LAPORAN TUGAS BESARDESAIN SISTEM TERMALFinite Element Method (FEM)

Kelompok 13Muhammad Bagus Abdani Syukron(13312091)Dhea Rineka Ramdhini(13312093)Azmi Khoiri(13312097)

Program Studi Teknik FisikaFakultas Teknologi IndustriInstitut Teknologi Bandung2015I. PERMASALAHANSuatu obyek berbentuk segiempat dengan ukuran seperti gambar di bawah, mempunyai konduktivitas k=15 W/m.K. Sisi kiri dijaga pada suhu 100oC, sisi kanan mengalami konveksi dengan udara sekitar bersuhu 20oC dengan koefisien konveksi 5 W/m2.K, sisi diagonal adalah adiabatik. Distribusi suhu pada obyek ingin diketahui.

Gambar 1. Skema Objek

1. Tentukan persamaan difusi kalor yang sesuai untuk soal di atas. 2. Distribusi suhu pada seluruh obyek ingin diketahui dengan menggunakan metoda elemen hingga. Turunkan metode hampiran Galerkin dengan residual terbobot yang sesuai dengan persamaan difusi kalor di atas. 3. Tentukan daerah komputasi dengan menggunakan prinsip kesimetrian. 4. Tentukan jumlah elemen dan jenis elemen (serta penomoran titik lokal elemen dan titik global) untuk daerah komputasi yang dipilih, sedemikian sehingga dapat menggambarkan distribusi suhu secara cukup lengkap. 5. Turunkan secara lengkap matriks-vektor tiap elemen termasuk kondisi batas yang sesuai. 6. Susun matriks-vektor global untuk seluruh titik pada daerah komputasi. 7. Masukkan kondisi suhu konstan pada matriks-vektor global yang terbentuk. 8. Selesaikan matriks-vektor global hingga diperoleh nilai suhu untuk setiap titik pada daerah komputasi. 9. Tunjukkan gambar kontur distribusi suhu pada seluruh obyek dan jelaskan distribusi suhu yang ada.

II. DASAT TEORIFinite Element Method (FEM) adalah teknik numerikal yang digunakan untuk mendekati atau mengaproksimasi solusi untuk permasalahan nilai batas dengan menggunakan Partial Differential Equations (PDE). Objek permasalahan dibagi menjadi elemen-elemen kecil pembentuknya yang lebih sederhana (finite element). Elemen tersebut dihubungkan melalui titik global. Kemudian dicari solusi untuk setiap elemen dan dimasukkan ke dalam matriks lokal. Setelah itu dilakukan penggabungan matriks lokal ke dalam matrik global. Metode ini dapat dilakukan pada objek dengan geometri yang kompleks dengan ukuran partisi elemen yang tidak perlu sama.

III. PEMBAHASAN1. Persamaan Difusi Kalor

Persamaan konservasi energi dengan mengabaikan konveksi:

Persamaan umum difusi kalor:

Asumsikonduktivitas(k) konstan, sehinggapersamaandapatdisederhanakanmenjadi:

Asumsikonduksi yang terjadipadabidang2dimensi (sumbu x dan y),tidakadapembangkitan energy, dan transfer kalor terjadi pada kondisi tunak (sehinggapersamaandifusikalor (konduksitransien) yang sesuaiadalah :Persamaandifusipadaobjek menjadi: 2. Metode Hampiran GalerkinElemen Segiempat

ijnmlw

Diperoleh

Jika dituliskan dalam bentuk matriks :

Metode Penghampiran Galerkin :

adalah fungsi pembobot persamaan (iv) adalah mekanisme pengendali penambahan besaran yang dicari persamaan (i)Persamaan Residual

Atau dapat dituliskan Dengan Penjabaran dari persamaan (v) :

Jika dan

Persamaan (vi) dianggap sebagai fungsi linier sehingga tunan kedua dari sebaran suhu sama dengan nol . Oleh sebab itu kedua turunan tersebut perlu diubah menjadi turunan pertama dengan aturan berantai.

=

dan,

Tinjau bagian dengan font merah:

Persamaan (viii) dan (ix) disubstitusikan ke bagian dengan font merah

Selanjutnya persamaan integral di atas diselesaikan,

Dengan cara yang sama didapatkan,

Tinjau suku yang dilingkari ungu :dan dengan teorema Green, integral bidang dapat dituliskan sebagai berikut :

Kondisi perbatasan konvektif pada keempat sisi elemen segi-empat yang berkaitan dengan matriks konduktansi untuk permasalahan yang ada adalah : Matriks beban sepanjang sisi elemen segi empat

Untuk elemen segitiga matriks konduktansinya adalah sebagai berikut, Sedangkan matriks konveksi untuk permasalahan yang ada adalah. dengan ljk adalah panjgan sisi jk pada elemen segitiga