Trigonometría.

ÍNDICE.

1. Ángulos y medida de ángulos

2. Razones trigonométricas de un ángulo agudo

3. Relación fundamental de trigonometría

4. Resolución de triángulos rectángulos

5. Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera

6. Reducción de las razones trigonométricas

7. Suma y diferencia de ángulos

8. Ángulo doble y ángulo mitad

9. Ecuaciones trigonométricas

10. Teorema de los senos

11. Teorema del coseno

12. Área de un triángulo

Trigonometría.

Ángulos.Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el mismo origen (VÉRTICE).

Lado final

ÁnguloVértice lado inicial

Si introducimos un sistema de ejes cartesianos, se representa el ángulo con vértice en el origen de coordenadas y se hace coincidir el lado inicial con el eje positivo de abcisas

Medida de ángulos: sistema sexagesimalSe llama grado sexagesimal, o simplemente grado (1º) a la medida del ángulo que resulta de dividir el ángulo recto en noventa partes iguales. Por tanto, el ángulo recto mide 90º.

El transportador de ángulos. El transportador de ángulos es una herramienta de dibujo que nos permite medir y también construir ángulos. Consiste en un semicírculo graduado con el que podemos medir ángulos convexos (hasta 180º)

Divisores del grado.Existen dos métodos para conseguir mayor precisión en la medida de un ángulo: el sistema decimal, que consiste simplemente en obtener decimales del grado, que es el método que utiliza el transportador de ángulos, o el sistema sexagesimal, que consiste en dividir el grado en 60 partes, en 60 minutos (60'); y cada minuto, en 60 segundos (60'').

Medida de ángulos: radian.Se llama radián, a la medida del ángulo que comprende un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia. Por tanto el ángulo completo mide 2 radianes.

Suma de ángulos

La medida de los ángulos, igual que la del tiempo, se realiza en el

sistema sexagesimal.

2º  48'  35"

+  2º  45'  30"  

4º  93'  65"

Como 65 segundos equivalen a 1 minuto y 5 segundos, luego la

suma se puede escribir así:

4º  94'  5"

De la misma forma, 94' equivalen a 1º y 34 minutos. Luego la

suma es:

5º  34'  5"5º  34'  5"

Resta de ángulosDebemos hacer la siguiente operación:

3º   0'   0"

-  2º  48'  35"  

Igual que en la suma, deberíamos restar por separado los grados,

los minutos y los segundos, pero no podemos hacer las restas 0-35

(segundos) ni 0-48 (minutos).

Para conseguirlo transformamos un grado en 60 minutos y un

minuto en 60 segundos. Es decir, las 3 grados se convierten en

2º 59' 60“

2º  59'  60"

-  2º  48'  35"  

0º 11' 25"

Ángulos: producto por un númeroPara multiplicar un ángulo por un número natural debemos

multiplicar por ese número cada una de las unidades del ángulo

(grados, minutos y segundos). Si alguno de los productos de los

segundos o minutos es superior a 60, lo transformamos en una

unidad de orden inmediatamente superior.

18º  26'  35"

             x  3   

54º  78' 105"

Pero 105" = 1' 45", luego

54º  79'  45"

Pero 79' = 1º 19', será 55º 19' 45"

Ángulos: división por un númeroPara dividir un ángulo por un número natural dividimos los grados

entre ese número. Transformamos el resto de la división en minutos,

multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los que teníamos. Dividimos

los minutos. Transformamos el resto de la división en segundos,

multiplicándolo por 60, y lo sumamos a los segundos que teníamos.

Dividimos los segundos.

Transformación de medidas

( )2 . º360ºrad np× × ×

Teniendo en cuanta que una circunferencia tiene 306º y 2. rad., la

relación entre ambos sistemas es la siguiente

Si un ángulo  tiene nº, su medida en radianes (rad.) será

Si un ángulo  tiene x rad., su medida en grados (º) será

( ). 360º2

x radradp

× ×× ×

Razones trigonométricas de ángulo agudo.

rA

s

• Si trazamos dos rectas

perpendiculares t y t’ a la semirrecta

s, que se cortan en los puntos B y C,

y B’ y C’ respectivamente, teniendo

en cuenta el teorema de THALES se

cumple

' ' ' ' '; ;

' ' ' ' ' ' '

AB AC BC AB AB BC B C BC B C

AB AC B C AC AC AC AC AB AB

C C’

B B’

• Ha dichas razones que solamente dependen del ÁNGULO, se les denomina

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS de Â.

Dado un ángulo agudo  (entre 0º y 90º) formado por dos semirrectas r, s

Razones trigonométricas de ángulo agudo.Dado un ángulo agudo  (entre 0º y 90º) formado por dos semirrectas r, s

rA

s

• Si trazamos una recta perpendicular t (CB) a la semirrecta s, y

utilizamos el triángulo ABC, para calcular las RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS, denominamos:

de = cos ;

de =sen ;

sen de = tan

cos

1 de =sec

cos

AB cateto contiguoCOSENO Â Â

AC hipotenusa

BC cateto opuestoSENO Â Â

AC hipotenusa

BC Â cateto opuestoTANGENTE Â Â

AB Â cateto contiguo

AC hipotenusaSECANTE Â Â

 AB cateto cont

1 de =cosc

sen

1 de =cotan

tan

iguo

AC hipotenusaCOSECANTE Â Â

 BC cateto opuesto

AB cateto contiguoCOTANGENTE Â Â

 BC cateto opuesto

C

B

C

B

Ejemplo.Si  es un ángulo agudo y sabemos que cos =  = 4/5. Calcular las restantes razones trigonométricas.

SOLUCIÓN:

Dado que podemos construir un triángulo rectángulo cuyo ángulo agudo  cumpla que cos  = 4/5 = cateto

contiguo/hipotenusa , podemos calcular:

b = ( c ² - a ² ) = ( 5 ² - 4 ² ) = 3

Luego

cos  = 4/5 sen  = 3/5 tg  = 3/4

cosec  = 5/3 sec  = 5/4 cotg  = 4/3

c = 5

b = 3

a = 4

Razones trigonométricas de ángulos agudos notables

Ángulo Sen Cos Tan Cosec Sec cotan

30º 1/2 3 / 2 3 / 3 2 2 3 / 3

3

45º 2 / 2

2 / 2 1 2 2 1

60º 3 / 2

1 / 2 3 2 3 / 3

2 3 / 3

Relación fundamental de la trigonometría.Relación FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA (1)

2 2Cos Sen 1Â Â Dividiendo la igualdad por sen² Â, (1) obtenemos:

2 21 cotg cosec  Dividiendo la igualdad (1) por cos² Â, obtenemos:

2 21tg  sec Â

Ejemplos.

1. Si sabemos que el seno de un ángulo agudo es sen  = ½. Calcular cos Â

Solución: Aplicando la relación fundamental de trigonometría

2 2 2 2 3Cos Sen 1 Cos 1 Sen

2Â Â Â Â –

2. Si sabemos que la tangente de un ángulo agudo es tg  = 1.

Calcular cos  y sen Â

Solución: Aplicando la relación trigonométrica2

2

2

11

Cos

1 2 2 2Cos sen Cos tg 1

1 2 2 2

tg ÂÂ

 y   Âtg Â

Resolución de triángulos rectángulos.Resolver un triángulo rectángulo de catetos a y b y de hipotenusa c, consiste en hallar

las medidas de los lados y de los ángulo agudos A y B

a) Conocidos dos lados. Ejemplo si sabemos que c = 8 y a = 52 2

1

8 5 6,24

5cos 0,625 cos 0,625 51º

890º 51º 39º

b

A A

B

–

–

–

A

b c

C a A

b) Conocidos un lado y un ángulo. Ejemplo si sabemos que b = 3 y A = 47º

2 2

sen 47º 4,10sen 47º

4,10 3 2,79; 90º 47º 43º

b bc

c

a B

– –

•Aplicación de la trigonometría para calcular una altura inaccesible.

Razones trigonométricas.Dado un ángulo cualquiera 360.n + Â (donde n es entero y 0º ≤ Â ≤ 360º)

sobre la CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA de centro el origen de

coordenadas y radio 1 (Â es positivo en sentido contrario al reloj) .

Como el radio de la circunferencia es 1 (hipotenusa del

triángulo rectángulo de vértices{(0,0), (x,0), (x,y)} ), se cumple

Sen  = y / 1 = y

Cos  = x / 1 = x

Tan  = Sen  / Cos  = y / x

• Si 0º <  < 90º Sen  > 0 , Cos  > 0.

• Si 90º <  < 180º Sen  > 0 , Cos  < 0.

• Si 180º <  < 270 Sen  < 0 , Cos  < 0.

• Si 270º <  < 360º Sen  < 0 , Cos  > 0.

Ejemplo.Si  es un ángulo situado en el 3º cuadrante y se conoce que sen  = -1/3. Calcular

el resto de las razones trigonométricas

Solución:

Como sen  = -1/3 = y.

Utilizando el teorema de Pitágoras,

pero teniendo en cuenta que x < 0,

será:

22 1 2 2

1 cosÂ3 3

11 23 tg

2 2 2 2 43

x

yÂ

x

æö ×÷ç= = =÷ç ÷çè ø

= = = =× ×

– – –

–

–

Razones trigonométricas de 0º, 90º, 180º, 270º y 360º.

Ángulo Sen Cos Tan Cosec Sec cotan

0º 0 1 0 + 1 +

90º 1 0 + 1 + 0

180º 0 -1 0 + - 1 -

270º -1 0 - -1 + 0

360º 0 1 0 + 1 +

Reducción de las razones trigonométricas.Las razones del ÁNGULO COMPLEMENTARIO de  = 90º - Â, cumplen:

90º-Â

h y

 x

• Sen (90º - Â ) = y / h = Cos Â

• Cos (90º - Â ) = x / h = Sen Â

Las razones del ÁNGULO SUPLEMETARIO de  = 180º - Â, cumplen:

• Sen (180º -  ) = Sen  • Cos (180º -  ) = - Cos Â

Las razones del ÁNGULO que DIFIERE 180º de  = 180º + Â, cumplen:

• Sen (180º +  ) = - Sen  • Cos (180º + ) = - Cos Â

Las razones del ÁNGULO OPUESTO de  = - Â, cumplen:

• Sen (-  ) = - Sen  • Cos (-  ) = - Cos Â

Suma y diferencia de ángulos.Cos ( - ) = Cos . Cos + Sen . Sen

Cos ( + ) = Cos . Cos - Sen . Sen

Sen ( + ) = Sen . Cos + Sen . Cos

Sen ( - ) = Sen . Cos - Sen . Cos

tg + tg tg ( + ) = ------------------- 1 - tg . tg

tg - tg tg ( + ) = ------------------- 1 + tg . tg Ejemplo: Sen 75º = sen ( 30º + 45º ) = sen 30º . Cos 45º + sen 45º . Cos 30º =

= (1/2).(2/2) + (2/2).(3/2) = (1/4). (2 + 6) 0,9659

Cos 75º = Cos ( 30º + 45º ) = Cos 30º . Cos 45º - sen 45º . sen 30º =

= (3/2).(2/2) – (1/2).(2/2) = (1/4). (6 - 2) 0,2588

tg 15º = tg ( 45º - 30º ) = ( tg 45º - tg 30º ) / ( 1 + tg 45º . tg 30º ) =

= (1 – (3/3) ) : ( 1 + (3/3) ) = - 2 + 3 - 0,2678

Ver demostraciones

Ángulo doble y ángulo mitad.

Cos ( 2 ) = Cos² - Sen²

Sen ( 2 ) = 2 Sen . Cos

2 tg tg ( 2 ) = ---------------- 1 – 2 tg 1 + cos Cos (/2) = ---------------- (el signo depende del cuadrante donde esté /2) 2

1 - cos Sen (/2) = ---------------- (el signo depende del cuadrante donde esté /2) 2

Sen (/2)tg (/2) = ---------------- Cos (/2) 2

Ver demostraciones

Ejemplos.

1.- Si tg = -2/5 y /2 < < . Calcular el seno, coseno y tangente de .

SOLUCIÓN:

Utilizando tg² + 1 = 1 /cos² , y teniendo en cuenta que /2 < < .. Será

cos = - (tg² + 1)-1 = - 5 / 29

sen = tg . cos = 2 / 29

Luego:

sen 2 = 2 sen . cos = 2.(2 / 29).(- 5 / 29) = - 20 /29

cos 2 = cos² - sen² = (25 /29) - (4/29) = 21/ 29

tg 2 = 2 tg / (1-tg² ) = - 20 / 21

Ejemplos.2.- Si cos = -4/5 y < < 3 / 2. Calcular el seno, coseno y tangente de /2 .

SOLUCIÓN:

Utilizando sen² + cos² = 1 y teniendo en cuenta que < < 3 / 2. Será

sen = - (1-cos² ) = - 3 / 5

tg = sen / cos = 3 / 4

Como < < 3 / 2 / 2 < /2 < 3 / 4, será :

( )

( )

( )( )( )

41

1 cos 9 3 105 0,94872 2 2 10 10

41

1 cos 1 105cos 0,31622 2 2 10 10

3 102 10 32 10cos 2

10

sen

sentg

aa

aa

aa

a

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ×è ø= + = + = + = »

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø= = = = »

×

= = =

––

–

–+

+– – – – –

––

Ecuaciones trigonométricasSon aquellas en las que las incógnitas aparecen bajo los signos de razones trigonométricasEjemplo:

1.- Resolver la ecuación sen 2x – sen x = 0Solución: Si lo resolvemos primero en el intervalo [0 , 2 ) , seráSen 2x – sen x = 0 sen 2x – sen x = 0 2.sen x. cos x – sen x = 0

Sen x . (2.cos x – 1 ) = 0 { sen x = 0 ; cos x = ½ }De la ecuación: sen x = 0 x = { 0 , }De la ecuación: cos x = 1/2 x = { /3 , 5/3 }

Luego la solución en el intervalo [0 , 2 ) , será :

x = { 0, /3 , , 5/3 }Si queremos todas las posibles soluciones, teniendo en cuenta que dichas soluciones se repiten cada 2.k. vueltas (con k un número entero cualquiera), las soluciones serán:

x = {{ 0 + 2.k. , /3 + 2.k. , + 2.k. , 5/3 + 2.k. }: k ℤ }

Teorema de los senosEn todo triángulo ABC (y de lados a, b, c) se verifica que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos

sen sen sena b cA B C

= =

Ejemplo: Resolver el triángulo

Solución:

Como resolver el triángulo consiste en hallar los

lados y los ángulos desconocidos, y en este caso

se conoce A, B y el lado c. Será

C = 180º - ( 73º + 38º 5’ ) = 68º 55’

a / sen A = c / sen C a = ( c.sen A) / Sen C =

= ( 10. sen 38º 5’ ) / ( sen 68º 55’ ) = 6,61 m.

b / sen B = c / sen C b = ( c.sen B) / Sen C =

= ( 10. sen 73º ) / ( sen 68º 55’ ) = 10,24 m.

Ver demostración

Interpretación geométrica del teorema de los senosSi consideramos el triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio r, se cumple

2sen sen sena b c

rA B C

= = = ×

Interpretación geométrica del teorema de los senos

Demostración

Como el triángulo ADC es rectángulo en A por que abarca un arco de 180º y, además:

sen D = b / CD = b / 2rPero como B = D, por ser ángulos inscritos que abarcan el mismo arco. Será

sen sen 22 senb b

B D rr B

= = Þ = ××

Teorema del coseno

En todo triángulo ABC (de lados a, b, c) se verifica que el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble del producto de estos por el coseno del ángulo que lo forman.

Ver demostración

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c b c A

b a c a c B

c a b a b C

= + × × ×

= + × × ×

= + × × ×

–

–

–

Teorema del cosenoEjemplo: Un topógrafo situado en la llanura observa dos picos de una

montaña con un ángulo de 60,3º. Si la distancia del observador a cada uno

de los picos es de 1,3 km. Y 980 m. Hallar la distancia entre los dos picos de

esas montañas

Solución: Utilizando

el teorema del coseno

a2 = b2 + c2 -2bc cos A.

Será:

a = ( b2 + c2 -2bc cos A) =

= ( 13002 +9802 -2.1300.980. cos 60,3º) =

2 253 m.

Área de un triánguloPara calcular el área de un triángulo ABC podemos utilizar la trigonometría.Siendo el Área el semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que lo forman

1sen

2AREA b c A= × × ×

Basta tener en cuenta que Área = ½ base . Altura = ½ c.h

Y teniendo en cuenta que h = b sen A, será

Basta tener en cuenta que Área = ½ base . Altura = ½ b. c.sen A

Ejemplo: Si en el triángulo de la figura A = 30º, b = 10 cm. y c = 15 cm.

Calcular el área del triángulo.

Solución: Área = ½ . b. c. sen A = ½ . 10 .15. sen 30º = 37,5 cm2

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

lasmatemáticas.es

Videos del profesor

Dr. Juan Medina Molina

(http://www.dmae.upct.es/~juan/m

atematicas.htm)

En la siguiente diapósitiva

Mas ayuda del tema de la página

Manuel Sada

(figuras de GeoGebra)

(http://docentes.educacion.navarra.es/

msadaall/geogebra/)

En la siguiente diapósitiva