LÍNEAS NOTABLES Y SUS LÍNEAS NOTABLES Y SUS PROPIEDADESPROPIEDADES

Profesor:Carlos Cesar Anco Yucra

MATEMATICA3ro de Secundaria

Contenido TemáticoContenido Temático

RecursosRecursos

EvaluaciónEvaluación

BibliografíaBibliografía

CréditosCréditos

PresentaciónPresentación

Inicio

PresentaciónPresentación

Dentro de las propiedades del triángulo también se encuentra las Propiedades de Líneas Notables que nos permitirá tener conocimiento mas amplio de los ángulos del Triángulo y resolver ejercicios mas complicado.

Inicio

CONTENIDO TEMATICO

1. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

2. PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR LÍ

NEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

3. PROPIEDADES ADICIONALES

Recordando el triángulo

Clic..

Inicio

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOLÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOMEDIANAMEDIANA

Todo triángulo tiene tres medianas, las cuales se intersectan en un punto interior llamado BARICENTRO

B

A CMBM es la mediana con

respecto al lado AC

A C

B

M

NP

Las medianas AN, BM y CP se intersectan en el punto G, llamado

BARICENTRO del triangulo ABC

Es el segmento que se traza desde un vértice del triángulo al punto medio de su lado opuesto

G

Inicio

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOLÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOMEDIATRIZMEDIATRIZ

Todo triangulo tiene tres mediatrices correspondientes a cada lado,. Dichas mediatrices se intersectan en un punto llamado CIRCUNCENTRO

B

A C

L es la mediatriz del lado AC

P R

Q

O CIRCUNCENTRO del triángulo PQR

Se llama mediatriz de un lado a una recta perpendicular en el punto medio de dicho lado

Ol

PUNTO, POR LA NATURALEZA DEL TRIANGULO-Es un punto interior si el triangulo es acutángulo-Es un punto exterior si el triangulo es obtusángulo-Es un punto medio de la hipotenusa si el triangulo es rectángulo

Inicio

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOLÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOBISECTRIZ INTERIORBISECTRIZ INTERIOR

Todo triángulo tiene tres bisectrices interiores, las cuales se intersectan en un punto interior llamado INCENTRO

D A C

B

D

FE

BD es bisectriz interior relativa al lado AC

Las bisectrices AF, BD y CE se intersectan en el punto I, llamado

INCENTRO del triangulo ABC

Es la bisectriz de cada uno de los ángulos internos

B

A C

I

Inicio

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOLÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOBISECTRIZ EXTERIORBISECTRIZ EXTERIOR

El punto de intersección de dos bisectrices exteriores y de una bisectriz interior se llamado EXCENTRO

H

A C

B

E

Es la bisectriz de un ángulo exterior del triángulo.

B

A C

Las bisectrices BE y CE y CE con la bisectriz interior AE se intersectan

en el punto ”E”, llamado EXCENTRO del triangulo ABC

CH es bisectriz exterior respecto al C

Inicio

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOLÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULOALTURAALTURA

HCA

B

I

Es el segmento que se traza desde un vértice y en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

B

A C

Todo triangulo tiene tres alturas, las cuales se intersectan en un punto llamado ORTOCENTRO

BH es la altura respecto a AC

H

J

Las alturas BH, AI y CJ se intersectan en el punto R, llamado ORTOCENTRO del triangulo ABC

R

PUNTO, POR LA NATURALEZA DEL TRIANGULO-Es un punto interior si el triangulo es acutángulo-Es un punto exterior si el triangulo es obtusángulo-Es un punto medio de la hipotenusa si el triangulo es rectángulo

Inicio

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

1. En todo triángulo la medida de un ángulo obtuso formado por las bisectrices interiores de los ángulos, es igual a 90° más la mitad de la medida del tercer ángulo interior

Δ ABC, AI y CI son bisectrices interiores de los ángulos A y C, respectivamente

290

xα

αββ

θ

xΦ

﴿﴿ ﴿﴿

A C

B

Inicio

110209024090

290

xx

x

x 40°

x))

)))

)

Ejemplo:

Inicio

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

2. En todo triángulo la medida de un ángulo agudo que forman la bisectriz interior de uno de los ángulos y la bisectriz exterior de otro ángulo, es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior.

Δ ABC, AF es bisectriz interior del ángulo A, CF es bisectriz exterior del ángulo C.

2

xαα

ββ

θ x

Φ

A C

B

Φδ

F

I

Inicio

152302

x

x

x 30° x

)) )

))

)

Ejemplo:

Inicio

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

3. En todo triángulo la medida de un ángulo agudo que forman la bisectrices exteriores de dos ángulos es igual a 90° menos la mitad de la media del tercer ángulo interior.

Δ ABC, BE y CE son bisectrices exteriores de los ángulos B y C, respectivamente

290

xα

α

β β

θ

x

Φ

A CΦ

δ

E

I

Bω

ω

Inicio

50°

x))

)) ))

65259025090

290

xx

x

x

Ejemplo:

Inicio

α θ

A MH

C

B

2

x

y

y

ABHdel _.1)(90 xy

HBCdel _.2)(90 xy

Al trazar la altura, sabemos que en el Δ Rectángulo la suma de la medida de los ángulos agudos es 90°

BH es alturaBM es Bisectrizde mostrar que se cumple

PROPIEDADES ADICIONALES

)()( xyxy

Igualando 1 y 2

de la ecuación despejamos x

yyx2 → eliminando y

2

x

nos queda:

Demostración:

Los ángulos de la Bisectriz toman el valor de yPresionando clic

Inicio

PROPIEDADES ADICIONALES

A C

B

x

θ αx

D

Demostrar que se cumple:

Prolongamos CD

y

Se forma el Δ HBC

H

β

y

De la Propiedad:La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interior no adyacentes.

del Δ AHD

se dice que

yx

Remplazando y

x

Demostración:Presionando clic

( (

(

Inicio

RECURSOS

ALBUN DE IMAGENES

RELACION DE TEXTO

RELACION DE TEXTO E IMAGENSES - MEMORIA