Trng s phc l m rng ca trng s thc thnh mt trng ng i s sao cho mi a thc bc n c ng n nghim. Phng trnh i s n gin nht khng c nghim trn trng s thc l phng trnh x2+1 = 0 hay x2 = -1. phng trnh ny c nghim, phi cng nhn s tn ti ca mt "s" mi, s o l s c bnh phng bng s m mt! Mc lc [n]

1 Lch s 2 nh ngha 3 Mt s khi nim quan trng trong trng s phc o 3.1 Dng i s ca s phc o 3.2 Mt phng phc o 3.3 S thc v s thun o o 3.4 S phc lin hp o 3.5 Moun v Argumen o 3.6 Dng lng gic ca s phc 3.6.1 nh ngha 3.6.2 Php ton trn cc s phc vit di dng lng gic

3.6.3 V d 4 Mt s ng dng 5 Xem thm 6 Lin kt ngoi

[sa]Lch s Nh ton hc Italia R. Bombelli (1526-1573) a nh ngha u tin v s phc, lc c gi l s "khng th c" hoc "s o" trong cng trnh i s (Bologne, 1572) cng b t lu trc khi ng mt. ng nh ngha cc s (s phc) khi nghin cu cc phng trnh bc ba v a ra cn bc hai ca 1. Nh ton hc Php DAlembert vo nm 1746 xc nh c dng tng qut "a + bi" ca chng, ng thi chp nhn nguyn l tn ti n nghim ca mt phng trnh bc n. Nh ton hc Thy SL. Euler (1707-1783) a ra k hiu "i" ch cn bc hai ca 1, nm 1801 Gauss dng li k hiu ny [sa]nh ngha

Trong ton hc, trng s phc, k hiu l . C nhiu phng php xy dng trng s phc mt cch cht ch bng phng php tin . Gi l trng s thc. K hiu l tp hp cc cp (a,b) vi . Trong , nh ngha hai php ton cng v nhn nh sau: (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) (a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc) th l mt trng (xem cu trc i s). Ta c th lp mt n nh t tp s thc vo bng cch cho mi s thc a ng vi cp . Khi ... Nh php nhng, ta ng nht tp cc s thc vi tp con cc s phc dng (a,0), khi tp cc s thc l tp con ca tp cc s phc v c xem l mt m rng ca . K hiu i l cp (0,1) . Ta c i2=(0,1) * (0,1) = ( 1,0) = 1. S phc i c gi l n v o, tt c cc s phc dng a * i c gi l cc s o (thun o).

[sa]Mt s khi nim quan trng trong trng s phc [sa]Dng i s ca s phc Trong trng s phc, tnh cht ca n v o i c trng bi biu thc i2=1 . Mi s phc z u c biu din duy nht di dng: z = a + b.i. trong a, b l cc s thc. Dng biu din ny c gi l dng i s ca s phc z. Vi cch biu din di dng i s, php cng v nhn cc s phc c thc hin nh php cng v nhn cc nh thc bc nht vi lu rng i2 = 1. Nh vy, ta c: (a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d).i (a + b.i)(c + d.i) = (a.c - b.d) + (b.c + a.d).i [sa]Mt phng phc

Trong h to cc, c th dng trc honh ch ta phn thc cn trc tung cho ta phn o biu din mt s thc z = x + yi. Khi mt phng ta c gi l mt phng phc. [sa]S thc v s thun o Bi chi tit: s thc Nu b=0, s phc c dng z = a c gi l s thc, nu a =0, s phc b.i c gi l thun o. [sa]S phc lin hp Bi chi tit: S phc lin hp Cho s phc di dng i s , s phc c gi l s phc lin hp ca z.

Mt s tnh cht ca s phc lin hp: 1. 2. 3. l mt s thc. = =

Php chia hai s phc di dng i s:

[sa]Moun v Argumen Bi chi tit: Moun v Argumen Cho . Khi . Cn bc hai ca c gi l moun ca z, k hiu l | z | . Nh vy . Xem thm: gi tr tuyt i

C th biu din s phc z = a + b * i trn mt phng ta bng im M(a,b), gc gia chiu dng ca trc Ox v vec t, c gi l argumen ca s phc z, k hiu l arg(z). Mt vi tnh cht ca mun v argumen

arg(z1 * z2) = arg(z1) + arg(z2), [sa]Dng lng gic ca s phc

[sa]nh ngha

S phc z = a + b * i c th vit di dng

hay, khi t , ta c Cch biu din ny c gi l dng lng gic ca s phc z. [sa]Php ton trn cc s phc vit di dng lng gic Php nhn v php chia cc s phc di dng lng gic Cho hai s phc di dng lng gic

Khi

Ly tha t nhin ca s phc di dng lng gic (cng thc Moirve).

Khai cn s phc di dng lng gic. Mi s phc z khc 0 u c ng n cn bc n, l cc s dng trong ,k= 0,1,...n 1 [sa]V d im khc bit quan trong nht khi m rng thnh trng s phc t trng s thc l tnh ng vi

cc phng trnh i s. Mi phng trnh i s bc n u c ng n nghim. Ni ring, phng trnh xn c n nghi m, hay l cn bc n ca s phc khc 0 bt k c n gi tr. iu ny l hon chnh ca mnh trong s thc "mi s thc dng c 2 cn bc hai". V d:

c hai cn bc hai l 1 v 1 c hai cn bc hai l i v -i

c hai cn bc hai l

v

c hai cn bc hai l v

c ba cn bc ba l

c b a c n b c b a l

Hm phc l mt hm trong i s v hm s nhn gi tr phc. Chnh xc hn, hm phc l hm m tp xc nh l tp con ca mt phng phc v tp gi tr cng l tp con ca mt phng phc.

Vi mt hm phc ty , c i s v hm s c th tch thnh phn thc v phn o: v trong v l cc hm thc. Ni cch khc, cc thnh phn ca hm f(z), v c th hiu nh cc hm thc ca hai bin thc, x v y. Cc khi nin c bn ca gii tch phc thng c gii thiu bng cch m rng cc hm thc s cp (v d hm m, hm l ga rt v cc hm lng gic) ln min phc. [sa]o hm v phng trnh Cauchy-Riemann Nh trong gii tch thc, mt hm phc "trn" w = f(z) c th c o hm ti mt im no trong min xc nh . Thc t nh ngha o hm

tng t trong trng hp thc, vi mt im khc bit quan trng: Trong gii tch thc, gii hn ch c th c bng vic di chuyn trn ng thng thc mt chiu. Trong gii tch phc, gii hn c c bng cch di chuyn theo hng bt k trn mt phng phc hai chiu. Nu gii hn ny tn ti vi mi im z trong , khi f(z) c gi l kh vi trn . C th chng minh rng mi hm kh vi f(z) u l hm gii tch. y l kt qu mnh hn trng hp hm thc. Trong gii tch thc, ta c th xy dng hm f(x) c o hm bc nht ti mi ni nhng o hm bc hai khng tn ti ti mt hay nhiu im trn tp xc nh ca hm. Tuy nhin trn mt phng phc, nu mt hm f(z) kh vi trong mt ln

cn th n s kh vi v hn trong ln cn . Bng cch p dng phng php ca gii tch vc t tnh o hm ring ca hai hm vec t u(x, y) v v(x, y) vo cho hm f(z), v xem xt hai ng n z trong , c th ch ra rng o hm tn ti nu v ch nu ng nht phn thc v phn o ca biu thc ta c phng trnh CauchyRiemann: hoc k hiu khc, Vi phn h hai phng trnh o hm ring ny, u tin theo x, sau theo y ta d dng ch ra rng hoc di dng k hiu khc,