UNIVERSITI PENDIDIKAN SULTAN IDRIS

THE PHILOSOPHY AND HISTORY OF MATHEMATICS

(KMP 6073)

TUGASAN KUMPULAN:

Bincangkan sejarah perkembangan bagi tajuk Pai (Pei)

NAMA PENSYARAH:

PROF. MADYA DR. NOOR SHAH BIN SAAD

NAMA PELAJAR:

MOHD SUHAIMI BIN OMAR M20122001188

MOHD FAISAL BIN MAHMAD M20122001401

ALISA BINTI AHMAD M20122001386

DESI ARIYANTI EKASAPUTRI M20122001966

DESSY NOOR ARIANI M20122001965

KANDUNGAN

1. Pengenalan 1

2. Definisi Pi 2

3. Sejarah Pi 3

4. Penggiraan Pi 5

5. Kegunaan Pi 8

6. Rujukan 9

1.0 Pengenalan

Sejarah perkembangan matematik adalah sejajar dengan

perkembangan tamadun manusia. Matematik telah berkembang

sebagaimana tamadun manusia yang sentiasa berkembang bagi

membina tamadun yang lebih baik. Matematik telah menjadi salah satu

nadi utama dalam menggerak perkembangan tamadun manusia.

Matematik bermula dari pengiraan bilangan. Orang zaman purba

mengukir atau menghiris lambang, garisan atau gambar pada dinding

gua, ranting – ranting dan batang pokok untuk merekod bilangan harta

benda termasuk binatang ternakan mereka. Hasil daripada

perkembangan tersebut, terbentuklah penciptaan lambing-lambang

untuk mewakali bilangan. Kemudiannya, tokoh-tokoh matematik dan ahli

falsafah telah mengembangkan lagi matematik dengan memerhatikan

pola-pola dan sistem bentuk alam sekeliling dan membuat penaakulan

secara induktif dan deduktif bagi menghasilkan pelbagai teorem untuk

menerangkan fenomena-fenomena alam sekeliling mereka (Mok Soon

Sang, 1996)

Namun pada masa kini matematik telah berkembang ke tahap yang

lebih kompleks sehinggakan pengertian matematik telah mempunyai

pelbagai tafsiran. Walau bagaimanapu, secara umumnya sejarah

perkembagan matematik pada awalnya dapat diketegorikan kepada

empat peringkat iaitu peringkat pertama 400 SM, bermula dari manusia

menggunakan tanda dan simbol untuk mengira. Peringkat kedua iaitu

400SM – 1700TM, dimana perkembangan arikmetik, geometri, algebra

dan trigonometri telah bermula. Peringkat ketiga 1700TM – 1900TM, ialah

peringkat perkembangan matematik tradisi ke peringkat perubahan dan

penemuan dan pringkat keempat pula bermula pada 1900TM, yang lebih

menjurus kepada perkembangan matematik moden (Abdul Latif Samian,

1992).

Hasil daripada perkembangan tersebut maka lahirlah pelbagai teori

dan konsep yang baru yang banyak menyumbang kepada perkembangan

matematik secara keseluruhannya. Salah satu daripada hasil

perkembangan tersebut adalah kemunculan istilah “Pi” dalam kamus

matematik yang kemudiannya telah menjadi salah satu nilai yang sangat

penting dalam penggiraan matematik. Walau bagaimanapun, istilah “Pi”

itu sendiri mempunyai sejarah perkembangan yang tersendiri, dimana

ianya telah bermula seawal perkembangan tamadun manusia.

2.0 Definisi Pi

Sepanjang sejarah matematik, salah satu cabaran yang paling lama

bertahan ialah pengiraan nisbah antara lilitan bulatan dan garis, yang

telah dikenali sebagai pi dalam aksara Yunani. Dari Babylonia kuno ke

Zaman Pertengahan di Eropah hingga ke superkomputer hari ini, ahli

matematik telah berusaha untuk mengira nombor misteri tersebut.

Mereka telah berusaha untuk mencari nilai yang lebih tepat bagi pi. Pi,

yang ditandakan dengan huruf Yunani, ialah nisbah yang paling terkenal

dalam matematik, dan merupakan salah satu daripada nombor yang

paling purba yang dikenali kepada manusia. Pi adalah konstan di mana

nilainya ditakrifkan sebagai nisbah lilitan bulatan kepada diameternya. Pi

mempunyai pelbagai nama sepanjang zaman, dan semua mereka adalah

sama ada kata-kata atau simbol-simbol abstrak, kerana pi adalah nombor

yang tidak boleh ditunjukkan dengan lengkap dan tepat dalam apa jua

bentuk terhingga perwakilan.

Pi adalah nombor ‘transcendental’. Nombor transendental adalah

nombor tetapi ia tidak boleh dinyatakan dalam mana-mana siri terhingga

sama ada operasi aritmetik atau algebra. Pi tidak dapat dibuktikan

dengan semua kaedah rasional yang ada untuk memberi ia nilai yang

tepat. Ia tidak dapat dijelaskan dan tidak boleh didapati. Ferdinand

Lindemann, seorang ahli matematik Jerman, membuktikan ‘the

transcendence of pi’ pada tahun 1882. Pi adalah salah satu daripada

1

nombor-nombor yang tidak boleh dinilai dengan tepat sebagai nombor

perpuluhan atau lebih dikenali sebagai “irrational number”. Pi mungkin

pertama kali memasuki kesedaran manusia di Mesir. Rujukan yang

terawal diketahui adalah dalam papyrus skrol daripada “Middle

Kingdom”, yang ditulis sekitar 1650 SM oleh seorang penulis bernama

Ahmes. Menurut Ahmes dalam Rhind Papyrus “Cut off 1/9 of a diameter

and construct a square upon the remainder; this has the same area as

the circle”. Dalam erti kata lain, beliau membayangkan bahawa pi = 4

(8/9) 2 = 3,16049, yang juga agak tepat. (Blatner dalam David Wilson,

2000)

Secara umumnya, pi adalah salah satu nombor yang paling terkenal

dan yang paling luar biasa yang anda pernah ditemui yang asasnya

menceritakan tentang nisbah nisbah lilitan bulatan dengan garis pusat

yang mempunyai cerita yang panjang tentang nilainya. Malah pada

zaman superkomputer, ia masih lagi digunakan untuk mencuba dan

mencari perkembangan perpuluhan kepada banyak tempat-tempat yang

mungkin.

3.0 Sejarah Pi

Pi telah dipilih sebagai huruf bagi mewakili 3.141592... kerana huruf

π dalam bahasa Yunani disebut sebagai 'p', yang mewakili 'perimeter'.

Simbol π telah diperkenalkan oleh William Jones seorang ahli matematik

Welsh pada tahun 1707 akan tetapi tidak mendapat sambutan. Pada

1737, Leonhard Euler (ahli matematik dan fizik Swiss) secara rasminya

mempopular simbol π untuk mewakili nilai pi dan digunakan sehingga

hari ini. Nilai pi telah wujud beribu-ribu tahun dahulu. Tetapi tiada siapa

yang mengetahui orang pertama yang menjumpai nilai pi. Bukti awal

wujudnya nilai pi adalah menerusi orang-orang Babylonia dan Mesir di

mana mereka telah menggunakan nilai pi untuk mencari luas bulatan.

Menurut Ahmes dalam Rhind Papyrus (k.k. 1650 SM), orang Mesir

memberi nilai terhampir untuk pi bersamaan 3.160484. Manakala

1

2

menurut tablet Babylonia (k.k. 1900-1680 SM), orang Babylonia

menganggarkan nilai pi bersamaan 3.125. Anggaran nilai-nilai pi ini

dikatakan kurang tepat kerana orang Mesir dan Babylonia mendapatkan

nilai pi dengan mengukur objek-objek yang berbentuk bulat. Hakikatnya

pada waktu itu objek mereka tidaklah berbentuk bulat secara zahirnya.

Berikut adalah urutan perkembangan anggaran awal tentang nilai pi,

yang telah dilakukan oleh beberapa ahli matematik awal:

TOKOH TAHUN NILAI PI

Babylonians 2000 BCE 3.125

Egyptians 2000 BCE 3.16045

China 1200 BCE 3

Bible (1 Kings 7:23) 550 BCE 3

Archimedes 250 BCE 3.1418

Ptolemy 150 AD 3.14166

Fibonacci 1220 AD 3.141818

Rajah 1: Ahli Matematik Awal yang Membuat Anggaran Bagi Nilai Pi

Namun, kira-kira 200 SM, Archimedes telah muncul sebagai orang

pertama yang mendapatkan anggaran nilai pi secara teori pengiraan.

Archimedes membuktikannya dengan melukis poligon yang lebih besar di

luar sebuah bulatan dan poligon yang lebih kecil di dalam bulatan

tersebut, sebagaimana gambarajah di bawah:

 

 

3

Rajah 2: Archimedes' Approximation of Pi

     Apabila bilangan sisi poligon bertambah, poligon itu akan

membentuk seperti bulatan. Archimedes menggunakan poligon yang

mempunyai 96 sisi dan mengambil ukuran panjang sisi poligon tersebut.

Kemudian Archimedes telah membuktikan bahawa nilai pi terletak di

antara 22/7 (≈3.1429) dan 223/71 (≈3.1408). Archimedes tidaklah

mengemukakan nilai pi yang sebenar sebaliknya memberikan nilai pi

yang lebih hampir dan anggaran ini lebih baik daripada orang Mesir dan

Babylonia. Perjuangan Archimedes tidak terhenti setakat ini kerana

terdapat ramai lagi ahli-ahli matematik yang lain yang telah berusaha

mendapatkan anggaran nilai pi yang lebih baik. Contohnya seperti

berikut:

TOKOH TAHUN NILAI PI

Ptolemy k.k. 150 3.1416

Zu Chongzhi 430-501 355/113

al-Khwarizmi k.k. 800 3.1416al-Kashi k.k. 1430 14 titik perpuluhan

Viete 1540-1603 9 titik perpuluhan

Roomen 1561-1615 17 titik perpuluhan

Van Ceulen k.k. 1600 35 titik perpuluhan

Rajah 3: Ahli Matematik Selepas Archimedes

4.0 Penggiraan Pi

Sejak ia mula-mula diperhatikan beberapa abad yang lalu, ahli matematik berusaha

untuk mencari nilai sebenar pi. Ianya telah dicuba dalam pelbagai cara yang berbeza, dan

berikut adalah tiga bahagian utama dalam perkembangan penggiraan bagi nilai pi:

a. Ancient Times

b. Kaedah Archimedes

4

c. Kaedah moden

a. Ancient Times

Semua percubaan awal untuk mencari nilai pi dibuat melalui kaedah yang benar-benar

praktikal, seperti membandingkan kawasan bulatan segi empat tepat, dan oleh itu semua

percubaan awal hanya memperolehi nilai anggaran bagi pi. Namun, ianya adalah normal,

kerana pada masa tersebut hanya terdapat sedikit usaha untuk membuat pengiraan yang

sangat tepat, jadi ia cenderung untuk tamadun tersebut untuk menggunakan anggaran π = 3

dalam pelbagai situasi. Bagaimanapun, di bawah adalah ringkasan pendek bagi beberapa

percubaan tamadun purba untuk mencari anggaran yang lebih tepat bagi pi:

i. Babylon:

π = 25/8. Ditemui pada tablet tanah liat Babilon pada tahun 1936.

ii. Mesir Purba:

π = 256/81. Ini diperolehi dengan menggunakan pengetahuan bahawa kawasan

bulatan dengan diameter 9 unit adalah sama seperti persegi dengan sisi 8 unit.

iii. Yunani awal:

π = Punca kuasa 10. Asal anggaran tidak diketahui.

b. Kaedah Archimedes

Archimedes dikreditkan kerana telah mengambil

salah satu langkah yang besar ke hadapan ke arah

membuat anggaran yang lebih tepat. Beliau

telah menemui kaedah teori yang

pertama dalam menggangarkan

nilai pi. Dimana teorinya adalah

5

berasaskan sekitar poligon sekata dan bulatan. Teorinya adalah mudah; lukis sebuah bulatan,

kemudian lukis sebuah poligon sekata (contohnya oktagon) di dalam bulatan tersebut, supaya

pepenjuru poligon bersentuhan dengan bulatan. Kemudian lukis satu lagi oktagon yang lain,

tetapi kali ini pastikan sisi oktagon yang menyentuh bulatan. Jika dilakukan dengan betul

anda akan dapat melihat oktagon di dalam bulatan yang berada dalam oktagon lain. Berikut

adalah gambaran bagi lukisan Archimedes tersebut:

Rajah 4: Archimedes' Approximation of Pi

Archimedes mendapati bahawa jika jumlah sisi pada poligon ditambah, kawasan di

antara perimeter poligon dan lilitan bulatan akan menjadi lebih kecil. Akhirnya dalam teori

tersebut, kawasan akan menjadi semakin kecil sekiranya lebih besar bilangan pada poligon

yang digunakan. Fakta ini kemudiannya telah digunakan untuk mencari pelbagai nilai, yang

melibatkan π. Ini adalah satu revolusi dalam cara berfikir pada masa itu, dan dengan

perubahan, ianya terus digunakan selama bertahun-tahun yang akan datang, oleh ahli

matematik seperti Liu Hui dan Ludolph van Ceulen. Dimana, Van Ceulen telah berjaya

mendapati nilai pi sehingga 32 digit dengan menggunakan kaedah ini. Berikut adalah

penerangan cara penggunaan poligon dalam penentuan nilai pi oleh Archimedes:

Pengiraan Archimedes bagi pi

Mana-mana poligon sekata adalah boleh diterap/dilukis di dalam bulatan. Ini adalah intuisi

yang jelas, jadi kita tidak akan cuba untuk "membuktikannya" . Pusat bulatan bagi poligon

6

dengan sisi nombor genap adalah persilangan mana-mana dua pepenjuru, dan pusat bulatan

untuk poligon dengan bilangan sisi ganjil adalah persilangan mana-mana dua sudut bisectors:

Archimedes menggunakan poligon terterap bagi menganggar nilai π. Beliau bermula dengan

sebuah heksagon sekata dengan nilai sisi = 1 unit. Oleh itu, jejari bulatan yang mengandungi

heksagon juga adalah 1 unit (AOB adalah segi tiga sama sisi kerana sudutnya adalah 60o).

Kemudian beliau membina OQ melalui titik P pada segmen AB:

Perhatikan bahawa segi tiga OAP dan OBP adalah kongruen dengan tiga sisi yang sama

(SSS), jadi sudut APO adalah sudut tepat. Beralih kepada segi tiga OAQ dan OAP. Oleh

kerana P ialah titik tengah AB, AP adalah ½ unit panjangnya.

Dengan Teorem Pythagoras, kita boleh mencari OP, dan oleh itu CP:

OP2 + (½)2 = 12

OP2 = ¾2 = 0.75

OP = 0.8660254

Oleh kerana OQ adalah jejari bulatan, panjangnya adalah 1, jadi QP = 1 - OP = 0.1339746.

Kini menggunakan Teorem Pythagoras pada segitiga APC untuk mencari AC:

AQ2 = (½)2 + (0.1339746)2 = 0.26794919

AQ = 0.51763809

Ini ialah panjang sisi dekagon (poligon 12 sisi) terterap di dalam satu unit bulatan:

Perimeter dodekagon ini terletak berhampiran dengan lilitan bulatan. Perimeter ini adalah 12

kali 0.5176389, atau 6.2116571. Oleh kerana pi adalah nisbah lilitan dengan diameter, kita

akan mendapat anggaran nilai 3.10582854. Archimedes tidak berhenti di situ sahaja. Beliau

kemudiannya melakukan pembinaan/pengiraan yang sama menggunakan dodekagon.

Andaikan OQ 'menjadi jejari yang bersilang dengan sisi AQ bagi sisi dodekagon pada titik

tengahnya:

Hasil daripada persilangan tersebut, kita akan mempunyai rajah seperti di bawah:

AP adalah separuh daripada 0. 0.51763809, atau 0.285819. Menggunakan Teorem

Pythagoras pada segitiga AP'O kita mendapati bahawa OP '= 0.9659258, jadi Q'P' = 1-

0.9659258 = 0.0340742, dan kemudian menggunakan Teorem Pythagoras pada segitiga

AP'Q', kita dapati bahawa AQ' = 0.2610524.

AD adalah sisi bagi 24-gon sekata terterap dalam satu bulatan O, dan perimeter bagi poligon

tersebut ialah 24(0.2610524) = 6.2652572. Ini adalah lebih hampir dengan lilitan bulatan, jadi

sekarang kita dapat menganggarkan pi menjadi 3.132629.

Jadual yang berikut menunjukkan prosedur ini dijalankan untuk 8 langkah, di mana n ialah

bilangan sisi poligon terterap

c. Kaedah moden

Pada ke abad ke-16, ahli matematik mula mencari kaedah-kaedah baru dan lebih baik

untuk pengangaran pi. Salah satu daripadanya adalah menggunakan kaedah siri kuasa arctan

yang telah dipopularkan oleh James Gregory:

Rajah 5: Formula Arctan James Gregory

Sehubungan dengan formula di atas, maka terbitlah lebih banyak formula yang

menggunakan siri kuasa arctan tetapi dengan penambahbaikan yang dapat memberikan nilai

yang lebih tepat kepada anggaran nilai pi. Berikut adalah beberapa tokoh matematik yang

menggunakan siri kuasa arctan sebagai asas dalam pengangaran nilai pi:

a. Machin : p/4=4 arctan(1/5)-arctan(1/239)

b. Ferguson: p/4= 3 arctan(1/4)+arctan(1/20)+arctan(1985)

c. Euler: p/4= 5 arctan(1/7)+2 arctan(3/79)

Walau bagaimanapun, kemajuan yang sebenar adalah dengan penciptaan komputer.

Dimana, ianya dapat melakukan pengiraan dan mengingat jawapan jauh lebih baik daripada

mana-mana manusia. Komputer membuat semuanya kelihatan sangat mudah. Pengiraan

pertama, menggunakan komputer adalahi pada tahun 1947, ianya menghasilkan lebih

daripada dua kali ganda perpuluhan berbanding penggiraan yang dibuat oleh manusia.

Menjelang tahun 1992 komputer telah menemui 10 digit bernilai bagi pi. Namun, dengan

adanya teknologi sekarang, lebih banyak digit yang bernilai bagi anggaran pi telah ditemui,

lebih daripada sepuluh trillion digit adalah cukup tepat untuk nilai yang boleh fikirkan

sebagaimana yang telah dikira oleh Alexander J. Yee dan Shigeru Kondo pada tahun 2011

menggunakan computer dwi pemprosesan Intel Xeon.

7

4.0 Kegunaan Pi

Dalam dunia matematik, dan dalam kehidupan seharian, pi digunakan untuk mengira

kuantiti yang banyak berguna. Salah satu kegunaan yang diketahui ramai adalah pengiraan

lilitan dan juga luas sesebuah bulatan jika diberi nilai bagi jejari, r. Berikut adalah beberapa

contoh formula yang melibatkan penggunaan pi:

a. Ukur lilit; C=2πr

b. Luas Bulatan; A= πr2

c. Isipadu Silinder; V= πr2 x h

d. Luas sektor; K=(n/360)(πr2)

e. Panjang sektor; L=(n/360)(2πr)

Pi telah menjadi begitu penting kepada tamadun kita, sebagaimana ia penting bagi

orang-orang Mesir purba yang mengunakan pi untuk membantu membina piramid mereka.

Keadaan tersebut juga berlaku pada hari ini, dimana pi menjadi satu konstan penting dalam

penggiraan moden. Pi digunakan dalam bidang kejuruteraan untuk membina komponen dan

mengawal bahagian yang bergerak. Ia digunakan dalam astronomi dan astrofizik untuk

mengira orbit. Ia juga digunakan dalam TV dan radio untuk mengoptimumkan isyarat yang

akan dihantar ke rumah anda.

Selain dunia fizikal, pi juga boleh dilihat sebagai tunggak bagi kuasa kognitif

manusia. Terdapat beberapa orang, yang dirujuk sebagai 'penyair pi', yang telah menetapkan

tanda aras bagi keupayaan ingatan manusia dengan menghafal nilai pi untuk beribu-ribu digit.

Pemegang ‘World Guinness Record’ semasa adalah Chao Lu dari China, yang boleh

menghafal nilai pi sehingga lebih 67,000 tempat perpuluhan. Berikut adalah contoh-contoh

pengiraan yang melibatkan penggunaan pi:

a. Pengiraan Jejari Orbit

b. Isyarat Radio

8

a. Pengiraan Jejari Orbit

Berikut adalah contoh pengiraan jejari orbit yang melibatkan penggunaan nilai pi dengan

menggunakan konstant dan formula yang diberikan :

Berdasarkan formula di atas, ianya dapat disusun semula untuk mendapatkan jejari bagi orbit

dengan lebih mudah. Berikut adalah formula yang telah disusun semula bagi mendapatkan

nilai R3:

i. R3 = [ (T2 • G • Mcentral) / (4 • pi2) ]Seterusnya dengan menggunakan kaedah pengantian, gantikan semua simbol konstan dengan

nilai bagi setiap konstant yang telah diberikan. Pengantian tersebut adalah seperti di bawah:

R3 = [ ((2.35x106 s)2 • (6.673 x 10-11 N m2/kg2) • (5.98x1024 kg) ) / (4 • (3.1415)2) ]

R3 = 5.58 x 1025 m3

Akhir sekali dengan menggunakan punca kuasa tiga bagi 5.58 x 1025 m3, nilai bagi jejari orbit

adalah seperti berikut:

R = 3.82 x 108 m

b. Pengiraan Gelombang Radio

Konstant:

R = Rearth + height = 6.47 x 106 m

Mearth = 5.98x1024 kg

G = 6.673 x 10-11 N m2/kg2

Formula:

Earth-Moon-Earth (EME), juga dikenali sebagai lantunan bulan, adalah teknik komunikasi

radio yang bergantung kepada perambatan gelombang radio dari sebuah pemancar di Bumi

diarahkan melalui pantulan daripada permukaan Bulan kembali kepada penerima

berpangkalan di Bumi. Secara umumnya terdapat empat jenis gelombang radio iaitu:

a. Long wave

b. Medium wave

c. Ultra high frequency (UHF)

d. Very High frequency (VHF)

Gelombang radio merupakan gelombang elektromagnet yang mempunyai frequensi yang

paling rendah dan gelombang ini dipancarkan menggunakan transmitter sepertimana sistem

EME. Penggunaan pi dalam sistem EME adalah untuk mengira “free space loss’ daripada

antenna yang dugunakan iaitu, Antena Omnidirectional Isotropi. Formula yang digunakan

adalah seperti berikut:

1. Loss = where pi ≈ 3.14, d = distance and lambda = wavelength, in meters

2. Lambda = c/F, F = Hz, c = meters/sec.

3. Lambda = when F is in MHz.

Seterusnya gantikan F ke dalam ‘free space formula’ seperti berikut:

1. Loss =

Akhir sekali selepas memasukkan faktor pantulan bulan ke dalam formula, formula pengiraan

bagi ‘free space loss’ adalah seperti di bawah:

1. dengan D ialah diameter bulan.

RUJUKAN

Abdul Latif Samian.(1992).Sejarah Matematik. Kuala Lumpur:Dewan Bahasa dan Pustaka.

David Wilson (2000). History of Mathematics. Rutgers. Retrieved March 23, 2013, from http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/wilson.html

Mok Soon Sang. (1996). Pengajian Matematik untuk Diploma Perguruan. Kuala Lumpur: Kumpulan Budiman Sdn.Bhd.

http://webdocs.cs.ualberta.ca/~smillie/PiNotes/PiNotes.html

http://people.bath.ac.uk/ma3slt/Calculation_of_Pi.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_chronology.html

http://www.cs.utsa.edu/~wagner/pi/ruby/pi_atan.html

http://people.bath.ac.uk/ma3slt/Introduction_to_Pi.html#Why_Pi

http://abishek.webs.com/usesofpi.htm

http://www.physicsclassroom.com/Class/circles/u6l4c.cfm

http://en.wikipedia.org/wiki/EME_%28communications%29

http://physics.tutorvista.com/waves/wave-frequency.html

9