TRIDILOSA

Cuaderno NUEVEMétodo simplificado vs. Matriz de rigidez.

Mis apuntes de trabajoArq. Javier Castillo Juárez

9 Método Simplificado del Ing. Heberto Castillo Martínez vs. Método Matriz de Rigidez

El ingeniero Castillo ideó un método para poder diseñar la Tridilosa dado que el número de nudos y barras volvían imposible la resolución matemática para su cálculo y posterior diseño.

Toda vez que realizo múltiples pruebas de carga y comprobó la eficiencia de su imaginativa propuesta, buscó y encontró una simplificación para diseñar la estructura al no considerarla como una armadura y si una losa o viga común.

Claros de 25.20 m, 4 Camiones de 59 Toneladas

cada uno. (1980)

Prueba de carga en Sosa Texcoco, Claro 10 m. 900 Kg/ml (1965)

De esta manera propuso para su diseño equipararlo con el del cálculo que realizamos para elementos viga y que podemos encontrar en las tablas de cualquier prontuario.

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Debo decirte que este concepto no era aceptado por muchos ingenieros.

(Hoy día con el avance tecnológico y la facilidad de resolverlo en “tabletas” y cualquier computadora menos aún )

Me tocó presenciar algunas controversias en donde el ingeniero Castillo demostró matemáticamente, con el cálculo matricial de una pequeña pieza, que realizaba con su calculadora programable y programada con sus Invariantes Estructurales, que la estructura se comportaba con exquisita similitud y con ello también cumplía con las Normas y Reglamento requerido en el diseño en particular, además que el resultado prácticamente es el mismo.

Para comparar el método simplificado con el de esfuerzos reales propondremos un ejemplo sencillo:

Tomemos una viga simplemente apoyada de 10 metros de claro con un ancho de 1 metro y un peralte de 0.70 metros.

En esta ocasión la modulación será de 10 piezas a lo largo por 2 a lo ancho y lo resolveremos con una Tridilosa en W, La carga será de 1,000 kg / metro.

Para modelar la estructura por el método de la matriz de rigidez se proponen cargas en los nudos superiores como se aprecia en la siguiente figura

Captura estructura

Tenemos 33 nudos en la capa superior, 6 de ellos en los apoyos (para estar del lado de la seguridad, restaremos estos 6 sin condición de carga), con lo que nos restan 27 para considerarla, como en el eje central coincide el arribo de 4 diagonales y en las laterales solamente 2, estas llevaran el doble de obligación que las laterales:

Tenemos entonces un total de 10,000 kg que dividimos entre 18 nodos = 556 kg para los 9 centrales, y la mitad 278 kg para los 18 nudos laterales.

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Es importante dar un vistazo al desarrollo por el método de la matriz de rigidez, en la actualidad es posible efectuarlo en segundos en una Tablet y más fácil aún en una computadora, pero hace pocos años esto era inimaginable aun tratándose de una simple trabe de 10 metros.

Si no lo conoces, es trascendente que tengas idea lo laborioso que significa ejecutar este procedimiento. Porque, si no cuentas con un equipo para modelarlo; hacerlo de forma manual es un ejercicio teórico imposible de desarrollar.

Para que tengas una idea te enumero algunos pasos someramente, para resolver nuestro ejercicio:

Geometría• Nudos = 53 • Grados de libertad = 159 ( 53 x 3 ) • Condición de apoyo; 3 nudos en cada extremo (3 x 3 x 2 = 18) • Quedan entonces 159 - 18 = 141 grados de libertad• Piezas = 160, con 3 dimensiones diferentes Matriz de 141 x 141

Conformar el sistema • Matriz de Rigidez global de todos los elementos• Ensamblar cuidadosamente la Matriz de Rigidez General con las

Matrices de Rigidez global de todos los elementos Encontrar los desplazamientos a partir de

• 𝑃 = 𝑆 ∙ 𝑑

• P = Matriz de fuerzas• d = Matriz de desplazamientos• S= Matriz de rigidez

• Como desconocemos los desplazamientos, despejamos matricialmente, entonces;

• 𝑑 = 𝑆−1 ∙ 𝑃

• 𝑆−1= Matriz Inversa• Obtenemos al multiplicarla por la matriz de fuerzas los

desplazamientos de los nudosDeterminar los desplazamientos locales finales de cada elemento

• 𝑢 = 𝑇 ∙ 𝑣

• u = Matriz desplazamiento final local del elemento • T = Matriz de transformación del elemento • v = Matriz de desplazamiento final global del elemento

Determinar las fuerzas locales finales de cada elemento• 𝑄 = 𝑘 ∙ 𝑢

• Q = Matriz de fuerzas finales locales de cada elemento• k = Matriz de Rigidez local de cada elemento• u = Matriz de desplazamientos finales locales

Determinar fuerzas globales finales de cada elemento• 𝐹 = 𝑇𝑇 ∙ 𝑄

• F = Matriz de fuerzas finales• 𝑇𝑇= Matriz transpuesta de Matriz transformación• Q = Matriz de fuerzas finales locales de cada elemento

Puedes observar estos procedimientos en algún software para Tablet, Pc y Mac (lo que resulta muy didáctico) te darás cuenta y apreciaras lo sencillo que resulta resolver entonces la Tridilosa con la simplificación que propuso el Ingeniero Heberto Castillo.

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Como se detalla en el capítulo 5

Tomamos el cortante en cada módulo empezando por el mayor, en este caso la Tridilosa en W tenemos 8 diagonales por módulo, 4 a tensión y 4 a compresión.

Dividimos nuestro cortante máximo entre las 4 diagonales y lo multiplicamos por la secante (Longitud de la Barra /Peralte), consiguiendo los esfuerzos de nuestros elementos, diseñamos a compresión y a tensión esos esfuerzos (ver Tabla de capacidades) así lo hacemos módulo por módulo.

Después tomamos los momentos y obtenemos los esfuerzos y diseñamos el acero a tensión, para la compresión usaremos el concreto armado de nuestra Tridilosa, de esta manera rápidamente conseguiremos el armado de nuestra estructura.

4

5

Diferencia Método HCM vs Matriz Rigidez (Diagonales)

Compresion 0.98% 6.61% 11.41% 23.51% 79.57%

Tension 0.48% 4.32% 10.14% 27.68% 103.44%

Como puede observarse en la tabla de capacidad de los diferentes perfiles, para una pieza de 90

cms, el menor de ellos soporta 2,213 kg, el siguiente recomendado sería de 5,820 pues no es

conveniente combinar perfiles iguales con secciones diferentes. (Se anexa programa de

capacidades con el Manual)

Diagonales Matriz de Rigidez

Módulos 1 2 3 4 5

-1.935 -1.505 -1.068 -0.626 -0.178

-1.248 -0.907 -0.663 -0.415 -0.18

-1.248 -0.907 -0.663 -0.415 -0.18

-1.935 -1.505 -1.068 -0.626 -0.178

Promedio -1.5915 -1.206 -0.8655 -0.5205 -0.179

PTR 1a PTR 1a PTR 1a PTR 1a PTR 1a

Módulos 1 2 3 4 5

1.625 1.575 1.142 0.706 0.264

1.574 0.89 0.609 0.301 0.052

1.574 0.89 0.609 0.301 0.052

1.625 1.575 1.142 0.706 0.264

Promedio 1.600 1.233 0.876 0.504 0.158

PTR 1a PTR 1a PTR 1a PTR 1a PTR 1a

Diagonales Metodo HCM

Vx 5.00 4.00 3.00 2.00 1.00

Número Diagonales 4 1.25 1 0.75 0.5 0.25

Sec = LB/P 1.286 1.607 1.286 0.964 0.643 0.321

Modulos 1 2 3 4 5

PTR 1a PTR 1a PTR 1a PTR 1a PTR 1a

PTR 1a PTR 1a PTR 1a PTR 1a PTR 1a

Diferencia Método HCM vs Matriz Rigidez (Diagonales)

Compresion 0.98% 6.61% 11.41% 23.51% 79.57%

Tension 0.48% 4.32% 10.14% 27.68% 103.44%

Com

pre

sio

nTe

nsi

on

Compresion

Tension

Una vez que tenemos este, lo multiplicamos por la secante que es la proporción de la barra contra

el peralte de la Tridilosa

Por ser una Tridilosa en W tenemos 8 diagonales por módulo, 4 van a tensión y 4 a compresión

=

6

Cordon Inferior Matriz Rigidez

Modulos 1 2 3 4 5

3.567 6.335 8.289 9.440 9.817

PTR 1a PTR 1.5a PTR 2a PTR 2a PTR 2a

Cordon Inferior HCM

Mx 0.00 4.50 8.00 10.50 12.00 12.50

Peralte 0.70 0.00 6.43 11.43 15.00 17.14 17.86

Numero de ramas 2 0 3.214 5.714 7.500 8.571 8.929

Modulos 1 2 3 4 5

PTR 1a PTR 1.5a PTR 2a PTR 2a PTR 2a

Diferencia Método HCM vs Matriz Rigidez (Cordon inferior)

-9.89% -9.80% -9.52% -9.20% -9.05%

La Tridilosa en W se compone de 2 ramas longitudinales inferiores, por lo que a nuestra fuerza la dividiremos

en 2

Una vez que tenemos el momento en x, lo dividimos entre el peralte, en este caso 0.70 y una vez hecho esto

entre el número de ramas

Tensión

Tensión

En la rama inferior encontramos una diferencia negativa por lo que hay que considerarla, sin embargo cuando

diseñamos los esfuerzos que podemos localizar en la tabla (se anexa programa de capacidades con el Manual )

vemos como el primer elemento de ella soporta 4,366 kg y el siguiente recomendado 7,888. El incremento de

seccion en seccion es considerable, recuerda no mezclar elementos con el mismo perfil pero diferente sección,

esas diferencias se absorven sin problema.

=

=

=

Como vemos en la tabla de capacidad de los diferentes perfiles, para una pieza de 100 cms, el

menor de ellos soporta 4,366 kg, el siguiente recomendado sería de 7,888 pues no es conveniente

combinar perfiles iguales con secciones diferentes

P/2 P/2P

7 8

Cordon Superior Matriz de Rigidez

Modulos 1 2 3 4 5

-1.369 -3.335 -4.821 -5.818 -6.321

-0.83 -3.214 -4.978 -6.058 -6.585

-1.369 -3.335 -4.821 -5.818 -6.321

-1.189 -3.295 -4.873 -5.898 -6.409

Cordon Superior HCM

Siempre el numero de ramas centrales será igual al numero de modulos menos 1 (NM-1)

La Tridilosa en W se compone de 3 ramas longitudinales superiores, nuestra fuerza la dividiremos en 2 porque

la ramas centrales(1 en este caso) toman el doble de las laterales (2) siempre.

Promedio

Barras lateral

Barra central

Barras lateral

En el cordon superior si no existe inversión de momentos, no son realmente importantes las diferencias

porque se encuentra a compresion y estos esfuerzos son tomados por el concreto, por lo general muy superior

en la capacidad a la requerida, los esfuerzos que surgen a tension los tomamos con el acero de la Tridilosa,

como se vio en el cuadro anterior, y hay que diseñarlos.

Mx 0.00 4.50 8.00 10.50 12.00 12.50

Peralte 0.70 0.000 6.429 11.429 15.000 17.143 17.857

Rama Central 2 0.000 3.214 5.714 7.500 8.571 8.929

Rama Lateral 2 0.000 1.607 2.857 3.750 4.286 4.464

Modulos 1 2 3 4 5

Diferencia Método HCM vs Matriz Rigidez (Cordon Superior)

Modulos 1 2 3 4 5

-1.607 -2.857 -3.750 -4.286 -4.464

-3.214 -5.714 -7.500 -8.571 -8.929

-1.607 -2.857 -3.750 -4.286 -4.464

-2.143 -3.810 -5.000 -5.714 -5.952

80.17% 15.63% 2.60% -3.11% -7.12%

Notas:

Cuando los esfuerzos son pequeños las diferencias son grandes, cuando estos son grandes las diferencias son

pequeñas, como consecuencia de esto siempre quedan absorvidas por el armado mínimo requerido.

Una vez que tenemos el momento en x, lo dividimos entre el peralte, en este caso 0.70 y una vez hecho esto

entre el número de ramas

Armado con Concreto

Promedio

Los elementos transversales superior e inferior tienen un esfuerzo promedio menor en este caso particular a

100 kg, (Revisa las tablas de capacidades en este ejercicio para ver lo pequeños que son contra la capacidad

mínima requerida) por lo que pasaran con el armado por temperatura o el que usamos para armar nuestra

Tridilosa en este caso el más pequeño PTR 1a

En la rama superior encontramos una diferencia grande pero es positiva, estariamos considerando mayores

esfuerzos a los reales, además como dijimos, el concreto es quien toma los esfuerzos y con una capacidad

mucho mayor por la sección de este.

=

=

=