Sveuciliste Josipa Jurja Stossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Zeljka Kraljic

Tri velika matematicara(Sir Isaac Newton, Leonhard Euler i Carl Fridrich Gauss)

Diplomski rad

Osijek, 2012.

Sveuciliste Josipa Jurja Stossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Zeljka Kraljic

Tri velika matematicara(Sir Isaac Newton, Leonhard Euler i Carl Fridrich Gauss)

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Antoaneta Klobucar

Osijek, 2012.

Sadrzaj

Uvod 1

1 Sir Isaac Newton 3

1.1. Zivotopis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Matematicka dostignuca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Infinitezimalni racun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2. Binomni teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Ostala dostignuca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Leonhard Euler 14

2.1. Zivotopis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Matematicka dostignuca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1. Matematicka analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2. Trigonometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3. Teorija brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.4. Geometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.5. Teorija grafova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3. Ostala dostignuca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Carl Friedrich Gauss 40

3.1. Zivotopis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2. Matematicka dostignuca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1. Gaussova dosjetka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.2. Konstrukcija pravilnog sedamnaesterokuta . . . . . . . . . . . . 44

3.2.3. Osnovni teorem algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

i

3.2.4. Teorija brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3. Ostala dostignuca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Literatura 54

Sazetak 56

Zivotopis 57

ii

Uvod

Doba prosvjetiteljstva, kako se naziva 18. stoljece, vrijeme je privrednog i socijal-

nog uspona gradanstva. Nakon 17. stoljeca koje su obiljezile gospodarske krize, vjerski

ratovi, kuge i netolerancije, 18. stoljece pocinje opravdavati naziv ”moderno doba”

koje nosi period od otkrica Amerike 1492. i Francuske revolucije 1789. godine. Moder-

nizacija zivota manifestira se u nagloj industrijalizaciji, razvoju znanosti i tehnologije,

mijenja se organizacija rada, ali i tradicionalni drustveni profili i privatni odnosi. Doba

prosvjetiteljstva naziva se jos i doba razuma jer cvate filozofska misao i vjerovanje da

je znanje temelj razvitka svakog covjeka.

Po prvi puta, znanost postaje predmet javnog govora. Do tada, jedini koji su

govorili o znanosti bili su akademici cija djela nisu bila poznata siroj javnosti. Krajem

17. stoljeca poceo je intenzivan razvoj skolstva te su osnovane nove institucije kao sto

su Pariska akademija i Royal Society of London. Tijekom narednih desetljeca, nekoliko

drugih institucija temeljilo se na modelu ova dva, ukljucujuci Berlinsku akademiju, St.

Petersburg Academy i mnoge druge. Ove institucije omogucavale su skolovanje sirem

krugu ljudi, sto dosad nije bio slucaj.

Matematika kao znanost se u to doba razvijala jako brzo. Uz brojne poznate

matematicare tog doba, kao sto su Poisson, Leibniz, L’Hospital, Cramer, Taylor, obitelj

Berloulli i mnogi drugi, svakako treba posebno istaknuti velikane tog doba, Sir Isaac

Newtona, Leonharda Eulera i Carla Fridricha Gaussa.

Kao jedan od pokretaca znanstvene revolucije pocetkom 18. stoljeca, Sir Isaac

Newton je povezao radove mnogih slavnih fizicara poput Kopernika, Keplera, Galilea i

Descartesa u novu mocnu teoriju. On je je svojim djelom Philosophiae Naturalis Prin-

cipia Mathematica (Matematicka nacela prirodne filozofije) izmijenilo pogled na svijet,

a mnogi znanstvenici citirali su ga kao Bibliju. U djelu je Newton ujedinio istrazivanja

Galilea Galileja i Johannesa Keplera u jednu teoriju gravitacije te je uspostavio osnovu

klasicne mehanike, u kojoj je formulirao tri osnovna zakona gibanja. Tim djelom ins-

pirirao je matematicare i fizicare stotinama godina kasnije, a mozemo reci da to cini i

danas.

Leonhard Euler pripada krugu znanstvenika koji ne samo da su podrucja svojeg

svestranog znanstvenog interesa obogatili novim spoznajama te ih time trajno unapri-

1

jedili i dali im novi poticaj i snagu, vec su svojim djelom utemeljili i nove, danas vrlo

razvijene grane znanosti, a osobito matematike.

Carl Fridrich Gauss, ”princeps mathematicorum”, kako su ga nazvali matematicari,

svestrani je matematicki genij i jedan od najvecih matematicara uopce koji je svoj iz-

vanredan matematicki talent pokazao vec u ranom djetinjstvu. Gaussa smatramo sim-

bolom sirenja primjene matematike u prirodnim znanostima i tehnici te produbljivanja

razumijevanja najtezih problema matematicke analize pa sve do temeljnih pitanja ve-

zanih uz cistu logiku. Dakle, s pravom ga mozemo nazvati najvecim matematicarom

svih vremena i staviti rame uz rame velikanima kao sto su Newton i Euler.

Ovaj rad bavi se upravo tom trojicom velikana i njihovim velikim doprinosima

matematici bez kojih ne bi poznavali matematiku danasnjice.

2

Poglavlje 1

Sir Isaac Newton

Sir Isaac Newton je britanski filozof koji se smatra najoriginalnijim i najutjecajnijim

teoreticarem u povijesti znanosti. Pored otkrica racuna beskonacnosti i nove teorije

prirode svjetlosti i boja, Newton je postavljanjem tri zakon kretanja i opcim zakonom

gravitacije temeljito promijenio osnovnu strukturu fizike i matematike.

Slika 1. Sir Issac Newton

1.1. Zivotopis

Isaac Newton je roden na Bozic, 25. prosinca 1642. (4. sijecnja 1643. po gregori-

janskom kalendaru) u zaselku Woolsthorpe u okrugu Lincolnshire u Engleskoj. Roden

je kao nedonosce, nakon smrti oca, ali je ipak uspio prezivjeti. Kad je imao tri godine,

majka mu se ponovno udala (za pastora Barnabusa Smitha) te sina ostavila na brizi

kod svoje majke. Newton nije volio poocima i u jednom od zapisa prije devetnaeste

godine zivota navodi da je prijetio tati i mami Smith da ce zapaliti njih i kucu u kojoj

su. Nakon sto je drugi put ostala udovicom 1659., njegova majka je zeljela da Newton

postane farmer. Newton je mrzio takav posao, a ucitelj skole koju je dotad pohadao

3

uvjerio je njegovu majku da mu dopusti zavrsetak skolovanja.

Jos dok je pohadao osnovnu skolu, Isaacov je ujak William Esconty uocio kako

njegov necak posjeduje nesumnjive crte izuzetne nadarenosti. Newton je veoma rano

pokazao i vjestinu u izradi raznovrsnih naprava kojima je zaradivao i svoje prve hono-

rare kao sto su mehanicke lutke, drveni satovi koji su se sami navijali, mlin kojega je

pokretao mis i slicno. Iz razdoblja kada je pohadao srednju skolu u gradicu Grenthemu

ne zna se puno informacija. Poznato je kako iz tih godina potjece i njegova prva i jedina

ljubav, prema gospodici Story, pastorki ljekarnika kod kojega je stanovao. Ljubav je

bila mladalacki neobuzdana, ali je izbjegao zenidbu i ostao cijelog zivota neozenjen.

Studirao je na Trinity College u Cambridgeu gdje je otkrio interes za matematiku.

Diplomirao je 1665., a godinu kasnije Trinity College je zatvoren zbog epidemije kuge.

U dvije godine koje se zbog toga morao povuci u Woolsthorpe razradio je svoje revo-

lucionarne nove teorije o infinitezimalnom racunu, optici i zakonu gravitacije. Newton

je tih godina radio tako intenzivno da se skoro razbolio. Nakon sto je kuga minula,

Newton se vratio u Cambridge gdje je 1669. na mjestu profesora matematike naslije-

dio svog ucitelja Isaaca Barrowa. Prvo je predavao optiku, a potom postao profesorom

matematike. Godine 1672., nakon sto je Trinity College donirao teleskop kojim je

promatrao Jupiterove satelite, postaje clanom Royal Society. Teleskop je izradio sam,

pokazavsi tako savrseno poznavanje slozenih tehnoloskih postupaka (od kojih je, pri-

mjerice, najslozeniji bio brusenje zrcala). U to doba, nakon objave rada o svjetlosti i

bojama, ulazi u sukob s Robertom Hookeom1. Hooke nije imao strpljenja raditi dugo

na jednom projektu i cuvati za sebe otkrice do samoga kraja, za razliku od Newtona

koji je bio nesklon iznosenju svojih ideja u javnost prije njihove konacne obrade. Za

njega je bilo sasvim prirodno da utrosi i 20 godina na neki posao. Druga, poznatija,

Newtonova svada je ona s Gottfriedom Leibnizom2 oko pitanja otkrica infinitezimalnog

racuna o kojem ce biti vise rijeci kasnije.

Godine 1687. objavio je svoje najznatije djelo Philosophiae naturalis principia mat-

hematica (Matematicka nacela prirodne filozofije), poznato jednostavno kao Principia,

u kojem detaljno opisuje svoje nove fizikalne teorije s njihovim primjenama na astro-

nomiju. U tom djelu objavljen je znameniti Newtonom zakon univerzalne gravitacije.

Nakon sto je 1685. kao kralj Velike Britanije izabran James II, koji je bio katolik,

doslo je do mnogih politicko-vjerskih sukoba. On je zahtjevao da se na sve slobodne

ugledne pozicije, ukljucujuci sveucilisne, postave katolici. Newton, koji je bio protes-

tant,protiveci se toj odluci ulazi u politiku. Izabran je kao predstavnik sveucilista u

Cambridgeu u parlamentu. Nakon sloma zivaca 1693. povukao se iz znanosti. Postoje

mnoge teorije o uzroku tog sloma, no gotovo je sigurno da je Newton bolovao od depre-

sije. Ostatak zivota se vise bavio politikom te je postigao vise visokih politickih pozicija

1Robert Hooke,1635.-1703., britanski fizicar, matematicar i izumitelj.2Gottfried Wilhelm Leibniz,1646.- 1716., njemacki filozof, matematicar, fizicar i diplomat.

4

i postao vrlo bogat. Od 1703. do smrti bio je predsjednik Royal Society. Vitezom (sir

Isaac Newton) postao je 1705. i tako je postao prvi znanstvenik s tom titulom. Pocasti

koje su mu iskazivane nije dozivio nijedan Englez prije njega. U svojoj 54 godini postao

je upravitelj kovnice novca. S danasnje tocke gleditsa to izgleda krajnje besmisleno, ali

taj je polozaj u ono vrijeme bio je znak izuzetnog drustvenog statusa.

Prozivio je 84 godine, preminuo je 31. ozujka 1727. u Londonu. Iza Newtona ostale

su brojne, jos poptuno neistrazene, biljeznice s tisucama ideja.

1.2. Matematicka dostignuca

1.2.1. Infinitezimalni racun

Neovisno jedan o drugom, pocetkom 18. stoljeca moderni infinitezimalni racun, tj.

deriviranje, integriranje i njihovu medusobnu inverznost, otkrili su Isaac Newton i Got-

tfried Wilhelm Leibniz. Njihova otkrica su prilicno razlicita, i notacijski i pojmovno.

Medutim, u radu jednog i drugog nalaze se kljucne stvari pa se otkrice infinitezimalnog

racuna pripisuje obojici. Zasluga obojice je da su dotad odvojeno razmatrane pro-

bleme deriviranja (odredivanja tangente) i integriranja (odredivanja povrsine) povezali

i uocili njihovu medusobnu inverznost, koja se izrazava osnovnim teoremom infinitezi-

malnog racuna (Newton-Leibnizovom formulom). Newton je razmatrao problem brzine

materijalne tocke, a Leibniz problem tangente na krivulju.

Leibniz je proucavao problem odredivanja tangente u tocki T0(x0, f(x0)) grafa Γf

neke funkcije f . Za to je bilo potrebno odrediti koeficijent smjera tangente.

Slika 2. Leibnizov pristup pojmu derivacije funkcije

Ako u blizini tocke x0 izaberemo neku drugu tocku x, onda je lako odrediti koeficijent

5

smjera sekante s kroz tocke T0 i T (x, f(x)):

f(x)− f(x0)

x− x0.

Koeficijent smjera sekante tezi prema koeficijentu smjera tangente kada x tezi prema x0.

Pri tome treba istraziti egzistenciju granicne vrijednosti limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0, odnosno

derivabilnost funkcije f u tocki x0.

Newton pak razmatra problem odredivanja trenutne brzine nekog tijela koje se krece

po pravcu. U osnovi, radi se o odredivanju brzine iz puta i obrnuto. On zamislja cesticu

koja se giba po krivulji u pravokutnom koordinatnom sustavu, a njene brzine (hori-

zontalnu x i vetikalnu y zove fluksijama tekucih velicina (fluensa) x i y, pridruzenim

fluksu (toku) vremena. To je opisao 1671. u tekstu De Methodis Serierum et Fluxi-

onum. Ukoliko je putanja opisana krivuljom f(x, y) = 0, onda je xy

koeficijent smjera

tangente na tu putanju. Za odredivanje brzine tj. tangente koristi Barrowovu ideju o

tangenti kao limesu sekanti. U nastavku cemo koristiti modernu notaciju infinitezimal-

nog racuna koju je uveo Leibniz.

Slika 3. Newtonov pristup pojmu derivacije funkcije

Oznacimo s t 7→ s(t), t ≥ 0 funkciju koja u svakom vremenskom trenutku pokazuje

prijedeni put. Ako je s linearna funkcija s(t) = vt + b, onda je gibanje jednoliko. U

tom slucaju u svakom intervalu [t1, t2] prijedeni put proporcionalan je duljini intervala

t2 − t1, tj.

s(t2)− s(t1) = v(t2 − t1),

a brzina ima konstantnu vrijednost

v =s(t2)− s(t1)

(t2 − t1).

Ako gibanje nije jednoliko (funkcija s nije linearna), brzinu u trenutku t0 odredit cemo

tako da pretpostavimo da je gibanje jednoliko u ”okolini” trenutka t0, tj. funkciju s u

6

okolini tocke t0 aproksimirat cemo linearnom funkcijom. Znamo da je to moguce samo

onda ako postoji v, tako da bude

limt→t0

s(t)− s(t0)− v(t− t0)t− t0

= 0.

Priblizno linearno gibanje dano je tada s

t 7→ s(t0) + v(t− t0),

pri cemu je brzina u trenutku t0

v(t0) = v = limt→t0

s(t)− s(t0)t− t0

= s′(t0).

Ono za sto je najvise Newton zasluzan je otkrice medusobne inverznosti integrala

i deriviranja. Nesto kasnije to je otkrio i Leibniz pa se njima u cast ta veza naziva

Newton-Leibnizova formula. Najprije definirajmo neprekidnu i primitivnu funkciju.

Definicija 1.1 Kazemo da je funkcija f : (a, b)→ R neprekidna u tocki x0 ∈ (a, b) ako

ona ima limes u tocki x0 koji je jednak f(x0), tj. ako je

limx→x0

f(x) = f(x0).

Funkcija f : (a, b)→ R je neprekidna na intervalu (a, b) ako je ona neprekidna u svakoj

tocki intervala.

Definicija 1.2 Primitivnom funkcijom funkcije f : [a, b]→ R nazivamo svaku funkciju

F : [a, b]→ R sa svojstvom:

F ′(x) = f(x) za svaki x ∈ [a, b].

Teorem 1.1 (Newton-Leibnizova formula) Neka je f : [a, b]→ R neprekidna funk-

cija na segmentu [a, b]. Ako je F bilo koja primitivna funkcija od f na [a, b], onda je∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a).

Dokaz.

Ako su F i Φ primitivne funkcije od f na [a, b], onda postoji konstanta C takva da je

Φ(x) = F (x) + C za svaki x ∈ [a, b]. Buduci da je

Φ(b)− Φ(a) = [F (b) + C]− [F (a) + C] = F (b)− F (a),

mozemo pretpostaviti da je F (x) =

∫ x

x0

f(t) dt, gdje je x0 ∈ [a, b]. Slijedi da je

F (b)− F (a) =

∫ b

x0

f(t) dt−∫ a

x0

f(t) dt =

∫ b

x0

f(t) dt+

∫ x0

a

f(t) dt =

∫ b

a

f(t) dt.

�

7

Komentar 1.1 Pogledajmo primjenu Newton-Leibnizove formule na sljedeci odredeni

integral. ∫ 1

0

dx

1 + x2= arctanx

∣∣∣∣10

= arctan 1− arctan 0 =π

4− 0 =

π

4.

Newtonovi rezultati tih otkrica su nesto stariji, no nisu objavljivani dosta vremena.

Leibnizovi rezultati sezu u doba postojanja neobjavljenih Newtonovih rezultata o infi-

nitezimalnom racunu. Leibnizovi prvi objavljeni rezultati su iz godine 1684., Newton

je svoje prvi put objavio 1687. Moguce je da je odgovarajuce Newtonove rukopise

Leibniz vidio prilikom svog posjeta Londonu, no prilicno je izvjesno da ih tad jos nije

bio u stanju u potpunosti razumjeti. Uz to, iako ekvivalentan, Leibnizov koncept je i

notacijski i konceptualno dosta drugaciji od Newtonovog: Leibniz problemima pristupa

vise geometrijski, dok je Newtonov pristup vise fizikalan. Stoga je opravdano obojicu

smatrati podjednako zasluznim iako su se u povijesti vodile zustre rasprave oko toga.

Strucna komisija Royal Society na osnovi jednostrano izabranih pisama dodijelila je

(1712) prioritetno autorsko pravo Newtonu. Medutim, upravo tada predsjednik Royal

Society bio je Newton koji je i napisao konacni izvjestaj. Rasprava o prvenstvu nastav-

ljena je i nakon Leibnizove smrti 1716., a s vremenom je prihvacena ideja podjednake

zasluge obojice.

1.2.2. Binomni teorem

Sir Isaac Newton je rezultate o redovima objavio u svom radu iz 1669. u kojem

je postavio teoriju fluksija3. U tom radu beskonacnim redovima potencija se bavi na

slican nacin kao i s konacnim.

Broj k-clanih podskupova n-clanog skupa oznacavamo s(nk

)= n!

k!(n−k)! i nazivamo

binomni koeficijent. Sljedeci teorem Newton je dokazao oko 1666. godine:

Teorem 1.2 (Binomni teorem) Za sve n ∈ N0 vrijedi

(x+ y)n =n∑k=0

(n

k

)xn−kyk. (1.1)

Dokaz 1.

Dokaz provodimo matematickom indukcijom. Oznacimo s M skup svih prirodnih

brojeva n za koje vrijedi binomni teorem za bilo koji izbor x, y ∈ R. Ocigledno je

1 ∈M3fluksija=derivacija (fluenta=integral), Newtonova oznaka: tockica iznad varijable.

8

Pretpostavimo da je n ∈M .

(x+ y)n+1 = (x+ y)(x+ y)n = (x+ y)

[ n∑k=0

(n

k

)xn−kyk

]= (x+ y)

[(n

0

)xn +

(n

1

)xn−1y + · · ·+

(n

n− 1

)xyn−1 +

(n

n

)yn]

=

(n

0

)xn+1 +

(n

1

)xny + · · ·+

(n

n− 1

)x2yn−1 +

(n

n

)xyn +(

n

0

)xny +

(n

1

)xn−1y2 + · · ·+

(n

n− 1

)xyn +

(n

n

)yn+1

=

(n+ 1

0

)xn+1 +

((n

1

)+

(n

0

))xny + · · ·

· · ·+((

n

n

)+

(n

n− 1

))xyn +

(n+ 1

0

)yn+1

=

(n+ 1

0

)xn+1 + · · ·+

(n+ 1

n

)xyn +

(n+ 1

n+ 1

)yn+1

=n+1∑k=0

(n+ 1

k

)xn+1−kyk.

Dakle, n+ 1 ∈M , pa je M = N.

�

Dokaz 2.

Binomni teorem mozemo dokazati i puno jednostavnije kombinatorno.

Mnozeci izraz (x+ y)(x+ y) · · · (x+ y) clan xkyn−k mozemo dobiti na jednako nacina

na koliko mozemo odabrati tocno k od n zagrada iz kojih cemo ”uzeti” x-eve, a iz

preostalih ”uzimamo” y-e. Broj tih faktora jednak je broju nacina da se iz n faktora

bira k y-a, a taj je(nk

). Dakle koeficijent uz xn−kxk je

(nk

). No, k moze varirati od 0

do n pa slijedi binomna formula.

�

Primjer 1.1 Vrijedi:

• (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

• (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab3 + b3

• (a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4

Dakle, binomni koeficijenti su dobili svoje ime zahvaljujuci cinjenici da se pojavljuju

kao koeficijenti prilikom razvoja binoma.

9

1676. godine Newton je pokusao generalizirati binomni teorem u smislu da je zelio

naci izraz za (x + y)n, gdje je n bilo koji realni broj. No za opci eksponent taj razvoj

vise nece biti polinom, nego beskonacan red pa se odmah namece pitanje konvergencije

reda. Naime, ako definiramo za n ∈ R i k ∈ R opci binomni koeficijent sa(n

k

)=n(n− 1)(n− 2) . . . (n− k + 1)

k!

pa ako formalno generaliziramo binomni teorem, onda imamo

(1 + x)n = 1 +

(n

1

)x+

(n

2

)x2 +

(n

3

)x3 + . . .

Euler je ovdje primjetio gresku. Naime, ako uvrstimo npr. n = −1, dobivamo

(1 + x)−1 = 1 + (−1)x+(−1)(−2)

2!x2 +

(−1)(−2)(−3)

3!x3 + . . .

= 1− x+ x2 − x3 + . . .

pa ako ovdje npr. stavimo x = −3, dobivamo

(1 − 3)−1 = 1 − (−3) + (−3)2 − (−3)3 + . . ., odnosno −12

= 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + . . .

sto je ocito nemoguce.

Tek su A. L. Cauchy, (1789.-1857.), C. F. Gauss (1777. -1855. ), N.H. Abel (1802.-

1829.) potpuno rijesili ta pitanja.

Kada potencija binoma nije prirodan broj, tada konacna suma (1.1) postaje binomni

red:

Teorem 1.3 (Binomni red) Za sve z ∈ C, |z| < 1, i sve n ∈ R vrijedi

(1 + z)n =∞∑k=0

(n

k

)zn.

Naprimjer, za n = −1 imamo da je(−1

k

)=

(−1)(−1− 1) . . . (−1− k + 1)

k!= (−1)k,

pa je za |z| < 1.

(1 + z)−1 =1

z + 1=∞∑k=0

(−1)kzk, a ako ovdje zamjenimo z sa −z, dobivamo

1

z − 1=∞∑k=0

zk = 1 + z + z2 + z3 + . . ..

Ako pak stavimo n = 12, tada binomni red glasi:

(1 + x)12 =

(12

0

)+

(12

1

)x+

(12

2

)x2 +

(12

3

)x3 + · · ·

= 1 +1

2x− 1

8x2 +

1

16x3 − . . .

10

Time smo dobili i formule za priblizno racunanje vrijednosti drugog korijena:

√1 + x = (1 + x)

12 ≈ 1 +

1

2x

√1 + x = (1 + x)

12 ≈ 1 +

1

2x− 1

8x2

√1 + x = (1 + x)

12 ≈ 1 +

1

2x− 1

8x2 +

1

16x3 − . . .

...

Napomena 1.1 Vecu tocnost u racunu cemo dobiti sto vise clanova reda uzmemo u

obzir.

Primjer 1.2 Izracunajmo pribliznu vrijednost od√

10.

√10 =

√1 + 9 =

√9 ·(

1 +1

9

)= 3 ·

(1 +

1

9

) 12

≈ 3 ·(

1 +1

2· 1

9

)≈ 3 · 1.055556 = 3.16667

√10 =

√1 + 9 =

√9 ·(

1 +1

9

)= 3 ·

(1 +

1

9

) 12

≈ 3 ·(

1 +1

2· 1

9− 1

8·(

1

9

)2)≈ 3 · 1.054001 = 3.162037

√10 =

√1 + 9 =

√9 ·(

1 +1

9

)= 3 ·

(1 +

1

9

) 12

≈ 3 ·(

1 +1

2· 1

9− 1

8·(

1

9

)2

+1

16·(

1

9

)3)≈ 3 · 1.054098 = 3.162294

Kalkulator na sest decimala daje rezultat 3,162278. Vidimo da nam je prva formula

dala tocan rezultat na dvije, druga na tri, a treca na cetiri decimale. Kao sto je vec

napomenuto tocnost bi povecavali pribrajanjem veceg broja clanova reda.

11

1.3. Ostala dostignuca

Isaac Newton bio je nesto djelotvorniji u fizici, odnosno sve sto je otkrio iz matema-

tike predocavao je u fizikalnom smislu.

Optika

Izmedu 1670. i 1672. Newton je drzao predavanja o optici. Tijekom ovog razdoblja,

proucavao je refrakciju svjetlosti, pokazivao je kako prizma bijelu svjetlost razlaze na

cijeli spektar, te da se uz pomoc lece i druge prizme taj spektar moze vratiti u bijelu

svjetlost. Iz svojeg je plodnog rada zakljucio da ce se svaki teleskop refraktor susresti

s problemom disperzije boja. Potaknut tim problemom, Newton smislja novu vrstu

teleskopa; reflektor. Newton je vjerovao kako se svjetlost sastoji od cestica, dok su

njegovi suvremenici, ali i fizicari koji su dosli nakon njega radije prihvacali teoriju u

kojoj se svjetlost smatrala valnim fenomenom. Razloge treba traziti u cinjenici da u

to vrijeme nije bilo eksperimenata kojima bi se jednostavno i nedvosmisleno pokazala

cesticna narav svjetlosti. Premda je Newtonova ideja o cesticama (korpuskulama)

svjetla bila hrabra, s danasnjeg kvantnog stanovista dualne prirode svjetlosti, njegove

korpuskule nemaju previse veze s fotonima.

Newtonovi zakoni

Newtonovi zakoni su skup od osnovna tri zakona klasicne fizike. Oni opisuju vezu

izmedu kretanja tijela i sila koje djeluju na tijelo. Ovi zakoni cine temelj klasicne fizike.

Prvi Newtonov zakon, tzv. zakon inercije govori da svako tijelo zadrzava stanje mi-

rovanja ili ravnomjernog pravocrtnog kretanja, sve dok drugo tijelo svojim djelovanjem

ne promjeni to stanje.

Drugi Newtonov zakon, tzv. zakon sile opisuje cinjenicu da je promjena kretanja

(ubrzanje) nekog tijela moguca jedino djelovanjem sile i povezuje silu koja djeluje na

tijelo sa masom tijela i ubrzanjem kojem je tijelo izlozeno. Jacina sile koja djeluje na

tijelo i daje mu ubrzanje jednaka je proizvodu mase tijela i ubrzanja. (−→F = m · −→a )

Treci Newtonov zakon, tzv. sila akcije i reakcije govori ako jedno tijelo djeluje silom

na drugo, onda i drugo tijelo djeluje na prvo silom iste jacine, ali suprotnog smjera.

Djelovanje jednog tijela na drugo je akcija, a protiv djelovanje drugog tijela je reakcija.

Zakon gravitacije

Prica kaze kako je Newton, 1666. godine, odmarajuci se i pomalo dangubeci, sjedio

u debelu hladu zrele jabuke kad mu je, iznenada, pala jabuka ravno na glavu. U

12

tom trenutku je shvatio da Zemljina gravitacija privlaci svako tijelo koje se u njoj

nalazi. Djelovanje sile teze u svemiru objasnio je 1687. u svojoj knjizi ”Principia”.

Danas je uobicajeno da se ova sila naziva ”Gravitacija”, a pojam ”sila teza” odnosi

se na gravitacijsku silu planeta Zemlje u blizini njene povrsine. Proucavajuci silu tezu

Newton je dosao do zakljucka da je ona samo jedna manifestacija opcenitije sile koja se

proteze kroz cijeli Svemir. Ovu opcenitu silu nazvao je Gravitacija i njeno djelovanje

formulirao u obliku poznatog Newton-ovog zakona gravitacije:

F = Gm1m2

r2,

gdje je G gravitacijska konstanta, G = 6, 67428·10−11Nm2kg−2, a r je vektor medusobnog

polozaja dvaju tjela mase m1 i m2.

Jedinica za silu, njutn, nazvana je njemu u cast.

13

Poglavlje 2

Leonhard Euler

Leonhard Euler, rodom Svicarac, najveci dio zivota provodi izvan Svicarske. Eule-

rov krug interesa je nevjerojatno sirok. Bavio se gotovo svim prirodnim znanostima,

iako najvise matematikom, te su 3/5 njegovih djela upravo iz tog podrucja. Bio je pravi

virtuoz u podrucju teorije brojeva, zacetnik je racuna varijacija i teorije grafova. Mnogi

ga matematicari smatraju utemeljiteljem moderne matematicke analize. Takoder, vrlo

uspjesno bavio se kako elementarnom tako i diferencijalnom geometrijom. Stvorio je

suvremeni matematicki izraz, matematicku terminologiju i matematicki zapis. Pisao

je udzbenike elementarne matematike, bavio se geografijom, mehanikom, optikom i

astronomijom. Kada je rijec o Leonhardu Euleru, nikako ne mozemo biti sigurni jesmo

li nabrojali sva njegova dostignuca.

Slika 4. Leonhard Euler

Eulerov odbor Svicarske akademije znanosti, osnovan 1907. godine, dobio je zadatak

objaviti cjelokupno Eulerovo djelo (Opera omnia), od knjiga i clanaka do njegove ko-

respondencije. U 100 narednih godina objavljeno je 84 tona enciklopedijskog formata.

Nesumnjivo se moze reci kako je Euler najproduktivniji matematicar u povijesti. Na-

kon njegove smrti St. Petersburska akademija je jos punih 50 godina tiskala njegove

neobjavljene radove.

14

2.1. Zivotopis

Leonhard Euler je roden 15.4.1707. u Baselu u Svicarskoj, a umro 18.9.1783 u Petro-

gradu u Rusiji. Njegov otac, Paul Euler, studirao je teologiju na Bazelskom sveucilistu

gdje je pohadao predavanja Jacoba Bernoullija1. Paul Euler i Johann Bernoulli2 za-

jedno su stanovali u kuci Jacoba Bernoullija sve do kraja studija, nakon kojeg je Paul

Euler postao protestantski svecenik i ozenio Margaret Brucker, kcer drugog protestant-

skog svecenika. Euler je imao dvije mlade sestre, Anna Mariju i Mariju Magdalenu.

Otac, Paul Euler, bio je solidan matematicar pa je bio u mogucnosti sina poucavati

osnovama matematike. Ocevo poucavanje ostavilo je veliki utjecaj na Leonharda, pa

on svojevoljno cita matematicke tekstove i uzima privatne sate.

Sa skolskim obrazovanjem Euler je zapoceo u Baselu gdje je zivio s bakom po majci.

Jos kao djecak savladao je udzbenik osnovne matematike, pisan za odrasle. Kasnije,

kad je dosao u baselsku gimnaziju, gdje se tada jos nije ucila matematika, otac mu je

angazirao dobrog privatnog ucitelja.

Vec sa 14 godina upisao se na fakultet ispunivsi uvjet minimalne dobi, kao i drugi

vazan uvjet za upis - besprijekorno vladanje latinskim u rijeci i pismu. Na studiju

je imao srecu da mu je profesor matematike bio slavni Johann Bernoulli. Najprije je

prolazio temeljito opce obrazovanje, a 1724. dovrsio je studij magistarskim ispitom,

gdje je branio svoj rad s usporedbom nauka Descartesa i Newtona. Pokazao je sve

vece zanimanje za matematiku i uocavao rupe u svojem znanju pa je zamolio Johanna

Bernoullija za redovitu privatnu poduku. Iskusni Bernoulli je brzo uocio Eulerovu

izuzetnu nadarenost te nazreo njegov silni znanstveni potencijal. Kad je Euler poceo

studirati teologiju i medicinu, 1724. godine, njegov se otac ponadao da ce sin poci

njegovim stopama. Medutim, Euler tih godina ne polaze nijedan ispit, nego se vise bavi

matematikom. Bernoulliju nije bilo nimalo lako uvjeriti oca kako mu je sin sudbinski

predodreden postati velikim matematicarom.

Od raznih radova, koje je u to doba objavio, vrijedno je spomenuti onaj o opti-

malnom polozaju jarbola na jedrenjacima, koji je na natjecaju za Grand Prix Pariske

akademije znanosti postigao drugu nagradu. Iste godine, 1727., zavrsio je svoju dok-

torsku disertaciju o sirenju zvuka (De Sono) i natjecao se za katedru fizike u Baselu,

no bezuspjesno, jer za njega glasuje samo Johann Bernoulli.

Nakon tog neuspjeha Euler je zelio otici u Petrograd, gdje je godinu dana ranije

carica Katarina I. ostvarila ideju Petra Velikog da se tamo osnuje jaka akademija zna-

nosti i poveze je se sa Zapadnom Europom. Ruska je akademija, gdje su radila dva

1Jacob Bernoulli (1654.-1705.) svicarski matematicar, prvi je koristio naziv integral, bavio seraznim primjenama integralnog racuna i diferencijalnih jednadzbi.

2Johann Bernoulli (1667.-1748.), mladi brat Jacoba, takoder je dao znacajne doprinose u mate-matickoj analizi.

15

sina Johanna Bernoullija, Daniel3 i Nicolas4, zbog obilate novcane carske potpore i

uvjeta rada bila privlacna za mlade i ambiciozne europske znanstvenike. Kada je u sr-

pnju 1726. Nikolas Bernoulli umro od upale slijepog crijeva, brat Daniel pozvao je na

upraznjeno mjesto obiteljskog prijatelja Leonharda Eulera. Zaposlio se na medicinskom

odjelu Akademije.

Euler je 1730. postao profesor fizike. Zanimljivo je da je u tom vremenu napisao

djelo Mehanika, knjigu o teoriji glazbe, te djelo Scientia navalis u kojoj izlaze znanja iz

hidrodinamike, gradnje brodova i navigacije. Kao nasljednik Daniela Bernoullija, koji

napusta akademiju, 1733. presao je na mjesto asistenta matematike. Tada se i ozenio

Katharinom Gsell, kceri svicarskog slikara Georgea Gsella.

U Petrogradu je Euler brojnim radovima utemeljio svoj glas prvorazrednog znanstve-

nika i ucitelja. Nazalost, pod kraj prvog petrogradskog perioda, 1740. godine, nakon

bolesti gubi vid na desnom oku.

U to vrijeme bili su ucestali nemiri u Rusiji. Zabrinut zbog istih te sigurnosti vlastite

obitelji, prihvaca ponudu pruskog kralja Frederika II. da prijede na Berlinsku akade-

miju. 19. lipnja 1741. obitelj seli u Berlin. Euler je u Akademiji bio predvodnikom

matematickog odjela. U 25 godina u Berlinu napisao je oko 380 clanaka, te vise knjiga o

varijacijskom racunu, proracunavanju orbita planeta, artiljeriji i balistici, matematickoj

analizi, gradnji brodova i navigaciji, kretanju mjeseca, pa cak i popularnoznanstveno

djelo Pisma jednoj njemackoj princezi o raznim podrucjima fizike i filozofije. Radi se o

200 pisama sto ih je Euler pisao Frederikovoj necakinji, princezi od Anhalt–Dessaua,

kojoj je davao poduke. Knjiga je bila pravi matematicki bestseler. U njoj Euler izlaze

i analizira niz problema iz matematike i fizike. To cini na vrlo osobit i osoban nacin

pa ga citatelj kroz pisma moze dobro upoznati, razumjeti njegova religiozna i druga

uvjerenja. Knjiga ukazuje kako je Euler, zbog dubokog razumijevanja cjeline prirodnih

znanosti, imao sposobnost jednostavnog tumacenja i slozenih cinjenica svakom laiku.

U to doba, 1748. godine, odbija poziv iz Basela, da tamo naslijedi katedru matematike

umrlog Johanna Bernoullija.

Godine 1766. vratio se u St. Petersburg, ponajvise radi prevelikog mijesanja

kralja u poslove akademije. Ondje je proveo ostatak zivota, ne vracajuci se u rodni

kraj. Ubrzo zatim postao je potpuno slijep, a 1771. mu je dom unisten u pozaru, a

pritom je uz svoj zivot uspio spasiti samo dio svojih matematickih rukopisa. Usprkos

sljepoci, iznimno dobro pamcenje omogucilo mu je da nastavi znanstveni rad te je u

tom razdoblju objavio gotovo polovinu svih svojih djela. Biografi u zelji da ilustriraju

Eulerovu memoriju cesto navode kako je bio u stanju napamet, bez zamuckivanja,

izrecitirati cijelu Virgilijevu Eneidu i kako je za svaku stranicu mogao reci koji je

3Daniel Bernoulli, 1700.-1782., sin Johanna, dao je bitne doprinose u fizici te u primjeni diferenci-jalnog racuna na teoriju vjerojatnosti.

4Nicolaus (II) Bernoulli, 1695.-1726., sin Johanna.

16

redak na njoj prvi, a koji posljednji. Uz sjajnu memoriju, Euler je bio briljantan i

u racunanju. Kad su dva studenta nakon mukotrpna zbrajanja nekog reda dosli do

rezultata na 50 decimala, Euler je odmah uocio pogresku i racunajuci napamet dosao

do tocnog rezultata. Takoder, poznato je kako su mu postavili zadatak neka odredi

cetiri cijela broja takva da je zbroj svaka dva potpuni kvadrat. On je vrlo brzo pronasao

takvu cetvorku: 18530, 38114, 45986, 65570.

U mnogim spisima opisani su zadnji sati njegova zivota. 18. rujna 1783. Euler je

pola dana proveo na uobicajen nacin poducavajuci jednog unuka matematici, proma-

trajuci putanje balona i raspravljajuci o otkricu planeta Urana, a u pet sati popodne

nakon krvarenja u mozgu izjavio je ”Umirem.”, izgubio svijest i umro oko sest sati

kasnije. Sahranjen je u Pskovu na Lazarevskom groblju.

2.2. Matematicka dostignuca

Euler je bio izvanredno plodan i svestran znanstvenik. Objavio je 866 publikacija, od

cega oko 40 knjiga. U tim je radovima obradivao najvaznije i najteze probleme tadasnje

vise matematike i njenih primjena. Uz to treba posebno naglasiti da je za razliku od

svojih prethodnika probleme i njihova nova rjesenja znao prikazati na razumljiv nacin

svim laicima, sto je takoder pridonijelo njegovoj poznatosti. On je uveo velik dio

danas upotrebljavane jedinstvene matematicke simbolike, koja je neophodna za dobru

komunikaciju. To su npr. simboli: e, π, i, Σ, te y′(x) za derivaciju (u isto vrijeme kao

i Lagrange). Takoder je precizirao pojam funkcije i uveo oznaku f(x) u svom djelu

Introductio in analysin infinitorum i time osnovao visu analizu.

2.2.1. Matematicka analiza

Matematicka analiza bila je glavno podrucje djelovanja matematicara u 18. stoljecu.

Obitelj Bernoulli je svojim radovima bitno utjecala na njen razvitak. Eulerova bliskost

s njima ga je potaknula na analizu pa je ona dugo bila sredisnja tocka njegova interesa

i rada. Zbog toga je i prva u nizu sjajnih Eulerovih knjiga bila Introductio in analysin

infinitorum (1748.).

Euler je puno doprinio formaliziranju pojma funkcije, iako je njegova definicija jos

uvijek vrlo daleko od suvremene. On kaze:

Funkcija varijabilne velicine je analiticki izraz koji je na bilo kakav nacin

sastavljen od te varijabilne velicine i brojeva ili konstantnih velicina.

Nije definirao sto misli pod ”analiticki izraz”, vec je podrazumijevao da ce citatelj shva-

titi da se radi o izrazu formiranom pomocu uobicajenih matematickih operacija. Euler

17

je prvi tvrdio da je matematicka analiza podrucje koje se bavi analitickim izrazima i

posebno funkcijama.

U prvom dijelu knjige Introductio in analysin infinitorum prikazuje funkcije u

obliku beskonacnih redova, navedeni su limesi nekih beskonacnih umnozaka, obraduju

se verizni razlomci, razni algebarski i trigonometrijski redovi itd.

Promatrajuci jednostavan harmonijski red

1 +1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ · · ·

uocava kako je zbroj prvih n pribrojnika priblizno jednak log n. Stovise, dokazao je da

kada n raste, razlika izmedu zbroja prvih n pribrojnika i log n tezi konstanti koja se

zove Eulerova konstanta. Euler ju je 1781. izracunao na 16 decimala, a njezina je

priblizna vrijednost

C = limn→∞

(∑n

1

n− ln n

)= 0.57721566490153286060651209008240243.

Isti broj ponekad se zove Mascheronijeva konstanta koji ju je izracunao na 32 decimale

i pridruzio joj simbol γ umjesto Eulerovog C. Broj je i danas prilicna nepoznanica, o

njemu se malo zna, cak nema dokaza niti da je iracionalan.

Primjer 2.1 Eulerova konstanta je rjesenje sljedecih odredenih integrala:

γ = −∫ ∞0

e−x lnx dx

= −∫ 1

0

ln | lnx| dx

=

∫ ∞0

(1

1− e−x − 1x

)e−xdx

=

∫ ∞0

1

x

(1

1 + x− e−x

)dx

Koncept konvergencije beskonacnih redova bio je razraden i prije Eulera. Medutim,

on je bio zbunjen nekim tvrdnjama i rezultatima pa se upustio i u ovo podrucje ma-

tematike. Moze se reci kako su upravo radovi iz podrucja beskonacnih redova bili ti

koji su doprinijeli punoj Eulerovoj afirmaciji i njegovu ugledu u svijetu matematicara.

Posebice se istice problem odredivanja beskonacne sume tzv. Baselski problem. Pro-

blem je postavio Pietro Mengoli 1644. godine, a rijesio ga je Euler 1735. Problem je

nazvan po Baselu, rodnom gradu Leonharda Eulera i Bernoullija. Euler je pokazao da

vrijedi:

∞∑n=1

1

n2=π2

6,

∞∑n=1

1

n4=π4

90,

∞∑n=1

1

n6=

π6

945

18

Dokaz .

Eulerov izvod vrijednosti π2

6je originalan i veoma domisljat. On je prosirio zapazanja

o konacnim polinomima i pretpostavio da ista svojstva vrijede i za beskonacne redove.

Objasnio je na sljedeci nacin.

Prisjetimo se najprije razvoj elementarne funkcije sinx u Taylorov red5.

sinx =∞∑n=1

(−1)n+1 x2n−1

(2n− 1)!=x

1!− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ · · · (2.1)

Podijelimo li cijeli izraz (2.1) s x dobivamo

sinx

x= 1− x2

3!+x4

5!− x6

7!+ · · ·

Sada gledamo sjeciste krivulje sinxx

s x-osi, x = n · π, gdje je n = ±1,±2,±3, . . ..

Izrazimo gornji beskonacan red kao produkt linearnih faktora izrazenih dobivenim ko-

rijenima, kao sto to cinimo kod konacnih polinoma.

sinx

x=

(1− x

π

)(1 +

x

π

)(1− x

2π

)(1 +

x

2π

)(1− x

3π

)(1 +

x

3π

)· · ·

=

(1− x2

π2

)(1− x2

4π2

)(1− x2

9π2

)· · ·

Ukoliko pomnozimo dobiveno po principu ”svaki sa svakim” i izdvojimo koeficijente uz

x2 imamo

−(

1

π2+

1

4π2+

1

9π2+ · · ·

)= − 1

π2

∞∑n=1

1

n2

U razvoju elementarne funkcije sinx u Taylorov red koeficijent uz x2 je − 13!

= −16.

Izjednacavanjem dobivamo

− 1

π2

∞∑n=1

1

n2= −1

6

∞∑n=1

1

n2=

π2

6

�5Taylorov red za neku stalnu funkciju f(x) sa beskonacno puno izvoda za izabranu tocku a je

definiran ovako:

f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n + · · · =

∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n

19

Uz to je dokazao da za svaki p ∈ C vrijedi

∞∑n=1

1

ns=∏p prost

1

1− p−s, gdje je s = 4, 6, 8, 10 i 12.

Danas se vrijednost∞∑n=1

1

nsoznacava sa ζ(s), a svojstva tako definirane i na skup

kompleksnih brojeva (osim 1) prosirene funkcije ζ sadrzaj su jednog od najznamenitijih

otvorenih problema matematike danas, Riemannove6 hipoteze.

Za eksponencijalnu funkciju baze e Euler daje raspis:

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ · · · =

∞∑n=0

xn

n!

Uvrstimo li x = 1 dobit cemo cuveni Eulerov broj e = 2.71828182846 . . ., osnovicu

prirodnih logaritama. Istrazivanja beskonacnih redova dovode Eulera i do veriznih

razlomaka. On dokazuje kako se svaki racionalan broj moze prikazati kao konacan

verizni razlomak te je na taj nacin dokazao da je e iracionalan broj. Naime, dokazao

je kako

e− 1

2= 0 +

1

1 +1

6 +1

10 +1

14 +1

18 +1

22 + . . .

nije racionalan te zakljucio da nije ni e.

2.2.2. Trigonometrija

U trigonometriji, Euler je uveo suvremeno oznacavanje sinusa i kosinusa kao sin i

cos te trigonometrijske funkcije, kao prvi u povijesti, razmatra kao funkcije, a ne kao

geometrijske velicine. Stovise, definira eksponencijalnu funkciju i na skupu kompleksnih

brojeva te je povezuje s trigonometrijskim funkcijama.

Eulerova formula (eix = cos x + i sinx) vrijedi i ukoliko je x kompleksni broj te se

ponekad navodi i u njezinom opcenitijem, kompleksnom obliku. Prema nekim autorima

smatra se jednom od najizuzetnijih formula na podrucju cijele matematike.

6Bernhard Riemann,1826.- 1866., uveo je zeta-funkciju koju je povezao s raspodjelom prostih bro-jeva, a sadrzi dosad nerijesenu Riemannovu hipotezu (Realni dio svake netrivijalne nultocke zetafunkcije je tocno 1

2 ).

20

Bernoulli je oko 1702. godine zapisao da je

dx

1 + x2=

1

2

(dx

1− ix+

dx

1 + ix

)te da je ∫

dx

1 + x= ln(1 + x).

Gore navedene jednakosti daju nam odredeni uvid u pojam kompleksnih logaritama.

Bernoulli, medutim, nije ocijenio cjelinu. Njegovo dopisivanje s Eulerom (koji je

takoder poznavao jednakost) pokazuje da nije naslutio dubinu matematicke pozadine.

U meduvremenu je Roger Cotes 1714. godine otkrio da je

ln(cosx+ i sinx) = ix.

Medutim, Cotes nije uocio cinjenicu da kompleksni logaritmi mogu imati beskonacno

mnogo vrijednosti i to posljedicno periodicnosti trigonometrijskih funkcija. Upravo je

Euler, negdje oko 1740. godine, obratio paznju na eksponencijalne funkcije umjesto

logaritamskih i izveo formulu koja je nazvana njemu u cast.

Formula je objavljena 1748. godine i Eulerov dokaz formule se zasniva na razvoju

Taylorovih redova za eksponencijalnu funkciju eix te periodicke funkcije sinx i cos x,

gdje je i kompleksni broj, a x realan broj. Isti dokaz pokazuje da formula vrijedi i ako

je x bilo koji kompleksan broj. Nitko u to doba nije uocio geometrijsku interpretaciju

formule, kao pogled na kompleksne brojeve predocene u kompleksnoj ravnini. Tu vezu

je tek nekih pedesetak godina kasnije ustanovio Caspar Wessel.

Definicija 2.1 (Eulerova formula) Eulerova formula ustanovljava da je za svaki re-

alni broj x,

eix = cosx+ i sinx, (2.2)

gdje je e matematicka konstanta i baza prirodnih logaritama, i imaginarna jedinica, a

sin i cos trigonometrijske funkcije s argumentom x datim u radijanima.

Dokaz.

Najprije razvijemo funkciju eix u Taylorov red:

eix = 1 + ix+(ix)2

2!+

(ix)3

3!+

(ix)4

4!+

(ix)5

5!+

(ix)6

6!+ · · ·

Primjenjujuci svojstvo imaginarne jedinice i2 = −1 slijedi:

eix = 1 + ix− (x)2

2!− ix3

3!+x4

4!+ix5

5!− x6

6!+ · · ·

=

(1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+x8

8!− · · ·

)+ i

(x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ · · ·

)21

Primjenjujuci (2.1) i cosx = 1− x2

2!+ x4

4!− x6

6!+ x8

8!− . . . slijedi (2.2)

�

Pogledajmo primjenu Eulerove formule u teoriji kompleksnih brojeva. Eulerova for-

mula moze se predociti na nacin da funkcija eix rotira oko ishodista kompleksne ravnine

tijekom cega x poprima vrijednosti iz domene realnih brojeva. U tom smislu x je kut

sto ga cini duzina, koja spaja ishodiste koordinatnog sustava u kompleksnoj ravnini

s odgovarajucom tockom na jedinicnoj kruznici, s pozitivnom realnom osi. Pri tome

duzina, u osnovi vektor u kompleksnoj ravnini, rotira smjerom suprotno od smjera

kazaljki na satu, a velicina kuta iskazuje se u radijanima.

Slika 5. Eulerova formula prikazana u kompleksnoj ravnini

Eulerova formula iskazuje snaznu povezanost izmedu matematicke analize i trigono-

metrije te omogucuje prikaz sin i cos funkcije u odgovarajucem obliku eksponencijalnih

funkcija

cosx = Re eix =eix + e−ix

2(2.3)

sinx = Im eix =eix − e−ix

2i(2.4)

Dokaz.

Dokaz je vrlo jednostavan. Zbrajajuci, odnosno oduzimajuci Eulerove formule

eix = cosx+ i sinx

e−ix = cos(−x) + i sin(−x) = cos x− i sinx

dobivamo gornje vrijednosti (2.3) i (2.4).

�

22

Ukoliko u Eulerovu formulu (2.2) uvrstimo x = π dobivamo cuvenu jednakost

eiπ + 1 = 0 (2.5)

jer je sinus ispruzenog kuta jednak nuli, a kosinus jednak -1, za x = 180◦ = π. Mnogi

upravo zapisanu formulu smatraju najljepsom matematickom formulom jer povezuje

pet najznamenitijih brojeva: 0, 1, e, π te i.

Eulerova formula se koristi najvise u elektrotehnici, ali i drugim podrucjima, elek-

tricni signali, odnosno velicine koje se periodicki mijenjaju s vremenom cesto se opi-

suju kao kombinacije sinusnih i kosinusnih funkcija (Fourierova analiza) te se kao takve

izrazavaju u obliku eksponencijalnih funkcija s imaginarnim eksponentima. Stovise,

analiza elektricnih krugova i mreza moze ukljuciti upravo Eulerovu formulu i njezine

derivate u svrhu prikaza faznih i amplitudnih odnosa struje i napona.

2.2.3. Teorija brojeva

Teorija brojeva je Eulerova mladenacka strast. Dosavsi u Rusiju 1727. godine,

upoznao je Christiana Goldbacha7 koji je vec imao bogato iskustvo u ovom podrucju

matematike. Goldbach je proucavajuci razne izvore, prije svega Euklidove Elemente i

radove Fermata pokusavao naci odgovore na neka otvorena pitanja. Jedno od njih je

poznata Goldbachova hipoteza ciju je danasnju formulaciju dao Euler.

Definicija 2.2 (Goldbachova hipoteza) Svaki paran prirodni broj veci od dva moze

se predociti u obliku zbroja dva prosta broja.

Postavljena je 1742. pri dopisivanju Goldbach - Euler. Ta je tvrdnja danas jedna od

najpoznatijih matematickih tvrdnji koje nisu niti dokazane niti opovrgnute (zato se i

zove hipoteza).

Euler je pokazao da Fermatova hipoteza da su brojevi oblika 2n + 1 uvijek prosti

ako je n potencija od 2 nije tocna. U Goldbachovom pismu Euleru, 1. prosinca 1729.,

stoji pitanje:

Je li Vam poznato Fermatovo misljenje da su brojevi oblika 22p + 1 prosti?

On to nije dokazao, a koliko znam nije niti itko drugi.

Euler je brzo odgovorio:

225 + 1 = 6700417 · 641. Dakle, Fermat nije u pravu.

7Christian Goldbach,1690. – 1764., njemacki matematicar

23

Euler je uveo funkciju koja se bavi parovima prijateljskih brojeva. Definirajmo sto su

prijateljski brojevi.

Definicija 2.3 Za dva prirodna broja a i b kazemo da su prijateljski ako je suma svih

pravih djelitelja broja a jednaka broju b i suma svih pravih djelitelja broja b jednaka

broju a.

Primjer 2.2 220 i 284 su prijateljski brojevi.

σ(220) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 24 + 55 + 110 = 284

σ(284) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Proucavao je i radove Pierre de Fermata8. Tako je 1736. dokazao Mali Fermatov

teorem.

Teorem 2.1 (Mali Fermatov teorem) Neka je p prost broj i a cijeli broj. Ako p ne

dijeli a, tada p dijeli razliku ap−1 − 1.

Kasnije je taj poucak poopcio pri cemu je uveo funkciju Φ koju definira kao broj cijelih

brojeva manjih od broja n i relativno prostih s n. Danas su poznate primjene te funkcije

u kriptografiji. Euler se bavio i cuvenim Fermatovim posljednjim teoremom.

Teorem 2.2 (Veliki Fermatov teorem) Jednadzba an + bn = cn za n > 2 u skupu

cijelih brojeva nema rjesenja.

Dokazao je tocnost tvrdnje za n = 3 i n = 4. Dokazao je i nekoliko ostalih Fermatovih

pretpostavki.

Dugacak bi bio niz u kojem bi popisali sve Eulerove rezultate u teoriji brojeva. No

u njegovo doba to podrucje matematike sastojalo se od niza manjih, medusobno gotovo

izoliranih tema i rezultata. Izgradnja teorije brojeva u sustavnu matematicku teoriju

zapocela je pojavom Gaussove Aritmetike (1801. g.).

2.2.4. Geometrija

Mnogi su smatrali kako Euler nema osobit interes za geometriju. Medutim, to je

potpuno pogresno. Da je to tako govori 1600 stranica Opera Omniae sto su posvecene

geometriji. Medu njima moze se naci Eulerova formula za trokute, Eulerov pravac i

Eulerova kruznica.

8Pierre de Fermat,1601. – 1665., francuski matematicar i pravnik

24

Teorem 2.3 (Eulerov teorem za trokute) Neka je k(S,R) kruznica opisana, a

k(O, r) kruznica upisana trokutu 4ABC: Tada je |SO|2 = R2 − 2Rr. (Slika 6.)

Dokaz.

Neka je D sjeciste pravca BO i kruznice opisane trokutu. Pravac BO je simetrala kuta

β, a CO simetrala kuta γ. Neka su E i F sjecista pravca SO i kruznice opisane trokutu.

Kako je kut ∠EOB = ∠DOF (vrsni kutovi) i ∠DFO = ∠OBE (obodni kutovi nad

ED), prema poucku (K−K−K) teorema o slicnosti vrijedi4EOB ∼ 4DOF . Slijedi|EO||OB| = |OD|

|OF | i odatle |BO| · |OD| = |EO| · |OF |. Imamo

|BO| · |OD| = |EO| · |OF | = (R + |SO|)(R− |SO|) = R2 − |SO|2

pa je |SO|2 = R2 − |BO| · |OD|.Preostaje dokazati da je |BO| · |OD| = 2Rr.

Slika 6. Eulerov pravac

Vrijedi ∠DCA = ∠DBA (obodni kutovi nad DA), ∠DBA = ∠DBC = β2

(DB je

simetrala kuta β), ∠ACO = ∠BCO = γ2

(CO je simetrala kuta γ).

Sada je ∠DCO = ∠DCA+ ∠ACO = β2

+ γ2.

Osim toga, ∠DCO je vanjski kut 4BCO pa je ∠DOC = ∠DBC + ∠BCO = β2

+ γ2.

Znaci da je ∠DCO = ∠DOC, odakle slijedi |OD| = |CD|.Neka je N noziste okomice iz O na BC. Neka je G sjeciste pravca CS i kruznice opisane

trokutu. Prema Talesovom teoremu je ∠CDG = 90◦ i stoga ∠CDG = ∠ONB. Uz to

je i ∠DGC = ∠DBC (obodni kutovi nad CD) pa su prema K − K − K teoremu o

slicnosti trokuti 4BNO i 4GDC slicni. Slijedi, |BO||GC| = |NO||DC| , odnosno |BO|

2R= r|DC| .

Konacno,

|BO| · |OD| = |BO| · |CD| = 2Rr

�

25

Teorem 2.4 (Eulerov pravac) Srediste S trokutu opisane kruznice, teziste G trokuta

i njegov ortocentar H leze na jednom pravcu pri cemu je |GH| = 2|GS|. (Slika 7.)

Dokaz.

Zadan je trokut 4ABC.

Slika 7. Eulerov pravac

Neka je S srediste trokutu opisane kruznice9, G teziste trokuta10 i H ortocentar tro-

kuta11.

Konstruiramo trokut 4EDF cije su stranice srednjice trokuta 4ABC. Kako je odnos

izmedu stranica |AB||ED| = |BC||FD| = |AC|

|FE| = 12, prema (S − S − S) poucku o slicnosti trokuta

vrijedi

4ABC ∼ 4EDF. (2.6)

Primjetimo da je ortocentar trokuta 4EDF jednak sredistu opisane kruznice trokuta

4ABC. Dokazimo da je

4FSG ∼ 4GCH. (2.7)

Kako su pravci FY i XC okomiti na pravac AB vrijedi FY ||XC. Pravac FC je njihova

presjecnica. Prema tome vrijedi da je

∠SFG = ∠GCH. (2.8)

9Srediste opisane kruznice trokuta je tocka u kojoj se sijeku simetrale stranica trokuta. Simetraladuzine je pravac koji je okomit na duzinu i prolazi njezinim polovistem.

10Teziste trokuta je tocka u kojoj se sijeku tezisnice trokuta. Tezisnica trokuta je duzine kojaspajaju vrh trokuta s polovistem nasuprotne stranice. Teziste dijeli svaku tezisnicu u omjeru 2 : 1 odvrha prema stranici.

11Ortocentar je tocka u kojoj se sijeku pravci na kojima leze visine trokuta. Visina trokuta jeokomica spustena iz suprotnog vrha na stranicu trokuta.

26

|FC| je tezisnica trokuta 4ABC sto znaci da je

|CG| = 2|GF |. (2.9)

Primjetimo da je ortocentar trokuta4EDF jednak sredistu opisane kruznice S trokuta

4ABC. Promatramo duzine |CH| i FS. Kako vrijedi relacija (2.6), tada vrijedi

|CH| = 2|FS|. (2.10)

Kako vrijede relacije (2.8), (2.9), (2.10), prema (S−K−S) poucku o slicnosti trokuta

vrijedi (2.7). Sada znamo da vrijedi ∠FSG = ∠GHC i ∠SGF = ∠CGH. Prema

tome, tocke S,G i H moraju lezati na istom pravcu i vrijedi |GH| = 2|GS|.

�

Euler nije stao samo na pravcu. Tako je 1765. godine otkrio da sest tocaka, po-

lovista stranica trokuta i nozista visina, leze na jednoj kruznici. U cast Eulera ova

kruznica se u literaturi cesto moze naci pod imenom Eulerova kruznica.

U clanku Brianchona i Ponceleta (1820. god.) navodi se da i preostale tri tocke, po-

lovista spojnica vrhova i ortocentra trokuta, takoder leze na Eulerovoj kruznici tog

trokuta. U njihovom clanku daje se prvi potpuni dokaz teorema o konciklicnosti nave-

denih devet tocaka i prvi put se koristi termin ”kruznica devet tocaka” koji se i danas

cesto koristi.

Teorem 2.5 (Eulerova kruznica) Neka su A′, B′, C ′ polovista stranica BC,CA,AB,

Ah, Bh, Ch nozista visina, a H ortocentar trokuta 4ABC te neka su A′h, B′h, C

′h po-

lovista duzina HA,HB,HC. Devet tocaka A′, B′, C ′, Ah, Bh, Ch, A′h, B

′h, C

′h leze na

jednoj kruznici kojoj su A′A′h, B′B′h, C

′C ′h promjeri, srediste u tocki E polovistu duzine

OH, a polumjer jednak polovini polumjera tom trokutu opisane kruznice (Slika 8).

Dokaz.

Cetverokut A′B′A′hB′h je pravokutnik pa su njegove dijagonale A′A′h i B′B′h jednake

duljine i medusobno se raspolavljaju. Oznacimo njihovo sjeciste sa X. X je tada

srediste kruznice koja prolazi tockama A′, A′h, B′, B′h, C

′, C ′h. Kako je kut ∠C ′hChC′

pravi to po Talesovom teoremu Ch takoder lezi na promatranoj kruznici. Na isti nacin

pokaze se da tocke Bh i Ch leze na istoj kruznici. Srediste X prema tome lezi na

simetrali duzine C ′C ′h, koja raspolavlja duzinu OH i tocka X se podudara dakle sa

tockom E polovistem duzine OH. Kako je A′hE srednjica trokuta 4AOH to vrijedi

|A′hE| = 12|AO| tj. polumjer razmatrane kruznice jednak je polovini polumjera trokutu

4ABC opisane kruznice.

�

27

Slika 8. Eulerova kruznica

Pomocu Eulerove kruznice njemacki matematicar K. W. Feuerbach, 1800.–1834., je

dokazao da kruznica koja prolazi nozistima visina trokuta dira sve cetiri kruznice koje

diraju stranice trokuta, odnosno njihova produzenja. Pojavkom ove tvrdnje, koja je

u literaturi poznata kao Feuerbachov teorem, Eulerova kruznica i Feuerbachov teorem

izazvali su veliku pozornost matematicke javnosti. Mnogi matematicari su se bavili

ovom tvrdnjom, pa je objavljen velik broj razlicitih dokaza teorema.

2.2.5. Teorija grafova

Svojom formulom i rjesenjem vrlo popularnog problema Konigsberskih mostova

(1736.), Euler je postavio temelje teoriji grafova.

Definirajmo najprije osnovne pojmove u teoriji grafova.

Definicija 2.4 Jednostavan graf G sastoji se od nepraznog konacnog skupa skupa V (G)

cije elemente zovemo vrhovi i konacnog skupa E(G) razlicitih parova elemenata V (G)

koje zovemo bridovi.

Uobicajeno je u definicijama i teoremima u teoriji grafova vrh oznacavati malim

slovima u i v, a brid malim slovom e (Slika 9). Pri tome e = u, v oznacava brid koji

spaja vrhove u i v, a to mozemo krace zapisati kao e = uv. Cesto se bridu u grafu

pridruzuje jos jedan broj koji predstavlja njegovu tezinu, a taj se dodatni podatak

najcesce koristi pri modeliranju problema grafom.

Definirajmo jos i susjednost vrhova, susjednost bridova, put u grafu i planaran graf.

Definicija 2.5 Za vrhove u i v kazemo da su susjedni ako postoji brid e = uv u tom

grafu koji ih spaja. Za bridove e i z kazemo da su susjedni ako postoji vrh u u tom

28

grafu koji je njima zajednicki. Takoder, kazemo da je vrh v incidentan s bridom e.

Naravno, i u je takoder incidentan s bridom e.

Definicija 2.6 Setnja u grafu G je niz W := v0e1v1e2 . . . ekvk, ciji su clanovi naiz-

mjence vrhovi vi i bridovi ei. Kazemo da je v0 pocetak, a vk kraj setnje W .

Setnja je zatvorena ako ima pozitivnu duljinu i ako joj se pocetak i kraj podudaraju

(v0 = vk)

Definicija 2.7 Put u grafu G je konacan slijed bridova v1v2, v2v3, . . . , vn−1vn u kojem

su svaka dva brida susjedna i svi su vrhovi razliciti, osim eventualno pocetni i krajnji.

Put mozemo oznacavati i kao v1 → v2 → v3 → . . .→ vn.

Definicija 2.8 Za graf G kazemo da je povezan onda i samo onda ako postoji put

izmedu svaka dva vrha.

Komponenta povezanosti grafa G je maksimalni povezani podgraf od G, odnosno pove-

zani podgraf koji nije sadrzan niti u jednom vecem povezanom podgrafu. Ako graf ima

samo jednu komponentu povezanosti, onda je povezan, a inace je nepovezan.

Definicija 2.9 Ciklusi i stabla su najjednostavniji, ali su i medu najvaznijim grafo-

vima, jer su od njih sagradeni svi grafovi.

Zatvorena staza pozitivne duljine ciji su svi vrhovi, osim pocetnog i krajnjeg, medusobno

razliciti zove se ciklus.

Definicija 2.10 Kazemo da je graf planaran (smjestiv u ravnini R2) ako se moze

nacrtati u ravnini tako da mu se bridovi sijeku samo u vrhovima. Takva realizacija

zove se ravninsko smjestenje grafa.

Takoder, graf koji je tako smjesten naziva se i ravninski.

Slika 9. Primjer grafa

29

Ravninski graf G dijeli komplement od G u ravnini na podrucja. Zatvorenja tih

podrucja zovu se strane grafa G (oznaka f). Brid (ili vrh) od G je incidentan sa

stranom ako je sadrzan u toj strani (i obratno, strana je incidentna s tim vrhovima i

bridovima). Ako je e rezni brid ravninskog grafa, onda je samo jedna strana incidentna

s e, a inace su dvije. Pojam strane slicno se definira i za smjestanje grafa na druge

plohe.

Primjer 2.3 Planaran graf K2,3 nacrtamo li ga kao na slici 9., ima tri strane f1, f2 i

f3.

Teorem 2.6 (Eulerova formula) Neka je G ravninski prikaz povezanog planarnog

grafa, te neka su v, b i s slijedom oznaceni brojevi vrhova, bridova i strana od G. Tada

vrijedi:

v − b+ s = 2.

Dokaz.

Dokaz cemo provesti matematickom indukcijom po broju bridova.

Baza: Ako je b = 0, onda je nuzno v = 1, te s = 1 (imamo samo izolirani vrh i

beskonacnu stranu.) pa jednadzba iz teorema vrijedi.

Pretpostavka indukcije: Pretpostavimo da teorem vrijedi za sve grafove s b − 1

bridova.

Korak indukcije: Neka je G graf s b bridova. Ako je G stablo , onda je b = v − 1 i

s = 1, dakle v − b + s = 2. Ako G nije stablo, onda u njemu postoji ciklus. Neka je e

brid iz nekog ciklusa iz G. Pogledajmo graf G−e. To je povezani planarni graf s v′ = v

vrhova, b′ = b − 1 bridova i s′ = s − 1 strana. Kako G − e zadovoljava pretpostavku

indukcije za njegove parametre vrijedi v′ − b′ + s′ = 2. Slijedi da je

v − (b− 1) + (s− 1) = v − b+ 1 + s− 1 = v − b+ s = 2

sto je trebalo dokazati.

�

Dokazat cemo i nekoliko vaznih posljedica Eulerove formule. Radi se o nekim opcim

svojstvima planarnih grafova.

Korolar 2.1 Neka je G planaran graf s v vrhova, m bridova, s strana i k komponenata

povezanosti. Tada je

v − b+ s = k + 1

30

Dokaz.

Primjenimo Eulerovu formulu na svaku od k komponenata povezanosti:

v1 − b1 + s1 = 2

v2 − b2 + s2 = 2...

vk − bk + sk = 2

Zbrojimo li ispisane jednakosti dobivamo

k∑i=1

vi −k∑i=1

bi +k∑i=1

si = 2k

iz cega slijedi

v − b+ (s+ k − 1) = 2k

v − b+ s = k + 1

�

Korolar 2.2 Ako je G jednostavni povezani planarni graf s v ≥ 3 vrhova i b bridova,

onda je b ≤ 3v − 6.

Dokaz.

Neka je G planaran te neka ima ravninski prikaz. Kako ne dopustamo visestruke

bridove, jasno je da je svaka strana omedena s najmanje 3 brida. Ova ocjena odozdo o

broju bridova koji omeduju svaku stranu daje: 3s ≤ 2b. Uvrstimo li ovu nejednakost

u Eulerovu formulu dobivamo:

s = 2 + b− v ⇒ 3(2 + b− v) ≤ 2b ⇒ b ≤ 3v − 6.

�

Korolar 2.3 K5 nije planaran.

Dokaz.

b ≤ 3v − 6 je nuzan uvjet planarnosti. U K5 je v = 5, b = 10 i nejednakost b ≤ 3v − 6

nije ispunjena. Dakle, K5 nije planaran.

�

Najstarija i najpoznatija primjena Eulerove formule odnosi se na klasifikaciju pra-

vilnih poliedara12. Promatrajuci poliedre, Euler je oko 1752. godine i dosao do svoje

formule te je za ravninske grafove uveo pojmove ”vrh”, ”brid” i ”strana”.

12Pravilni poliedri su geometrijska tijela kojima su sve stranice (plohe) sukladni pravilni mnogokuti.Njihove geometrijske konstrukcije bile su poznate vec u starogrckoj matematici, otkada se nazivaju iPlatonova tijela.

31

Teorem 2.7 Postoji tocno 5 pravilnih poliedara.

Dokaz.

Neka je G pravilan poliedar. Oznacimo s n broj bridova na jednoj strani, a s k broj

bridova kroz jedan vrh. Vrijedi k, n ≥ 3. Svaki brid ima 2 kraja, sveukupno ima 2b

krajeva bridova. k krajeva bridova ulazi u svaki vrh pa ima k ·v krajeva bridova. Dakle,

vrijedi

2b = kv ⇒ v =2b

k(2.11)

S druge strane, svaki brid je brid dviju strana. Dakle, vrijedi

2b = ns ⇒ s =2b

n(2.12)

Kada uvrstimo (2.11) i (2.12) u Eulerovu formulu dobivamo

2b

k− b+

2b

n= 2

b(2

k− 1 +

2

n) = 2

b · 2n− kn+ 2k

kn= 2

Nadalje vrijedi

2n− kn+ 2k > 0

kn− 2n− 2k < 0

kn− 2n− 2k + 4 < 4

(k − 2)(n− 2) < 4

Kako imamo po 3 mogucnosti odabira za k i n, sveukupno dobivamo 9 mogucnosti

koje valja promotriti.

Slucaj 1. k = 3 i n = 3. Poliedar sastavljen od 4 jednakostranicna trokuta, s cetiri

vrha stupnja 3. Jedini takav poliedar je tetraedar. Na slici je prikazan i graf tetraedra.

Slika 10. Tetraedar i njegov graf

32

Slucaj 2. k = 3 i n = 4. Poliedar sastavljen od 6 kvadrata, s 8 vrhova stupnja 3.

Jedini takav poliedar je heksaedar (kocka). Na slici je prikazan i njegov graf.

Slika 11. Heksaedar (kocka) i njegov graf

Slucaj 3. k = 4 i n = 3. Poliedar sastavljen od 8 jednakostranicna trokuta, s sest

vrhova stupnja 4. Jedini takav poliedar je oktaedar. Na slici je prikazan i njegov graf.

Slika 12. Oktaedar i njegov graf

Slucaj 4. k = 4 i n = 4. Nema rjesenja!

Slucaj 5. k = 3 i n = 5. Poliedar sastavljen od 12 pravilnih peterokuta, s 20 vrhova

stupnja 3. Jedini takav poliedar je dodekaedar. Na slici je prikazan i njegov graf.

Slika 13. Dodekaedar i njegov graf

33

Slucaj 6. k = 5 i n = 3. Poliedar sastavljen od 20 jednakostranicna trokuta, s 12

vrhova stupnja 5. Jedini takav poliedar je ikosaedar. Na slici je prikazan i njegov graf.

Slika 14. Ikosaedar i njegov graf

Slucaj 7. k = 5 i n = 4. Nema rjesenja!

Slucaj 8. k = 4 i n = 5. Nema rjesenja!

Slucaj 9. k = 5 i n = 5. Nema rjesenja!

�

Mostovi Kaliningrada

Grad Konigsberg (danas Kaliningrad) lezi na rijeci Pregel. Cetiri dijela grada po-

vezana su sa sedam mostova, kako je prikazano slikom 15. Moze li se grad obici tako

da se svaki most prijede tocno po jednom?

Slika 15. Problem mostova u Kaliningradu

Upravo navedeni zadatak, poznat kao problem mostova u Konigsbergu, jedan je

od najpoznatijih zadataka tzv. zabavne matematike. Konacno rjesenje, dokaz da je

odgovor ”ne”, dao je Euler i tom analizom utemeljio novu granu matematike, teoriju

grafova.

Naime, Euler je uocio da je u ovom problemu nebitno koliko je sto udaljeno kao i

kakav je tocno raspored dijelova grada, jedino bitno je sto je s cime povezano mosto-

vima.

34

Problem je predocio pomocu grafa gdje vrhovi predstavljaju kopno (otoke i obale), a

bridovi mostove.

Slika 16. Prikaz problema pomocu grafa

Proucavajuci graf definirao je tri zakljucka:

• Ako je bilo koje kopno (obala ili otok) povezano s nekim drugim kopnom neparnim

brojem mostova, tada kruzno putovanje koje prelazi svaki most tocno jedanput

nije moguce.

• Ako je broj mostova neparan za tocno dva kopna, tada je putovanje koje pre-

lazi svaki most tocno jedanput moguce samo ako putovanje pocinje u jednom, a

zavrsava u drugom kopnu s neparnim brojem mostova.

• Ako nema kopna povezanog s neparnim brojem mostova putovanje moze poceti

iz bilo kojeg kopna i zavrsiti u tom istom kopnu.

Dakle, Euler je tvrdio da bi zavrsio kruzno putovanje oko obala prelazeci svaki most

tocno jedanput, onda za svaki ulazni most mora postojati izlazni.

Definicija 2.11 Eulerovom stazom se naziva setnja po grafu koja svakim bridom pro-

lazi tocno jedanput.

Zatvorena Eulerova staza (pocetak i kraj su isti) naziva se Eulerova tura.

Povezani graf u kojem postoji Eulerova tura naziva se Eulerov graf. Ukoliko postoji

Eulerova tura nije nuzno jedinstvena.

Definicija 2.12 Stupanj vrha v grafa G je broj bridova koji su incidentni s v. Dogo-

vorno, svaka petlja se racuna kao dva brida. Vrh stupnja 0 zovemo izolirani vrh, a vrh

stupnja 1 zovemo krajnji vrh. Stupanj vrha v oznacavamo s deg(v).

Rezultat dobiven u problemu Konigsberskih mostova je generaliziran kao Eulerov te-

orem:

35

Teorem 2.8 (Eulerov teorem) Povezan graf G je Eulerov ako i samo ako su svi

vrhovi od G parnog stupnja (odnosno svaki vrh se ”nalazi” na parnom broju bridova).

Dokaz.

=⇒ Neka je C Eulerova tura na grafu G. Uzmimo da ona pocinje i zavrsava u

nekom vrhu v. Svaki unutarnji vrh (onaj koji nije ni pocetak ni kraj te ture) u svakom

pojavljivanju ima brid koji ulazi i izlazi iz njega sto znaci da mu je stupanj paran. Isto

tako, buduci da tura pocinje i zavrsava u vrhu v i njegov stupanj je paran), pa su svi

vrhovi parnog stupnja.

⇐= Neka su svi vrhovi grafaG parnog stupnja i neka je graf povezan. Pretpostavimo

da G nije Eulerov. Odaberimo takav graf sa najmanjim mogucim brojem bridova. Svi

vrhovi grafa G su parnog stupnja pa je stupanj svakog vrha je veci ili jednak 2. Tada

graf sadrzi ciklus, odnosno zatvorenu stazu. Neka je C zatvorena staza u G maksimalne

duljine. Buduci da C nije Eulerova tura od G, postoje bridovi iz grafa G koji nisu u

stazi C. Taj dio grafa G oznacit cemo sa G′. Svi vrhovi na C su parnog stupnja,

pa povezan graf G′ takoder nema vrh neparnog stupnja. Buduci da je G′ graf koji

ima manje bridova od G i iz odabira da je G graf sa najmanje bridova koji ne sadrzi

Eulerovu turu, slijedi da na G′ postoji Eulerova tura C ′. Kako je G povezan, postoji

vrh v koji se nalazi i u C i u C ′. Moze se pretpostaviti da je v kraj od C i pocetak od C ′.

No, tada je CC ′ zatvorena staza u G veca od C, sto je u suprotnosti sa pretpostavkom

da je C najveca takva zatvorena staza. Slijedi da je G Eulerov graf.

�

Korolar 2.4 Povezani graf G ima Eulerovu stazu ako i samo ako ima najvise dva vrha

neparnog stupnja (pocetak i kraj staze).

Dokaz.

=⇒ Ako G ima Eulerovu stazu, tada kao u dokazu prethodnog teorema, svaki vrh

koji nije pocetak ili kraj te staze ima paran stupanj.

⇐= Pretpostavimo da je G povezan graf s najvise dva vrha neparnog stupnja. Ako

nema takvih vrhova onda prema prethodnom teoremu ima zatvorenu Eulerovu stazu.

Ako postoje vrhovi neparnog stupnja onda ih mora biti tocno dva jer je suma stupnjeva

vrhova paran broj. Neka su to u i v. Spojimo ta dva vrha bridom e i promatramo

graf G+ e. Svaki vrh iz G+ e ima paran stupanj pa po prethodnom teoremu na grafu

postoji Eulerova tura. Ako iz te ture izbacimo brid e dobivamo Eulerovu stazu na G.

�

Vratimo li se sada na problem Konigsberskih mostova, odnosno promatramo li sliku

16. primjetimo da je deg(A) = 3, deg(B) = 5, deg(C) = 3 i deg(D) = 3, odnosno graf

36

G ima 4 vrha neparnog stupnja. Prema Korolaru (2.4) slijedi da G nema Eulerovu

stazu.

Lako je utvrditi da li graf sadrzi ili ne sadrzi Eulerovu stazu odnosno Eulerovu turu.

U slucaju da sadrzi ostaje problem kako ih naci. Razmotrimo slucaj nalazenja Eulerove

ture (pod uvjetom da je razmatrani graf Eulerov). To se radi pomocu Fleuryjevog

algoritma. Fleuryev algoritam je jednostavan ali veoma spor algoritam za nalazenje

Eulerove ture.

Postupak prema tom algoritmu je sljedeci:

• 1.korak: Krecemo sa bilo kojeg vrha. Idemo dalje duz bilo kojeg ruba ovog vrha

na drugi vrh. Zatim uklonimo taj rub sa grafa.

• 2. korak: Sada smo na vrhu na izmijenjenom grafu. Odaberemo bilo koji rub

od ovog tjemena, ali ne smijemo rezati rub, jedino u slucaju ako nemamo druge

mogucnosti. Idemo dalje duz naseg odabranog ruba. Zatim uklonimo taj rub sa

grafa.

• 3. korak: Ponavljamo drugi korak sve dok ne iskoristimo sve rubove i dodemo

nazad na rub sa kojeg smo zapoceli.

Primjer 2.4 Pogledajmo Fleuryev algoritam na primjeru sljedeceg grafa:

1.) Krecemo iz vrha B do vrha C. Uklonimo liniju BC.

2.) Sada smo na vrhu C i idemo do vrha F . Uklonimo liniju CF .

37

3.) Sada smo na vrhu F i idemo do vrha D. Uklonimo liniju FD.

4.) Sada smo na vrhu D i idemo do vrha E. Uklonimo liniju DE.

Jasno je da sada slijedi: E → C → D → A→ B.

Kompletna Eulerova tura je: B → C → F → D → E → C → D → A→ B

I danas, 277 godina nakon Eulerovog rjesenja problema Konigsberskih mostova,

ovaj problem privlaci paznju i jos uvijek je aktualan. Stoga se moze reci da je to jedan

od najljepsih problema teorije grafova.

2.3. Ostala dostignuca

Euler je primjenom matematike rjesavao i mnoge prakticke probleme. 1753 postaje

izumitelj propelera (brodskog vijka). Te godine je pariska Akademija znanosti raspisala

natjecaj za novi pogon brodova bez vjetra. Euler daje dva prijedloga: propeler i mlazni

pogon. Pogon s propelerom je tek puno kasnije realiziran. Mlazni pogon je bio predlozio

i Daniel Bernoulli, a Euler ga je samo poboljsao s dvije pumpe, od kojih jedna crpi

vodu kroz dno broda, a druga je istiskuje u more.

U vise radova pokusao je poboljsati Newtonovu teoriju gibanja mjeseca, kako bi

smanjio diskrepanciju prema rezultatima stvarnog promatranja. U Berlinu je 1746.

izdao tablice i 1753. jednu raspravu s novom teorijom. To je zaista dovelo do donekle

tocnijeg odredivanja polozaja brodova na moru i Euler je dobio nagradu engleskog

parlamenta. Nije bio zadovoljan samo djelomicnim uspjehom pa je dalje radio na tom

problemu, koji je zbog kompliciranog uzajamnog djelovanja mjeseca i ostalih nebeskih

tijela vrlo zahtjevan. Kako bi omogucio analiticku obradu, razvio je jedno priblizno

rjesenje za ”problem tri tijela” i 1772. u Petrogradu publicirao svoju drugu teoriju

gibanja mjeseca, koja se jos bolje priblizila stvarnosti.

38

U optici se bavio valnom teorijom svjetla i proracunom leca bez pogreske u bojama

i vec kao slijep izdaje veliko djelo u 3 sveska o teoriji optike. Bavio se cak i primjenom

matematickih metoda u socijalnim i ekonomskim naukama (izracunavanje mirovina,

lutrije, ocekivanog zivotnog vijeka).

Od Eulera potjece iz god. 1768. metoda aproksimiranja rjesenja obicnih diferenci-

jalnih jednadzbi na bazi geometrijske predodzbe, da diferencijalna jednadzba odreduje

nagib tangente na krivulju rjesenja u svakoj njenoj tocki. Dovoljan broj tocaka i malih

odsjecaka njihovih tangenti daje onda aproksimaciju rjesenja. Euler se, dakle, medu

prvima bavio i osnovama numericke matematike. Euler vec 1743 proucava svojstva

linearnih diferencijalnih jednadzbi pomocu pojma operatora, kao skupa svih operacija,

koje se na trazenoj funkciji moraju provesti prema naputku diferencijalne jednadzbe.

Jos ranije, vec 1737., dakle 12 godina prije Laplace-ovog rodenja, Euler se pri rjesavanju

diferencijalnih jednadzbi sluzi jednom integralnom transformacijom, koja je kasnije do-

bila ime po Laplaceu jer ju je on primijenio i sustavno istrazio.

39

Poglavlje 3

Carl Friedrich Gauss

Promatramo li povijesni period koji obuhvaca posljednja dva desetljeca osamnaes-

tog, Carl Friedrich Gauss, najveci matematicki genij svih vremena, u tom je razdoblju

stvarao svoja neprolazna djela. Gotovo da ne postoji drugi primjer takve nadmocnosti

nekog znanstvenika koja bi bila neograniceno i opcenito priznata kao sto je to slucaj

kod Gaussa. Kad je jednom kralj Hannovera dao njemu u spomen iskovati medalju

s natpisom ”Georgius V. rex Hannoverae mathematicorum principi”1, podario mu je

time pocasnu titulu, koju mu od tada nitko nije osporio. Dao je znacajan doprinos u

mnogim poljima, ukljucujuci teoriju brojeva, statistiku, analizu, diferencijalnu geome-

triju, geodeziju, geofiziku, elektrostatiku, astronomiju i optiku.

3.1. Zivotopis

Carl Friedrich Gauss roden je 30. travnja 1777. u njemackom gradu Braunschwe-

igu, a umro 23. veljace 1855. u Gottingenu. Majka, Doroteja, je bila kci siromasnog

kamenoresca, a prije udaje za Gaussova oca, Gerharda, radila je kao dvorkinja. Ga-

ussov je otac bio radnik, radio je razne, uglavnom fizicke poslove. Bio je siromasan

covjek i nije se razumio u znanost koju je njegov sin toliko volio. Srecom, Gaussov ujak

pobrinuo se da se skoluje. O njegovoj genijalnosti dovoljno govori kako nije imao ni

pune tri godine kada je jednom prilikom napomenuo ocu kako mu izracun nije tocan.

Vec tada razvijao se jedan od najvecih umova u povijesti matematicke znanosti.

1hrv. ”George V. kralj Hannovera vodecem matematicaru”

40

Slika 17. Carl Friedrich Gauss

Gaussovo znacenje u matematickoj znanosti najbolje odrazava titula”princeps mat-

hematicorum”2 koju su mu dodjelili matematicari. Neki su ga prozvali Arhimedom

novijega doba.

Kada je krenuo u skolu Carl je zapanjio svog strogog ucitelja Butnera rijesivsi njegov

najtezi zadatak za minutu. Ucitelj je dao ucenicima zadatak da zbroje sve brojeve od 1

do 100. Za nekoliko trenutaka Gauss je zadatak rijesio u glavi. On se sjetio da se trazeni

zbroj moze razdijeliti na djelomicne zbrojeve 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98,. . ., pri cemu svaki

daje 101. Buduci se moze naciniti 50 takvih djelomicnih zbrojeva, dobiva se rezultat

50 ·101 = 5050. Danas je ta metoda sadrzana u poznatoj formuli za zbroj aritmetickog

reda. Cinjenica da je devetogodisnji djecak u trenu dosao na takvu zamisao bila je

prvo ocitovanje njegove iznimne matematicke inteligencije. Taj neobican talent uskoro

je bio zapazen.

Odusevljen Gaussom, Butner mu je kupio od svoga novca matematicke knjige iz-

javivsi da djecak zna vise od njega. Medutim, vecu zaslugu za njegov matematicki

napredak ima uciteljev pomocnik Martin Bartels koji je i sam bio sklon matematici.

Njegovom je zaslugom Gauss dobio stipendiju bogatog mecene Carla Wilhelma Fer-

dinanda, vojvode od Braunschweiga, te je od 1792. do 1795. studirao na Collegiumu

Carolinumu3 gdje je ucio moderne jezike i nastavio ranije zapoceto ucenje klasicnih

jezika. Toliko je volio latinski da je sve svoje radove objavio na tom jeziku koji je

bio potisnut velikim prodorom nacionalizma u Europu sredinom 19. stoljeca. Gauss

je tri godine proveo kao ucenik Karolinskog koledza i za to je vrijeme stvorio mnoge

radove iz aritmetike koja je bila njegovo omiljeno podrucje. Najznacajniji rad koji je

napisao u to vrijeme poznat je kao zakon kvadratnog reciprociteta. Nakon Karolinskog

koledza nastavio je studij u Gottingenu iz kojeg se povukao u Braunschweig i tamo je

2hrv. ”Princ matematike”3hrv. Karolinski koledz

41

privatno poducavao, nemajuci stalno zaposlenje, do 1807. godine. Te je godine po-

zvan u Gottingen na mjesto profesora astronomije i direktora zvjezdarnice, a to mjesto

zadrzao je do svoje smrti.

Gauss nije bio osobito drustven. Poznato kako je imao dobrog prijatelja Farkasa

Bolyaia4, s kojim je u dugim setnjama volio raspravljati o matematici. U listopadu

1805. ozenio se Johannom Elisabeth Rosin Osthoff koja mu je podarila troje djece:

Josepha, Wilhelminu i Louisa. Iako naizgled sretan i miran, Gaussov obiteljski zivot

zadesilo je niz tragedija. Otac mu je umro 1808., godinu potom umrla mu je zena,

a nedugo iza i mladi sin. Upao je u depresiju od koje se gotovo nikada nije potpuno

oporavio. Iako se ponovo ozenio najboljom prijateljicom pokojne zene, Minnom Fri-

edericom Wilhelminom, taj brak nije bio osobito sretan, doimao se brakom iz interesa.

I s Minnom je Gauss imao troje djece: Eugena, Wilhelma i Theresu.

3.2. Matematicka dostignuca

Pored vec iskazane genijalnosti u matematici sve do svoje dvadesete godine Carl

Friedrich Gauss nije znao tocno sto ce biti njegov zivotni poziv. Prekretnica u njegovu

zivotu nastupila je 30. ozujka 1796. od kada pocinje voditi svoj matematicki dnev-

nik. Biljeznicu koja je sve do smrti autora krila mnoge velicanstvene stvari iz podrucja

matematike. Nakon njegove smrti iz te se biljeznice moglo iscitati kako je za Gaussa

matematika bila samo usavrsavanje vlastitog bica. Mnogi se danas slazu da ona pred-

stavlja najvelicanstveniji matematicki dokument. Biljeznica sadrzi 146 sazetih biljeski

od koji svaka predstavlja jedno poglavlje u matematici. Biljeske su uzor kondeziranosti

matematickog misljenja i nije ih bilo lako protumaciti. Za tumacenje Gaussove ma-

tematicke ”oporuke” narocito je zasluzan francuski matematicar njemackog podrijetla

Dirichlet (1805.-1859.).

Od 1795. razmisljao je o velikom djelu o brojevima. Bilo mu je potrebno tri godine

kako bi dovrsio ”Disquisitiones Arithmeticae”, kako je nazvao svoj rad, remek djelo

moderne aritmetike. Gauss je rad poceo pisati kad je imao 21 godinu, a objavio ga je

1801. godine kao dvadesetcetverogodisnjak. U tom radu Gauss objedinjuje rezultate

teorije brojeva dobivenih od slavnih matematicara, kao sto su Fermat, Euler, Lagrange

i Legendre i dodaje svoje nove vazne rezultate. Knjiga ima sedam odjeljaka na vise od

500 stranica velikoga formata, a posvetio ju je vojvodi Ferdinandu od Braunschweiga

koji je i pomogao u objavljivanju.

U nastavku su izdvojena vaznija matematicka dostignuca Carla Friedricha Gaussa.

4Farkas Bolyai (1775.-1856.) madarski matematicar, sin Janosa Bolyaia.

42

3.2.1. Gaussova dosjetka

Vec je spomenuto u Gaussovom zivotopisu kako je njegov matematicki talent uocen

vec u njegovoj trecoj godini, kada je ispravio ocevu pogresku u racunanju financija.

Druga prica, koja je jako poznata, kaze da je ucitelj dao ucenicima zadatak da zbroje

sve brojeve od 1 do 100. Za nekoliko trenutaka Gauss je zadatak rijesio u glavi. On

se sjetio da se trazeni zbroj moze razdijeliti na djelomicne zbrojeve 1 + 100, 2 + 99,

3 + 98,. . ., pri cemu svaki daje 101. Buduci se moze naciniti 50 takvih djelomicnih

zbrojeva, dobiva se rezultat 50 · 101 = 5050.

To je bio i vise nego dovoljan dokaz njegove matematicke inteligencije!

Zahvaljujuci Gaussu, danas znamo formulu za zbroj prvih n prirodnih brojeva

1 + 2 + 3 + . . .+ n =n(n+ 1)

2

Naravno, u rezultatu n(n+1)2

prepoznajemo binomni koeficijent(n+12

)pa zakljucujemo da

je zbroj prvih n uzastopnih prirodnih brojeva jednak broju kombinacija drugog razreda

bez ponavljanja u skupu od n + 1 elemenata. Zato se ova cinjenica moze iskoristiti

da se odgovarajuci zadaci prebrajanja kombinacija svedu na zbrajanje n uzastopnih

prirodnih brojeva.

Primjer 3.1 Koliko dijagonala ima konveksni mnogokut?

Krenimo od vrha A1 mnogokuta. Iz njega mozemo izvuci n− 1 spojnicu s ostalih

n− 1 vrhova. Sljedeci vrh A2 s ostala n− 2 vrha mozemo povezati s n− 2 spojnice. Iz

treceg vrha A3 povlacimo n− 3 spojnice, itd.

Ukupno je n vrhova mnogokuta medusobno povezano s

(n− 1) + (n− 2) + · · ·+ 3 + 2 + 1 =n(n− 1)

2

spojnica. U ovom je broju sadrzan i broj stranica mnogokuta pa taj broj valja oduzeti.

Ukupan je broj dijagonala onda jednak

n(n− 1)

2− n =

n2 − 3n

2=n(n− 3)

2.

43

Primjer 3.2 Od n pravaca nikoja tri ne prolaze jednom tockom niti su koja dva

medusobno paralelna. Kazemo da su ti pravci u opcem polozaju. U koliko se tocaka

sijece tih n pravaca?

Krenimo s promatranjem pojedinacnih slucajeva, od n = 1 nadalje, i pokusajmo

izvuci zakljucak na temelju nepotpune indukcije.

Dva se pravca sijeku u jednoj tocki, tri u 1 + 2 = 3 tocke, cetiri u 1 + 2 + 3 = 6 tocaka,

pet u 1 + 2 + 3 + 4 = 10 tocaka itd.

Mozemo pretpostaviti ako imamo n pravaca, oni se sijeku u Sn = 1+2+3+...+(n−1) =(n−1)·n

2tocki.

Tu cinjenicu mozemo provjeriti na sljedeci nacin. Ubacimo jos jedan pravac koji svaki

od n prethodnih pravaca sijece u po jednoj tocki te je ukupan broj sjecista jednak

Sn+1 = Sn + n =(n− 1) · n

2+ n =

n · (n+ 1)

2.

Pretpostavka je ovime potvrdena.

3.2.2. Konstrukcija pravilnog sedamnaesterokuta

Konstrukcija pravilnog sedamnaesterokuta5 je prvi znanstveni rad tada devetna-

estogodisnjeg Gaussa. Malu plocicu na kojoj je izveo doticni racun poklonio je svom

prijatelju sa studija, madarskom matematicaru Wolfgangu Bolyaiju, 30. ozujka 1976.

Prethodnih dvije tisuce godina vjerovalo se da se od svih pravilnih mnogokuta s

neparnim brojem stranica, sa sestarom i ravnalom mogu se konstruirati samo trokut,

peterokut i petnaesterokut. Gauss ne samo da je dao konstrukciju sedamnaesterokuta,

nego je jos dodatno pokazao da bi se morao moci konstruirati svaki mnogokut, ciji broj

stranica jest takav prost broj, da kad ga se umanji za jedan, daje potenciju broja dva,

ciji eksponent je opet potencija broja dva.

Gauss je krenuo prema konstrukciji pravilnog 17-terokuta tako sto je primijetio kako

brojevi 3, 9, 27, . . . , 316 pri dijeljenju sa 17 daju za ostatke sve brojeve 1, 2, 3, . . . , 16.

Taj problem zapravo postavlja pitanje rjesivosti algebarske jednadzbe oblika

xn − 1 = 0, n ∈ Z (3.1)

u ovom konkretnom slucaju jednadzbe x17 − 1 = 0.

Spoznao je kriterij koji daje odgovor na pitanje koji se pravilni poligon moze, a koji ne

moze konstruirati ravnalom i sestarom.

5Sedamnaesterokut, u geometriji oznacava mnogokut sa sedamnaest stranica, tj. heptadekagon,koji se jos ponegdje u literaturi zove i heptadekaedar.

44

Teorem 3.1 Poligon s n stranica jest konstruktibilan ako i samo ako je n oblika

2m · p1 · p2 · . . . · pk, gdje je m prirodni broj ili nula, a pi razliciti Fermatovi brojevi, tj.

prosti brojevi oblika 22r + 1.

Do sada je poznato svega pet takvih prirodnih brojeva:

za r = 0 : n = 3,

za r = 1 : n = 5,

za r = 2 : n = 17,

za r = 3 : n = 257,

za r = 4 : n = 65537.

Pokazimo na primjeru pravilnog peterokuta o cemu je Gauss govorio.

Primjer 3.3 Dokazite da je pravilni peterokut konstruktibilan.

Dokaz. Uvrstimo li u jednadzbu (3.1) n = 5 dobivamo jednadzbu x5−1 = 0. Zapisimo

je u obliku (x−1)(x4+x3+x2+x+1) = 0. Slijedi da je x = 1 ili x4+x3+x2+x+1 = 0.

Podijelimo li, zbog simetricnosti, drugu jednadzbu s x2 dobivamo da je

x2 + x+ 1 +1

x+

1

x2= 0.

Zamjenom z = x + 1x

dobivamo z2 + z + 1 = 0. Odavde se dobiju sva cetiri rjesenja

jednadzbe x5 − 1 = 0 koju smo dobili nakon faktorizacije. Kazemo da je jednadzba

x5 − 1 = 0 rjesiva u radikalima6 pa prema tome njezina rjesenja ispunjavaju uvjete

konstruktibilnosti.

�

Analogno je Gauss pokazao kako je u radikalima rjesiva i jednadzba x17 − 1 = 0

i to znaci kako je moguce konstruirati i pravilni sedamnaesterokut. Jedno rjesenje za

slucaj 257-terokuta objavio je kasnije Richelot7, a Hermes8 je uspio doci do rezultata

za 65537-terokut tijekom desetgodisnjeg istrazivanja.

Konstrukcija pravilnog n-terokuta svodi se na zadatak dijeljenja kruznice polumjera

1 na n sukladnih dijelova. Tada su tetive te kruznice koje spajaju uzastopne djelisne

tocke stranice pravilnog n-terokuta. Pomocu ravnala i sestara se moze konstruirati

svaka duzina cija je duljina, uz zadanu jedinicu, izrazena s konacno mnogo racunskih

operacija zbrajanja, oduzimanja, mnozenja, dijeljenja i korjenovanja.

6Kazemo da je jednadzba resiva u radikalima ukoliko je rjesenje opisano preko cetiri osnovneracunske operacije i korijena u konacno mnogo operacija.

7Friedrich Julius Richelot (1808. – 1875.) njemacki matematicar8Johann Gustav Hermes (1846. – 1912.) njemacki matematicar

45

Konstrukcija sedamnaesterokuta bila bi lako izvediva ako nam je poznato kako kons-

truirati kut od 2π17

uz pomoc ravnala i sestara. Iz konstruktibilnosti sedamnaesterokuta

slijedi da se trigonometrijske funkcije argumenta 2π17

mogu izraziti pomocu osnovnih

aritmetickih operacija i korijenovanja. U Gaussovoj knjizi Disquisitiones Arithmeticae

moze se naci sljedeca jednakost, ovdje zapisana uporabom suvremenog matematickog

zapisa:

cos2π

17= (3.2)

=1

16

(− 1 +

√17 +

√34− 2

√17) + 2

√17 + 3

√17−

√34− 2

√17)− 2

√34 + 2

√17)

)Na slici 18. je prikazan problem konstrukcije pravilnog sedamnaesterokuta. Potrebno

je konstruirati njegovu stranicu, odnosno luk duljine 117

opsega jedinicne kruznice sa

sredistem u tocki O. Glavni zadatak je konstruirati duzinu OQ duljine dane izrazom

(3.2).

Slika 18. Konstrukcija pravilnog sedamnaesterokuta

Prvu konstrukciju sedamnaesterokuta koja se sastoji od 64 koraka objavio je Johannes

Erchinger 1825. godine.

3.2.3. Osnovni teorem algebre

Jedan od temeljnih teorema o polinomima je da svaki polinom stupnja n (s kom-

pleksnim ili realnim koeficijentima) ima tocno n nultocaka u skupu kompleksnih bro-

jeva (ukoliko svaku nultocku brojimo onoliko puta kolika joj je kratnost9.) Dokazom

osnovnog teorema algebre bavili su se brojni matematicari. Jos 1629. je flamanski

9Kratnost nultocke c polinoma p(x) je najveci eksponent n takav da je p(x) djeljivo s (x − c)n.Primjerice, 1 je nultocka kratnosti 2 polinoma (x− 1)2(x + 3)

46

matematicar Albert Girard (1595. - 1632.) ustvrdio da svaka jednadzba stupnja n ima

rjesenja, s tim da dozvoljava da se ta rjesenja nalaze u nekom jos vecem skupu nego

je to skup kompleksnih brojeva. Tu tvrdnju matematicari su prihvatili kao ocitu te se

gotovo 200 godina nije pokusavalo dokazati da postoji n rjesenja, nego da su rjesenja

kompleksni brojevi. 1742. Euler je dokazao osnovni teorem algebre za polinome s real-

nim koeficijentima do stupnja 6, a pokusao ga je dokazati i za polinome visih stupnjeva.

Nesto ranije (1746.) d’Alembert je dao prvi ozbiljniji pokusaj dokaza konstruirajuci

niz kompleksnih brojeva koji konvergira prema nultocki polinoma. Medutim, dokaz

je imao vise nedostataka. Unatoc tome, u Francuskoj i danas pripisuju d’Alambetru

prvi dokaz osnovnog teorema algebre te ga nazivaju d’Alambertovim teoremom. Brojni

matematicari se time ne slazu te tvrde kako je za to zasluzan upravo Gauss.

Prije iskazivanja osnovnog teorema algebre definirajmo pojam kompleksnih polinoma.

Definicija 3.1 Neka su a0, a1, . . . , an ∈ C i pretpostavimo da je an 6= 0. Preslikavanje

P : C→ C, z 7→ P (z) := a0 + a1z + · · ·+ anzn,

zove se polinom n-tog stupnja s kompleksnim koeficijentima.

Isto tako, imajuci neki takav polinom P , kazemo da je jednadzba

P (z) = 0 (3.3)

polinomna jednadzba n-tog stupnja.

Rijesiti danu polinomnu jednadzbu znaci naci sve kompleksne brojeve z za koje je ispu-

njen identitet (3.3). Svaki takav z zove se rjesenje polinomne jednadzbe ili nultocka

polinoma.

Primjer 3.4 Pogledajmo jednostavan primjer kvadratne jednadzbe (n = 2) sa kom-

pleksnim koeficijentima.

Neka su dani kompleksni brojevi a, b i c, te uzmimo jos da je a 6= 0. Onda promatrajmo

kvadratnu jednadzbu

az2 + bz + c = 0.

Ono sto trebamo napraviti je naci sve kompleksne brojeve z koji zadovoljavaju gornju

jednakost. Da bismo to napravili, napisimo gornju jednakost kao

a

(z2 +

b

az +

b2

4a2+c

a− b2

4a2

)= 0

Posljednja je jednakost dalje ekvivalentna sa(z +

b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2.

47

Sada, ukoliko stavimo

w := z +b

2a,

te nademo one w ∈ C koji zadovoljavaju

w2 =b2 − 4ac

4a2,

onda su sva trazena rjesenja polazne kvadratne jednadzbe dana kao

z = − b

2a+ w.

Bitno je primijetiti kako mi sada postavljenu zadacu doista znamo rijesiti. Naime, za

nalazenje svih brojeva w, mi moramo zapravo naci sve druge korijene iz kompleksnog

brojab2 − 4ac

4a2. Takvih w-ova ima ili dva ili samo jedan.

Primjer 3.5 1. Kvadratna jednadzba z2 + 1 = 0 ima dva medusobno razlicita

rjesenja u skupu C. To su z1,2 = ±i. Dana jednadzba nema nijedno realno

rjesenje.

2. Promotrimo kvadratnu jednadzbu iz2 + z + 2i = 0. Mozemo je zapisati i kao

iz2 + z + 2i = (iz − 1)(z − 2i). Lako vidimo da su z1 = −i i z2 = 2i rjesenja ove

kvadratne jednadzbe.

Konacno, iskazimo Osnovni teorem algebre (dokaz mozete pronaci u [5]):

Teorem 3.2 Svaka polinomna jednadzba

P (z) := a0 + a1z + · · ·+ anzn = 0,

gdje su ai ∈ C i an 6= 0, ima barem jedno rjesenje u C.

Stovise, postoje medusobno razliciti brojevi z1, . . . , zp ∈ C, te k1, . . . , kp ∈ N, takvi da

se polinom P (z) moze prikazati u obliku

P (z) = an(z − z1)k1 · · · (z − zp)kp ,

pri cemu je k1 + · · ·+ kp = n.

Gauss je u svom iskazu izbjegavao pojam kompleksnih brojeva, medutim pokazalo se da

je zapravo mislio na prethodno iskazan teorem. U vremenskom rasponu od 50 godina

koliko se bavio dokazom osnovnog teorema algebre, ponudio je cak cetiri dokaza.

U svom doktoratu 1799., u dobi od 22 godine, dao je topoloski dokaz i svoje pri-

mjedbe na ranije dokaze. On je prvi koji je primijetio fundamentalnu gresku svojih

protivnika, a to je propust dokaza egzistencije n korijena polinoma stupnja n. Ovaj

Gaussov dokaz je imao vise rupa , no vec 1816. je dao druga dva dokaza. Prvi, koji je

i u potpunosti tocan, temeljen je na Eulerovim idejama i gotovo je strogo algebarski,

dok je drugi nesto laksi i ponovno topoloski. 1849., samo nekoliko godina prije smrti,

ponudio je i cetvrti dokaz koji je zapravo jako slican prvome.

48

3.2.4. Teorija brojeva

Aritmetika je grana matematike koja se bavi brojevima. Danas je cesci naziv

za aritmetiku teorija brojeva. Koliko je cijenio teoriju brojeva kao zasebnu granu

matematike povrduje i Gaussova izreka:

Matematika je kraljica znanosti, a aritmetika je kraljica matematike.

Svoja istrazivanja iz podrucja teorije brojeva, Gauss je objavio u monumentalnom djelu

Disquisitiones arithmeticae. U prva tri odjeljka bavio se algebrom kongruencija gdje je

i uveo Teoriju kongruencija te samu oznaku za kongruenciju.

Definicija 3.2 Neka je n prirodan broj, te neka su a i b cijeli brojevi. Ako n dijeli

razliku a− b, tada kazemo da je a kongruentan b modulo n, ili da su a i b kongruentni

modulo n, te pisemo a ≡ b(mod n).

Primjer 3.6 17 ≡ 5(mod 12) i 5 ≡ 5(mod 12). Slicno, 24 ≡ 0(mod 12). Takoder,

6 ≡ −34(mod 40)

Uvodenjem kongruencija razvijen je matematicki aparat koji je tijekom vremena

odigrao vrlo znacajnu ulogu u teoriji brojeva.

Cetvrti odjeljak razmatra teoriju tzv. kvadratnih ostataka. Gauss je jos kao devet-

naestogodisnjak uocio kako ostaci pri dijeljenju kvadrata cijelih brojeva prostim brojem

p ne mogu biti bilo koji brojevi. Tako primjerice pri dijeljenju broja n2 s 3 ostaci mogu

biti samo 0 ili 1, pri dijeljenju s 5 to mogu biti 0, 1 ili 4 itd.

Medutim, ono sto je stvarno zanimalo Gaussa danas nazivamo Gaussov kvadratni

zakon reciprociteta kojeg je dokazao 1801. godine. Zakon se cesto koristi za racunanje

Legendreovog10 simbola. Uvedimo pojam Legendreovog simbola.

Definicija 3.3 Neka su a i n relativno prosti prirodni brojevi. Ako kongruencija

x2 ≡ a(mod n) ima rjesenja, tada kazemo da je a kvadratni ostatak modulo n. U

suprotnom kazemo da je a kvadratni neostatak modulo n.

Primjer 3.7 Prirodni brojevi 1 i 4 su kvadratni ostaci modulo 5, a 2 i 3 su kvadratni

neostatci modulo 5.

Definicija 3.4 Neka je p neparan prost broj i a cijeli broj. Legendreov simbol (ap) je

definiran s (a

p

)=

1 , ako je a kvadratni ostatak modulo p,0 , ako p | a,−1 , ako a nije kvadratni ostatak modulo p.

10Adrien-Marie Legendre, 1752.-1833, francuski matematicar. Legendre simbol uvodi 1798. godineprilikom pokusaja dokazivanja kvadratnog zakona reciprociteta.

49

Kombinirajuci prethodni primjer s definicijom Legendreova simbola, dobivamo

(15) = (4

5) = 1, (2

5) = (3

5) = −1, te (10

5) = 0. Primjetimo da vrijedi(

a2

p

)=

{1 , ako p - a,0 , ako p | a.

U slucaju da su a i p relativno prosti brojevi i p neparan prost broj, vrijedi ap−1 ≡1(mod p) (Mali Fermatov teorem). Euler je iskoristio ovu relaciju kako bi dobio formulu

za odredivanje Legendreova simbola:

Teorem 3.3 (Eulerov kriterij) Ako je p neparan prost broj, tada vrijedi

(ap) ≡ a

p−12 (mod p). Prema tome, a je kvadratni ostatak modulo p ako i samo ako je

ap−12 ≡ 1(mod p).

Iz teorema (3.3) slijede svojstva Legendreovog simbola:

• Ukoliko je a ≡ b(mod p), vrijedi (a

p

)=

(b

p

).

• Ako je p neparan prost broj, tada su tocno polovica brojeva 1, 2, . . . , p − 1 kva-

dratni ostatci modulo p.

• Za svaka dva cijela broja a i b te neparan prost broj p vrijedi(ab

p

)=

(a

p

)(b

p

).

• Za neparan prost broj p vrijedi(−1

p

)=

{1 , ako je p ≡ 1(mod 4),−1 , ako je p ≡ 3(mod 4).

Drugim rijecima, (−1p

) = (−1)p−12 .

• Za neparan prost broj p vrijedi(2

p

)=

{1 , ako je p ≡ 1(mod 8) ili p ≡ 7(mod 8),−1 , ako je p ≡ 3(mod 8) ili p ≡ 5(mod 8).

Drugim rijecima, (2p) = (−1)

p2−18 .

Dokaz teorema (3.3) i prethodnih svojstava mozete vidjeti u [13, str. 32. - 34.].

Legendreovi simboli se mogu odrediti pomocu navedenih svojstava, medutim ako su

ukljuceni veci brojevi (npr. ako ispitujemo je li 21 kvadratni ostatak modulo 53) pos-

tupak se prilicno zakomplicira. Najveci korak prema pojednostavljenju tog postupka

je dan upravo kvadratnim zakonom reciprociteta, rezultatom do kojeg je dosao upravo

Gauss.

50

Teorem 3.4 (Kvadratni zakon reciprociteta) Neka su p i q razliciti neparni prosti

brojevi. Tada vrijedi (p

q

)(q

p

)= (−1)

p−12· q−1

2

Drugim rijecima,ako su p i q oba oblika 4k + 3, onda jedna od kongruencija x2 ≡p(mod q) i x2 ≡ q(mod p) ima rjesenja, a druga nema. Ako barem jedan od ovih

prostih brojeva ima oblik 4k + 1, onda ili obje ove kongruencije imaju ili obje nemaju

rjesenja.

Za dokazivanje ovog teorema potrebna nam je sljedeca lema.

Lema 3.1 Ako je p neparan prost broj te a neparan cijeli broj koji nije djeljiv s p, tada

je (a

p

)= (−1)k,

gdje je k =∑ p−1

2i=1 b iap c.

Dokaz. [Kvadratni zakon reciprociteta]

Podijelimo skup T = {(x, y) : x, y ∈ N, 1 ≤ x ≤ p−12, 1 ≤ y ≤ q−1

2}, koji se sastoji od

p−12

q−12

elemenata na dva disjunktna podskupa A i B na nacin da se u skupu A nalaze

parovi (x, y) u kojima je qx > py, a u skupu B oni parovi koji zadovoljavaju qx < py.

Kako su p i q prosti te x < p, y < q, ocito je qx 6= py pa je A ∪B = T .

Skup A se sastoji od parova (x, y) za koje vrijedi 1 ≤ x ≤ p−12

te 1 ≤ y ≤ q−12

pa slijedi

da A ima∑ p−1

2x=1b

xqpc elemenata.

Slicno se dobiva da skup B ima∑ q−1

2y=1b

ypqc elemenata.

Iz prethodne leme dobivamo(p

q

)(q

p

)= (−1)

∑ p−12

x=1 bxqpc · (−1)

∑ q−12

y=1 bypqc = (−1)

p−12· q−1

2

2

Primjer 3.8 Odredimo (2153

).

Primjenom kvadratnog zakona reciprociteta i svojstava Legendreovog broja dobivamo(21

53

)=

(3

53

)(7

53

)=

(53

3

)(−1)1·26

(53

7

)(−1)3·26 =

(2

3

)(4

7

)= (−1)

(2

7

)2

= (−1)(−1)72−1

4 = (−1)(−1)12 = −1.

Gauss je proucavao i kongruencije viseg reda

xn ≡ (mod p),

51

a svoje razmatranje je prosirio na brojeve oblika a+ bi, gdje su a, b ∈ Z, a danas takve

brojeve zovemo Gaussovi brojevi. Rad o kongruencijama nastavio je Gaussov ucenik

Dirichlet. Time je zaceta jedna nova grana matematike: Teorija algebarskih brojeva.

Zanimalo ga je i koliko ima prostih brojeva manjih od danog prirodnog broja n.

Zajedno sa Eulerom i Legendreom proucavao je

limn→∞

p(n) lnn

n= 1

gdje je p(n) broj prostih brojeva koji su manji ili jednaki od n. Gauss je nakraju uzeo

tablicu prostih brojeva manjih od 3 milijuna, i dobio da se broj p(3 · 106) samo malo

razlikuje od broja 3·106ln(3·106) i tako je dosao do jos jedne cuvene formule

p(n) ≈ n

lnn

3.3. Ostala dostignuca

Godine 1809. objavio je knjigu pod nazivom Theoria motus corporum coelestium

in sectionibus conicis Solem ambientium, dvodijelnu raspravu o gibanju nebeskih tijela

koja je rezultat njegovih astronomskih istrazvanja i bilo je prekretnica u primjeni ma-

tematike u astronomiji. U prvom svesku on raspravlja o diferencijalnim jednadzbama,

presjecima stosca i eliptickim putanjama, dok u drugom svesku objasnjava kako pro-

cijeniti, a nakon toga i tocno odrediti putanju planeta.

Naime, 1. sijecnja 1801.Giuseppe Piazzi otkrio je mali asteroid, kasnije nazvan Ceres.

Nakon 41 dan Ceres se izgubio iz vidika. U listopadu 1801. godine astronomi su

usmjerili svoje teleskope u tocku na nebu, gdje se po Gaussovu predvidanju Ceres

trebao pojaviti. Bio je to potpuni trijumf Gaussovog proracuna. U sljedecih sest

godina zahvaljujuci Gaussovim metodama otkrivena su jos tri asteroida.

Godine 1816. Gauss je dobio zadatak zemljisnog mjerenja Hannovera. Vecinom je

na tome radio sam sve do 1825., no posao su zavrsili njegovi pomocnici tek 1841. Kao

znanstveni rezultat tog posla, Gauss je napisao nekoliko geodetskih clanaka, od kojih

je od posebnog znacenja Metoda najmanjih kvadrata, objavljena 1821. i 1823., koja

se i danas uvelike koristi. Djelo Theoria combinationis observationum erroribus mini-

mis obnoxiae (1823.),posveceno je matematickoj statistici, posebice metodi najmanjih

kvadrata. 1827. godine objavio je raspravu Disquitiones circa superficies curvas koja

se bavi geometrijom zakrivljenih ploha, a Riemann ju je prosirio na vise dimenzije.

Rasprava sadrzi ideje kao sto su Gaussova krivulja (normalan graf vjerojatnosti) i te-

orem egregrium. Kasnije, ova je klasicna rasprava, prerasla u impozantnu gradevinu

visedimenzionalne diferencijalne geometrije, grane geometrije koja je vrlo vazna u ra-

zvoju moderne fizike.

52

Slika 20. Gaussova krivulja

U razdoblju od 1820. do 1830. Gauss je objavio vise od 70 clanaka. Godine 1822.

osvojio je nagradu Kopenhagenskog sveuculista za djelo Theoria attractions corporum

sphaeroidicorum ellipticorum homogeonorum methodusnova teactata.

Tridesetih godina 19. stoljeca intenzivno se bavio fizikom i astronomijom, proveo

je opsirno istrazivanje o magnetizmu, a jedno od najvaznijih doprinosa je njegovo pri-

mjenjivanje matematike na magnetizam i elektricitet, o cemu je napisao brojna djela.

Njemu u cast jedinica intenziteta magnetskog polja dobila je naziv gauss. Zajedno s

njemackim fizicarom Wilhelmom EduardomWeberom otkrio je Kirchoffove zakone, te

je konstruirao elektromagnetski telegraf kojim su povezali zvjezdarnicu i fizikalni insti-

tut. U isto vrijeme Gauss je poceo razvijati danas jednu od vaznih grana matematicke

fizike - Teoriju potencijala. Jedno od njegovih posljednjih djela bila je Rasprava o

Foucaultovom njihalu, 1854. godine.

53

Literatura

[1] A. Aglic Aljinovic, Ekstremalna kombinatorika, Fakultet elektrotehnike i

racunarstva, Zagreb, 2012.

[2] F. M. Brueckler, Povijest matematike II, Odjel za matematiku Sveucilista J. J.

Strossmayera u Osijeku,2010.

[3] F. M. Bruckler, Leonhard Euler, Osjecki matematicki list 10(2010), 95–101

[4] Dr. M. Crnjac, Mr. D. Jukic, Dr. R. Scitovski, Matematika, Biblioteka Ekonom-

skog fakulteta Osijek, Osijek, 1994.

[5] H. Cain, C. F. Gauss’s proofs of the fundamental theorem of algebra

[6] B. Dakic, Leonhard Euler (1707. - 1783.), 1. dio, Matematika i skola 39(2007),

177-180

[7] B. Dakic, Leonhard Euler (1707. - 1783.), 2. dio, Matematika i skola 40(2007),

211-215

[8] B. Dakic, Carl Friedrich Gauss, Princeps mathematicorum, Matematika i skola

28(2004), 105-111

[9] B. Dakic, Suma Sn = 1 + 2 + 3 + ...+ n, Matematika i skola 39(2006), 170-174

[10] D. Jukic, R. Scitovski, Matematika I, Gradska tiskara, Osijek, 1998.

[11] M. Kopic, A. Klobucar Mostovi Kaliningrada nekad i sada, Osjecki matematicki

list 7(2007), 33–38

[12] H. Kraljevic, Algebra, Odjel za matematiku Sveucilista J. J. Strossmayera u Osi-

jeku, 2008.

[13] I.Matic, Uvod u teoriju brojeva, Odjel za matematiku Sveucilista J. J. Stros-

smayera u Osijeku, 2001.

[14] D. E. Smith, History of mathematics, volume 1 (General survey of the history of

elementary mathematics), Dover publications, inc, New York, 1958.

54

[15] D.Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, Zagreb, 2001.

[16] R. J. Wilson , Introduction to Graph Theory,Pearson Education Ltd.,1999.

[17] S. Znam i dr., Pogled u povijest matematike, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1989.

[18] http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/eg/dodatni/7.stereometrija.pdf

[19] http://www.answers.com/topic/sir-isaac-newton

[20] http://www.croatia.ch/drustva/hid/euler predavanje.pdf

[21] http://cll.mcmaster.ca/multimedia projects/sample/newton/calculus.htm

[22] http://www.mathos.unios.hr/kidm/pred5.pdf

[23] http://www.storyofmathematics.com/17th newton.html

[24] http://www.storyofmathematics.com/18th euler.html

[25] http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/komb/predavanja/

[26] http://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard Euler

[27] http://en.wikipedia.org/wiki/Carl Fridrich Gauss

[28] http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac Newton

[29] http://en.wikipedia.org/wiki/Basel problem

[30] http://en.wikipedia.org/wiki/Euler’s formula

[31] http://en.wikipedia.org/wiki/Euler’s identity

[32] http://en.wikipedia.org/wiki/Seven Bridges of Konigsberg

55

Sazetak

Ovaj rad opisuje zivot i matematicka dostignuca trojice velikana matematike, Sir Isaac

Newtona, Leonharda Eulera i Carla Fridricha Gaussa.

Sir Isaac Newton je engleski matematicar, sudjelovao je u svadi s Leibnizom oko otkrica

infinitezimalnog racuna te je poznat po otkricu binomnog teorema.

Leonhard Euler je svicarski matematicar. Napravio je znacajna otkrica u raznim po-

drucjima matematike kao sto su matematicka analiza i teorija grafova. Takoder, uveo

je mnogo moderne matematicke notacije, posebno u podrucju matematicke analize.

Johann Carl Friedrich Gauss je njemacki matematicar koji je prvi dokazao da se pra-

vilni sedamnaesterokut moze konstruirati ravnalom i sestarom. Takoder, dokazao je

osnovni teorem algebre i kvadratni zakon reciprociteta.

Kljucne rijeci - Sir Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Fridrich Gauss, matematicka

dostignuca.

Abstract

This paper describes life and mathematical achievements of three great mathematici-

ans, Sir Isaac Newton, Leonhard Euler and Carl Fridrich Gauss.

Sir Isaac Newton was an English mathematician who was involved in a dispute with

Leibniz over priority in the development of infinitesimal calculus and he is credited

with the generalised binomial theorem.

Leonhard Euler was a Swiss mathematician. He made important discoveries in fields as

diverse as infinitesimal calculus and graph theory. He’s also introduced much of the mo-

dern mathematical terminology and notation, particularly for mathematical analysis.

Johann Carl Friedrich Gauss was a German mathematician. He became the first who

showed that a regular heptadecagon (17-sided polygon) can be constructed with straig-

htedge and compass. He proved the fundamental theorem of algebra and the quadratic

reciprocity law.

Key words - Sir Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Fridrich Gauss, mathematical

achievements

56

Zivotopis

Moje ime je Zeljka Kraljic. Rodena sam 6. ozujka 1989.godine u Cakovcu. Godine

1995.upisujem prvi razred u Osnovnoj skoli Selnica. Svoje osnovnoskolsko obrazovanje

zavrsavam 2003.godine te iste godine upisujem Opcu gimnaziju u Cakovcu koju us-

pjesno zavsavam 2007. godine. Daljnje obrazovanje nastavljam upisom, 2007.godine,

Sveucilisnog nastavnickog studija matematike i informatike na Odjelu za matematiku

u Osijeku.

57