Trigo No Me Tria
-
Upload
leonardo-lima -
Category
Documents
-
view
205 -
download
1
Transcript of Trigo No Me Tria
����������
��� ���������
���������� �
���� ����������������������
��������������
����
����
�
���
���������� ������������������������������� ������������������� �����������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������� ������������������������������������������������������
������������ �����!�����"��!#��$�����������������#������������#���� ������������������������� %
&����������������������������������������������������'���������� ������������������������ (
)��������������������������������������*��+,�!� ��������������������������������������������������� ������ ����� ������ � ������� �� ��� � ��� ���������������������������������������������������������������� ������ ����� ������ � ������� �� ��� �������������������������������������������������������������������������� ��
-������!������!�����"��!#�� �������������������������������������������������������������������������������� �&
���������� ������������������������ ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� �%
���.�����.���������!���� ����������������������������������������������������������������������������������� �(��������� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ������ ������ ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ��
������,��� �� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��
����������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� �)
���*/���������!������!#�����!�����"��!#������������������������������������������������������������������ �-
��������������������������������!#�����!�����"��!#� ������������������������������������������������ �%
&�����������0�!��!���1������$��!����!�� ����������������������������������������������������������� �������������������� !���"�#����$�������� �������������������������������������������������������������� �������������������� !�%$��������"�#������������ ����������������������������������������������� �������������������� !���"�#����&'�(����� ���������������������������������������������������������������� ��
)��23�� �����!�����"��!#������0�!��!���4���� ���������������������������������������������������������� �-����")�� !���*�������#+� ������������������������������������������������������������������������������������ �,����")�� !���*����(��#+� ������������������������������������������������������������������������������������ �,����")�� !���*������#+� �������������������������������������������������������������������������������������� �,
�������� ��!�"#��$�%���"#�!����������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� &�
����!��������#�� ������������������������������������������������������������������������������������������������� &�
���5!6�����������#�� ��������������������������������������������������������������������������������������������� &�
&����#��5'�� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� &
)�������6�����������0���� ��������������������������������������������������������������������������������� &%
��������������
��������&��������������!��'(����� ���������������� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� )�
�������#����!�����"��!#� ���������������������������������������������������������������������������������������� )�
���27'���� ���.���!� ���������������������������������������������������������������������������������������������� )&����"#-����!��������������&���(��������.���� ����������������������������������������������������� ������"#-����!��������������&���(������"#��������������/�0����� ���������������������� ������"#-����!��������������&���(������.�����)��/�1�������(��2��3�(����.�����4����� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ��
&��23�� �����!�����"��!#���#�������������� �������������������������������������������������������� )%��� 4������ !� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �5����")�� !���*�������#+���α ........................................................................................... �5����")�� !���*����(��#+(��α ............................................................................................. ������")�� !���*������#+��α ................................................................................................. ��
��������)�*��+��"������������������������3�� �����!�����"��!#������0�!��!���4���� ������������������������������������������������������� -�
����4��)�� 6���� �-����#7������#8� ������������������������������������������������������������� ������4��)�� 6���� �-�(��#7���(��#8� �������������������������������������������������������������� ������4��)�� 6���� �-���#7�����#8� ����������������������������������������������������������������� ��
������3�� �����!�����"��!#������� ������������������������������������������������������������������������ --
��������,�-��"����������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 8
���9��������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������ 8
���9������������ ������������������������������������������������������������������������������������������������� �
&��9������������� ������������������������������������������������������������������������������������������������ �
)��.�+6!#�����9�� �����!�����"��!#�� �������������������������������������������������������������������� &���� *�� !�29#:+�;���# ������������������������������������������������������������������������������������������� ,����� *�� !�29#:+'���# ���������������������������������������������������������������������������������������������� ,����� *�� !�29#:+���9�#: ������������������������������������������������������������������������������������������� ,����� *�� !�29#:+���9#;�: ���������������������������������������������������������������������������������������� ,,���� *�� !�29#:+�;'���9�#;�: ���������������������������������������������������������������������������� ,5���� *�� !�29#:+�;'(��9�#;�: ���������������������������������������������������������������������������� 5���,� *�� !�29#:+�;'��9�#;�: ������������������������������������������������������������������������������ 5���5� $����� *�� 6�� �������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5�
./��������0�������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 1,
���������� ������������������������������� �������� �������������
� ������� �������������� ���������� �������� ���� ��������� ��������������������������� �����������������
�������������������������� ��������� ������������������������������� �������������������
��� ����������������� ��������������� ��� ���������������������
!"�� π� ��� #��$������������������%���
�����������������������
&������������$���$���$���$���'������� ��������������(�� ����������������)!"�&� ����������������� �����*+�������������,���$��-
α . β. !"/�)!" ⇒ α.β/� �
+�������������������-�# $����� ���α �β0���������������
�����0��� �����'����������� !"12# �����,$��0������������������
�����0���������������� !"�3����������,���$����������� ������
��� �����������������������������������������������������
�������������� ���������4���������������������������� �������� �������������������
&������������$���4����������%������������������� ���������������� ���� ����� �� ����� ���� 3�������������%��� ������ �� ������ ��
����������$����������$�������������������� �������������������������������������������������������������������������������������� ��'����������5���������������� ������ � ����� � ������� ���������������������������������
������������������ ���������������� �� �������%������ ������� ���� �6���������� ��-
�� /�.��
�������������������������������������������� �2������������� �������� ������
�4�������������������������������������0���������������$���� ������������0� �� �� ����������3��% ��� ����������7�������
�����������������������8�9�:��������������������#�����,�����������:�/8�.9��
���������������������������������������� ������� ;�������������$���������������0��%�������������$���$�������� �������� ���������$������������������������ ����������$����0������������������
���������������������� ���������� ���� ������������ �������� ���������������������������$������� ���-
���������� ������������������������������� ���������
�������������
������������
���� �� ���������� ������ � ������
��������
� ����� �� ���������� ������ � ������
��������
������� �� ���������� ������ � ������
���� ������ � ������
=
=
=
�������������������� � �%����������� ������ � ��� ������ �� ���α� ����6����������������0��� �����������-
��α/ �� /!�<
��α/ �� /!�)
� α/ �� /!�=:
��$���������������������������4����������$��������>���������?���������$���������� ����������������������0�����4�����
@������������������0������������������������������� ������2�������� �� ����� ��� ���� ;���� ����4������������������<�)��!#� ��������������,�����7��������3��% ����
A��� �8�����������������������������0�� �� $��������� � ����� �������'%���4��������� ����������
B�������$����� ���α�β������������������ ���� ����������������� ��� ������������C���
&��������0������������������� � �
����
�� � �
� � ���������������)�
�!�<��������������������#������������������ �������������������������� ����-
��α/ ��� /!�<
��α/ ��� /!�)
� α/ �� /!�=:
A�������������������0���������������������$����0������������������� ���������������������������������������������������� �����(��������������������������������������$���������������������� ����
?� ����� �������� ���� � ��� ����������!"��#$�������������������������������������������0����������
����������������� ����������������������������������������������������������,�����$��������4������
�$��� 0���������� ������ ����� ���������������������� ���� ���������� �������� ����������� ������������ �� ��������������������$������� ���-
���������������� ����� � ������
���� ��� �� � ������=
��� ���������� �����
�� � � ������� � �� �����=
cossec do ângulohipotenusa
cateto oposto ao ângulo=
3���6����������������� �������� ���������8�9�:��������������������������6��������� �<����C����������� ���α�
���������� ������������������������������� �������� �
�������������
������������
cotg43
sec54
cosec53
α
α
α
=
=
=
�� �<
��������������������������������������������������������������D%�������$������������� ���������
������ ���� ���0���������������
α.β/ !"
@����������$��-
EFG
HIE
α
α
=
=
����
EFG
HIE
β
β
=
=
�
��
�
��
����
α
α
=
=
����
��
����
β
β
=
=
����
J�������������������$��-��α/��β1��α/��β1� α/��� β ��� α /� β.
���������%�&$���������������
���������� ������������������������������� ���������
�������������
������������
./�������� ����2�!��!��K� ����� ��� ����� ��� ��� ������
��'�������0�:����2�������������������� ���� ������� ��� ������ ���� ���� ����
���������������� ���������������� � ���������!
���������� ������������ �������������������"� �����������#����������$����� ��������
� � � � � �� ���� � � � � �= + ⇒ = + =%��� ���&�'(���"������ ������� ������� ���!
���������������������������)����� �����������*�����+
���, - ./0
���, /1/0
α
β =
���, ����
���, ���
α
β
=
=
��� ���
��� ���
α
β
=
=
!2�K����������������������������������������C������������������������������������������������C���������������289��@��������$��� ���4������������4���,��������� �����8 "����������������������6�����������C���������,����������������������������-��8 "/!�<81��8 "/!�=)1� 8 "/!�)�#
���������� ������������������������������� �������� ��
�����������
������������
���������
����� ����
�� ��� �
°=
⋅ =
���������
����������� ������������������������������������
�� �� ! ! " #$
������� ��� � =
��� ���� ��
� =
���������%��%���������&���'������ �����������(���� ����)���������*��������������
� � � � �� � �= + ⇒ =
����� ��
��
�= = ⇒
����� � ��
⇒ �
� �
���� �= ⇒ �������������
������������������ �������������������������������%�+��������������*��*�������������)
*�����������������������������������������������������������������)�,������������������ ����� %������ ,�� �������� �������� �����+-'�� �����%����� ��%�����,����������������*���������*���������������-.��� *��������
�����/��,��)���0�*���*)�����������1�����������������-�����)�������*������-'��2�3���+����)�,����1�������(�&�����4/�����*�*��*�����������%���*������������)&����5678����*���&��&�*�������9�)� �������������)����3�/4��������������)�1���,������%�+)�'����%��9%���)� *����)� �������� �����������1:��4�����)�*�;��������������������������<�78�*����������*��������*�(����������*��)�������.������,�*��)�������'��34���%�)�*��������������*���-'�����������������7)���*�
=���� ����*����)�,������)� �������,�������1���,������������������������*�����������*��������7)�567���<�7����������),�����������(�3��*�����1��������������������1:��4�����
>(���%����)���������5�����������6)�1����������������1��������%���������������������,�����)�1����'�������)��������,�������� 567)� �� 1����� ���������1���������� (�������+��������������������������������������������1:��4�����,������������*��3�*��)���1��1�����������������1��������&���%�����)���������������������7���<�7�
������������ ������������
���������� ������������������������������� ����������
�������������
������������
3������������� ���� �������� � ������������ �� ��� ���� �� $������������������������ ���9����#����������������� ����$R��%������� ���:#�
K����,$����� ���������������� ���0������ �������� ����������������������������3��% ������������������
3���������$������������$��-��/�� .��⇒��/2S���
∴�/� �
T������������ ����$R��%�������������������� �����-
� � � � � �
� � � �
�
�
� � ��
��
��
���
��
= ������ + ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ ∴ =
@������ � ���� $�� � ����� ���4��4����� �� �������� �� $������� ���
����������������4��������� � �3�������������� ������������������������
�� ������� ��
��
� � ��$����� ��
4������������������������3������ �������%��������������
������� �������� �����8!"�9:"�<!"�
&��� $���3��4�������������!��5�)57������������������ ����$R��%����
���� ���:�����4��������������������������-
��8!"/
�
���
��
� ��
= ⋅ =
��8!"/��
�
�= =
�� �
�
� 8!"/
�
�
�
���
� ���
���
��
��
��
= = ⋅ = ⋅ =
��<!"/��
�
�= =
�� �
�
��<!"/
�
���
��
� ��
= ⋅ =
� <!"/��
�
��
��
�
��
� �= = ⋅ =�
&��� $���3��4�������������!� &5���������$���������������������� ��
��9������������ ����� � ����������������-
��9:"/ad
aa
= = ⋅ =2
12
22
22
��9:"/ad
aa
= = ⋅ =2
12
22
22
� 9:"/aa
= 1
B��������$������������������������������� ������������������������������������� �������� ������%�����$������%�6���������������
���������� ������������������������������� �������� ��
�������������
������������
./�������� ����2�!��!�� ��������������������������� ��
�������������������������������6�7�
���������8���*9������������������������������������!
��������������� ���������(:;��������� ������ � ���������������6��������� �������(:;� � ������)�9�+
���(:;�&� ���
��
���
⇒ = ⇒ 6�&�< ��
=������ �� � ����� � ����� ����� ���>?����������������� ���@*�������������������!��������!���� � ����A$������������������� ���������� ������������������ ������������9?������������������9���������������A�������(:; ����������B������7"�%���
����(:;�&� ���
��
���
⇒ = ⇒
�7�&�< � ��
!2� B����� ����������C���� ���0������ ��������������4�������� ������� = °�� ����� = °�� ��������C/2 ���3������������������������������������6�7���9�
���������D�)$��������������������������� ���������
���������������������������� ������� ����! ?!�� ��������������"���������� ����������� ���������A���������������������������"�D�������$*� � ������� ��������9�>E��������>E�
�)�����������������"�������� ������ �����������������*+
���(:;�&��� �
� ��
�� �� ���+
⇒ = ⋅ +
�������������������C � ��������9����+
���<:;�&���
� � � ����⇒ =
F��������!���F����FF� ��������+��
�� �� � �
� � �� � ��
⋅ + = ⇒
⇒ + = ⇒ = ⇒9�&�' ��
G����������!�����������������FF� � ����������>E���������� �� �����������+
6�&� � �������B������7���������������� ��������� ���
�����������*+"�8���*9��������������������������������� � �������������������6������������������)��>E����������������� ���������9�� �������� ���������)������� ������ ��������������!9����������������$�����"��������)�9� ���E�
��� �� ��
� ��
° = ⇒ = ⇒7�&�� � ��
�������� ������� ��������6 �7�9� �������E�
������ ��� ���*���� ��� � �� �� � ����' ��"
!8� �L+P@+�@3#A��� ��������C������������ �����C�-
�# � � � �+ + �# � �
�# � � �+ �# <
�# � � �+ +
���������� ������������������������������� ���������
�������������
������������
���������
=��∆��C �����+
����� ��
��
��
� �° = ⇒ = ⇒ =
=��∆�C� �����+
�� ����
/��
� � 0° = ⇒ = ⇒ = =
������� �
�°= ⇒ = ⇒ =��
� �
∴��� �@��������∆��C�����H�7�H�9�&�� � �+��������I
#������"�����"�����$��"%��U���������������������������
��,0���� ������������������� ���������������������,0���'�������'����4�����������������������6������6��������������� �%��� ������� ��� ���������������������� ����
A�� ���� � ���������� ��� �����������$�����������,�������;����0�������������� ��������������������
�������������%���������%���$�����������$����������������������
M�����������������������%��� ������ ���������������������$���$��������������������C�������$��������$���������������6��(�������6���0��
3���6�������� �������6. ��
��
=+� �
�
�
����������������6������������������������6���������$��6�≠!�����0����,����������������������6������#�
L� ��
J������������� ���������������������,����� ����������$��'%��������3��������������������� ��������������������� ���������� �������
������������������ �� ���������������3��% ���� ������ � � ������ �������-
�.���/��
���������� ����������� ��� �0������������� ������������������-
ba
ca
aa
ba
ca
�
�
�
�
�
�
� �
�+ = ⇒ ������ + ��
�� =
B�������$��� ��������������(��������������������������0������������ ����$��
��� α.��� α/����� β.��� β/�
3���������������������� $�� � �����$�������������������������� ���6�� ���Q�����������'�-
��� 6.��� 6/�
?6���$������ ��������������C������$����������������������������������� ���������������?������������,������?�����>���������<2!�$�����������������,0���� ������������������������3��
���������� ������������������������������� �������� �!
�������������
������������
�6��������������22"����������(������������<)"���������������22"#�
������������� ����� ���������� ������������� �������������������������������������������������� ������������ ����
�������������������� ���������������������������������,0����������,��$��
�����,0�6/��,0�� !"V6#
L��������������� ��������� ������������� ����������������� �����$��-
��α/��β ��β/��α
� α/��� β � β/��� α
��α/����β ��β/����α
L���������������������������7������������ ���� ���������� ����������� �����3���6�����������������������������-
������
αα α= = ⋅ = =
����
��
��
�� ��
���������%�� ��������������%���������������������� ���β���,��������������$����������� ���6����$����6≠!�
�����
xx
x=���
3��������������������$�����,0�bc�$������������ ����������������
���cb#����������������� ���������
������������������������������������������������������������,��$������������� ���6������0������-
��� 6/�
�� x/
��� x
x���
7������������������������������������ ������� ���� ������� ������ �����������J�'���$��-
���
������
α
α
α
α
=
=
���
��=
=
�����
����
����
���
���
7��C��� ���������� ������� �����4����������,%������ ���β�
��,��������$��������������� ���6�
EF���E
xx
= �
�����
��� xx
= N
����$�� �'� ���������� ������0������������������� �������������������������0����������
3������Q�6����������0������������$�������0�������� ����������������$�������������A0�������������������� ����� ��������� ������������������������$�������������$����$����������$������6������� ����
�# ��� 6.��� 6/�2# �����,0��6#/��,0�� !"V6#
8# � �6/��� x
x������6�!#
9# ��� 6/�
�� ���x
x
x=���
���6≠!#
:# ��6/�
��� x���6≠!#
<# ����6/�
��� x���6≠!#
���������� ������������������������������� ���������"
�������������
������������
B���� M���������7�� �����������# ��������$����� 6/� � 6.�
%����#!�����������������������0������
������������������������������������������������������4� ��Q�6���0�������� �����������
&�������$��-
�������
xx
x=���
2���� 6.��� 6/�
8�EF���E
xx
= � ��������������������8��
������0���$����6�!�3�������-
������
������
�
�
� �
�
���
� ��
= =+
⇒���
������
������
�
�
�
�
�x
xx
x
x= +���
��
���� � �� �= +�� ��$�#
�# P����$�������6/��� � 6.��%����#!K���������������������������
�����6��������������������������������������� ��������������,���������0����������,��$���������6≠!�
���������
������
� ��
� ��
= =+
⇒��
� �
�
���
������������ ���
����
��
= + ⇒�
�
�
�
���
����� 6/��� � 6.���$�#
*����+�#!V�������������������������6��������0�������������������������������������,����������$������������������������������6������0��������������
=#��� 6/� � 6.� ���6≠!#)#����� 6/��� � 6.� ���6≠!#
./�������� ����2�!��!�� ���������������,����� ������
����������������� ��
���������������
���� �� ��� � ���� 3������������������������ ����������� �������������������������� ����
���������J�)����������������)�����������������������!
������������������:;��3:;� ������)����������*���!����������������9?������������������������������� �����E�� �����*��"�I�������������$�������� ��������*��*�����������>?�������������������������������������������������������������"
C������������6������������������������ ��!�������������������)���������� � ��������9����+
'��������6�H������6�&�'�⇒ �� ��� � /
�
������� + = ⇒
�����⇒ − = − ⇒��� � - � ���
�� ���
� ���� � ���= ±
���������6�K�: ������������������>E�������*�"#���� ������+
��� � ���=
8���*9�������������������������������� ���������������������������9?� � ���������� �!������6 ��������)��>E���������"������+
L������� ���������
��
= = ⇒
���������� � �
����
����
= ⋅ ⋅ ⇒������� � ��
��=
(������������
����
= = ⇒ ������ ����
����
= ⋅ ⇒
������ ���
=
���������� ������������������������������� �������� ��
�������������
������������
!2� +������� ��6� �������� $��6 �� ����$��-
�� �
� ��
x x
x x
+ =
− =
����
���
���
���
� ��W�
�W
���������G������!��������>?����������� �������
���� ������+
����� � � �����MN�
��= ⇒ = ⇒
��� � �� ��� �= ⋅
G������������6�H�������6�&�'"�%��� ����������!
��!������6� �����
�O����6 ������+
��� � ����� � /� + ⋅
���
��� =�
����
��� �� ��� ��
/�
�
+ =
������5�����6�H�4�����6�&�5������� � - ��
� ���
��� � ��= ±
�����6�������� �������@����������� ���= �"
!8� @������������6�����-
�# ?�/� 6.��� 6V��6S����6
�# ������������ �
=⋅� ��
���
���������8���*9���� ������6 �����������������9?�
������������������)��>E��������P��������� ��!*����������������������������6 ���?�������� �����>?�����*�����"
�� �������� �
��� �����
���� �
������
= + − ⋅ ����
� ��� � ��� � � ���� ����
���� �����
� �
= +⋅
= −⋅
� ����� ��� ��
= ⋅ ��������I��&�:
� ��
=⋅
= ⋅
��������
������
��� �
�����
��� ��
�
�
��
I��&����6
!9� �KL@+���@3#B ����� �� �6���0�
� �
�
�− −��� ��xx
x���
�-
�# V� �#��# V2 �#!�# 2
���������
� � ��� ���� �
� � ��� ���� �
��� ���� �
�
�
�
�
�
�
�= − − = − − ���
�� ���� ���� �
� ��� �
��� ����� ���� �
��
�
�
�
�
�=
−=
⋅ −= =
� �
������� �
!:� �L>J�XD#� ����0� ��� ����������
�$�������������
���� �
����� �
�������� �-
�# ��6 �#����6�# ��� 6 �#� 6�# ��6���������
������� I
���������� #�����$��������
�������������
������������
�������� � ������������������������7�� ������������������������������
�� ����$������������$����������������� �����������������#!�������������� ����� �������������������������������� ���������� ����
P���������������������������������������%���$����������� ���������� �����������
J��� �������������� ��� � ����������(�������� ������������������������ ���"��-��������������������$������������������������������
A������������������������������ ���������������������������������������������������������������+����
������(������������C����������������������0�������� �� ���� ��� ��������������������������������0��������������������0������������?����������0��������������� �������3������������������������������� ��������������� �������� M�� �����������6���������������������������������4�������������������������������������������0��@����4���$��������4���������������������������:!����,�������������$��� ���������������������"��-�����������������������
��:!�������������������� ����6���������������������
?����������������������������������������� �������������C��������������������������������>���������$���������������������������$����$��������+��������������������������"� �-��������������������� �2������ ���α�
�� �2
A�����$���������������������������������(������������*������
�������������������� ���,���$�������������������.����������� ����������������������$��
�� #/α
+�������$R(����������������������,�� ����� ������� �� ����� ����������� ����� ���� �� ���������(����$����� �� ��� ������� ��� ����� �����������
���������� #�����$������ ��
�������������
������������
��&�����&�������'�"����B���������������� ����������
��������������0���������� �����������,��� ���������� 0� � �������� � ���,���������$���6�����������������������������������������������6��������������������������������$�������������������������
3����� ���Q������������
����6����3���������0��/������������+������
�0
123 ��������"��-��������'����������
����������������������������������8<!"�
B����������� �8�������$�������
��↔
����↔� �����������������������������
����������(������$��������������������������������$������� ���������������
+�����������C��$��-��� �������/ !"2�� �������/�)!"8�� �������/2=!"9�� �������/8<!"B ����������������� ����������
������Y#��������Z#��������$��
�"/<!Y��Y/<!Z
������ �������$��� ������� �����������(��������������� ����$��������$����������0���������0��(�
���4�����������0������������� �����$���������������������������������� ������0�������������C�����������������6� ���������������J��������������������6������$�������������������6���������������������������������������������������0������Y�����<"�
4,����@�α�β0�����$������������������
������)8"8!Y8 Z��2"98Y9:Z��������������������α.β�αVβ-
������������������������������������������������ ��*!
����� ������� ��������������������������� ���������������� ������6��������6�+
+����$������������������=8Y#�� �����)9Z#�6�����<!�����������������,��
=8Y/<!Y.�8Y/�"�8Y�)9/<!Z.29Z/�Y29Z����'��=8Y)9Z/�"��8.�#Y29Z/�"�9Y29Z&� ��������������%�������
α.β/ <"�9Y29Z
P������� ����������0�������������������������������-
J����������$��$���6������������������$�������������8!Y[98Y�8 Z[9:Z#��$���������������������� ������������������������ �����
K������C��� ��������� �������������������������5����������Z�"��Y�������������������%�����<!�������<!� ������������������������������������� �����Q$���������'%�6�����������������������
���������� #�����$�������
�������������
������������
7����������������� �����������0�-
α/)8"8!Y8 Z⇒
����α/)2") Y Z���������������α�β���������������
�����������������������$����������� ������������ �����������,���������0�������������� ���-
B���������������
αVβ/5 �(67)(�
����6��!��������������/�����������+�
������0���
��������"��-������������������������(�������������������������9!! ��
7����������������� �9���%����������������������$��-
��� �������/�!! �2�� �������/2!! �8�� �������/8!! �9�� �������/9!! �
� ������� ����� ���� ����� ���������0� ��������������� � �� �����0��������� ������������������������$�� � ������4�4�'�� ���%�����C������������������������������������������������Q�����0����������������%������������������������,��0������(�������!�����������0������������������������
?��������������������6��������������4�����������0��
���� �!�����K��������������������������8
����������������������������"� �-�������������"������������
����������� �:���� ���$��������*��� ���������B� ����� AB' ������� ����������������� ��������������������(�����������$���� #/�����3�������,�������������$�����������������������������$���������9�����+�&���������� ������������������������'���������%������������������������������������(������������������������-
α = ��
&�������$����������������������������(����������X��������2πX�K�����,���� � �����0� ���������� ������ ������������ �� ������� ��������� �����������������������������������������������(��������������������
α π α π= ⇒ =� ���
����
���������� #�����$������ ��
�������������
������������
+�������������������6C������� �<���������,��$��-
��� �������/��
2�� �������/�
8�� �������/��π ���
9�� �������/2�
A0��������$�����$�������������������������6����������� ����8��9�
*����+�#!VK��������� ������������������������ ����������# ���������������������������������,$�����������������0�������������������������������� ����� ���������������������������������������,��0�������������4����������������������� �������������������0���������������������������0������,����
4,�������A����������(������ �� ����������
���������������������������� ����������α���������������������!�)���+���������������������������α-
���������C���������������)���>E����������� �����
α = = ⇒��
�� ���
α//�:���
2�A��� �������6�����4������������9�������������������(�������� �������������8!"������������������������������������������������������������-
������������������ �����������)��� �����������������
��� ������������Q�"G������������������*�������� �������(<:;
������� �������LπR �����R�������������������)!�Q����"
%��� ������6������ ������� �������� ������+
� � ���
����
� �N�°
=°
⇒ = ⋅ ⇒π π
� �� ��= ≅��
� �π � ��
���������� #�����$��������
�������������
������������
������!���(��3���$������$������������������
���������� � �� ����������� ������� �����-
3��������������������������������������������������������������������0�������� ������(���������������������$���$������$�����(�����6������� ���������������
���������������������������������0��������%����� �����������,��0��������0�� �����-
�)!"/2!! �/�
4,�������7���������9:"���������� ����-���������
�����
�����
°°
= ⇒ =°⋅
°⇒α
πα
�
���
α π=�
����
����� ���
�� ���°°
= ⇒ =°⋅
°⇒α α
��\��\
���
α = �����
2�+��������������� ���-
���������
��
���� ���
�
π
πα α
���
���=
°⇒ = ⋅ ° ⇒ ���α&'L:;
K�� ����� ����� �� �����,���� ��������0� � ����������π ������ �)!"����������������6�-
α π α= ⇒ = ⋅ ° ⇒��
� ����
��� ��α = °120
./�������� ����2�!��!��� �������0�����6� ��������� ����
�� ���������(���� ����(������������������������� ������������8!"������������������������������6��������������� ����
������������*����(:;� ������������
����� ����
�����
�
= ⇒ =α
πα
π
� �����������>E��α = ��
� ����������������������+
α π π= ⇒ = ⇒�� ��
� �6�&�L���
� ����������������>E����������������������������������������������+
���������� #�����$������ ��
�������������
������������
π π π� � � �
��
=+
⇒ = ⇒ =��
� �
� ��= π�
6�&�L������ ��= π�
!2�������������� ��������������������������4�����������������; ��$��������6���������<49:����
��������������������6��������������>E������ �����
�������9���������B��� ���������6� �����������9���*��?�"
���������������*��?������� ���������������
���������°��
����(:;"
GA����������� ����"�C���������������>E� � �!�������9����+
α α+ = ⋅ °⇒ + = °� �� �� ��������������������α �����!�������������6 �����
� ��������S*������T� ��� ���������������������54��������� ������������'<"
G����!���� � ������������������<:��������� �� ������������ ������������*��E������������������(:;� ���������������������Q��������+
���
����������°
= ⇒��� �����
���
���= °⋅ = ���� = °
°
%��� α = ° = ° °⇒��� �� ��� ����� ���α�&�'LU 4;
�� ����������� � α�&�'LU;�(:V
!8�?������<4��=4�����������������; ������������ �����<:"�3�����#����#4��%����#�6����#���������#�������; ���
����������������� ��� �*����� ���@*��������>?�����
�������"�I��� ���E��)������<4;���������� ����!�������������������������������� ������� ��������������� �����������������)��������������+
=����������>?������� ��������6�→ ������S*������T� ��� �������������������!
�����'<�����������������������E�"7�→ ��������� �������������������>?��'L�
5������B���"9�→ ������S*������T� ��� ������������������
������������'L������B����������������������������"������������������ �7���)�����������������
)�9���!�
7�&�5�O�(:;�&�'L:;
������E���� �������������>E������W������������� ������������'<�� ���������������������
���������� #�����$�������
�������������
������������
���������A����<4;"������������ ���������������������� B�����'<��"�#���� ������ ������>?������*�����������6��9���)��>E�����"
����)��� ����������4����������� ������������ ����������������(:; � �����������������������Q��������+
� � ��� �����
°
= ⇒ = �
X��������� ���������������� ����������� ������(:;��������<:��������"
����� �����
�������
� �1°
= ⇒ =
������������������$��� ������������ ����������� �������������)���������������"
���� �
6�H�7�Y�9�&�<4;�⇒ ���
�H�'L:;�Y�<��&�<4;�⇒
����
,&�44;�⇒ ����&�':����
���� �
9�Y��6�H�7��&�<4;�⇒ �<��Y���
�Y�'L:;�&�<4;��⇒
����
,&�'24;�⇒ ��� ���= �����
I�������'<��'U�� ���� ����������E��)���������� ��� ��� ������� �� <4;� ��� ���$���� 6���� �
'<���':����� ���������
� ���"
���������� %������������������� �!
�������������
������������
���������������������������������������������������$�������� �������� ���
�� ����� �� �����,��0� �� ��,����� ����������$�������������$��0����;���-���� �������������C������������0������������0�� ����
J�����$�����,����� ������������������� � ��� � ���� �� ��� ����������(�����������0�����������������$���������������%����$�����������,�������� ���� ����
M������������ �������� ������� ������������(��������������������$������������������ � ��� '% ���4����� ���,�� ��� �����������
7�����������(�������������������� ���"��-���� ������������ �� ����������������
M�� ����������������������������������������������������������������� �����
A���6��������������������������������������������������������������������-������������������������������������������������]�������0�����6�� ������������������������,����������������6����������������������6��������������������������$���4����������� ������6������������
L� ����
����$���$��������������������������������������������������������������������$���4�������������������B����������� �������%����0����������������#������������������������������
A� �� ��� 2� ��,��� �� �� � ����������������������������� ������6����������%����
L� ���2
+�������$R(���������������������0������������(���������������6�������������� ������������C� ���0����������� ����� ��������������� ������!#��!��#��V��!#��!�V�#�
?� ����� ������� � ����� ���� ������������$������������ ���������$��������������$�����������������������������������������4��%����
3���������0����������0������������������$����������0�����������������4�������3���6������C������$��������8^��9^$������������0��4����������
���������� %��������������������"
�������������
������������
���)������'��"������"%����"�����$��"%�_%�����������������Q������0����
������������������������������������������ ��������6��������������6�����������%������������$������`�`����� ���
�������������������� ���8��6a!�����������%Q���������!�+�������%����������������%������,���Q�$�������!�
A� �������0�� �����������������
���������������V � �V��!���2�8��C�������6������
L� ���8
3��������������4������������������� ���������������������� ����6 ����������������������������������������(���������������$��-b ����������'����������������6/!1b ������������6�'���������������
���3����$���������������������'�� ����`6`1
b ��6a!������ ��%������������������������������������4��%���1�6[!������ ��%����������������4��%�������������������� ���9�
L� ���9
B�����3������������������������$�� ���������� ������ ������� � ������������6��������������������������������� �����������
&�������$��������������������������(���� ��� �������������� �� �������������/2πR�����R��������
+������������������������������������������� ����� ��� ���������� ��%� ��������������2π��������+����������(���������$��-b ���������������� �����������2π
���#���%�����������2�����1b �� ���� �� ����������� `6`� �� �����
��� ��������������%������`6`����
������������������� ����������� ��� ����������� � � ��� ���;����������������6��$��������� ���
./�������� ����2�!��!��A��������� �����������������������
��� ��������������!�πc2�π�8πc2�2π�
���������=������������������������� ��� ��������������
�����W�����:��Lπ ���������� ����C��E��������
�� ���*���� ���π π�� ��
��π
"
���������� %������������������� ��
�������������
������������
!2� &�����,������������� ��������������� ������������������������$��� ���-
�# 6/�
�# 6�/π�
�# 6/��π
�# 6�/−π�
����������� =�������������!���$��� � ����������������
����� ������������ �� �� �����������������'������� ��������� ������"
� F����������������������!���$��� ��� �����
��� � ���������������������� �������π�
������
������54;�
�� �� ��������� ������ �����*�������������
��� ���������π
�������������'4:;� ����������
����!���$���"
�� =������������$��� �������������� � �����!
����������������� �������π�
�������������<:;�
!8�K�����% ����� ����������������������� �������������������������������� ��� � � ����+����������6∈R ��� $��!≤6[2π�������������������6�������$�� � ������� ������% ��� �'�� ����� ����������
���������J��������������������������� ��������*����������!
�����*������� ��$�������������Q����� ������
���������� %���������������������
�������������
������������
���π ������������������� ���
� � ����������
���
=������������*��������� ��������� ���������!��������!���$��� ������ � ���������������� ������!
����� π� "�C����)���� � ���������������������
*����������W����������6��������������+
�������� �������
��� �� ��
= =π π π
������� �������
� = π�
�������� �������
��
��
���
= + =π π π
����� �������
� ���
�.
����
= + =π π π
����� �������
������6�&� ����
��
����
π π π+ =
����� ����*�������������6 ��������� ?������A���������>E�+
������ ���� ����� ����
= ������
π π π π π
���������������������������������"%�����"�����$��"%����������������������� ��������
���� ���� ��� ����������� ����� �������� ���������,��������������
3���$�������������������������$���$����� �������������������#�������� � $���$��� ���� ������� �� �������� ����������������%���$��������������������0�������������
B����������� ���:����������������������(������� �������������������J�!�!#� ���� ����%���� A����� $�� � ���� � ���� �����������������������������!#�
L� �:
M�� ����� ��������� �� ��������$������������ �����������������������
6������������→
�����������������������#�������������0��
��6→�������������6→��������� 6→����������#
��������������%�������������6���6#�������#�������������� 6#�
?� ������� �� ��������� $�� ���������������������6�������������������������������6��������������������� �����
U����%���������������4������$�����,������������������������%�����
���������� %������������������� ��
�������������
������������
3��� ���������� ����� ��� ����� ���JZ��������������� ���:#������������������0�$�������������,���+����������6��������������������������������,��$����� ������� ���������6�����
��� � ���
�
�� �����
� ����
�� �� �
� ����
�� �� �
� ���� �
��
= = ⇒ =
= = ⇒ =
= ⇒ =
��� ���
���
�� ����� � ������ �� � ������� ��� ����������������������������������������#��3-������������������6���6�
�������������4������������0�����
������������ 6/�������� �$��'%���������
������?����������������������4��C�������
����$R(������ ����4������ ����� ���JZ��J�#�+�������,���������������$��
����
����
���
�� �� �= ⇒ = ⇒ =
��������
����������������� ������� ������������������������#���������#�$���������������������� 6�
3�������������������������������������� ����������������������� ������������������ ���:�������������������������������� ���������������������(������$�������������� ���<��<��A�����$��������#�������������������������������
L� �<�
L� �<�
L� �<�
L� �<�
���������� %��������������������
�������������
������������
L� �<�
L� �<�
L� �<
L� �<4
���$R(�������������������������������$����6���������6�����������-
b ���������������� ��� ���<�#� �������������������#0������������'��
��� �; ��� �; ����;
b ������������������ ���<�#�������� ���� �������� ������� ��� 6 a !# �������� ��������6[!#������������� ����������������#�� 6[!#1
b ������������������� ���<�#���������������30��� ��������6[!���6[!#���$�����#�������������������� 6a!#1
b ����������������� ���< #���������������� ��������6[!#�����������������6a!#��������#������������� �������� 6[!#�
U��C���������������$�������b 6/!��6/2π ��� ���<4#�����-
EFG� ����E� ��
��
���b �� �
π ��� ���<�#�����
EFG� ���E ��
� ==
���b 6/� ���<�#�����
EFG �� ���E �� � d
==
���b 6�/��
π ��� ���<�#�����
EFG�� � �E � �
==
���U �����������������$��� ����C���
$��������������������� ��������������
������6/π� ��� ���<�#�6/��π ��� ���<�#�
�����,$���0�4%�������0�������������
�����������→
�
���������� ������������������� ��
�����������
������������
��������������������� � ��������������� ��� �� ��������� ���� ������� ���� ������������ �������� ���� ����������� ������������� � ���� �������� ����� ������ �������� �� ��������� ��� ������ ��������� ��� ��� ����� �������� � ����� ������� ���� �� ����� ����������������
���� � ���������������� !��������������������������"�
���
=°⋅ ° + °⋅ °° + °⋅ ° + °
��� ��� ������
�� �� � ��� �� �� �
������ ���
���������
�� � � �� � � �
�=⋅ − + ⋅ −
+ ⋅ += −
� � � �
�# $������= π%
������� ���������������
Ex x
xx=
+
−
����
� �
��
���
���������
������������� ������� ����������������
�=+
−
��� �����
��� ���
π π
π π
�� � �� �
��
=− + ⋅
−=
− �= − �
�& '�����������������������������( ��)�������*+�,�����#��+�,�����&�*+�,�������#*�+�( ��)������,�����#�,�����&�,�������-
�������������� ��!�������"������������������������#
$����
�% ����&'()�*�'��"��+'')�,�'����"�-'()�.
=°
> ° =°
<���� ���
�� ���� /��
�cosec %./
��.�0�1�2�1�0�1�2�⇒���*�'
�% ���� &� *� '� �"�� +� ,� '�� ��"� -� .� �����
� ,� '�
"��"�3�.� �� �
�,4���.�0�1�2�1�2�1�2�⇒ ���,�'
������� ���% ��*�'���% ��,�'
�0 12�����$3(��������������������������
����∈ � �� π ���������,�������4���������,�������5��6
���������������1�"����*�'
���������� %���������������������
�������������
������������
������������ ]�^_� ]
<>
�����
������� ���� �
���� ��><
������ ���� � �� � �
����⋅ < ⇒ ⋅ <
J����������$������*�������6�K�:������6�[�:������6�[�:������6�K�:
���������������������������>?���*����������)����
6�∈�(`���������"
������+�6 ∈�(`���������
!:� �+� �������XD# @� � �� 6 / 8c: ���π π< <� � ����0�� 6����-
�# V9c8 �# =c9�# V8c9 �# V=c9�# :c8� ���������
���6�H�����6�&�'⇒����6�H���
���
��� =
���6�H����
�= �� ⇒����� �����
� =
���� �.
= ± "������6�∈ Fa�������������6�[�:
��������6�&�Y�5P4"
tg xsen x
xsposta tg x= = = ⇒ = −
cos
–– :
4 5
3 54 3 4 3��
� ���������������������������������������������������
��������������>?����� ������������� ���� ��!�����������������"�I������������*�����������B����� ���*�����������������)��������� ������ �����������������������������B�����"
���������
��� � ����������
= =
4��&�(��H�7���⇒��7�&�5
6�∈�Fa�����������⇒���� ���
= −
���'��������*�"��"��+������,���"����"��A��� ����� ��������������������
������������� �������������� ����������������6���������������6����������������������������$���������
B�������������������������Q����������(�����0�������������������0��� ��6������������ Q��� ���� ��6����������������6�������������������������
���������� %������������������� ��
�������������
������������
A����� ������$��� ����� ��� ������������������6�������-b ��������� ������������������
π V61b ��������� ������������������
π .61b ��������� ������������������
2π V6����������V6�
��������� ��������������������������������������
���$��������� ���"#���.�/�!����!���!��A��� ����� ��������$����������
������������������0�����6�������������(������������������������������������
K����,$���������$������������������������������-����6���6#�������π V6#����π V6##���������� ���������������-
���π V6#/��6���π V6#/V��6
B�������� ������ $�� � �����# �#�� ��������� �� ���� � ��������������
�����↔
����
↔��(��������������������
+��� # � #� ����� �� ������ ����#���� 6#�#����� �π V6##�����,���$��-
� �π V6#/V� 6
���$��������� ���"#�7������!��.�/������!���!��B��������� ���������������� ���
�� �������������������0�Q��� ������6�������������(���������������� ��������������
K����,������C�����������������������������������������6���6#�����π .6#����π.6##��������������������������0��������$��-
���π .6#/V��6���π .6#/V���6
���������������������������↔
�
��↔
� ��������������#�#� ���� ������������$R��������������������� ����
+���#��#���������������������#���� 6#�#� ���� �π .6##���,���$��-
� �π .6#/� 6
���������� %��������������������
�������������
������������
���$��������� ���"#���.�/�!���%�������J�������� ����� ���������������
���������������0�����6���������A�����$��������������!�����������������������������
?����������������������0�-����6����6#�������2π V�6#����2π V6##�
������������������������$��-
���2π V6#/V��6���2π V6#/��6
B�����# ��#� ���������� �������
�������������������� ���↔ ↔
� ���������������������������������������
?��������#�#�����#���� 6#�#����� �2π V6##�����������,��$��-
� �2π V6��/V� 6
B��������������������������6�������������������������V6#�B���������������������������������������������������-
���V6#/V��6���V6#/��6� �V6#/V� 6
?�����������$�������������$������������,��$������������������������ ! � 2π ���� ����������� �� �������� ������������������������ ���b �(����� �������������������
�����0�����6����������� ���6������#1
b �(������� � ��� � ��������������������0�����6�����������6���������#1
b �(���� ����� ������������������������0�Q��� ������6������������
./�������� ����2�!��!��+��������������������� ������
������ ���-�# �:!"
�# ��π
�# 8!!"���������������� ���������������� � ����������
�������� �����+F"������������������������������������6������!
���������\FF"������ ���� ��������������� ��� ������������!
������ �����������9���\FFF"��������������*����������� ���!��������!
������������������������� ��������������� �6! ������� ���� ��������������*������������ �������!����������������������"
�#
���'4:;�&����(:�
���'4:;�&���
���������� %������������������� �!
�������������
������������
����'4:;�&�Y�����(:;
����'4:;�&��� ��
���'4:;�&�Y���(:;
���'4:;&V��
�#
��� ��
� ����
π π=
��� ��
� ��
π=
��� ��
� ����
π π=
��� ��
� ��
π =
�� ��
���
π π=
�� ��
�π =
�#
���(::;�&�Y����<:;
���(::;�&�Y���
����(::;�&�����<:;
����(::;�&���
���(::;�&�Y���<:;
���(::;�&�Y �
!2� @� 6 � �� ���� ����������� �� �^$������������$��� 6/!�=:��������-
�# ���π V6#�# ���π .6#������������������� �������������*������������
��!�����6 ������E�� �����*�� � ����6���������� ����������������"
��������6@��������������������������������! @�����L ������+
����6�&�����6�H�'�⇒ ��
��� ������
�=
�����6�&�: <5 ∴�����6�&�: 2
����6�H������6�&�'�⇒ �����6�&�: (<
∴����6�&�: <
���������� %��������������������"
�������������
������������
�� ����π �Y�6��&����6
���π �Y�6��&�: <
� ����π H�6��&�Y�����6
����π H�6��&�Y�: 2
!8��K?&V3X#B��������6���0����2π c8#.���8π c2#.� �:π c9#�-
�#� ���
�# V�c2�# !�# �c2
�# � �����������
����Lπ c(#/V����π c(#/���
���(π cL#/V'
���4π c5#/���π c5#/ � � �����Lπ P(#.���(π PL#.����4π P5#/
� ��� � �
�+
= =��� ��
� � ��
���������
!9��L>JV@3#��� �������-
��# EFG� EFG�π π�
��
= �
�2# ��� � ���π π�
��
=
�8# �� ��π π�
��
=
�9# ����� �����π π�
��
=
3�������,��$��-�# ���4�����������������# ����������������������# ������������0����������# �������(����0����������# ����0�������������������'� b���� � �������π P<�&����4π P<
����6�&�����π Y6���L� a�������������6�&�Y������π Y6���(� a������������6�&�����π H�6���5� a������� � ���
������6��&�������
����� � �
���� � �
⇒ =π π
������+�C
���-.��(�����"�����$��"%�����*�"��"���/����U����%���$����������������� �����
�� � $�� ��� � �� ��� �$���0���� ����������������������(������������� ������6�����-b �� ���������� 6/�V��� 6��������
���������������,$�������%����������������������$���$�������$������4����������6�
b ��6���0����6/V �� ��������#!
�������'���0�������$���$���������������6$����������������������� ����V�c)�3��������6����������; �������$���0����'�����0���%����'��������������6$��������,���
3���$���������������,��$���������#!������������������ ��������������������������; �����������������������,����� �����������
���������� %������������������� ��
�������������
������������
@���6���0�����������������������$����$��������������C�������; ������������%���4���������������������������
K����,$��4%��� ������������ ��������$�����$���������������������� ������������� �� �����%������$��������������,�����$��������������6��
&���.+��"#�!�-�������/8�+�����������������(������������
�����������V�������$���0�;�������������0�����������������$���∈fV���g�
3��������������������������������$���/��α ������
��6/�⇒��6/��αB������6�α ����������������
�� � ������ �� �� ��� �� �� �������� ���������� 0�������������� ����������������0�����6������������
L� ���
�������������� ������,���$�������!≤α [2π�
��� ��������
= ⇔=
=
�����
αα
π α�
&���.+��"#�!�-�������/8�B�����$�������������������(����
��� �����������(������������������C�����������������������������������#�������������V����&� �����������$���0�;�������0�������$���∈fV���g�
A�������������������������������$���/��α ������
��6/�⇒��6/��αB������6�α ����������������
������������������� ������������ ���������� 0�������������� ����������������0�����6���������
L� ��23���$�������������� ����2������
���������$�������!≤α [2π�
��6/��α⇔=
= −
�����
�
�
α
π α��
�
&���.+��"#�!�-������/8�?$�������� ����� �(�����0�����
$���$�����������������@����α ���$���/� α ���������,��$��-
� 6/�⇒ � 6/� αB����6�α���������������� ���
�� �� � ������ �� �� ��� ���� �������� ���������� 0�������������� ����������������0�Q��� ������6��������������������������������#�
L� ��8
���������� ���������������������
�����������
������������
����������������� ������������≤ α����π������������������ ��
����������α����⇔=
= +
�����
�
�
α
α π��
���� � ����������������� ��������≤ �����π���������������� � !����" ���������#" ���������
�" ��������– 12
���������
��
������������ ��������� ���������������������������π��
��
�������������������������������� ���������� ������ ����������� ���������������� !�������������
�����������������������π
��
"��� ��������
���������������� �����
π�
����������� �
����� #��$ �������� ������������#�����������%���
����
���������� �����������#����&������� ������������π�
�'π
���π�%� π�
�������(��
�������
�
��
�
π π�� � =
��� $%&'(�)� ����"� *������� �� �� � +������� � � ��������≤���≤��π
���������
"���)π �*��+π �*,�,�)������������������ ����≤���≤��π,������(
����������- ������� +������� � +���������.�������/���������������-��������� ������ ��������#�����������./��#�!� ��0����� ��1�����#�������������������./��� � �����������
����� ��#�����0��'�0�%�2����
���������� %������������������� ��
�������������
������������
� ����������)B������������e��� ����������������@9�+
y senx
y senx
= ⇒ =
= ⇒ =
�
���
���
�� ��
��
��
=���������������������� ��� �������������*�����*�������������B������6 �����������+
� �� � �� �= = =π π π�
��
��
� � � �
�����
�� = ������
π π π�����
� �
!9�@�6 � ���$��!≤6[2π� ���������$�������6������������� ���-
�# ��6/V��# ��6/!
�# ��6/��
���������
��
G��������������*��������������������������������� ��������+
�6�& π�
�� ���������*�����:�����6��������!���� ��������!��� ��������� ������������������������@9��������>E��+
��6�&�π�
������������6�&��
�
π
��
��������������*����� �
�
�����6��������!����
����������������@9�+
��6�&� π�
����� 6�&� ��
π
!:� �3K+�@3#��������C,����$����0���6.��� 6/!1!≤ 6≤ 2π�����������-
�# π�# 2π�# 8π�# 9π�# :π�������������6�H������6�&�:�⇒�����6�O��'�H�����6��&�:
���������� %�������������������
�������������
������������
����6�&�:����'�H�����6�&�:�⇒�����6�&�Y'
G����&�π PL�H�(π PL�H�π �&�Lπ��H�π �&�(π���������
!<� @����6�����������$��!≤6[2π����������$������ �����-
�# � 6/��# � 6/!�# � 6/V ����������
��
����������*����������������������������� �����@9��������>E������������E�+
6�&� π�
�� 6�&� ��
π
�
J�*�����:�����6���������������������!�����������+
6�&�: �� 6�&�π
��
C���������������������������������������� ��!���� ������@9��������>E������
�6�&���π
���� x = �
�
π
!=�3�����������6 ��� $��!≤ 6 [ π��������� � ��� �� ��C,� �� �$���0�
��� �� = �
���������Z���� �������� ���L�������*������*������� ���
���������6 �����+:�≤�6�[�π��⇒��:�≤�L6�[�LπC�����>E��)������������������� �����+
�� �� �= � ⇒���� ����� �
� �
� �
=
= −
�����
���������� %������������������� �
�������������
������������
C���������������������� ����*�������+
��
��
�
��
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
� ��
� ��
�
� ��
� ��
� ��
�
=
=
=
=
�
�
����
�
����
⇒
=
=
=
=
�
�
����
�
����
π
π
π
π
π
π
π
π
%��� ��������������@9��������������+
� = + + + =π π π π π�
�
�
�
�
�
�
��
�
G�&�Lπ
�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#���� �
�������������
������������
����������������� �!������������������������A����;�����������'�������������
��������� �� ������0��� ��,�� ��� ����������������� ����0����%���������������������4��������������������� �����������$������������������������ ������������������������ ������'����
B��������$����0���������������������� ���� ��� ��������� ������ �������� ��������0��������,������� ������������������� !"������������������� ��������� ����������������������(�����
���"��������%�������������� �� ��� � ��( ����� ��
������� ����J���J�C�JfC���$�������4������������%������� ������ �����J��&�JC�&���
B�������$���������� ������� � ��� � �������� ��������������������� ���J���J�C ��������� ���������������������H�������� ���JfC����������������������������������������H�����-
EFG � �� � ����
��+ = = ⇒N
����.#/Cf
���� �� � ����
��+ = = ⇒N
����.#/Jf
�������������� ���J�C����������������������������� �������-
EFG�� ����
��= = ⇒�
�C/��
����� ����
��= = ⇒�
J�/��
L� ����
A�>������������������$�������� ��� ����� ��������������������������������� ����������0������������������0�����C��������$�������������0��������������� ������������ ��
������ ����� 0����$������ /���� /�������,$��������� ��� 0����������
�����������������������������������������
A� �� ���2� ���������������� ���������� ������� ��� ����������������������������������� �P������������������������ �������� ����J�R��CG������������������0��B�������$��� ����� ��� � ��� ������� �(����� ��������������������
�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#���� �
�������������
������������
�������������-b ������� ����CG-
EFG�EFG
� ����
���
= = ⇒ �G/�����1
�������
� ����
���
= = ⇒CG/�����1
b �������� ���J�R-
EFG���E�
� ����
���
= = ⇒�R/�����1
������
� ����
���
= = ⇒JR/������
L� ���2
J����������������$������.#/Cf�B����������� ���2�������������������6���0�����-
����.#/�R.CG⇒����.#/���S��.���S���
+�������.#/Jf������������ ���2�����������$��-
����.#/JRV�G⇒����.�#/���S��V���S��
����$����6 ≠ !��������� ���6�
�%���������������� 6/��� �����
3�������������������������������
,������ ������������� ������������������� ���-
� ��.#/��� � ����� �
� �� �
++
⇒
� ��.#/EFG� ��E� EFG� ��E���E� ��E� EFG� EFG�
� � � �� � � �
⋅ + ⋅⋅ ⋅�
��������������������������������������0����������������������-
��
���� ���� ���� ��������
�������� ����
��� ������� ����
��� ��� ���
���� �
� �� �
� �� �
� �� �
� �� �
+ =
⋅⋅
+ ⋅⋅
⋅⋅
−⋅⋅
⇒
���� ���� ��
� �� �� �� �
+ =+
− ⋅�?���������������� ����������
$��-����.#/���S��.���S�������.�#/���S��V���S��
���� ���� ��
� �� �� �� �
+ =+
− ⋅� <��=�>�?≠≠≠≠≠ @
���0"1�����������%��@�'����6V7#/��f6.�V7#g�������������;�����'%���4���������
��-���6V7#/��6S���V7#.���V7#S��6�������,����������0����^$�����������V7#/���7����V7#/V��7�����-���6V7#/��6�S��7.�V��7#S��6�
���-���6V7#/��6S��7V��7S��6A @�'����6V7#/��f6.�V7#g�������������;�����'%���4����������-���6�Y�7#/��6S���V7#V��6S���V7#�������,����������0����^$�����������V7#/��7����V7#/V��7�����-���6V7#/��6S��7V��6�S�V��7#�
���-
�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#����
�������������
������������
���6�Y�7#/��6S��7.��6S��73�������,�������� ����������������
�����,��������������������-� �6V7#/� f6.�V7#g�������������;��
����������0��������
� �6V7#/��� ����� ���� � �� �+ −
− ⋅ −� �� �N
������������0����^$��������-� �V7#/V� 7
&� ��� �6V7#/��� ���� ��� � �� �+ −
− ⋅ −� �� �� ����-
� �6V7#/��� ����� ���� � �� �−
+ ⋅�
3����������������� ������������C���$��-
����V#/���S��V��S��������Y�#/���S��.���S��
� ��V#/��� ����� ���� � �� �
−+ ⋅�
<��=�B�?≠≠≠≠≠ @
./�������� ����2�!��!��+������������������������������
������=:"��������������������*��U4;� �����������������(:;
H�54;"��������6@��������6 ���?������� ���!����
�������������� ��������+
g ���U4;/���8!".9:"#⇒
���U4;�&����(:;�����54;�H����54;�����(:;
������⇒ ����U4;�&���
��
��
��
⋅ + ⋅ ⇒
������������U4;�&�� ��+
b ����U4;�&������(:;�H�54;���⇒����U4;�&�����(:;�O�����54;�Y����(:;�O����54;��⇒
����U4;�&���
��
��
��
⋅ − ⋅ ��⇒
������U4;�&�� ��−
g ���U4;�&�����(:;�H�54;���⇒
���U4;�&��� �� ����� �� �� ����
°+ °− °⋅ °
�⇒
���U4;�&�
��
�
� ���
� ��
� ��
+
− ⋅=
+
−��⇒
���U4;�&�� �� �
� �� �
+−
⋅ ++
��⇒
��������U4;�&�L�H� �
!2�@����6�7�� ���� �����������
�$����6/��
���7/�����������������
��������������6�H�7�������������������������� ���$�����$���������������
���7������6"������ ������ � ������������������������H��������&�'�����������������������E������� ���������������������+g ����6�H������6�&�'��⇒
�����6�&�����
����
− =
∴������6�&����
g ����7�H������7�&�'��⇒
����7�&�����
����
− =
∴�����7�&����
� �������!�����*�������������������6 ���E��������������� ������+
�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#���� !
�������������
������������
����6�H�7��&����6�O�����7�H����7�O�����6��⇒
����6�H�7��&�����
���
���
⋅ + ⋅ ��⇒
����6�H�7��&������ ���+
�����������������*�����������6�H�7� � �������9����+
����6�H�7��&��
������ �+⇒
����6�H�7��&� ������ ����� ���� ����⋅ − ⋅
��⇒
�����6�H�7��&� ����
��
��
���
⋅ − ⋅��⇒
����6�H�7��&���
�� � ��� � ��� � �−
⋅ ++
��⇒
����6�H�7��&����� �� � ����+
−��⇒
���6.h#/−+�� � ��
!8�+������������������������������ �������:"�
������������������9�����'4;������ ��������)��>�
<:;�Y�54;������ 54;�Y�(:;"�G������9����������W�����)������ ������� �� ����������6 ���?������� ��!�����������������)��>� ����������������!������������+g ���'4;�&�����54;�Y�(:;���⇒
���'4;�&����54;�O�����(:;�Y����(:;�O�����54;
���'4;�&���
��
��
��
⋅ − ⋅ ��⇒
���������'4;�&�� ��−
g ����'4;�&������54;�Y�(:;���⇒����'4;�&�����54;�O�����(:;�H����54;�O����(:;
����'4;�&���
��
����
⋅ + ⋅ ��⇒
����������'4;�&�� ��+
g ���'4;�&�����54;�Y�(:;�
���'4;�&������ ������ ����� �����
°− °− °⋅ °
�&�� �
�
� � ��
−
+ ⋅��⇒
���'4;�&�
� ��
� ��
� �� �
� �� �
−
+= −
+⋅ −
−��⇒
���������'4;�&�L�Y� �
!9�@������$��� ��/8�� �/2����������� ���V#
������������������!������������������������ ���
�����*���������������� � ������)�9�
��������Y���&��
���� ��− ��⇒
��������Y���&�� ���� �������� ����
� � �� �
+ ⋅−
=+ ⋅
−�⇒
���������Y���&�U
!:��P��i��,���@3#
+�������- 7/����28".�#V���:="V�#
���������
����'L(;�H����&����'L(;�������H����������'L(;
����4U;�Y����&����4U;�������Y����������4U;
�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#���� "
�������������
������������
������'L(;�&�'2:;�Y�4U; ���E������'L(;�&����4U;������'L(;�&�Y�����4U;"
I��E�+7�&�����'L(;�Y����4U;��������YY������'L(;�H�����4U;������7�&�:�O�������Y�:�O������&�:
����������7�&�:
!<��L�����@3#
A� ����� ��� ����� ������� � ������
�� ��� �����2. � ����������������
���@�'�C��������������$���C/���+������� �α.β#���$��α�β0���������������������������� ���� �� �
���������
1
1
AC
B
�
�1 3�
D
�� ���
��������������� � �� �
α β=+
��� � ��� ��
� � ���
� � � �
α β+
+
− ⋅= +
++
��������������������= +⋅
−−
= =�� �� �
�� �
� ��
��
������+� �
!=�+�������%���������� �������6��
A
75°
4
B
C
���������
������ ���
=×
���U4;�&����
���&�5�O����U4;
���&�5�O�����(:;�H�54;�
���&�5����(:;�O�����54;�H����54;�O�����(:;�
���&�5�O���
��
��
��
⋅ + ⋅���
���
���&� � �+
����U4;�&����
���&�5�O�����U4;
���&�5�O������54;�H�(:;�
���&�5�O������54;�O�����(:;�Y����54;�O����(:;�
���&�5�O���
��� ��
��
⋅ ⋅���
���
���&� � � �
h���&�� � � � �
�� � � �+
= =��
�
������+�h���&�L��"�"
�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#���� �
�������������
������������
�����%��0���3�������,������������������ ���
��������������������������,�������6���������,��������������������,�����������������/��
����������-����.�#/����.�#/��2�⇒��2�/���S���.���S���⇒
��2�/2���S���
����.�#/����.�#/��2�⇒��2�/���S���V���S���⇒
��2�/����V����
� ��.�#/� ��.�#/� 2�⇒
�� ���� ������ ���
�� ������ �
��
��
� �
=+
− ⋅
=−
X�������� � �6����� $����������������������� �����������������0�-
�# ��2�/2���S���2# ��2�/����V����
8# � 2�/�
�� �
�
�� ��� �
�−
≠���
*����+�#!&��������$������.����/����6����
0���������������������������������# ����/�V�����
��2�/����V����?��0�-
��2�/�V2����2# ����/�V�����
��2�/����V����?��0�-
��2�/2����V�
./�������� ����2�!��!��@��������$������ ���θ ���$��
![θ[π�������� ����!�<������������
���������������������� ������2θ����������������������θ�&�: < ������*9�����θ���������
��������������������θ������θ �����*������������!������������+
g ����θ + �����θ��&�'�⇒: (<�H������θ��&�'⇒�����θ = : <5��∴ ���θ = : 2
g �� ������
�� ���
�� ��
θ θθ
θ θ
= ⇒
= ⇒ =
8����9��������6 ���?��������9����� ��������������������� ������+
g ���Lθ�&�L����θO�����θ�&�L�O�: <�O�: 2��⇒ �����Lθ & 0,96g ����Lθ�&������θY�����θ�⇒
����Lθ&�: <5�Y�: (<�⇒����Lθ�&�: L2
g ��� � ��� ��
��� � ����� �����
��������
�� � ���
�θ θ
θ
θ
θ
=−
⇒
= ⋅−
= ⇒
≅
!2� @���� ��6 V �� 6 /i�������������26������0���i�
���������I�*����������������������������������6!
���E������ ������+����6�Y�����6����&��e���⇒
����6�Y�L����6�O�����6�H������6��&�e�
���������6�H������6��&�' � ����������*����������������������+
�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#���� �
�������������
������������
'�Y�L����6�O�����6��&��e���⇒
Y����L6��&��e���Y�'�⇒
���L6�&�'�Y�e�
!8� �L>J�@3#X������ � ������$������ ��� ����������-
�#��� � =��
���$��� �≤ ≤� π
�#��6/��26���$��� �≤ ≤� π
��������������� �≤ ≤� π
�� ���� ��
����
� �
�� �
= ⇔ =
= → = ������
π
π π π
� ���6�&�����L6�⇔ ����6�&�'�Y�L�����6�⇔
⇔ + − = ⇔
⇔
= − ⇒ =
= ⇒ = =
= ������
���� � ���� � �
���� � � ��
���� ��
�� � �
�
�� ��� ��
�
π
π π
π π π
!9�B���������������� ����
���������
�� ����
� ��
�� ��
�
�
��
�
�
��
� �
�
�
���
��
��
�
�
α αα
α
� �
� �
=−
=⋅
− ����
=
+ = → =
��������1����������*����?������������������������������
���� ���������������.��$����V��$����.��$����������3������������������� ������;�����������0�� ������0�-
����.*#/���S��*.��*S����M#����V*#/���S��*V��*S����MM#����.*#/���S��*V���S��*�MMM#����V*#/���S��*.���S��*�MJ#?��0�����-M.MM-
����.*#.����V*#/2���S��*MVMM-
����.*#V����V*#/2��*S���MMM.MJ-
����.*#.����V*#/2���S��*MMMVMJ-
����.*#V����V*#/V2���S��*J�������������� ���-
� � �� � �
� �
���� �
X���������������������������-
�� �
� �� �
��
�� �
�
@������������$������ �������������������������-
�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#���� �
�������������
������������
���� ���� ���� � � �
���� ���� ���� � � �
� �� � � �
� � ���� �
���� �
� ���������������
� �������
�������
� ���������������
���������������
�� �
�� �
�� �
� �
���
���
��� ��� ��� ���
��� ��� �
$��0���;��������������0��4,����L������-�#��9!�.��2!�
�#��2!�V���!�
�#��)!�.��2!�
�#��=!�V��:!�
�#��:!�.��)!�
�#�.��2!�
%����#!�#��9!�.��2!�/
= +���
��� ⋅���
���⇒� �� ��
��� ��
����
� � � �
��� �
��9!�.��2!�/2��8!�S���!�
�#��2!�V���!�/
=���
��� ⋅
+���
���⇒� �� ��
��� ��
����
� � � �� ���
��2!�V���!�/2��:�S���:�
�#��)!�.��2!�/
=+�
����� ⋅���
���⇒� �� ��
��� ��
���� ��� �� � � �
��)!�.��2!�/2��:!�S��8!�
�#��=!�V��:!�/
=+�
����� ⋅���
���⇒� �� �� ��
��� ��
���� ���
� � � �
��=!�V��:!�/V2��<!�S���!�
�#��:!�.��)!�//��:!�.���!� /
=+�
����� ⋅���
���⇒� �� ��
��� ��
���� ��� �� � � �
���:!�.��)!�/2��8!�S��2!�
�#�.��2!�/��!�.��2!�/
=+�
����� ⋅���
���⇒� � ��
�� ��
���� ��� �� � �
��!�.��2!�/2���!�S���V�!�#�����V�!�#/���!�
���-�.��2!�/2����!�
./�������� ����2�!��!��@������������6���0��
���� ���� �
��
��� �����
���������
����� �� ��
�� �� � ��
����
� � � �
�=
+���
��� ⋅���
���
������� ����
����
� �
��
�
I�&�L����L4�
!2�L��������6���0��h/���.2��2�.��8����������7�&������H����(��H�L����L�
� � ��� � ���
�� � ���
������=+��
����
�� +
7�&�L����L��O������Y���H�L����L�����������Y���&������ �����+7�&�L����L���������H�'�7�&�L����L���������H�����:�
� ������ � ��
�� � ��
� ������������ ����
�������� � #&�'(��)�*���'(�&�#����!
�������������
������������
� � ����� �� ��
�= ⋅
!8��L?M�@3#
@����������������� � ���� �
� � �� �
�� � ���
�����-
�# � 6�# ��6�# ��6�# � 86�# ���
���������
��� � ���� �� � �
��
� ���
� ���� � ����
��� � � ��� � �
��� � � � ��
�
��
��
� ��
��
=
+���� ⋅
−����
���� ⋅
+����
=
������� C
!9� �3K+�@3#7�������������������������6���0���=!�.��8!���������-�#2��2:���:�
�#2��2:���:�
�#2��2:���:�
�#2��2:���:�
�#���������������U:��&�����L:� �����+���U:��H�����(:��&�����L:��H�����(:��&
���
���������
����
� �
������ ��
����
�� � ��
�
������ ������
� � � �
�
Z��������Y4��&�����4 �����+���U:��H�����(:��&�L�����L4��O�����4�
������� �!:�7��������������������6���0�
����6��h/���6V���86����������7�&�����6�H����(6��O�����6�Y����(6�
� ���� � ���
�� � ���
� ��� � ���
�� � ���
����
�����
���
� � �����
���
��
7�&�L����L6�O������Y6��O�L�����Y6��O�����L67�&�iL����L6�O�����L6j�iL�����Y6��O������Y6�j7�&����56�O�����YL6����������YL6��&�Y�����L6� �����+7�&�Y����56�O����L6
��������!� �������������&��+,����� ���� !�
�������������
������������
�����������D% �������$��� ���� ���������� ����
2π[6[2π������������������������������ �����������A����������������C����������������������������(����������������������������������������������������������
j��������������6���������������$��6≥2π��6≤V2π��������������6�������3���������� ������������������������������� � ��������������������� ������ �����������4��%�����4��%������������6a!��6[!����������������
B�����3������������4������6������������6���������� ��������������������������30�����������6���6#�
+���������0���������������6�����������3���������� ��������������������,���� ��������������-
+�6/�������3@��6/����������3
7 6/��� �
���� �����$����6≠ !
+�� 6/������� � �����$����6≠ !
@��6/�
���� �����$����6≠ !
+���6/�
��� � �����$����6≠ !
���������������6������������������������������ ����������1������������������������������ ������������������ ������ �������� ������ ����� $���4�������������������������������
4,����
�^# ��������������������������3���������� �����������
2^# �������3� ������������������-
�/�k����������0���������.2π/2k����������0���������.9π/8k����������0���������.<π/9k����������0��������������������������������������������V2π/�k����������0��� ������V9π/2k����������0��� ������V<π/8k����������0��� ����������������������������������������
� 2���%����"�����$��"%�@������ ��������������� ��
�����������$��!≤��[2π���,���$������������������������0����������3�
+4����� �� ��� ����������� �����'�������������������-
� � � ����� ������
= + ⋅ ∈�
�
�π�
���-i/! ⇒ � / �� �������������������0�
���������3#i/�⇒ �/��.2π�� ��������������0�
���������3#
��������"�����������������#$�����%����
��������!� �������������&��+,����� ����!�
�������������
������������
i/2⇒ �/��.9π�������������������0����������3#
�����������������������������i/V�⇒ �/��V2π�������������������
�0��� �������3#i/V2⇒ �/��V9π�� ��������������
�0��� �������3#�����������������������������
@������ ��������������� �����������$��!"≤��[8<!"���,���$������������������������0����������3�
+4����� �� ���� ��� ���������� �����'�������������������-
� � � ����� ������
= + ⋅ ° ∈�
�
�� �
i/ ! ⇒ � / �� �������������������0����������3#
i/�⇒ �/��.8<!"�� ���������������0����������3#
i/2⇒ �/��.=2!"��������������������0����������3#
����������������������������i/V�⇒ �/��V8<!"�����������������
���0��� �������3#i/V2⇒ �/��V=2!"�� ������������
���0��� �������3#������������������������������������������� �����$������
�������������0����������3�� �������� ����������1���������������������������������������������������������������������������������4����������������������0���3�
4,������� )!"+������������������8<!"����0�-
)!"/8k�����������������������3�2<!"/�k����������������3�3∈8^$���������
2����π ���
+������������������2π���/��π ����
���0�-
���π ��� /9k����������0������������
�����3�
��π ���/�k����������0����������3�
3∈2k$���������
8� V2!!!"+������������������8<!"
V2!!!"/<k����������0��� ��������������3�
��������!� �������������&��+,����� ���� !�
�������������
������������
V2!!"/�k����������0��� �������3�3∈2^$��������
9� � ���π ���
+���������������������
π π��� ���= �
� ���π/9k��������� ��������������3�
� ��π/�k��������� �������3�
3∈8^$���������
*����+�#$���#@����6�����������������$��!
≤6�[2π, ��,���$��6/6� .iS2π�i∈l���6�����!����� �� ���� ������� �������� 3 ��6��������� �� 6�# �� �������� �����������
4,����B������������������������3
���� �����������6�������-
� �= + ⋅π π�
�
2# T����� ����$���������������,0���� ��������������������������������������������#�����$��2�����$��V2���������������������������������������������0����������������������������
4,�����
�� +������� EFG���π
EFG EFG EFG���
�� �
��
π π π= = =
��������!� �������������&��+,����� ����!
�������������
������������
2� +������� ������π
��� ��� � ��� ����
�� �
π π π= = =
���-3�����(�������"�����./�����#�6����!�� �����������!�����0����@�'�������� ���� 6���������������
��������0������������� �����#����������3���������� �����������
��������������������30�-��� � � � � � � � � ���� � � � �
� � � � �� � � �π π π π+ +
3��� ������������ ����� ���������� ��0�������������� ��,0�2π� �������������������������3�������6���0�-
� � � � �= + ⋅ ∈�
�π�
4,������� ?6���0� ������ ���� �������
��������-
� � � �= + ⋅ ⋅ ∈� �π�2� ?6���0� ������ ���� �������
�������*-
� � � �= + ⋅ ∈π π�
� �
8� ?6���0� ������ ���� ���������������Y-
� � � �= + ⋅ ∈π π� �9� ?6���0� ������ ���� �������
�������*Y-
��������!� �������������&��+,����� ���� !!
�������������
������������
� � � �= + ⋅ ∈��
�π π�
*����+�#!7��������������
� � � �= + ⋅ ∈� �π π�
�
����./�����#�6����!�� �����������!���./�����!�!��!���9�������@�'������������6����������������
��������0������������� �����#�������3���������T��6�������������������������������� �����������
���������������3��T0��������-
� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � �π π π π π+ +
3������������������������������� ��0����������������,0�π� �������������������������3��T�������6���0�-
� � � � �= + ⋅ ∈�
π�4,������� ?6���0� ������ ���� �������
�����������Y-
� � � �= + ⋅ ∈� π�
2� ?6���0� ������ ���� ��������������*��*Y-
� � � �= + ⋅ ∈π π�
�
8� ?6���0� ������ ���� ��������������P��A� ������$���P ���
��������π ��� �
� � � �= + ⋅ ∈��π π�
*����+�#!
7��������������� � � �= + ∈� �π π�
����./�����#�6����!�� �����������!���0�����+��9�2�!���������:��;������0�����*�����+���������������3��3��3������3�
$������������������ �������������������� ����
@�'�������� ���� 6�����������������������0������������� �����#�����������������������
��������!� �������������&��+,����� ����!"
�������������
������������
��������������������0�-
��� � � � � � � �
� � � ���
��
��
��
�
��
��
��
� � � �
� � �
� � � � �
� � � � �
⋅ ⋅
+ + ⋅ + ⋅
π π π
π π π
3���������������������������
��� ��0����������������,0��π�
�������
��������������������������������6���0�-
� � �G
� �= + ⋅ ∈�
�π �
4,������� ?6���0� ������ ���� �������
���������*��Y��*Y-
� � � �= + ⋅ ∈� ��π �
2� ?6���0� ������ ���� ��������������P��P��P��P���P�����������������% ����� �����������$���P����
��������-
� � � �= + ⋅ ∈π π�
��
�
*����+�#!?6����������6����� ����$�����
��� �������,���� �� ����������������� ���%�������������������������0����6������$��������������
4,����?6���0� ������ �������������
�����3�3Y������������������0�����6�
������������$���3������������
3��������������6���0�-
� � ��= + ∈π π� �
���� �
A�������������-
� � � � � � �= + ⋅ = + ⋅ ∈π π π π�
O ��
O �
��������!� �������������&��+,����� ���� !�
�������������
������������
./�������� ����2�!��!���(�������������������0��������
������
�# �2!!" �# ���
π
�# V�!2!"���������
!2�+���������� � �� ��� ����6���*+�?L���4�6% ����� ����#�
��� � �6���0� ������ ���� ���������������-�# �
��������� � ��� � �∈ ⋅ �π
�# P
��������� � ��� � �∈ + ⋅π π�
�
�# +
��������� � ��� � �∈ + ⋅��
�π π
�# ������������� � ��� � �∈ π
�# *��?
��������� � ��� � �∈ +π π�
�# *��L
��������� � ��� � �∈ ± + ⋅π π�
O
# ���P�����A
��������� � ��� � �∈ π�
4# ���*��+�����?��L
��������� � ��� � �∈ π�
!2�B���������������������'����
� � � ��� � � �= = ∈������� �π
�
�# < �# �# = �#�!�# )���������
� =���
������� �� � � � ��
���
� ��
��
�
���������
!8� @��/)9!"��/���������-
�# ����.�#
��������!� �������������&��+,����� ����!�
�������������
������������
�# � ��V�#���������
�� ������H���&�����'L:;�H�L5:;��&����(<:;�&&����:;�&�:
� ������Y���&�����'L:;�Y�L5:;��&�����Y'L:;��&&����L5:;�&����<:;�&� �
���-.��(�����"�����$��"%��%�������������' ��*����!�"#�D% ������� �$����� ��� ����������
�������� ������������������������������� ������������ ���$��������������������������������������������������������������� ���������������������������������� �$�����������������'����X�
���.+��"#�!�-�������/8���αααααB������6�α ��������������
������������������� ������������ ���������� 0�������������� ����������������0�����6������������
���������������C��-
sen x sen
x kou
x k k Z
= ⇔
= + ⋅
= + ⋅ ∈
�����
α
α π
π α π
�
�� �
4,�����
�� X��������X-��86/��
%����#!
EFG � EFG � EFG�NO
��
� � �π
?��0�-
��
�� �� � �π
π
��
��
�x k= + ⋅π π π�
���-
��
� ��π π
����
��
� � � �� � ����
O�
π π�
2� X��������X-��)6/��96%����#!)6/96.iS2π��)6/πV96.iS2π���-
x k ou x k= ⋅ = + ⋅π π π� �� �
8� X����������� �� �� π -��26/��6
%����#!C26/6.iS2π⇒6/iS2π �M#��
� ��
��
� � � � �� � � � � � �π ππ π
� �MM#
��������!� �������������&��+,����� ���� !�
�������������
������������
L�,����i/����V��!���2�������6���0��M#�����-
6/����V2π�!�2π�9π����L�,����i/����V��!���2�8�������6���0�
�MM#�����-
����� �� � � � � ����π π
ππ π
� ���
��
*������ � ������ �� ���������� �� �� π ����-
��� � � � ���
��
ππ
π
*����+�#!-A��6�����������������������$����0��'��������Q/D+�������������������� ������ ���#$�� ����������4������������������#!�������%�
���.+��"#�!�-�������/8���αααααB������6�α ��������������
���������������������� ������������� ����������0������������������������������0�����6���������
���������������C��-
��� ��� �� � � �� � �� � � α α πO Ζ4,������� X��������X-2���86#.�/!%����#!
2���86#.�/!⇒���86#/���
������� ���
��
π� ��������������-
���86#/�������
���-
���
���
��
��
��
� � ��
� � � � � �
�� � � � �� ��
� �� ��
ππ
π π
π π� mΖ
2� X��������X-���86#/���26#%����#!
+����� �26# / ��π�
�� ����� �������
�������-
���86#/��π�
�� �����
���-
��
� �� � �������� �
ππ�
���'�-
��
� ���
��
� � � � �� � � � � � �π
ππ π
�
��
��
� ��
�� � � � �� � � � � � � �� �π
ππ
π
� � � � � I�� � � � �� �π π��
n
� �� � � �� � �π
π�
� Ζ
8� X��������X-���86#.��6/!%����#!���86#.��6/!⇒���86#/V��6&��������$�����V6#/V��6�����-���86#/���V6#
A��������-EFG � ��� � ��E� � �� �� �π
� ����� �π�
�
�����������������-
���������� ����������������������������
�����������
������������
���� � �����
� �� �����
π
������
��
�� � ��� ������ �
ππ
������
��
��
��
�� �
�
� �
� � � � �
��
� � � ��
� � � ��
��
�
� � � � � � �
� � � � � �
� � � �
� � �
ππ
ππ
ππ
π π
ππ
π π
� � �
�
� � �Ζ
���� ������ � ���� � � � � ααααα ����������α�����������������
���������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������
��!������������"��������#����α ⇔���#�α�$�%�π��%�∈ &
��������
'� (��)����(��*+ ,- . /011
�
�������
2����*+��
��
π� / ����������)��
�� �� �� ��
= ������ π �������
���
��� �
��� �
� � ��
� � � � � �
� � � � �
� � � � �
ππ
π π
π π3 4 5 Ζ
6� (��)����(���������7������
������
�������
�������7������
������ � � ��
���� � ��
�� �
�8���
��
��
�� � � �� �
π π
��������#�6�%�π9�#�:��∈�(;���#�6�%�π��%�∈�&<
���������� ����������='��2��������(>8�����?��������@�����
���� ���
��
� ����
����
��
�� π;A�$�6%π�������Bπ;A�$�6%πC�% ∈ &D� π;6�$�6%π�������Bπ;A�$�6%πC�%�∈�&�� π;E�$�6%π�������Bπ;E�$�6%πC�%�∈�&�� π;'6�$�6%π ������''π;'6�$�6%πC�%�∈�&� Bπ;'6�$�6%π�������Fπ;'6�$�6%πC�% ∈�&
���������
��� �� � ��
��� ��π π��
�� = ⇒
�� � � � � � � �� �
�� � ��
����
π π ππ π π π
= +
= +
���
��
�� �� �� � ��
��
��= + + = +π π π π π π
��������!� �������������&��+,����� ���� "�
�������������
������������
�� �� �� �� ���
��= + = +π π π π
��� �� � .
��= + = +π π π π
������� �
!2�K?&�3X� ������ ���� �� �$���0�
��� � �� ������
�#π
ππ
π�
���
�� � �� I� � �I�� �
�#��
���
�π
ππ
π� � � � ��
�#��
���
�π
ππ
π� � � � ��
�#π
ππ
π�
���
�� � �� I� � �I�� �
�#��
����
�π
ππ
π� � � � ��
���������
���� ��� ��
�� ��� � ��� ��
= ���� = �
���
π π
� ��
� � �� � ��
� � �� �= + ⋅ = + ⋅ ∈π π π π
���������J�"Y�8����� ����������������������
� ��
� � �� �= ± + ⋅ ∈π π
!8�X������-�� �� �� ��
�������������(6��&�����πP(�
����
����
� �� � � ����� �
= +
= +
= ∈ = + ⋅ ∈
π π
π π
π π
!9�P��i��,���@3�(��6���0� ����������6�����
$���2���6.��6#/:-
�#� ��π
π�
�#�ππ
��
�#� ��π
π�
�#�ππ
��
�#���������������L������6�H����6��&�4
� ��� � ���� �
�+���
��� =
��������!� �������������&��+,����� ����"�
�������������
������������
� ��� � �����
�� +�
����� =
L�����6�Y�4�����6�H�L�&�:����6�&�7�⇒�L7��Y�47�H�L�&�:7�&�L����7�&�'PL
���� ��
= ��������6�&�L���E�����*���
���� ����
� ����
π
����= ± +π π
� �� � � ���� � � �= ∈ = ± + ∈π π
���������!:�J�����@3K���$������� �q���������������
�����������������+#���������������������� �� �0��������� ��(���� � �������������4����������0��� ��������������������������Q��(4��������40���������������/!#���������=24����������/=2#�B�����������������6�����
���� ����0�� � ��� �� �� � ������
��
π π� ��
$�� � ������� ����� ���4���#�����������;���C������������0��_��#�����������������+#�����������
�#X�������$���0���� �π π��
��
����� /������
�∈f!�29g��#����������������������%6��������
���� �4��%��� ��$���� ����������������������������������������0��
������������#���+
��� ��� ��
���
π π π+��
�� =
π π��� �
�+ = + ⇔ = ∈π π
��� � ��� � ���� �
�������∈�i: L5j �a�&�c'Ld"������ �� ������� ��� � �� *����� �$6���� ��
)��>E����� �� ����� �
�� � � ����� �
π π �����
������������ �
�� � ���π π+�
��� = ⇒ =
����� ����� ��������$6�������������)����'4�H�4�O�&�L:����������������(�H�'L�&�'4�"
!<�3K+�@3B���'��������0����$���0����26#.���26Vπc9#/!����![6[π�-
�#π π��
����������
�#∅
�# � � � � � �� � � �������� �
π π�� �
�#�����
�#π π�
��
�������
���������
������� ��� �� ��
������� ���� �� ��
������� ��� ��� �
�� ����
�� � � ��� �
��� �� ������������
���
�
�
+ ��
�� = ⇒
= ��
�� ⇒ = �
���
= + + = ��
�� +
= + =
= +
π
π π
π π π π π
π π π π π
π π
� �
� ��
x k
x ou x �
e�&�:�⇒�6�&�πP'<e�&�'�⇒�6�&�3πP'<
e�&�L�⇒�6�&��� �� ����π π> � �
���� ���
= ������
π π
������� �
���������� ������������������������ ��
�����������
������������
������������ ������������������������������ ��������� � �������� ���� ������
�������� ��� ���� ��������� ��� ������� �������� ����� ���������� ��������� �� ������������������������������������������ �� ��������������������������� �� � ���������������������!
"� ������������������������������������������������� �������������������������#$����%&�������'�������������� �����!
(���� �������� �� ������ ���������� ��������������������� �������� ������������������������������ ����� �� � ��������������������������������!
���� ������������������������������������"������� �������� ������ ������ #��
���������&���� ��������������� ����)*+���+,�� ���� ��� ��� � ���� �� �� �� ��'�������#��������� �+&!
-��!�+
����������������������������������������.�� � ������ ������� ��� #������� �������������������������� �����&�����!
�� ����������������#�&����� ���#�&��� ����������������� ������� ����#�&���� ������������� / ����� �� ���� ��������� ���!
��������
+! 0������ �������������� �%���
�����
1�≤� �$�2π!�������
��� �� �����������������������������������������������������.�����
3 4 5 4= ∈ < <������6 π π
787
2! " �1�≤� �$�2π�������� ������.��������
��������������� ��� � ≤ ��!
������������������ �������������� �������
���������������� ���������� �
��� � ��� �≤ ⇒ ≤ ≤��
��
��
9
���������� ������������������������
��������"� -��.��'������������������"
�������������
������������
��������� ����� ��������������������� ��,�� $�� � ���'���� ����0� �����$���0�����������-
� � � � ��= ∈ ≤ ≤� � W�π
��
��
���
�π π π π≤ ≤ ≤ <x ou x �
�����0�-
� = ∪ ∪� � � � � � � � ���
��
��
���
π π π π π
����*��+��"���!��������/<������/=�A���6�������������������#�
������,������������∈fV���g#����������������������������������6������������������������������� ���2�
L� �2
?�� �����������������������������'������0����������������#$����
A� �����������4��%���� ������������� ������������������#����������#$��������������������������$������������0���������
4,������� 3���!≤6[2π������������$���0�
��6[!�
%����#!
���������� ��������������������������'��������0�-
� � �= ∈ < <� � �π πO
�O
2� X��������6≥��
�����$��!≤6[2π�
%����#!
@� ������������� ������������������������������������������������������������ �����������4��%���������������� �������������-
� � � � ��= ∈ ≤ ≤� � Wπ
��
�π π≤ <� �
��������"� -��.��'������������������ "!
�������������
������������
����*��+��"���!�������/<�����/=�M������������ �� ��6��� ��� ����� �
��������������������������6��������� ���8�
L� �8
?�� �����������������$������������������������������������ ������������������������������������ �0���'��������� ��������������������������$�� ������������� ��6��� ��� ���� �����������������������#$����
��; ��� ������� �����������4��%���������������� ��������� ���������#����������#$��������%�0�#��������
4,�����
�� 3���!≤6[2π��������� 6[��
�
%����#!
+���������������������������������-
� � � � ��= ∈ ≤ <� � W�π
π π π π�
��
��
�< < < <� � �
2� X������� 6≥������π[6[2π�%����#!
3���$�������� ��������� ������������ ��� ��������������� ������������������,��$��-
� � � �= ∈ ≤ <� � ���
��
π π
8� 3�������6���$��!≤6[2π�������������$���0�� �6V � S� 6[!�
%����#!L�,����h/ � 6������� ����������
���$���0��������������-
� �� � ⋅ <
��6���0���2^ ����� �� � ⋅ #���
��C,��������h/!��h/ � �����������������������h����������3�������-
� � �� � ⋅ < ⇒ < <
K����,$��h/� 6��������������������$���0�![� 6[ � �
��������"� -��.��'������������������""
�������������
������������
+��������������������������������0������������������'��������0�
� � � �= ∈ < <� � ��π
��
π π< < ���
�����.��(����"�����$��"%������'3�������������$�������� ����������
��X�������������������������������������� f!1 2πg �������� ������������������������ 2iπ ���� ������� �������������
4,�����C
�� X��������6a��
�
A����������f!12πg�����0��π π�
�
< <� �
�����0� �����-π π π π�
� ��
�+ < + ∈� � � � ��
2� X��������6[��
�
A����������f!12πg�����0��-
��
��
�≤ < < ≤� �� �π π π
�����0� �����-
��
�� � � I�π π π≤ < +
��
� � �π π π π+ < ≤ + ∈� � � � ��
8� X��������6a��
�
A����������f!12πg�����0��-
��
��
�≤ < < ≤� �� �π π π
��������"� -��.��'������������������ "�
�������������
������������
�����0� �����-
��
�� � � I�π π π≤ < +
��
� � �π π π π+ < ≤ +� � �
$����������������������������-
��
� ��
�π π π π π+ < < +���� +� � �
����������-
� �π π π π�
��
�+ < < + ∈� � � � �
9� X��������6[��
�
A� ��������� f!1 2πg � ����0� �-π π�
��
< <� �
�����0� �����-
π π π π�
� ��
�+ < < + ∈� � � � ��
:� X������� 6a��
�
A����������f!12πg�����0��-
π π π π� �
��
��
< < < <� �� �
�����0� �����-
π π π π�
��
�+ < < +� � � I�
��
� ��
�π π π π+ < < + ∈� � � � ��
?������0�����������������-
π π π π� �
+ < < + ∈� � � � ��
<� X������� 6[��
�
��������"� -��.��'������������������"�
�������������
������������
A����������f!12πg�����0��-
�� �
��
≤ < < <� �� � ��π π π
��
�π π< ≤�
�����0� �����-
π π π π�
� ��
�+ < < +� � � ��
��
� ��
�π π π π π+ < < +���� + ∈� � � � ��
3��������������������-
π π π π�
��
+ < < + ∈� � � � ��
./�������� ����2�!��
!�� �K?&�3X#� ���$���0� EFG��
N�
���� ≥ �
����� �≤ ≤� π ����������������������-�# � � �π π� ≤ ≤��# π π� �� � �≤ ≤��# π π� �� � �≤ ≤��# π π� �� � �≤ ≤��# π π� �� �≤ ≤�
���������
π π�
��
��
≤ ≤ ⇒
π π�
� ��
≤ ≤
���������
!2� �L>J�@3#X���������� � ���$���0�2��6≤������������f!12πg�������-
�#π π π π� �
��
��
≤ ≤ ≤ ≤� I� �
�# ≥ π
�#π π�
≤ ≤�
�#π π�
�
≤ ≤�
�# ≤ ��
���������
����� � ���� ��
≤ ⇒ ≤
s x R x= ∈ ≤ <�������π π
���
��������C
!8� X���������$���0�2���6[��616∈X���������
L�����6�Y����6�[�:
���������� ������������������������ ��
�����������
������������
� � � � �� ��
�� �= ∈ < <��� +π π π
��
�� � �� �� �π π π π+ < < + ∈ ���
���� �������� � �������� � �� �+ +
�� ���θ = � ����� � ≤ ≤θ π �������������������������� �������������!
�� "#
≤ <θ π����
π θ π�
�$
< <
%�π θ π� �
< ≤ ����π θ π� �
≤ ≤
��π θ π�
≤ ≤
���������
� �� ��� �� + + =θ
∆ = ⋅ ⋅� �� � � � ��� θ
∆ = �� � ���θ
��� ��� ������� ������ ������ ����� ∆ � �� �����
�� ���� � ����� ����θ θ< ⇒ < ⇒
⇒ > ⇒ >���� � ��� ��
θ θ
�� ����� ��� � ≤ ≤θ π � ������
"#
≤ ≤θ π
������� !
�&� '���()�� �� ���������� �� � ≤ �� *���
� �∈ �
���������
�� � � �� ��� �≤ ⇒ ≤ ≤
� � � � �� ��
��= ∈ ≤ ≤ +��� π π π
�� ��
�� � ��
��π π π π+ ≤ ≤ +
�� ��
�� � � �� �� �π π π π+ ≤ ≤ + ∈ ���
���������� ����������������������
�����������
������������
���������������������������� ���������������
���� ��������� ��� �� ��� �� ��� ���������� ����������������� ������������������ ������������������ ��������� ������������������ ����������
����������������������������� �������� ���������� ����������������� ���� ���� �!� ������� ������ ����� � ���� ���"�������������� ������������������ ���������
� ������������ �������������������������# ��� �������������������� �$��������
������������� ������������� �����%�&�� ���'� ���� �
(����� �������� ��������� ������� �����)������������ ������*�+�&�� �������� !� ���,�
#�&�,
''� ��������������-�"���������� ����������������.��������������/���� ���������� ��������������� �������������������������
���� ��$�� π0
��������� ������������1/
��� ��������� ���������������������
�������� ��$�� �2π �
���������� !� ������������*�+�&�� ����3
'��&�41/�/5
'''� ���� ��������� ��������������.���������� �$������ ���� ���� �*�+� &� � � �� ������ �� ���������"����������������� ��.�������� �������������������������������������.����������������� !� �����������������3
6�����)� ��� ����� ��������� ���������*��� ��+�����3
����������������������.������������ � ������ ����������7���8π���������������� ������.���������� �$���*�+�&�� ����������∈�,�����������$����� 9����
���������� ���������������������
���������� /��'������������������ ��
�������������
������������
MJ� ���F�������������������C���������0���6#/��6����������������0��������0�����;����-
K������0�h/��6#��������������C�������4���������0�����;������6�������������������$�������,�� ����������6.�#/��6#��������6∈��B�������������$������������������0���4�����������C���������0��@�����$�����6.2π#/��6����0��
���F���"��#!"=,?J���� �:πππππ�M���6������� ������� �%����������������0�����;�����2π��2π�
J� ��������������������������������������0���6#/��6������������������������0���������0�C�����
K������0�h/��6#��������������C�������4�����"��#!������V6#/��6#��������6∈C����4�����"��#!F�������V6#/V��6#��������6∈C�@�����$�����V6#/V���6#����0��
����0�"=,?J���,����"��#!F�����
�� 4������������-��"#�.��������:>/?8���/���������� "��#! � ���� ����0�
$����������������������6�������h/��6�M� E�F��
+�����6������������� ����6 �������,���$������C�������6#/��6�����'����X�
�/XMM� G�8���H�����
@�����$�����6����������%6����� ������$�����6�������������
$���������������������������������������0�!�,���#��������C����� ����V��$�����6 ��������������� ���������������������0�π�
��������'������� ������6#/��6�-M�/fV���g
MMM� I��"��3�������������� �%����������0���������� ��� ��6# / �� 6� �������������������������������%���������������������������������������� �%���������������'��������������-
&�����,��������������������������6���6#�����-
*����+�#!�������� �%�������������������������������!�2π��4�������� ��������� �%����������0���6#/��6����6∈X�������0��������;����
���������� /��'��������������������
�������������
������������
MJ� ���F�@�����$�����6.2π#/��6����0�����C�������6#/��6�2π�M��6������������� �%����������������0��������;�����2π��2π�
J� ��������@�����$�����V6#/���6#����0�������0�"=,?J��, ����"��#!����
�� 4�������������-��"#�.��������:>/?8��/@�����$��� ��� ��������������
��������,0��������������������������
���-���� �����=���
���6≠!
���������������������6� �≠ +π π�
�
i∈X����� �����6�����������?��0��������������������0�-
��
�� ����
� �
�
� � � �
��������� �
∈ ≠ + ∈ →
→ =
ππ
�
M� E�F��+���� 6�6���$�������6≠!����0�����C���������0���6#/� 6�-
� � � � � �� � � �∈ ≠ + ∈π π
MM� ��# H�����+������������� ���������������������������$���$����������������-
M�/gV∞�∞f
MMM� I��"��B �%������ ����0� ��6#/ � 6������������������������������������������%��������������������������������������������������6�����������������C����
*����+�#$���# B �%���� �0� ��� ��� �� ����
= π π�
��
� ������������������ �= +π π�
�
2# �����������������������6/!�6 /π � ��� ��� ���;��� � � �%��������6#/� 6������������������0������������ ���;�����π��π�j
MJ� ���F�+���� �6.π#/� 6�����$���$���6�����������������C��������C���������0���6#/� 6��/π.
J� ��������+�����6#/� 6���V6#/� �V6#/V� �6#����0���V6#/V��6#���������������0���6#/� 6�C�����
���������� ��������������������� ��
�����������
������������
���� � ����������������� ������� ��������������������������
������ ��
�� !�"�#����#�� !�"�#�����#�� !�"�#�����#$#�����#%� !�"�����&��� !�"�&������
���������
������� ��&� �'��(��)�����*�������������%�������
������%�������+��������������������������,���,�� -�.�)����� ����-/��/0����/��1�������
�� ����-/���������%����������� π2
�
%� ����-/�/����%���/��������� %����%��%������3�����%��
���������
������������� ���� ��
< < π
������������ ������������������∴���������
������� �
�4� ���.������ 5�%��� ��� ���.��� !� "� ��� �!�"������0�������3��������/�����.��%�%������� 63��������������������/��� 7����������/������/��������%�%��%����������� 7���������/�����/�&��������%� 7���������/�����/��/�8������������� 7���������/�����/�4��������
���������
��������
���������� /��'�������������������
�������������
������������
!9� �L��3�@3#3��������∈f!�πg����#/�V�� �� ����������%������ �%�����������������6���6#���������6#/��6����� �� ����#�*����������%��� ��� �%���� �� � ������ �� ��6� �� 6# ���
∈������
π π� �� ������� ���2#�
����-
�#� �
�−
�#��
�#��
�#��
�# ������������$��� ���� �������������)����>?��������!
����� �������� ��+
���� � ��
��
���� � ���
���
���� � ���
���
��
� ��
π π
π π
π π
���� −����
− − − ����
���
���
���� −���� = − =
������� I
���&� 1"%�����4��(�����"�����$��"%��&���-��"#�:>/?8�@���/B����������������������6��������������������� ��������0�h/��6����������≠ !����0���6#/�.��6�������������������������C����#�����.��
6≠ �.���V6#�V��.��6#≠ �.���V6#�T����������'������� ��������������� ����h/��6������������������
����'������� ������6#/�.��6�
M�/fV�.���.�g
����� �%��������6#/�.��6������������������������ �%������h/��6����������������������������,�������������������'������������ ������
4,������� ������������0���6#/2.��6$����������C������� ��� �%��������C�������������
%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV�.2��.2g⇒ M�/f��8g>�%����-����6�
3�������-����������3��C���-�/2π
���������� /��'������������������ �!
�������������
������������
2� ������������0���6#/V�.��6$����������C������� ��� �%��������C��������������
%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV�V���V�g⇒ M�/fV2�!g>�%����-
3�������-����������3��C���-�/2π
���������� /��'�������������������"
�������������
������������
&���-��"#�:>/?8%���/B���������≠ !#�����������������6�
������� ��� ���� ����0�h/ ��6�+����������� ����h/��6����������������������������'������� ������6#/���6�-
M�/fV���g
����� �%��������6#/���6����������%���������;������������������������������������������fV���g�
U ��������������������$���$���������������������+��������� ��������0������������������������"�������+�� ����������������������������2^�6�������� ����
4,����������������0���6#/8��6$�������
���C������� ��� �%��������C�������������%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV8�8g>�%����-�� ���3�������-��V6#/8���V6#/V8��6/V��6#�������6#�C�����3��C���-�/2π
&���-��"#�:>/?8���>�/?B��������������������������6������
������F�������0�h/��6������6/!⇒ 6/!���C����������;���#
�6/2π ⇒ 6/�π�
�������������;���#
+������������ ��������,���$���
���C�������6#/����6#��/�π�
4,������� ������������0���6#/���26#$����
�������C������� ��� �%��������C��������������
%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV���g>�%����-����6�3�������-��V6#/���V26#/V���26#/V��6#�������6#�C�����
3��C���-�/��π/π
���������� /��'������������������ ��
�������������
������������
2� ������������0���6#/������� $����
�������C������� ��� �% �������C��������������
%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV���g>�%����-����6�
3�������-
��V6#/��−���� = − �
���
��� � �
∴��V6#/V��6#⇒ ��6#�C�����
3��C���-�/���
π/9π
&� �-��"#�:>/?8���>/@�?B����������������������6��������
�%����������0�h/��6�������������� ��������������������� ���������������������������������'������������ ������
4,�����
�� ������������0���6#/�� +����
π� $����
�������C������� ��� �%��������C��������������
%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV���g>�%����-
+ = ⇒ = −π π�
����C����������;���#
+ = ⇒ =π π π�
� ��
������ �� ���
��;���#
���������� /��'��������������������
�������������
������������
3�������-
�� − +���� ≠ +��
�� ��� π π
� � �
�� − +���� ≠ − +��
�� ��� π π
� �
?��0���0�������������3��C���-�/2π2� ������� � ����0� ��6# / ��
−����
π� $����������C������� ��� �%�����
���C�������������%����#!
���C���-�/XM�� ��-M�/fV���g>�%����-
− = ⇒ =π π�
����C����������;���#
− = ⇒ =π π π�
� ���������������;���#
3��C���-�/2π
3�������-�� − −���� ≠ −��
�� ��� π π
� �
��� − −���� ≠ − −��
�� ��� π π
� � ����0����0�������������
&�&�-��"#�:>/?8�@%���>�/@�?>%A≠��≠?
��;��������������*�+���?�������C��$������������0�
��6#/�.�����6.�#�����-���C���-�/XM�� ��-M�/fV�.���.�g>�%����-
�6.�/!⇒ = − ��
�����������;���#
�6 . � / 2π ⇒ =��π�
G�
− ������ ��
��;���#������ ������� $�� � ��������� ��
��;�������������������������'�������� ��������0���0��������$�����$�����[!����;��������%����������
3�������-
���������� /��'������������������ ��
�������������
������������
������ �������� ��V6# � �������� �����6#-
��V6#/��6#⇒ ����0������V6#/V��6#⇒ ����0�C������V6#≠ ��6#���V6#≠ V��6#⇒ ����0���
���������
3��C���-�/�π�
4,������� ������������0���6#/�.2���26#
$����������C������� ��� �%��������C�������������
%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV2.��2.�g⇒ M�/fV��8g>�%����-26/!⇒ 6/!�����������;���#26/2π ⇒ 6/π ����������;���#
3�������-�0������������
� � ��� �� � ��� �� � � �� � � �
= +− = −���
� �� �
3��C���-�/��π/π
2� ������������0�
��6#/V�V2�� � +����
π� $����������C����
��� ��� �%��������C�������������%����#!���C���-�/XM�� ��-
− + = − =+ = − − = −
���⇒ = −
� �� �
� � �� � �
� ��� �
>�%����-
� �+ = ⇒ = −π π�
�
�����������;���#
� �+ = ⇒ =π π π�
� ��
����������;���#
���������� /��'�������������������
�������������
������������
3�������-�0������������
� � ��� �
� � ��� �
� �
� �
= − − +����
− = − − − +����
����
���
N�
N ��
π
π
3��C���-�/��
�π π=
&�)�-��"#�:>/?8�@%���>�/@�?>%≠��≠?��;���������%�� ��������������
�0������������*�+���?����������������������C��$������������0�
��6#/�.�����6.�#�����-���C���-�/XM�� ��-M�/fV�.���.�g>�%����-
�� � � ��
+ = ⇒ = −� �������������;���#
�� G ��
G�
+ = ⇒ = −� �π π ������ ��
����;���#�������������$�����������������
��;�������������������������'�������� ��������0���0��������$�����$�����[!������;��������%����������
3�������-����������������V6#��������������6#-��V6#/��6#⇒ ����0������V6#/V��6#⇒ ����0�C������V6#≠ ��6#���V6#≠ V��6#⇒ ����0���
���������
3��C���-�/�π�
4,����������� � ����0� ��6# / 8 . 2 ���26Vπ #
$����������C������� ������C���� �%�����%����#!���C���-�/XM�� ��-M�/fV2.8�2.8g/f��:g
3��C���-�/� �
�π π π�
= =
>�%����-
� ��
���
� � ������
� ����
− = ⇒ =
+ =
����
���
π π
π π π
� �
� �
������� �
������� �
���������� /��'������������������ ��
�������������
������������
&�,�-��"#�:>/?8�@%��>�/@�?��≠ !��≠ !#E�F��C3��� $�� �6��� ��6#� � ������ $��
����6.�#≠ !�M����������$�����-
�� G � � �+ ≠ + ∈π π�
�
����
�/ � � �� � � � �∈ + ≠ + ∈������� �π π
���F�C���������������6#/�.�� ��6.�#
�(� ���� �%���� ��� ���0� ����� ���;����
����
�� G � G�
+ = ⇒ = −� ���C�������� ���;���#
�� G � G� �
+ = ⇒ = − +π π
����������� ���;���#
?��0������C������%-
� �� �
�� �
= − +���� −
−���� =π π �
���'��
��
= π
4,������� ���������0��������������6#/�.2� 26�����������-�#���C����#���C���%����#!
�#�� � �
� � � �≠ ⇒ ≠ +π π π π
����
�/ � � � � � �∈ ≠ + ∈������� �π π
� �
�#�/π π�
=�
2� ���������0������������
��6#/V8V2� � +����
π� �����������-
�#���C����#���C���%����#!
�#� � � �+ ≠ + ⇒ ≠π π π π� �
����
�/ � � � � � �∈ ≠ ∈� �π� �
���������� /��'��������������������
�������������
������������
�#� ��= = ⇒ =π π π
�
8� ���������0������������
��6#/� �6Vπ�#����������-
�#���C����#���C����# �%����%����#!
�#� � � � � �� � � � � � �π π
ππ
π� �
��
�
�/ � � � � � �∈ ≠ + ∈������� ��
�π π
�#� ��� � � �
π ππ
�
�%����
������ � �
����
�
�
� � � �
� �
���
��
π π
ππ
π�
��
���
&�1������-��"���-�/��'(�01234�5*����1�25�31*≠��≠3
?������������C��������C��������������������������6#/�.���� ��6.�#�����≠!��≠!�
E�F��-
+������ ��6.�#/���� �
� ��� �
��� �� �++
������
���������6.�#≠!����'���6.�≠iπ�����/o6∈Xc�6.�≠iπ�i∈lp���F�-B���C�������6#/�.���� ��6.�#�
�/π�
���������� /��'������������������ ��
�������������
������������
--�/��'(�01234�5*���1�25�3�1*≠��≠3?������������C��������C�����
�������������������6#/�.�����6.�#����≠!��≠!�
���C���-
+�������6.�#/�
���� ��� + ������
���������6.�#≠!����'��
�6.�≠π�.iπ�
����
�/o6∈Xc�6.�≠π�.iπ�i∈lp
3��C���-B���C�������6#/�.�����6.�#���
---�/��'(�01234�5*�����1�25�31*≠��≠3
?������������C��������C������������������������6#/�.�������6.�#�����≠!��≠!�
���C���-
+���������6.�#/�
��� �� �� �+������
�����������6.�#≠!����'���6.�≠iπ�����/o6∈Xc�6.�≠iπ�i∈lp
./�������� ����2�!��!��?������ �%������������C�����
��� �������C�����������-�#��6�#h/8.��6���������
���C�&�RF��&�iY'\�'j �&�Lπ��C�&�RF��&�iL �5j �&�Lπ
!2� ?������ �%������������C���� ���� �������C���������0�-
h/�� � −����
π�
���������
���������� /��'�������������������
�������������
������������
C�&�RF��&�iY'\�'j �&�Lπ
!8��P��i��,��V@3#B���C���������0�
�������� �= ��
��EFG� �
�� π �-
�# π �#π�
�# 2π �#π�
�#π�
���������
� �= ��
��EFG� �
�� π
e�&�L����)��������6� �����
��
� �= ⇒ = ⇒ =� ��
π π π
���������
!9��K3LVX@#B���'������� ���������0�)�-X→X������������)�6#/2��6V8������������-
�# fV�1�g �#fV�1:g�# fV:1:g �#fV:1V�g�# fV:1�g�����������&�Y(\��&�LF��&�iY�H�� ��H����j�&�iYL�H��Y(�\�L�H��Y(�j&&iY4 �Y'j������+��
!:�B��������C�������� �������C�������������������� �%����
�# ��6�# 7/���26#
���������
�0 ��3�2
�2
y
x
1
–1y = cos x
y = cos (2x)
�� C�&�R\�F��&�iY'\�'j\� �&�Lπ� C�&�R\�F��&�iY'\�'j\� �&�π!<�?������ �%������������C���������
�������C���������0�-7/2S��6
���������
!=� �K��V?@# B ���C��� �� ����0�-
� � �� � ���� ������
��
�� �-
�# )π �# 8π�# =π �# 2π�# <π���������
� � �� � ���= +����� �
��
���������� /��'������������������ �!
�������������
������������
e�&����
����)��������6� �����
��
� �= ⇒ = ⇒ =� ���
�π π π
���������!)��L+P@+�@3#@�'������0�)��X��X
����������� ) �6# /�.9 ��6�B���'������� ���������0������������-
�# fV81:g �#f819g�# f81:g �#fV�1�g�# fV819g�����������&�'�&�5F��&�iY�H��\��H��j�&�iY( �4j������+��
! �?������ �%����������������6�����
�����C������� ������C�����# 7/V2.��6�# 7/V��6���������
�0 2�3�2
�2
y
x
1
–1
–2
–3
2
D =
Im =
p =
y = sen x
R
[–3; ]
2
–1
�
y = –2 + sen x
y y = cos x
�0 ��x
1
–1
–2
2 D =
Im =
p =
R
[–1; ]
2
1
�
y = – cos x
3�2
�2
�!��P��i��,���@3#B���C��������'�������� ��������0������������h/� 26����������C����M����'������� ���0���������������-
�# � � � � � �= ∈ ≠������ =� �� π
�
�# � � � � � �= ∈ ≠ ≠������ =� � � �� π π
���
�# � � � � �= =
�#� � � � �= ∈ ≠ + ∈������ =� �
�� �� �
π π� �
�# � � � � � �= =
���������
�� � �
� � � � ���� �≠ + ⇒ ≠ + ∈π π π π
%��� �C�&� � � � � � �∈ ≠ + ∈������� �π π
� �
F�&�R
���B��������C���������0�h/���� �� �
������������ �(6�≠ :(6≠ eπ
6≠�π�
���������� /��'�������������������"
�������������
������������
?6��(��������� ����
(6≠ +π π�
�
6≠ +π π� �
�
5�6
3�2
7�6
11�6
�6
�2
0
�3
2�6
�
��2
5�2
R���������������)��������π�
C�&�RY�π������� \�� �∈
�2��������C���������0�h/8V2� �86#
���������
(6≠ +π π�
�
� �≠ +π π� �
5�6
3�2
7�6
11�6
�6
�2
=����������)��>E���E��6�����$�����*�����������6$����"
C�&� � � � � � �∈ ≠ + ∈������� �π π
� �
���������� ��������������������� ��
�����������
������������
���������� �����������������������
�����������
������������