BAB 2

DIFRAKSI GELOMBANG DAN KISI TIMBAL BALIK

Hukum Bragg

Kita mempelajari struktur Kristal melalui difraksi foton, neutron, dan electron (gambar 1).

Difraksi tersebut bergantung pada struktur Kristal dan panjang gelombang. Pada panjang

gelombang optis misalnya 5000 A, superposisi gelombang yang dipancarkan oleh atom-atom

individu dari sebuah Kristal menghasilkan refraksi optis biasa. Ketika panjang gelombang radiasi

sebanding dengan atau lebih kecil dari konstan kisi, kita dapat menemukan balok difraksi di arah

berbeda.

W.L. Bragg disajikan penjelasan sederhana mengenai balok difraksi dari sebuah Kristal. Turunan

Bragg sangat sederhana tetapi meyakinkan hanya karena turunan tersebut menghasilkan hasil

yang benar. Misalkan bahwa gelombang tercermin spekulasi pada bidang paralel atom pada

Kristal, dengan tiap bidang pesawat yang tercermin sangat kecil, seperti cermin perak yang

ringan. Pada pemantulan cermin, sudut masuk sama dengan sudut refleksi. Balok difraksi yang

didifraksikan ditemukan ketika pantulan-pantulan dati bidang-bidang parallel atom ikut berperan,

seperti pada gambar 2. Kami melakukan hamburan elastic, di mana energy dari sinar-x tidak

diubah pada pantulan.

Pertimbangan bidang kisi parallel spasi d terpisah. Radiasi masuk ke bidang kertas. Jalur

perbedaan sinar yang tercermin dari bidang-bidang yang berdekatan adalah 2d sin θ, di mana θ

diukur dari bidang. Interferensi kostruktif radiasi dari bidang-bidang yang berturut-turut terjadi

ketika perbedaan jalur adalah jumlah integral n dari panjang gelombang , λ sehingga,

Ini adalah hokum Bragg, yang dapat dipenuhi hanya untuk panjang selombang λ ≤ 2d.

Meskipun refleksi dari tiap bidang spekular, hanya untuk nilai-nilai tertentu dari θ, pantulan dari

semua bidang parallel periodic akan bertambah pada fase untuk memberikan berkas cahaya yang

kuat. Jika setiap bidang memantulkan secara sempurna, hanya bidang pertama dari set parallel

yang akan melihat radiasi, dan semua panjang gelombang akan dipantulkan. Tetapi tiap bidang

merefleksikan 10-3 ke 10-5 radiasi yang masuk, sehingga bidang-bidang 103 ke 105 dapat

berkontribusi pada pembentukan berkas cahaya terpantul Bragg pada Kristal sempurna.

Hokum Bragg adalah konsekuensi dari kecenderungan waktu tertentu dari kisi. Perhatikan bahwa

hokum tersebut tidak merujuk pada komposisi basis atom-atom yang berhubungan dengan tiap

titik kisi. Namun, kita tetap kan melihat bahwa komposisi basis menentukan intensitas relative

dari berbagai urutan difraksi (ditunjukkan oleh n di atas) dari set bidang parallel yang diberikan.

Pantulan Bragg dari Kristal tunggal ditunjukkan pada gambar 3 dan dari gambar 4.

Gambar 3. Sketsa monokromator yang dengannya pantulan Bragg memilih spectrum sinar yang

sempit atau panjang gelombang neutron dari berkas cahaya spectrum yang luas. Bagian atas

gambar menunjukkan analisis (yang diperoleh dari pantulan dari Kristal kedua) dari kemurnian

cahaya 1.16 A dari neutron yang berasal dari monokromator Kristal florida kalsium (After G.

Bacon)

Gambar 4. Rekaman difraktometer sinar dari silicon bubuk, menunjukkan rekaman dari cahaya

yang didifraksikan (diambil dari W.Parrish)

AMPLITUTO GELOMBANG YANG TERPANCAR

Turunan Bragg tentang kondisi difraksi (1) memberikan pernyataan tentang kondisi gangguan

konstruktif gelombang yang dipancarkan dari titik-titik kisi. Kita butuh analisis yang lebih dalam

untuk menentukan intensitas pancaran dari basis atom-atom, yang berarti dari distribusi spasial

dari electron di dalam setiap sel.

Analisis Fourier

Kita telah melihat bahwa sebuah Kristal invariant di bawah terjemahan apapun dari bentuk

di mana adalah bilangan bulat dan adalah garis normal

Kristal. Property fisik local apapun pada sebuah Kristal, seperti konsentrasi isi, kepadatan jumlah

electron, atau kepadatan momen magnetic adalah invariant di bawah T. yang paling penting bagi

kita di sini adalah bahwa kepadatan jumlah electron n® adalah fungsi periodic r, dengan periode

pada arah dari tiga garis Kristal, berturut-turut. Jadi,

Periode tersebut menciptakan situasi ideal untuk analisis Fourier. Hal yang paling menarik dari

Kristal adalah bahwa Kristal terkait langsung pada kepadatan komponen-komponen elektron

Fourirer.

Pertama anggaplah sebuah fungsi n(x) pada sebuah dimensi dengan periode a pada arah x. kita

memperluas n(x) pada sebuah sseri Fouries sinus dan kosinus:

Di mana p adalah bilangan bulat positif dan adalah konstan real, yang disebut dengan

koefisien-koefisien ekspansi Fourier. Factor pada pendapat tersebut memperjelas bahwa

n(x) memiliki periode a:

Kita mengatakan bahwa adalah sebuah titik pada kisi resiprokal atau ruang Fourier dari

Kristal. Pada sebuah dimensi, titik-titik ini terletak pada sebuah garis. Titik-titik kisi resiprokal

memberitahu kita tentang wajtu-wahtu yang dipakai pada seri Fourier (4) atau (5). Sebuah

waktudibolehkan jika ia konsisten dengan periode Kristal, seperti pada gambar 5. Titik-titik

lainnya pada ruang resiprokal tidak dibolehkan pada ekspansi Fourier tentang fungsi periodic.

Maka kita dapat menuliskan seri (4) pada bentuk yang rapi:

Dimana jumlah adalah semua bilangan bulat p: posistif, negative, dan nol. Koefisien np sekarang

aalah angka-angka kompleks. Untuk meyakinkan bahwa n(x) adalah fungsi real, kita

membutuhkan:

Maka selanjutnya jumlah dari waktu pada p dan –p adalah real. Tanda bintang pada

menunjukkan konjugat kompleks dari .

Dengan , jumlaj dari waktu pada p dan –p pada (5) adalah real jika (6) dipenuhi.

Jumlahnya adalah:

Di mana sebaliknya sama dengan fungsi real

Jika (6) dipenuhi. Di sini dan adalah real dan menunjukkan bagian real dan

imajiner dari np. Maka kepadatan jumlah n(x) adalah fungsi real, seperti yang diharapkan.

Ekstensi dari analisis Fourier ke fungsi periodic n® pada tiga dimesi adalah langsung. Kita harus

menemukan sebuah set vector G seperti

Menjadi invariant di bawah translasi T semua Kristal yang meninggalkan invariant Kristal. Hal

tersebut akan ditunjukkan di bawah bahwa set koefisien nG Fourier menentukan amplitude

pancaran sinar.

Inversi Seri Fourier. Kita sekarang menunjukkan bahwa koefisien np Fourier pada seri (5)

diberikan dengan

Subtitusi (5) ke (10) untuk mendapatkan

Jika p’ ≠ p maka nilai integral adalah

Karena p’ – p adalah sebuah bilangan bulat dan . Untuk waktu p’ = p,

integran adalah dan nilai integral adalah a, sehingga n, yang merupakan

identitas, sehingga (10) adalah identitas.

Seperi pada (10), inverse (9) menghasilkan

Di sini Vc adalah volume sel kristal.