Tuymaada MO 2000~2011

Tuymaada Yakut 수학올림피아드

KAIST 수학문제연구회

2011년 12월 8일

차례

I 문제편 5

2000 Tuymaada Yakut 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7












4 차례

귀띔

Tuymaada Yakut 수학올림피아드는 러시아 사카 공화국의 수도 Yakutsk에서 열리는 대회

로, 물리, 화학, 정보과학 올림피아드와 함께 열린다. 루마니아, 중국, 카자흐스탄, 몰도바

등의 국가와, 상트페테르부르크, 타타르스탄, 블라디보스톡 등등의 러시아의 여러 도시들

이 참가한다. 한 팀(국가 또는 지역)에서 한 과목에 세 명의 대표를 보내며, 이틀 동안 치른

다.

1993년에 러시아 교육부가 다양한 수학, 물리학, 정보과학 올림피아드에서 좋은 성과를 낸

학생들을 초청하여 Yakutsk에서 여름학교를 가졌는데, 그 때 다양한 강좌와 함께 여름 올

림피아드를 치른 것이 계기가 되었다. 1994년부터는 국제 대회로 치르기로 하고, 이 국제

여름학교에 Tuymaada라는이름을붙였다. 인구 30만명정도의 Yakutsk는 Tuymaada 계곡

의 Lena 강 왼쪽 기슭에 위치해있다.

2008년부터는 중등부(라고는 하지만 아마도 고등학교 입학 직전의 학생들) 시험이 추가되

었다.

제 I 부

문제편

2000 Tuymaada Yakut 수학올림피아드 7

2000 Tuymaada Yakut 수학올림피아드

1. 자연수 n의 양의 약수의 개수를 d(n)으로 쓰기로 하고, e(n) = [ 2000n ] 으로 정의하자.

다음을 보여라.

d(1) + d(2) + ¢ ¢ ¢+ d(2000) = e(1) + e(2) + ¢ ¢ ¢+ e(2000)

2. 한 마름모에 내접하는 원의 한 접선 l이 마름모의 변 AB, BC와 각각 점 E, F에서 만

난다. 곱 AE ¢ CF 는 l의 선택과 관계없이 항상 일정함을 증명하여라.

3. 아래 그림과 같은 벽돌벽(모든 방향으로 무한함) 그림을 길이 1, 2, 3, : : : 인 철사들

을 각각 딱 한 번씩 써서 만들 수 있는가?

철사는 구부릴 수는 있지만 중첩될 수는 없다. 그리고, 벽돌의 크기는 1£ 2 이다.

4. 0 < xk · 12 인 실수 x1; x2; : : : ; xn 에 대해, 다음 부등식을 증명하여라.µ

n

x1 + ¢ ¢ ¢+ xn¡ 1¶n

·µ1

x1¡ 1¶¢ ¢ ¢µ1

xn¡ 1¶

5. 평면 위의 모든 점을 2000가지 색으로 칠하는데, (반지름이 0이 아닌) 모든 원이 이

2000가지 색의 점을 다 갖도록 할 수 있는가?

6. 그라프란드라는 나라에는 2000개의 도시가 있다. 이들 중 몇몇 쌍은 길로 연결되어

있다. 각각의 도시마다 그 도시에서 나오는 길을 세었더니, 그 수들 중 같은 수가 딱

한 쌍 있었다. 그 수는 무엇인가?

7. 다항식 P (t)가 모든 실수 x에 대해 다음을 만족한다.

P (sinx) + P (cosx) = 1

이 다항식은 몇 차식일 수 있는가?

8. 10−n꼴(n ¸ 1)의 수는 서로 다른 자연수들의 계승(k!꼴을 말함)의 역수의 합으로 나타낼 수 없음을 증명하여라.

8 2001 Tuymaada Yakut 수학올림피아드


1. 한 배구 대회에 10개의 팀이 참가했다. 각각의 두 팀이 정확히 한 번씩 대결했다. 각

대결에서 이긴 팀은 승점 1점을 받고, 진 팀은 0점을 받는다. 비기는 경우는 없다. 대

회가 끝났을 때 n등한 팀이 거둔 승점을 xn이라 하자(n = 1; 2; : : : ; 10). x1 + 2x2 +

¢ ¢ ¢+ 10x10 ¸ 165 임을 보여라.

2. 자연수 범위에서 다음 방정식을 풀어라.

(a2; b2) + (a; bc) + (b; ac) + (c; ab) = 199

단, (x; y)는 x와 y의 최대공약수를 나타낸다.

3. 각각의정수 x, y마다 P (x) +Q(y) = R(z) 를 만족시키는 정수 z가 항상 존재하는, 어

떤 계수도 0이 아닌 세 이차식 P , Q, R이 존재하는가?

4. 단위 정사각형 ABCD가 1012개의 작은 정사각형으로 분할되어있다. 작은 정사각형

들의 크기는 다를 수 있다. 대각선 AC와 만나는 모든 작은 정사각형들의 둘레의 길

이의 합은 1500을 넘지 않음을 보여라.

5. 자연수전체를두집합 N1과 N2로분할하려고한다. 단, 한집합의어떤두원소의차

도 100보다 큰 소수가 되면 안 된다. 이런 분할을 모두 찾아라.

6. n £ n 크기의 표의 각 칸에 0이 아닌 실수가 하나씩 들어있다(n > 2). 각각의 수

는 그 수를 포함하는 십자영역(그 수를 포함하는 행과 열의 합집합)의 다른 모든 수

들(2n¡ 2개)의 합의 1=k이다. 가능한 k의 값을 모두 구하여라.

7. ABCD는볼록사각형이고,¡!DA와

¡!CB가점 Q에서,

¡!BA와

¡!CD가점 P에서만난다.그

리고, \AQB = \APD이다. \AQB의이등분선이변 AB 및 CD와각각점 X와 Y에

서만나고, \APD의이등분선이변 AD 및 BC와각각점 Z와 T에서만난다고하자.

4ZQT와 4XPY의외접원들이이사각형내부의점 K에서만난다고할때, K는대

각선 AC 위에 있음을 보여라.

8. 모든 실수를 10가지 색으로 색칠하려고 한다. 십진법 전개에서 딱 한 위치의 자릿수

만 서로 다른 두 수는 항상 서로 다른 색이 되도록 할 수 있는가? 단, 어느 시점 이후

로 모든 자릿수가 쭉 9인 표현은 금지된 것으로 한다.



1. 3차원공간의한평면위에육각형 ABCDEF가있고,이평면에대해서로반대쪽영

역에 있는 두 점 G와 H에서 이 육각형의 모든 점까지 각각 선분으로 이었다. 8개의

꼭지점 각각에 적당한 실수를 하나씩 부여하려고 하는데, 18개의 모서리 각각에 그

양끝점의 수의 차를 적었을 때 그들의 집합이 f1; 2; 3; : : : ; 18g 이 되게 할 수 있는가?

2. abcd = 1 인 양의 실수 a, b, c, d에 대해, 다음 부등식을 증명하여라.

1 + ab

1 + a+1 + bc

1 + b+1 + cd

1 + c+1 + da

1 + d¸ 4

3. 삼각형 ABC의외접원과같은중심을갖는한원이이삼각형의세변과여섯점에서

만난다. 그 여섯 점이 볼록육각형 A1A2B1B2C1C2를 이루고, BC 위의 점이 A1, A2;

AC 위의 점이 B1, B2; AB 위의 점이 C1, C2이다. A1B1이 \B의 이등분선과 평행하면, A2C2도 \C의 이등분선과 평행함을 보여라.

4. 2001행과 2002열로 된 직사각형 표가 1 £ 2 직사각형 블럭들로 분할되어있다. 1 £ 2블럭들로의다른어떤분할방법도이분할과적어도한블럭은정확히포개어진다고

한다. 이 분할에는 2001개의 가로 블럭들로 구성된 연속한 두 열이 있음을 보여라.

5. 자연수 c가주어져있다. 다음의규칙에 따라수열 fpkg를만들자: p1은임의의 소수이고, k ¸ 1 에 대해 pk+1은 pk + c 의 소인수 중에서 p1; p2; : : : ; pk 에 없는 것 중 임의의

하나이다. 이 수열은 무한수열일 수 없음을 보여라.

6. 모든 실수 x에 대해

f(3x¡ 2) · f(x) · f(2x¡ 1)

이고, 실수 전체 범위에서 연속인 함수 f(x)를 모두 찾아라.

7. 예각삼각형 ABC의 외접원 위에 AD = AE = BC 인 점 D, E가 있다. H는 수심이

다. AH2 = BH2 + CH2 이 성립하면 H는 선분 DE 위에 있음을 보여라.

8. 실수 a가 주어져있다. 수열 n1 < n2 < n3 < ¢ ¢ ¢ 는 fnag < 110 인 모든 자연수 n을 차

례로늘어놓은 것이다. n2¡n1, n3¡n2, n4¡n3, : : : 에는서로다른 수가많아야 3개

뿐임을 보여라.



1. 단위칸으로 분할된 2003 £ 2004 크기의 표가 있다. 네 단위칸의 네 대각선으로 이루어진 마름모들을 생각하자. 이런 마름모를 몇 개 그리는데, 어떤 두 마름모도 꼭지점

이외에서는 만나지 않도록 하려고 한다. 최대 몇 개의 마름모를 그릴 수 있는가?

2. AB = CD이고 \A = 150◦, \B = 44◦, \C = 72◦ 인사각형 ABCD가있다.변 AD의

수직이등분선이 변 BC와 점 P에서 만난다. \APD를 구하여라.

3. A는 n개의 문자로 된 알파벳 집합이고, S는 A의 문자로 된 유한한 길이의 낱말들을

일부 모은 집합이다. A의 문자로 된 어떤 무한한 길이의 문자열도 그 시작 부분과 일

치하는 S의 낱말을 딱 1개 찾을 수 있다고 한다. S가 유한집합임을 보여라.

4. x > 0 에서 정의되고 모든 x; y > 0 에 대해

f

µx+

1

x

¶+ f

µy +

1

y

¶= f

µx+

1

y

¶+ f

µy +

1

x

¶을 만족하는 연속함수 f(x)를 모두 찾아라.

5. 구간 (0; ¼=2)의 모든 ®1; ®2; : : : ; ®n에 대해 다음을 증명하여라.µ1

sin®1+

1

sin®2+ ¢ ¢ ¢+ 1

sin®n

¶µ1

cos®1+

1

cos®2+ ¢ ¢ ¢+ 1

cos®n

¶

· 2µ

1

sin 2®1+

1

sin 2®2+ ¢ ¢ ¢+ 1

sin 2®n

¶26. 1 000 000이하의자연수들중에, 2x2¡3y2꼴로표현될수있는것들과 10xy¡x2¡y2꼴

로 표현될 수 있는 것들은 어느 쪽이 더 많은가? 단, x, y는 정수를 의미한다.

7. AB ¢ CD = BC ¢DA 이고 2\A+ \C = 180◦ 인 볼록사각형 ABCD가 있다. A를 포

함하지 않는 호 BD의 중점 P가 삼각형 ABD의 외접원 위에 있다고 한다. P가 사각

형 ABCD의 내부에 있다고 할 때, \BCA = \DCP 임을 보여라.

8. 음아닌정수계수로된다항식 f(x)와자연수 a가주어져있다. a1 = a, an+1 = f(an)

으로 수열 fang을 정의하자. 이 수열의 적어도 한 항의 소인수인 소수는 유한 개뿐이라고 한다. 적당한 음 아닌 정수 c와 k에 대해 f(x) = cxk꼴임을 증명하여라.



1. 모든 자연수 m, n에 대해 am + an = P (mn) 을 만족하는 1차 이상의 다항식 P (x)가

존재하는, 실수들의 수열 a1; a2; a3; : : : 이 존재하는가? (A. Golovanov)

2. 평면에 일반적인 위치의(어느 둘도 평행하지 않고 어느 셋도 한 점에서 만나지 않는)

100개의 직선이 그려져 있다. 이들이 서로 만나는 교점을 모두 표시해 두었다. 그런

후, 모든 직선을 지우고 표시된 점 중 k개도 지웠다. 남은 교점들만으로 처음의 직선

들을 모두 복구해낼 수 있음이 항상 보장되는 k의 값은 최대 얼마인가? (A. Golovanov)

3. 반지름이 1이고 중심이 O인 원에 내접하며 모든 내각의 크기가 45◦보다 큰 예각삼각형 ABC가 있다. B에서 CO에 내린 수선의 발을 B1이라 하고, B1에서 AC에 내린 수

선의 발을 B2라 하자. 비슷하게, C에서 BO에 내린 수선의 발을 C1이라 하고, C1에

서 AB에 내린 수선의 발을 C2라 하자. 두 직선 B1B2와 C1C2의 교점을 A3이라 하고,

B3과 C3도 같은 방식으로 정의하자. 삼각형 A3B3C3의 외접원의 반지름을 구하여라.

(F. Bakharev, F. Petrov)

4. N명이 사는 도시에 여러 저항 집단이 있다. 각 집단은 10명씩으로 구성된다. 어떤

2004개의 집단을 택해도 그 중 11개 이상의 집단에 속하는 어떤 사람이 반드시 있다

고 한다. 정부가 2003명을 잘 골라 체포하여, 모든 집단에서 적어도 한 명씩은 체포되

도록 할 수 있음을 보여라. (V. Dolnikov, D. Karpov)

5. 아더 왕의 50명의 기사가 원탁에 둘러앉았다. 각자의 앞에서 백포도주나 적포도주가

한 잔씩 놓여있다. 원탁에는 백포도주도 적어도 한 잔 있고 적포도주도 적어도 한 잔

있다. 왕이 손뼉을 두 번 쳤는데, 첫 번째 손뼉에는 자기 앞에 적포도주 한 잔이 있는

모든 기사가 자신의 왼쪽 사람의 잔을 가져갔다. 그리고, 두 번째 손뼉에는 자기 앞에

백포도주 한 잔이 있는(물론 그의 앞에 다른 잔이 더 있을 수도 있다) 모든 기사가 그

백포도주 잔을 자신의 왼쪽 사람의 왼쪽 사람에 넘겨줬다. 그럼 잔을 하나도 갖고 있

지 않은 기사가 생겼음을 보여라. (A. Khrabrov, 헝가리 버전에서 뭔가 잘못된 번역)

6. 삼각형 ABC의 내접원이 변 AB, BC와 각각 점 P , Q에서 접한다. 직선 PQ가 삼각

형 ABC의 외접원과 두 점 X와 Y에서 만난다. \ABC = 90◦ 일 때 \XBY의 크기를

구하여라. (A. Smirnov)

7. n£ n 크기의 표의 각 칸에 0 또는 1이 들어있다. 제일 왼쪽 열의 모든 칸에는 1이 들

어있고,

꼴의 영역(어떤 한 칸과 그 칸의 왼쪽 칸 및 아래쪽 칸. 회전된 모양은 생각하지 않

음)의 수의 합은 늘 짝수라고 한다. 이 표의 어떤 두 행도 완전히 똑같지는 않음을 보

여라. (O. Vanyushina)

8. m, n은 m > nn−1 인자연수이고, m+1;m+2; : : : ;m+n들은모두합성수라고한다.

각각의 k = 1; 2; : : : ; n에대해 pk가m+k의약수가되는,서로다른소수 p1; p2; : : : ; pn

이 존재함을 보여라. (C. A. Grimm)



1. 11£ 11 크기의 표의 칸에 1, 2, : : : ; 121을 적당한 순서로 배열하였다. 다영이는 각 행

마다 그 행의 수의 곱을 계산했고, 수영이는 각 열마다 그 열의 수의 곱을 계산했다.

두 사람이 얻은 곱의 모음이 (집합적으로) 일치할 수 있는가? (S. Berlov)

2. 파탈리아에서는 13명의 후보 중에 국제 수학올림피아드에 파견할 6명의 대표단을 선

발하였다.대표선발시험에서각각의후보는 a1; a2; : : : ; a13점을얻었다(ai들은모두서

로 다르다). 단장은 이미 6명의 후보를 선택했고, 이들 이외의 다른 사람을 대표단에

뽑는것은원치않는다. 그런의도에서그는한다항식 P (x)를만들어서각후보의창

의적 잠재력을 ci = P (ai) 라는 식으로 도출하려고 한다. 그의 여섯 후보들의 창의적

잠재력이나머지일곱명의그것보다모두크게되는,이런 n차이하의다항식 P (x)를

항상 찾아낼 수 있는 최소의 n은 얼마인가? (F. Petrov, K. Sukhov)

3. 어떤 수학자 회의의 조직위원들은 만일 한 참가자를 아무나 골라 독방을 배정해주면

나머지 참가자들은 항상 서로 아는 사람들끼리 둘씩 2인실에 배정할 수 있음을 발견

했다. 각 참가자가 그 자신과 다른 짝수 명의 사람이 참가하는, 바로 옆에 앉은 사람

들끼리는 모두 서로 아는 사이가 되게끔, 그래프 이론에 관한 원탁 회의를 조직할 수

있음을 보여라. (S. Berlov, S. Ivanov)

4. 삼각형 ABC에서 A1, B1, C1은 방접원들이 변 BC, CA, AB와 각각 접하는 점이다.

AA1, BB1, CC1은 어떤 한 삼각형의 세 변의 길이가 됨을 보여라. (L. Emelyanov)

5. 몇 개의 룩이 그림과 같은 표의 칸들에 놓여있다.

이들은 표의 모든 칸을 공격하고 있다(각각의 룩은 자신의 놓여있는 칸도 공격한다).

몇 개의 룩을 제거하여 11개 이하의 룩만 남기는데, 남은 룩들도 모든 칸을 공격하고

있도록 할 수 있음을 보여라. (D. Rostovsky, based on folklore)


6. 자연수 n과 진분수들의 무한수열

x0 =a0n; x1 =

a1n+ 1

; x2 =a2

n+ 2; : : : ai < n+ i

이 주어져 있다. c1x1 + c2x2 + ¢ ¢ ¢ + ckxk = 1 인 자연수 k와 정수 c1; c2; : : : ; ck 가 존

재함을 보여라. (M. Dubashinsky)

7. I는삼각형 ABC의내심이다. B와 C를 지나는한원이 두선분 BI, CI와각각 점 P ,

Q에서 만난다. BP ¢CQ = PI ¢QI 라 할 때, 삼각형 PQI의 외접원이 ABC의 외접원

과 접함을 보여라. (S. Berlov)

8. a2 + b2 + c2 = 1 인 모든 양수 a, b, c에 대해 다음 부등식을 증명하여라. (A. Khrabrov)

a

a3 + bc+

b

b3 + ca+

c

c3 + ab> 3



1. 서로 다른 7개의 소수를 생각하자. 이 중 어떤 둘을 택해도 그 8제곱의 차가 항상 나

머지 수들 각각의 배수가 되는 것이 가능한가? (F. Petrov, K. Sukhov)

2. 양방향으로 무한히 항들이 있고 각각의 항은 바로 앞선 두 항의 합이 되는 수열을 피

보나치류 수열이라 부른다. 어떤 연속한 두 항에 N 이하의 연속한 두 자연수가 나타

나는 피보나치류 수열은 몇 개인가? 단, 첨자만 밀린 관계의 두 수열은 같은 수열로

본다. (I. Pevzner)

3. 평면에직선 l이있고, l 밖의한점 A와 l 위의한점 B가있다. l과 B에서접하며 A를

바깥에두는임의의원 !를생각하자. A에서 !에그은두접선의접점을 X와 Y라할

때, 직선 XY는 !의 선택에 관계없이 늘 한 고정점을 지남을 보여라. (F. Bakharev)

4. 모든 양수 x에 대해 f(x + 1) = f(x) + 1 이고 f

µ1

f(x)

¶=1

x인 함수 f : (0;1) !

(0;1) 를 모두 구하여라. (P. Volkmann)

5. 반칙쟁이 나라의 권투챔피언 대회에 강함이 서로 다른 100명의 선수가 참가하였다.

각 선수는 다른 각 선수와 딱 한 번씩 싸운다. 몇 명의 선수가 그들 중 딱 한 명이 싸

우는 경기에서는 그 선수의 글러브 안에 납편자를 넣기로 공모하였다. 한 선수만 편

자를 넣고 싸웠을 때는 그 선수가 이기고, 그렇지 않을 때는 더 강한 선수가 항상 이

긴다. 대회가 끝나고 보니, 가장 강한 세 선수 각각보다 더 많은 경기를 이긴 선수가

세 명이었다. 공모에 참가한 선수는 최소 몇 명인가? (N. Kalinin)

6. H는예각삼각형 ABC의수심이고 G는무게중심이다. M은 ABC의외접원의호 AC

의 중점이다. MG가 외접원의 반지름과 같으면 BG ¸ BH 임을 보여라. (F. Bakharev)

7. n£ (n¡ 1) 크기의 표에서 첫행과 첫열의 칸 2n¡ 2개를 모두 모은 것을 코너라고 말하자(이것이 회전되거나 뒤집힌 꼴도 모두 코너이다). 단위 간격의 가로 세로 격자선

에 의해 분할된 무한평면에서 각 칸을 k가지 색에서 골라 칠했는데, 어떤 위치에서든

코너에 의해 덮이는 모든 칸들은 서로 다른 색이 되도록 하였다. 가능한 최소의 k는

얼마인가? (S. Berlov)

8. 어떤 자연수의 지수 집합이란 소인수분해에서 모든 소인수들의 지수를 순서 없이 나

열한 것이다. 예를 들어, 180 = 22 ¢ 32 ¢ 51 과 882 = 32 ¢ 21 ¢ 72 은 똑같은 지수 집합 1,

2, 2를 갖는다. 각각의 n에 대해 an과 bn이 늘 똑같은 지수 집합을 갖는, 두 증가하는

등차수열 (an)과 (bn)을 생각하자. 이 두 수열은 서로 비례함을 보여라. (A. Golovanov)



1. 두 자연수 a < b 가 있다. 임의의 연속한 b개의 자연수 중에는 언제나 그 곱이 ab의 배

수인 두 수가 있음을 보여라. (S. Berlov)

2. 계수만 서로 재배열한 관계의 두 100차 다항식

f(x) = a100x100 + a99x

99 + ¢ ¢ ¢+ a1x+ a0

g(x) = b100x100 + b99x

99 + ¢ ¢ ¢+ b1x+ b0

가있다. i = 0; 1; 2; : : : ; 100에대해 ai 6= bi 라고한다.모든실수 x에대해 f(x) ¸ g(x)

일 수 있는가? (A. Golovanov)

3. AA1, BB1, CC1은 예각삼각형 ABC의 수선들이다. A1과 B1을 지나는 한 원이 외접

원의 호 AB와 C2에서 접한다. A2와 B2도 비슷하게 정의하자. 세 직선 AA2, BB2,

CC2가 한 점에서 만남을 보여라. (R. Sakhipov)

4. 다음 조건을 만족하는 집합 X와 그 부분집합들 Y1; Y2; : : : ; Y31 이 존재하는, 최대의

실수 k를 구하여라.

(1) X의 어떤 두 원소에 대해서도 그 둘 모두 속하지 않는 Yi가 존재한다.

(2) ®1+ ¢ ¢ ¢+®31 = 1 인 어떤 음 아닌 수 ®i들을 각각의 부분집합 Yi들에배정해도,

x를 포함하는 Yi들에 배정된 ®i들의 합이 k 이상이 되는 원소 x 2 X 가 존재한

다. (I. Bogdanov, G. Chelnokov)

5. 비가 4 또는 8인 어떤 두 수도 서로 다른 색이 되도록 모든 양의 실수를 색칠하기에

충분한 색의 수는 최소 몇 개인가? (A. Golovanov)

6. D는 삼각형 ABC의 변 AB 위에서 고른 점이다. L은 BD = LD 이고 \LAB =

\LCA = \DCB 인 삼각형 ABC 내부의 점이다. \ALD + \ABC = 180◦ 일 때

\BLC = 90◦ 임을 보여라. (R. Sakhipov)

7. 무한한 체스판에 몇 개의 `기사(마)'가 놓여있다. 어떤 칸도 둘 이상의 기사로부터 공

격당하고있지는않다. (특히, 이미기사가 놓여있는칸도다른한기사로부터 공격당

하고 있을 수 있다.) 새미가 14£ 16 크기의 직사각형 영역을 하나 그렸다. 이 영역에최대 몇 개의 기사가 들어있을 수 있는가? (S. Berlov)

8. 다음을 만족하는 양수 c가 존재함을 보여라: 임의의 자연수 N에 대해, 2N 이하의 어

떤 N개의 자연수를 택해도 그 중에는 최대공약수가 cN보다 큰 두 수가 항상 존재한

다. (F. Petrov)



중등부

1. 몇몇 유명한 과학자들의 초상화가 걸려있는 벽이 있다. 그들은 1600년에서 2008년까

지 살았던 사람들이고, 각자는 80년 이하를 살았다. 보라는 이 과학자들의 탄생년도

를 모두 곱했고, 명아는 사망년도를 모두 곱했다. 명아의 계산 결과는 보라의 결과의

정확히 54배라고 한다. 이 벽에 걸려있는 초상화는 최소 몇 개인가? (V. Frank)

2. 106 이하의모든합성수를한원의둘레에나열하는데, 이웃한어떤두수도서로소가

아니도록 할 수 있음을 보여라. (A. Golovanov)

3. 단위칸으로분할된무한 격자판이 있고, 이 판에서 100개의칸으로된 10£ 10 크기의한 영역을택했다. 이영역의 칸을 구성하는 모든 단위 선분들을 몇 개의 색에서 골라

칠했다. 이격자판의선으로 된어떤크기, 어떤위치의정사각형도(이정사각형은선

택한 영역 안에 있을 필요가 없다) 그 변에 두 가지 이하의 색만 나타난다고 한다. 이

판에 나타날 수 있는 색은 최대 몇 개인가? (S. Berlov)

4. 삼각형 ABC의 내심 I를 BC에 대해 대칭시킨 점을 I1이라 하자. BCI1의 외접원이

직선 II1과 점 P에서 다시 만난다. P는 내접원 I의 바깥에 있다고 한다. P에서 내접

원 I에그은두접선이원과접하는점을 X, Y라하자.직선 XY는삼각형 ABC의한

중점연결선을 포함함을 보여라. (L. Emelyanov)

5. 마차와 작은 수레가 한 대씩 있다. 마차에는 1000 kg까지, 수레에는 1 kg까지 짐을 실

을수있다.창고에각각 1 kg 이하인유한개의모래주머니가있는데,전체의무게합

은 1001 kg을 넘는다고 한다. 주머니들의 무게가 어떻게 주어지든 상관없이 항상 마

차와 수레에 실을 수 있는 모래는 최대 몇 kg인가? (M. Ivanov, D. Rostovsky, V. Frank)

6. ABCD는 AD k BC 인등변사다리꼴이다.두대각선 AC와 BD가점 M에서만난다.

선분 AB 위에 AX = AM , BY = BM 인 점 X와 Y가 있다. Z를 XY의 중점, N을

두 선분 XD와 Y C의 교점이라 하자. ZN이 이 사다리꼴의 밑변과 평행함을 보여라.

(A. Akopyan, A. Myakishev)

7. 각각의 두 원소(같을 수도 있음)에 대해 그 합과 차 중 늘 딱 하나가 다시 그 집합에

속하는자연수들의집합을멋지다고말한다. 2008을포함하는멋진집합을모두찾아

라. (F. Petrov)

8. 501 이하의 자연수들 중에서 250개의 수를 골랐다. t가 어떤 정수든, 앞서 골랐던 네

정수 a, b, c, d로 만든 a+ b+ c+ d¡ t꼴의 수들 중에 23의 배수가 있음을 보여라.

(K. Kokhas)


고등부

1. 칠판에 몇 개의 무리수가 적혀있다. 칠판의 모든 두 수 a와 b에 대해,a

b+ 1와

b

a+ 1중 적어도 하나는 유리수라고 한다. 칠판에 있는 수는 최대 몇 개인가? (A. Golovanov)

2. (중등부 2번과 동일)


4. 같은 방의 사람들끼리는 어느 둘도 서로 모르는 사이이지만, 각 방에서 한 사람씩 잘

택하면 선택된 사람들끼리는 모두 서로 아는 사이가 되도록, 한 집단의 사람들을 몇

개의 방에 나눠 투숙시킬 수 있을 때 그 집단을 좋은 집단이라 부른다. 어떤 좋은 집

단이 각각의 부분집합 또한 좋은 집단이 되면 그 집단을 완벽한 집단이라 부른다. 한

완벽한 집단이 파티를 열 계획이다. 그런데, 그 중 한 사람인 보라가 그 집단이 아닌

아는 친구 명아를 예고없이 데려왔고, 자신이 아는 모든 사람들에게 그녀를 소개했

다. 그럼 새로운 집단도 역시 완벽함을 보여라. (C. Berge)

5. 해밀턴 마을의 각각의 거리는 두 광장을 연결하고, 모든 두 광장은 거리들을 통해 오

갈 수 있다. 같은 광장을 두 번 지나지 않는 임의의 한 경로를 택해 그 경로 상의 모든

광장을 폐쇄해도, 남은 광장들은 여전히 모두 서로 통한다고 한다. 모든 광장을 딱 한

번씩 들러서 출발점으로 되돌아오는 경로가 존재함을 보여라. (S. Berlov)


7. 두대의수레가있다.한대에는 8 kg까지,다른한대에는 9 kg까지짐을실을수있다.

창고에 각각 1 kg 이하인 유한 개의 모래 주머니가 있는데, 전체의 무게 합은 17 kg을

넘는다고 한다. 주머니들의 무게가 어떻게 주어지든 상관없이 항상 이 두 수레에 실

을 수 있는 모래는 최대 몇 kg인가? (M. Ivanov, D. Rostovsky, V. Frank)

8. 볼록육각형이주어져있다.마주보는변끼리중점을연결한세선분의길이의합을 s라

하자. 이 육각형의 내부에, 이 육각형의 각 변을 연장한 직선들에 이르는 거리의 합이

s 이하인 점이 있음을 보여라. (N. Sedrakyan)



중등부

1. 모든 칸이 비어있는 20£ 20 표가 있다. 명희부터 시작하여, 명희와 상희가 번갈아 빈칸에 돌을 놓는다. 어느 네 돌이 꼭지네모(두 행과 두 열의 교집합)를 이루게 만든 사

람이 이긴다. 누구에게 필승의 전략이 있는가? (A. Golovanov)

2. P (x)는 0인계수를갖지않는이차식이다.수열 P (1); P (2); P (3); : : : 에, 바로앞의두

항의 합이 되는 항은 최대 몇 개까지 있을 수 있는가? (A. Golovanov)

3. AB = AD 이고 CD > AB +BC 인 원에 내접하는 사각형 ABCD가 있다. \ABC >

120◦ 임을 보여라. (Baltic Way 2007 short-list)

4. X는 2009개의 원소를 갖는 집합이고, 그 부분집합 A1; A2; : : : ; An 은 각각 4개 이

상의 원소를 갖는다. 이 부분집합들 중 어떤 둘도 공통 원소를 많아야 2개 갖는다.

A1; A2; : : : ; An 중 어느 것도 통째로 포함하지 않는, 24개의 원소를 갖는 X의 부분집

합 B가 존재함을 보여라. (From olympiad materials)

5. 한 마법사가 한 관객에게 세 자리의 수 abc를 하나 생각한 후 acb, bac, bca, cab, cba의

합을 알려달라고 했다. 그는 이 합을 알려주면 원래의 수를 맞힐 수 있다고 주장했다.

이것은 사실인가? (From olympiad materials)

6. M은 사다리꼴 ABCD의 밑변 BC의 중점이다. 윗변 AD에서 한 점 P를 골랐다. 직

선 PM이 직선 CD와 점 Q에서 만난다(C는 Q와 D 사이에 있다). P를 지나 밑변에

수직한 직선이 직선 BQ와 K에서 만난다. \QBC = \KDA 임을 보여라. (S. Berlov)

7. n£ n 표의 칸들에 돌을 배열하는데, 각각의 2£ 2 정사각 영역마다 3개 이하의 돌이

있으면 이것을 성긴배열이라부른다. 이 표의 몇몇 칸에 돌을 하나씩 놓아서 한 성긴

배열을 만들었는데, 어떤 돌 하나를 어떤 빈칸으로 옮겨도 더 이상 성긴 배열이 되지

않음을 발견할 수 있었다. 이것이 가능한 n은 어떤 것들인가? (S. Berlov)

8. 합이 200 이하이고제곱의합은 2500 이상인몇개의음아닌수가있다. 이들중에합

이 50 이상인 네 수가 있음을 보여라. (A. Khabrov)


고등부

1. 세 개의 실수가 있다. 어느 두 수를 곱해도 그 소수부는 0.5라고 한다. 이 수들은 모두

무리수임을 보여라. (A. Golovanov)

2. 파란 구슬 100개와 빨간 구슬 몇 개로 이루어진 목걸이가 있다. 이 목걸이의 어떤 부

분이 파란구슬 8개를 포함하면 빨간 구슬도 항상 5개 이상 포함한다고 한다. 이 목걸

이에는 빨간 구슬이 최소 몇 개 있는가? (A. Golovanov)

3. 원에내접하는 사각형 ABCD의변 AB 위에 점 X가있는데, 대각선 BD가 CX를 이

등분하고 대각선 AC가 DX를 이등분한다고 한다. AB=CD는 최소 얼마인가?

(S. Berlov)

4. 십진법으로pn;pn+ 1;

pn+ 2; : : : ;

pn+ 999의소수점이하 200번째자릿수들을모

으면 모든 숫자가 100번씩 나타나는 자연수 n이 존재하는가? (A. Golovanov)



7. 삼각형 ABC가 있다. AC에 대한 B의 대칭점을 B1, AB에 대한 C의 대칭점을 C1이

라 하고, BC에 대한 ABC의 외심의 대칭점을 O1이라 하자. AB1C1의 외심이 직선

AO1 위에 있음을 보여라. (A. Akopyan)

8. 다음 조건을 만족하는 최대의 h를 구하여라: 모든 a 2 [0; h] 와 P (0) = P (1) = 0 인

모든 99차의 다항식 P (x)에 대해, P (x1) = P (x2) 이고 x2 ¡ x1 = a 인 x1; x2 2 [0; 1]이 존재한다. (F. Petrov, D. Rostovsky, A. Khrabrov)



중등부

1. 상구와 명호가 100£ 100 판에서 게임을 한다. 먼저 상구가 50개의 칸을 골라 왕을 각

각 하나씩 놓은 다음, 명호는 빈칸을 하나 골라 룩을 놓는다. 그 후 상구부터 번갈아

차례를 갖는데, 상구 차례에는 각각의 왕을 (가로, 세로, 혹은 대각선으로) 이웃한 칸

으로옮기고,명호차례에는룩을가로나세로로적당히몇칸을옮긴다.룩은왕을뛰

어넘거나 잡을 수 없다. 상구가 왕으로 룩을 꼭 잡을 수 있을까? (S. Berlov)

2. H는 예각삼각형 ABC의 수심이고, D는 변 BC 안에서 고른 점이다. P는 ADPH가

평행사변형이 되는 점이다. \BPC > \BAC 임을 보여라. (S. Berlov)

3. 서로 다르며 0이 아닌 세 수가 있다. 이 세 수를 적당한 순서로 계수로 갖는 모든 이

차식이 정수근을 적어도 하나씩은 갖는다고 한다. 이 이차식들은 모두 1을 근으로 가

짐을 보여라. (A. Golovanov)

4. 칠판에 2010개의자연수가적혀있다. y > 1인두수 x, y를지우고대신 2x+1, y¡1을쓰거나 (y ¡ 1 이 4의 배수일 때만) 2x+ 1, 14 (y ¡ 1)을 쓸 수 있다. 예를 들어, 3과 5를

지우면 대신 7과 4를 쓰거나, 7과 1을 쓰거나(x = 3, y = 5 로 뒀을 때), 11과 2를 쓸

수 있다(x = 5, y = 3 으로 뒀을 때). 처음에 2006과 2008을 지우는 것으로 시작하여

몇 차례의 이런 작업이 진행되었다. 맨처음의 수들의 집합이 칠판에 그대로 다시 나

타날 수는 없음을 보여라. (M. Antipov)

5. 2개 이상의 실수들로 된 집합 M이 있다. 모든 x 2 M 에 대해 3x ¡ 2 와 ¡4x + 5 중적어도 하나는 다시 M에 속한다고 한다. M이 무한집합임을 보여라. (A. Golovanov)

6. n은 자연수이다. 어느 것도 n의 배수가 아니지만 그 곱은 n의 배수인, 연속한 5개의

자연수가 존재한다고 한다. 어느 것도 n의 배수가 아니지만 그 곱은 n의 배수인, 연

속한 4개의 자연수도 존재함을 보여라. (S. Berlov)

7. 삼각형 ABC의 내심 I에서, A를 지나 BC에 평행한 직선에 내린 수선의 발을 P라 하

자. BC와 평행한 내접원의 접선이 변 AB, AC와 각각 Q, R에서 만난다. \QPB =

\RPC 임을 보여라. (V. Smykalov)

8. 어떤 나라에몇 개의 도시가 있다. 몇몇 도시 사이에는 단방향의 직항 항공 노선이 운

영되고 있다. 다음을 만족하도록 도시들의 집합 A를 택할 수 있음을 보여라.

(i) A의 어떤 두 도시 사이에도 항공 노선이 없고,

(ii) A 바깥의 모든 도시는 직항 노선을 한 번 또는 두 번 이용하여 A의 어떤 도시에

이른다. (V. Dolnikov)


고등부


2. (중등부 2번과 같은데 마지막 질문만 바꿈) \DCP < \BHP 임을 보여라. (S. Berlov)

3. 한 원의 둘레에 2010개의 숫자를 배열하였다. 각 숫자는 1, 2, 3 중 하나이다. 각각의

k에 대해, 연속한 숫자 3k개의 블럭에는 각 숫자가 항상 k + 10 번 이하로 나타난다

고 한다. 각 숫자가 같은 횟수로 나타나는, 연속한 숫자 몇 개의 블럭이 존재함을 보

여라. (S. Berlov)

4. 모든 실수 ® > 0 에 대해, [®n2]은 무한히 많은 자연수 n에 대해 짝수가 됨을 보여라.

(A. Golovanov)

5. 뮌하우젠남작은자기가양의계수를갖는어떤주목할만한이차식을알고있다고자

랑을 한다. 그 이차식에는 정수근이 있으며, 모든 계수를 1씩 증가시켜 얻은 새로운

이차식에도 역시 정수근이 있고, 모든 계수를 한 번 더 1씩 증가시켜 얻은 세 번째 이

차식에도 역시 정수근이 있다고 한다. 이것이 사실일 수 있는가? (S. Berlov)

6. (중등부 6번과 같지만, 5개와 4개 대신 2010개와 2004개로 바꾼 문제) (S. Berlov)

7. 원에내접하는사각형 ABCD이있다.두변 AB와 CD의연장선이점 P에서만나고,

두변 AD와 BC의 연장선이점 Q에서만난다. 두삼각형 APD와 AQB의 두수심 사

이의 거리가 두 삼각형 CQD와 BPC의 두 수심 사이의 거리와 같음을 보여라.

(L. Emelyanov)

8. 어떤 나라에는 모두 네 도시에 49명의 학생이 살고 있다. 한 학년이 끝날 무렵 9과목

에 대한 일제고사를 실시했다. 모든 과목의 점수가 서로 일치하는 두 학생은 없었다.

그러나, 같은 도시의 학생들끼리는 어느 둘도 적어도 한 과목에서는 같은 점수를 받

았다고 한다. 어떤 한 과목이 있어서, 같은 도시의 학생들끼리는 그 과목의 점수가 모

두 같음을 보여라. (F. Petrov)



중등부

1. 빨강, 파랑, 초록의 아이들이 원형으로 둘러서 있다. 선생님이 \초록 아이와 이웃한

빨강 아이들 손 들어요." 라고 하자, 20명이 손을 들었다. 선생님이 다시 \초록 아이

와 이웃한 파랑 아이들 손 들어요." 라고 하자, 25명이 손을 들었다. 손을 들었던 아

이 중에 양옆 사람이 모두 초록인 아이가 있음을 보여라. (A. Golovanov)

2. 2011£ 2011 에서 11£ 11 영역을 하나 잘라내는데, 남은 영역이 도미노(1£ 2 타일)로잘 깔리는 영역이 되도록 하는 방법의 수는 얼마나 되는가? (S. Volchenkov)

3. 삼각형 ABC의 한 방접원이 변 AB와 P에서, 그리고 두 변 AC, BC와는 그 연장선

위의 점 Q, R에서 각각 접한다. PQ의 중점이 ABC의 외접원 위에 있다면, PR의 중

점 또한 그 원 위에 있음을 보여라. (S. Berlov)

4. 10만개의 연속한 100자리의 수 중에는, 1n의 십진 소수전개에서 순환마디의 길이가

2011보다 긴 n이 항상 있음으로 보여라. (A. Golovanov)

5. 1보다 큰 실수 각각을 빨강 또는 파랑으로 색칠했다. 두 색 모두 사용되었다. a+ b 와

ab가 다른 색인 두 실수 a와 b가 존재함을 보여라. (A. Golovanov)

6. 원에 내접하는 사각형 ABCD의 AB를 현으로 갖는 원이 대각선 AC, BD와 각각 점

E, F에서 만난다. 두 직선 AF와 BC가 점 P에서 만나고, 두 직선 BE와 AD가 점

Q에서 만난다. PQ가 CD와 평행함을 보여라. (A. Akopyan)

7. 10개보다 많은 문자로 이루어졌으며 같은 문자가 연속하여 나타나지 않는 한 낱말이

있다. 이 낱말에서 이웃한 어느 두 문자를 잘 골라 바꿔서, 주기적이지 않은(똑같은

낱말 여러 개로 분할되지 않는) 낱말이 되도록 할 수 있음을 보여라. (A. Golovanov)

8. 네모 공작이 세 아들에게 100£ 100 km2 의 정사각 토지를 물려주고자 한다. 이 토지는 1 £ 1 km2 크기의 1만개의 단위 블럭으로 구획되어 있다. 이 토지를 나누기 위해,

세 아들에게 각각 토지 내의 한 점씩을 배정하고, 각 블럭에 대해 그 블럭의 중심에

가장 가까운 점을 배정받은 아들에게 그 블럭의 땅을 주기로 하였다. 각 아들이 받은

토지는 세 점이 어떻게 정해지든 상관없이 항상 연결된 영역이 되는가? (A. Akopyan)


고등부


2. 두원 !1과 !2가두점 A와 B에서만나고, M은 AB의중점이다.직선 AB 위에두점

S1과 S2가 있다(단, A와 B 사이에 있지는 않다). S1에서 !1에 그은 두 접선이 이 원

과 X1, Y1에서 접하고, S2에서 !2에 그은 두 접선이 이 원과 X2, Y2에서 접한다. 직선

X1X2가 M을 지나면, Y1Y2도 M을 지남을 보여라. (A. Akopyan)

3. 무한 체스판의 각 칸마다, 이 체스판 위에 미리 잡아둔 한 칸 O로부터 마를 움직여서

그 칸에 도착할 수 있는 최소 이동횟수를 적었다. 100이 적힌 칸 중에서 그에 변으로

이웃한 네 칸에 모두 101이 적혀 있는 칸을 두드러진 칸이라 부른다. 두드러진 칸은

몇 개인가? (A. Golovanov)

4. 연속한몇개의자연수가있는데,그중딱 100개가완전세제곱수이고딱 10개가완전

네제곱수라고 한다. 그럼 완전제곱수는 적어도 2000개 있음을 보여라. (A. Golovanov)

5. 1보다큰실수각각을빨강또는파랑으로색칠했다. 두색모두사용되었다. a+ 1b 와

b+ 1a 가 다른 색인 두 실수 a와 b가 존재함을 보여라. (A. Golovanov)


7. 마주보는 변끼리 길이가 같은 볼록육각형 AC BA CB 이 있다. AA의 수직이등분선

과 BC의 교점을 A1이라 하고, B1과 C1도 비슷하게 정의하자. A1, B1, C1이 한 직선

위에 있음을 보여라. (A. Akopyan)

8. P (n)은 정수 계수의 이차식이다. 각각의 자연수 n에 대해 P (n)의 진약수 dn을(즉,

1 < dn < P (n))하나씩택하여증가하는수열 (dn)을만들수있었다. P (n)이정수계

수의 두 일차식의 곱이거나, 아니면 모든 P (n)의 약수가 되는 정수 m > 1 이 존재함

을 보여라. (A. Golovanov)

Tuymaada MO 2000~2011

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Transcript of Tuymaada MO 2000~2011