INDICE pg.Producto triple escalar.3Producto triple escalar como producto exterior...................................3Producto triple del vector.3Triple producto escalar....3Triple producto vectorial..4Cantidades Escalares y Vectoriales..5Suma de Vectores5Suma Grfica de Vectores........................5Suma de dos vectores coloniales..6

Suma de dos vectores perpendiculares6

Suma de Vectores Mediante el Mtodo Analtico7Vector Unitario o Versor..8Resta de vectores..9Productos de vectores.9Producto escalar de dos vectores10Producto vectorial de dos vectores.10Triple producto11Triple producto escalar .11Triple producto vectorial12

IntroduccinEn ocasiones, en las aplicaciones de vectores se presentan dos triples productos. Uno es el producto A (BxC), denominado triple producto escalar de los vectores A, B y C (de hecho, los parntesis no son necesarios ya que A BxC puede interpretarse slo en una manera puesto que AB es un escalar).El otro triple producto es Ax(BxC) que se denomina triple producto vectorial de los vectores A, B y C. Aqu los parntesis deben mantenerse.

Producto triple escalarProducto triple escalar se define como producto de punto de uno de los vectores con producto cruzado de los otros dos.Producto triple escalar como producto exteriorEl producto triple escalar se puede ver en trminos de producto exterior. En clculo exterior el producto exterior de dos vectores es a bivector, mientras que el producto exterior de tres vectores es a trivector. Un bivector es un elemento plano orientado, mientras que un trivector es un elemento orientado del volumen, ms o menos de la misma manera que un vector es una lnea elemento orientada. Uno puede ver el trivector abc como el paraleleppedo atravesado cerca a, b, y c, con los bivectors ab, ac y bc formacin de tres de las 6 caras del paraleleppedo.Vectores dados a, b y c, el producto triple es Hodge dual del trivector abc (ms o menos de la misma manera que el producto cruzado es el Hodge dual de un bivector).Producto triple del vectorProducto triple del vector se define como producto cruzado de un vector con el producto cruzado de los otros dos. El asimiento siguiente de las relaciones:Se conoce el primer frmula como extensin triple del producto, o Frmula de Lagrange[1]. Su miembro derecho es ms fcil de recordar usando mnemnica BAC menos el TAXI, con tal que usted tenga presente que los vectores se puntean juntos. Estas frmulas son muy tiles en la simplificacin de clculos del vector adentro fsica. Una identidad relacionada en relacin con a gradientes y til adentro clculo del vector es esto se puede tambin mirar cmo caso especial del ms general operador de Laplace-de Rham = d + d.TRIPLE PRODUCTO ESCALAR Sean a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) y c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) , entonces: a ( b c ) = a 1 ( b 2 c 3 b 3 c 2 ) + a 2 ( b 3 c 1 b 1 c 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 b 2 c 1 )

Teoremas Sean a , b y c vectores, entonces: a ( b c ) = b ( c a ) = c ( a b ) a ( b c ) = ( a b ) c | a ( b c ) | = volumen del paraleleppedo determinado por los vectores a , b y c EJEMPLO1.- El vector, se puede expresar como combinacin lineal de los vectores?El vector, se puede expresar como combinacin lineal de los vectores?

TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL A veces se define el producto mixto entre tres vectores , y como este producto, cuyo resultado puede verse que va a ser un escalar, se puede calcular tambin como el determinante de la matriz que se forma con las componentes de los vectores, es decir Una de las utilidades del producto mixto es que da el volumen de un paraleleppedo formado con las aristas de los vectores, y , ya que si manejamos un poco (4.9) tenemos que: Donde no es sino el rea de la base del paralelogramo (ver seccin 4.3.4) y resulta ser la altura de dicho paraleleppedo. El rea de la base por la altura nos da el volumen de este tipo de cuerpos geomtricos. Sera un buen ejercicio para el lector intentar demostrar ms rigurosamente estas ltimas afirmaciones.

Cantidades Escalares y Vectoriales En la vida diaria, tratamos con distintas cantidades fsicas de diferentes naturalezas. Algunas de estas cantidades solo tienen una magnitud o mdulo; se les conoce como escalares. El volumen del agua en un tanque, la temperatura de un paciente, la masa de luna pastilla, el tiempo de observacin de un paciente son ejemplo de cantidades escalares. Otras cantidades, a parte de su magnitud requieren de una Direccin para dar toda la informacin. Consideremos por ejemplo la figura 1.1, en la cual el carro se ha movido de 20 km a lo largo de una lnea recta desde el punto central, digamos A al punto B. En este caso, no es suficiente decir que la distancia recorrida por el carro es de 20 km. Esto solo significara que el carro par en algn punto de un crculo de 20 km de radio. Una asercin ms completa precisara que el movimiento de 20 km. de magnitud se hizo en una direccin, digamos 80 grados nor-este. El desplazamiento es una cantidad vectorial. Para representar a los vectores se utilizan segmentos de recta una flechita al final. La longitud del segmento es proporcional al mdulo del vector y la flecha indica su direccin. El smbolo de un vector es su nombre con un flechita sobre l. Por ejemplo un vector llamado A se representa analticamente por, mientras su mdulo se escribira A. Existe una gama variada de cantidades vectoriales: la posicin, velocidad, aceleracin, las fuerzas, el torque, el momento lineal, el momento angular, el campo elctrico, el campo magntico, la polarizacin etc... Son algunos ejemplos.

Una cantidad vectorial tiene una magnitud y una direccin.1.1. Suma de Vectores A menudo es menester sumar dos o ms cantidades vectoriales y el proceso debe tener en cuenta los mdulos de los vectores como sus direcciones. El vector suma es llamado resultante. Dos mtodos son frecuentemente usados para sumar vectores: el mtodo grfico y el analtico. Empezaremos con el primero.1.1.1. Suma Grfica de VectoresEl caso ms sencillo corresponde a los vectores coloniales. Entonces la suma es similar al simple caso de cantidades escalares. El mdulo de la resultante es la suma de los mdulos de los vectores que s e suman y los tres tienen la misma direccin.

Suma de dos vectores coloniales.Otro caso de frecuencia ocurrencia es el de vectores perpendiculares, como el ilustrado que representa un automvil que viaja 500 m en direccin este y 300 m en direccin norte. La distancia que lo separa de su punto de partida al final de la jornada se calcula mediante la ley de Pitgoras:

Suma de dos vectores perpendiculares.En el caso general cuando los vectores no son ni coloniales, ni perpendiculares como, se aplica el mismo procedimiento que consiste empezar el segundo donde termina el primer vector, pero como el tringulo formado n o es rectngulo, es necesario hallar otros mtodos para determinar la resultante, por ejemplo midiendo directamente, o utilizando el teorema generalizado de Pitgoras.

Suma de dos vectores ni coloniales ni perpendiculares.1.1.2. Suma de Vectores Mediante el Mtodo Analtico Las componentes de un vector en el plano x y son dos vectores perpendiculares y paralelos a los ejes x y y respectivamente y que al sumarse dan como resultante el vector. Sus mdulos se escriben y; en todos los clculos donde interviene el vector se puede usar sus componentes en su lugar.Para determinar las componentes de un vector que tiene un mdulo A y forma un ngulo q con el eje x, se proyecta el vector sobre los ejes respectivos y el resultado es

Esto se puede apreciar en la figura (1.5) que muestra un vector con sus componentes.

Descomposicin de un vector en sus componentes.Esto se puede fcilmente generalizar al caso tridimensional e incluso al caso n dimensional.Para sumar dos vectores analticamente, se suma sus componentes para obtener las componentes del vector resultante.Este mtodo se puede usar en la suma y otras operaciones con vectores en todas las situaciones. Su flexibilidad hace del mtodo analtico el favorito en la mayora de los casos y lo utilizaremos mucho en el curso. 1.2. Vector Unitario o Versor Para un vector cualquiera existe un vector unitario o versor que da la direccin de pero cuyo mdulo es unidad (1). A este vector se le suele llamar vector unitario en la direccin de o su versor.La representaremos con.Los versores a lo largo de los ejes son particularmente muy tiles. Existen varias notaciones para representarlas:

Sin importar la notacin, la caracterstica aqu es que se trata de las versores de un sistema cartesiano. Otros sistemas de coordenadas pueden ser usados y sus correspondientes versores se utilizar en lugar de los cartesianos.En trminos de estas versores y las componentes cualquier vector se escribe:

Dnde representa la isima componente y el versor correspondiente.1.3. Inverso de un vectorDos vectores y son el inverso uno del otro si su suma es nula.

Esto significa que los vectores son coliniales, tienen el mismo mdulo, pero sus sentidos son opuestos: Veremos ms tarde que el inverso de un vector se obtiene multiplicndolo por 1 de modo que

1.3. Resta de vectoresPara restar dos vectores se procede como en la suma pero entre uno y el inverso del otro: La figura 1.6 ilustra este procedimiento: restar el vector del vector es buscar el vector tal que.

Resta de dos vectores: 1.4. Productos de vectores Hasta ahora nos hemos limitado a suma y/o restar vectores, multiplicarlos por un escalar. Ahora consideramos el producto entre dos vectores. Existen en las naturalezas varias magnitudes fsicas que se obtienen multiplicando dos o ms vectores: el trabajo, la potencia, el momento de una fuerza, el momento angular, la superficie, el volumen de un cuerpo son algunos ejemplos. Note que algunas de estas magnitudes son escalares y otras son vectores. Esto se debe a que el resultado del producto de vectores puede ser un escalar o un vector, lo que lleva a distinguir dos tipos de productos de vectores: el producto escalar (o punto) cuyo resultado es un escalar y el producto vectorial (o cruz) cuyo resultado es un vector.Esquemticamente representaremos el producto escalar (vectorial) entre los vectores y como (). El producto escalar es conmutativo mientras que el producto vectorial es anti-conmutativo:

Para escribir el resultado de estos productos, usaremos la regla de suma de los ndices repetidos: Cada vez que un ndice aparece dos veces en una expresin, se suma sobre l. 1.4.1. Producto escalar de dos vectores El producto escalar entre dos vectores y se define como:

Ntese que el resultado siendo un escalar, no nos preocupamos por direccin o sentido del mismo. El valor de este producto tambin se determina a partir de los mdulos de los vectores (A) y (B):

Dnde q es el ngulo entre los vectores. Esta expresin nos dice que el producto escalar entre dos vectores ortogonales (perpendiculares) es nulo. Tambin nos permite determinar el ngulo entre dos vectores a travs del valor de su coseno:

1.4.2. Producto vectorial de dos vectores El producto escalar entre dos vectores y es un vector que se obtiene buscando el determinante de la matriz siguiente:Note en la ltima parte de la expresin el uso del tensor completamente anti-simtrico de los smbolos de Levi Civita, y la convencin de la suma sobre los ndices repetidos.

El producto vectorial es ortogonal al plano de los vectores, como lo muestra esta representacin en paralelogramo del producto cruz. 1.5. Triple producto 1.5.1. Triple producto escalar Los productos escalar y vectorial pueden ser combinados para tener mltiple productos. De particular inters para nosotros sern el triple producto escalar y el triple producto vectorial. El primero se puede representar convenientemente por el determinante:

Este triple producto posee las siguientes propiedades de simetra que pueden ser demostradas por aplicacin directa de la definicin:

El producto es invariante ante un intercambio cclico de los vectores, pero invierte su signo si el intercambio es anti-cclico.Adems, el producto escalar y el producto vectorial son intercambiables (se puede probar de la regla de intercambio de filas en el determinante):

La figura muestra la representacin paraleloidal del triple producto escalar. El resultado es el volumen del paraleloppedo definido por .

Representacin geomtrica del triple producto escalar. 1.5.2. Triple producto vectorial El triple producto vectorial corresponde al producto vectorial entre el vector,

El vector est en el plano formado por y es una combinacin lineal de, llevando a una relacin de identidad de extrema a importancia:

Esta identidad es conocida como BAC - CAB.

Triple producto escalar y sus aplicaciones12