Tugas 3 Probab

Probabilitas dan Reliabilitas Dalam Struktur TUGAS III Rusandi Noor 25014001

SOAL 1

Diketahui kecepatan angin tahunan mengikuti distribusi normal

x = 100 km/jam

x = 30 km/jam

1. Gambarkan CDF dan PDF untuk distribusi 20 tahunan 2. Gambarkan CDF dan PDF distribusi asimtotiknya3. Hitung Probability Xn 120 km/jam

Dengan : 1. Exact solution 2. Distribusi asintotik

Bandingkan dengan angin yang secara rata” mempunyai return period 20 tahun

4. Jika disyaratkan bahwa P ( Xn > Xdesain ) = 5% X design = ... ?

Jawab !

1. Perhitungan cdf dan pdf distribusi 20 tahunan (exact solution), rumus yang digunakan untuk CDF dan PDF annual dan 20 tahunan :

PDF annual=fx (x )= 1√2π τ x

exp [−12 ( x−μx

τx )2]

CDF annual=F x (x )=[ x−μx

τ x ]PDF 20thn=fxn ( x )=nFx (x)n−1 fx(x )

CDF 20thn=Fxn ( x )=Fx(x )n

n=20 ;μ x=100 kmjam

; x=30 kmjam

;Xn=120 kmjam

;P (Xn>Xd )=5%

Maka selanjutnya hasil perhitungan diatas dapat di tabelkan :

bandingkan

1/20

X20

fx


x pdf : fx (x) cdf : Fx (x) pdf : fxn (x) cdf : Fxn (x)

0 5.14093E-05 0.00042906 1.07E-67 4.47E-685 8.83659E-05 0.000770985 1.26E-62 5.51E-63

10 0.000147728 0.001349898 8.84E-58 4.04E-5815 0.000240203 0.002303266 3.68E-53 1.77E-5320 0.000379866 0.003830381 9.17E-49 4.62E-4925 0.000584277 0.006209665 1.37E-44 7.27E-4530 0.000874063 0.009815329 1.23E-40 6.89E-4135 0.001271754 0.01513014 6.64E-37 3.95E-3740 0.001799699 0.022750132 2.18E-33 1.38E-3345 0.002477039 0.033376508 4.37E-30 2.94E-3050 0.003315905 0.047790352 5.36E-27 3.86E-2755 0.004317253 0.066807201 4.05E-24 3.14E-2460 0.005467002 0.09121122 1.90E-21 1.59E-2165 0.00673329 0.121672505 5.60E-19 5.06E-1970 0.008065691 0.158655254 1.04E-16 1.02E-1675 0.009397063 0.202328381 1.23E-14 1.32E-1480 0.010648267 0.252492538 9.35E-13 1.11E-1285 0.011735511 0.308537539 4.65E-11 6.11E-1190 0.012579441 0.36944134 1.53E-09 2.24E-0995 0.013114657 0.433816167 3.37E-08 5.57E-08

100 0.013298076 0.5 5.07E-07 9.54E-07105 0.013114657 0.566183833 5.31E-06 1.15E-05110 0.012579441 0.63055866 3.94E-05 9.87E-05115 0.011735511 0.691462461 2.12E-04 6.24E-04120 0.010648267 0.747507462 8.45E-04 2.97E-03125 0.009397063 0.797671619 2.56E-03 1.09E-02130 0.008065691 0.841344746 6.06E-03 3.16E-02135 0.00673329 0.878327495 1.14E-02 7.47E-02140 0.005467002 0.90878878 1.78E-02 1.48E-01145 0.004317253 0.933192799 2.32E-02 2.51E-01150 0.003315905 0.952209648 2.62E-02 3.76E-01155 0.002477039 0.966623492 2.60E-02 5.07E-01160 0.001799699 0.977249868 2.32E-02 6.31E-01165 0.001271754 0.98486986 1.90E-02 7.37E-01170 0.000874063 0.990184671 1.45E-02 8.21E-01175 0.000584277 0.993790335 1.04E-02 8.83E-01180 0.000379866 0.996169619 7.06E-03 9.26E-01185 0.000240203 0.997696734 4.60E-03 9.55E-01190 0.000147728 0.998650102 2.88E-03 9.73E-01195 8.83659E-05 0.999229015 1.74E-03 9.85E-01200 5.14093E-05 0.99957094 1.02E-03 9.91E-01205 2.90894E-05 0.999767371 5.79E-04 9.95E-01


210 1.6009E-05 0.999877134 3.19E-04 9.98E-01215 8.56901E-06 0.999936791 1.71E-04 9.99E-01220 4.46101E-06 0.999968329 8.92E-05 9.99E-01225 2.25877E-06 0.999984546 4.52E-05 1.00E+00230 1.11236E-06 0.999992657 2.22E-05 1.00E+00235 5.32791E-07 0.999996602 1.07E-05 1.00E+00240 2.48202E-07 0.999998469 4.96E-06 1.00E+00245 1.12457E-07 0.999999329 2.25E-06 1.00E+00250 4.95573E-08 0.999999713 9.91E-07 1.00E+00255 2.12405E-08 0.999999881 4.25E-07 1.00E+00260 8.85434E-09 0.999999952 1.77E-07 1.00E+00265 3.58992E-09 0.999999981 7.18E-08 1.00E+00270 1.41563E-09 0.999999993 2.83E-08 1.00E+00275 5.42939E-10 0.999999997 1.09E-08 1.00E+00280 2.02529E-10 0.999999999 4.05E-09 1.00E+00285 7.34788E-11 1 1.47E-09 1.00E+00290 2.59282E-11 1 5.19E-10 1.00E+00295 8.89852E-12 1 1.78E-10 1.00E+00300 2.9703E-12 1 5.94E-11 1.00E+00305 9.64315E-13 1 1.93E-11 1.00E+00310 3.04491E-13 1 6.09E-12 1.00E+00315 9.35115E-14 1 1.87E-12 1.00E+00320 2.79314E-14 1 5.59E-13 1.00E+00325 8.1144E-15 1 1.62E-13 1.00E+00330 2.29275E-15 1 4.59E-14 1.00E+00335 6.30076E-16 1 1.26E-14 1.00E+00340 1.68409E-16 1 3.37E-15 1.00E+00345 4.37798E-17 1 8.76E-16 1.00E+00350 1.10693E-17 1 2.21E-16 1.00E+00355 2.72208E-18 1 5.44E-17 1.00E+00360 6.51056E-19 1 1.30E-17 1.00E+00365 1.51451E-19 1 3.03E-18 1.00E+00370 3.42659E-20 1 6.85E-19 1.00E+00375 7.5403E-21 1 1.51E-19 1.00E+00380 1.61381E-21 1 3.23E-20 1.00E+00385 3.35931E-22 1 6.72E-21 1.00E+00390 6.8012E-23 1 1.36E-21 1.00E+00395 1.33924E-23 1 2.68E-22 1.00E+00400 2.56487E-24 1 5.13E-23 1.00E+00

Batas nilai konvergen pada tugas kali ini di ambil dari nilai CDF yang sudah mendekati nilai 1, itu di karenakan nilai tersebut akan konstan terus, sehingga begitu pula dengan PDF yang mendekati nilai 0.


0 100 200 300 400 5000.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

Grafik PDF

Exact pdf 20 tahunanExact pdf annual

x

kece

pata

n (k

m/j

am)

Grafik PDF annual lebih rendah karena data yang dipakai adalah data tahunan, berbeda dengan PDF 20 tahunan yang mengambil nilai setiap 20 tahun, sehingga nilai puncak pada grafik jauh lebih besar, tetapi rentang PDF 20 tahun lebih kecil karena kelipatan tahun yang dipakai setiap 20 tahun.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000.00E+00

2.00E-01

4.00E-01

6.00E-01

8.00E-01

1.00E+00

1.20E+00

Grafik CDF

Exact cdf 20 tahunanExact cdf annual

x

Kece

pata

n (k

m/j

am)

Nilai CDF yang dihasilkan pada CDF 20 tahun mempunyai rentang yang lebih besar, di karenakan data yang dipakai merupakan data 20 tahun, sedangkan CDF annual memakai data setiap tahun.


2. Perhitungan cdf dan pdf distribusi asymptotik, rumus yang digunakan untuk CDF dan PDF asymptotik :

PDF asymptotik=fx n ( x )=α nexp−α n(X−U n )exp [−exp−α n (X−U n)]

CDF asymptotik=Fxn ( x )=exp¿¿

U n=μn+❑−1 [ x−μx

σx ]α n=n fxn ( x )Un


; x=30 kmjam

;Xn=120 kmjam

;P (Xn>Xd )=5%

Maka selanjutnya hasil perhitungan diatas dapat di tabelkan :

x pdf : fxn (x) cdf : Fxn (x)

0 0 0 130 0.00592467 0.022786155 0 0 135 0.01262248 0.068462951

10 0 0 140 0.0195267 0.1493632215 0 0 145 0.02407425 0.25969993920 0 0 150 0.02526911 0.38442630125 0 0 155 0.0236631 0.50769026930 0 0 160 0.02043687 0.61836616935 0 0 165 0.01666636 0.71117470340 0 0 170 0.01304967 0.78530651845 0 0 175 0.00992728 0.84250849650 0 0 180 0.00739909 0.88557661655 3.453E-284 7.6495E-286 185 0.00543534 0.917442927

60 2.161E-201 6.7514E-203

65 1.001E-142 4.4122E-144

70 3.598E-101 2.2359E-102

75 9.5248E-72 8.34678E-73

80 6.2886E-51 7.77171E-52

85 3.2958E-36 5.74427E-37

90 8.1618E-26 2.00614E-26

95 1.7315E-18 6.00194E-19

100 2.4556E-13 1.20042E-13


105 9.9934E-10 6.88969E-10

110 3.2791E-07 3.18817E-07

115 1.8046E-05 `2.47448E-05

120 0.00028003 0.000541511

125 0.00177076 0.004829061

190 0.00395193 0.940731137 410 1.1323E-09 0.999999984

195 0.00285249 0.957601688 415 8.0289E-10 0.999999988

200 0.0020483 0.969747283 420 5.6932E-10 1

205 0.00146545 0.978452723 425 4.0369E-10 1

210 0.00104573 0.984672897 430 2.8625E-10 1

215 0.00074485 0.989107451

220 0.00052984 0.992264005

225 0.00037655 0.994508359

230 0.00026743 0.996102864

235 0.00018985 0.997235045

240 0.00013473 0.998038634

245 9.5586E-05 0.998608835

250 6.7806E-05 0.999013352

255 4.8093E-05 0.999300286

260 3.4109E-05 0.999503796

265 2.419E-05 0.999648125

270 1.7154E-05 0.99975048

275 1.2165E-05 0.999823063

280 8.6261E-06 0.999874534


285 6.1168E-06 0.999911033

290 4.3374E-06 0.999936914

295 3.0757E-06 0.999955267

300 2.1809E-06 0.99996828

305 1.5465E-06 0.999977508

310 1.0966E-06 0.999984051

315 7.7756E-07 0.999988691

320 5.5136E-07 0.999991981

325 3.9096E-07 0.999994314

330 2.7722E-07 0.999995968

335 1.9657E-07 0.999997141

340 1.3939E-07 0.999997973

345 9.8836E-08 0.999998563

350 7.0083E-08 0.999998981

355 4.9694E-08 0.999999277

360 3.5237E-08 0.999999488

365 2.4986E-08 0.999999637

370 1.7717E-08 0.999999742

375 1.2563E-08 0.999999817

380 8.9081E-09 0.99999987

385 6.3166E-09 0.999999908

390 4.479E-09 0.999999935

395 3.176E-09 0.999999954

400 2.252E-09 0.999999967

405 1.5969E-09 0.999999977


Dari grafik diatas dapat disimpulkan bahwa PDF 20 tahunan dapat di dekati dengan cara asymtotik, yang menghasilkan nilai hampir sama.

Dari grafik diatas dapat disimpulkan bahwa CDF 20 tahunan dapat di dekati dengan cara asymtotik, yang menghasilkan nilai hampir sama.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

pdf asimtotis 20 tahunanpdf exact 20 tahunanpdf exact annual

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

cdf asimtotiscdf exact 20 tahunancdf exact annual


3. Probability Xn 120 km/jam dengan : 1. Exact solution 2. Distribusi asymtotik

1. Untuk menentukan nilai Xn 120 km/jam rumus yang di pakai nilai CDF exact

Fx ( x )=[ x−μx

τ x ]CDF 20thn=Fxn ( x )=Fx(x )n


; x=30 kmjam

; Xn=120 kmjam

makahasil yangdi dapat 0.30%

2. Untuk menentukan nilai Xn 120 km/jam rumus yang di pakai nilai CDF asymtotik


Un=μn+❑−1[ x−μx


n=20 ;μx=100 kmjam

; x=30 kmjam

; Xn=120 kmjam

;

maka hasil yangdi dapat 0.05%

¿dari nilaiCDF exact danasymptotik (0.30%dan0.05% )terlihat perbedaan yang jauh ini di sebabkan

nilai Xn=120 kmjam

0 100 200 300 400 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

cdf asimtotiscdf exact 20 tahunan

120

Nilai 120 menentukan nilai CDF yang dhasilkan, maka untuk membuktikan nilai ke konvergenan CDF exact dan asymptotik akan di coba dengan nilai X yang lain.


Probability Xn 150 km/jam dengan :

1. Exact solution 2. Distribusi asymtotik

1. Untuk menentukan nilai Xn 150 km/jam rumus yang di pakai nilai CDF exact

Fx ( x )=[ x−μx

τ x ]CDF 20thn=Fxn ( x )=Fx(x )n


; x=30 kmjam

; Xn=120 kmjam

maka hasil yangdi dapat 37.55%

2. Untuk menentukan nilai Xn 150 km/jam rumus yang di pakai nilai CDF asymtotik


Un=μn+❑−1[ x−μx


n=20 ;μx=100 kmjam

; x=30 kmjam

; Xn=120 kmjam

;

makahasil yangdi dapat 38.44%

¿dari nilaiCDF exact danasymptotik (37.55% dan38.44% ) terlihat perbedaan

yangdekat ini di sebabkannilai Xn=150 kmjam

.

0 100 200 300 400 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

cdf asimtotiscdf exact 20 tahunan

150

Nilai 150 menentukan nilai CDF yang dhasilkan, nilai konvergenan CDF exact dan asymptotik telah memenuhi, karena nilai keduanya hampir sama


Return Period=μx+❑−1 (0.95 )σ x

μ x=100 kmjam

; x=30 kmjam

dari formula diatasdi dapat nilai return periode sebesar149.34 kmjam

4. Jika disyaratkan bahwa P ( Xn > Xdesain ) = 5% maka di dapat : Dengan cara exact

Fxn (d )=1−1n=0.95

Fx (d )=Fxn( x)1n=0.997439

Fx (d )=[ x d−μx

σ x ]Xd=❑−1 [Fx (d ) ]∗σ x+μx

Xd=183.98km / jam

Dengan cara asymptotik

Fxn (d )=1−1n=0.95


Xd= ln ¿¿

Xd=192.54 km / jam

Jadi untuk desain di pakai peluang terlampaui 5% pada distribusi 20 tahunan bukan dengan kec. Angin dengan return periode 20 tahun, hal itu dapat di lihat dari nilai Xd yang lebih besar pada P(Xn>Xdesain) = 5% sebesar exact = 183.98 km/jam dan asymptotik = 192.54 km/jam, sedangkan nilai return periode sebesar 149.34 km/jam .

Tugas 3 Probab

Documents

Transcript of Tugas 3 Probab