TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA

Universidad de Santiago de ChileFacultad de CienciaDepartamento de Matemática y C. de la Computación

TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA

Estudiante : Katherine Morales Asignatura : Didáctica del Álgebra y del CálculoProfesor : Daniela SotoFecha : 30-04-14

Concepto Matemático Escogido: El Orden de los Números Naturales

Reseña Histórica – Desde el Saber Sabio

Sabemos que un número natural es aquel que nos sirve para contar elementos de un conjunto, pero antes de utilizar los números para representar cantidades, se utilizaron objetos tangibles como piedras, nudos, o simplemente los dedos para hacerlo. El hombre tuvo que adquirir cierto grado de civilización para realizar las primeras representaciones numéricas que surgían de la necesidad de contar. Fue en Mesopotamia, alrededor del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla, sistema de numeración que fue adoptado en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma.

Quien solidificó el concepto de número natural fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados que daban por cierta la existencia de los números naturales, que después precisó Peano, resultando así los famosos cinco axiomas que llevan su nombre.

Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann.

Para remitirnos al tema del orden, hablaremos de dos definiciones importantes acuñadas desde el saber sabio, en primer lugar, la axiomática de Peano y en segundo lugar, la definición de la relación de orden.

Peano abordó los números naturales entregando los siguientes axiomas:

Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.


Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A contiene al conjunto de todos los números naturales. Este es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática

Se ve enfatizada la idea de sucesor en estos axiomas, cuya definición en la aritmética de Peano, la función sucesor suma 1 al antecesor.

Por otra parte, definimos una relación de orden como una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto.

Podemos ver, que una problemática relativa al conteo de elementos tangibles, a través del trabajo del matemático, ha sido llevada a un alto grado de abstracción por quienes trabajan en el ámbito de la matemática.

¿Cómo se enseña?-Desde el Saber a enseñar

Según las Bases Curriculares del MINEDUC, un alumno de educación básica, específicamente en tercer año, debiese poder ordenar números del 0 al 1000 (trabajan con los números cardinales, es decir, naturales y el cero) y en cuarto básico debe ser capaz de representarlos en la recta numérica, y de manejar números de 6 cifras o más.

En el libro de tercero básico entregado por el ministerio, esto es un ejemplo de ejercicios de la unidad:


Los demás ejercicios que aparecen en el texto son del mismo estilo, donde se le enseña a los alumnos a mirar el valor posicional de cada dígito y establecer si el número es mayor o menor.

Bien, esta es la situación planteada por el sistema educativo, pero ¿cómo se lleva al aula?.

Aquí un ejemplo de Ítem de prueba donde un alumno contesta ejercicios del mismo tipo que el libro mostrado anteriormente.

Como podemos ver, el alumno que respondió estos ejercicios , lo hizo de tal forma que los dibujos ( similares a los "pacman") se "coman" al número más grande. Esta forma de comparación tiene dos aristas :

1.- La utilización del dibujo para recordar la forma en que van orientados los símbolos "<" y ">".

2.- La utilización del dibujo para esquematizar la "conveniencia" de elegir el mayor (pues se asume que el "pacman" siempre se come al número mayor).

¿cómo lo aprendí?- Saber Aprendido

Cuando estudiaba en la educación básica, presenté dificultades para representar los números naturales en la recta numérica, llegando incluso a escribirle los números al revés (mayores a la izquierda), mi comprensión de los números naturales solamente se remitía al conteo. Entonces aprendí que el número que sucedía a otro era mayor que los anteriores, y más


adelante comprendí que los números mayores no sólo "van después" que un número dado, sino que también queremos comparar cantidades.

En el colegio mis profesores siempre utilizaron la representación de un animal o dibujo que prefiriese al número mayor, más adelante fueron utilizados otros recursos como las monedas o billetes, que más adelante me dieron a entender más que el ordenamiento, la resolución de problemas por medio de la comparación.

No fue sino hasta la Educación Media donde el concepto de orden adquirió mayor comprensión por medio de la presentación Axiomática de Peano y por el concepto de Relación de Orden.

Reflexión

La transposición didáctica constituye un fenómeno que afecta al saber , algunas veces en el beneficio de su comprensión y otras veces no. En mi opinión la realizada sobre el concepto de orden, sucesor y mayor o menor , en la Educación Básica es necesaria aunque los conceptos se banalicen demasiado, pues en esta etapa no pueden ser presentadas estructuras matemáticas tan complejas, pero existe la responsabilidad de crear las condiciones necesarias para afianzar los conceptos más adelante.

Referencias

Landau E., Foundations of Analysis ,1966.

Hernández F., Teoría de Conjuntos, 2003.

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