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Cours d’Automatique Au 41

Au41_TD2_0506_Doc Dernière mise à jour : 29/11/2005 16:03:00 Cours de M. Cougnon J.L.

-1-

Au41_TD2_0506_doc

TRAVAUX DIRIGES D’AUTOMATIQUE

TRAVAUX DIRIGES

Question n°1

• For each of thefollowing transferfunctions : – find the values of ζ

and ωn ; – write, by inspection,

the general form ofthe step response.

625

625)(

22530

225)(

90090

900)(

40012

400)(

2

2

2

2

+=

++=

++=

++=

ppG

pppG

pppG

pppG

( )[ ]

( )[ ]( )[ ]( )[ ]

[ ][ ]

−=−=

==

=

+=

+−=

+−=

==

=

++=

−−=

−−

−−=

==

=

++=

−−=

−−

−−=

==

=

++=

−

−

−

−

−

−

)(25cos1)(

)(cos1)(

0

rad/s 251

625

625)(

)(151 1)(

)(11)(

1

rad/s 151

22530

225)(

)(195,154,33ch 89,01)(

)(1ch1

1)(

5,1

rad/s 301

90090

900)(

)(3,01,19cos 048,11)(

)(1cos1

1)(

3,0

rad/s 201

40012

400)(

24

1523

45

22

22

6

22

21

tuttq

tuttqK

ppG

tutetq

tutetqK

pppG

tutetq

tute

tqK

pppG

tutetq

tute

tqK

pppG

nn

tn

t

n

t

n

t

n

t

n

t

n

n

n

n

ω

ζω

ω

ζω

ψζωζ

ζω

ψζωζ

ζω

ω

ζω

ζω



-2-

Question n°2

%2et %5 , %,1 find 10015

100)(For : 1-2Question 2

trtrtDpp

pG

p

++=

T(t). torqueofinput step afor seconds 2 of (tr2%) timesettling a andovershoot 20% yield to

D and J find figurein shown system Given the : 2-2Question

=

=

==≈

==

==

−

−=

−

−=

==

=

++==

===

=≈=≈

−==

−

−=

==

2

22

222

222

22

kg.m 0,26J

N.m.s/rad 04,1

284

tr2%

208,020

208,0)2,0ln(1

2,01

expD1

4/2/

/1)()(

Nm/rad 5 s 2 tr2%20%D1%: 2-2Question

s 53,04

tr2% s 3,03

tr5%

s 475,01

tp%84,21

100.expD1%

0,75 rad/s 10 : 1-2Question

D

DJ

JD

KJDKJD

JK

KDpJpp

TpG

K

n

n

nn

n

ζ

ζ

ζζ

πζζ

πζ

ζζ

ωθ

ζ

ζπ

ζπζ

ζ



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Question n°3a : A traiter par les ING2 TIE

For the circuit shown in figure below, find the value ofR2 and C to yield 15% overshoot with a sttling time(tr2%) of 1 ms for a voltage across the capacitor withvi(t) as a step input.

Ω==

=++=≈

=++=

==

−

−=

−

−=

+=

+=

++=

=

=

++++=

++++=

+++

+==

− k 7,93R2nF 7,16

10)(

)(84tr2%

267,0)(4

)(

267,0)15,0ln(1

15,01

expD1

)(2

)(1

12

1)(

1

2 avec

1)()(

1)(

)1()1(21

11

211

11

1)()(

)(

3

22

222

2

2

2

2

2

C

LC

LC

LC

pp

pG

RL

CR

ppLCpG

LpRLpRCpRLpCR

R

CpR

LpRLpR

LpRR

CppVpV

pG

CL

CL

n

CL

CL

CLn

CLn

nn

L

C

CLCL

i

o

ττττ

ζ

ττττζ

ζζ

πζ

ζ

πζ

ττωζ

ττω

ωζ

ω

τ

τ

ττττ



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Question n°3b : A traiter par les ING2 ME

Given the system shown in figure below, find thedamping D, to yield a 30% overshoot in ouput angulardisplacement for a step input in torque.

K’=100K D’=25D

n1 = 5

n2 = 2

θ2

θ3

51

101

.1

.

11

2

121

2

2

3

1

3

==

===

n

nn

θθ

θθ

θθ

θθ

N.m.s/rad 143,0N.m.s/rad 58,3'128,0100

'

128,0)3,0ln(1

3,01

expD1

'4/''2/'

/'

''

1)()(

Nm/rad 52100' kg.m 1 %03D1%

22

222

2221

2

====

==

−

−=

−

−=

==

=

++==

====

DDD

JKDJKD

JK

KpDJpp

TpG

KKJ

n

ζ

ζζ

πζ

ζ

πζ

ζζ

ωθ



-5-

Question n°4 : Lieux de transfert

• Donner l’allure des lieux de Nyquist et de Black-Nichols et tracer les diagrammes de Bode asymptotiques des fonctions de transfert suivantes :

pe

pH

ppH

ppH

p5,0

3

2

1

)(

5)(

1)(

−=

=

=

25

24

16)(

1)(

ppH

ppH

=

=

)51(

)1(9)(

)51(9

)(

)1(1

)(

28

7

6

pp

ppH

pppH

pppH

++=

+=

+=

• Script MALAB % Script Au41_TD2_0506.m % Cours Au 41 de J.-L. Cougnon % Version du 11 novembre 2005 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all;clc; H1=tf(1,[1 0]) H2=5*H1 H3=zpk([],[0],1,'iodelaymatrix',0.5) H4=H1*H1 H5=16*H4 H6=tf(1,[1 1 0]) H7=tf(9,[5 1 0]) H8=9*tf([1 1],[5 1 0 0]) w=logspace(-1,1); figure(1);nyquist(H1,H2,w) title('Diagramme de Nyquist de H1(jw) et H2(jw)') figure(2);bode(H1,H2,w);grid title('Diagramme de Bode de H1(jw) et H2(jw)') figure(3);nichols(H1,H2,w);grid title('Diagramme de Black-Nichols de H1(jw) et H2(jw)') figure(4);nyquist(H1,H3,w) title('Diagramme de Nyquist de H1(jw) et H3(jw)') figure(5);bode(H1,H3,w);grid title('Diagramme de Bode de H1(jw) et H3(jw)') figure(6);nichols(H1,H3,w);grid title('Diagramme de Black-Nichols de H1(jw) et H3(jw)') figure(7);bode(H4,H5,w);grid title('Diagramme de Bode de H4(jw) et H5(jw)') figure(8);bode(H6,H7,H8,w);grid title('Diagramme de Bode de H6(jw), H7(jw) et H8(jw)') figure(9);nichols(H6,H7,H8,w);grid title('Diagramme de Black-Nichols de H6(jw), H7(jw) et H8(jw)')



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• Traitons H1 et H2

Diagramme de Nyquist de H1(jw ) et H2(jw )

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Pulsation tendant vers l'infini

Pulsation tendant vers "0"

Lieu de Nyquist pour les pulsations < 0

Nombre imaginairepur d'argument -90°

H1(jω) et H2(jω) sont des nombres complexes purs ; c’est ce que l’on observe sur le lieu de Nyquist. Attention ce tracé est donné pour une pulsation variant de -∞ à +∞. Lorsque la pulsation varie de 0 à l’infini le module varie de l’infini à 0 ; l’argument reste constant égal à -90°.

Diagramme de Bode de H1(jw ) et H2(jw )

Frequency (rad/sec)

-20

-10

0

10

20

30

40

System: H2Frequency (rad/sec): 5Magnitude (dB): -0.00137

Mag

nitu

de (

dB)

System: H1Frequency (rad/sec): 1Magnitude (dB): 0.0024

10-1

100

101

-91

-90.5

-90

-89.5

-89

System: H2Frequency (rad/sec): 4.98

Phase (deg): -90

System: H2Frequency (rad/sec): 1

Phase (deg): -90

Pha

se (

deg)

17 dB

La courbe des modules de H2 est obtenue à partirde H1 par une translation de 20log(5) =17dB

La phase est constante égale à -90°



-7-

Diagramme de Black-Nichols de H1(jw ) et H2(jw )

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-20

-10

0

10

20

30

40

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

System: H1Gain (dB): -5.75

Phase (deg): -90Frequency (rad/sec): 2.12

System: H2Gain (dB): 25.4


• Traitons H3 :

Diagramme de Nyquist de H1(jw ) et H3(jw )

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

System: H3Real: -0.5Imag: -6.8

Frequency (rad/sec): 0.159

System: H1Real: 4.2e-016Imag: -6.86Frequency (rad/sec): 0.16



-8-

-20

-10

0

10

20

Mag

nitu

de (

dB)

System: H3Frequency (rad/sec): 4.02Magnitude (dB): -12.1


Frequency (rad/sec)

10-1

100

101

-450

-360

-270

-180

-90


Phase (deg): -205

Pha

se (

deg)


Phase (deg): -90

pente -1

Les courbes desmodules sont confondues

-115°-115° = -2 radians = -0,5*4

Diagramme de Black-Nichols de H1(jw ) et H3(jw )


Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)

-540 -495 -450 -405 -360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-20

-10

0

10

20

30

40

6 dB

3 dB

1 dB

0.5 dB

0.25 dB

0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

System: H1Gain (dB): -12.1Phase (deg): -90Frequency (rad/sec): 4.18

System: H3Gain (dB): -12.1


Toutes ces figures mettent en évidence l’effet du retard sur la phase.



-9-

• Traçons H4 et H5 (double intégrateur pente -2).

10-1

100

101

179

179.5

180

180.5

181

Pha

se (

deg)


Frequency (rad/sec)

-40

-20

0

20

40

60

80


Magnitude (dB): -0.0965

System: H5Frequency (rad/sec): 4.01Magnitude (dB): -0.0443

Mag

nitu

de (

dB)

Coupe l'axe 0dB à racine de 16 = 4 rad/spente -2

Phase constante à -180°

• Traçons H6, H7 et H8.

Diagramme de Bode de H6(jw ), H7(jw ) et H8(jw )

Frequency (rad/sec)

-60

-40

-20

0

20

40

60 System: H8Frequency (rad/sec): 0.4Magnitude (dB): 28.7


Magnitude (dB): 32.6


Magnitude (dB): 10.1Mag

nitu

de (

dB)

10-1

100

101

-180

-90

0

90

180

System: H6Frequency (rad/sec): 0.588Phase (deg): -120

System: H8Frequency (rad/sec): 0.589Phase (deg): 139


Phase (deg): -126

Pha

se (

deg)



-10-

Diagramme de Black-Nichols de H6(jw ), H7(jw ) et H8(jw )


Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)

-180 -90 0 90 180-60

-40

-20

0

20

40

60

6 dB 3 dB

1 dB 0.5 dB

0.25 dB 0 dB

-1 dB

-3 dB

-6 dB

-12 dB

-20 dB

-40 dB

-60 dB

System: H8Gain (dB): 35.3

Phase (deg): 140Frequency (rad/sec): 0.32

System: H6Gain (dB): -16.5Phase (deg): -158Frequency (rad/sec): 2.63

System: H7Gain (dB): 30.7Phase (deg): -133Frequency (rad/sec): 0.197 -220°

Nos élèves veilleront à réaliser un tracé asymptotique des diagrammes de Bode. Il conviendra d’exploiter avec intelligence les courbes de phase. Ainsi à la pulsation de 0,32rad/s la phase de H8(jω) est égale -220°.



-11-

Question n°5 :

2012

40)(

105,0100

10)(

: suivantes

ances transmittlespour , , , ,Calculer

210

29

++=

++=

pppH

pp

pH

QK Rn ωωζ

=−

=

=−=

<==

=

++=

)dB74,5soit ( 93,112

1

rad/s 35,921

résonance 0,7 0,25

rad/s 1010

105,0

100

10)(

2

2R

29

ζζ

ζωω

ζζω

Q

K

pp

pH

n

n

>=

==

=

++=

résonance de pas 22

53

rad/s 52rad/s 20

2

2012

40)( 210

ζ

ωn

K

pppH



-12-

Question n°6 :

• Donner l’allure du lieu de Nyquist et tracer le lieu de Bode asymptotique des transmittances ci contre.

)15,0(

)1(25)(

)15,0(

)1()(

)15,0(

)1()(

10510

10)(

2214

213

212

211

+++=

+++=

+++=

++=

ppp

ppH

ppp

ppH

pp

ppH

pppH

Nous avons traité ci dessous le tracé asymptotique de H14(p).

1 100,1 5

AdB

ω

ω

φ

-2

+1

-3

+90°

-90°

-180°

-40dB

-20dB

40dB

20dB

dBjH )(14 ω



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Question n°8 : A robot arm can be used to feed people with disabilities. The control systemguides the spoon to the food and then to a position near the person’s mouth. The arm uses a special pneumatically controlled actuator. Assume thesimplified block diagram shown in figure below for regulating the spoon at a distance from the mouth.

Write a program in MATLAB that will do the following :– Allow a value of gain K to be entered from the keyboard;– Display the Bode plots of open-loop and closed-loop;– Plot the closed-loop step response;– Determine the range of K for stability.

% % Script Au41_TD2_0506_Q8.m % Cours Au 41 de J.-L. Cougnon % Version du 28 novembre 2005 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all;clc; disp('Fonction de transfert du correcteur =') Cdp=zpk([-0.01 -6],[0 -20 -100],1000) disp('Fonction de transfert du robot =') Rdp=tf([10],[1 10 29]) K=input('Gain K = ') ftbo=K*Cdp*Rdp ftbf=feedback(ftbo,1) figure(1);step(ftbf,30) % Par itération on trouve Kosc=30. % On vérifie que la FTBF a 2 pôles % à partie réelle nulle. % La pulsation des auto oscillations % est de 50 rad/s. [z,p,k]=zpkdata(ftbf,'v') figure(2);bode(ftbo,ftbf);grid title('Diagrammes de Bode de la FTBO et de la FTBF pour K=1') figure(3);step(ftbf,10) title('Réponse indicielle de la FTBF pour K=1')

Fonction de transfert du correcteur = Zero/pole/gain: 1000 (s+0.01) (s+6) ------------------------ s (s+20) (s+100) Fonction de transfert du robot = Transfer function: 10 ------------------- s^2 + 10 s + 29 Gain K = 30 K = 30 Valeur de Kos Zero/pole/gain: 300000 (s+0.01) (s+6) ------------------------------------------- s (s+20) (s+100) (s^2 + 10s + 29) Zero/pole/gain: 300000 (s+6) (s+0.01) --------------------------------------------------------------------- (s+124) (s+6.022) (s+0.009689) (s^2 - 0.05141s + 2488) z = -6.0000 -0.0100 p = 1.0e+002 * -1.2402 0.0003 + 0.4988i pôle à partie réelle nulle 0.0003 - 0.4988i -0.0001 -0.0602 k = 300000

Pour K = 1 on obtient :



-14-

10-4

10-2

100

102

104

-270

-180

-90

0

Pha

se (

deg)

Diagrammes de Bode de FTBO et FTBF pour K=1

Frequency (rad/sec)

-150

-100

-50

0

50

100 System: ftboFrequency (rad/sec): 0.000184Magnitude (dB): 35

System: ftbfFrequency (rad/sec): 0.00018Magnitude (dB): -0.00406

Mag

nitu

de (

dB)

Réponse indicielle de la FTBF pour K=1

Time (sec)

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

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