A

0

2

TRIGONOMETRIE

1. FORMULE PENTRU TRIUNGHI

* Funcţii care se aplică unghiurilor : 1. 3.

2. 4.

* Unghiurile pot fi măsurate în grade sau în radiani, între ele existând următoarea corespondenţă :

grade 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2100 2250 2400 2700 3000 3150 3300 3600

radiani 04

2

3

2

* Funcţiile trigonometrice aplicate valorilor de mai sus dau :

04

2

3

2

sin 0 1 0 - - - -1 - - - 0

cos 1 0 - - - -1 - - - 0 1

tg 0 1 - -1 - 0 1 - -1 - 0

ctg 1 0 - -1 - 1 0 - -1 -

* Teorema sinusurilor : - a, b,c laturile triunghiului; R – raza cercului circumscris

* Teorema cosinusului : a2 = b2 + c2 – 2bc∙cosA

* Unghiurile pe jumătate : - p este semiperimetrul

* Mediana corespunzătoare laturii a :

* Formula lui Heron : A =

* Aria : A =

* Raza cercului circumscris : - A este aria

triunghiului

* Raza cercului înscris :

2. FUNCŢII TRIGONOMETRICE

II I sinA

O cosA

III IV

* Cercul trigonometric este folosit pentru o înţelegere mai bună a funcţiilor trigonometrice. Este un cerc de rază 1 în care măsura unui unghi este luată pe circumferinţa cercului, iar pentru a afla

sinusul proiectăm punctul A pe axa verticală, lungimea segmentului obţinut fiind valoarea sinusului. La fel se procedează şi pentru cosinus numai că proiecţia se va face pe axa orizontală.

Se observă că cercul este împărţit în 4 cadrane aşezate în sens invers acelor de ceasornic.Întrucât axele au părţi pozitive şi părţi negative înseamnă că şi funcţiile trigonometrice vor avea valori

pozitive sau negative în funcţie de cadranul în care se află unghiul.Oricum am lua unghiul A proiecţiile pentru sinus şi cosinus vor cădea tot în interiorul cercului, iar

acesta având raza de 1 înseamnă că şi sinus şi cosinus variază între -1 şi 1.* Sinus

sin : R → [-1, 1] funcţie periodică de perioadă : sin(x + 2kπ) = sinx este funcţie impară : sin(-x) = -sinx are semnul + dacă unghiul e în cadranul I sau II şi semnul – dacă unghiul e în cadranul III sau IV

pentru x (0, ) funcţia e crescătoare şi pentru x ( , ) e descrescătoare

graficul se stdiază doar pe porţiunea (0, 2π) pentru că în rest el se va repeta : 1

2π 3π 4π

0 π

-1 * Cosinus

cos : R → [-1, 1] funcţie periodică de perioadă : cos(x + 2kπ) = cosx este funcţie pară : cos(-x) = cosx are semnul + dacă unghiul e în cadranul I sau IV şi semnul – dacă unghiul e în cadranul II sau III pentru x (0, π) funcţia e descrescătoare şi pentru x (π, 2π) e crescătoare graficul se stdiază doar pe porţiunea (0, 2π) pentru că în rest el se va repeta :

1

π 2π 4π

0

-1* Tangentă

tg : R \ → R

funcţie periodică de perioadă : tg(x + kπ) = tgx este funcţie impară : tg(-x) = -tgx are semnul + dacă unghiul e în cadranul I sau III şi semnul – dacă unghiul e în cadranul II sau IV

pentru x (- , ) funcţia e crescătoare

graficul se stdiază doar pe porţiunea (- , ) pentru că în rest el se va repeta :

-π 0 π

-

* Tangentă tg : R \ → R funcţie periodică de perioadă : ctg(x + kπ) = ctgx este funcţie impară : ctg(-x) = -ctgx are semnul + dacă unghiul e în cadranul I sau III şi semnul – dacă unghiul e în cadranul II sau IV pentru x (0, π) funcţia e descrescătoare graficul se stdiază doar pe porţiunea (0, π) pentru că în rest el se va repeta :

-π 0 π 2π

-

* Reducere la primul cadran – pentru uşurarea calculelor : al doilea cadran : sinx = sin(π - x) tgx = -tg(π - x)

cosx = -cos(π - x) ctgx = -ctg(π - x)

al treilea cadran : sinx = -sin(x - π) tgx = tg(x - π)cosx = -cos(x - π) ctgx = ctg(x - π)

al patrulea cadran : sinx = -sin(2π - x) tgx = -tg(2π - x)cosx = cos(2π - x) ctgx = -ctg(2π - x)

3. FORMULE TRIGONOMETRICE

1. sin2x + cos2x = 1 2. tgx ∙ ctgx = 1

3.

4. sin(x + y) = sinx∙cosy + cosx∙siny sin(x - y) = sinx∙cosy - cosx∙siny5. cos(x + y) = cosx∙cosy - sinx∙siny cos(x - y) = cosx∙cosy + sinx∙siny

6.

7. sin2x = 2sinx∙cosx8. cos2x = cos2x – sin2x

= 2cos2x – 1 = 1 – 2sin2x

9.

10. sin3x = 3sinx – 4sin3x cos3x = 4cos3x – 3cosx

11.

12.

13. sinx + siny = sinx - siny =

cosx + cosy = cosx - cosy = -

14. sinx∙cosy = [sin(a - b) + sin(a + b)]

cosx∙cosy = [cos(a - b) + cos(a + b)]

sinx∙siny = [cos(a - b) - cos(a + b)]

15. sin(arcsinx) = x arcsin(sinx) = x cos(arccosx) = x arccos(cosx) = x tg(arctgx) = x arctg(tgx) = x ctg(arcctgx) = x arcctg(ctgx) = x16. arcsin(-x) = -arcsinx arccos(-x) = π – arccosx actg(-x) = -arctgx arcctg(-x) = π – arcctgx

17. arcsinx + arccosx = arctgx + arcctgx =

18. !!! – se vor folosi în rezolvarea ecuaţiilor trigonometrice sinx = a x = arcsina + kπ cosx = a x = arccosa + 2kπ tgx = a x = arctga + kπ ctgx = a x = arcctga + kπ