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CÁLCULO SIMBÓLICO Y GEOMETRÍA CON MAPLE

Triángulos

Ricardo Villafaña Figueroa

2

Contenido


Material desarrollado con Maple

Definición de un triángulo a partir de tres puntos ................................................................. 3

Definición de un triángulo a partir de líneas rectas ............................................................... 5

Definición de un triángulo a partir de sus lados ..................................................................... 7

Definición de un triángulo a partir de dos de sus lados y el ángulo entre ellos .................... 8

Medianas de un triángulo y centroide ................................................................................... 9

Alturas de un triángulo ......................................................................................................... 11

Alturas de un triángulo y su ortocentro ............................................................................... 13

Bisectrices de un triángulo ................................................................................................... 15

Bisectrices de un triángulo e incentro .................................................................................. 17

Circunferencia inscrita a un triángulo .................................................................................. 20

Área y longitud de cada uno de los lados de un triángulo .................................................. 22

Circunferencia externa y tangente a uno de los lados de un triángulo ............................... 24

3

Definición de un triángulo a partir de tres puntos

Ejemplo

Definir el triángulo que tiene como vértices los tres siguientes puntos: 3, 1 , 1, 3 , 2, 1

Solución

Cargando la biblioteca de geometría:

Definiendo los puntos dados con la función point:

Definiendo el triángulo con la función triangle:

Detalle de la figura definida:



4

Dibujando el triángulo con la función draw:



5

Definición de un triángulo a partir de líneas rectas

Ejemplo

Definir el triángulo cuyos vért

0, , 2 0.

ices lo forman la intercepción de las siguientes rectas:

Solución

Cargar la biblioteca de geometría:

Definir las tres líneas rectas:

Dibujar las tres líneas para observar el triángulo formado:



6

Definir el triángulo con las tres líneas dadas:

Dibujar el triángulo definido:


Detalles del triángulo:


7

Definición de un triángulo a partir de sus lados

Ejemplo

Cada uno de los lados de un triángulo mide cinco unidades. Definir el triángulo.

Solución


Definir el triángulo a partir de tres de sus lados:

Detalle de la figura obtenida:

Comprobar si es equilátero a través de la función IsEquilateral:



8

Definición de un triángulo a partir de dos de sus lados y el ángulo entre ellos

Ejemplo

Definir el triángulo cuyos dos de sus lados miden dos y cuatro unidades respectivamente y el ángulo entre ellos de de 90 grados.

Solución


Definir el triángulo dado dos de sus lados y el ángulo entre ellos:

¿Es recto el triángulo formado? Uso de la función IsRightTriangle.



9

Medianas de un triángulo y centroide

Ejemplo

Los vértices de un triángulo son:

.

Encontrar la ecuación de sus medianas y su punto de intersección (centroide).

Solución


Definiendo los tres puntos dados con la función point:

Definiendo el triángulo T con los puntos dados y la función triangle:

Encontramos la mediana medA que pasa por el punto A y su ecuación correspondiente con las funciones median y Equation:

Encontramos la mediana medB que pasa por el punto B y su ecuación correspondiente

Encontramos la mediana medC que pasa por el punto C y su ecuación correspondiente:



10

Encontramos el punto de intersección, al que llamaremos interseccion, de las tres medianas con la función centroid:

Calculamos las coordinadas de la intersección con la función coordinates:



11

Alturas de un triángulo

Ejemplo

Los vértices de un tríangulos ABC son los siguientes: A (0,0), B (2, 1) y C (1, 3). Encuentre la ecuación de la altura que va del vértice A al lado opuesto.

Solución


Definiendo el triangulo ABC a partir de los puntos dados:

Definiendo la altura que se desprende del vértice A:

Definiendo la ecuación de la altura:

Detalles de los objetos geométricos definidos:



12



13

Alturas de un triángulo y su ortocentro

Ejemplo

El ortocentro de un triángulo está formado por la intercepción de sus tres alturas. Encontrar el ortocentro del triángulo formado por los puntos A (‐2, 0), B (1, 3) y C (3, ‐1).

Solución


Definiendo los puntos que formarán el triángulo;

Definiendo el triángulo:

Obteniendo el ortocentro con la función orthocenter:

Obteniendo las coordenadas del ortocentro:



14

Dibujando el triángulo y el ortocentro:



15

Bisectrices de un triángulo

Ejemplo

Dado el triángulo ABC definido por los puntos A (0, O), B (0, 3), C (3, 0), encontrar la bisectriz del vértice A.

Solución


Definir el triángulo ABC:

Encontrar la bisectriz del ángulo formado por el vértice A:

Detalles del triángulo ABC:



16

Detalles de la bisectriz:

assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively



17

Bisectrices de un triángulo e incentro

Ejemplo

El incentro es punto donde se cruzan las bisectrices de un triángulo. Dado un triángulo de vértices A (0, 0), B (2, 3) y C (4, 0), encuentre las ecuaciones de cada uno de los lados del triángulo, las ecuaciones de cada una de sus bisectrices y el punto de intercepción de sus bisectrices (incentro).

Solución


Definiendo el triángulo ABC:

Definiendo las ecuaciones de cada uno de los lados del triángulo.

Lado AB:

Lado AC:

Ricardo Villafaña Figueroa Material desarrollado con Maple

18

Lado BC:

Definiendo cada una de las bisectrices del triángulo y sus respectivas ecuaciones.

Bisectriz A:

Bisectriz B:

Bisectriz C:



19

Cargando el paquete de gráficas que permite dibujar ecuaciones implícitas:

Dibujando cada uno de los elementos del triángulo:

El incentro queda en el punto:

Valor aproximado del valor de y:



20

Circunferencia inscrita a un triángulo

Ejemplo

Dado un triángulo de vértices A (0, 0), B (2, 3) y C (4, 0), encuentre la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo, las coordenadas de su centro y su radio. Dibuje el triángulo y la circunferencia encontrada.

Solución


Definiendo el triángulo ABC:

Definiendo el incentro:



21

Detalle del incentro encontrado:

assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y, respectively

Dibujando el triángulo y la circunferencia inscrita:



22

Área y longitud de cada uno de los lados de un triángulo

Ejemplo

Las coordenadas de los vértices de un triángulo ABC son las siguientes: A (0, 0), B (‐2, 4), C(4, ‐2).

a) Dibujar el triángulo.

b) Calcular su área y la longitud de cada uno de sus lados.

Solución


a) Definiendo los puntos dados con la función point:

Definiendo el triángulo con la función triangle:



23

Dibujando el triángulo:

b) Calculando la longitud de los lados con la función sides:

Calculando el área del triángulo con la función area:



24

Circunferencia externa y tangente a uno de los lados de un triángulo Ejemplo Un triángulo está formado por los vértices A (‐2, 1), B (2, 1) y C (0, 4). Encontrar las ecuaciones de las circunferencias externas a cada uno de sus lados. Graficar el triángulo y las circunferencias.

Solución

En un triángulo ABC, una circunferencia k tangente a un lado c del triángulo y tangente a las extensiones de los lados a y b es conocida como circunferencia externa. La circunferencia forma su centro con las intersecciones de las bisectrices externas de los vértices A y B.

Cargar el paquete geometría:



25

Definir los tres vértices del triángulo:

Definir el triángulo T sobre el que se calcularán las ecuaciones:

Utilizar el comando excircle para el cálculo de las tres circunferencias externas:

Detalles de cada una de las circunferencias encontradas:



26



27

Dibujo del triángulo y las circunferencias:

Cálculo y dibujo de cada una de las ecuaciones de los lados del triángulo:



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29



Solución dada con Geogebra a la circunferencia 3:

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