Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.
-
Upload
anonciada-bernardini -
Category
Documents
-
view
233 -
download
0
Transcript of Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.
![Page 1: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/1.jpg)
Trasformazioni geometriche
Didattica della Matematica – modulo 2
Settimo ciclo SSIS, 2005-2006
![Page 2: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/2.jpg)
Da bambini, con le forbici e un foglio di carta
• pieghiamo il foglio a metà
• ritagliamo un motivo• apriamo il foglio• Le due parti della
figura sono “simmetriche”
![Page 3: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/3.jpg)
Simmetria o riflessione rispetto a una retta
• Trasformazione del piano su se stesso: ogni punto P ha un corrispondente P’
• I punti di r sono fissi• se P fuori di r, PP’ è
perpendicolare a r• e la incontra nel punto
medio tra P, P’
simmetria.fig
r
P
P'
M
![Page 4: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/4.jpg)
Proprietà della riflessione• Segmenti vanno in
segmenti• Segmenti
corrispondenti sono uguali
• Si conservano gli angoli
• Triangoli corrispondenti sono congruenti
• Sinistro destro
![Page 5: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/5.jpg)
Con le forbici e una striscia di carta ripiegata
![Page 6: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/6.jpg)
Con due riflessioni….
![Page 7: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/7.jpg)
Si ottiene una nuova trasformazione
• traslatriango.fig
![Page 8: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/8.jpg)
La traslazione
• Segmenti da un punto al suo traslato sono paralleli, uguali, orientati nello stesso verso
• Rette corrispondenti sono parallele
• Destro destro
![Page 9: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/9.jpg)
Nessun punto fisso, ma rette fisse
• Se si ripete una stessa traslazione, le rette nella direzione della traslazione scorrono su se stesse
![Page 10: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/10.jpg)
Come si costruisce un motivo ornamentale?
![Page 11: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/11.jpg)
Come costruire un fregio: I
Reiterando una stessa traslazione: salti su un piede solo
![Page 12: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/12.jpg)
Come costruire un fregio: II
Aggiungendo alla traslazione una riflessione rispetto ad una retta nella stessa direzione: salti a piè pari
![Page 13: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/13.jpg)
Come costruire un fregio: II
Aggiungendo alla traslazione una riflessione rispetto ad una retta nella stessa direzione: salti a piè pari
![Page 14: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/14.jpg)
Come costruire un fregio: IIICon l’operazione risultante dalla composizione di traslazione e riflessione: è un nuovo tipo di trasformazione
![Page 15: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/15.jpg)
Come costruire un fregio: III
Con l’antitraslazione (glissoriflessione): passo normale
![Page 16: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/16.jpg)
Come costruire fregi: IV
• Usando una riflessione in uno specchio perpendicolare alla direzione di traslazione, ripetendo….: salti laterali
![Page 17: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/17.jpg)
Come costruire fregi: V
• Usando riflessioni con specchi perpendicolari tra loro: salto con piroetta
![Page 18: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/18.jpg)
Un’altra trasformazione: la simmetria centrale
• Risulta dalla composizione di riflessioni rispetto a assi perpendicolari
• è un “mezzo giro” attorno al punto comune ai due assi
![Page 19: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/19.jpg)
Un’altra trasformazione: la simmetria centrale
• Risulta dalla composizione di riflessioni rispetto a assi perpendicolari
• è un “mezzo giro” attorno al punto comune ai due assi
![Page 20: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/20.jpg)
La simmetria centrale
• Il centro di simmetria è il punto medio tra ogni coppia di punti corrispondenti
• Destro va in destro
![Page 21: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/21.jpg)
Come costruire fregi: VI• Si possono usare simmetrie centrali: giravolta
su un piede solo
![Page 22: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/22.jpg)
Come costruire fregi: VII
• Infine, simmetrie centrali e riflessioni: salti con giravolte
![Page 23: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/23.jpg)
Teorema
Vi sono soltanto 7 modi di riempire
una striscia con un motivo periodico
Maria Dedò, Forme – Simmetria e topologia, Decibel, Padova – Zanichelli, Bologna, 1999
![Page 24: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/24.jpg)
Per uscire dalla striscia…
• Due riflessioni con assi incidenti producono una rotazione
• rotazione.fig
![Page 25: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/25.jpg)
Proprietà della rotazione di centro O
• O resta fisso • Ogni altro punto P va
nel punto P’ che sta alla stessa distanza da O
• l’angolo POP’ è fisso• ed è uguale all’angolo
tra due rette corrispondenti
![Page 26: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/26.jpg)
Classificazione delle congruenze (isometrie) del piano
Punti
fissiNessun
punto fissoUn solo punto fisso
Infiniti punti fissi
Diretta (pari)
traslazione rotazione identità
Inversa (dispari)
glissorifles-sione
simmetria assiale o riflessione
![Page 27: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/27.jpg)
Quante carte da parati posso disegnare?
TEOREMA.
Vi sono soltanto 17 modi di ricoprire il piano con figure tutte congruenti tra di loro (Fedorov, 1891 – Pólya, 1924 )
Maria Dedò, Forme – Simmetria e topologia, Decibel, Padova – Zanichelli, Bologna, 1999
![Page 28: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/28.jpg)
Esempi: 1) con due traslazioni non parallele
![Page 29: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/29.jpg)
2) con riflessioni rispetto a rette perpendicolari
![Page 30: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/30.jpg)
3) con simmetrie centrali e traslazioni
![Page 31: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/31.jpg)
4) con rotazioni di 120°
![Page 32: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/32.jpg)
Pavimenti, trapunte…
Si può fare un pavimento con mattonelle a forma di un poligono regolare, tutte congruenti tra di loro, “lato contro lato”?
Non come nel secondo e terzo esempio
![Page 33: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/33.jpg)
La trapunta più semplice
![Page 34: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/34.jpg)
Con quali poligoni regolari si può costruire una trapunta?
• In un vertice si vogliono “incastrare” k poligoni
• se ciascun poligono ha in quel vertice un angolo , per chiudere l’incastro
deve essere k = 360° • Quali poligoni regolari hanno angoli che
siano sottomultipli di 360°?
![Page 35: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/35.jpg)
Quanto misurano gli angoli di un poligono regolare?
• Triangolo equilatero: 180/3 gradi
• Quadrato: 360/4 gradi• Pentagono? 5 triangoli… • 180° per 5 ….meno 360°
nel centro, in tutto gli angoli assommano a
• 180(5 – 2)°= 540°
![Page 36: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/36.jpg)
Una coperta di pentagoni…
• 540 : 5 = 108• L’angolo del pentagono misura 108°• Tre in un vertice: 108 + 108 + 108 < 360• Quattro in un vertice: 108 per 4 > 360….
![Page 37: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/37.jpg)
Non si può fare!
![Page 38: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/38.jpg)
Solo tre
• Gli unici poligoni regolari che pavimentano il piano sono:
• Triangoli (equilateri)• Quadrati• Esagoni (regolari) • Pavimenti di poligoni
non regolari ?
![Page 39: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/39.jpg)
Pavimenti di rettangoli, parallelogrammi….
![Page 40: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/40.jpg)
Quadrilateri….
![Page 41: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/42.jpg)
Alla maniera di Escher• un quadrato ABCD • sostituisco il
segmento AB con una curva o una spezzata
• con la traslazione di vettore AD creo un nuovo lato con estremi D,C
• traslo la nuova mattonella
![Page 43: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/43.jpg)
Su un reticolo quadrato
![Page 44: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/44.jpg)
Su un reticolo quadrato
![Page 45: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/45.jpg)
Con traslazioni e riflessioni
![Page 46: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/46.jpg)
Glissoriflessione e traslazioni
![Page 47: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/47.jpg)
Rotazioni......
![Page 48: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/48.jpg)
Riflessioni, rotazioni….
![Page 49: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/49.jpg)
Quanti centri di rotazione?
![Page 50: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/50.jpg)
E nello spazio? Simmetriarispetto ad un piano
• http://specchi.mat.unimi.it/
• http://matemilano.mat.unimi.it/
![Page 51: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/51.jpg)
Con uno specchio e mezzo modello
![Page 52: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/52.jpg)
Con due specchi
• Basta un quarto dell’edificio
![Page 53: Trasformazioni geometriche Didattica della Matematica – modulo 2 Settimo ciclo SSIS, 2005-2006.](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022081418/5542eb5b497959361e8c8685/html5/thumbnails/53.jpg)
Problema
• E’ possibile “impadronirsi dello spazio” (H. Freudenthal) lavorando su fotografie, disegni, software sofisticati?
•Può essere “meglio un brutto modello che una bella figura” (Maria Dedò) ?