Sistem Persamaan Linear Homogen Atas LapanganMisalkan diberikan lapangan F dengan A , maka sistem persamaan linear dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan:

Dengan n buah variabel tak diketahui x1, x2, , xn. Koefisien aij dan konstanta bi yang merupakan elemen-elemen dari lapangan FJika SPL di atas ditulis dalam bentuk matriks, maka:

Suatu matriks yang berbentuk:

Dinamakan matriks yang diperbesar. Jika b1 = b2 = = bm = 0, maka SPL tersebut disebut system persamaan linear homogen. Jika b1, b2, , bm tidak semuanya nol, maka SPL tersebut disebut system persamaan linear nonhomogen. Kemungkinan-kemungkinan pemecahan SPL adalah:a. Tidak mempunyai penyelesaianb. Mempunyai tepat satu penyelesaianc. Mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaianSebuah SPL yang tidak mempunyai pemecahan disebut tak konsisten, jika ada sekurang-kurangnya satu penyelesaian, maka SPL tersebut konsisten

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Homogen atas Lapangan

Setiap SPL homogen adalah sistem persamaan linear yang konsisten, karena SPL homogen selalu mempunyai paling sedikit satu penyelesaian yaitu x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0. Pemecahan tersebut disebut pemecahan trivial (trivial solution). Jika ada pemecahan lain, maka pemecahan tersebut dinamakan pemecahan tak trivial (nontrivial solution). Untuk SPL homogen, maka salah satu dari pernyataan berikut benar:1. Sistem tersebut hanya mempunyai penyelesaian trivial2. Sistem tersebut mempunyai tak trivial

Teorema 1:Sistem persamaan linear homogen AX = 0 mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika rank(A) kurang dari banyaknya kolom ABukti() Misalkan A berukuran m x n dan rank (A) = r < n. Diasumsikan Ar adalah eselon baris tereduksi dari A, maka

Terdapat paling sedikit r + 1 kolom sehingga C paling sedikit punya satu kolom dan untuk matriks kolom X

= Apabila diuraikan, akan didapatkan persamaan-persamaan sebagai berikut:

...

Maka diperoleh:

...

Maka

Dari matriks X di atas jelas bahwa AX = 0 mempunyai solusi nontrivialHal ini berarti jika rank(A) = r < r + 1 n maka sistem persamaan linear homogen AX = 0 mempunyai solusi nontrivial.

() Andaikan r = rank(A) = n, maka Diasumsikan Ar adalah eselon baris tereduksi dari A dengan ArX= 0 akan berbentuk

Didapatkan ArX = 0 hanya mempunyai solusi trivial x = 0Hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa sistem persamaan linear homogen AX = 0 mempunyai solusi nontrivial, maka pengandaian salah, jadi sistem persamaan linear homogen AX = 0 mempunyai solusi nontrivial jika rank(A) kurang dari banyaknya kolom AJadi, Terbukti bahwa Sistem persamaan linear homogen AX = 0 mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika rank(A) kurang dari banyaknya kolom A

Akibat 2:Suatu sistem persamaan linear homogen mempunyai solusi non trivial jika banyaknya persamaan lebih kecil dari banyaknya variabel yang diketahuiBukti:Diambil sistem persamaan linear homogen AX = 0 dengan banyak persamaan lebih kecil dibandingkan banyaknya variabel yang akan dicari. Artinya A maka m < n. Berdasarkan teorema rank(A) , rank(A) paling tinggi merupakan nilai terkecil dari m dan n. Maka rank(A) = m < n . Karena m < n, maka berdasarkan teorema 1, maka sistem persamaan linear tersebut mempunyai solusi non trivial

Sistem Persamaan Linear Homogen atas RingMisalkan diberikan ring R dengan A , maka sistem persamaan linear dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan:

.. (*)

Dengan n buah variabel tak diketahui x1, x2, , xn. Koefisien aij dan konstanta bi yang merupakan elemen-elemen dari lapangan ring komutatif R.Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriksAX = Bdengan A = (aij) Mmxn(R)B = (b1, b2, , bm)t RmX = (x1,x2, , xn)t RnSistem persamaan linear tersebut dikatakan mempunyai solusi di Rn, jika terdapat vector Rn sedemikian sehingga A = B

Jika B = O, maka sistem persamaan linear AX = O disebut sistem persamaan linear homogen. Sistem persamaan linear homogen selalu mempunyai solusim, paling sedikit mempunyai 1 solusi yaitu = O atau

. Solusi = O disebut solusi trivial dari AX = O. Solusi Rn disebut solusi non trivial dari AX = O jika O dan A = O.

Adapun syarat perlu dan cukup suatu sistem persamaan linear homogen AX = O mempunyai solusi non trivial dibahas pada teorema N.Mc.Coy.

Teorema **: (Th. N.Mc.Coy)Diketahui A . Sistem persamaan linear homogeny AX = O mempunyai solusi non trivial jika dan hanya jika rank(A) < nBukti:

Diketahui sistem persamaan linear homogeny AX = 0 mempunyai solusi non trivial jika Rn adalah solusi dari sistem persamaan linear homogeny maka O . Berarti bahwa terdapat koordinat dari misalnya Jika m < n

Menurut teorema pada rank atas ring, diketahui bahwa . Karena m < n maka Jika

Misal adalah minor berukuran (nxn) dari A. Diambil matriks permutasi sedemikian sehingga PA mempunyai baris baris dari matriks A sebagai n baris pertamanya:Jadi, Baris1(PA) = Baris i1(A)Baris2(PA) = Baris i2(A)...Barisn(PA) = Baris in(A)Sehingga PA dapat dinyatakan sebagai berikut

berukuran . Kemudian dibentuk

Adalah kemungkinan-kemungkinan dari n baris A dan . Diketahui bahwa A = O dan D adalah kemungkinan-kemungkinan dari n baris A maka D = 0. Selanjutnya = det (D) . Berdasarkan teoreman bahwa det(D) = (adj(D) D, maka =(adj(D) D, sehingga = O. Berarti untuk setiap k dari berlaku

Selanjutnya karena adalah sebarang minor berukuran (nxn) dari A dan dengan menggunakan persamaan , maka

Karena , maka . Akibatnya, karena maka rank(A) < n.Selanjutnya jika diketahui rank(A) < n. Misalkan rank(A) = r < n.Jika r = m < n maka dapat ditambahkan beberapa persamaan dengan koefisien nol pada persamaan umum sistem persamaan linear (*) sehingga diperoleh sistem persamaan linear homogen yang baru sebagai berikut:

.. (**)Untuk membuktikan ahwa sistem persamaan linear homogeny AX = O mempunyai solusi non trivial dapat dibuktikan dengan menunjukkan bahwa sistem persamaan linear (**) mempunyai solusi non trivial. Artinya O Rn sedemikian sehingga memenuhi persamaan (**).

Karena , dengan Opxn adalah matriks nol berukuran p x n, p = n-m, t ; maka Jadi dengan mengganti persamaan (*) dengan persamaan (**) dan berdasarkan pada teorema bahwa rank(A) , tetap diasumsikan bahwa r ,

Karena rank(A) = r maka . Diambil dan jika r = 0 maka . Dilain pihak adalah solusi non trivial dari AX = 0. Jadi dapat diasumsikan bahwa 1,

Karena rank(A) = r dan maka . Artinya ada minor (r x r) dari A yaitu dari A sedemikian sehingga 0.

Kita dapat menukar atau mengganti baris-baris dan kolom-kolom dari A menjadi r baris pertama dan r kolom pertama dari matriks baru (**), dengan mengalikan pada sisi kiri dan kanan dari A dengan matriks permutasi dan sedemikian sehingga

dengan dan

Misalkan persamaan (PAQ)X=O mempunyai solusi non trivial Rn maka (PAQ) =O. Karena P adalah matriks invertible maka . Selanjutnya karena , sementara dan maka .Terbukti bahwa AX = O mempunyai solusi non trivial .

Akibat ****Suatu sistem persamaan linear homogen mempunyai solusi non trivial jika banyaknya persamaan lebih kecil dari banyaknya variabel yang diketahuiBukti:Diambil sistem persamaan linear homogen AX = 0 dengan banyak persamaan lebih kecil dibandingkan banyaknya variabel yang akan dicari. Artinya A maka m < n. Berdasarkan teorema rank(A) , rank(A) paling tinggi merupakan nilai terkecil dari m dan n. Maka rank(A) = m < n . Karena m < n, maka berdasarkan Teorema **: (Th. N.Mc.Coy), maka sistem persamaan linear tersebut mempunyai solusi non trivial

Perbandingan SPLH mempunyai solusi nontrivial atas Lapangan dan atas Ring1. Syarat perlu dan syarat cukup agar suatu sistem persamaan linear homogen atas ring mempunyai solusi nontrivial yaitu jika dan hanya jika rank(A) < n, dengan A masih berlaku pada sistem persamaan linear homogen atas lapangan dengan A .

2. Teorema (Th. N.Mc.Coy) :Diketahui A . Sistem persamaan linear homogen AX=O mempunyai solusi non trivial jika dan hanya jika rank(A) < n dibuktikan dengan memperhatikan sebagai minor berukuran (nxn) dari A. Sedangkan A . Sistem persamaan linear homogeny Ax=0 mempunyai solusi non trivial jika dan hanya jika rank(A) < n dibuktikan dengan menggunakan Ar sebagai eselon baris tereduksi dari matriks A

3. Suatu sistem persamaan linear homogen mempunyai solusi non trivial jika banyaknya persamaan lebih kecil dari banyaknya variabel yang diketahui, hal ini berlaku pada sistem persamaan linear homogen atas ring dan sistem persamaan linear homogen atas lapangan.