Tres Problemas Sobre Grafos

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Três Problemas Sobre Grafos Luis Fernando de Osório Mello [email protected] Trecho de carta enviada por Jacobi a Legendre, datada de 02/07/1830. “... o senhor Fourier opinava que a finalidade primordial da Matemática consistia em sua utilidade pública e na explicação dos fenômenos naturais. Mas um filósofo como ele deveria saber que a finalidade única da Ciência é a de render honra ao espírito humano e que, por isso, uma questão sobre números vale tanto quanto uma questão sobre o sistema do mundo”.

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Três Problemas Sobre Grafos

Luis Fernando de Osório Mello

[email protected]

Trecho de carta enviada por Jacobi a Legendre, datada de

02/07/1830.

“... o senhor Fourier opinava que a

finalidade primordial da Matemática

consistia em sua utilidade pública e na

explicação dos fenômenos naturais. Mas

um filósofo como ele deveria saber que a

finalidade única da Ciência é a de render

honra ao espírito humano e que, por isso,

uma questão sobre números vale tanto

quanto uma questão sobre o sistema do

mundo”.

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Considere o mapa rodoviário a seguir:

• • capital •

• • • •

Figura 1. Mapa rodoviário

Relativos a este mapa colocamos os seguintes dois problemas:

Problema 1. (Inspetor de estradas)

Um funcionário encarregado de verificar, periodicamente, o estado

das estradas, deseja planejar a sua rota de inspeção. Idealmente, esta

rota deveria se iniciar na capital e percorrer cada estrada exatamente

uma vez, retornando, então, ao ponto de partida. Existe tal rota ?

Problema 2. (Caixeiro viajante)

Um representante de vendas de uma companhia deseja planejar uma

rota, iniciando na capital, na qual ele visite cada cidade exatamente

uma vez, voltando ao ponto de partida. Existe tal rota ?

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O Primeiro Problema

• O primeiro problema, o do inspetor de estradas, foi estudado

pela primeira vez por Leonhard Euler (1707-1783).

• A situação estudada por Euler ficou imortalizada como o

Problema das Pontes de Königsberg, ilustrado na figura 2.

• O objetivo é percorrer exatamente uma vez todas as sete

pontes da cidade (hoje Kaliningrado, Rússia) que conectam as

duas ilhas entre si e as margens do rio, voltando ao ponto de

partida.

Figura 2. O Problema das Pontes de Königsberg

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• Em linguagem de grafos, trata-se de encontrar um circuito

euleriano no grafo da figura 3, no qual os vértices representam as

ilhas e as margens, e os arcos são as pontes.

c •

a • • d

b •

Figura 3. Grafo correspondente ao Problema das Pontes de Königsberg

• Euler mostrou a não existência de tal circuito através de um

argumento extremamente simples. Consideremos, por exemplo, a

ilha da direita (d). Um circuito qualquer deve chegar à ilha e sair

dela o mesmo número de vezes. Logo, para que exista um circuito

euleriano, deve haver um número par de pontes com extremidade

nesta ilha. Como existem três pontes nesta situação, concluímos

que não é possível encontrar um circuito euleriano.

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O Segundo Problema

• Homenagem ao matemático William Rowan Hamilton (1805-

1865).

• Não há uma boa caracterização dos grafos hamiltonianos.

• Há diversas famílias de grafos para os quais existe um circuito

hamiltoniano.

• É muito fácil convencer alguém da existência de um circuito

hamiltoniano em um grafo: basta exibir tal caminho.

Figura 4. Um grafo hamiltoniano

• No entanto é difícil, em geral, convencer alguém da não

existência de um tal circuito.

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• Não há método eficiente para determinar se um tal circuito

existe em um grafo.

• Existe um procedimento para verificar se um determinado

grafo G possui um circuito hamiltoniano !

• Se um tal circuito existe em G, ele corresponderá a uma

permutação circular de seus nós, com a propriedade de que nós

consecutivos nesta permutação sejam ligados por um arco de

G.

• Ora, para verificar a existência de um circuito hamiltoniano

em um grafo, basta gerar todas as permutações circulares

dos nós deste grafo e testar para ver se uma delas

corresponde a um percurso no grafo.

• Vejamos o que ocorre em um grafo que tenha 50 nós. Neste

caso deveríamos examinar 49! (fatorial de 49) circuitos

potenciais.

1889064248290642482

185164834221816842

222.2.2.2.2

)2.()2.()2.()2.(232.16.8.4.2.1

32...32.32...16.16...8.8.4.4.4.4.2.2.1

49...33.32...17.16...9.8.7.6.5.4.3.2.1!49

===

===

=>

>=

++++

Agora,

6

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310 10100010242 =>= .

Mas,

548

vezes18

3338

vezes18

1010108188

10.210...10.10.2

2...2.2.22!49

=>

>=>

43421

43421

ou seja,

548 10.2!49 >

• Um computador moderno pode realizar 200 milhões de

operações por segundo.

• Se em cada operação ele conseguir testar um circuito, ele

precisará de mais de

4678

54810.2

10.210.2 = segundos,

• 1 ano tem aproximadamente segundos. 65 10.2

• Se em cada operação ele conseguir testar um circuito, ele

precisará de mais de

4065

46710.4

10.210.2 = anos.

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O Terceiro Problema (Colorindo mapas)

Um mapa de vários países (estados, etc.), desenhado em uma

folha de papel, deve ser colorido de modo que, para uma melhor

visualização, dois países (estados, etc.) com uma fronteira em

comum devem ter cores distintas. Qual é o número mínimo de cores

exigidas para a coloração de qualquer mapa ?

Figura 5. Mapa do Brasil

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Considere os seguintes mapas das figuras 6 e 7:

Figura 6.

• Três cores são suficientes para colorir o mapa da figura 6.

Figura 7.

• São necessárias quatro cores para colorir o mapa da figura 7.

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• No mínimo quatro cores são necessárias para resolver o problema

geral da coloração de mapas.

• Como não foi possível obter um mapa que exigisse mais de

quatro cores, uma conjectura foi formulada:

• Quatro cores são, de fato, suficientes para colorir qualquer mapa.

Esta conjectura ficou conhecida como o Problema das Quatro

Cores.

• Ele foi primeiramente proposto ao matemático francês Augustus

De Morgan por um de seus estudantes, em 1852.

• Este problema permaneceu sem solução por mais de cem anos.

Em 1976, dois matemáticos da Universidade de Illinois,

Wolfgang Haken e Kenneth Appel, demonstraram o Teorema das

Quatro Cores.

• Associado a qualquer mapa existe um grafo, chamado o grafo

dual do mapa, definido como segue:

• Coloque um nó em cada região do mapa e um arco entre dois nós

representando países adjacentes.

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• •

Figura 8. Grafo dual do mapa da figura 6

• •

Figura 9. Grafo dual do mapa da figura 7

• Uma coloração de um grafo consiste na associação de uma cor

para cada nó do grafo de uma tal maneira que dois nós adjacentes

não tenham a mesma cor.

• O número cromático de um grafo é o menor número de cores

necessárias para se obter uma coloração.

• Teorema de Haken e Appel (Teorema das Quatro cores): O

número cromático de qualquer grafo dual é no máximo quatro.

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• Vale observar que o teorema das quatro cores garante uma

coloração com no máximo quatro cores. Não significa que

qualquer coloração apresente no máximo quatro cores.

Figura 10. Mapa do Brasil colorido com 4 cores.

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Figura 11. Grafo dual do mapa do Brasil.

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