trujillo20072_Parte3 (1)
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RESISTENCIA DE MATERIALES
M todo de la seccin transform ada. Transform em os la seccin en m adera:
RESISTENCIA DE MATERIALES 2015
n EaceroEmadera
200GPa 20 10GPa
Analicem os la viga com o si fuera toda de m adera:
C alculem os c1,c2 ,e I
y A1 y1 A2 y2 400 I 200 12 4.67 c2
A1 A2
400 200
c1 22 4.67 17.33
I ID Ad 2 27200 6002.6722922.67cm24
I200 23
D3
10 2033
27200cm4
Finalmente, calculamos los esfuerzos en la madera y en el acero:
M maxc1
max( )madera,real
3600N 100cm 17.33cm
272.16 N
10
cm2
2721.6
KPa
I22922.67cm4cm2m24
M maxc2
max( )madera, ficticio
3600N 100cm 4.67cm
73.34 N
10
cm2
733.4
KPa
I22922.67cm4cm2m24
Como en la realidad en la parte inferior de la viga no hay madera sino una platina de acero, debemos devolvernos por as decirlo y multiplicar este esfuerzo ficticio por n para obtener el esfuerzo real en el acero:
max()acero,real n max()madera, ficticio 20 747.7KPa 14954KPa
En conclusin hemos encontrado los siguientes esfuerzos mximos en la viga:
Variacin de esfuerzos a travs de la seccin:
La viga entonces, absorber los esfuerzos de la siguiente form a:
Com o se ve, la platina de acero soporta la m ayor parte de los esfuerzos de tensin.
La viga tam bin puede analizarse transform ando toda la seccin en acero. Vem oslo a continuacin.
Resolucin del problem a transform ando la viga en acero
Vam os a transform ar toda la viga en acero. Por lo tanto:
n EmaderaEacero
10GPa200GPa
0.05
Seccin transform ada en acero
Analicem os la seccin transform ada:
y A1 y1 A2 y2 20 1 10 12 4.67 c2
C lculo del m om ento de inercia:
A1 A2
c1 22 4.67 17.33
20 10
I ID Ad 2 1360 302.671146.132
I10 23
D3
0.52033
1360
C lculo de los esfuerzos:
max(C )acero, ficticio
3670 100 17.33
1146.13
5549.20 104
Pa 55492KPa
max(T )acero,real
3670 100 4.67
1146.13
1493.37 104
Pa 14953.7KPa
Esfuerzo m xim o en la m adera:
max(C )madera,real n max(C )acero, ficticio 0.05 55492 2774.6KPa
En resum en:max(T )
max(C )madera,real 2774.6KPa
O bviam ente, los valores son iguales a los que obtuvim os transform ando la seccin en m adera
acero,real 14953.7KPa
PRO BLEM AS PRO PUESTO S
C alcular los esfuerzos norm ales y cortantes m xim os en las siguientes vigas
I
N TEN SE LAS D EFO RM ACIO N ES Y FISU RAS EN LO S EXTREMO S D E LA VIG A
Tal como se ha dicho, un elemento estructural no slo debe ser resistente a la rotura sino que debe tener unas condiciones de rigidez adecuadas de tal manera que se cumplan algunas condiciones mnimas, a saber:
Que se garantice la funcionalidad de la estructura evitando grandes deformaciones que podran afectar su desempeo. (Por ejemplo el alineamiento y nivelacin de equipos).
Que no se afecte la esttica de la estructura con la aparicin de grietas, producto de grandes deformaciones.
N TESE AG RIETAM IEN TO D E LA VIG A EN LA SECC I N D E MOM EN TO N EG ATIVO , PO R FALTA D E REFU ERZO
Adicionalmente como se ha visto, en el caso de vigas estticamente indeterminadas es necesario obtener ecuaciones adicionales basadas en las deformaciones que nos ayuden a levantar la indeterminacin y as poder resolverlas.
De otra parte, en los prximos cursos de ingeniera estructural se requerirn los conocimientos relativos a los mtodos de clculo de deformaciones en vigas para poder afrontar el estudio de estructuras estaticamente indeterminadas (por ejemplo en el mtodo conocido como pendiente- deflexin o slope deflection).
Por estos motivos se hace necesario calcular las deformaciones que se producen en las vigas cuando estn son sometidas a cargas.
Existen varios mtodos para calcular las deformaciones en vigas:
Mtodos matemticos: Mtodo de la doble integracin o de la Ecuacin de la elstica.
Mtodos geomtricos: Basados en la forma de la viga deformada. El mas conocido es el mtodo del rea de momentos o Teoremas de Mohr.
Mtodos derivados de los anteriores: Mtodo de la viga conjugada conocido en algunos textos como Mtodo de los Pesos Elsticos.
Mtodos energticos: Basados en la conservacin de la energa desarrollada por las fuerzas al deformar las vigas. (Teoremas de Maxwell, de Castigliano y otros).
Tipos de deform aciones
Funcionalidad afectada por deformaciones excesivas (se desnivelan los elementos soportados por la viga).
Deformaciones excesivas pueden causar agrietamientos que afectan la esttica de las estructuras.
Deformaciones con concavidades contrarias.
4.1 M TO DODE LA DO BLE IN TEG RACIN
1 MEn la teora de flexin se vi que: EI
En matemticas se tiene que:
d 2 y1dx2
31 dy 2 2dx
Por lo tanto:
d 2 ydx 2M
pero
0
las pendientes en las vigas son muy pequeas
1 dy 2 2EI3
dy
dx
dx
dy 2
Con mayor razn:
0
dx
En conclusin:
d y M
y"
o lo que es lo mismo:EIy"M
dx2EI2
EIy"M
EI:Rigidez a la flexiny :segunda derivada de la ecuacin de la viga deformada o elsticaM:Ecuacin del momento flector en el tramo de viga considerado
Si integramos esta ecuacin obtenemos la ecuacin de la pendiente y:
EIyMdx C1
Si integramos otra vez (doble integracin) obtenemos la ECUACIN DE LA ELSTICA:
ECUACIN DE LA ELSTICAEIy Mdx C1x C 2
Con estas ecuacin podemos calcular la pendiente y o la deformacion y en cualquier punto de la viga.
Las constantes C1 y C2 se calculan estableciendo las condiciones iniciales o de borde que dependen de los apoyos y las caractersticas de la viga y de las cargas como se ver en los ejemplos.
CON DICION ESIN ICIALES EN DIFEREN TESTIPO S DE VIG AS
PRO BLEM A
C alcular la deform acin en el extrem o libre B de la viga en voladizo:
Tal com o se vi en el m todo de doble integracin:
EIy"M
Para poder integrar necesitam os la ecuacin del m om ento flector M . Para encontrarla hacem os un corte a una distancia x del em potram iento A.
M 0
M PL Px 0
Ecuacin del m om ento:M Px PL
Por lo tanto:EIy"Px PL
Integrando una vez:Px 2
EIy
2 PLx C1
Integrando otra vez (doble integracin):
EIy
Px36
PLx 22
C1x C2
Para calcular C1 y C2 debemos establecer las condiciones iniciales. Para esto, observamos el problema fsico, la viga empotrada en A. En el empotramiento (x=0) se estn impidiendo tanto la deformacin (y=0) como el giro (y=0). Recordemos que un empotramiento por definicin es un apoyo que impide el giro.
Entonces:
Condiciones iniciales:
x 0x 0
y 0y0
0000
x 0
y 0
EIy
Px36
PLx 22 C1x C2
por tanto: C2 0
000
x 0
y0
EIy
Px 22 PLx C1
por tanto: C1 0
Al ser las dos constantes iguales a cero, las ecuaciones quedan:
Px3
PLx2
1 Px3
PLx2
y
Ecuacin de la elstica:EI 2
EIy 62
6
Px21 Px 2
Ecuacin de la pendiente:
EIy PLx2
yEI 2
PLx
Clculo de la deformacin en el extremo B:
B yL
B yL
1 Px3PLx2 y EI 62
1 PL3
PL3
PL3B 3EIPL3
B EI
6
2 3EI
Anlisis de deform acin
PL3B 3EI
Influencia de la longitud de la viga L en la deform acin
Vem os que m ientras m ayores sean P y L m ayor ser la deform acin y que m ientras m ayor sea EI, ser m enor.
EI: Rigidez a la flexin. Para un m aterial dado (E), la deform acin depende del m om ento de la inercia.
Influencia del m om ento de inercia en la deform acin
Si duplicam os la longitud de la viga tendrem os:
PL3B 3EI
B
P2L33EI|
8PL33EI
C lculo de la pendiente de la viga en B:
Al duplicar la longitud, la deform acin se hace 8 veces m s grande
1 Px 2
Ecuacin pendiente:
yEI 6
PLx
B yL|
22
1
PL PL2 PL
BEI 22EI
PRO BLEM A
C alcular la deform acin m xim a en la viga, la pendiente en los apoyos A y B y la deform acin en el centro de la luz
M A 0Fy 0
5RB 3500 0RA 500 300 200
RB 300
En este caso la ecuacin de m om entos no es nica para toda la viga: tiene una expresin distinta en cada uno de los 2 tram os. Veam os:
0 x 3
3 x 5
M 200x
M 200x 500x 3
Encontrem os la ecuacin de la elstica para cada tram o:
0 x 33 x 5
EIy"200x
EIy"200x 500x 3
EIy
200x22
C1
EIy
200x22
500x 322
D1
Tenem os 4 constantes. N ecesitam os por tanto 4 condiciones iniciales
EIy
200x36
C1x C2
EIy
200x36
500x 336
D1x D2
C ondiciones iniciales:
x 3x 3
y AC yCB yAC yCB
C es un punto com n de los tram os AC y CB. Por tanto en dicho punto las ordenadas y las pendientes de los 2 tram os son iguales
x 0
y 0
EIy
200x36
C1x C2
x 5
y 0
EIy
200x36
500x 336
D1x D2
x 3
yAC yCB
EIy
200x36
C x C EIy 1
2
200x36
500x 336
D1x D2
x 3
yAC yC B
EIy
200x32
C1 EIy
200x22
500x 322
D1
C2 0
200 530 6
500 263
5D1
C2 0
5C1 5D1 D2
C1 D1
D e estas cuatro ecuaciones obtenem os:
C2 0
D2 0
C1 D1 700
Deformacin mxima: Por observacin vemos que ocurre en el tramo AC de la viga. Adem es en dicho punto la tangente a la elstica horizontal, es decir y=0.
max yeny0
La ecuacin de la pendiente para el tramo AC es:
EIy
200x22
C1
Por tanto:
0 200x2
2
C1
200x2
2
700
x 2.65
En este punto ocurre la deformacin mxima
3
1 200 2.65
700 2.65
1234.68
max
y2.65
EI 6
EI
Pendientes en los apoyos A y B:
1 200x2
1 200 02
700700
Ay0
EI 2
C1
EI 2
EI
1 200x2
500x 32
200 52
5005 32
800
B y5 EI 2 21
D1 EI 22
700EI
Deformacin en el centro de la viga:3
1 200 2.5
700 2.51229.17
centro
y2.5
EI 6
EI
En resum en:
175