TRASFORMATORE Versione aggiornata al 23 maggio 2013.
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TRASFORMATORE
Versione aggiornata al 23 maggio 2013
RICHIAMI PRELIMINARI
Proprietà di solenoidalità del vettore induzione magnetica e flusso concatenato con una linea chiusa
B
Solenoidalità di
S superficie chiusa
21 SSS
S
dSnB 0
S
S SdSnBdSnBdSnB
1 221 0
1 2
21S S
dSnBdSnB
B
Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ
• Per la solenoidalità del vettore induzione magnetica i due integrali di superficie estesi a S1 e S2 sono indipendenti dalla superficie purché questa sia orlata da γ.
• Dati il vettore induzione magnetica ed una linea chiusa orientata γ si definisce pertanto flusso di tale vettore concatenato con γ la quantità:
in cui Sγ è una qualsiasi superficie orlata da γ e la
normale a Sγ è orientata in maniera congruente all’orientazione di γ.
S
dSnB
n
Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γ; congruenza del verso della
normale alla superficie S rispetto a quello della linea γ
Legge di Faraday
Data la f.e.m. (forza elettromotrice), associata al campo elettrico non conservativo e alla linea chiusa orientata γ:
dltKe
K
Legge di Faraday
Tale f.e.m. è legata al flusso di concatenato con γ dalla relazione:
e = - d /dt
in cui vale il segno – se il flusso concatenato con γ è calcolato con la stessa orientazione di γ con cui è definita la f.e.m e.
B
Legge di Ampére
Dati il campo magnetico , una linea chiusa orientata λ e la corrente i concatenata con questa, si ha:
assumendo il segno + se il verso della corrente i è congruente con quello di λ ed il segno – nel caso contrario
idltH
H
Legge di Ampére; congruenza del verso di i rispetto a quello di λ
Legge di Ampére
Nel caso di N spire in serie di un avvolgimento attraversate dalla corrente i e concatenate con λ, la stessa legge assume la forma:
NidltH
%
Legge di Ampére
Se conferiamo un carattere algebrico al numero di spire, attribuendo un segno ad N, corrispondente al verso con cui sono avvolte le N spire intorno a λ, possiamo esprimere la legge di Ampere nella forma:
NidltH
%
Legge di Ampére
Ovviamente il segno di N non è una caratteristica intrinseca dell’avvolgimento poiché riferito alla congruenza tra il verso delle N spire attraversate dalla corrente i con il verso di λ.
%
Legge di Ampére
In analogia con la f.e.m e associata al campo elettrico :
la quantità Ni associata al campo magnetico :
è denotata come forza magneto motrice (f.m.m.).
dltKe
dltHNi
K
H
Riluttanza di un tubo di flusso del vettore induzione magnetica
• Sia S la sezione retta del tubo di flusso sufficientemente piccola rispetto alla sua lunghezza
• Il flusso di si può esprimere come φ=B·S
• Sia λ la linea media del tubo di flusso %
B
B
%
S
BH
NiHdl
NidlS
NidlS
1
dlS
R 1
NiR
NidltH
Configurazione schematica di un trasformatore
Se l’avvolgimento primario è alimentato con v(t) e l’avvolgimentosecondario è connesso ad un utilizzatore si ha un trasferimento di potenza dal circuito primario a quello secondario, attraverso l’accoppiamento magnetico dei 2 avvolgimenti.
Simbolo circuitale del doppio bipolo trasformatore
1v 2v
1i 2i
Simbolo circuitale del trasformatore negli schemi degli
impianti
Andamento del campo di induzione magnetica B
%
Andamento del campo di induzione magnetica
Distinguiamo tre tubi di flusso le cui linee medie sono p (tubo di flusso principale che si sviluppa prevalentemente nel ferro concatenato con entrambi gli avvolgimenti) e σ1 e σ2 (tubi di flusso disperso con un consistente sviluppo in aria e concatenati con uno solo dei due avvolgimenti)
Tubo di flusso principale
Tale flusso determina l’accoppiamento magnetico dei due avvolgimenti e contribuisce al trasferimento di potenza dal primario al secondario
S
Bpn
S
pp dSnB
F.e.m. indotta dal flusso principale
• La f.e.m. indotta in ciascuno degli avvolgimenti dal flusso principale è dato dalla somma delle f.e.m. indotte delle singole spire in serie
• Al fine di calcolare la f.e.m. indotta nella singola spira, dobbiamo tener conto che il singolo avvolgimento sarà orientato e che pertanto l’orientamento della singola spira visto dall’alto potrà essere antiorario oppure orario
F.e.m. indotta dal flusso principale
dt
dNe p
p
11
dt
dNe p
p
22
A N1 e N2 è convenzionalmente attribuito un segno algebrico, connesso al verso (concorde o discorde) dei due avvolgimenti rispetto a quello assunto positivo per le linee di flusso di B nel tubo di flusso principale.
Orientamento dell’avvolgimento
B B
eliminare
F.e.m. indotta nell’avvolgimento di sinistra (verso congruente con )
è orientata verso l’alto;
ϒ è congruente con p.
B
B
B
B
p
dt
dNe p
p
11
S
pn
eliminare
F.e.m. indotta nell’avvolgim. di sinistra (verso non congruente con )
è orientata verso l’alto;
ϒ non è congruente con p.
B
B
B
B
p
dt
dNe p
p
)(11
eliminare
F.e.m. nell’avvolgimento di sinistra
L’induzione è orientata verso l’alto;
i casi dei due possibili versi dell’avvolgim. si sintetizzano con:B
dt
dNe p
p
11 )(
dt
dNe p
p
11
eliminare
F.e.m. nell’avvolgimento di destra
L’induzione è orientata verso il basso;
i casi dei due possibili versi dell’avvolgim. si sintetizzano analogamente con:
B
dt
dNe p
p
22
eliminare
F.e.m. indotte dai flussi dispersi
I flussi dispersi (primario) e (secondario) sono proporzionali ad i1 ed i2. Le f.e.m. indotte da tali flussi sono:
dt
dile 111
dt
dile 222
12
lσ1 e lσ2 sono le induttanze di dispersione dei 2 avvolgimenti
Induttanze di dispersione
Le induttanze di dispersione e sono legate ai flussi dispersi e dalle relazioni:
1111 ilN
2222 ilN
1l 2l
1 2
eliminare
Accoppiamento magnetico perfetto
Se i flussi dispersi e e le induttanze di dispersione e
sono nulli, l’accoppiamento magnetico dei due avvolgimenti si dice perfetto
12
1l
2l
Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo
Leggi di Kirchhoff delle tensioni (LKT) per i due avvolgimenti
v1 + ep1 + eσ1= r1 i1
v2 + ep2 + eσ2= r2 i2.
Legge di Ampére
2211 iNiNdltHp
%
Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo
LKT per i due avvolgimenti
Legge di Ampére
dt
dN
dt
dilirv p 1
11111
dt
dN
dt
dilirv p 2
22222
2211 iNiNR p
Trasformatore ideale
Ipotesi semplificative:
• Avvolgimenti perfettamente conduttori→ r1=r2=0
• Accoppiamento magnetico perfetto tra i due avvolgimenti →lσ1= lσ2=0
• Riluttanza trascurabile del tubo di flusso principale →R=0
%
Trasformatore ideale
Equazioni nel dominio del tempo
dt
dNv p11
dt
dNv p22
22110 iNiN
Trasformatore ideale in regime sinusoidale
Equazioni nel dominio dei fasori:
2121 // NNVV
1221 // NNII
pNjV 11 pNjV 22
22110 ININ
)sin(2 11 tVv
%
Trasformatore ideale in regime sinusoidale
Posto:
(rapporto di trasformazione)
le equazioni del trasformatore ideale si riducono a:
aV
V
2
1
aI
I 1
2
1
21 / NNa
Doppio bipolo Trasformatore ideale: rappresentazione grafica
Equazioni
aV
V
2
1
aI
I 1
2
1
Doppio bipolo Trasformatore ideale
aV
V
2
1
aI
I 1
2
1
Trasformatore ideale: proprietà di trasparenza alle potenze
2211 IVIV
21 VaV 21
1I
aI
)()( 2211 jQPjQP 21 PP 21 QQ
%
Trasformatore ideale: proprietà di trasparenza alle potenze
potenza assorbita dal primario (avvolgim. 1) potenza erogata dal secondario (avvolgim. 2) e trasferita
all’utilizzatore. Pot. attiva assorbita = Pot. attiva erogata Rendimento unitario
21 PP
1P2P
1v 2v
1i 2i
Applicazioni del trasformatore
• Abbassatore di tensione
• Elevatore di tensione
• Piccolissime potenze di pochi W
• Grandi trasformatori di diverse centinaia di MVA (reti di produzione, trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica)
Struttura della rete elettrica nazionale (produzione,
trasmissione e distribuzione)
Traliccio ad alta tensione
Isolatori
Doppio bipolo Trasformatore ideale
aV
V
2
1
aI
I 1
2
1
Trasformatore ideale: proprietà di trasformazione delle impedenze
Essendo
dove 22
2' zaz
21 VaV 12 IaI 222 IzV
121 ' IzV
Diversi modelli del trasformatore reale di crescente complessità
• Modello 1: , , ferro ideale, privo di perdite con riluttanza R finita e costante;
• Modello 2: , , ferro reale con perdite;
• Modello 3: avvolgimenti reali ( ), loro accoppiamento magnetico non perfetto ( ), ferro reale con perdite, rete equivalente a T.
021 rr 021 ll
021 ll021 rr
0, 21 rr
0, 21 ll
Equazioni di base del trasformatore nel dominio del tempo
LKT per i due avvolgimenti
Legge di Ampére
dt
dN
dt
dilirv p 1
11111
dt
dN
dt
dilirv p 2
22222
2211 iNiNR p
Modello 1 del trasformatore reale
• Avvolgimenti ideali ( )
• Accoppiamento perfetto ( )
• Ferro ideale, privo di perdite con riluttanza R finita e costante.
021 rr
021 ll
Modello 1
Equazioni di base:
pNjV 11
pNjV 22
2211 ININR p
Riluttanza nel modello 1 (finita e costante)
La riluttanza è somma del contributo del ferro e dei traferri
Il ferro ha permeablità
cost.→caratterist. B-H lineare→area nulla del ciclo d’isteresi →perdite per isteresi nulle; analogamente nulle le perdite per correnti di Foucault
SS
lR
fe
fe
0
4
B
dlS
Rp1
Funzionamento a vuoto avvolgim. second. aperto
Il sistema può essere considerato come un bipolo, la cui caratteristica è:
1v
10i 02 i
)( 101 IfV
Modello 1: funzionamento a vuoto avvolgim. second. aperto
Equazioni pNjV 11 101 INR p
RINp /101
dove RNL /211
10110211 )/( ILjIRNjV
10
1
1 ILj
V
Funzionamento a vuoto, confronto con il trasformatore ideale
La legge di Ampére nel trasformatore ideale fornisce:
A vuoto → anche
→ Il trasformatore ideale a vuoto costituisce un aperto ideale.
21
1I
aI
01 I02 I
%
Funzionamento a vuoto, confronto con il trasformatore ideale
Il valore del flusso è imposto dalla tensione applicata:
Il valore finito del flusso, pur in assenza di correnti e finite è spiegabile con il fatto che si è supposta nulla la riluttanza R
pNjV 11
1i 2i
2211 ININR p 0
0 p
Modello 1 del trasformatore reale; funzionamento sottocarico
Il flusso non varia rispetto al funzionamento a vuoto essendo sempre imposto dalla tensione :
Il flusso è pertanto costante al variare del
carico del trasformatore
pNjV 11
p
1v
%
Modello 1 del trasformatore reale; funzionamento sottocarico
Legge di Ampére
dove
aII /' 22
LKT
aV
V
2
1
2211 ININR p
aIINR p // 211 aIINjN
R
jp /)(
12112
1
)(2
1
N
Na
10211
1 ' IIILj
V
RNL /211
pNjV 11 pNjV 22
Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico
pNjV 11 pNjV 22
2211 ININR p
aV
V
2
1
10211
1 ' IIILj
V
aI
I 1'
2
2
Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico
Se si divide I e II membro della legge di Ampere per si ottiene un’altra rete equiv. La corrente
rappresenta la
corrente vista dal lato 2
11'' IaI
RNL /222
2N
1I
Modello 2 del trasformatore reale
• Avvolgimenti ideali ( )
• Accoppiamento perfetto ( )
• Ferro reale con perdite
021 rr
021 ll
Comportamento reale del ferro
B è sinusoidale, le correnti no. Infatti:
)sin(2 11 tVv
dt
dNv p11
2211 iNiNR p
dlS
Rp1
Comportamento reale del ferro
L’area del ciclo rappresenta l’energia di magnetizzazione per unità di volume dissipata in calore. Una relazione empirica fornisce la potenza dissipata:
K cost del materiale proporzionale alla frequenza ed al volume.
2pi kP
%
Comportamento reale del ferro
Perdite per correnti parassite nel ferro (o correnti di Foucault) in una lastra piana indefinita di spessore Δ:
C cost. opportuna, resistività del ferro
Il fenomeno non è portato in conto dalle eq. di base precedenti.
fe
pcp
fCP
222
fe
%
Comportamento reale del ferro
La potenza complessiva dissipata nel ferro è fornita dalla somma delle perdite per isteresi e di quelle per correnti parassite:
e conseguentemente:
2' pcpife kPPP
21"VkPfe
Confronto del model. 2 con il model. 1 nel funzionam. a vuoto
La potenza assorbita dal trasformatore è nulla. Tale modello non è quindi in grado di rappresentare i fenomeni dissipativi nel ferro. La potenza trasformata in calore nel ferro deve essere fornita dalla rete di alimentazione
Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto
Si possono trattare in maniera separata i problema della non linearità e della dissipazione di potenza nel ferro, riducendo il ciclo alla sua linea media e considerando a parte le perdite nel ferro.
21"VkPfe %
Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto
Si può linearizzare la linea media del ciclo, considerando cost. la riluttanza. Le perdite nel ferro possono essere rappresentate da una resist. in parall. a tale che:
21"VkPfe
1L
mfe RVP '/21
Modello 2 (ferro reale): rete equival. nel funzionam. a vuoto
fem PVR /' 21 RNL /211
Modello 2 (ferro reale): funzionamento a vuoto
La corrente a vuoto risulta pari alla somma:
''10 III a
afe IVP '1
'1IVQ
Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico
fem PVR /' 21RNL /211
%
Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico
RNL /222 fem PVR /" 22
%
Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico
Nel trasformatore ideale
Nel trasformatore reale
Il rapporto tra le correnti è diverso da 1/a. Lo scostamento è prodotto da I10
211I
aI
10210211
' IIa
III
%
Modello 2 (ferro reale con perdite): funzionamento sotto carico
Il trasformat. non è più trasparente né alla pot. attiva, né a quella reattiva. La pot. attiva assorbita dal primario è la somma di quella trasferita al second. e delle predite nel ferro. Il rendimento è diverso da 1.
Riduzione della potenza reattiva Q e delle perdite nel ferro Pfe
Per ridurre Q occorre ridurre la riluttanza R, riducendo i traferri e aumentando la permeabilità.
Per ridurre Pfe si usano lamierini isolati laminati a freddo di ferro silicio. Tali lamierini sono anisotropi.
Nucleo magnetico
Modello 3 del trasformatore reale
• Avvolgimenti reali
• Accoppiamento non perfetto
• Ferro reale con perdite
)0,( 21 rr
)0,( 21 ll
Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite)
Eq. di base nel dominio del tempo:
dt
dilirev p
111111
dt
dilirev p
222222
dt
dNe p
p
11 dt
dNe p
p
22
2211 iNiNR p
Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite)
Eq. di base nel dominio dei fasori
11111 )( IljrEV p 22222 )( IljrEV p
pp NjE 11 pp NjE 22
2211 ININR p
Modello 3 (avvolgim. + accoppiam. magnet. reali, ferro senza perdite)
LKT 11111 )( IljrEV p 22222 )( IljrEV p
pp NjE 11 pp NjE 22 2211 ININR p
Modello 1, rete equivalente del trasformat. reale sotto carico
pNjV 11 pNjV 22
2211 ININR p
RNL /211
Modello 3: rete equivalente (ferro senza perdite)
RNL /211
Modello 3: rete equivalente (ferro reale con perdite)
RNL /211
Modello 2: rete equivalente
21
222 // aLRNL
222 /'/" aRPVR mfem
Modello 3: rete equivalente (ferro reale con perdite)
21
222 // aLRNL
222 /'/" aRPVR mfem
Modello 3: rete equivalente a T
%
Nel trasformatore ideale
22
2' zaz
Modello 3: rete equivalente a T
uz
%
22
2' zaz
Modello 3: rete equivalente a T
dove
aII /' 22 22
2' rar
22
2' lal uu zaz 2'
%222
222 )()
1)((''' VaIzaI
azaIzV uuu
Modello 3: rete equivalente a T
Impedenze
2'z1zmz'
111 ljrz
222 ''' ljrz
mm RLjz '//)(' 1
Modello 3: deduzione rete equivalente a L
LKT
LKC
22221111 '')''()( VIljrIljrV
1021 ' III
%
Modello 3: deduzione rete equivalente a L
LKT
dove
2210111 '')''()( VIljrIljrV eqeq
21 '' rrr eq 21 '' lll eq
%
Modello 3: deduzione rete equivalente a L
Trascurando → 1011 )( Iljr 221 '')''( VIljrV eqeq
1021 ' III
Bilancio delle potenze
mfe RVP '/21 22'' IrP eqcu
Bilancio delle potenze
Potenze
Potenza assorbita
Potenza utile
111 cosIVPass
222 cosIVPut
Invarianza delle potenze rispetto al lato del trasformatore
Pot. Utile
essendo
essendo
222222 cos''cos IVIVPut
mmfe RVRVP "/'/ 22
21 2
222 "'' IrIrP eqeqcu
2/'" aRR mm 2/'" arr eqeq
22' VaV 22 )/1(' IaI
Funzionamenti a rendimento nullo
Rendimento= = 0 se
.
se (funzionamento a vuoto) o se (funzionamento in corto circuito)
222 cosIVPut
0utP 02 I02 V
assut PP / 0utP
fecuass PPP
Prova a vuoto
Schema di misura
2101IrPP fe
2101Irletrascurabi nII 1
210 10
Prova a vuoto; determinazione parametri verticali circuito ad L
WVR m /' 2 ma RVI '/'
'/1 IVL
222210 ''' aa IAIII
Prova in corto circuito
Schema di misura
mcccufecu RVPPPP '/2 mcc RV '/2 .trascurab ncc VV 1210
Prova in corto circuito
letrascurabi 10I
Prova in corto circuito
22 ')/(' eqeq rAVl
221 //' AWIWr neq 22
11 )'('// eqeqeqncc lRzAVIV
Rendimento del trasformatore, determinazione diretta
Inconvenienti• Notevole influenza
degli errori di misura dei wattmetri
• Difficile determinare la variabilità del rendimento con il carico
1
2
W
W
P
P
ass
ut
Rendimento convenzionale e sua determinazione indiretta
Diversa formulazione del rendimento:
La sua traduzione operativa comporta la determinazione di Put, Pfe e Pcu.
P utile ipotizzata e non misurata
Pfe e Pcu misurate nelle prove a vuoto ed in corto circuito
cufeut
ut
PPP
P
222 cosIVPut
Andamento del rendimento in funzione del carico
Rendimento convenz.
Se V2 è supposta costante, trascurando le cadute di tensione, si ottiene il diagr. dove per I2= I2p le perdite nel ferro e nel rame sono eguali np II 22 9.06.0
02
I
"22eq
fep r
PII per
22
"222
222
cos
cos
IrPIV
IV
eqfe
Rendimento in energia
Ci si riferisce alle energie invece che alle potenze:
essendo l’energia data da Ci riferisce ad un prefissato intervallo : si ha
così il rendim. giornaliero, mensile, etc.
cufeut
utw WWW
W
0
0
t
t
vidtW
Rendimento in energia
Se in il carico è costante ( e costanti):
e i rendimenti in potenza ed energia sono eguali.
2I 2V
222 cosIVWut fefe PW cucu PW
0
0
t
t
vidtW
Rendimento giornaliero
Se si esprime l’energia in Wh si ha:
222 cosIVPut
utP
h 24
hIrPhIV
hIV
eqfew 2
2"
222
222
24cos
cos
Andamento del rendim. in energia in funzione del carico
L’andamento è analogo a quello del rendim. in potenza. Si ha il massimo quando l’en. persa nel ferro è eguale all’en. persa nel rame → per dato da:
peq
few I
hhr
PI 22
24
"
24
2I
Caduta di tensione
Si definisce caduta di tensione la quantità:nV1
nV1
10I 02 I
20V
1I 2I
2V
220 VVV
Caduta di tensione: funzionamento a vuoto
, trascurando la caduta di tensione dovuta a →
aEVE pp /1202 10I
22220 VVVVV n
nnnp VaVVVE 212011 /
0
Calcolo della caduta di tensione
dove
(conv.gener.)
Dividendo per a →
dove
aII /' 22
22
1' rarr eq 22
1' lall eq
22202 )""( VIljrVV eqeqn
221
2
'" r
a
r
a
rr eq
eq 221
2
'"
l
a
l
a
ll eq
eq
221 '')''( VIljrV eqeqn
Calcolo approssimato della caduta di tensione
FG perpendicolare a BG
ΔV=BK, trascurando CK, ΔV=BC=BH+HC
22202 )""( VIljrVV eqeqn
22 cos" IrBH eq22 sin" IlHC eq
2222 sin"cos" IlIrV eqeq
Strutture Trasformatore monofase
Trasformatore monofase;nucleo magnetico a mantello
Trasformatore monofase;nucleo magnetico a mantello
Trasformatore trifase, banco tri-monofase
Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella
Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella complanare
Trasformatore trifase, connessione magnetica a stella complanare
Trasformatore trifase
Trasformatore trifase, connessione magnetica a triangolo
Trasformatore trifase a cinque colonne