Tratamiento Digital de la Senal˜ -...

LABORATORIO de TDS PRACTICA

Tratamiento Digital de la Senal

Tratamiento de Imagenes:Introduccion al Tratamiento Morfologico

Enero 2010

1. Parte 1: Resumen de Teorıa

1.1. Imagen (digital)

1.1.1. Concepto y tipos

Una imagen I es una funcion D −→ L. El dominio de las imagenes 2D (bidimensionales) es D ⊂ Z2, y

en el caso de las imagenes 3D (tridimensionales) es D ⊂ Z3. Se dice que el dominio de una imagen digital

se compone de pıxels (en imagenes 2D) o voxels (en imagenes 3D).

Nota: en la discretizacion de una senal continua, se debe recordar que el muestreo debe ser el adecua-

do para evitar el aliasing.

Se mencionan seguidamente algunos tipos de imagenes bidimensionales, en las cuales el dominio D ⊂ Z2

y cada pıxel tiene asociadas dos coordenadas.

Imagen binaria

El conjunto imagen L es 0, 1 (o tambien 0, 255), es decir, el valor asociado a un pıxel es 0 o 1.

El concepto de imagen binaria es equivalente (isomorfo) al de conjunto. Una imagen binaria serıa una

funcion de pertenencia del conjunto asociado.

Imagen en niveles de gris

El conjunto imagen L es un subconjunto del conjunto de los numero enteros (L ⊂ Z). Normalmente

se utilizan valores de 8 bits de profundidad, por lo que L suele ser 0, 1, ..., 255).

Imagen multibanda

c©2010 Tratamiento Digital de Senales (Facultad Informatica, UPM). 1.1


En este caso L es un producto cartesiano de conjuntos de valores. Cada pıxel tiene asociado una tupla

de valores. Ejemplos de este tipo de imagenes son las imagenes a color y las imagenes multiespectra-

les de satelite.

Por ejemplo, en el caso de imagenes a color con profundidad de 8-bits, L es igual a 0, 1, ..., 255 ×0, 1, ..., 255 × 0, 1, ..., 255.

Otros tipos de imagenes:

Imagen 3D (en niveles de gris)

Las imagenes 3D o volumetricas tienen un dominio volumetrico, es decir, el dominio (D ⊂ Z3) se

compone de elementos volumetricos (voxels) con tres coordenadas.

Ejemplos: imagenes medicas de TC (Tomografıa Computerizada), de RM (Resonancia Magnetica),

de PET (“positron emission tomography”), de SPECT (“Single Photon Emission Computed Tomo-

graphy”).

Imagen vıdeo

Es una imagen 2D que varıa en el tiempo (el cual se puede considerar como una tercera dimension).

Imagen temporal volumetrica (vıdeo de senal 3D)

Es una imagen 3D (volumetrica) que varıa en el tiempo.

Ejemplo: imagen medica tridimensional temporal del corazon.

Nos centraremos en las imagenes binarias (o, equivalentemente, conjuntos) y en las imagenes con niveles

de gris.

1.1.2. Conectividad

Se debera definir en una imagen una conectividad, la cual tendra asociada el concepto de vecindario. Existen

dos conectividades usuales:

Conectividad-8: en la cual un pıxel (i, j) tiene 8 vecinos: (i−1, j−1), (i−1, j), (i−1, j+1), (i, j−1), i, j), (i, j + 1), (i+ 1, j − 1), (i+ 1, j), (i+ 1, j + 1).

Conectividad-4: en la cual un pıxel (i, j) tiene 4 vecinos: (i− 1, j), (i, j − 1), (i, j + 1), (i+ 1, j).



× ×

(a) Vecindario conectividad-8 (b) Vecindario conectividad-4

1.2. Fundamentos matematicos generales

El tratamiento morfologico es, en sus fundamentos, diferente del tratamiento lineal de la senal/imagen.

En gran parte de situaciones, la problematica que presentan las imagenes es muy diferente de la asociada a

otro tipo de senales como son las senales voz. Concretamente, se pueden observar grandes diferencias en lo

que respecta a:

El principio de superposicion

La interpretacion frecuencial de los filtros lineales

Al contrario de lo que ocurre, en las senales voz, en las imagenes en general no sucede la superposicion

(lineal, con adicion) de senales, ni la localizacion frecuencial de la informacion es buena.

Estas diferencias conllevan a que, cuando el enfasis sea el tratar or procesar formas, el tratamiento lineal

presenta limitaciones. El denominado tratamiento morfologico constituye una alternativa adecuada en el

tratamiento de las formas de las estructuras de una imagen. Aplica un enfoque conjuntista que permite

considerar las formas de manera satisfactoria.

(a) Imagen de entrada I (b) Ej. de filtrado lineal (filtro paso bajo)



(c) Ej. de filtrado morfologico (c) Ej. de filtrado morfologico 2

La estructura matematica subyacente del tratamiento morfologico, el retıculo, posee:

Una relacion de orden ≤

Propiedades:

• a ≤ a (propiedad reflexiva).

• Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b (propiedad antisimetrica).

• Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c (propiedad transitiva).

Nota: una relacion de orden puede ser total o parcial.

Dos operaciones basicas:

• Sup (o supremo)∨

El sup∨

de dos elementos a y b de un retıculo L calcula el menor elemento de L que es mayor

que ambos a y b.

• Inf (o ınfimo)∧

El inf∧

de dos elementos a y b de un retıculo L calcula el mayor elemento de L que es menor

que ambos a y b.

Veremos que estas operaciones sup e inf se traducen en simples operaciones en los casos con los que

trabajaremos.



1.3. Caso conjuntista o de imagenes binarias

Los conjuntos en un espacio E son elementos del conjunto potencia P(E), el cual es el conjunto de todos

los subconjuntos de E1.

Relacion de orden ≤: es la relacion de inclusion de conjuntos ⊆.

Operacion sup∨

: es la operacion union⋃

de conjuntos.

A∨

B = A⋃

B

Operacion inf∧

: es la operacion interseccion⋂

de conjuntos.

A∧

B = A⋂

B

Los conjuntos y las imagenes (funciones) binarias son conceptos equivalentes (isomorfos). Una imagen

binaria se puede considerar como la funcion de pertenencia de un conjunto 2D.

1.4. Caso de imagenes en niveles de gris

Las imagenes en niveles de gris f : E −→ L, donde L es un subconjunto del conjunto de enteros Z (como,

por ejemplo, el rango 0, 1, ..., 255), tambien tienen asociada una estructura de retıculo.

Relacion de orden ≤:

La relacion de orden se deriva de la relacion que existe en Z:

f ≤ g ⇐⇒ f(x) ≤Z g(x), ∀x ∈ E.

Operacion sup∨

:

(f∨

g)(x) = f(x)∨

Zg(x) = max

Z(f(x), g(x))

1I.e., P(E) = A : A ⊆ E.



Operacion inf∧

:

(f∧

g)(x) = f(x)∧

Zg(x) = mın

Z(f(x), g(x))

x

f(x) g(x)

(a) Funciones f(x) y g(x)

x

f(x)∨

g(x)

x

f(x)∧

g(x)

(b) f(x)∨

g(x) (c) f(x)∧

g(x)

1.5. Propiedades y definiciones

Una transformacion ψ definida en un retıculo L es creciente si satisface que, para todo par a, b de

elementos de L:

a ≤ b⇒ ψ(a) ≤ ψ(b), (1)

es decir, si las entradas estan ordenadas, entonces las salidas respectivas estan tambien ordenadas.

Si ψ es un operador creciente, entonces tenemos las siguientes desigualdades:

ψ(I∨

I ′) ≥ ψ(I)∨

ψ(I ′). (2)

ψ(I∧

I ′) ≤ ψ(I)∧

ψ(I ′). (3)



si ψ y ψ′ son operadores crecientes, entonces

ψ∨

ψ′, ψ∧

ψ′, and ψψ′

son todos operadores crecientes. Es decir, todas las composiciones que nos ocupan de operadores

crecientes son crecientes.

Si I es una imagen de entrada, un operador Ψ es extensivo si y solo si

I ≤ Ψ(I), (4)

es decir, si la salida es siempre mayor or igual que la entrada.

Un operador Ψ es anti-extensivo si y solo si

Ψ(I) ≤ I, (5)

es decir, si la salida es siempre menor o igual que la entrada.

Un operador Ψ es idempotente si y solo si

Ψ(I) = ΨΨ(I), (6)

es decir, si cuando Ψ se aplica secuencialmente dos veces, deja la primera salida sin cambios.

Dos operadores Ψ y Ω son duales (entre sı) si

Ψ = Ω . (7)

Claramente, tenemos tambien que Ω = Ψ .

El operador complemento calcula el complemento de una entrada. Dado un conjunto de entrada A

en un espacio E, (A) = E \ A, donde “\” denota la resta de conjuntos.

En el caso de imagenes I : D −→ L en niveles de gris, se puede definir una operacion relacionada de

inversion de imagenes que invierte los valores de intensidad con respecto al punto medio del rango

de valores de intensidad. Por ejemplo, para imagenes de 8 bits, dicha operacion convertirıa un valor

de 0 en 255, un valor de 1 en 254, etc.



2. Elementos estructurantes

Un elemento estructurante (“structuring element”) es una forma (conjunto) auxiliar que emplean diversos

operadores. Dicho conjunto auxiliar suele ser de tamano bastante menor que el conjunto de entrada. Se

puede relacionar con el soporte de las “ventanas” de procesado comunmente empleadas en el tratamiento

lineal. (Nota: existe otro tipo de elementos estructurantes denominados volumetricos que no son conjuntos,

sino funciones, pero se emplean poco frecuentemente.)

Dado un elemento estructurante B, su transpuesto, simbolizado por B, es la inversion de B, respecto al

conjunto de coordenadas (0, 0): si (x, y) denota un punto (o pıxel) que pertenece a B, entonces B es el

conjunto de puntos (o pıxels) tal que

B = (−x,−y) | (x, y) ∈ B .

3. Erosiones y dilataciones

Las erosiones (“erosions”) y dilataciones (“dilations”) son los operadores morfologicos mas basicos.

3.1. Conceptos generales

De manera general y algebraica (aunque no es una definicion operacional), se puede decir que las erosiones

y dilataciones surgen como los operadores que conmutan con las operaciones de retıculo sup e inf:

Las dilataciones δ son operadores crecientes que satisfacen:

δ(I∨

I ′) = δ(I)∨

δ(I ′). (8)

Respectivamente, las erosiones ε son operadores crecientes que satisfacen:

ε(I∧

I ′) = ε(I)∧

ε(I ′). (9)

Un tipo de erosiones y dilataciones muy util e importante es el de aquellas que emplean elementos estruc-

turantes para transformar una imagen de entrada.

En lo que sigue primero se abordaran las operaciones en el marco conjuntista, el cual es mas intuitivo para

observar el efecto de las operaciones en las formas, y posteriormente se trataran las expresiones asociadas

a las imagenes.



3.2. Erosiones εB y dilataciones δB con elemento estructurante

Si A denota un conjunto de entrada y B simboliza en elemento estructurante, la erosion con elemento

estructurante εB(A) obtiene la posicion de los puntos x tales queBx (el elemento estructurante transladado

a x) esta completamente incluido dentro del conjunto de entrada A:

εB(A) = x |Bx ⊆ A (10)

donde Bx simboliza el elemento estructurante B transladado al punto (o pıxel) x Nota: εB(A) 6= εA(B).

Si A es un conjunto de entrada, la dilatacion con elemento estructurante δB obtiene el lugar de los puntos

x tales que Bx (el elemento estructurante transladado a x) tiene una interseccion no vacıa (es decir “toca”)

el conjunto de entrada A.

δB(A) = x |Bx ∩ A 6= ∅ (11)

Nota: las dilataciones y erosiones con elemento estructurante tienen su origen en las denominadas opera-

ciones de Minkowski (la suma y resta de conjuntos de Minkowski).



B A

(a) Conjunto de entrada A y elemento estructurante B (en oscuro).

εB(A)

(b) εB(A)



B A

(a) Conjunto de entrada A y elemento estructurante B (en oscuro).

δB(A)

(b) δB(A)



Algunas propiedades de εB y δB:

La dilatacion δB es conmutativa, es decir, si A denota un conjunto de entrada, entonces δB(A) =

δA(B).

Si el elemento estructurante B contiene el origen de coordenadas, entonces δB es extensiva, es decir,

δB(I) ≥ I , para toda imagen I . En otro caso, las dilataciones δB no son en general extensivas, aunque

es siempre cierto que una translacion de la entrada es menor que o igual a la salida δB(I).

La dilatacion con elemento estructurante es asociativa, es decir, si B es el resultado de δC(D) (o

δD(C)), entonces δB(I)) = δC(δD(I)) = δD(δC(I)).

Nota: por ejemplo, el elemento estructurante B

×

B

se puede expresar como una dilatacion de los elementos estructurantes siguientes C and D (B es

igual a δC(D), o a δD(C)):

×

×

C D

Si el centro de coordenadas pertenece al elemento estructurante B, entonces εB es anti-extensiva,

es decir, εB(I) ≤ I , para toda imagen I . Si el origen de coordenadas no pertenece al elemento

estructurante B, entonces las erosiones no son anti-extensivas; no obstante, es siempre cierto que

εB(I) es menor que o igual a una translacion de la entrada.



La erosion con elemento estructurante es asociativa, es decir, siB es el resultado de δC(D) (o δD(C)),

entonces εB(I)) = εC(εD(I)) = εD(εC(I)).

Otras expresiones para las dilataciones y erosiones con elemento estructurante son las siguientes:

Erosiones:

εB(A) =⋂

b∈B

A−b =∧

b∈B

A−b (12)

εB(I) =∧

b∈B

I−b (13)

(εB(I))(x) = mınb∈B

I(x+ b) (14)

Dilataciones:

δB(A) =⋃

b∈B

A−b =∨

b∈B

A−b (15)

δB(I) =∨

b∈B

I−b (16)

(δB(I))(x) = maxb∈B

I(x+ b) (17)

Las expresiones (14) y (17) son las expresiones que se suelen emplear en la practica para calcular las dila-

taciones y erosiones con elemento estructurante, tanto en el caso de imagenes binarias como de imagenes

en niveles de gris.

Ası, por ejemplo, en el caso de que el elemento estructurante B sea un cuadrado de tamano 3× 3,

×

B: cuadrado 3× 3



el resultado de la erosion εB para un determinado pıxel (i, j) es (empleando una notacion con dos coorde-

nadas):2

(εB(I))(i, j) = mın

I(i− 1, j − 1), I(i− 1, j), I(i− 1, j + 1),

I(i, j − 1), I(i, j), I(i, j + 1),

I(i+ 1, j − 1), I(i+ 1, j), I(i+ 1, j + 1)

Analogamente, para la dilatacion δB:

(δB(I))(i, j) = max

I(i− 1, j − 1), I(i− 1, j), I(i− 1, j + 1),

I(i, j − 1), I(i, j), I(i, j + 1),

I(i+ 1, j − 1), I(i+ 1, j), I(i+ 1, j + 1)

4. Aperturas y cierres

4.1. Conceptos generales

Un filtro morfologico es una transformacion creciente e idempotente. (Nota: se debe observar que el signi-

ficado de la palabra filtro es diferente del que tiene en el tratamiento lineal, en el que significa en la practica

cualquier transformacion.)

Las transformaciones de la seccion anterior, las erosiones y las dilataciones, no son idempotentes (y, por

lo tanto, no son filtros morfologicos). Veremos seguidamente otras transformaciones mas complejas que

poseen la propiedad de la idempotencia.

Una apertura (“opening”) γ es un filtro morfologico anti-extensivo.

Un cierre (“closing”) ϕ es un filtro morfologico extensivo.

Como ocurrıa en el caso de las erosiones y las dilataciones, un tipo importante de aperturas y cierres son

las aperturas y cierres que utilizan un elemento estructurante.

4.2. Aperturas y cierres con elemento estructurante

Una apertura con elemento estructurante B de un conjunto de entrada A, simbolizada por γB(A), es el

conjunto de puntos x que pertenecen a un transladado de B que esta incluido por completo en el conjunto

de entrada A.2Nota: naturalmente, se debera tener en cuenta que no se sobrepasen los lımites de la imagen.



Se calcula mediante la composicion secuencial de una erosion y una dilatacion con elemento estructurante:

γB = δBεB,

El cierre con elemento estructurante ϕB se puede definir aplicando la dualidad con el opening: el cierre

con elemento estructurante de un conjunto de entrada A, simbolizado por ϕB(A) es el complemento de los

puntos que pertenecen a un transladado de B que esta incluido en el complemento de A ((A)). En otras

palabras, ϕB(A) es el complemento de la apertura γB de (A). Se calcula como:

ϕB = εBδB,

Los efectos de estos filtros son (expresados en el marco binario):

La apertura γB elimina las estructuras brillantes menores que el elemento estructurante B. Ası, eli-

minara componentes conexos menores que B.

El cierre ϕB rellenara las estructuras oscuras menores que el elemento estructurante B. Por lo tanto,

rellenara “agujeros” del conjunto de entrada menores que B.

Algunos ejemplos

Aplicando directamente la definicion de inclusion:

(a) Entrada A (en oscuro)

×

(b) B (c) γB(A)



×

(d) B (e) γB(A)

×

(f) B (g) γB(A)

Aplicando las operaciones elementales erosion y dilatacion:

(a) Entrada A (en oscuro)

×

(b) B (c) εB(A) (d) γB(A) = δBεB(A)



×

(e) B (f) εB(A) (g) γB(A) = δBεB(A)

5. Otros tipos de filtros

Generalmente, los efectos de la apertura y del cierre se suelen combinar aplicando ambos secuencialmente,

uno despues del otro. Son los denominados filtros alternados:

ϕγ

γϕ

Los filtros alternados ϕγ y γϕ son idempotentes, es decir, son filtros morfologicos.

No existe una relacion de orden entre ϕγ y γϕ, ni con la entrada:

ϕγ 6≤ γϕ 6≤ ϕγ

id 6≤ ϕγ 6≤ id

id 6≤ γϕ 6≤ id

6. Gradiente y transformacion “Top-Hat”

Gradiente morfologico

El operador gradiente morfologico es una aproximacion al modulo de la derivada de la imagen. Es

una medida del cambio de la funcion.

δB(I)− εB(I) (18)

(Nota: el sımbolo “-” denota la sustraccion entera pıxel a pıxel.) El gradiente de la expresion (18) se

suele denominar gradiente de Beucher.



En imagenes binarias, el gradiente morfologico extrae el contorno de las formas, concretamente el

contorno interno y el externo. Si se desea extraer solo el contorno interno de una imagen binaria, se

calcula I − εB(I), y si solo el externo, δB(I)− I .

(Nota: el gradiente morfologico es un ejemplo de operacion de residuo.)

Transformaciones “Top-hat”

Las transformaciones “top-hat” se utilizan para extraer estructuras de interes. Son transformaciones

atractivas para ello porque, entre otras razones, frecuentemente es mas sencillo eliminar con un fil-

tro las estructuras de interes, o parte de ellas, que eliminar las partes no relevantes de una imagen.

Asimismo, son trasnformaciones bastante robustas a cambios de iluminacion.

Segun se este interesado en estructuras claras, oscuras, o en ambas, hay tres tipos de transformaciones:

• “White top-hat” (o top-hat para estructuras claras)

I − γ(I)

• “Black top-hat” (o top-hat para estructuras oscuras)

ϕ(I)− I

• “Top-hat” simetrico (o top-hat para estructuras claras y oscuras)

ϕ(I)− γ(I)

El procedimiento es calcular primeramente un “top-hat” y posteriormente aplicar un umbral para

obtener una imagen binaria que marque (o senale) las estructuras de interes.

7. Granulometrıas y anti-granulometrıas

7.1. Definiciones

Axiomas de las granulometrıas o distribuciones de tamano:

Propiedad de ser creciente



Anti-extensividad

Absorcion:

Si Ψi, Ψj son dos transformaciones de una distribucion de tamano, donde i ≤ j, entonces

ΨiΨj = ΨjΨi = Ψmax(i,j) = Ψj. (19)

Una familia de aperturas γi, donde i ∈ S = 1, ..., n, es una granulometrıa si, para todo i, j ∈ S,

i ≤ j ⇒ γi ≥ γJ . (20)

Es decir, las aperturas estan ordenadas entre sı.

El concepto dual es el de anti-granulometrıa. Una familia de cierres ϕi, donde i ∈ S = 1, ..., n, es un

anti-granulometrıa si, para todos i, j ∈ S,

i ≤ j ⇒ ϕi ≤ ϕJ . (21)

Es decir, los cierres estan ordenados entre sı.

Frecuentemente, con la denominacion granulometrıa se engloba en la practica la utilizacion de aperturas

y cierres (es decir, tanto una parte de granulometrıa como otra de anti-granulometrıa). Por ejemplo, una

granulometrıa de ındices [−3, 3] utilizarıa los filtros: γ−3, γ−2, γ−1, id, ϕ1, ϕ2, ϕ3. El sımbolo id denota el

operador identidad que no modifica la entrada.

7.2. Granulometrıas y anti-granulometrıas con elemento estructurante

Las granulometrıas y anti-granulometrıas con elemento estructurante utilizan familias de elementos es-

tructurantes que garantizan la relacion de orden entre las aperturas y los cierres. La siguiente familia de

elementos estructurantes cuadrados serıa adecuada, y emplea la convencion de tamanos usual de que el

ındice i se traduce en un cuadrado de tamano 2i+ 1 (o, en el caso de los cırculos, en un cırculo de radio i).

××

××

(a) i = 0 (b) i = 1 (c) i = 2 (d) i = 3



Se debe cumplir la condicion siguiente:

γ(i−1)B(iB) = iB, for i ≥ 1. (22)

7.3. Curva granulometrica

Generalmente, se aplica un criterio o medida a la salida de los filtros de la granulometrıa y/o antigranulo-

metrıa y se construye con los resultados una denominada curva granulometrica que, en ocasiones y segun

la eleccion del elemento estructurante, sirve para describir y analizar las formas de las estructuras presentes.

Dicho criterio o medida debe ser creciente, lo cual implica que la curva sera monotona creciente (si x ≤ y,

entonces f(x) ≤ f(y)) si la parte de las aperturas se asocia a ındices negativos, como es normalmente el

caso. Las siguientes figuras muestran dos casos, uno binario y otro en niveles de gris. Se puede observar

que las curvas granulometricas son crecientes de izquierda a derecha.

Frecuentemente, tambien se calcula la derivada de la curva granulometrica para reflejar mejor los cambios.



(a) Entrada A (en blanco)

(b) γ4(A) (c) γ6(A) (d) γ8(A)

(e) Curva granulometrica (rango: [−15, 15])

Figura 1: Granulometrıa: ejemplo de imagen binaria.



(a) Input image I

(b) γ4(I) (c) γ6(I) (d) γ8(I)

(e) Curva granulometrica (rango: [−15, 15])

Figura 2: Granulometrıa: ejemplo de imagen no binaria.



8. Transformacion “Hit-or-miss”

La transformacion “Hit-or-miss” (que se podrıa traducir por transformacion Todo-o-nada) es un operador

que emplea un elemento estructurante compuesto, es decir, que utiliza dos elementos estructurantes B y C.

HMT(B,C) de un conjunto de entrada A calcula el conjunto de puntos x tales que los elementos estructuran-

tes transladados Bx y Cx estan incluidos en, respectivamente, A y (A):

HMT(B,C)(A) = x |Bx ⊆ A,Cx ⊆ (A)

Se debe observar que B y C deben ser disjuntos (en otro caso, la salida serıa vacıa).

Tenemos que:

HMT(B,C)(A) = εB(A)⋂

εC((A))

Por ejemplo, el elemento estructurante compuesto siguiente extraerıa los puntos extremos verticales supe-

riores:

×

B (en oscuro) y C (en claro)

Nota: al ser los elementos estructurantes B y C disjuntos, la representacion anterior visualiza ambos ele-

mentos estructurantes con distinto color en una misma figura.

El siguiente elemento estructurante compuesto estraerıa los puntos de extremos verticales inferiores:

×

B′ (en oscuro) y C ′ (en claro)

Por lo tanto, podemos extraer puntos extremos verticales (superiores e inferiores) de un conjunto de entrada

A como: HMT(B,C)(A)⋃

HMT(B′,C′)(A).

(Nota: en los ejemplos anteriores, el centro pertenece al primer elemento estructurante. Sin embargo, el

centro podrıa pertenecer al segundo elemento estructurante en otros casos.)



9. Parte 2: Practica

Tratamiento de Imagenes: Introduccion al Tratamiento Morfologico

APELLIDOS: NOMBRE:

APELLIDOS: NOMBRE:

Fecha de entrega: hasta el 29 de enero

Ejercicio 1 Erosiones y Dilataciones

Sea I la imagen de entrada del fichero squares01.pgm.

I

Sea B un elemento estructurante cuadrado de lado 3. ¿Es εB(I) ≤ I? ¿Es εB(I) < I?

Sea I la imagen de entrada del fichero squares02.pgm.

I

Sea B un elemento estructurante cuadrado de lado 3. ¿Es δB(I) ≥ I? ¿Es δB(I) > I?

Ejercicio 2 Aperturas y elementos estructurantes

En este ejercicio, si hubiera varios elementos estructurantes que cumplen lo que se pide, se debera elegir el

de menor tamano (y sin huecos).



Considere la imagen I del fichero fig01 32.pgm. Si, con I como imagen de entrada, se desea ob-

tener con una apertura γB el resultado mostrado en la imagen del fichero fig02 32.pgm, ¿que ele-

mento estructurante B se deberıa utilizar?

I γB(I)

Considere la imagen I del fichero fig01 32.pgm. Si, con I como imagen de entrada, se desea ob-

tener con una apertura γB el resultado mostrado en la imagen del fichero fig03 32.pgm, ¿que ele-

mento estructurante B se deberıa utilizar?

I γB(I)

¿Existe algun elemento estructurante B mayor de un pıxel tal que γB no modifica la imagen del

fichero fig04 32.pgm, y, en ese caso, cual serıa?

I γB(I)



Ejercicio 3 Eliminacion de ruido

Sea I la imagen de entrada del fichero isn 256.pgm, la cual tiene anadido ruido impulsivo binario (ruido

“salt-and-pepper”).

I

Sea B un elemento estructurante cuadrado de lado 3. Calcule: γB(I), ϕB(I), ϕBγB(I), γBϕB(I). Indique,

de entre los citados cuatro filtros, los dos mejores para eliminar el ruido de I .

Ejercicio 4 Transformadas “Hit-or-miss”

Sea la imagen de entrada I del fichero hm01 32.pgm:

I

Se desea emplear dos transformadas “hit-or-miss” para detectar, respectivamente, los puntos aislados (hay

3 pıxels en la figura) y el punto central de interseccion de la cruz (1 pıxel).

Disene los dos elementos estructurantes compuestos adecuados para las transformadas, compruebe los re-

sultados en Matlab, e indıquelos en el recuadro.



Ejercicio 5 Descomposicion de elementos estructurantes

Sean los elementos estrucurantes siguientes:

×

×

×

B C D

Se puede observar que B es el resultado de δC(D) (o δD(C)).

Empleando como entrada la imagen en niveles de gris cam 74.pgm, compruebe que δB(I)) =

δC(δD(I)).

Indique el numero de operaciones “max” que se deben realizar para procesar una imagen cuadrada

de tamano N × N en ambas alternativas (δB(I)) o δC(δD(I))). Suponga que los tamanos de B, C y

D son, respectivamente: M ×M , 1×M y M × 1. (Nota: no se deben considerar los posibles efectos

de los bordes, es decir, todos los pıxels de la imagen se deben tratar de la misma manera.)

PARTE OPCIONAL

Ejercicio 6 Composicion de aperturas

En el siguiente ejercicio se va a experimentar con composiciones de aperturas. Un resultado de la teorıa de

filtros morfologicos es que el sup de aperturas es a su vez una apertura.

Sea I la imagen de entrada del fichero opc01 32.pgm.

Sea B un elemento estructurante 1× 3 horizontal, y C un elemento estructurante 3× 1 vertical:



××

I B C

(1) Obtenga el resultado: I ′ = γB(I)∨γC(I).

(2) Seguidamente, calcule: I ′′ = γB(I ′)∨γC(I ′).

¿Es I ′ = I ′′? Asimismo, tras observar la salida, comente en dos o tres lıneas cual es el efecto de la operacion:

(γB

∨γC)(I).

Ejercicio 7 Granulometrıas

En este ejercicio se utilizara la imagen del fichero gran01 64.pgm como imagen I de entrada.

I

Calcule los volumenes (guardandolos en un vector) de γi(I), 0 ≤ i ≤ 5, donde γi denota una apertura con

elemento estructurante cuadrado de lado 2i+ 1. Se supone que γ0(I) es I .

Utilice plot para visualizar el vector de volumenes y dibuje la grafica resultante, indicando los volume-

nes asociados calculados. Nota: se recuerda que las aperturas se asocian a ındices negativos en la curva

granulometrica.



Ejercicio 8 Operadores crecientes

Un operador creciente ψ sobre conjuntos cumple, para todo par de conjuntos A,B, que si A ≤ B, entonces

ψ(A) ≤ ψ(B).

Sean C, D dos conjuntos. Si se sabe que ψ(D) es ∅ (conjunto vacıo) y que C ≤ D, ¿se puede saber cual es

el resultado de ψ(C), y, en ese caso, cual serıa?

ApendiceFunciones auxiliares sencillas relacionadas con ordenaciones y las operaciones sup, inf y la inversion de

imagenes:

immareequal.m

immareequal (im1, im2): si im1 == im2.

immislessthan.m

immislessthan (im1, im2): si im1 ≤ im2.

immislessthanstrict.m

immislessthanstrict (im1, im2): si im1 < im2.

immislargerthan.m

immislargerthan (im1, im2): si im1 ≥ im2.

immislargerthanstrict.m

immislargerthanstrict (im1, im2): si im1 > im2.

imminf.m

imminf (im1, im2): im1∧

im2.

immsup.m

immsup (im1, im2): im1∨

im2.



immvolume.m

immvolume (im): volumen (suma acumulada de los valores de los pıxeles) de im.

Tambien se proporciona una funcion para visualizar una imagen realizando un “upsampling” previo:

immshowu (im, factor).

Algunas funciones de Matlab relacionadas con la practica:

imread: para leer imagenes.

imwrite: para escribir imagenes.

imshow: para visualizar imagenes.

imerode: erosion con elemento estructurante.

imdilate: dilatacion con elemento estructurante.

imopen: apertura con elemento estructurante.

imclose: cierre con elemento estructurante.

imcomplement: operacion complemento / inversion de imagen.

strel: para crear elementos estructurantes de diversos tipos.

• Cuadrado de lado 3:

st = strel(’square’,3)

• Disco de radio 1:

st = strel(’disk’,1)

• Forma diamante de radio 1:

st = strel(’diamond’,1)

• Lınea horizontal de longitud 3:

st = strel (’line’, 3, 0);

• Lınea vertical de longitud 3:

st = strel (’line’, 3, 90);



• Elemento arbitrario:

starray = [1 0 1; 0 1 0; 1 0 1];

st = strel(’arbitrary’, starray);


Tratamiento Digital de la Senal˜ -...

Documents

Transcript of Tratamiento Digital de la Senal˜ -...