TRIGONOMETRIE

I SOUVENIRS

1° Vocabulaire

A B

C

Pour l’angle aigu A ,

Le côté opposé est :……………………

Le côté adjacent est :…………………..

Pour l’angle aigu C ,

Le côté opposé est : ……………………

Le côté adjacent est : ………………….

BC

AB

AB

CB

2° Définition.

A B

C

Le triangle ABC est rectangle en B.

Cos A = ------------------------------------- = ----------

Cos C = ------------------------------------- = ----------

Côté adjacent

Hypoténuse

AB

AC

Côté adjacent

HypoténuseCBAC

A B

C

Soit ABC un triangle rectangle en B tel que AC = 8,5 cm et CAB = 37°Calculer AB à 0.01 près

37°

On sait que : Cosinus = Côté adjacent

Hypoténuse

Nous avons ici:

Cos (CAB) =

Soit, en utilisant les données

Cos (37°) =AB

8,5

En faisant le produit en croix AB = 8,5 x Cos( 37° )

On obtient avec la calculatrice AB 6,79 cm

AB

AC

Arrondi à 0,01 près

a)Calcul du côté ADJACENT

3° Utilisation.

Soit POR un triangle rectangle en O tel que PO = 8cm et RPO = 28°Calculer PR à 0.01 près

On sait que : Cosinus = Côté adjacent

Hypoténuse

Nous avons ici:

Cos (RPO) =

Soit, en utilisant les données

Cos (28°) =8

PR

En faisant le produit en croix PR

On obtient avec la calculatrice PR 9,06 cm

Arrondi à 0,01 près

b) Calcul de l’HYPOTENUSE

x Cos( 28° ) = 8

D’où PR =8

P O

R

PR

PO

Cos (28°)

Soit FER un triangle rectangle en R tel que FE =7cm et FR = 5 cmCalculer cos ( RFE) puis la valeur de l’angle RFE au degré près

On sait que :

Cosinus = Côté adjacent

Hypoténuse

Nous avons ici:Cos (RFE) =

Soit, en utilisant les données Cos (RFE) =

5

7

c) Calcul du cosinus puis de l’angle

F R

E

FE

FR

a) Calcul du cosinus

b) Calcul de l’angle Il faut utiliser la calculatrice et faire apparaître la fonction cos -1

Cos -1 ( 5 :7) 44°

Pour cela généralement il appuyer sur seconde ou shift puis sur cos

Résultat arrondi au degré près

II AUTRES RAPPORTS TRIGONOMETRIQUES

1° Sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle.

A B

C

Sinus d’un angle = Côté opposé

Hypoténuse

Sin( BAC ) = BC

AC

Sin ( ACB ) = AC

AB

2° Tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle

A B

C

Tangente d’un angle = Côté opposé

Côté adjacent

Tan ( BAC ) = BC

AB

Tan ( ACB ) = AB

BC

3° Résumé

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu â, on a :

Cos (â ) = ADJACENTHYPOTENUSE

Sin (â ) = OPPOSE

HYPOTENUSE

Tan (â ) = OPPOSE

ADJACENT

4°Choisir le bon rapport trigonométrique.

S

E L

36 °8,5 cm

?Par rapport à l’angle connu

Je connais : l’hypoténuse

Je cherche : le côté opposé

Donc j’utilise Sinus

ESL:

Par rapport à l’angle connu

Je connais : le côté opposé

Je cherche : le côté adjacent

Donc j’utilise Tangente

ESL:

S

E L

36 °

4,5 cm

?

Commencer toujours par repérer l’angle connu ou cherché

S

E L

36 °8,5 cm

?

Je cherche la mesure de l’angle

Je connais : l’hypoténuse

Je connais : le côté adjacent

Donc j’utilise Cosinus

ESL:

III FORMULES TRIGONOMETRIQUES

Cos â =

A

B C

â

ABAC

Sin â = BCAC

Tan â =BCAB

1° Relation cosinus sinus

cos² â + sin² â = ABAC

( )² + ( )²BCAC

= AB²AC²

+BC²AC²

=AB² + BC²

AC²Or ABC est un triangle rectangle en B,donc on a d’après le théorème de PythagoreAB² + BC² = AC²

=AC²AC²

= 1

Quel que soit l’angle aigu â,

cos² â + sin² â =1

2° Relation sinus cosinus tangente

= =BCAC

ACAB

=BCAB

= tan âsin âcos â AB

AC

BCAC

Quel que soit l’angle aigu â,

sin âcos â = tan â

3° Utilisation : Sachant que cos â = calculer sin â et tan â3

2

Calcul de sin â

On a : cos² â + sin² â = 1

3

2( )² + sin² â = 1

9

2 + sin² â = 1

sin² â = 1 - 9

2

sin² â = 9

2

9

9

sin² â = 9

7

sin â = 9

7

9

7

sin â = 3

7

Calcul de tan â

tan â = sin âcos â

=3

7

3

2=

3

7× 2

3=

2

7

Conclusion

sin â = 3

7 et tan â = 2

7

IV ANGLE AU CENTRE , ANGLE INSCRIT

1° Définitions

a) Angle au centre

O

AB

Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre d’un cercle

L’angle au centre AOB intercepte l’arc AB

b) Angle inscrit

O

AB

C

Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés coupent le cercle.

L’angle inscrit ACB intercepte l’arc AB

Géoplan

2° Propriétés

O

AB

C

Si un angle inscrit intercepte le même arc qu’un angle au centre, alors sa mesure est égale à la moitié de celle de l’angle au centre

a)

b)

Si deux angles inscrits interceptent le même arc,

alors ils ont même mesure.

86°

43°

Géoplan

O

AB

D

E

F

32°32°

32°