TRIGONOMETRIAEL CIRCULO

DEFINICION: llamase círculo a una figura plana limitada por una curva cerrada cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro.

PARTES DEL CÍRCULO: El radio: es toda recta que va del centro a la

circunferencia. Diámetro: es toda recta que pasa por el

centro y termina en puntos opuestos de la circunferencia.

Angulo central: con respecto a un círculo cualquiera, ángulo central es todo ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo.

TEOREMA: En un mismo círculo o en círculos iguales,

ángulos centrales iguales interceptan ángulos iguales; y el mayor de dos ángulos desiguales intercepta mayor ángulo.

PROPOSICION 1

DEMOSTRACION:1° colóquese el circulo 0 sobre el 0´ de suerte que el ∡A0B coincida con su igual A’0’B’. Si se trata de dos ángulos de un mismo circulo, hágase girar el ∡A0B hasta que coincida con su igual.

Puesto que los radios son iguales, el punto A caerá sobre A’ y el B sobre el B’.

DEMOSTRAR: 1° que arco AB =arco A’B’2° que arco AC > arco A’B’

TEOREMA: En un mismo círculo o en círculos iguales, arcos

iguales subtienden ángulos centrales iguales; y el mayor de dos arcos desiguales subtiende mayor ángulo central que el menor.

Teorema de las reciprocas: si dadas cuatro cantidades a b, x, y, se tiene:

a > b cuando x > y a = b cuando x = y a < b cuando x < y Cuerda: llámese cuerda toda recta que uno los

extremos de una recta.

PROPOSICION 2

DEMOSTRACION: 1° colóquese el circulo 0 sobre 0’ de suerte

que coincida con 0’A’, y el arco AB con A’B’ ∡AOB =∡A’0’B’ 2° puesto que el arco AC es mayor que el

A’B’, es mayor que AB(=A’B’), y OB se halla dentro del ángulo A0C

∡A0C > ∡A0B ∡AOC > ∡A’0’B’

DEMOSTRAR:1° que ∡A0B = ∡A’0’B’2° que ∡AOC = ∡A’0’B’

TEOREMA: En un mismo círculo o en círculos iguales, arcos

iguales son subtendidos por cuerdas iguales, y el mayor de dos arcos desiguales es subtendido por mayor cuerda.

COROLARIO: en un mismo circulo o en círculos iguales, el mayor de dos arcos mayores es subtendido por menor cuerda que el menor.

PROPOSICION 3

DEMOSTRACION: 1° trácense 0A, 0B, 0F en el circulo 0 Y 0’A’,0’B’

en el 0’ 0A = 0’A’ Y 0B = 0’B’ ∡A0B = ∡A’0’B’ 2°en los triangulos OAF, 0’A’B’ 0A = 0’A’ , 0F = 0’B’

∡AOF > ∡A’0’B’ cuerda AF > cuerda A’B’

DEMOSTRAR:1° que arco AB = arco A’B’2° que arco AF > arco A’B’

TEOREMA: En un mismo círculo o en círculos iguales,

cuerdas iguales subtienden arcos iguales, y la mayor de dos cuerdas desiguales subtiende el mayor arco.

COROLARIO: en un mismo circulo o en círculos iguales, el mayor de dos cuerdas desiguales subtiende menor arco mayor que el menor.

PROPOSICION 4

DEMOSTRACION: 1° trácense 0A, 0B, 0F, 0’A’, 0’B’ 0A = 0’A’ - OB = 0’B’ 2° se tiene 0A = 0’A’ - 0B = 0’B’ Ahora bien, cuerda AF > cuerda A’B’ ∡A0F > ∡A’0’B’ arco AF > arco A’B’

DEMOSTRAR:1° que cuerda AB = cuerda A’B’2° que cuerda AF > cuerda A’B’

TEOREMA: La perpendicular

trazada por el centro de un círculo a una cuerda bisecta la cuerda y los arcos subtendidos.

COROLARIO 1: todo diámetro bisecta la circunferencia.

COROLARIO 2: toda recta que pasa por el centro y bisecta una cuerda es perpendicular a esa cuerda.

COROLARIO 3: la perpendicular bisectriz de una cuerda pasa por el centro del círculo y bisecta los arcos que la cuerda subtiende.

PROPOSICION 5

DEMOSTRACION: Trácense los radios 0A, 0B Puesto que OM = OM, 0A = 0P Siguese que tri. AMO = tri. B0M Y por lo tanto AM = AM, ∡A0Q= ∡B0Q Asimismo ∡A0P = ∡B0P

DEMOSTRAR:que AM = BM, arco AQ = arco BQ, y arco AP = arco BP

TEOREMA: En un mismo circulo o en círculos iguales,

las cuerdas iguales equidistan del centro, y recíprocamente, las cuerdas equidistantes del centro son iguales.

PROPOSICION 6

DEMOSTRACION: Trácense 0P ⊥ a AB, 0Q ⊥ a CD, y 0A, 0C. Ahora bien AP = PB, CQ = QD Puesto que AP = CQ y también 0A = 0C Por tanto 0P = 0Q AB y CD equidistan de 0.

DEMOSTRAR:que AB y CD equidistan del centro 0.

TEOREMA: De dos cuerdas desiguales de un mismo

circulo o de círculos iguales, la mayor dista menos del centro que la menor.

PROPOSICION 7

DEMOSTRACION: Trácese una cuerda AE igual a CD Trácese 0R ⊥ a AE, y PR OP bisecta AB, y 0R bisecta AE Ahora bien: AB > CD AB > AE AP > AR ∡ARP > ∡RPA Ahora bien: 0P < 0R 0R = 0Q 0P < 0Q

DEMOSTRAR:que 0P < 0Q

TEOREMA: Si dos cuerdas de

un mismo círculo o de círculos iguales no equidistan del centro, la que menos dista es mayor que la otra.

COROLARIO: el diámetro es la mayor cuerda.

Secante: llámese secante de un círculo toda recta que corta una circunferencia.

Tangente: llamase tangente a un círculo una recta de longitud ilimitada que tiene con la circunferencia un punto en común, y solo uno.

PROPOSICION 8

DEMOSTRACION: Trazando la cuerda AE igual a la CD y luego 0R ⊥ a AE se

tiene: 0P < 0Q 0R = 0Q Por tanto 0P < 0R Trácese PR ∡PR0 < ∡ 0PR AP > AR Ahora bien AP= ½AB, AR= ½AE AB >AE Además AE = CD AB > CD

DEMOSTRAR:que AB > CD

TEOREMA: Si una recta es

perpendicular a un radio en la extremidad del radio, la recta es tangente al círculo.

COROLARIO 1: toda tangente a un círculo es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia.

COROLARIO 2: la perpendicular a una tangente en el punto de contacto que pasa por el centro del círculo.

COROLARIO 3: la perpendicular bajada del centro del círculo a una tangente pasa por el punto de contacto.

Círculos concéntricos: dícese que dos o más círculos son concéntricos cuando tienen un mismo centro

PROPOSICION 9

DEMOSTRACION: sea A otro punto cualquiera de XY. Trácese

la recta 0A. Puesto que 0A > 0P A esta fuera del circulo Así P es el único punto común a XY y el

circulo luego PY es tangente al circulo

DEMOSTRAR:que XY es tangente al circulo

TEOREMA: En todo círculo, dos paralelas interceptan arcos

iguales.

Caso 1: cuando una de las para lelas es una tangente y la otra una secante.

Caso 2: cuando las dos paralelas son secantes. Caso 3: cuando las dos paralelas son ambas

tangentes.

PROPOSICION 10

DEMOSTRAR:ARCO CP = ARCO DP.

CASO 1: CUANDO UNA DE LAS PARA LELAS ES UNA TANGENTE Y LA OTRA UNA

SECANTE.TRACECE EL DIAMETRO PP’

PP’ E PERPENDICULAR A AB Y CD. ARCO CP = ARCO DP.

A P B C D

P’

DEMOSTRAR:ARCO AC = ARCO BD.

CASO 2: CUANDO LAS DOS PARALELAS SON SECANTES.SEA AB, CD SECANTES PARALELAS.

SEA EF UNA TANGENTE PARALELA A CD.SEGUN EL CASO 1, ARCO AM=ARCO BM, ARCO

CM=ARCO DM. ARCO AC = ARCO BD

DEMOSTRAR:ARCO FGE = ARCO FHE

SEA GH UNA SECANTE PARALELA A AB Y CD. SEGUN EL CASO 1 ; ARCO GE= ARCO HE, ARCO

FG= ARCO FH. ARCO FGE= ARCO FHE

TEOREMA: Por tres puntos situados en línea recta puede

trazarse una circunferencia; y solo una.

  COROLARIO: dos circunferencias no pueden

cortarse en más de dos puntos.

PROPOSICION 11

DEMOSTRAR:POR A, B, C PUEDE TRAZARCE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA SOLO TRACENSE AB Y BC TRACENSE PERPENDICULARES A ESTAS RECTAS EN SUS

PUNTOS MEDIOS. PUESTO QUE AB Y BC NO SON PARALELAS NI ESTAN EN LINEA

RECTA, LAS PERPENDICULARES SE ENCONTRARAN EN UN PUNTO O.

PUESTO QUE 0 ESTA EN PERPENDICULAR BISECTRIZ DE AB, EQUIDISTA DE A Y B; Y PUESTO QUE ESTA EN LAPERPENDICULAR BISECTRIZ DE BC, EQUIDISTA B Y C.

LUEGO UNA CIRCUNFERENCIA DECRITA DE 0 COMO CENTRO, CON RADIO 0A, PASARA POR LOS TRES PUNTOS DADOS.

EL CENTRO DE TODA CIRCUNFERENCIA QUE PASE POR LOS TRES PUNTOS DEBE ESTAR TANTO EN SU INTERSECCION; Y COMO DOS RECTAS NO PUEDEN CORTARSE EN MAS DE UN PUNTO (N=55) EL PUNTO 0 ES EL UNICO QUE PUEDE SER CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASE POR LOS TRES PUNTOS DADOS.

TEOREMA: Si de un punto exterior a un círculo se trazan

dos tangentes a un circulo, las tangentes son iguales y forman ángulos iguales con la recta trazada del mismo punto al centro del círculo.

PROPOSICION 12

DEMOSTRAR:PA=PB Y <APO=<OPB TRACESE OA, OB. PA ES PERPENDICULAR A OA, Y PB ES

PERPENDICULAR A OB. EN LOS TRIANGULOS RECTANGULOS PAO,

PBO, PO=PO OA=OB

PAO= PBO PA=PB, Y <APO=<OPB

Línea de los centros: llamase línea de los centros la recta que une los centros de los círculos.

Círculos tangentes: se denominan círculos tangentes, o tangentes entre sí, los que son tangentes a una misma recta en un mismo punto.

Tangentes comunes: una tangente común a dos círculos es externa sino cortan la línea de los centros entre estos; interna, si corta esa línea entre los centros.

TEOREMA: La línea de los centros de dos circunferencias

que se cortan es la perpendicular bisectriz de la cuerda común.

PROPOSICION 13

0o

Sean O, O’ los centros de dos circunferencias que se cortan, AB la cuerda común, y OO’ la línea de los centros.

Demostrar que O O’ es perpendicular a AB en su punto medio.

DEMOSTRACION:Trácense OA, OB, O’A, O’BOA = OB, Y O’A = O’B;Todos los radios de un circulo son iguales.Tanto O como O’ equidistan de A y B.O O’ es la perpendicular bisectriz de ABDos puntos equidistantes de los extremos de una recta

determinan la perpendicular bisectriz de esa recta.

L.C.D.D

TEOREMA: Si dos círculos son tangentes, la línea de los

centros pasa por el punto de contacto.

PROPOSICION 14

Sean O, O’ los centros de dos círculos tangentes en P

Demostrar que la línea de los centros pasa por P DEMOSTRACION:Sean A B la tangente común en P

La perpendicular levantada a AB en I’ pasa por O y O’

si una recta es perpendicular a un radio en la extremidad del radio, la recta es tangente al circulo.

Esa perpendicular debe coincidir con la recta O O’, puesto que ambas pasan por O O’

Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una recta y solo una.

Entonces P esta en la línea de los centrosL.C.D.D

TEOREMA: En un mismo circulo o en círculos iguales,

dos ángulos centrales son entre sí como los dos arcos que los subtienden.

Caso 1: cuando los arcos son conmensurables. Caso 2: cuando los arcos son inconmensurables.

PROPOSICION 15

0

Sean O, O’ los centros de dos círculos iguales, y AOB, A’O’B? dos ángulos, subtendidos por los arcos AB, A’B’ respectivamente.

Demostrar que

A’O’B’ = arco A’B’

AOB arco AB

Caso 1 Cuando los arcos son conmensurables. Figura 1, 2 Demostración: sea una medida común de A’B’ y AB

Divídanse los dos arcos A’B’ y AB en partes iguales a m, lo cual es posible, por ser m medida de ambos.

Supóngase que en el arco A’B’ hay a de estas divisiones, y b en le arco AB ENTONCES arco A’B’ = a

arco AB b

trácense radios a los puntos de división de A’B’ y AB

Estos radios dividiran el angulo AOB en b partes iguales el A’O’B’ en a parets iguales entre si y a las de AOB

A’O’B’ = a

AOB b

A’O’B’ = arco A’B’

AOB arco AB

TODA CANTIDAD PUEDE REMPLAZARSE POR SU IGUAL L.C.D.D

Cantidades conmensurables: dícese que dos cantidades de una misma especie son conmensurables entre sí, o simplemente conmensurables, siempre que las dos se pueden representar por números enteros en función de una misma unidad.

Cantidades inconmensurables: llámese razón inconmensurable la expresión del cociente de dos cantidades inconmensurables.

Aun cuando el valor de la razón no puede expresarse con exactitud por números enteros ni fraccionarios, puede hallarse con el grado de aproximación que se quiere.

TEOREMA: Todo ángulo inscrito tiene por medida la mitad

del arco comprendido entre sus lados.

Caso 1: cuando O se halla sobre uno de los lados.

Caso 2: cuando O se halla dentro del ángulo B. Caso 3: cuando O se halla fuera del ángulo B.

PROPOSICION 16

0 0 0

Sea B un ángulo inscrito en un circulo cuyo centro es O y sea AC el arco comprendido entre los lados del ángulo.

Desmotar que le ángulo B es medido por la mitad del arco AC. Caso 1 cuando O se halla sobre uno de los lados figura 1 Demostración:Trácese OC ángulo B = ángulo C En todo triangulo isósceles los ángulos opuestos a los lados

iguales son iguales.ángulo + angulo C= angulo AOCTodo ángulo externo de un triangulo es igual a la suma de lo

internos opuestos, y por tanto mayor que cada uno de los dos.

Entonces 2 ángulos B= angulo AOCToda cantidad puede remplazarse por su igualEl ángulo B = ½ ángulo AOCSi cantidades iguales se multiplican dividen por cantidades

iguales, los resultados son iguales.El ángulo AOC es medido por el arco AC Entonces en ángulo B es medido por un 1/2 arco AC

Caso 2 cuando O se halla dentro del ángulo B figura 2

Demostración . Trácese el diámetro BD

Angulo ABD tiene por medida ½ arco de AD,

Angulo DBC tiene por medida ½ arco DC Caso 1

Entonces ángulo ABD + ángulo DBC tiene por medida ½ (arco AD + Arco DC)

Esto es ángulo ABC tiene por medida ½ arco AC.

Caso 3 cuando O se halla fuera del ángulo B figura 3

Demostración. Trácese el diámetro BD Angulo DBC tiene por medida ½ arco

DC, Angulo DBA tiene por medida ½ arco

DA caso 1 Entonces el ángulo DBC – el ángulo

DBA tiene por medida ½(arco DC- arco DA); esto es

Angulo ABC tiene por medida ½ arco AC

L.C.D.DCOROLARIO 1: todo ángulo inscrito en un

semicírculo es un ángulo recto.COROLARIO 2: un ángulo inscrito en arco

mayor que un semicírculo es agudo; en uno menor, obtuso.

COROLA RIO 3: todos los ángulos inscritos en un mismo arco o en arcos iguales son iguales.

COROLARIO 4: los ángulos opuestos de todo cuadrilátero inscrito en un circulo son suplementarios; y recíprocamente, si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son suplementarios, el cuadrilátero es inscriptible.

COROLARIO 1: todo ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

COROLARIO 2: un ángulo inscrito es un arco mayor que un semicírculo es agudo, en uno menor, obtuso.

COROLARIO 3: todos los ángulos inscritos en un mismo arco o en arcos iguales son iguales.

COROLARIO 4: los ángulos opuestos de todo cuadrilátero inscrito en un círculo son suplementarios; y recíprocamente, si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son suplementarios, el cuadrilátero es inscriptible.

TEOREMA: El ángulo formado por dos cuerdas que se

cortan dentro de un circulo tiene por medida la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados

PROPOSICION 17

Sea AOB un ángulo formado por las cuerdas AC, BD Demostrar que AOB tiene por medida ½ ( arco AB

+ arco CD) Demostración:Trácese Ad Ángulo AOB = Angulo A+ Angulo DAhora bien, el ángulo A y el D son inscritos, y los

arcos que los subtienden son CD y AB respectivamente.

Por la tanto el ángulo A tiene por medida ½ arco CD,Y así mismo < D tiene por medida ½ arco ABTodo ángulo inscrito tiene por medida la mitad del

arco comprendido entre sus lados.Entonces < AOB tiene por medida ½ (arco AB + arco

CD) L.C.D.D

TEOREMA: El ángulo formado por una tangente y una

cuerda tiene por medida la mitad del arco subtendido por la cuerda.

PROPOSICION 18

Sean XY la tangente y PQ la cuerda. Demostrar que <QFX tiene por medida ½ arco QSP. Demostración. Trácese la cuerda QR paralela a XY. Entonces se tendrá: Arco PR = arco QSP.En todo circulo dos paralelas interceptan arcos iguales. También se tiene <QPX = <PQR.Estos dos ángulos son alternos internosAhora bien, <PQR tiene por medida ½ arco PR.Todo ángulo inscrito tiene por medida la mitad del arco

comprendido entre sus ladosRemplacemos <PQR por su igual <QPX.Y tambien arco PR por su igual QSP: Toda cantidad puede remplazarse por su igual.< QPX tienen por medida ½ arco QSP.L.C.D.D

TEOREMA: El ángulo formado por dos secantes o tangentes,

o por una secante y una tangente, trazadas a un circulo de un punto exterior, tiene por medida la semidiferencia de los arcos comprendidos entre los lados del ángulo.

PROPOSICION 19

0 0 0

Sean PBA, PCD dos secantes trazadas por P. Demostrar que el < P tienen por medida ½( arco DA – arco BC ) Demostración. Trácese BX A PCD FIGURA 1 arco BC = arco DXEn todo circulo 2 paralelas interceptan arcos iguales Ahora bien, arco XA = arco DA – arco DX; Por lo tanto arco XA = arco DA – arco BC. También: <P = <XBASi dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos

correspondientes son iguales. <XBA tiene por medida ½ arco XATodo ángulo inscrito tiene por medida la mitad del arco comprendido

entre sus lados remplazando < XBA por su igual < P,Y arco XA por su igual DA- BC,Resulta que <tienen por medida ½ ( arco DA – arco BC)L.C.D.D