Trije klasicni problemi grške geometrijeˇhladnik/ZgodMat/TrijeProblemi(b).pdf · Hipokrat s Kiosa...
Transcript of Trije klasicni problemi grške geometrijeˇhladnik/ZgodMat/TrijeProblemi(b).pdf · Hipokrat s Kiosa...
Zgodovinski okvir
Trije klasicni problemi grške geometrije
Milan Hladnik
Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani
17. oktober 2012
Zgodovinski okvir
Grcija v 5. stoletju pnš.
Perzijci sredi 6. stoletja zasedli Malo Azijo, vstaja jonskih mest499 pnš. zatrta, neuspešna pomoc AtenPerzijske vojne: poraz Perzijcev na Maratonskem polju 490pnš., zmaga Kserksa pri Termopilah, poraz v pomorski bitki priSalamini 480, poraz pri Plataji 179 pnš.
Zlata doba Aten (Periklej, Sokrat, drugi filozofi, razvojmatematike v Atenah)
Peloponeške vojne 431 pnš., prevlada Šparte od 404 pnš. do371 pnš. Matematika se razvija tudi in predvsem v kolonijah.
Zgodovinski okvir
Grcija
Slika: Kraji znanih grških matematikov
Zgodovinski okvir
Trije klasicni problemi
Duplikacija kocke: konstruirati rob kocke z dvakrat vecjoprostornino kot dana kocka,
Trisekcija kota: razdeliti poljuben kot na tri enake dele,
Kvadratura kroga: konstruirati kvadrat, ki ima enakoplošcino kot dani krog.
Samo z evklidskim orodjem
Zgodovinski okvir
Podvojtev kocke
Legenda: Dve varianti:- Kralj Minos in velikost grobnice sina Glavka- Deloški problem in povecanje oltarja boga Apolona
Hipokratova redukcija:
dvojno geometrijsko razmerje a : x = x : y = y : b
formula x3 = 2s3
Zgodovinski okvir
Hipokrat s Kiosa (∼ 470 - 410 pnš.)
Slika: Hipokrat s Kiosa
Zgodovinski okvir
Metode reševanja problema duplikacije
Menajhem ∼ 350 pnš.: stožnice
Platon : cevljarski kotnik
Apolonij : prilagoditev polmera kroga
Eratosten : trije enaki pravokotniki z diagonalo
Diokles : cisoida
Zgodovinski okvir
Menajhemova podvojitev kocke s stožnicami
s
y2s
x = 2sy2
2y = sx
0
( )a
s
y
xy = 2s2
2y = sx
0
( )b
x x
Slika: Podvojitev kocke s stožnicami
Zgodovinski okvir
Podvojitev kocke po Platonu
( )b
S
C
V
W
D
R
T
U
P
( )a
A B
C
D
P
a
b
xy
Slika: Podvojitev kocke po Platonu
PC/PB = PB/PA = PA/PDTocka V mora ležati na premici skozi D in P.
Zgodovinski okvir
Platon (∼ 428 - 348 pnš.)
Slika: Filozof in matematik Platon
Zgodovinski okvir
Dvojno razmerje po Apoloniju
0
( )B
( )a,b
a
b
x
y
Slika: Konstrukcija dvojnega razmerja po Apoloniju
Tetiva skozi tocko (a,b) mora sekati krožnico v presecišcih le-tez osema.Potem je a/y = y/x = x/b = (a+x)/(b +y).
Zgodovinski okvir
Eratostenova metoda
A B C D
E
( )a
A B C D
EF
GH
( )b
Slika: Konstrukcija dvojnega razmerja po Eratostenu
AE : BF = BF : CG = CG : DH
Zgodovinski okvir
Dioklova cisoida
Q
P
d
2d
d 23
( )b
O
B
A
O d
Q
PR
( )a
( ,0)d
R
Slika: Dioklova cisoida in podvojitev kocke
OP = RQ
Zgodovinski okvir
Tretjinjenje kota z vstavljanjem
B
AD
C
E
F
Ga
a
a
a
Slika: Tretjinjenje kota z vstavljanjem
EF = 2AB
Zgodovinski okvir
Arhimedova metoda
AO
B
C
D
aaa
Slika: Tretjinjenje kota po Arhimedu
Zgodovinski okvir
Vietova in Newtonova metoda
60
a
a
A B
C
DM
N
bx
Slika: Tretjinjenje kota po Vietu in Newtonu
Zgodovinski okvir
Nikomedova konhoida
B
A
D
C
O
L
Konhoida
b
bb
a
Slika: Tretjinjenje kota z Nikomedovo konhoido
Zgodovinski okvir
Hipijeva trisektrisa oziroma Dinostratova kvadratrisa
0 1
1
A
B
b
a
b 3
Slika: Hipijeva trisektrisa oziroma Dinostratova kvadratrisa
Zgodovinski okvir
Trisekcija z Arhimedov spiralo
A
B
O
P
a
aq aq
q
Q
Slika: Tretjinjenje kota z Arhimedovo spiralo
Zgodovinski okvir
Trisekcija kota s tomahawkom
A
B
C
D
S T UR
Slika: Tretjinjenje kota s tomahawkom
Zgodovinski okvir
Papusova trisekcija s hiperbolo
0
B
A
C
P
Q
2a
2a
a
b
a = b
Slika: Tretjinjenje kota s hiperbolo
Zgodovinski okvir
Kvadratura kroga
Kako konstruirati (z evklidskim orodjem) kvadrat, ki jeplošcinsko enak krogu?
Klasi cno: Konstrukcija z evklidskim orodjem
Ferdinand Lindemann 1882: Število π je transcendentno.Posledica: Klasicna kvadratura kroga ni možna
Moderno: V smislu teorije množic
Miklos Laczkovich 1990: Poljubna dva topološka diska zmerljivim robom in enako plošcino v ravnini sta enaka porazkosanju.Posledica: Moderna kvadratura kroga je možna.
Zgodovinski okvir
Hipokratova kvadratura lune
( )a
A B
C
A
( )b
B
CD
Slika: Hipokratovi luni
Hipokrat s Kiosa je odkril še dva primera lun, ki se dajokvadrirati.
M. Hladnik, Hipokratove lune, Presek 28 (2001/02),št. 2,98-104.
Zgodovinski okvir
Rektifikacija krožnice
Približne metode:
(a) Pogosto πd ≈ 3d +d√
2/10 oziroma π ≈ 3+√
2/10 ≈ 3.141
(b) Poljski jezuit Adam Kochanski (1631-1700): V krajišcu Bpremera AB danega kroga nacrtamo tangento, na eno stranodmerimo centralni kot 30 stopinj in od presecišca C kraka stangento na drugo stran odmerimo tri polmere do tocke D.Potem je obseg kroga približno enak 2AD.
Zgodovinski okvir
Metoda Kochanskega
BA
C
300
D
Slika: Približna rektifikacija
Zgodovinski okvir
Nezmožnost rešitve z evklidskim orodjem
(1) Duplikacija kocke (s stranico 1). Konstruirati število x =3√
2,ki reši enacbo x3 −2 = 0. Koren algebraicne enacbe lahkokonstruiramo z ravnilom in šestilom samo, ce se izraža ssamimi kvadratnimi koreni. Da pa se pokazati, da mora enacbatretje stopnje z racionalnimi koeficienti v tem primeru imeti vsajen racionalen koren.(2) Trisekcija kota. Konstruirati x = cos(θ/3), ce poznamocosθ . Zaradi cosθ = 4cos3(θ/3)−3cos(θ/3) bi pri θ = 600
tak x zadošcal kubicni enacbi 8x3 −6x −1 = 0, ki nimaracionalnih korenov.(3) Kvadratura kroga. Stranica kvadrata z isto plošcino kot krogs polmerom 1 meri
√π. Ker je to število transcendentno, se ga
ne da konstruirati samo z ravnilom in šestilom.
Zgodovinski okvir
Konstrukcije samo s šestilom ali samo z ravnilom
Samo s šestilom: Lorenzo Mascheroni (1750-1800) in (žeprej 1672) Georg Mohr
Samo z ravnilom: Jean Victor Poncelet (1788-1867)
Z ravnilom in fiksnim krogom: Abul Wefa (940-998), JakobSteiner (1796-1863), Francesc Severi (1879-1961)
Zgodovinski okvir
Posebna literatura
H. Eves, An Introduction t the History of Mathematics, Holt,Rinehart and Winston, 1964.
G.E. Martin, Geometric Constructions, UTM, Springer1998.
Wikipedia, spletni portal.