TURUNAN FUNGSI ALJABARPersamaan Garis Singgung

Oleh : Agus Setiawan, S.Pd

Media Pembelajaran Matematika SMA XI IPS

Persamaan Garis SinggungPerhatikan gambar berikut ini.

Titik P dan Q terletak pada kurva y = f(x), titik P dan Q berturut-turut mempunyai absis x = a, dan x = a+h, maka ordinat titik P dan Q berturut-turut y = f(a) dan y = f(a+h)

Garis PQ mempunyai gradien m yang ditentukan sebagai berikut.

Selanjutnya jika Q bergerak mendekati P, maka garis PQ akan menjadi garis singgung kurva y = f(x)

Jika Q mendekati P, maka nilai h juga akan mendekati 0, sehingga gradien garis singgung dapat ditentukan sebagai berikut.

Berdasarkan definisi turunan fungsi maka gradien garis singgung di titik P(a, f(a)) adalah

m

y = f (x)

Q(a+h, f(a+h))

P(a, f(a)) S

garis singgung

x = a+hx = a X

Y

f(a+h)

f(a)

h

garis PQ

f(a+h) – f(a)

PS

QSmPQ

h

)a(f)ha(f

h

)a(f)ha(flimmlimm

0hPQ

0h

)a(f /

)a(f /

Persamaan garis singgung kurva y = f (x) di titik (a, b) adalah

dengan

Ingat !Diketahui dua garis g dan l , dengan persamaan g : m1x + c, dan

l = m2x + c, dengan m1 dan m2 berturut-turut adalah gradien dari garis g dan l .

Jika dua garis g dan l sejajar, maka m1 = m2

Jika dua garus g dan l saling tegak lurus, maka m1 . m2 = –1

y – b = m (x – a) )a(fm /

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f (x) = 3x2 – 4x + 2 di titik (1,1)

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f (x) = 7 + 5x – 3x2 dengan absis 2

3. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f (x) = (x – 2)(x + 5) dengan ordinat 8

4. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f (x) = x2 – 2x – 3 yang mempunyai gradien 4

5. Persamaan parabola ditentukan dengan rumus y = 2x2 – ax + b. Garis y = –6x – 4 menyinggung parabola tersebut di titik (–1, 2). Carilah nilai a dan nilai b.

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

1. f (x) = 3x2 – 4x + 2

f / (x) = 6x – 4

garis melalui titik (1, 1)

titik singgung (1, 1)

gradien garis singgung

m =

= 6.1 – 4

= 2

diperoleh m = 2.

persamaan garis singgung dititik (1, 1) dengan gradien m = 2 ditentukan dengan persamaan

y – = (x – )

y – 1 = 2 (x – 1) y – 1 = 2x – 2 y = 2x – 2 + 1 y = 2x – 1

Jadi persamaan garis singgung kurva y = 3x2 – 4x + 2 di titik (1, 1) adalah y = 2x – 1

1

f / ( )

1

1

b am

2

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

2. f (x) = 7 + 5x – 3x2

f / (x) = garis melalui titik berabsis 2x = 2

titik singgung (2, 5)gradien garis singgungm = f / ( )

= 5 – 6.2 = –7

diperoleh m = –7.

persamaan garis singgung di titik (2, 5) dengan gradien m = –7 dapat ditentukan dengan persamaan

y – b = m(x – a) y – 5 = –7(x – 2) y – 5 = –7x + 14 y = – 7x + 14 + 5 y = – 7x + 19 7x + y = 19Jadi persamaan garis singgung kurva y = 7 + 5x – 3x2 berabsis 2 adalah y = – 7x + 19

22.32.57)2(f 12107

5

2x.3x.57)x(f

2

5 – 6x

a

52 –7

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

3. f (x) = (x – 2)(x + 5) = ( =

f / (x) = garis melalui titik berordinat 8y = f (x) = 8

(x + 6)(x – 3) = 0 x = –6 atau x = 3Jadi diperoleh titik singgung (–6, 8) atau (3, 8)

Untuk titik singgung (–6, 8)Gradien garis singgungm = f / ( )

= 2(–6) + 3 = –9

Persamaan garis singgungy – b = m(x – a)

y – 8 = – 9(x + 6) y – 8 = – 9x – 54 y = – 9x – 54 + 8 y = – 9x – 46

Untuk titik singgung (3, 8)

x2 – 2x+ 5x – 10)x2

x2 + 3x – 10 = 8

x2 + 3x – 10 – 8 = 0

x2 + 3x – 18 = 0

– 10 + 3x2x + 3

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

Untuk titik singgung (3, 8)Gradien garis singgungm = f / ( )

= 2(3) + 3 = 9

Persamaan garis singgung

y – b = m(x – a)

y – 8 = 9(x – 3) y – 8 = 9x – 27 y = 9x – 27 + 8 y = 9x – 19

Jadi persamaan garis singgung kurva y = (x – 2)(x + 5) dengan ordinat 8 adalah :y = –9x – 46 untuk titik (–6, 8)

atauy = 9x – 19 untuk titik (3, 8)

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

4. f (x) = x2 – 2x – 3 f / (x) = 2x – 2 Garis singgung bergradien 4

m = 4 f / (x) = 4 2x – 2 = 4 2x = 4 + 2 2x = 6 x = 3x = 3 maka y =

= 32 – 2.3 – 3

= 9 – 6 – 3 = 0

Titik singgung (3, 0)

Persamaan garis singgungy – b = m (x – a)

y – 0 = 4 (x – 3) y – 0 = 4x – 12 y = 4x – 12

Jadi persamaan garis singgung kurva y = x2 – 2x – 3 bergradien 4 adalah y = 4x – 12

f (x)f (3)

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

5. y = f (x) = 2x2 – ax – b y / = f /(x) = 4x – a Titik singgung (–1, 2)Gradien garis singgungm = f /(–1)

= 4. (–1) – a = –4 – a …… (i)

Diketahui persamaan garis singgung y = –6x – 4,maka gradien garis singgungnya m = –6 …… (ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh

–4 – a = 6 – a = –6 + 4 a = 2

Parabola y = 2x2 – ax + b melalui titik (–1, 2) dan a = 2, maka

y = 2x2 – ax + b 2 = 2.(–1)2 – 2.(–1) + b 2 = 2.1 + 2 + b 2 = 4 + b –b = 4 – 2 –b = 2 b = –2Jadi a = 2 dan b = –2Sehingga persamaan parabola dapat ditulis y = 2x2 – 2x + 2

Latihan Soal

Kerjakan Soal-soal berikut dengan benar!1. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 – 9 di titik (2, –5)2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = (x2 – 1)(x – 1) yang

melalui titik berabsis 23. Tentukan persamaan garis singgung pada f (x) = x2 – x dengan titik

berordinat 64. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x2 – x – 3 yang

mempunyai gradien 15. Jika diketahui kurva y = f (x) = x3 – 25x + 1 tentukan persamaan garis

singgung kurva yang sejajar dengan garis 2x – y + 4 = 06. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = (x2 + 4)(2 – x) yang tegak

lurus garis 3y – x = 17. Diketahui persamaan kurva y = x2 – ax + b. Jika persamaan garis

singgung di titik (1, –5) adalah y = 4x – 9. Tentukan nilai a dan b