¿Tu calculadora sabe sumar? · incertidumbre no es mayor que la mitad de la mínima unidad que...
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¿Tu calculadora sabe sumar?
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¿Tu calculadora sabe sumar?
Introducción.
A lo largo de la historia, el hombre hadesarrollado diversos equipos decomputo.
Abaco RomanoAbaco Japonés
Abaco Ruso
Introducción.
Computadora digital
Algoritmos de multiplicar.
Introducción.Regla de Cálculo
1850 - 1980
Regla de cálculo de 25 cm (Pickett N902-T)
Regla de cálculo circular
Introducción.
Se impartían cursos de manejo de regla de cálculo
Introducción.
Se recurria a la literatura sobre manejo de regla de cálculo
Introducción.
Calculadora mecánica
Introducción.
Sumaba y restaba
Introducción.
Introducción.
Introducción.
Olivetti
Remington
Burroughs
Introducción.
Facit
Introducción.
Olivetti
Burroughs
Introducción.
• Con el desarrollo de económicas yportátiles calculadoras se haincrementado el número de personas queconfiadamente se apoyan en el uso deestas máquinas para realizar sus cálculos.
Introducción.
Introducción.
Burroughs B6700
Introducción.
Burroughs B6700
Introducción.
Burroughs B6700
Introducción.
Burroughs B6700
Introducción.
Burroughs B6700
Introducción.
Introducción.
• Muchos usuarios de computadorasconfían ciegamente en los resultados quela máquina les entrega, y este problemaes compartido por el creciente número deusuarios. Un resultado producido por unacomputadora es aceptado como correcto,esto es más o menos aceptado como unaprueba matemática.
Introducción.
¿Cómo era ?
Introducción.
HP9830A
Introducción.
Apple II
Commodore SX-64
Almacenamiento
• Continuamente el mercado se veinundado por nuevas generaciones decomputadoras Personales. Estasmáquinas frecuentemente superan a lasanteriormente fabricadas, en capacidad yeficiencia.
Introducción.
Introducción.
IBM 5150 (1981)
IBM Personal System/2 Model 55 SX (1987)
IBM Personal System/2 Model 25
IMB Model 80
Introducción.
MacBook
• Los usuarios quedan completamenteatónitos cuando se enfrentan al hecho deque un cálculo numérico simple, con unascuantas operaciones, puede producirresultados incorrectos. Ellos quedan másatónitos al comprender que en cálculos ennotación flotante nada puede serconfiable, dadas las técnicascomputacionales usadas actualmente.
Introducción.
Modernidad
• Ax3 + Bx2 + Cx + D = D + x(C + x(B + xA))
Introducción.
35 15 3510 10 10+ −
GWBASIC
GWBASIC
GWBASIC
GWBASIC
GWBASIC
Borlan C
Borlan C
Excel
Excel
MathCad
MathCad
MathCad
MathCad
Matlab
Matlab
Mathematica
Mathematica
Mathematica
-2237x
8
11340+21473 x
10
56700-24683 x
12
56700+6485153 x
14
17860500-8608231 x
16
35721000+85931369 x
18
642978000-8586380969 x
20
135025380000+
16985903 x22
642978000-65399931389 x
24
6751269000000+43833311 x
26
13891500000-2062210963 x
28
2250423000000+37403225893 x
30
157529610000000-
25893327853 x32
472588830000000+
17663674519 x34
1575296100000000-
13359775033 x36
6616243620000000+
15495397 x38
49009212000000-
106553 x40
2520473760000+
115697 x42
24700642848000-
30353 x44
74101928544000+
127x46
4940128569600-
127x48
145239779946240
Mathematica
Caracteristicas de operación.
• Notación Flotante.• Sistema Binario.• Tamaño finito de palabra.
Notación flotante
700 = 0.7 x 103
Mantisa
Exponente
Sistema binario
0.710 = 0.101100112
= 0.6992187510
0.000000012 = 2-8 = 0.00390625
Sistema binario
0.710 = 0.10110011001100102
= 0.6999969510
0.00000000000000012 = 2-16
=0.0000152588
El error de redondeo
0.00390625 x 1035 = 3.9 x 1032
0.0000152588 x 1035 = 1.52 x 1030
El error de redondeo truncado
10.333333333...
33.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937...
e=2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 ...
π
=
= ββ
El error de truncamiento
0
2 1
0
!
( 1)( )
(2 1)!
ix
i
i i
i
xe
i
xsen x
i
∞
=
+∞
=
=
−=+
∑
∑β β
Error absoluto
( )( ) ( )
( )!1
)(
1
2
11
1
1
+−=
×−=
×=
++
−−
−−
n
axfe
e
e
nn
t
t
rt
t
r
ε
ββ
ββ
Error relativo
( )( ) ( )
( )( )
∑=
++
−
−
−+
−
=
×−=
×=
n
i
ii
nn
t
t
rt
t
r
i
axaf
n
axf
r
r
r
0
)(
11
!
)(
!1
)(
1
2
ε
ββ
ββ
Errores inherentesFabricación
Errores inherentesMedición
Errores inherentesMedición
Errores inherentesMedición
Errores inherentes
Errores inherentesMedición
Cifras significativasCifra significativa es cada uno de los dígitos que
resultan de hacer una medición, cuando la máxima
incertidumbre no es mayor que la mitad de la mínima
unidad que puede ser medida con el instrumento de
medición utilizado.
El ancho de una hoja de papel, tamaño carta, es 21.63294 cm y el largo de ella es 27.92569823 cm.
El exceso de decimales es un error
Cifras significativas
Se utilizó una regla graduada en milímetros. Con esteinstrumento de medida sólo es posible determinar milímetros,por lo que los últimos dígitos reportados para el ancho y largode la hoja carecen de sentido. Las dimensiones reportadasdeben ser entonces, 21.6 cm de ancho y 27.9 cm de largo. Esdecir los datos tienen 3 cifras significativas.
Ahora expresemos estas dimensiones en otras unidades, el ancho de la hoja es:216000 µm = 216 mm =21.6 cm = 0.216 m = 0.000 216 Km.
En todos los casos se tienen sólo 3 cifras significativas, al escribirla en µm, los tres últimos ceros no son confiables,
Ahora calculemos el área de la hoja tamaño carta, unamultiplicación simple nos da el resultado:
Área = 21.6 cm X 27.9 cm = 602.64 cm2.
Observemos que cada una de las dimensiones tieneun decimal y el área cuenta con dos, lo cual también es unaimprecisión. Cuando se sumen, resten, multipliquen o dividancantidades con diferente número de decimales el resultadodebe expresarse con un número de decimales igual al delfactor que menos tenga. Así el área debe ser expresadacomo 602.6 cm2.
Cifras significativas
La palabra precisión se usa para referirse a laincertidumbre en una medida, una medida tiene muchaprecisión cuando su incertidumbre es pequeña y tiene pocaprecisión cuando la incertidumbre es grande.
La exactitud indica la cercanía de dicha medida alvalor real de la magnitud que se mide.
Exactitud y Precisión.
Excel
• Cuando se van a sumar y/o restarnúmeros, trabajar con los números máspequeños primero.
• De ser posible, evitar la substracción dede dos números aproximadamenteiguales.
Recomendaciones.
• Una expresión del tipo a(b - c) puedereescribirse ab – ac y (a-b)/c puedereescribirse a/c – b/c. Si hay númerosaproximadamente iguales en el paréntesis,ejecutar la resta antes de la multiplicación.
• Cuando no se aplique ninguna de las reglasanteriores, minimizar el número de operacionesaritméticas.
Recomendaciones.
Polinomios.
3/ 2 3 5/ 2 5 7 / 2 7 9/ 2 91 7 127 4369
2 24 960 80640 11612160
yE y y y y
π π π π π= + + + +
2 2 2 21 1 1 127 43691 1 7
2 12 40 12 7 1008
yE y y y y
π π π π π = + + + +
Conclusión.
Para evitarnos problemas y/o errores, debemoshacerle la vida fácil a la computadora.
2
43
2
2
11
11
11
a
nnana
n
ann
a
−+−−
−−+
−
n
nn 12 ++
Conclusión.
Referencias.
S. M. Rump, Wie zurerlássig sind die Ergebrisse unsererRechenanlagen? Jahrbuch Überblicke Mathematik 163 –168 (1983)
Antología de Matemáticas, Serie: Lecturas Universitarias,vol. 7, Universidad Nacional Autónoma de México,Segunda edición 1983, pp 134-137
Panteleeva, O., González Cardel M. F., “MétodosNuméricos” Instituto de Investigaciones en TecnologíaEducativa de la Universidad Tecnológica de México,México, 2002.
Referencias.
McCracken, D. y D. Dorn, W. S., Métodos Numéricos y
programación fortran, Limusa México, 1986.
Burden L. R. y Faires J. D., Análisis Numérico, ThomsonLearning. México, 2002.
Rivalidades modernas
