Trigonometria estudar

Um Curso de Trigonometria

Trigonometria I

Trigonometria II

Trigonometria III

Trigonometria IV

Trigonometria V

Trigonometria VI

Trigonometria VII

Trigonometria VIII

Trigonometria IX

Exercícios Resolvidos de Trigonometria

Funções Trigonométricas Inversas

Teorema dos Senos - TS

Teorema dos Co-senos - TC

Teorema das Áreas - TA

Um Produto de Senos e Co-senos

Dois Problemas de Trigonometria

Três Exercícios de Trigonometria

Três círculos tangentes entre si

Uma soma de senos

Equações Trigonométricas I

Equações Trigonométricas II

Uma torre sob vários ângulos

Um triângulo na FTC

Trigonometricamente falando

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http://br.geocities.com/paulomarques_math/arq4-1.htm






























Trigonometria I

1 - Introdução

Trigonometria: vocábulo criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus (1561-1613), do grego trigonon (triângulo) e metron (medida).

É claro que Hiparco (astrônomo e matemático grego (190 a.C. - 125 a. C.), considerado o pai da Trigonometria, ainda não usava esta terminologia.

A Astronomia foi a grande impulsionadora da Trigonometria. O desconhecimento dos números negativos, que se popularizou apenas no século

XVII, dificultou o desenvolvimento da Trigonometria. O documento mais antigo conhecido sobre o assunto, data-se do século II d.C. e

denominou-se Almagesto, de autoria de Ptolomeu. (Cláudius Ptolemaeus astrônomo grego 90 - 168). Afirma-se que Ptolomeu deixou o planeta Terra aos 78 anos. Este grande astrônomo grego acreditava que a Terra era o centro do Universo, ao redor da qual giravam Mercúrio, Lua, Vênus, Sol, Marte, Júpiter e Saturno, em órbitas que seriam círculos perfeitos! Sua concepção foi considerada válida até o século XVI, quando Nicolau Copérnico (astrônomo polonês - 1473/1543) a substituiu pela teoria heliocêntrica (válida até hoje) , referendada por Galileo Galilei (físico e astrônomo italiano - 1564/1642).

Por enquanto, vamos ver apenas a definição de círculo trigonométrico, após o resumo histórico supra. Nos próximos textos, cuidaremos de desenvolver o resumo da teoria.

Chama-se Círculo Trigonométrico, ao círculo orientado de raio unitário, cujo centro é a origem do sistema de coordenadas cartesianas, conforme figura a seguir.

O círculo trigonométrico é orientado positivamente no sentido ABA’B’A. O sentido AB’A’BA é

considerado negativo. Assim, o arco AB (ângulo reto) mede 90º e o arco AB’ mede -90º . O arco ABA’ (ângulo raso) mede 180º ( ou p radianos) e o arco AB’A’ mede (-180º). O arco de uma volta completa (ABA’B’A) mede 360º ;O arco AB’A’BA mede( -360º), ou seja, é um arco negativo. Já sabemos que 360º = 2 radianos.

Podemos na Trigonometria, considerar arcos de mais de uma volta. Sabendo que uma volta equivale a 360º, podemos facilmente reduzir qualquer arco à primeira volta. Por exemplo, o arco de 12350º , para reduzi-lo à primeira volta, basta dividi-lo por 360º (para eliminar as voltas completas) e considerar o resto da divisão. Assim é que, 12350º dividido por 360º, resulta no quociente 34 e no resto 110º. Este valor 110º é então trigonometricamente equivalente ao arco de 12350º e é denominado sua menor determinação positiva.



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Dois arcos trigonométricos são ditos côngruos, quando a diferença entre eles é um número múltiplo de 360º. Assim é que sendo x e y dois arcos trigonométricos, eles serão côngruos se e somente se x - y = k. 360º, onde k é um número inteiro. Portanto, para descobrir se dois arcos são côngruos, basta verificar se a diferença entre eles é um múltiplo de 360º (ou 2 radianos, pois 2 rad = 360º).Os arcos 2780º e 1700º , por exemplo são côngruos , pois 2780º - 1700º = 1080º e 1080º é divisível por 360º (1080º / 360º = 3 , com resto nulo).

Exercício resolvido:

Quantos são os valores de m compreendidos entre 30 e 40, que tornam côngruos os arcos de medidas (4m+10). 180º e (3m-2). 180º?

Solução:

Pela definição de arcos côngruos dada acima, deveremos ter:

(4m+10).180º - (3m-2).180º = k . 360º, onde k é um número inteiro.720m + 1800 -[540m - 360] = k . 360720m + 1800 - 540m + 360 = k. 360180m + 2160 = k . 360180m = k . 360 - 2160m = 2k - 12Mas, pelo enunciado, temos 30 < m < 40. Logo: 30 < 2k - 12 < 4042 < 2k < 5221 < k < 26 k = 22, 23, 24 ou 25. Existem 4 valores possíveis para k e, portanto, também 4 valores possíveis para m,já que m = 2k - 12.

Resposta: m possui 4 (quatro) valores distintos.

Testes Verdadeiro - Falso

1 - Os arcos de 4200º e 3480º são côngruos2 - Os arcos de (- 420º ) e 300º são côngruos.3 - O arco de 10.002º pertence ao segundo quadrante.4 - O arco de (- 200º) pertence ao segundo quadrante.

Gabarito: 1 - V 2 - V 3 - F4 - V

Trigonometria II



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1 - Funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

Considere a figura abaixo, onde está representado um círculo trigonométrico (centro na origem e raio unitário). Da simples observação da figura, temos os seguintes pontos notáveis: A (1; 0) , B(0; 1) , A’(-1; 0) e B’(0; -1).

Definiremos os seguintes eixos:

A’A = eixo dos cossenos (variando no intervalo real de -1 a +1)

B’B = eixo dos senos (variando no intervalo real de -1 a +1)AT = eixo das tangentes variando no intervalo real (- , + ).

Observe também que as coordenadas cartesianas do ponto U são: x0 = abscissa e y0 = ordenada, ou seja: U(x0 , y0).

Considere o arco trigonométrico AU de medida a. Nestas condições definimos:1 - Seno do arco de medida a = ordenada do ponto U = y0 e indicamos: sen a = y0 .2 - Cosseno do arco de medida a = abscissa do ponto U = x0 e indicamos: cos a = x0

Lembrando que o raio do círculo trigonométrico é igual a 1 (por definição), concluímos que o seno e o cosseno de um arco são números reais que variam no intervalo real de -1 a +1.

Da figura acima, podemos escrever: x02 + y0

2 = OU2; mas, OU = raio do círculo trigonométrico e portanto vale 1. Daí vem a seguinte relação entre o seno e o cosseno de um arco, já que x0 = cos a e y0 = sen a :INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO.

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sen2a + cos2a = 1

denominada relação fundamental da Trigonometria.

Observando ainda a figura acima e considerando os sinais das ordenadas e das abscissa ou seja, sinais do seno e do cosseno, podemos concluir que o seno é positivo para os arcos compreendidos entre 0º e 180º (1º e 2º quadrantes) e negativo para os arcos compreendidos entre 180º e 360º (3º e 4º quadrantes).

Já para o cosseno, usando a mesma consideração anterior, concluímos que o cosseno é positivo para os arcos compreendidos entre 0º e 90º (1º quadrante) e para os arcos compreendidos entre 270º e 360º (4º quadrante) e, negativo para os arcos compreendidos entre 90º e 180º (2º quadrante) e para os arcos compreendidos entre 180º e 270º (3º quadrante).

Valores notáveis do seno e cosseno:

sen 0º = sen 180º = cos 90º = cos 270º = 0sen 90º = cos 0º = cos 360º = 1sen 270º = cos 180º = -1

Ainda na figura anterior observe o segmento AT. O comprimento deste segmento, é por definição, a tangente do arco AU de medida a. Indicamos isto escrevendo tg a = AT. A escala adotada no eixo das tangentes é a mesma dos eixos das abscissas e das ordenadas.

Pela semelhança dos triângulos Ox0U e OAT, podemos escrever:

; mas como y0 = sen a, x0 = cos a, AT = tg a e OA = 1, vem:

para cos a 0.

Nota: para saber o sinal da tangente nos 4 quadrantes, basta usar a regra de sinais da divisão, já que a tangente é simplesmente o quociente do seno pelo cosseno, cujos sinais nos quadrantes já conhecemos. Somente como exemplo, como o seno e o cosseno são negativos no 3º quadrante, sendo a tangente o quociente entre eles, concluímos



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que neste quadrante, a tangente será positiva, pois menos dividido por menos dá mais!

Os inversos multiplicativos do seno, cosseno e tangente, recebem designações particulares a saber:

1 - inverso do seno = cossecante (símbolo: cossec)2 - inverso do cosseno = secante (símbolo: sec) 3 - inverso da tangente = cotangente (símbolo: cotg )

Assim, sendo a um arco trigonométrico, poderemos escrever:

para sen a 0.

para cos a 0.

para sen a 0.

Exercícios Resolvidos

1. Qual o valor máximo da função y = 10 + 5 cos 20x?

Solução: O valor máximo da função ocorre quando o fator cos20x é máximo, isto é, quando cos 20x = 1. Logo, o valor máximo da função será y = 10 + 5.1 = 15.

2. Qual o valor mínimo da função y = 3 + 5 sen 2x?

Solução: O valor mínimo da função ocorre quando o fator sen2x é mínimo, isto é, quando sen2x = -1. Logo, o valor mínimo da função será y = 3 + 5(-1) = - 2 .

3. Qual o valor máximo da função ? Solução: A função terá valor máximo, quando o denominador tiver valor mínimo. Para que o denominador seja mínimo, deveremos ter cos 20x = 1 y = 10 / (6 - 2.1) = 10 / 4 = 5/2. Portanto, o valor máximo da função é 5/2.



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Qual seria o valor mínimo da mesma função?Resposta: 5/4

4. Para que valores de m a equação sen 30x = m - 1 tem solução?

Solução: Ora, o seno de qualquer arco, é sempre um número real pertencente ao intervalo fechado [-1,1]. Logo, deveremos ter: -1 m -1 1 0 m 2.

Agora calcule:

a) o valor mínimo da função y = 2 + 9sen4x. b) o valor máximo da função y = 10 - cosx . c) o valor de y = sen 180º - cos270º d) o valor de y = cos 180º - sen 270º e) o valor de y = cos(360.k) + sen(360.k), para k inteiro.

Respostas: a) - 7 b) 11 c) 0 d) 0 e) 1

Trigonometria III

Fórmulas derivadas das fundamentais

Já sabemos as cinco fórmulas fundamentais da Trigonometria, a saber:Dado um arco trigonométrico x , temos:

Fórmula I: Relação Fundamental da Trigonometria.

sen2x + cos2x = 1 [o mesmo que (senx)2 + (cosx)2 = 1]

Fórmula II: Tangente.

Fórmula III: Cotangente.



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Fórmula IV: Secante.

Fórmula V: Cossecante.

Nota: considere nas fórmulas acima, a impossibilidade absoluta da divisão por ZERO.Assim, por exemplo, se cosx = 0, não existe a secante de x ; se sen x = 0, não existe a cosec x, ...

Para deduzir duas outras fórmulas muito importantes da Trigonometria, vamos partir da Fórmula I acima, inicialmente dividindo ambos os membros por cos2 x 0.Teremos:

Das fórmulas anteriores, concluiremos inevitavelmente a seguinte fórmula que relaciona a tangente e a secante de um arco trigonométrico x:tg2x + 1 = sec2x

Se ao invés de dividirmos por cos2x, dividíssemos ambos os membros por sen2x, chegaríamos a:cotg2x + 1 = cosec2x

As duas fórmulas anteriores, são muito importantes para a solução de exercícios que comparecem nos vestibulares, e merece por isto, uma memorização. Aliás, as sete fórmulas anteriores, têm necessariamente de ser memorizadas, e isto é apenas o início! A Trigonometria, infelizmente, depende de memorizações de fórmulas, mas, se você souber deduzi-las, como estamos tentando mostrar aqui, as coisas ficarão muito mais fáceis! Portanto, fique tranqüilo(a).

Trigonometria IV

1 - Simplifique a expressão a seguir:<



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Solução:

Das aulas anteriores, poderemos escrever:

2 - Sendo x um arco tal que cosx = tgx , calcule senx.

Solução: Sabemos que tgx = senx / cosx. Substituindo tgx por cosx (dado do problema), vem: cosx = senx / cosx donde vem: cos2x = senx. Mas,cos2x = 1 - sen2x . Substituindo, fica: 1 - sen2x = senx.Daí, vem: sen2x + senx - 1 = 0Fazendo senx = y e substituindo: y2 + y - 1 = 0.Resolvendo esta equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara, fica:

Como y = senx, somos tentados a dizer que existem dois valores para senx, dados pela igualdade acima. Lembre-se porém que o seno de um arco é um número que pode variar de -1 a +1. Portanto, somente um dos valores acima satisfaz o problema ou seja:

que é a resposta procurada.

3 - Para que valor de m a expressão y = (m - 1) (sen4x - cos4x) + 2cos2x + m.cosx - 2.cosx + 1 é independente de x?

Solução:

Podemos escrever:y = (m - 1)[(sen2x - cos2x)(sen2x + cos2x)] + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1Como sen2x + cos2x = 1, substituindo, fica:



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y = (m - 1)(sen2x - cos2x) + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1y = msen2x - mcos2x - sen2x + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1Escrevendo tudo em função de cosx, lembrando que sen2x = 1 - cos2x, vem:y = m(1 - cos2x) - mcos2x - (1 - cos2x) + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1y = m - mcos2x - mcos2x - 1 + cos2x + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1Simplificando os termos semelhantes, fica:y = m + (4 - 2m)cos2x + (m - 2)cosxPara que a expressão acima seja independente de x, deveremos ter necessariamente 4 - 2m = 0 e m - 2 = 0 m = 2, que é a resposta procurada.

4 - Agora resolva você mesmo: Para que valor de m a expressãoy = m(sen4x - cos4x) + 2cos2x - 1 + m é independente de x?Resposta: m = 1

5 - Sabendo que senx + cosx = m, calcule (m2 - 1)y sendo y dado pela expressão:

Resposta: m(3 - m2).

Sugestão: Eleve ambos os membros da igualdade dada ao cubo, ou seja:(senx + cosx)3 = m3 , lembrando que (a+b)3 = a3 + b3 + 3(a+b).ab.Eleve também ambos os membros da expressão dada ao quadrado, ou seja:(senx + cosx)2 = m2 , lembrando que (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.

Trigonometria V

Cosseno da diferença de arcos

Dedução da fórmula

Considere a figura abaixo que representa uma circunferência trigonométrica (centro na origem O(0,0) e raio unitário). Sejam a e b dois arcos trigonométricos com a b.



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Temos o arco PB de medida b e o arco PA de medida a. Nestas condições, podemos concluir que o arco BA tem medida a - b.Pelo teorema dos cossenos, sabemos

que em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados, pelo cosseno do ângulo que eles formam.

Assim, na figura acima, poderemos escrever, pelo teorema dos cossenos, para o triângulo OAB:AB2 = OB2 + OA2 - 2. OB . OA . cos(a - b). (Equação 1)Ora, OB = OA = 1 (raio do círculo trigonométrico, portanto, unitário).AB = distancia entre os pontos A(cosa,sena) e B(cosb, senb).Já vimos nesta página, a fórmula da distancia entre dois pontos; se você não se lembra, revise os textos sobre Geometria Analítica .Assim, substituindo os elementos conhecidos na fórmula acima (equação 1), vem:(cosa - cosb)2 + (sena - senb)2 = 12 + 12 - 2.1.1.cos(a -b)Desenvolvendo, vem:cos2a - 2.cosa.cosb + cos2b + sen2a - 2.sena.senb + sen2b = 2 - 2coss(a - b)Lembrando que cos2a + sen2a = cos2b + sen2b = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria), vem, substituindo:1 + 1 - 2cosacosb - 2senasenb = 2 - 2cos(a - b)Simplificando, fica:-2[cosacosb + senasenb] = -2.cos(a - b)> Donde finalmente podemos escrever a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos a e b:

cos (a - b) = cosa . cosb + sena . senb

Exemplo: cos (x - 90º) = cosx. cos90º + senx . sen90ºOra, como já sabemos que cos90º = 0 e sen90º = 1, substituindo, vem finalmente:

cos(x - 90º) = senx.

Se fizermos a = 0º na fórmula do cosseno da diferença, teremos:cos(0 - b) = cos0 . cosb + sen0 . senbE como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0, substituindo, fica:

cos(- b) = cosb

Portanto:cos( - 60º ) = cos60º = 1/2, cos( - 90º) = cos90º = 0, cos ( -180º) = cos 180º = -1, etc.Se considerarmos a função y = cosx , como cos( - x ) = cosx , diremos



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então que a função cosseno é uma função par. Reveja o capítulo de funções.

Para finalizar, tente simplificar a seguinte expressão:y = cos(x - 90º) - cos(x - 270º).Resposta: 2senx

Trigonometria VI

Adição e subtração de arcos

1. Vimos em Trigonometria V, a dedução da fórmula do cosseno da diferença de dois arcos. Apresentaremos a seguir, as demais fórmulas da adição e subtração de arcos sem as deduções, lembrando que essas deduções seriam similares àquela desenvolvida para cos (a – b), com certas peculiaridades inerentes a cada caso.

2. Sejam a e b dois arcos trigonométricos. São válidas as seguintes fórmulas, que devem ser memorizadas! Repito aqui, que uma das aparentes dificuldades da Trigonometria é essa necessidade imperiosa de memorização de fórmulas. Entretanto, a não memorização levaria a perda de tempo para deduzi-las durante as provas, o que tornaria a situação impraticável. Talvez, a melhor solução seria aquela em que os examinadores que elaboram os exames vestibulares inserissem como anexo de toda prova, um resumo das fórmulas necessárias à sua resolução, exigindo do candidato, apenas o conhecimento e o raciocínio necessários para manipulá-las algebricamente e, aí sim teria sido feito justiça! Fica a sugestão aos professores!.

Eis as fórmulas, já conhecidas de vocês, assim espero.

cos(a – b) = cosa . cosb + sena . senbcos(a + b) = cosa . cosb – sena . senbsen(a – b) = sena . cosb – senb . cosasen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa



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Nota: nas duas fórmulas da tangente, sempre leve em conta a absoluta impossibilidade da divisão por zero!Fazendo a = b nas fórmulas da soma, vem: sen2a = 2sena. cosacos2a = cos2a – sen2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2.sen2a

Trigonometria VII

1 - Multiplicação de arcos

Problema: Conhecendo-se as funções trigonométricas de um arco a , determinar as funções trigonométricas do arco n.a onde n é um número inteiro maior ou igual a 2. Usaremos as fórmulas das funções trigonométricas da soma de arcos para deduzi-las.

1.1 - Seno e cosseno do dobro de um arco

Sabemos das aulas anteriores que sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a. Logo, fazendo a = b, obteremos a fórmula do seno do dobro do arco ou do arco duplo:sen 2a = 2 . sen a . cos aAnalogamente, usando a fórmula do cosseno da soma, que sabemos ser igual a cos(a + b) = cos a . cos b - sen a .sen b e fazendo a = b, obteremos a fórmula do cosseno do dobro do arco ou do arco duplo:cos 2a = cos2a - sen2a

Da mesma forma, partindo da tangente da soma, obteremos analogamente a fórmula da tangente do dobro do arco ou do arco duplo:

A fórmula acima somente é válida para tga 1 e tga -1, já que nestes casos o denominador seria nulo! Lembre-se do 11º mandamento! NÃO DIVIDIRÁS POR ZERO! Sabemos que a divisão por zero não é possível. Imagine dividir 2 chocolates por zero pessoas!!!

Exemplos:



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sen4x = 2.sen2x.cos2xsenx = 2.sen(x/2).cos(x/2)cosx = cos2(x/2) - sen2(x/2)cos4x = cos22x - sen22x, ... , etc.

2 - Divisão de arcosVamos agora achar as funções trigonométricas da metade de um arco, partindo das anteriores.

2.1 - Cosseno do arco metadeOra, sabemos que cos2a = cos2a - sen2aSubstituindo sen2a, por 1 - cos2a, já que sen2a + cos2a = 1, vem:cos2a = 2.cos2a - 1. Daí, vem:cos2a = (1+cos2a) / 2Fazendo a = x/2, vem, cos2(x/2) = [1+cosx]/2.Podemos escrever então a fórmula do cosseno do arco metade como:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

2.2 - Seno do arco metadePodemos escrever: cos2a = (1-sen2a) - sen2a = 1 - 2sen2aDaí vem: sen2a = (1 - cos2a)/2Fazendo a = x/2 , vem: sen2(x/2) = (1 - cosx) / 2.Podemos escrever então, a fórmula do seno do arco metade como segue:


2.3 - Tangente do arco metadeDividindo membro a membro as equações 2.1 e 2.2 anteriores, lembrando que tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:




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Exercício resolvidoSimplifique a expressão y = cossec2a - cotg2a

Solução:Sabemos que cossec2a = 1 / sen2a e cotg2a = cos2a / sen2a . Logo,y = (1/sen2a) - (cos2a/sen2a)Simplificando, vem: y = (1 - cos2a) / sen2a . Portanto,

Portanto, cossec2a - cotg2a = tga.Lembre-se que 1 - cos2a = sen2a.Somente a título de ilustração, vamos ler a expressão resultado: A cossecante do dobro de um arco subtraída da cotangente do dobro do mesmo arco é igual à tangente do arco. Aqui pra nós: a linguagem simbólica não é muito mais fácil?

3 - Transformação de somas em produto

Vamos deduzir outras fórmulas importantes da Trigonometria. As fórmulas a seguir são muito importantes para a simplificação de expressões trigonométricas.

Já sabemos que: sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos asen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos aSomando membro a membro estas igualdades, obteremos:sen(a + b)+ sen(a - b) = 2.sen a . cos b.

Fazendo a + b = p a - b = q teremos, somando membro a membro:2a = p + q, de onde tiramos a = (p + q) / 2Agora, subtraindo membro a membro, fica:2b = p - q, de onde tiramos b = (p - q) / 2

Daí então, podemos escrever a seguinte fórmula:

Exemplo: sen50º + sen40º = 2. sen45º.cos5º

Analogamente, obteríamos as seguintes fórmulas:



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Exemplos:

cos 30º + cos 10º = 2.cos20º.cos10ºcos 60º - cos 40º = -2.sen50º.sen10ºsen 70º - sen 30º = 2.sen20º.cos50º.

Trigonometria VIII

Exercícios Resolvidos

1) Se sen3x + senx = cos3x + cosx, então: a) senx = 0b) cosx = 0c) tgx = 1d) sen2x = 1e) tg2x = 1

Solução: Vamos usar as fórmulas de transformação em produto, vistas na aula anterior. Reveja as fórmulas se necessário, em Trigonometria VII.

Teremos:

Simplificando, vem: 2.sen2x.cosx = 2.cos2x.cosx. Ora, daí vem simplificando: sen2x = cos2x e, portanto, sen2x / cos2x = 1 tg2x =1.Portanto a igualdade dada equivale à igualdade tg2x = 1. Logo, letra E.Nota: Lembre-se que sen h / cos h = tg h.

2) Determine o período da função y = sen20x. cos10x + sen10x.cos20x.

Solução: Sabemos que sena.cosb+senb.cosa = sen(a+b). Logo,sen20x.cos10x+sen10x.cos20x = sen(20x+10x) = sen30xINVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO.


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Portanto, a função dada é equivalente a y = sen30x.Mas, o período de uma função da forma y = senbx é dado por T = 2 / b.Logo, o período da função dada será: T = 2 / 30 = /15 radianos.Resposta: o período da função é igual /15 rad.

3) Qual o valor máximo da função y = f(x) definida por:

Solução: Sabemos que cosx. cos4x - senx.sen4x = cos(x+4x) = cos5xPara concluir isto, basta lembrar da fórmula do cosseno da soma!Portanto, podemos escrever:

Para que y seja MÁXIMO, devemos ter 100+cos5x = MÍNIMO. É claro que isto ocorrerá para cos5x = -1. Logo, o valor máximo da função será: y = 100 / (100 - 1) = 100/99.

Resposta: 100/99.

4) Seja dada a função y = f(x), definida por:

Nestas condições, pede-se calcular o valor de y = f( /17).

Solução:

Vamos transformar em produto o denominador da função:

Mas, cos13x = cos (17x - 4x) = cos17x. cos4x + sen17x.sen4x.Como x = /17, vem imediatamente que 17x = . Logo, substituindo vem:cos13x = cos .cos4x + sen .sen4x = -1.cos4x + 0.sen4x = - cos4xJá que cos13x = - cos4x , para x = /17, substituindo, vem finalmente:y = - cos4x / (2.cos4x) = -1/2.

Resposta: y = - 1/2.



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Trigonometria IX

Período das funções trigonométricas

Considere uma função y = f(x) de domínio D. Seja x D um elemento do domínio da função f. Consideremos um elemento p D. Se f(x+p) = f(x) para todo x D, dizemos que a função f é periódica.

Ao menor valor positivo de p , denominamos período da função f.

Complicado? Não! Veja o exemplo abaixo:

Seja y = f(x) = senxTemos que f(x+2 ) = sen(x+2 ) = senx.cos2 + sen2 .cosx =senx .1 + 0.cosx = senx ou seja, f(x+2 ) = f(x).Portanto, sen(x+2 ) = senx

Da definição acima, concluímos que o período da função y = senx é igual a 2 radianos.

Analogamente, concluiríamos que:O período da função y = cosx é 2 radianos.O período da função y = secx é 2 radianos.O período da função y = cosecx é 2 radianos.O período da função y = tgx é radianos.O período da função y = cotgx é radianos.

As afirmações acima equivalem às seguintes afirmações: cos (x+2 ) = cosx|sec(x+2 ) = secxcosec(x+2 ) = cosecxtg(x+ ) = tgxcotg(x+ ) = cotgx

De uma forma genérica, poderemos dizer que o período T da funçãoy = a+b.sen (rx + q) é dado por:

Observe que somente o coeficiente de x tem influencia para o cálculo do período da função.A fórmula acima aplica-se também para o caso da função y = a +



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b.cos(rx+q).

No caso das funções y = a + b.tg(rx+q) ou y = a + b.cotg(rx+q) a fórmula a ser aplicada para o cálculo do período T é:

Exemplos:

Determine o período das seguintes funções trigonométricas: a) y = sen (2x - 45º)Resposta: T = 2 /2 = radianos

b) y = 2. cos(3x+45º)Resposta: T = 2 /3 rad = 120º . (Lembre-se que rad = 180º).

c) y = 5 + 10. cos( x + 2)Resposta: T = 2 / = 2 rad

d) y = tg (2x - )Resposta: T = /2 rad

e) y = sen2x. cos4x + sen4x.cos2xResposta: A função pode ser escrita como y = sen(2x+4x) = sen6xLogo, T = 2 /6 = /3 rad ou 60º.

f) y = senx + cosxResposta: Antes de aplicar a fórmula do período, temos que transformar a soma do segundo membro, num produto. Logo,y = senx + sen(90º - x)

Observe que sen(90º-x) = sen90º.cosx - senx.cos90º = cosx.Logo, a função dada poderá ser escrita como, usando a fórmula de transformação da soma de senos em produto.

Portanto o período procurado será T = 2 /1 = 2 rad.

Agora resolva estes:

Determine o período das seguintes funções:a) y = sen10xResposta: T = /5 rad.

b) y = 1 + cos(2x+ /4)Resposta: T = rad.



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c) y = sen(x/3) + cos(x/2)Resposta: T = 12 rad.

Exercícios Resolvidos de Trigonometria

1 - (UNI-RIO) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale:

a) 11 / 24b) - 11 / 24c) 3 / 8d) - 3 / 8e) - 3 / 10

Solução: Sabemos que num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Logo, o maior ângulo será aquele oposto ao lado de medida 6. Teremos então, aplicando a lei dos cossenos:

62 = 32 + 42 - 2 . 3 . 4 . cos b 36 - 9 - 16 = - 24 . cos cos = - 11 / 24 e, portanto, a alternativa correta é a letra B.

Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam.

2 - (UNESP) Se x e y são dois arcos complementares, então podemos afirmar que A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual a:

a) 0b) 1/2c) 3/2d) 1e) 2

Solução: Desenvolvendo os quadrados, vem:A = cos2 x - 2 . cosx . cosy + cos2 y + sen2 x + 2 . senx . seny + sen2 yOrganizando convenientemente a expressão, vem:A = (cos2 x + sen2 x) + (sen2 y + cos2 y) - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . senyA = 1 + 1 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny



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A = 2 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . senyComo os arcos são complementares, isto significa que x + y = 90º y = 90º - x. Substituindo, vem:A = 2 - 2 . cosx . cos(90º - x) + 2 . senx . sen(90º - x)Mas, cos(90º - x) = senx e sen(90º - x) = cosx, pois sabemos que o seno de um arco é igual ao cosseno do seu complemento e o cosseno de um arco é igual ao seno do seu complemento.Logo, substituindo, fica:A = 2 - 2 . cosx . senx + 2 . senx . cosxA = 2 + (2senxcosx - 2senxcosx) = 2 + 0 = 2 , e portanto a alternativa correta é a letra E.

3 - Calcule sen 2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3.

Solução: Escrevendo a tgx e cotgx em função de senx e cosx , vem:

Daí, vem: 1 = 3 . senx . cosx senx . cosx = 1 / 3. Ora, sabemos quesen 2x = 2 . senx . cosx e portanto senx . cosx = (sen 2x) / 2 , que substituindo vem:(sen 2x) / 2 = 1 / 3 e, portanto, sen 2x = 2 / 3.Resposta: 2 / 3

4 - (ITA - 96) Seja [0, /2], tal que sen + cos = m .Então, o valor de

é:

a) 2(m2 - 1) / m(4 - m2)b) 2(m2 + 1) / m(4 + m2)c) 2(m2 - 1) / m(3 - m2)d) 2(m2 - 1) / m(3 + m2)e) 2(m2 + 1) / (3 - m2)

Solução:

Quadrando ambos os membros da expressão dada, vem:(sen + cos )2 = m2 . Desenvolvendo, fica:sen2 + 2 . sen . cos + cos2 = m2 Simplificando, vem: 1 + 2 . sen . cos = m2 1 + sen 2 = m2 e,



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portanto,sen 2 = m2 - 1Seguindo o mesmo raciocínio, vamos elevar ambos os membros da expressão dada ao cubo:Lembrete: (a + b)3 = a3 + b3 + 3(a +b) . abLogo:(sen + cos )3 = m3 . Desenvolvendo, vem:sen3 + cos3 + 3 (sen + cos ) (sen . cos ) = m3

Lembrando que sen + cos = m e sen . cos = sen 2 / 2, e substituindo, fica:sen3 + cos3 = m3 - 3 (m) . (m2 - 1) / 2Substituindo esses valores encontrados na expressão dada, teremos então:

E, portanto, a alternativa correta é a letra C.

Funções Trigonométricas Inversas

1 – Função arco seno

Considere a função y = senx. Sabemos que para achar a inversa, basta permutar x por y e vice-versa. Nestas condições a inversa será x = seny.

Entretanto, sabemos do estudo geral das funções, que a inversa de uma função será também uma função se e somente se a função dada for bijetora. Como sabemos que a função y = senx não é bijetora em R, (se necessário, revise esse conceito no capítulo Funções) , para que a sua inversa seja também uma função, deveremos definir um intervalo na qual a função seno seja bijetora. Este intervalo é: [- /2, /2]Assim, a função f: [- /2, /2] [-1, 1] definida por y = senx é bijetora.Então, a inversa x = seny terá domínio [-1, 1] e conjunto imagem [- /2, /2] e, neste caso, será também uma função.

A igualdade x = seny costuma ser escrita como y = arcsenx que lê-se: y é o arco cujo seno é x.Em resumo: y = arcsenx para -1 £ x 1 e - /2 x /2.Nunca esqueça que y = arcsenx seny = x, considerando-se as limitações para x e y impostas acima.

Exemplos:INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO.


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a) sen /6 = 1/2 /6 = arcsen (1/2)b) sen = 0 = arcsen 0c) sen 0 = 0 0 = arcsen 0 (lê-se: 0 é o arco cujo seno é 0).

Exercício Resolvido

Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x?Solução: Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem:Para x: -1 4x 1 -1/4 x 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].Para y: Da definição vista acima, deveremos ter - /2 y /2.Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [- /2, /2].

Analogamente definiríamos as funções arco coseno e arco tangente .

1. Função arco cosenoy = arccosx x = cosy, para 0 y e –1 x 1. Exemplo: cos 60º = 1/2, logo 60º = arccos 1/2 (Obs: 60º = /3 rad)

2. Função arco tangentey = arctgx x = tgy , para - /2 y /2 e x R.Exemplo: tg 45º = 1, logo 45º = arctg 1 (Obs: 45º = /4 rad)

Exercícios Resolvidos:

1. Calcule y = tg(arcsen 2/3)

Solução: Seja w = arcsen 2/3. Podemos escrever senw = 2/3. Precisamos calcular o cosw. Vem:sen2w + cos2w = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria).Substituindo o valor de senw vem:(2/3)2 + cos2w = 1 de onde conclui-se: cos2w = 1 – 4/9 = 5/9.Logo:cosw = 5 / 3. Mas como w = arcsen 2/3, sabemos que o arco w pode variar de–90º a +90º, intervalo no qual o coseno é positivo. Logo: cosw = + 5 /3. Temos então: y = tg(arcsen 2/3) = tgw = senw / cosw = [(2/3) / ( 5/3)] = 2/ 5Racionalizando o denominador, vem finalmente y = (2 5)/ 5 que é o valor de y procurado.

2. Calcular o valor de y = sen (arc tg 3/4).

Solução: Seja w = arc tg 3/4. Podemos escrever: tgw = 3/4 senw / cosw = 3/4 senw = (3/4).coswDa relação fundamental da Trigonometria, sen2w + cos2w = 1, vem, INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO.


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substituindo o valor de senw:[(3/4).cosw]2 + cos2w = 1 9/16.cos2w + cos2w = 1 25/16 . cos2w = 1cos2w = 16/25 cosw = 4/5.Como w = arctg 3/4, sabemos da definição da função arco tangente que w varia no intervalo –90º a +90º , intervalo no qual o coseno é positivo. Logo, cosw = + 4/5. Mas, senw = (3/4). cosw = (3/4).(4/5) = 3/5 , e portanto:y = sen(arctg 3/4) = senw = 3/5, que é a resposta procurada.

Agora resolva os seguintes:

1) Qual o domínio da função y = arccos (1 – logx)?

2) Resolver a equação: arcsenx = 2 arccosx

Respostas: 1) D = [1,100] 2) x = 3/2.

Teorema dos Senos - TS

Considere a figura abaixo, onde vemos um triângulo ABC inscrito numa circunferência de raio R. Observe que também podemos dizer que a circunferência está circunscrita ao triângulo ABC.

Na figura acima, temos: AH = diâmetro da circunferência = 2R (R = raio)AO = OH = raio da circunferência = RMedidas dos lados do triângulo ABC: AB = c, BC = a e AC = b.Para deduzir o teorema dos senos, vamos iniciar observando que os ângulos H e B são congruentes ou seja possuem a mesma medida, pois ambos

estão inscritos no mesmo arco CA. Além disso, podemos afirmar que o ângulo ACH é reto (90º), pois AH é um diâmetro. Portanto o triângulo ACH é um triângulo retângulo. Podemos então escrever: sen H = sen B = cateto oposto / hipotenusa = AC / AH = b/2RLogo, fica: sen B = b / 2R e, portanto, b/senB = 2R.



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Analogamente chegaríamos às igualdades c/senC = 2R a/senA = 2RComo estas três expressões são todas iguais a 2R, poderemos escrever finalmente:

Esta expressão mostra que as medidas dos lados de um triângulo qualquer são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a estes lados, sendo a constante de proporcionalidade igual a 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. Este é o teorema dos senos – TS.

O teorema dos senos visto acima, permite a dedução de uma importante fórmula para o cálculo da área de um triângulo qualquer. Seja o triângulo ABC da figura abaixo, de altura h.

Sabemos que a área de um triângulo é igual ao semiproduto da base pela altura:S = 1/2 . base . altura . Logo,S = 1/2 . a . h

Mas, no triângulo retângulo CAH, podemos escrever: sen C = cateto oposto/hipotenusa = h/b h = b.senCSubstituindo na fórmula da área acima, vem: S = 1/2.a.b.senC

Mas, sabemos do teorema dos senos que c/senC = 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. Logo: senC = c / 2RPortanto, S = 1/2.a.b.c/2R = abc/4R.Temos então a seguinte fórmula para o cálculo da área de um triângulo qualquer:



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onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo e R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo e S a área do triângulo.Já sabemos da Geometria Plana, que a área de um triângulo ABC, cujos lados medem respectivamente a, b e c, é dada pela fórmula:

onde p é o semiperímetro do triângulo ou seja: p = (a+b+c) / 2 Esta fórmula é conhecida comumente como Fórmula de Heron.Heron de Alexandria – célebre geômetra grego. Viveu no século 1º da era cristã.Assim, substituindo o valor de S da fórmula anterior, na fórmula S=abc/4R, encontraremos uma fórmula útil para o cálculo do raio da circunferência circunscrita a um triângulo qualquer de lados a, b e c:Temos: S = abc / 4R R = abc / 4SPortanto,

Onde p, conforme vimos acima é o semiperímetro dado por p = (a+b+c)/2.

Exemplo de aplicação: Vestibular da Univ. Federal do Ceará/1990Seja R o raio do círculo circunscrito ao triângulo cujos lados medem 10m, 17m e 21m. Determine em metros, o valor de 8R.

Solução:Temos: a = 10, b = 17 e c = 21 p = (10+17+21) / 2 = 24Portanto, substituindo diretamente na fórmula acima, fica:

Como o problema solicita o valor de 8R, vem: 8R = 8.170/16 = 170/2 = 85.Portanto, 8R = 85, que é a resposta do problema.Resposta: 85m

Teorema dos Cossenos - TC

Considere o triângulo ABC na figura abaixo:



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AH = altura do triângulo em relação à base CB.Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a.Podemos escrever no triângulo AHB:

AH2 + HB2 = c2 (Teorema de Pitágoras).Analogamente, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo AHC:

b2 = CH2 + AH2

Mas, CH = CB – HB = a – HBPortanto: b2 = (a - HB)2 + AH2

b2 = a2 – 2.a.HB + HB2 + AH2

Observe que HB2 + AH2 = AB2 = c2

Então fica: b2 = a2 + c2 – 2.a.HBNo triângulo retângulo AHB, podemos escrever:cosB = cateto adjacente/hipotenusa = HB/cDaí, HB = c.cosBSubstituindo, fica:b2 = a2 + c2 – 2.a.c. cosBDa fórmula acima, concluímos que num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam. Isto é o Teorema dos cossenos – TC.Analogamente, poderemos escrever:a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosAc2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC

Em resumo:

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosAb2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosBc2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC

Exemplo 1: Num triângulo dois lados de medidas 4 cm e 8 cm formam entre si um angulo de 60º. Qual a medida do outro lado?Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos: x2 = 42 + 82 – 2.4.8.cos60º = 16 + 64 – 2.4.8.(1/2), já que cos60º = 1/2.x2 = 16 + 64 – 32 = 48 = 16.3; logo, poderemos escrever:x2 = 42.3 x =4 3 cm

Exemplo 2: Determine o comprimento do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R.



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R = raio do círculo.Sabemos que um hexágono regular possui 6 lados de medidas congruentes, ou seja de medidas iguais. Observe que o angulo A é igual a 60º. Logo, o lado PQ do hexágono regular será dado pelo teorema dos cossenos por: PQ2 = R2 + R2 – 2.R.R.cos60º = 2R2 – R2 (Obs: cos60º = 1/2)PQ2 = R2, de onde conclui-se: PQ = R.

CONCLUSÃO: A medida do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R é igual a R. Esta é uma propriedade importantíssima dos hexágonos regulares. Vale a pena memorizar esta propriedade dos hexágonos regulares.

Teorema das Áreas- TA

Sabemos de aula anterior, Teorema dos Senos que a área S de um triângulo ABC inscrito numa circunferência de raio R e cujos lados medem a, b e c é dada pela fórmula:S = abc /4RSabemos também, da teoria exposta no mesmo arquivo anterior, que c/senC = 2R (Teorema dos senos – TS).Podemos então dizer que c = 2R.senCSubstituindo na fórmula da área acima, vem:S = a.b.2R.senC / 4R , que simplificada fica:S = (1/2).ab.senC , onde C é o ângulo formado pelos lados de medidas a e b .Portanto, a área de um triângulo qualquer é igual ao semi-produto das medidas de dois lados pelo seno do angulo que eles formam entre si. Isto é o Teorema das áreas - TA.Genericamente, podemos escrever a fórmula acima em função de qualquer par de medidas dos lados a saber:

Exemplo : Dois lados de um triângulo medem 10cm e 20cm e formam INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO.


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entre si um angulo de 30º. Qual a área desse triângulo?Solução: S = (1/2).10.20.sen30º = (1/2).10.20.(1/2) = 50cm2

Obs: sen30º = 0,5 = 1/2

Repetindo: a área de qualquer triângulo é igual a metade do produto de dois lados pelo seno do angulo que eles formam.

Um produto de senos e cossenos

Simplifique a expressão E = 8 . sen10º . cos20º . sen50º ?

Solução: Sabemos que :sen(a+b) = senacosb + senbcosasen(a-b) = senacosb – senbcosaSomando membro a membro, vem:sen(a+b) + sen(a-b) = 2senacosb

Daí, vem:sena.cosb = 1/2 [sen(a+b) + sen(a-b)]

Portanto:sen10º . cos20º = 1/2 [sen(10º + 20º) + sen(10º - 20º)]sen 10º . cos 20º = 1/2 [sen 30º + sen (- 10º)]sen 10º . cos 20º = 1/2 [1/2 – sen 10º] Obs: sen( - 10º ) = - sen 10º

Substituindo na expressão dada, vem:E = 8 . {1/2 [1/2 – sen 10º]}. sen 50ºE = 8 . [1/4 – (sen 10º)/2] . sen 50ºE = [2 – 4.sen 10º] . sen 50ºE = 2.sen50º - 4.sen 10º . sen 50º (Eq. 1)

Mas, sena . senb = 1/2 [cos(a-b) – cos(a+b)]Logo:sen10º . sen50º = 1/2 [cos(10º - 50º) – cos(10º + 50º)]sen10º . sen50º = 1/2 [ cos40º - cos60º ] Obs: cos(-40º) = cos40º , pois a função coseno é par ou sejaf(-x) = f(x) para todo x.

Substituindo na Eq. (01) acima, vem:E = 2.sen50º - 4(1/2[cos40º - cos60º])E = 2.sen50º - 2.cos40º + 1 (Obs: cos60º = 1/2)E = 2(sen50º - cos40º) + 1

Como 50º e 40º são ângulos complementares, vem que sen50º = cos40º



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Daí vem, finalmente:E = 2.0 + 1Portanto, E = 1. E = 8.sen10º.cos20º.sen50º = 1E = 1

Dois problemas de Trigonometria

Dada a função f : R R, definida por f(x) = 2sen2x – cos2x, assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para cada afirmação a seguir:1 - f é uma função par2 - f é uma função ímpar3 - o período de f é rad4 - f não é par e não é periódica5 - f( ) = 1

Resposta: FFVFF

Solução:

1. f é uma função par (valor lógico F)Sabemos que uma função y = f(x) é PAR, quando f(-x) = f(x), para todo x pertencente ao seu domínio.Teremos, substituindo x por –x na lei que define a função:f(-x) = 2sen(-2x) – cos(-2x) Da teoria, sabemos que a função seno é ímpar e que a função cosseno é par. Logo: f(-x) = -2sen2x – cos2x = - (2sen2x +cos2x)Portanto, f(-x) f(x); a função f não é par .

2. f é uma função ímpar (valor lógico F)Uma função y = f(x) é ÍMPAR, quando f(-x) = - f(x), para todo x pertencente ao seu domínio. Do item anterior, sabemos que f(-x) = - 2sen2x – cos2xComo f(x) = 2sen2x – cos2x, vem que – f(x) = -2sen2x + cos2xLogo, f(-x) - f(x); a função, então, não é ímpar.

3. O período de f é rad (valor lógico V)Temos f(x) = 2sen2x – cos2x .Uma função y = f(x) é periódica de período T, quando f(x + T) = f(x) , para todo x pertencente ao seu domínio. Logo, para verificar se a função f tem período , basta calcular f(x+ ) e, comparar com f(x).Temos: f(x + ) = 2sen2(x+ ) – cos2(x + ) = 2sen(2x + 2 ) – cos(2x + 2 ) =2sen2x – cos2x , que é exatamente igual a f(x). Logo, a função é periódica de período rad.Nota: as funções seno e cosseno são periódicas de período 2 rad, ou



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seja:sen(a + 2 ) = sena e cos(a + 2 ) = cosa

4. f não é par e não é periódica (valor lógico F)Dos itens 01 e 03, concluímos que a afirmação 4 é falsa, pois trata-se de uma conjunção onde uma proposição é verdadeira (f não é par) e a outra também é falsa (f não é periódica; acabamos de ver, que f tem período rad). Sempre é bom rever: veja os arquivos de Lógica Matemática nesta página!.

5. f( ) = 1 (valor lógico F)Temos f(x) = 2sen2x – cos2xLogo, f( ) = 2sen2 - cos2 = 2.0 – 1 = -1Portanto, a afirmação 5 é falsa.

Determine o período e o valor máximo da função y = 2sen2x – cos2x.

Solução:

Para a determinação do período de uma função do tipo y = psenx + qcosx, é sempre conveniente construir um triângulo retângulo.

Acompanhe com atenção:Construa um triângulo de lados 1 e 2. Claro que a hipotenusa vale 5, pelo teorema de Pitágoras. Seja o ângulo oposto ao lado de medida 1. Podemos escrever: (Pegue agora uma folha de papel em branco e faça a figura); você desejaria a figura pronta, não é? Mas, é muito importante que você a construa, para acompanhar a solução. Acho que é melhor assim, para um perfeito entendimento. Daí, poderemos escrever:sen = 1/ 5 (cateto oposto dividido pela hipotenusa}cos = 2/ 5 (cateto adjacente dividido pela hipotenusa)Das expressões acima, vem que:1 = sen . 52 = cos . 5Ora, f(x) = 2sen2x – cos2x = 2.sen2x – 1.cos2xSubstituindo os valores acima, vem:f(x) = cos . 5.sen2x - sen . 5.cos2x = 5(cos .sen2x - senq .cos2x)Observando cuidadosamente a expressão acima, perceberemos que o segundo fator da multiplicação (em azul) é exatamente o seno da diferença de dois arcos. Vem então:f(x) = 5[sen(2x - )]Como o período da função y = a . sen(bx c) é igual a T = 2 /b, vem que:T = 2 /2 = rad.



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Para calcular o valor máximo da função, sabendo que f(x) = 5[sen(2x + )], fica muito fácil. Como o valor máximo da função seno é igual a 1, vem finalmente que:f(x)max = 5 . 1 = 5

Respostas: período = radvalor máximo = 5

Três exercícios de Trigonometria

1 – Dada a função:

f(x) = sen6x + cos6x – 2sen4x – cos4x + sen2x,

pede-se calcular o valor de

.

Solução:

Vamos inicialmente, simplificar a expressão que define a função dada. Temos:f(x) = sen6x + cos6x – 2sen4 x – cos4 x + sen2x

Arrumando convenientemente, vem:f(x) = sen6x – 2sen4x + sen2x + cos6x – cos4x

Fatorando a expressão convenientemente em relação a senx e cosx, vem:f(x) = sen2x (sen4x – 2sen2x + 1) + cos4x(cos2x – 1)

Observe que: sen4x – 2sen2x + 1 é igual a: (sen2x – 1)2. Nota: Lembre-se que p2 – 2pq + q2 = (p – q)2 [produto notável].

Daí, substituindo, vem: f(x) = sen2x(sen2x – 1)2 + cos4x(cos2x - 1)

Mas, sabemos da Trigonometria, que: sen2x + cos2x = 1 (Relação Fundamental)Portanto:sen2x = 1 – cos2x = - (cos2x – 1) \ cos2x – 1 = - sen2xcos2x = 1 – sen2x = - (sen2x – 1) sen2x – 1 = - cos2x



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Substituindo na expressão da função, vem:f(x) = sen2x[- cos2x]2 + cos4x (- sen2x)f(x) = sen2x . cos4x – cos4x . sen2xf(x) = sen2x.cos4x – cos4x . sen2x = sen2x.cos4x – sen2x.cos4x = zero.

Ora, f(x) é então igual a zero, independente do valor de x.

Portanto:

E, portanto, a soma indicada é nula ou seja:

Resposta: 0

2 – Calcule o triplo do quadrado do coseno de um arco cujo quadrado da tangente vale 2.

Solução:

Seja x o arco. Teremos:tg2x = 2Desejamos calcular 3.cos2x, ou seja, o triplo do quadrado do coseno do arco.Sabemos da Trigonometria que: 1 + tg2x = sec2xPortanto, substituindo, vem: 1 + 2 = sec2x = 3Como sabemos que:secx = 1/cosx , quadrando ambos os membros vem:sec2x = 1/ cos2x cos2x = 1/sec2x = 1/3 3cos2x = 3(1/3) = 1Portanto, o triplo do quadrado do coseno do arco cuja tangente vale 2, é igual à unidade.Resposta: 1

Agora resolva este:Se a . senx – cosx = 1 e b . senx + cosx = 1, calcule o produto a.bResposta: 1

Três círculos tangentes entre si

Determine o diâmetro X na figura abaixo, sabendo-se que os três círculos são tangentes entre si.



33

Solução:

Observando atentamente a figura abaixo, podemos escrever:

No triângulo isóscele ABC, teremos aplicando a lei dos cossenos: BC2 = AB2 + AC2 - 2. AB. AC. cos(BÂC)(2r)2 = (50 - r)2 + (50 - r)2 - 2.(50 - r).(50 - r) . cos 120º

Nota: cos 120º = - 1 / 2.4r2 = (50 - r)2 + (50 - r)2 + (50 - r)2 4r2 = 3(50 - r)2

4r2 / 3 = (50 - r)2

(2r / 3)2 = (50 - r)2

2r / 3 = 50 - r2r = 50 3 - 3.r2r + 3.r = 50. 3INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO.


34

r(2 + 3) = 50. 3Daí, vem:r = 50. 3 /(2 + 3)Racionalizando o denominador, vem:r = 50(2 3 - 3)O diâmetro, sendo o dobro do raio, vem, finalmente:X = 100(2 3 - 3)

Portanto, o diâmetro procurado é igual a X = 100(2 3 - 3) mm, que corresponde a aproximadamente 46,41 mm.

Uma soma de senos

UFPE 1996 - Determine a menor solução real da equação:

Solução:

Lembrando da fórmula de transformação de soma em produto vista em Trigonometria, vem:

sen p + sen q = 2.sen [(p + q)/2] . cos [(p - q) / 2]

Fazendo p = x / 423 e q = 2x / 423 e substituindo na fórmula acima, obteremos:

sen(x / 423) + sen(2x / 423) = 2.sen[3x / 423)/2].cos[(x / 423)/2]

Voltando à expressão dada, substituindo fica:

2.sen(3x / 846).cos(x / 846) = cos(x / 846)

Simplificando o fator comum, vem:

2.sen(3x / 846) = 1

sen(3x / 846) = 1/2 Mas, 1/2 = sen /6; logo, substituindo fica:

sen(3x / 846) = sen(/6)

Portanto, o menor valor positivo de x será obtido da igualdade 3x / 846 = / 6

Se a/b = c/d, sabemos pela propriedade fundamental das proporções que ad = bc.



35


Portanto: (3x).6 = 846.

Resolvendo em relação a x, obteremos x = 47, que é a resposta da questão.

Equações Trigonométricas I

1 – Introdução: as equações elementares

Equação trigonométrica elementar, é qualquer equação da forma sen x = sen a, cos x = cos a e tg x = tg a, onde x é um arco trigonométrico incógnita – a ser determinado – e a um arco trigonométrico qualquer.

Via de regra, qualquer equação trigonométrica não elementar, pode ser transformada numa equação elementar, através do uso das relações trigonométricas usuais.

Nota: os arcos a e a + k.2 onde k é um número inteiro, possuem as mesmas extremidades inicial e final, pois diferem entre si, por um número inteiro de voltas, ou seja:

a + k.2a = k.2

Este resultado é importante e, será utilizado para desenvolvimento do item 1.1 a seguir.

Observação: = 360º = uma volta completa.

Para a solução das equações trigonométricas elementares, vamos estabelecer as relações fundamentais a seguir:

1.1 – Arcos de mesmo seno

Já sabemos que sen (a) = sen a.

Usando o conceito contido na nota acima, sendo x um arco trigonométrico, as soluções gerais da igualdade acima serão da forma:

x = ( - a) + k.2 ou x = a + k.2.

x = + 2k. - a ou x = a + k.2

x = (2k + 1) - a ou x = 2k + a

Portanto, a solução genérica de uma equação do tiposen x = sen a, será x = (2k + 1) - a ou x = 2k + a.

Exemplo: seja a equação elementar sen x = 0,5.



36

Como 0,5 = sen 30º = sen /6, vem, utilizando o resultado geral obtido acima:sen x = sen /6, de onde conclui-se:x = (2k + 1). - /6 ou x = 2k + /6, com k inteiro, que representa a solução genérica da equação dada. Fazendo k variar no conjunto dos números inteiros, obteremos as soluções particulares da equação. Assim, por exemplo, fazendo k = 0, obteremos por mera substituição na solução genérica encontrada acima, x = - /6 ou x = /6; fazendo k = 1, obteremosx = 17/6 ou x = 13/6, e assim sucessivamente. Observe que a equação dada, possui um número infinito de soluções em R – conjunto dos números reais.

Poderemos escrever o conjunto solução da equação dada na forma geral:

S = {x| xR; x =(2k + 1) - /6 ou x = 2k + /6, k Z}

Poderemos também listar os elementos do conjunto solução:

S = { ..., - /6, /6, 17/6, 13/6, ... }

1.2 – Arcos de mesmo cosseno

Já sabemos que cos (-a) = cos a. Analogamente ao item 1.1 acima, poderemos escrever para as soluções gerais da igualdade acima:

x = (-a) + 2k ou x = a + 2k, sendo k um número inteiro.

Portanto, a solução genérica de uma equação do tipocos x = cos a, será dada por:x = 2k + a ou x = 2k - a, sendo k um inteiro.

1.3 – Arcos de mesma tangente

Já sabemos que tg( + a)= tg a.Analogamente ao item 1.1 acima, poderemos escrever para as soluções gerais da igualdade acima:x = ( + a) + 2k ou x = a + 2kArrumando convenientemente, podemos escrever:x = (2k + 1) + a ou x = 2k + a, sendo k um número inteiro.

Observando que 2k é um número par e 2k + 1 é um número ímpar, para k inteiro,percebemos que poderemos reunir as duas expressões acima numa única: x = k + a.

Portanto, a solução genérica de uma equação do tipotg x = tg a , será dada por x = k + a .

Assim, teremos em resumo:sen x = sen a x = (2k + 1) - a ou x = 2k + a



37

cos x = cos a x = 2k + a ou x = 2k - a

tg x = tg a x = k + asendo k um número inteiro.Nota: O símbolo significa: equivale a.

O uso das igualdades acima, permite resolver qualquer equação trigonométrica elementar que possa ser apresentada.Como qualquer equação trigonométrica pode ser reduzida a uma equação elementar através de transformações trigonométricas convenientes, as igualdades acima são básicas para a resolução de qualquer equação trigonométrica. Este é um aspecto muito importante.

2 – Equações trigonométricas resolvidas

Resolva as seguintes equações trigonométricas:

a) 2cosx – 3secx = 5

Solução:

Lembrando que secx = 1/cosx, vem, por substituição:2.cosx – 3.(1/cosx) – 5 = 02.cosx – 3/cosx – 5 = 0Multiplicando ambos os membros por cosx 0, fica:2.cos2x – 3 – 5.cosx = 0Arrumando convenientemente, teremos:2.cos2x – 5.cosx – 3 = 0.

Vamos resolver a equação do segundo grau em cosx. Teremos:

Portanto, cosx = 3 ou cosx = -1/2.

A equação cosx = 3 não possui solução, já que o cosseno só pode assumir valores de –1 a +1.

Já para a equação cosx = -1/2, teremos:

cosx = -1/2 = cos120º = cos (2/3)Logo,cosx = cos(2/3)Do resultado obtido no item 1.2 acima, poderemos escrever as soluções genéricas da equação dada:



38

x = 2k + 2/3 ou x = 2k - 2p/3Estas soluções podem ser reunidas na forma:x = 2k 2/3.

Logo, o conjunto solução da equação proposta será:

S = {x | x = 2k 2/3, k inteiro}.

b) 5tg2x – 1 = 7 secxResposta: x = k ou x = k + /4.

c)3.senx - 3.cosx = 0

Solução:

Teremos: 3. senx = 3. cosxDividindo ambos os membros por cosx 0, fica:3.senx/cosx = 3.cosx/cosx = 3.3.tgx = 3tgx = 3/3 = tg30º = tg(/6)Vamos então resolver a equação elementartgx = tg(/6)Do exposto no item 1.3 acima, vem imediatamente que:

x = k + /6.

d) 3.senx – cosx = 0.Resposta: x = k + /6.

e) tgx + cotgx = 2

Solução:

Substituindo tgx e cotgx pelos seus valores expressos em função de senx e cosx, vem:senx/cosx + cosx/senx = 2

Efetuando a operação indicada no primeiro membro, vem:(sen2x + cos2x)/(senx.cosx) = 2Como sen2x + cos2x = 1, fica:1/senx.cosx = 21 = 2.senx.cosx1 = sen2xsen2x = 1 = sen90º = sen(/2).sen2x = sen(/2)Aplicando o conhecimento obtido no item 1.1, vem:

2x = (2k+1) - /2 OU 2x = 2k + /2.Dividindo ambas as expressões por 2, fica:x = (2k+1)./2 - /4 OU x = k + /4.Simplificando a primeira expressão, vem:



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x = k + /4 OU x = k + /4.Portanto, x = k + /4, que é a solução procurada.

f) tgx + cotgx = 4/3

Resposta: x = k + /3 OU x = k + /6.

g) 4(sen3x – cos3x) = 5(senx – cosx)

Solução:

Lembrando da identidade:

A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2), poderemos escrever: 4(senx – cosx)(sen2x + senx.cosx + cos2x) = 5(senx - cosx)

Como sen2x + cos2x = 1, vem, substituindo: 4(senx – cosx)(1 + senx.cosx) = 5(senx – cosx)Simplificando os termos em comum, vem:4(1 + senx.cosx) = 51 + senx.cosx = 5/4senx.cosx = 5/4 – 1 = 5/4 – 4/4 = 1/4senx.cosx = 1/4

Multiplicando ambos os membros por 2, fica: 2.senx.cosx = 2(1/4)2.senx.cosx = 1/2

Como já sabemos da Trigonometria que 2.senx.cosx = sen 2x, vem:sen2x = 1/2 = sen30º = sen(/6)sen2x = sen(/6)

Aplicando o conhecimento obtido no item 1.1 acima, fica: 2x = (2k+1) - /6 OU 2x = 2k + /6Dividindo ambas as expressões por 2, vem:x = (2k+1)./2 - /12 OU x = k + /12Simplificando a primeira expressão, fica:x = k + 5/12 OU x = k + /12, que é a solução procurada.Portanto,

S = {x | x = k + 5/12 ou x = k + /12, k inteiro}.

h) Resolva a mesma equação anterior, no conjunto universoU = [0, /2].

Resposta: S = {5/12, /12}.

Nota: basta atribuir valores inteiros a k na solução geral vista no exercício anterior e considerar apenas aqueles resultados compreendidos no intervalo dado [0,/2].



40

Existem diversos tipos de equações trigonométricas, sendo impossível aborda-las num único arquivo, motivo pelo qual, prometemos voltar ao assunto. Afirmamos entretanto, que qualquer que seja a equação trigonométrica dada, através de transformações convenientes, sempre recairemos numa equação elementar, dos tipos vistos nos itens 1.1, 1.2 e 1.3 acima.

Equações Trigonométricas II

FUVEST – O conjunto solução da equação

é:

A) {/2 + k ; k Z}

B) {/4 + k ; k Z}

C) {k ; k Z}

D) {k/2; k Z}

E) {k/4; k Z}

Solução:

Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus obteremos:

-sen2x.senx.senx + sen2x.cosx.cosx = 0

sen2x.cosx.cosx – sen2x.senx.senx = 0

Colocando sen2x em evidencia, vem:

sen2x(cosx.cosx – senx.senx) = 0

sen2x.(cos2x – sen2x) = 0

Lembrando da Trigonometria que cos2x – sen2x = cos2x, vem:

sen2x.cos2x = 0

Deveremos ter então:

sen2x = 0 OU cos2x = 0.INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO.


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http://br.geocities.com/paulomarques_math/arq12-1.htm#sarrus

Para resolver equações trigonométricas desse tipo, onde o segundo membro é nulo, poderemos raciocinar da seguinte forma:

O seno de um arco se anula para os arcos da forma k, onde k é um número inteiro, ou seja, para os arcos: 0, , 2, ...

Portanto, para que tenhamos sen2x = 0, deveremos ter 2x = k, de onde vem imediatamente que x = k/2, com k Z.

Analogamente, sabemos que o cosseno de um arco se anula para os arcos da forma k + /2, onde k é um número inteiro, ou seja, para os arcos /2, 3/2, ...

Assim, para que tenhamos cos2x = 0, deveremos ter2x = k + /2, de onde vem imediatamente quex = k/2 + /4, com k Z.

Teremos então, que as soluções procuradas serão:

x = k/2 OU x = k/2 + /4, com k Z.

Atribuindo valores inteiros a k em ambas soluções, obteremos:k = 0 x = 0 ou x = /4k = 1 x = /2 ou x = 3/4k = 2 x = ou x = 5/4........................................................

Resumidamente e ordenadamente, teremos que x assumirá os valores:

..., 0, /4, /2, , 3/4, 5/4, ...

Observe que estes arcos são da forma k/4, com k Z; portanto, a alternativa correta é a de letra E.

Uma torre sob vários ângulos

O ângulo sob o qual um observador vê uma torre, duplica quando ele se aproxima 110 metros e triplica quando se aproxima mais 50 metros. Pede-se calcular a altura da torre.

Solução:

Considere a figura abaixo, construída obedecendo os dados do problema, ou seja: o ângulo inicial x, duplica (2x) quando o observador se aproxima 110 m e triplica (3x) quando ele se aproxima mais 50 m.

Se necessário comece revisando Trigonometria.



42



<> Observe inicialmente o triângulo ABE. Como o ângulo externo <CBE mede 2x, pelo teorema do ângulo externo - TAE os ângulos não adjacentes devem somar 2x. Isto justifica o fato dos ângulos <BAE e <BEA serem congruentes e iguais a x. Então, como os ângulos da base possuem a mesma medida, o triângulo é isósceles, o que justifica o fato de que BE = AB = 110. Observe que o problema só fornece a distância AB. A distância BE foi obtida usando o raciocínio acima.

Pela mesma razão, observando o ângulo externo <DCE de medida 3x, concluímos facilmente que o ângulo <BEC deve medir x, pois 3x = 2x + x.Só relembrando: o teorema do ângulo externo – TAE - afirma que num triângulo qualquer, cada ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.

Pela simples observação do triângulo retângulo BDE, poderemos escrever:

sen 2x = DE / BE = h / 110 h = 110.sen 2x onde h é a altura procurada.

Vamos agora aplicar a lei dos senos ao triângulo BCE. Antes, observe que a medida do ângulo <BCE é igual a 180º - 3x , ou seja, o ângulo oposto ao lado BE é igual a 180º - 3x.

Aplicando a lei dos senos: 50 / sen x = 110 / sen(180 – 3x)

Lembrando que sen (180 – a) = sen a, concluímos que sen(180 – 3x) = sen3x Logo, a igualdade anterior fica: 50 / senx = 110 / sen3x o que é equivalente a: 50.sen3x = 110.senx

Já sabemos da Trigonometria que sen3x = 3senx – 4sen3x



43



Substituindo na expressão anterior, vem: 50(3senx – 4sen3x) = 110senx150senx – 200sen3x = 110senx

150senx – 110senx –200sen3x = 040senx – 200sen3x = 0

Colocando senx em evidencia:senx . (40 – 200sen2x) = 0

Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter senx = 0 ou 40 – 200sen2x = 0

senx = 0 x = 0, que não satisfaz ao problema pois o ângulo em questão é positivo e menor do que 90º. Basta visualizar a figura dada para concluir isto.

<>

Teremos então: 40 – 200sen2x = 0 40 = 200sen2x sen2x = 40 / 200 = 1 / 5.

Temos pois sen2x = 1/5

Conhecemos sen2x e desejamos conhecer sen2x para usar na igualdade

h = 110. sen2x obtida acima, que resolve a questão.

Existem vários caminhos. Vou escolher um deles, que me parece mais fácil.

Vamos calcular cos2x e, em seguida, pela Relação Fundamental da Trigonometria, obter sen2x.

Sabemos que cos2x = 1 – 2sen2x

Substituindo o valor conhecido de sen2x vem:

cos2x = 1 – 2(1/5) = 1 – 2/5 = 5/5 – 2/5 = 3/5

Ora, cos22x + sen22x = 1 (relação fundamental da Trigonometria)Portanto, substituindo o valor conhecido de cos2x vem:



44



(3/5)2 + sen22x = 1 e portanto, sen22x = 1 – 9/25 = 25/25 – 9/25 = 16/25

de onde tiramos imediatamente que sen2x = ± 4/5.

Observe que sendo o ângulo x menor do que 90º somente o valor positivo interessa. Logo, sen2x = 4/5 e a altura h procurada será então, como vimos acima, igual a h = 110.sen2x = 110.(4/5) = 440/5 = 88

Portanto, a altura da torre é igual a 88 metros.

Agora resolva este:

No problema anterior, qual a distância do observador ao pé da torre no momento em que o ângulo de visão é o triplo do ângulo inicial, ou seja, qual a medida de CD = y ?

Dica:

Observe na figura que (110 + 50 + y).tg x = h.Basta calcular tg x, pois h já é conhecido do problema resolvido acima (h = 88 m).Resposta: 16 metros.

Tang@ - Sen@ = 1/12

Resolva a equação trigonométrica tg x – sen x = 1/12 em U = [0, 360º] .

Nota: o título acima, Tang@ - Sen@ = 1/12 (bastante sugestivo), constou de um e-mail que foi-me enviado por um visitante da página, o qual solicitou a solução e se identificou apenas como um vestibulando. Na verdade, o que se quer é resolver a equação: tangente do arco x menos o seno do arco x , igual a 1/12.

Solução:

Esta equação aparentemente bem simples, tem uma solução muito trabalhosa.Sabemos da Trigonometria que:



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Nota 1: A solução que veremos a seguir é muito trabalhosa, mas, se você acompanhar o raciocínio desenvolvido, uma coisa é certa: você não vai adoecer por isto.

Nota 2: Esta questão foi enviada através e-mail, por um visitante da página que se identificou apenas como um vestibulando. Eta vestibulando danado de sabido!Brincadeiras à parte, continuemos.

Fazendo tg(x/2) = y e substituindo na equação original o seno e a tangente em função da tangente do arco metade (veja as fórmulas acima), vem:

Vamos resolver a equação acima, lembrando que o MMC (mínimo múltiplo comum) dos denominadores é igual ao produto12(1 – y2)(1 + y2)

Então, para y2 1, podemos suprimir os denominadores iguais, ficando:

12.(1 + y2).(2y) – 12.(1 – y2).(2y) = (1 – y2)(1 + y2)24y.(1 + y2) – 24y.(1 – y2) = (1 – y2)(1 + y2)

Colocando 24y em evidencia, fica:24y[(1 + y2) – (1 – y2)] = (1 – y2)(1 + y2)

24y.(1 + y2 – 1 + y2) = (1 – y2)(1 + y2)Desenvolvendo e simplificando ambos os membros, resulta:48.y3 = 1 – y4

Nota: (1 – y2)(1 + y2) = 12 – (y2)2 = 1 – y4

Logo,48y3 =1 – y4

Igualando a zero, teremos:y4 + 48y3 – 1 = 0



46

Esta equação possui 4 raízes reais ou complexas.

Não existe uma fórmula geral para resolver a equação acima.Observe que nesta equação y4 + 48y3 – 1 = 0, se fizermos P(y) = y4 + 48y3 – 1, verificamos que P(0) = 04 + 48.03 – 1 = -1 < 0 e P(1) = 14 + 48.13 – 1 = 48 > 0.

Como P( 0 ) < 0 e P(1) > 0 , é óbvio que P(x) se anula no intervalo (0, 1), pois o valor da função P(x) mudou desinal (de menos (-) para mais (+)) quando x variou de 0 a 1.Portanto, uma ou mais raízes da equação estarão no intervalo (0, 1).Para achar uma solução aproximada sem recorrer a métodos iterativos que fogem ao nível do curso médio, vamos raciocinar da seguinte forma:

Seja P(y) = y4 + 48y3 – 1.Já sabemos que P(y) se anula no intervalo (0,1), portanto existe uma raiz entre 0 e 1.Vamos dividir o intervalo (0,1) de 0,10 em 0,10, por exemplo e calcular os seus valores.

y P(y) == y4 + 48 y3 – 1

0,00 -1,0000

0,10 -0,9519

0,20 -0,6144

0,30 +0,3041

0,40 +2,0976

0,50 +5,0625

0,60 ...

0.70 ...

0,80 ...

0,90 ...

1,00 +48,0000



47

Observe que de y = 0,20 para y = 0,30 na tabela acima, P(y) mudou de sinal, o que quer dizer que pelo menos uma raiz estará entre estes valores, pois P(y) ao passar de (-) para (+), ela passará necessariamente pelo zero, ou seja, se anula.

Antes sabíamos que existia pelo menos uma raiz entre 0 e 1. Agora já restringimos mais o intervalo e sabemos agora que deve existir pelo menos uma raiz real entre 0,20 e 0,30. Vamos repetir o processo acima, dividindo o intervalo 0,20 a 0,30 de 0,02 em 0,02 por exemplo e calcular os valores de P(y).

y P(y) = y4 + 48y3 – 1

0,20 -0,6144

0,22 -0,4865

0,24 -0,3331

0,26 -0,1518

0,28 +0,0598

0,30 +0,3041

Observe que de 0,26 para 0,28 houve uma nova mudança de sinal, indicando que a raiz está entre 0,26 e 0,28. Repetindo-se o processo, vem:

y P(y) = y4 + 48y3 – 1

0,26 -0,1518

0,27 -0,0499

0,28 +0,0598

Observe que de y = 0,27 para y = 0,28 o valor de P(y) mudou de sinal ( de menos (-) para mais (+)). Portanto, a raiz deve estar entre 0,27 e 0,28, ou seja 0,27 < y < 0,28.

Poderíamos repetir o processo, agora dividindo o intervalo 0,27 a 0,28 de 0,001 em 0,001 e assim sucessivamente.



48

Encontrei o valor aproximado y 0,2747Nota: para efetuar os cálculos das tabelas acima, utilizei uma calculadora científica.A calculadora do windows serve.

Ora, como a equação y4 + 48y3 – 1 = 0 é do quarto grau, pela teoria das equações algébricas sabemos que ela possui 4 raízes reais ou complexas. Já achamos uma delas de valor aproximado 0,2747 (ou 0,2747001 com 7 decimais)Abaixo, indicamos um programa freeware que resolve equações polinomiais, também conhecidas como equações algébricas. Se você calcular os valores de P(y) = y4 + 48y3 – 1 para y = -48 e para y = -49, irá perceber que neste intervalo P(y) muda de sinal, ou seja:P(-48) = (-48)4 + 48(-48)3 – 1 = 484 – 484 – 1 = - 1 < 0P(-49) = (-49)4 + 48(-49)3 – 1 = 494 – 493.48 – 1 = 493(49 – 48) – 1 = 117648 > 0Então, deve existir outra raiz real no intervalo (-49, -48).Utilizando o mesmo método visto anteriormente, encontraremos o valor aproximado–48,0000092 para a segunda raiz real de P(y) = 0.

Existe um programa freeware – tamanho 114 KB – Polynomial Teacher – que resolve equações polinomiais ou equações algébricas. Utilizando esse programa, obtive as seguintes raízes da equação y4 + 48y3 – 1 = 0:

Raízes reais: y1 = 0,245 e y2 = - 48,000Raízes complexas: y3 = -0,137 + 0,239i e y4 = -0,137 – 0,239iObserve que os resultados possuem apenas 3 casas decimais.Aliás, o autor do software – Bob Terrell - adverte na tela de entrada do software que "Numerical accuracy is not garanteed" ou seja, "precisão numérica não é garantida" . Apesar disto, este freeware é uma "mão na roda" para achar as raízes aproximadas das equações algébricas também conhecidas como equações polinomiais.

As raízes reais – as que nos interessam no presente caso - são então:

y = 0, 2747001 ou y = - 48,0000092

Como no início do problema fizemos a mudança de variável tg (x/2) = y, vem, substituindo:

tg(x / 2) = 0,2747001 ou tg(x/2) = - 48,0000092Temos que resolver estas duas equações trigonométricas que são do tipo tg a = tg b.Já sabemos que : tg a = tg b a – b = k.180º onde k é um inteiro.

Usando uma tabela trigonométrica ou uma calculadora, encontramos:tg (x/2) = 0,2747001 = tg 15,3602º ou tg (x/2) = - 48,0000092 = tg (-88,8065º)

Resolvendo a primeira equação: tg (x/2) = tg 15,3602ºEntão, como vimos acima, poderemos escrever: (x/2) – 15,3602º = k.180º onde k é um inteiro.Logo, x/2 = 15,3602 + k.180ºTirando o valor de x, fica:



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x = 2(15,3602º) + 2.k.180ºx = 30,7204º + k.360º, sendo k um número inteiro.

Resolvendo a segunda equação: tg(x/2) = tg(-88,8065º)Então, como vimos acima, poderemos escrever:(x/2) – (-88,8065º) = k.180ºx/2 = k.180º - 88,8065ºLogo, x = 2.k.180º - 2.88,8065ºx = k.360º - 177,6130º , sendo k um número inteiro.

Portanto, em R – conjunto dos números reais – o conjunto solução da equação dadatg x – sen x = 1/12 é igual a:S = {x; x = 30,7204º + k.360º ou x = k.360º - 177,6130º , k Z}Notas:a) Z = conjunto dos números inteiros.b) atribuindo-se valores inteiros a k, obteremos as raízes da equação trigonométrica dada.c) é claro que em R – conjunto dos números reais – o conjunto solução da equação dada possui um número infinito de elementos.

Observe entretanto, que no enunciado da questão foi solicitado determinar as soluções no intervalo [0,360º]. Deveremos pois, atribuir valores convenientes a k, para encontrar as soluções que pertencem ao intervalo dado.

Teremos então:

Na primeira solução geral: x = 30,7204º + k.360ºk = 0 x = 30,7204º + 0.360º = 30,7204ºObserve que para k = 1, obteremos uma raiz fora do intervalo dado, ou seja, 390,7204º.

Na segunda equação geral: x = k.360º - 177,6130ºk = 1 x = 1.360º - 177,6130º = 182,3870ºObserve que para k = 0, obteremos uma raiz fora do intervalo dado, ou seja, -177,6130º

Portanto, o conjunto solução da equação dada no intervalo [0,360º] é igual a:S = {30,7204º ; 182,3870º}

Um triângulo na FTC de Feira de Santana

Nota: FTC – Faculdade de Tecnologia e Ciências de Feira de Santana – Vestibular 2004.1

Num triângulo ABC, isósceles, de base BC = 6 cm, o ângulo A mede 120º . Se M é o ponto médio de AC, e N, um ponto de BC, tal que BN = (1/3).BC, então MN mede, em cm,a) 7INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO.


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b) 13c) 31d) (19+ 4 3)e) (19 - 4 3)

Solução:

Veja a figura acimaComo é dito que o triângulo é isósceles, os ângulos da base possuem a mesma medida ou seja, são congruentes e, portanto, B = C. Pela lei angular de Tales, a soma dos ângulos internos do triângulo vale 180º. Portanto, A + B + C = 180º. Como B = C, vem:120 + B + B = 180 de onde conclui-se que B = C = 30º .

Como foi dito que BN = (1/3).BC e BC = 6, vem que BN = (1/3).6 = 2 e portanto,NC = BC – BN = 6 – 2 = 4.

Como foi dito que M é o ponto médio de AC, podemos dizer que AM = MC = x. Logo,AC = AM + MC = x + x = 2x

Observe que sendo o triângulo ABC isósceles, conforme dito no enunciado, os lados AB e AC possuem a mesma medida e, portanto, AB = 2x.

Posto isto, aplicando o Teorema dos Cosenos – TC nos triângulos MNC e ABC, vem:

MNC: MN2 = MC2 + NC2 – 2.MC.NC.cos30ºMN2 = x2 + 42 – 2.x.4. 3 / 2, já que cos 30º = 3 / 2.Daí, vem: MN2 = x2 + 16 – 4 3 x

ABC: AB2 = AC2 + BC2 – 2.AC.BC.cos 30ºComo AB = AC = 2x e BC = 6 (dado do problema), vem imediatamente que:(2x)2 = (2x)2 + 62 – 2.(2x).6. 3 / 2.4x2 = 4x2 + 36 – 12 3 x 4x2 – 4x2 – 36 + 12 3 x = 0 12 3 x = 36Então: x = 36/(12 3) = 3 / 3 = (3. 3) / ( 3).( 3) = 3

Como vimos acima que MN2 = x2 + 16 – 4 3 x, vem finalmente, substituindo o valor de x:MN2 = ( 3)2 + 16 – 4 3( 3)MN2 = 3 + 16 – 4.3 = 19 – 12 = 7 MN2 = 7 MN = 7

Portanto, a alternativa correta é a de letra A.INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO.


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Agora resolva este:

Qual a área do quadrilátero ABMN do problema anterior?Resposta: 2 3 cm2

DICA: observe que a área do quadrilátero ABMN será igual à área do triângulo ABC menos a área do triângulo MNC e que a área de um triângulo é igual a metade dos produtos de dois dos seus lados pelo seno do ângulo que eles formam entre si.

Trigonometricamente falando

Observando os dados da figura abaixo, podemos afirmar que o valor de4cos2 - 3 é igual a :

a) 2 b) 6 c) 8 d) 4 e) 1

Solução:

Inicialmente lendo a figura acima:

1) os pontos A, B e C são colineares, ou seja, estão alinhados, o que equivale a dizer que pertencem à mesma reta.

2) as retas r e s são perpendiculares, ou seja, formam entre si um ângulo reto = 90º.

Vamos à solução:

No triângulo retângulo BOC acima, é factível escrever:

cos = OC / BC (igualdade I)



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Justificativa: o cosseno do ângulo é igual ao quociente do cateto adjacente (na figura acima, OC) pela hipotenusa (na figura acima, BC).

Aplicando a lei dos senos ao triângulo AOC, podemos escrever:

AO / sen = OC / sen 30º (igualdade II)

Da igualdade I, vem que OC = BC . cos (igualdade III)

Da igualdade II, vem que AO. sen30º = OC . sen (igualdade IV)

Lembrete: se A/B = C/D então A.D = B.C , para A, B, C e D não nulos. Lembram-se quando o seu professor do 1º grau sempre repetia: numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos? Pois, é isto aí!

Substituindo o valor de OC (da igualdade III), na igualdade IV, fica:

AO.sen30º = (BC.cos).sen

Como foi dito no enunciado que BC = 2.AO vem, substituindo:

AO.sen30º = (2.AO).cos.senSimplificando o termo comum AO, fica:sen30º = 2.cos.sen

Ora, 2.cos.sen = sen2 (seno do arco duplo) e, portanto:sen30º=sen2

Como no triângulo AOC o ângulo <AOC é maior do que 90º, podemos concluir que 30º + é um ângulo menor do que 90ºe , portanto, é um ângulo agudo. Isto decorre da lei angular de Tales: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.(Tales de Mileto – matemático grego – 624 a. C. - 548 a. C.).

Portanto, podemos concluir que 30º = 2 de onde vem = 15º.

Nota: o comentário acima justifica-se porque na verdade a equação



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sen30º = sen2 possui infinitas soluções em R (conjunto dos números reais).

Mas como 30º e são ângulos agudos (menores do que 90º), a conclusão de que2 = 30º, é correta.

Logo, cos = cos15º

O problema pede para calcular o valor de 4cos2 - 3 , ou seja, como = 15º, na verdade teremos que calcular 4cos215º - 3.

Teremos que calcular antes, o valor de cos15º.

Ora, cos15º = cos (60º - 45º) pois 60 – 45 =15.

Usando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos, vem:

cos15º = cos(60º-45º) = cos60º.cos45º + sen60º.sen45º

Como já sabemos que:

cos60º = 1/2cos45º = sen45º = 2/2sen60º = 3/2

Nota: os valores do seno e cosseno dos arcos ditos notáveis (30, 45 e 60º), vocês devem conhecer de memória, pois nas provas de vestibulares, os examinadores admitem que você os conhece e não informarão, salvo raríssimas exceções.

Logo,cos15º = (1/2).(2/2) + (3/2).(2/2)Efetuando as operações indicadas, fica:cos15º = (6 + 2) / 4

Daí vem: 4.cos15º = 6 + 2

Elevando ambos os membros ao quadrado, fica:

16.cos215º = 6 + 2 + 212Nota: lembre-se que (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Então:

16.cos215º = 8 + 212 = 2(4 + 12)INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC – HÁ 15 ANOS FAZENDO EDUCAÇÃO NESTE CHÃO.


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16.cos215º = 2(4 + 12)Ora, 12 = (12)1/2 = (4.3)1/2 = 41/2.31/2 = 4 . 3 = 23Portanto, 16. cos215º = 2(4 + 23)Dividindo ambos os membros por 2:8.cos215º = 4 + 23Colocando 2 em evidencia no segundo membro da igualdade acima:8.cos215º = 2(2 + 3)Dividindo ambos os membros por 2:4.cos215º = 2 + 3Então, finalmente, passando 3 para o primeiro membro:4cos215º - 3 = 2, o que nos leva, tranqüilamente à alternativa A.

Agora resolva este:

Qual o valor do ângulo <AOC na figura do problema resolvido acima, em radianos?Resposta: 3/4 radianosNota: lembre-se que 180º = radianos.

Exercícios Resolvidos XIX - TrigonometriaDois arcos são côngruos se a diferença entre as suas medidas for um múltiplo de 360º. Nestas condições, os arcos 20º e 740º são côngruos, pois , 740º - 20º = 720º que é múltiplo de 360º. Considere os arcos trigonométricos A e B, de medidas (3m - 10).180º e (2m + 2).180º. Sendo m um número inteiro maior do que 30 e menor do que 50, pede-se determinar quantos valores de m que tornam côngruos os arcos A e B.

Seguindo a definição de arcos côngruos, podemos escrever:(3m - 10).180º - (2m + 2).180º = k.360º, onde k é um número inteiro.Colocando 180º em evidencia, vem:(3m - 10 - 2m - 2).180º = k.360ºDividindo ambos os membros por 180º, vem:m - 12 = k.2m = 2k + 12Como m está situado entre 30 e 50, vem:30 2k + 12 5030 -12 2k + 12 - 12 50 - 1218 2k 48Dividindo por 2, fica:9 k 24Logo, k = 10, 11, 12, ... , 23.Portanto, existem 14 valores possíveis para k e, por conseqüência, já que m = 2k + 12, existem também 14 valores possíveis para m.

DICA: a quantidade de números inteiros existentes de m a n, onde m e n são inteiros, com m n, é dada por n - m + 1.Por exemplo: de 102 a 305, existem quantos números? A resposta é 305 - 102 + 1, que é igual a 204.Quantos números existem entre -23 e 58?Teremos 58 - (-23) + 1 = 82 números de -23 a 58. Como foi perguntado a quantidade de números entre -23 e 58, temos que excluir esses dois, resultando como resposta, 80.



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Claro que vocês perceberam que a dica acima, está relacionada diretamente ao assunto Progressão Aritmética (para retornar clique em "VOLTAR" no seu browser). No caso, a PA - Progressão Aritmética , tem razão igual a 1.

Quantos são os arcos côngruos a 420º compreendidos entre os arcos trigonométricos de medidas 1000º e 6400º?

Todos os arcos côngruos a 420º possuem a forma geral:420º + k.360º, onde k é um número inteiro.Portanto, podemos escrever:1000º 420º + k.360º 6400º1000º - 420º 420º + k.360º - 420º 6400º - 420º580º k.360º 5980ºDividindo tudo por 360º, vem:1,6111... k 16,6111...Portanto, os valores possíveis para k, são: k = 2, 3, 4, ... , 15, 16.

Logo, usando a DICA vista acima, concluímos que existem 16 - 2 + 1 = 15 valores possíveis para k. Logo, como a cada valor de k, corresponde um arco, concluímos que existem 15 arcos côngruos, que satisfazem ao problema dado.

Para que valor de m a expressão y = (m - 1)(sen4x - cos4x) + 2cos2x + m.cosx - 2.cosx + 1 é independente de x?

Podemos escrever:y = (m - 1)[(sen2x - cos2x)(sen2x + cos2x)] + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1Como sen2x + cos2x = 1, substituindo, fica:y = (m - 1)(sen2x - cos2x) + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1y = msen2x - mcos2x - sen2x + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1Escrevendo tudo em função de cosx, lembrando que sen2x = 1 - cos2x, vem:y = m(1 - cos2x) - mcos2x - (1 - cos2x) + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1y = m - mcos2x - mcos2x - 1 + cos2x + cos2x + 2cos2x + mcosx - 2cosx + 1Simplificando os termos semelhantes, fica:y = m + (4 - 2m)cos2x + (m - 2)cosxPara que a expressão acima seja independente de x, deveremos ter necessariamente 4 - 2m = 0 e m - 2 = 0 m = 2, que é a resposta procurada.

Determine os valores possíveis para m, de modo que a equação sen3x.cosx - senx.cos3x = - m/4 , possua solução.

Colocndosenx.cosxemevidenci,vem:senx.cosx(senxcosx)=m/4Oserveuesenxcosx=(cosxsenx)=cosxAlémdisto,senx.cosx=(1/).senx,jáuesenx=senxcosxSustituindo,vem:(1/).senx.(cosx)=m/4Multilicndomososmemrosor(4),vem:senxcosx=mOr,sesenAcosA=senA,entãosenxcosx=sen4xí,vem:sen4x=mOr,osenosomenteodevrirde1+1.Logo,1m1,ueéresostrocurd.

Qual o período e qual o conjunto imagem da função y = cos(4x)sen(6x) + sen(4x)cos(6x) ?

Comosen(+)=sencos+sencos,vemimeditmente,ue:y=sen(4x+6x)=sen10xPortnto:



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ConjuntoImgem:Im=[1,1]Período:T=/10=/5rdinos.ReviseTrigonometriAQUI.Prretornr,CLIQUEemVOLTARnoseurowser.

Simplifique a expressão E = 8sen10ºcos20ºsen50º

Semosue:sen(+)=sencos+sencossen()=sencossencosSomndomemromemro,vem:sen(+)+sen()=sencosí,vem:sen.cos=1/[sen(+)+sen()]Portnto:sen10º.cos0º=1/[sen(10º+0º)+sen(10º0º)]sen10º.cos0º=1/[sen30º+sen(10º)]sen10º.cos0º=1/[1/sen10º]Os:sen(10º)=sen10ºSustituindonexressãodd,vem:E=8.{1/[1/sen10º]}.sen50ºE=8.[1/4(sen10º)/].sen50ºE=[4.sen10º].sen50ºE=.sen50º4.sen10º.sen50º(e.1)Ms,sen.sen=1/[cos()cos(+)]Logo:sen10º.sen50º=1/[cos(10º50º)cos(10º+50º)]sen10º.sen50º=1/[cos40ºcos60º]Os:cos(40º)=cos40º,oisfunçãocosenoérousejf(x)=f(x)rtodox.Sustituindon(e.1)cim,vem:E=.sen50º4(1/[cos40ºcos60º])E=.sen50º.cos40º+1(Os:cos60º=1/)E=(sen50ºcos40º)+1Como50ºe40ºsãoânguloscomlementres,vemuesen50º=cos40ºívem,finlmente:E=.0+1Portnto,E=8.sen10º.cos0º.sen50º=1

Dada a função f(x) = sen6x + cos6x - 2sen4x - cos4x + sen2x, pede-se calcular f( /10).

Vmosinicilmente,simlificrexressãouedefinefunçãodd.Temos:f(x)=sen6x+cos6xsen4xcos4x+senxArrumndoconvenientemente,vem:f(x)=sen6xsen4x+senx+cos6xcos4xFtorndoexressãoconvenientementeemrelçãosenxecosx,vem:f(x)=senx(sen4xsenx+1)+cos4x(cosx1)Oserveue:sen4xsenx+1éigul:(senx1).Lemreseue+=().Portnto,sen4xsenx+1=(senx1).í,sustituindo,vem:f(x)=senx(senx1)+cos4x(cosx1)Ms,semosdTrigonometri,ue:senx+cosx=1(RelçãoFundmentldTrigonometri)Portnto:senx=1cosx=(cosx1)cosx1=senxcosx=1senx=(senx1)senx1=cosxSustituindonexressãodfunção,vem:f(x)=senx[cosx]+cos4x(senx)f(x)=senx.cos4xcos4x.senxf(x)=senx.cos4xcos4x.senx=seenx.cos4xsenx.cos4x=zeroo.Or,f(x)éentãoigulzero,indeendentedovlordex.Portntof(/10)=0.

Se asenx - cosx = 1 e bsenx + cosx = 1, com a e b reais, pede-se calcular o valor do produto ab,



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sabendo-se que x é um arco não nulo.

Teremos:senx=1+cosxsenx=1cosxMultilicndomemromemro,vem:senx=(1+cosx)(1cosx)senx=1cosx=1cosxMs.1cosx=senxLogo,.senx=senxe,comoxéumrconãonulo,eortntosenx0,dividindomososmemrosorsenx,vemimeditmenteue=1.

Seja x um arco trigonométrico tal que sen2x + sen6x - 2 sen4x = 0, pede-se determinar o valor da expressão Y = 10sen4x + 8cos2x.

Semosue:sen+sen=.sen[(+)/].cos[()/]ReviseTrigonometriAQUI.Prretornr,CLIQUEemVOLTARnoseurowser.Portnto,senx+sen6x=sen6x+senx=.sen4x.cosxSustituindo,fic:sen4x.cosxsen4x=0Colocndosen4xemevidenci,vem:sen4x(cosx1)=0Portnto,sen4x=0oucosx1=0í,sen4x=0oucosx=1/Portnto,Y=10.0+8(1/)=0+4=4.

O seno de um ângulo agudo de medida x, é o dobro do seno de um outro ângulo y. Nestas condições, pede-se determinar entre que limites está compreendido o ângulo y.

Temos: senx = 2senyLogo, como o seno de um ângulo agudo (ângulo entre 0 e 90º) situa-se necessariamente no intervalo real de 0 a 1, vem:0 2seny 1Então, dividindo tudo por 2, vem:0 seny 1 /2Mas, 1 /2 = sen30º e 0 = sen0º.Logo,sen0º seny sen30ºConclui-se pois, que 0º y 30º, ou seja, y está situado no intervalo [0º, 30º].



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