10 + ) + (10 + ) = 11( + ). Zbir takva dva broja je uvijek djeljiv sa 11 pa je potrebno jo samo da zbir cifara + bude djeljiv sa 5. To su brojevi 14 i 41 ili 23 i 32.

15. Razliku najveeg i najmanjeg petocifrenog broja s razliitim ciframa koji su djeljivi

brojem 15 zaokrui na najbliu deseticu.

Rjeenje:

Vrijedi 15 = 3 5. Iz djeljivosti s 5 slijedi da su cifre jedinica traenih petocifrenih brojeva 0 ili 5, a iz djeljivosti s 3 da je zbir njihovih cifara djeljiv sa 3. Najmanji takav broj je 10245, a najvei 98760. Njihova razlika je 88515, a zaokruena vrijednost je 88520.

16. Dokai da je zbir tri uzastopna prirodna broja djeljiv sa brojem 3.

Rjeenje:

Neka su tri uzastopna prirodna broja , + 1, + 2. Ako saberemo ove brojeve

+ + 1 + + 2 = 3 + 3 = 3( + 1). Proizvod je djeljiv sa nekim brojem ako je bar

jedan faktor djeljiv tim brojem, pa zakljuujemo da je proizvod 3( + 1) djeljiv sa brojem 3.

17. Nai najmanji i najvei trocifren prirodan broj koji pri dijeljenju sa 16 ima kolinik isti

kao i ostatak .

Rjeenje:

Traeni broj je 16 + = 17, pa se najmanji traeni broj dobiva za = 6, tj.

17 6 = 102. Najvei traeni broj se dobiva za = 15, jer je 15 najvei ostatak pri

dijeljenju sa 16, znai 17 15 = 255.

18. Odrediti najmanji prirodan broj djeljiv sa 36 koji je zapisan samo ciframa 4 i 7.

Rjeenje:

Broj koji je djeljiv sa 36 mora da bude djeljiv sa 4 i sa 9. Ako je djeljiv sa 4, a zapisuje se

samo ciframa 7 i 4, on mora da se zavrava sa 44. Zbir cifara toga broja treba da bude djeljiv

sa 9, pa kako su sluajevi 8 + 1 i 8 + 10, tj. 8 + 4 + 4 + 4 + 7, pa je traeni broj

444744 .


42

19. Odrediti cifre i tako da je 1991

12 prirodan broj .

Rjeenje:

Da bi traeni kolinik bio prirodan broj , mora dati broj 1991 biti djeljiv sa 12, a to znai

sa 3 i 4. Kako dvocifreni zavretak 1 mora biti djeljiv sa 4, to je = 2 ili = 6. Ako je

= 2 onda je zbir cifara datog broja jednak 22 + , pa zbog djeljivosti sa 3, a moe biti 2, 5

ili 8. Ako je = 6, onda je zbir cifara 26 + , pa u tom sluaju moe biti 1, 4 ili 7. Svi

traeni brojevi su 199116, 199212, 199416, 199512, 199716, 199812.

20. Odrediti najvei etverocifreni broj koji pri dijeljenju sa 3, 4, 5, 6 i 7 daje ostatak 2.

Rjeenje:

Kako je (3,4,5,6,7) = 3 2 2 5 7 = 420, traeni broj je 420 + 2, pri emu je

420 + 2 9999. Dakle najvei takav broj je 9662 .

21. Odrediti sve vrijednosti cifara i tako da razlomak 2012

36 bude prirodan broj!

Rjeenje.

da bi razlomak bio prirodan broj, brojnik treba biti djeljiv sa nazivnikom, pa u naem

sluaju nazivnik treba da je djeljiv sa 4 i 9 istovremeno zato to je 4 9 = 36

da bi 2012 bio djeljiv sa 4 njegov dvocifreni zavretak mora biti djeljiv sa 4 pa cifra

jedinica moe imati jednu od vrijednosti {0, 4, 8}

da bi 2012 bio djeljiv sa 9 zbir njegovih cifara treba da bude djeljiv sa 9

1 ako je = 2 + 0 + 1 + 2 + 0 = 5 =

2 ako je = 2 + 0 + 1 + 2 + 4 = 9 =

3 ako je = 2 + 0 + 1 + 2 + 8 = 13 =

22. Dokai da zbir 6 uzastopnih prirodnih brojeva nikad nije djeljiv sa 2! Rjeenje:

+ ( + 1) + ( + 2) + ( + 3) + ( + 4) + + 5 = 6 + 15 = 3(2 + 5) to nije djeljivo sa 2 jer su oba faktora neparni brojevi.

23. Zadana su dva broja: prvi broj pri dijeljenju sa 12 ima ostatak 5, dok drugi broj pri

dijeljenju sa 12 ima ostatak 3. Koliki ostatak pri dijeljenju sa 12 ima njihov zbir ?

Rjeenje:

Ti brojevi su oblika 12 + 5 i 12 + 3, pa je njihov zbir

(12 + 5 + 12 + 3) = 12 + 12 + 8


43

poetni dio 12 + 12 je djeljiv sa 12, pa je ostatak zbira pri dijeljenju sa 12 jednak 8.

24. Odrediti sve trocifrene prirodne brojeve koji su djeljivi sa 4 i iji je proizvod cifara jednak 24. Odgovor obrazloiti? Rjeenje:

Proizvod 24 je mogu u kombinacijama: 1 3 8; 1 4 6; 2 2 6; 2 3 4 .Traeni brojevi

su 164, 416, 324 i 432 jer su samo njihovi dvocifreni zavreci djeljivi sa 4, tj. ti brojevi su

djeljivi sa 4.

25. Koji brojevi manji od 100 pri dijeljenju sa 4 i pri dijeljenju sa 20 daju ostatak 1?

Rjeenje:

(4, 26) = 52

= 52 + 1 < 100 = 0 = 1

= 1 = 53

26. U broju 354 odredi tako da broj bude djeljiv sa 12.

Rjeenje:

Zbog djeljivosti sa 3 moe biti 0,3,6,9, kako je broj djeljiv i sa 4 od ove etiri cifre ostaje

da moe biti 0 ili 6.

27. U etvorocifrenom broju 322 odredi vrijednost cifre tako da dobiveni broj bude djeljiv

sa 12.

Rjeenje:

Broj je djeljiv sa 12 ako je djeljiv sa 3 i 4. Da bi broj 322 bio djeljiv sa 3, zbir cifara mu

mora biti djeljiv sa 3. Cifra moe biti 2, 5 ili 8. Zbog djeljivosti sa 4, zadnje dvije cifre

moraju biti djeljive sa 4. Od tri sluaja (22, 52, 82) je konano rjeenje 52 odnosno = 5.

28. Odredi etverocifrene brojeve oblika 11 tako da budu djeljivi sa 36.

Rjeenje:

Broj e bitidjeljiv sa 36 ako je djeljiv sa 4 i sa 9. Da bi broj bio djeljiv sa 4 treba da bude 1 djeljivo

sa 4.

Znai da {2, 6}.

Za = 2 imamo zbir cifara + 1 + 1 + 2 = + 4 da bude djeljiv sa 9, znai = 5 jer je 5 + 4 = 9.

Za = 6 imamo zbir cifara + 1 + 1 + 6 = + 8 da bude djeljiv sa 9, znai = 1 jer je 1 + 8 = 9.

Traeni brojevi su 5112 i 1116.


44

29. Proizvod pet uzastopnih prirodnih brojeva je broj 95 4 . Odrediti nepoznate cifre.

Rjeenje:

Od pet uzastopnih prirodnih brojeva bar jedan mora biti djeljiv sa 2, bar jedan sa 3 i bar jedan

sa 5, pa proizvod tih pet brojeva mora biti djeljiv i sa 10 i sa 3 .Zbog toga, cifra jedinica mora

biti 0, a ako cifru stotina obiljeimo sa , zbir 9 + 5 + + 4 + 0 mora biti djeljiv sa 3.

Slijedi da je {0, 3, 6, 9}. Provjerom za svako iz ovog skupa slijedi da je jedino za = 0

dobiveni broj proizvod 5 uzastopnih brojeva i to 95040 = 8 9 10 11 12.

30. Ako se brojevi 8746 i 1652 podijele jednim istim brojem dobiju se redom ostaci 16 i 14.

Odredi broj kojim je vreno dijeljenje .

Rjeenje:

Uvrstimo redom ostatke te ih oduzmimo od mjernih brojeva 874616 i 1652 14, pa

dobijemo 8730 i 1638. Ovi brojevi djeljivi su sa 2, 9 i 18. Meutim, ostaci dijeljenja su 16 i

14, a kolinik mora biti vei od ostatka, pa je traeni zajedniki djelilac 18.

31. Odredi najmanji etverocifreni broj djeljiv sa brojem 72 koji ima sve cifre razliite.

Rjeenje:

1008

32. Napii: a) najvei, b) najmanji petocifreni broj ija je cifra jedinica 7, a koji je djeljiv

brojem 9.

Rjeenje:

a) 99927

b) 10017

33. Napii najmanji i najvei etverocifreni broj djeljiv sa 15.

Rjeenje:

9990, 1005


45

Razlomci

1. Aida sa 77 koraka jednake duine pree 67, a Alen sa 88 koraka jednake duine pree

78. iji korak je dui i za koliko?

Rjeenje:

Aidin korak:

67

77 =

67 8

77 8 =

536

616

Alenov korak:

78

88 =

78 7

88 7 =

546

616

Alenov korak je dui za:

546

616

536

616 =

10

616 =

5

308

2. Nai prosti broj tako da vai 4

21 tj. 11 + 12 > 10 + 13


89

17. Odredi brojnu vrijednost izraza 0.4 19

16 + 0.2 2

1

2 15 (

1

5)2

=

Rjeenje

4

10 25

16+2

10 5

2 15 |

1

5 | =

2

55

4+1

2 15

1

5=1

2+1

2 3 = 1 3 = 2

18. Ako su zadani prirodni brojevi, onda za = , =22

2 i =

2+2

2 vrijedi

relacija 2 + 2 = 2. Dokazati! Rjeenje:

2 = 2 2

2 =4 22 2 + 4

4

2 =4 + 22 2 + 4

42 + 2 = 2 }

2 2 +

4 22 2 + 4

4=4 + 22 2 + 4

44 + 22 2 + 4

4=4 + 22 2 + 4

4

19. Neka je = ( + 3)2 ( 2)2 , = 2 ( )2. Izraz

svedi na to

jednostavniji oblik pa izraunaj njegov vrijednost za =1

4, =

1

3.

Rjeenje:

= 25.

20. Izraunaj vrijednost izraza 1+2+

21 ako je = 1 0, 04

1

21 0,49 0,3

Rjeenje:

1 + 2 +

2 1= 1

21. Rijei nejednainu (1 1

2)2

(1 2

2)2 6

(, 6)


90

22. Izraunaj vrijednost izraza 83 42 za = 2 +1

4

Rjeenje:

83 42 = 18

23. Dokazati nejednakost 2 2 + 2 2 , 0. Kada vrijedi znak

jednakosti?

Rjeenje:

Jednakost se postie za =

24. Dat je izraz 32 32 6 32.

a) Uprosti izraz ako je + = .

b) Izraunati numeriku vrijednost datog izraza za + = = 331

3.

Rjeenje:

a) 0

b) To e biti specijalno rjeenje za datu vrijednost .

25. Uporedi po veliini brojeve: = 5 + 25 i = 45 + 205 .

Rjeenje:

=

26. Neka je pozitivan realan broj za kojeg vrijedi 2 +1

2=17

4. Izraunaj:

a) 1

;

b) +1

.

Rjeenje:

a) 1

=

3

2,

b) Dobijaju se etiri mogua rjeenja: 2 i = 1

2


91

27. Izrauaj: 1

1+2+

1

2+3+

1

3+4++

1

99+100 .

Rjeenje:

1

1 + 2+

1

2 + 3+

1

3 + 4++

1

99 + 100= 9

28. Izraunaj: (2006 1 + 20081 + 2007 2005)2

.

Rjeenje:

(2006 1 + 20081 + 2007 2005)

2

= 1

29. Ako je 2 2 = 18 izraunaj vrijednost izraza 3

3

3

3 .

Rjeenje:

3

33

3= 3

30. Izraunaj vrijednost izraza (5 5)2 (5 5).

Rjeenje:

(5 5)2 (5 5) = 0

31. Koliko je 1

1000 od [

15702+1070221401570

1027522252]2

?

Rjeenje:

[15702 + 10702 2140 1570

10 2752 2252]

2

= 25

32. Odredi najmanji prirodni broj tako da je broj 1350 prirodan.

Rjeenje:

= 6


92

33. ta je vee 5 + 27 ili 33 + 26 ?

Rjeenje:

5 + 27 > 33 + 26

34. Dokai da je broj 7 + 43 + 7 43 prirodan.

Rjeenje:

Kvadriranjem izraza dobije se broj 4, to je trebalo dokazati.

35. Dokazati da je broj 11 + 62 + 11 62 cio broj.

Rjeenje:

Kvadriranjem izraza dobijamo rezultat 29.

36. ta je vee 5+26

2 ili

1

76 ? Bez raunanja korijena!

Rjeenje:

5 + 26

2 7 3 = 4, pa zakljuujemo da je 7 7 > 2.

II nain

Pretpostavimo da je 2 > 7 7. Kako je 7 7 > 0, jer je 7 > 7 to je dozvoljeno

kvadrirati dati korijen, pa emo imati:

2 > 7 7 /2

4 > 7 7 3 > 7 /2

9 < 7 to nije tano. Do pogrenog zakljuka nas je dovela pretpostavka da je 2 > 7 7

pa nije tana i zakljuujemo da je 2 < 7 7.

53. Nai sve cijele brojeve za koje je 45

45 kvadrat nekog prirodnog broja.

Rjeenje:

Potpuni kvadrati koji su faktori broja 45 su 1 i 9. Kako je 45 = 5 9 = 1 45 to 45 mora

biti jednako ili 5 ili 45, pa zakljuujemo da je = 40 ili = 0.


96

54. Ako je prirodan broj vei od 1 i 2 +1

2=82

9, koliko je +

1

,

1

i ?

Rjeenje:

( +1

)2

= 2 + 2 +1

2= 2 +

82

9=100

9 +

1

=10

3

( 1

)2

= 2 2 +1

2= 2 +

82

9=64

9

1

=8

3

Sabiranjem poslednje dvije jednakosti dobijamo:

+1

+

1

=10

3+8

3 2 = 6 = 3


97

Procentni raun

1. Izraunaj 22,5% od 1

3 od [

34021602+65022502

(10002+10001940+9702)(1000210001998+9992)]30

Rjeenje:

3

40

2. Cijena knjige smanjila se za 21%. Za koliko treba porasti nova cijena da bi bila jednaka

prvobitnoj?

Rjeenje:

Neka je cijena knjige . Tada je njena cijena poslije snienja od 21%, 0.79. Neka je

procentualno uveanje nove dobijene cijene koja treba biti jednaka prvobitnoj. Sada imamo

jednainu:

0.79 + 0.79 = 0.79 = 1 0.79 =0.21

0.79 = 26.6

Dakle, novu cijenu treba poveati za 26.6% da bi bila jednaka prvobitnoj.

3. U jednoj koli je prole kolske godine bilo ukupno 1200 djeaka i djevojica. Ove

kolske godine se broj djeaka smanjio za 10%, a broj djevojica se poveao za 20% u

odnosu na prethodnu godinu, tako da se ove godine broj uenika poveao za 75. Koliko

djeaka, a koliko djevojica pohaa ove godine tu kolu?

Rjeenje:

Neka je broj djeaka u proloj kolskoj godini, a broj djevojica 1200 . Iz uslova

zadatka slijedi da je ove kolske godine 0.9 djeaka i 1.2(1200 ) djevojica. Zato vrijedi

0.9 + 1.2(1200 ) = 1200 + 75 = 550. Prema tome, ove kolske godine ima

0.9 550 = 495 djeaka i 1.2 (1200 550) = 780 djevojica.

4. Faruk i Dado brodovima voze turiste na viednevna putovanja . Faruk je cijenu putovanja

po osobi naplaivao za 80 vie od Dade. Kada su to uoili, Faruk je smanjio cijenu

putovanja za 10%, a Dado poveao za 15%. Nakon promjene cijena, putovanje Dadinim

brodom je za 8 po osobi skuplje od putovanja Farukovim brodom. Kolike su nove cijene

putovanja?


98

Rjeenje:

Neka je stara cijena putovanja kod Dade izraena u . Tada je + 80 stara cijena

putovanja kod Faruka. Nakon promjene, nova cijena kod Farukaje 0.9( + 80), a kod Dade

1.15. Kako je, prema uvjetu zadatka, razlika u novim cijenama 8 , vrijedi

1.15 8 = 0.9( + 80) = 320. Dakle, nova cijena kod Dade je

1.15 320 = 368 , a kod Faruka 0.9 400 = 360 .

5. Otac i majka imaju ukupno 80 godina. Njihova djeca imaju 13, 10 i 6 godina. Za nekoliko

godina zbir godina djece biti e 59% zbira godina oca i majke. Koliko e godina tada imati

otac, a koliko majka ako je majka 4 godine mlaa od oca?

Rjeenje:

Moemo zakljuiti da otac ima 42 godine, a majka 38. Za nekoliko godina, pretpostavimo za

godina, zbir godina djece je 59% zbira godina oca i majke. To zapisujemo

13 + + 10 + + 6 + =59

100(80 + 2) = 10. Otac e imati 52, a majka 48 godina.

6. Prole godine broj uenika u nekoj koli iznosio je 850. Ove godine broj djeaka smanjio

se za 4%, a broj djevojica se poveao za 3% nakon ega broj uenika iznosi 844. Koliki je

broj djevojica ove godine u koli?

Rjeenje:

Neka je broj djeaka onda je broj djevojica (850 ). Prema uslovima zadatka moemo

formirati jednainu 0.96 + 1.03(850 ) = 844 = 450.

Djeaka je 450, a djevojica je 400.

7. Brat i sestra htijeli su kupiti drutvenu igru. Bratu je nedostajalo 5

19 ukupne cijene, a sestri

1

4

ukupne cijene. No, zajedno su imali 185 vie od ukupne cijene igre. Zajedno su kupili

igru tako to je brat dao 45% ukupne cijene igre, a sestra ostatak. Koliko je novca ostalo bratu

a koliko sestri?

Rjeenje:

Neka igra kota . Tada brat ima 14

19, a sestra

3

4. Zajedno imaju:

14

19 +

3

4 = + 185 = 380

Drutvena igra je kotala 380. Brat je imao 14

19 380 = 280, a sestra

3

4 380 = 285. Brat je za igru dao

45

100 380 = 171, a sestra 209. Bratu je ostalo

109, sestri 76.


99

8. Ako se brojnik nekog razomka povea za 5%, a nazivnik povea za 20%, hoe li se

vrijednost razlomka poveati ili smanjiti i za koliko posto?

Rjeenje:

Nakon poveanja brojnika i nazivnika razlomak

postaje

1,05

1,20=105

120=7

8

.

Razlomak se umanjio za 1

8 ili za 12,5 %.

9. Kominica Fata uzgaja kokoke. Prije 4 godine imala je 32 kokoke. Prve dvije godine se

taj broj kokoki uveavao za 25 % u odnosu na prethodnu godinu, a sljedee dvije godine se

broj kokoki smanjivao za 20 % u odnosu na prethodnu godinu. Koliko kokoki kominica

Fata ima sada ?

Rjeenje:

Ako je prije 4 godine imala 32 kokoke, onda je prije tri godine imala 125% od 32 tj. 40

kokoki. Prije dvije godine je imala 125 % od 40 kokoki tj. 50 kokoki 1.25 40 = 50.

Prije godinu je imala 80% od 50 kokoki tj. 40 kokoki. Sada ima 80% od 40 kokoki

0.8 40 = 32 tj. 32 kokoke.

10. Za koliko procenata treba promijeniti cijenu ulaznice za nogometnu utakmicu ako se eli

poveati broj gledalaca za 50%, a ukupni prihod za 25%? Rjeenje:

Ako je broj gledalaca, a cijena karte, onda je prihod . Izrazimo nove veliine

(promjene) pomou i . Ako se broj gledalaca povea za 50%, bit e 50

100 gledalaca. Ako

se oekuje 25% vei prihod, prihod e biti 125

100 . Pitanje je kako se pri tom treba

promijeniti cijena karte. Sa oznaimo tu promjenu. Znai, mora biti 150

100 =

125

100 .

Na lijevoj i desnoj strani pokrate se i , pa ostaje 150

100 =

125

100 =

5

6. Dakle,

5

6 treba

biti nova cijena karte. To znai da se cijena mora smanjiti za 1

6 17%.

11. Adam treba da proda dva artikla za 120. Ako bi prvi artikl sniio za 25%, a drugi

poveao za 25%, izgubio bi 1

8 zarade. Odredi cijene artikala.

Rjeenje:

cijena prvog artikla 120 cijena drugog artikla

0.75x + 1. 25(120 x) = 7

8 120 x = 90

Cijene artikala su 90 i 30.


100

12. U jednoj koli ima manje od 400 uenika. est odjeljenja imaju jednak broj uenika i njihov ukupni broj vei je od 150. U ostalim odjeljenjima ima 15% vie uenika nego u ovih 6 odjeljenja. Koliko uenika ima u koli? Rjeenje:

Neka je u svakom od 6 odjeljenja s jednakim brojem uenika ( uenika). Tada je u njima ukupno 6 uenika. Poto je 6 > 150, onda je > 25. U ostalim odjeljenjima je 15% vie uenika, to znai 1.15 6 = 6.9 uenika. Ukupno ih ima 6 + 6.9 = 12.9 i taj broj je

manji od 400. Dakle, 12.9 < 400 tj. > >

18. Izraunaj 1

1

2

1+6

+5

2

+5

1=

Rjeenje:

1 12

1 +6 +

52

+ 5

1= 1

19. Nai x ako je (1

2526+

1

2627+

1

2728+

1

2829+

1

2930) 150 + 10.8: [0.54 ( 1)] = 11.

Rjeenje:

= 3

20. Odredi vrijednost izraza 1

1+++

1

1+++

1

1++ ako za realne brojeve , i

vrijedi = 1.

Rjeenje:

1

1 + + +

1

1 + + +

1

1 + + = 1


111

21. Ako je

=

+ i + 0, 0, 0, koliko je

1

1

?

Rjeenje:

1

1

= 1

22. Ako je

+

=11

10 i

=5

2, odredi razlomke

i

.

Rjeenje:

=11

14,

=11

35

23. Ako je =1

2, =

1

2, izraunaj ( )3 ( 3) + ( 3) ( )3.

Rjeenje:

( )3 ( 3) + ( 3) ( )3 =27

64

24. Koliko ima cijelih brojeva za koje vai 1

433333331

33333334

39. Odredi najmanji prirodan broj pomnoen sa 2646 daje kub nekog prirodnog broja.

Rjeenje:

2646 = 2 33 72 slijedi da najmanji prirodan broj 22 7 = 28 jer je

2646 28 = 2 33 72 22 7 = (2 3 7)3 = 423

40. Dokazati da je zbir 2 + 2+1 + 2+2, djeljiv sa 14.

Rjeenje:

Kako je 2 + 2+1 + 2+2 = 2 + 2 2 + 2 22 = 2(1 + 2 + 3 + 4) = 14 21

to je broj 14 je djelilac od 2 + 2+1 + 2+2.

41.

a) Skrati razlomak =2+28

24.

b) Odredi sve cijele brojeve tako da vrijednost razlomka bude cio broj.

Rjeenje:

a)

=2 + 2 8

2 4=( + 4)( 2)

( 2)( + 2)= + 4

+ 2, 2

b)

+ 4

+ 2= + 2 + 2

+ 2= 1 +

2

+ 2

Razlomak je cio broj ako je + 2 {3,1,0}. Ako {3,1, 0} tada {1, 3, 2 }.


115

42. Ako je + = 6 i = 8 pokazati da je 4 + 4 = 272.

Rjeenje:

+ = 6 /2

( + )2 = 36 2 + 2 + 2 = 36 2 + 2 8 + 2 = 36

2 + 2 = 36 16 2 + 2 = 20 /2

(2 + 2)2 = 400 4 + 222 + 4 = 400

= 8 /2 2 + 2 = 64

4 + 2 64 + 4 = 400 4 + 128 + 4 = 400

4 + 4 = 400 128

4 + 4 = 272

43. Ako je realan broj i ako je +1

= 3 izraunaj koliko je : 2 +

1

2 i 4 +

1

4

Rjeenje

Ako je +1

= 3 onda je

( +1

)2

= 2 + 2 1

+1

2= 9

2 + 2 +1

2= 9 2 +

1

2= 9 2

2 +1

2= 7

2 +1

2= 7 /2

4 + 2 2 1

2+1

2= 49

4 + 2 +1

4= 49 4 +

1

4= 49 2

4 +1

4= 47

44. Izraunati =3501+366832004

2004.

Rjeenje:

=3501 + 3668 32004

2004=

3501

2004+3 668

200432004

2004=3501

4 501+2004

2004 3 =

3

2+ 1 3 =

1

2


116

45. Ako je = 1, dokazati da je

( +1

) ( +

1

) ( +

1

) = (

1

)2

+ ( 1

)2

+ ( 1

)2

4.

Rjeenje:

( +1

) ( +

1

) ( +

1

) = +

+

+

+

+

+

+

1

=

Tuzla, januara 2016. godine 1 - cms.pztz.bacms.pztz.ba/userfiles/pztz/files/Takmicenje/Zbirka...

Documents

Transcript of Tuzla, januara 2016. godine 1 - cms.pztz.bacms.pztz.ba/userfiles/pztz/files/Takmicenje/Zbirka...