Tulosten vertaaminen

On hyvä olla koko ajan selvillä, mitä tuloksia ollaan vertaamassa,

ja mitä mitattiin!

Kuva. Kaksi mittausta oletettavasti kultaisen kruunun tiheydestä

Kuva. Kaksi mittausta samasta resistanssista

Virhearvio fysiikan laboratoriotöissä Laboratoriomittauksissa virhearvio tehdään yleensä jollain alla

mainitulla tavalla:

Mittaus vain kerran, virhearvio mittarin lukemistarkkuuden ja

valmistajan ilmoittaman tarkkuuden avulla (ks. laitemanuaali)

Toistomittaus, satunnaisvirheen suuruus havaintoarvojen

jakaumasta (+arvioidaan systemaattisen virheen suuruus)

Halutun suuren arvo saadaan laskettua mitatuista arvoista,

selvitettävä virheen eteneminen laskutoimituksessa (esim.

keskinopeus kuljetun matkan ja ajan avulla)

Graafinen analyysi, pistejoukkoon sovitus antaa käyrän parametrien

arvot virherajoineen

Satunnaisvirheet (eli tilastolliset tai statistiset

virheet)

Ajatellaan jonkin suureen X mittaus toistetuksi suurella tarkkuudella

lukuisia kertoja.

Tällöin saadaan joukko toisistaan hieman poikkeavia mittaustuloksia.

Kuva. Histogrammi sadalle mittaukselle. Kun N kasvaa hyvin suureksi,

arvojen jakauma lähestyy Gaussin käyrää. 22 2/)(

, 21)(

XxX exG

Kuva. Normaalijakauman karakterisoimiseksi tulee tietää kaksi asiaa,

huipun paikka ja leveysparametri σ

Paras arvio normaalijakauman huippukohdalle saadaan laskemalla

keskiarvo kaikista mitatuista arvoista iX (N kpl yhteensä):

Xparas = N

iiXN

X 1

Entäpä keskiarvon epävarmuus (=”virhe”)?

Keskiarvon luotettavuuteen huipun paikan estimaattina vaikuttaa kaksi

asiaa:

Kuinka paljon yksittäiset arvot poikkeavat keskiarvosta (ts. kuinka

leveä on havaintoarvojen jakauma)?

Kuinka suuri N on?

Jakauman leveyden estimaatti on keskihajonta:

1

)(1

2

N

XXN

iX

Jos havainnot ovat normaalijakautuneet, 68,3% havainnoista osuu

välille Xparas ± σX Yksittäiselle havainnolle on vastaavasti sama 68,3% todennäköisyys

osua välille Xparas ± σX.

Kääntäen: σX = todennäköinen yksittäisen havainnon virhe

Arvio huipun paikan epävarmuudelle voidaan johtaa nk. yleistä virheen

etenemislakia käyttäen (kurssissa FYSP110 Fysiikan kokeelliset

menetelmät). Keskiarvon virhettä sanotaan keskiarvon keskivirheeksi

ja se saadaan laskettua keskihajonnasta:

NX

X = keskiarvon keskivirhe

Huom! Mittausten lukumäärän on oltava suurehko (N ≥ 10), jotta

keskiarvolle ja sen virheelle saadaan luotettava arvio. Huomaa myös,

että periaatteessa kaikilla havaintoarvoilla oletetaan olevan sama virhe.

Esimerkki:

Laboratoriotöissä useimmin vastaantuleva tapaus on ajanotto

sekuntikellolla tai tietokoneen avulla. Esim. heilurin heilahdusaikaa

sekuntikellolla mitattaessa on useita toimintatapoja:

1. mitataan yhteen heilahdukseen kulunut aika kerran

2. mitataan yhteen heilahdukseen kulunut aika useaan kertaan

3. mitataan esim. 10 heilahdukseen kulunut aika kerran

4. mitataan esim. 10 heilahdukseen kulunut aika useaan kertaan

Mikä on paras menettely?

Kohdissa 1) ja 3) joudutaan ajanoton virhe arvioimaan reaktioajan

perusteella, kohdissa 2) ja 4) voidaan tehdä tilastollinen analyysi.

Ajanottoon sisältyvä kokonaisvirhe on sama kaikissa tavoissa, mutta

kahdessa jälkimmäisessä tapauksessa virhe/heilahdus on 10 kertaa

pienempi!! Sekuntikellolla aikaa mitattaessa mittauksen virhe tulee

mittaajan reaktioajoista. Tietokoneavusteisessa mittauksessa (paikka-

anturilla) ei ole reaktioaikaongelmaa, mutta mittaustarkkuutta rajoittaa

kuitenkin näytteenottotaajuus (DataStudion paikka-anturilla oletus 10

Hz).

Toisinaan keskiarvoa ja keskiarvon keskivirhettä käytetään muuhunkin

kuin toistomittauksiin. Tällöin on syytä varmistautua siitä, että

yksittäisten mittaustulosten virheet ovat edes samaa suuruusluokkaa.

Painotettu keskiarvo

Jos havaintoja on vain muutama ja/tai yksittäisten havaintoarvojen Xi

virheet δXi ovat selvästi erisuuruisia, on tavallisen keskiarvon asemesta

oikeampaa käyttää painotettua keskiarvoa. Painotetussa keskiarvossa

painona käytetään havainnon virheen käänteisluvun neliötä. Painotettu

keskiarvo saadaan lausekkeesta

ii

iii X

X

2

1

ii

X

Painotetun keskiarvon virhe:

i

X

1

Tarkimmalla havaintoarvolla on suurin paino!

Systemaattisesta virheestä Systemaattisia virheitä ovat sellaiset virheet, jotka eivät ole

luonteeltaan tilastollisia. Ne eivät paljastu toistokokeessa. Se, että

havaintoarvot eivät noudata normaalijakaumaa, on usein merkki

systemaattisesta virheestä.

Tavallisimpia tapauksia:

Väärin kalibroitu mittari

Mittarin kalibraatio muuttuu ajan kuluessa esim. mittarin

lämpenemisen vuoksi tai paineen muutoksen vuoksi

Mitattava suure muuttuu mittauksen aikana, esim. äänen nopeus

ilmassa on paineen funktio

Mittaaja tekee systemaattisesti jotain väärin

Valmistajan ilmoitus mittarin tarkkuudesta – katsantokannasta riippuen

satunnainen tai systemaattinen virhe!

Perusopintojen laboratoriotöissä useimmiten oletetaan, ettei

mittauksessa ole muuta systemaattista virhettä kuin mikä sisältyy

mittarivalmistajien ilmoitukseen mittareiden tarkkuudesta.

Mittalaitteiden epätarkkuuksia:

Suure Laite Epätarkkuus Aika sekuntikello (digitaalinen) ± 0,01 s

Pituus metrimitta työntötulkki mikrometriruuvi

± 0.5 mm ± 0,05 mm ± 0,01 mm

Kulma spektrometri tangenttibussoli sakkarimetri

± 0,1º ± 0,5º ± 0,1º

Tilavuus pipetti mittalasi 0,500 ± 0,025 ml 250 ± 1 ml

Massa Precisa XB 220A Precisa 510C Acculab SVI-10A

± 0,05 mg ± 0,005 g ± 1 g

Lämpötila lämpömittari digitaaliset yleismittarit

± 0,5 ºC katso mittarin manuaalista (useita asteita!!)

Ilman kosteus hiushygrometri ± 0,5 %

Ilmanpaine barometri Manometri Digitron 2002 P Manometri Digitron P 200 M

± 0,5 mmHg ± (0,1 % lu + 0,1 % ma + 1 dig) ± (0,1 % lu + 0,1 % ma + 1 dig)

Sähköteho wattituntimittari ± 0,05 Wh

Magneettikenttä Teslametri Phywe 13610 ± 2 % lu

Virta

UNI-T UT58B -DC (2 ja 20 mA -alueet) -DC (200 mA) -DC (20 A) -AC (2 mA) -AC (200 mA) -AC (20 A)

AVO-meter -DC (0-0,1, 0-1, 0-10) -AC Fluke 75 -DC (32 mA) -DC (320 mA) -DC (10 A) -AC

katso spesifikaatiot manuaalista ± (0,8 % lu + 1 dig) ± (1,5 % lu + 1 dig) ± (2 % lu + 5 dig) ± (1,0 % lu + 3 dig) ± (1,8 % lu + 3 dig) ± (3 % lu + 5 dig)

± 1 % ma ± 2,25 % ma ± (1,5 % lu + 2 dig) ± (2 % lu + 2 dig) ± (1,5 % lu + 2 dig) ± (3 % lu + 2 dig)

Jännite Ks. manuaalit Resistanssi Ks. manuaalit

ma=mittausalue lu=lukema dig=näyttämän vähiten merkitsevä numero

Esim. Virran mittaus Fluke 75 mittarilla, mittausalue 0-10A

Tulokseksi saatiin 0,601 A, ”virhe” 1,5% + 2 dig

Siis: I = 0,601 ± (0,009 + 0,002) A

= 0,601 ± 0,011 A

Työntömitta (ks. liite monisteen lopussa)

Kuva 1. Työntömitan osat

Kuva 2. Mikä on etäisyys? Työntömittasimulaatio:

http://www.physics.smu.edu/~scalise/apparatus/caliper/tutorial/simulation.html katso myös wikipedian työntömitta

Mikrometriruuvi

Kuva 3. Mikrometriruuvin osat

Kuva 4. Lukema = ?

Muista aina tarkistaa nollakohta!

4 Virheen eteneminen laskutoimituksissa

Virheiden yhdistäminen kahdessa tilanteessa

1. Yhdistetään lukemisvirhe ja mittalaitteen (todennäköinen) virhe

2. Tulos saadaan jollain laskutoimituksella muista suureista, joiden

virheet on arvioitu.

Maksimi-minimivirhearvio

Pessimistin periaate! Menetelmää käytetään peruskurssien labroissa.

Menetelmän edut:

- nopeus

- usein helppo

- oikein käytettynä turvallinen

Haitat:

- yleensä aliarvioi tuloksen tarkkuutta eli yliarvioi virhettä

- jää helposti päälle eikä sitten muita parempia menetelmiä

omaksutakaan

Esimerkkejä maksimi-minimivirhearviosta:

1) Mittavirheiden yhdistäminen:

Resistanssin arvoksi on saatu 220 Ω. Mittarin lukemistarkkuus oli ±10

Ω ja sisäinen tarkkuus ±7 Ω. Pahimmassa tapauksessa virhe vaikuttaa

kummassakin samaan suuntaan, jolloin kokonaisvirhe on ±17 Ω.

Numerotarkkuus- ja pyöristyssääntöjä noudattaen (ks. luku 6) saadaan

lopputulokseksi (220 ± 20) Ω tai (0,22 ± 0,02) kΩ).

2) Summan ja erotuksen virhearvio sijoitusmenettelyllä:

Olkoon m1 = (31 ± 4) kg, m2 = (83 ± 7) kg

Summa Erotus

m = m1 + m2 = 114 kg m = m2 – m1 = 52 kg

mmax = 35 kg + 90 kg = 125 kg mmax = 90 kg - 27 kg = 63 kg

mmin = 27 kg + 76 kg = 103 kg mmin = 76 kg - 35 kg = 41 kg

δ(m1+m2) = δ(m2-m1) =

max {mmax - m, m - mmin} = 11 kg max {mmax-m, m-mmin} = 11 kg

m = (114 ± 11) kg m = (52 ± 11) kg

3) Tulon virhearvio sijoitusmenettelyllä:

Olkoon m = (31 ± 4) kg ja v = (9 ±2) m/s. Lasketaan p = mv virheineen.

Lähtöarvojen sijoitus antaa p = 279 kgm/s

pmax = mmax vmax = 385 kgm/s

pmin = mmin vmin = 189 kgm/s

δp = max {pmax –p, p – pmin} = 106 kgm/s

p = (279 ± 106) kgm/s (≈ (280 ± 110) kgm/s)

4) Tulon virhearvio likimääräisellä menettelyllä:

kirjoitetaan edellisen esimerkin massan ja nopeuden virheet suhteellisia

virheitä käyttäen.

00

000 11 v

vvvjammmmmm (δm, δv > 0)

000000

0000 111 v

vmm

vv

mmvm

vv

mmvmp .

Supistetaan sulkulausekkeen viimeinen termi pois merkityksettömän

pienenä. Siispä

0000 1 v

vm

mvmp

Kun merkitään 000 pp

vv

mm

, lopputulokseksi saadaan

00 1 p

ppp

Edellisen esimerkin numeroarvoja käyttäen lopputulokseksi saadaan

skgmp /)98279( (≈ (280 ± 100) kgm/s)

Yhteenvetona voidaan yleistää helposti muistettavat kaavat:

Yleinen summan/erotuksen maksimi-minimivirhearvio

q = (x + y …+ z) – (u+ v +… w)

δq = (δx + δy …+ δz) + (δu+ δv +… δw) (4.1)

Yleinen tulon/osamäärän maksimi-minimivirhearvio

wuvzxyq

......

ww

vv

uu

zz

yy

xx

qq

...... (4.2)

Huom! Kaava (4.2) antaa likiarvon tarkan sijoitusmenettelyn

(esimerkki 3 yllä) tulokselle. Kaavasta (4.2) lopputuloksen virheen

koostuminen eri virhelähteistä on helposti nähtävissä.

Hankalammissa lausekkeissa virhearviota joudutaan tekemään

paloittain kaavoja 4.1 ja 4.2 soveltaen, tai kokeilemalla suoraan

numeroarvoja sijoittaen, kuinka lopputuloksen maksimi ja minimi

saadaan lähtöarvojen virherajojen puitteissa.

Maksimi-minimikeinosta on siten hieman toisistaan poikkeavia

variaatioita. Työselostuksissa sekä sijoitusmenettely että likimääräinen

menettely ovat kursseilla Fysiikka I-V ja VII hyväksyttäviä, kunhan

laskuesimerkillä näytetään, mitä menettelyä käytettiin.

Maksimi-minimi –menetelmää parempi keino virhearvion tekemisessä

on ns. yleinen virheen etenemislaki. Sen osaamista ei peruskurssien

töissä kuitenkaan vaadita (käytöstä bonuspisteitä peruskurssien

labroissa!). Asia tulee esille keväällä luennoitavalla kurssilla FYSP110

Fysiikan kokeelliset menetelmät. Kurssi on pakollinen kaikille, jotka

aikovat suorittaa fysiikasta aineopintoja.

5 SUORASOVITUS Kysymys 1: Ovatko mittauspisteet suoralla?

eli

vastaako data teoriaa?

Lineaarisia riippuvuuksia: F

ma 1 voima ja kiihtyvyys

RIU virta ja jännite kxF jousen venymä ja voima Kysymys 2: Mitkä ovat suoran kulmakerroin ja y-akselin leikkauspiste? BxAY A = ?, B = ?

Sovitus silmämääräisesti:

PNS-suora

Minimoidaan lauseketta N

ii BxAy1

2)(

ts. derivoidaan lauseke A:n ja B:n suhteen ja vaaditaan, että derivaatat = 0. Lausekkeet A:lle ja B:lle:

))(())(( 2 iiiii yxxyxA

))(()( iiii yxyxNB

22 )()( ii xxN Parametrien A ja B virheille pätee

2ixA ,

NB ,

missä

2)((2

1iBxAiyN

.

Menetelmä on yleistettävissä myös muille funktioille

Esimerkki

Fysa210 kurssin laboratoriotyössä määritetään noin 15 cm

pitkän jousen jousivakio. Jousivakion määrittämiseksi jouseen

ripustetaan erisuuruisia massoja ja katsotaan, kuinka paljon jousi

venyy. Eräässä mittauksessa saadut tulokset ovat oheisessa

taulukossa. Jousivakion k saa ratkaistua tutusta yhtälöstä F = kx,

missä F on venyttävä voima, x = jousen venymä. Laskettaessa jousivakion arvoja kullekin (massa, venymä) parille havaitaan jotain hassua. Jousivakio ei näytä vakiolta! Mikä nyt neuvoksi?

Punnuksen massa [g]

Jousen venymä [cm]

Jousivakio [N/m]

32 1,1 28,567 42 3,2 12,889 50 5,0 9,820 66 8,1 8,001 100 14,2 6,915

Tehdään graafinen analyysi

Sovituksen tulos:

Intercept 0,24644 0,009948 = A

X Variable 1 5,112655 0,127649 = B

Virhesuorien piirtämiseksi valitaan: Amax, Bmin mahdollisimman loiva suora Amin, Bmax mahdollisimman jyrkkä suora

Jousivakion määritys graafisesti

y = 5,1127x + 0,2464

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,05 0,1 0,15 0,2Venymä [m]

Voim

a [N

]

Lineaarisointi Edellä on puhuttu vain suoran tapauksesta. Aina kahden muuttujan välinen riippuvuus ei kuitenkaan ole lineaarista. Sovitusohjelmissa (Origin, gnuplot,…) on tarjolla suuri joukko erilaisia funktioita. Toinen vaihtoehto on se, että lukupareihin muotoiltava funktio muotoillaan sellaiseksi, että pistejoukkoon päästään sovittamaan suoran yhtälöä. Tällaista menettelyä kutsutaan lineaarisoinniksi. Esimerkki Pistemäisen valolähteen valaistusvoimakkuus E riippuu etäisyydestä R seuraavasti: Kun valitaan y = E ja x = 1/R2, voidaan pistejoukkoon sijoittaa suora y = A + Bx. Sovitusparametri B tulkitaan yllä olevan yhtälön intensiteetiksi I. Jos mittaukseen ei liity systemaattista virhettä, tulee parametrin A olla likimain nolla. Lineaarisointia harjoitellaan muutamissa peruskurssien lapputöissä.