TRIGONOMETRY

TRIGONOMETRYRATIOS

TRIGONOMETRYIDENTITY

SINE & COSINERULE

TRIANGLE AREA

A. Trigonometri ratios

hypotenuseRight-angle

side

Right-angle side

Sine =hypotenuse

sideopposite

cosine =hypotenuse

sideadjacent

tan =sideadjacent

sideopposite

SOh c

ah

toa

Secant( sec )

=sideadjacent

hypotenuse

Cosecant( csc/cosec )

=sideopposite

hypotenuse

Cotangen( cot )

=sideopposite

sideadjacent

Sinus miringsisi

depansisi

Cosinus = miringsisi

sampingsisi

tangen

sampingsisi

depansisi=

=

sisi depanSisi miring

Sisi samping

demi

sami

desa

Secan ( sec )

=sampingsisi

miringsisi

Cosecan( csc )

=

depansisi

miringsisi

Cotangen ( cot / ctg )

=depansisi

sampingsisi

cos

1 =

sin

1

sin

cos

=

=

Example 1 :It is known that triangle ABC is right angled on point B withAB = 3 cm, BC = 4 cm and measure of angle BAC =

Determine the value of : a. Sine

b. Cos

c. Tan

d. sece. cscf. cot

Solution :

B A

C

3 cm

4 cm

AC2 = AB2 + BC2

= 32 + 42= 9 + 16

= 25

AC = 25

AC = 5

5

a. sin =5

4

b. cos

= 5

3

c. Tan 3

4=

d. sec

e. csc

f. cot

=

=

=

3

5

4

5

4

3

Example 2 :If

sine 3

1then determine the value of :

a. Sine b. Cosine

c. tangen

d. sec e. csc

f. Cot

Solution :

13

=

8

b. cosine =3

8

c. tangen = 24

12

8

28

8

1

8

1

d. Sec =8

3= 24

3

e. csc = 3 f. cot

=1

8

Example 3 :

Determine other trigonometric ratios values if it is knownthat is an acute anglecos = 0,4 . Solution :

2

521

sin = 215

1

5

21

tan = 212

1

2

21

sec =2

5

csc

= 2121

5

21

5

cot = 2121

2

21

2

0,4 =5

2

10

4

Perbandingan Trigonometri sudut-sudut khusus

Sudut-sudut khusus yang dimaksud adalah : 00, 300, 450, 600, 900

Extraordinary angles )( sudut istimewa =

Untuk menentukan perbandingan trigonometri sudut 00 dan 900 Kita bisa gunakan lingkaran satuan di koordinat Cartesius.

ox

y

P(x,y)

N

Titik P (x,y) terletak pada lingkaransatuan. Garis OP membentuk sudut

dengan sumbu x.Panjang ON adalah x satuan, panjang PN adalah y satuan danpanjang OP adalah 1 satuan ( krnOP jari-jari lingkaran )

ONP adalah segitiga siku – siku .

y

Perbandingan trigonometri untuk sudut

adalah sbb :

sin =1

y= y, cos =

1

x= x, tan x

y =

Jika = 00, maka garis OP berimpit dengan sumbu x, dengan demikian posisi P adalah ( 1, 0 ), akibatnya :Sin 00 = y = 0Cos 00 = x = 1

01

0

x

yTan 00 =

Jika = 900, maka garis OP berimpit dengan sumbu y,dengan demikian posisi P adalah ( 0, 1 ), akibatnya :Sin 900 = y = 1Cos 900 = x = 0

Tan 900 = terdefnisitakx

y

0

1

Untuk sudut 300, Perhatikan gambar dibawah ini:

A

B

C300

600

900

ac

b

ABC siku – siku di C, BAC = 300dan ABC =

600 ADC merupakan pencerminandari

ABC terhadap AC

Karena setiap sudut pada ABD= 600, maka ABD= sama sisi

sehingga AB = AD = BD = 2a atau c = 2a

D

Dalam ABC berlaku teorema Pythagoras :

c2 = a2 + b2

(2a)2 = a2 + b2

b2 = 4a2 – a2

b = 33 2 aa

Kita peroleh :

sin 300 =c

a=

a

a

2

32

1= Sin 600 =c

b= = 3

2

1

cos 300 = 32

1

c

b=

a

a

2

3= Cos 600

=

b

a

c

a=

a

a

2

=

2

1

Tan 300 =

a

a

2

=3a

a= 33

1 Tan 600

=a

b=

a

a 3= 3

Perhatikan gambar dibawah ini :

A C

B

450

ABC siku siku di C dan BAC = 450Karena BAC =

450

maka

ABC = 450sehingga ABCmerupakan segitiga siku-siku sama kaki ( a = b )

ca

b

c2 = a2 + b2

= a2 + a2

= 2a2

c = 22a = 2a

Untuk sudut 450

A C

B

450

2a

a

a

Kita peroleh :

Sin 450 =2a

a= 22

1

Cos 450 = 2a

a= 22

1

Tan 450 =a

a= 1

Berdasarkan nilai perbandingan trigonometri diatas, kitadapat mengganti panjang sisi – sisi pada gambar menjadia = b = 1 dan c = 2

Tabel perbandingan trigonometri sbb :

Trigonometry ratios Extraordinary angles = sudut – sudut istimewa00 300 45

0

600

900

sine 02

1 22

13

2

1 1

cosine 1 32

12

2

12

1 0

tan

0 33

1 1 3 undefined

Example 1 :

Determine the value of :

a. 000 45tan45cos30sin

b.

30cos30sin 202 Solution :

000 45tan45cos30sin a.

=

2

1+ 22

1 – 1

= 22

1

2

1 –

30cos30sin 202 b.

= 2020 30cos30sin

=

2

2

1

2

32

1

+

4

1= +

4

3

= 1

00

0000

60tan.30tan

60sin.45sin30cos.45cos c.

=

3.331

321.2

21

321.2

21

3.31

641

.641

=1

621

=

62

1=

B. IDENTITAS TRIGONOMETRI

yTeorema Phytagoras :x2 + y2 = r2

Jika dibagi dengan r2 maka :

2

2

2

2

2

2

r

r

r

y

r

x

222

r

r

r

y

r

x

1sincos 22 Ox

r

x A

B

y

x2 + y2 = r2 x2 + y2 = r2

Jika dibagi x2 maka : Jika dibagi y2 maka :

2

2

2

2

2

2

x

r

x

y

x

x 2

2

2

2

2

2

y

r

y

y

y

x

222

x

r

x

y

x

x222

y

r

y

y

y

x

1+tan2

= sec2

22 csc1cot

contoh

1.

sin1sin1

cos2

Ruas kiri

sin1

cos2

=

=

sin1

sin1 2

sin1

sin1sin1

=

= sin1

bababa 22

Buktikan :

2. AAAAA 2sin21sincossincos ruas kiri :

AAAA sincossincos =

= AA 22 sincos

AA 22 sinsin1 =

A2sin21=

3.

224 costan1cos ruas kiri

24 tan1cos =

24 seccos=

24

cos

1cos=

222

cos

1cos.cos=

2cos=

4.

22 csccot1 Ruas kiri :

2cot1=

=

2

22

sin

cossin

2

2

2

2

sin

cos

sin

sin

=

=2sin

1= 2csc

222 tancos1tan1

22 sin.sec

22

sin.cos

1

2

2

cos

sin

=

Ruas kiri :

=

=

= 2tan

5

KOORDINAT KUTUB / POLAR

O O

x

y

P(x,y)

r

P(r, )

Koordinat cartesius

Koordinat polar/kutub

r

x

y

sin =r

y

y = r sin

cos = rx

x = r cos

r = 22 yx

tan =x

y

= arc tan x

y

Tentukan koordinat cartesius dari titik berikut :

1.

P ( 5, 450 ) ,rP

x = r cos

= 5 cos 450

=

22

5

22

1.5

=

y = r sin

= 5 sin 450

22

1.5

22

5

=

=

Jadi koordinat cartesius P ( x,y ) adalah

22

5,2

2

5

2.Tentukan koordinat polar dari titik P ( 4, – 4 )

P ( 4, – 4 )

yxP ,22 yxr

22 44 r

32r

24r

x

ytan

14

4tan

1tanarc

0315

Jadi koordinat kutub P(4,– 4 ) adalah 0315,24P

A T U R A N S I N U S

A BD

C

b a

c

Lihat

ACD

AC

CDAsin

CD = AC sin A

Lihat BCD

BC

CDB sin

CD = BC sin B

CD = b sin A CD = a sin B

CD = CD

b sin A = a sin B

B

b

A

a

sinsin

B

CE

A c

ab

Lihat ACE Lihat ABE

AC

AEC sin

AB

AEB sin

AE = AC sin C

AE = AB sin B

AE = b sin C

AE = c sin B

AE = AEb sin C = c sin B

C

c

B

b

sinsin

Jadi C

c

B

b

A

a

sinsinsin

Contoh 1

Diket ABC dengan 030A Panjang sisi BC = 2 cm,Dan panjang sisi AB = 4 cm. Tentukan besar sudut dan Panjang sisi yang belum diketahui.

030

2

4A B

C

C

c

A

a

sinsin

Csin

4

30sin

20

2 sin C = 4 sin 300

1221.4

sin C

090C

b

22 acb 22 24 b

416 b

12b32b

)9030(180 000 B

060B

2. Diket ABC 00 45,30 CA dan panjang sisiAB = 5 cm. Tentukan besar sudut B dan panjang sisi a dan sisi b

030

045

A

CB

)4530(180 000 B0105B5

a

b

C

c

A

a

sinsin

a sin 450 = 5 sin 300

2

1.52

2

1. a

22121.5

a

2

5a

2

2.2

5a

22

5a

C

c

B

b

sinsin

45sin

5

105sin 0

b

b sin 450 = 5 sin 1050

97,0.5707,0. b

707,0

97,0.5b

707,0

85,4b

859,6b

A

a

B

b

sinsin

00 30sin

225

105sin

b

0

0

30sin

105sin.225

b

21

97,0.221.5

b

859,6b

A T U R A N C O S I N U S

A D B

C

c

b aLihat ACD

AC

ADAcos

AD = AC cosA

AD = b cos

A

BD = AB – AD

BD = c – b cosA

Lihat

ACD222 ADACCD

22 cos Abb

AbbCD 2222 cos

Lihat

BDC222 BDBCCD

22 cos Abca )coscos2( 2222 AbAbcca AbAbccaCD 22222 coscos2

CD2 = CD2

AbbAbAbcca 2222222 coscoscos2

Abccba cos.2222

Baccab cos.2222 Cabbac cos.2222

Abccba cos.2222

Rumus untuk mencari sisi :

Untuk mencari besarnya sudut :

bc

acbA

2cos

222

ac

bcaB

2cos

222

ab

cbaC

2cos

222

Contoh 1:

Diketahui segitiga ABC dengan a = 6 cm, b = 4 cm dan0120C Hitunglah panjang c.

Jawab :

1200

C B

A

a = 6

b = 4

cCabbac cos.2222 0222 120cos.4.6.246 c

2

1.4.6.216362c

76

762

c

c

192 c

2. Dalam segitiga ABC diketahui 060C panjangsisi b = 6 cm, panjang sisi c = cm132Tentukan panjang sisi a.

600

A B

C

b = 6

132c

?Cbabac cos...2222

022260cos.6..26132 aa

2

1123652 2 aa

aa 63652 2 01662 aa

028 aa

28 aa

3. Sebuah segitiga KLM dengan panjang sisi KL = 12 cm panjang sisi KM = 10 cm dan panjang sisi LM = cm312

Tentukan besar sudut K

K L

M

10

12

312ml

kmlK

..2cos

222

12.10.2

)312(1210cos

222 K

240

124144100cos

K

2

1

240

120cos K

060 K

FORMULA OF RELATED ANGLETRIGONOMETRIC RATIOS

( RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT

BERELASI )A. ANGLE

WITH

090

O

Y

X

Y=X

B(X,Y)

''' ,YXB

ry

C

090

'y

'x

r

A

'A

cot90tan

sin90cos

cos90sin

0

0

0

y

xr

yr

x

tan

cos

sin

Relasi di kwadran I

x

yr

xr

y

tan

cos

sin

x

yr

xr

y

tan

cos

sin

y

-y

y

-yx-

x

r

r

r

r

x

yr

xr

y

tan

cos

sin

x

yr

xr

y

tan

cos

sin

x

yr

xr

y

tan

cos

sin

o A

B

x

y

tan180tan

cos180cos

sin180sin

0

0

0

tan180tan

cos180cos

sin180sin

0

0

0

tan360tan

cos360cos

sin360sin

0

0

0

Relasi di kwadran II

Relasi dikwadran III

Relasi dikwadrat IV

y

y

-y

x

-x

-x

x

x

yr

xr

y

tan

cos

sin

y

xr

yr

x

tan

cos

sin

y

x

y

xr

yr

x

tan

cos

sin

y

xr

yr

x

tan

cos

sin

r

r

r

cot90tan

sin90cos

cos90sin

0

0

0

cot270tan

sin270cos

cos270sin

0

0

0

cot270tan

sin270cos

cos270sin

0

0

0

Relasi dikwadran II :

Relasi dikwadran III :

Relasi dikwadran IV :

Matur Nuwun