Transporte de Contaminantes
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F.JavierSnchezSanRomnDpto.Geologa,UniversidaddeSalamanca(Espaa) http://hidrologia.usal.es Pg.1
Jun-12
TransportedecontaminantesCuandouncontaminanteentraenelaguasubterrnea,normalmenteendisolucin,se
producenvariosprocesoscomplejos.Parasuestudio,debemosdistinguirdosposiblessituaciones,quesuponendosgruposdeprocesos:
Noexisteningntipodeinteraccinconelmediogeolgico.Elcontaminantesemuevearrastradoporelflujosubterrneo,siexiste.Enestesupuestoestudiaremoslaadveccin,ladifusinyladispersin.Hablamosdecontaminantes(osolutos)noreactivosoconservativos.EsteseraelcasodelcloruroodelTritio.
Seproduceninteraccionesentrelassustanciascontenidasenelaguayelmediogeolgico:adsorcin,precipitacinodisolucin,diversasreaccionesqumicas,...Sehabladesolutosreactivos.Evidentemente,lacomprensindelfenmenoresultarmscomplejaqueenelcasoanterior,yaquehabrqueconsiderarconjuntamenteestosprocesosreactivosconloscitadosenelpuntoanterior.
Laaplicacindeestosconceptosyecuacionesauncasorealpuedehacersemanualmentesloparapequeosproblemasyconsiderandoaisladamentealgunosdelosprocesosinvolucrados.Paraelestudiodeuncasorealesnecesarialautilizacindeunmodelodetransporteenordenador1.
Losmodelosdetransportedebenejecutarsejuntoconunmodelodeflujo(generalmenteMODFLOW).Elmodelodeflujoactaprimeropararesolveryconocerlaestructuratridimensionaldelflujosubterrneoysuevolucintemporal,sitrabajamosenrgimenvariable.Sobreeseconocimientodelflujo,elmodelodetransporteefectasusclculosenbaseaconceptosyecuacionesqueveremosacontinuacin.
AdveccinLaadveccineselarrastredelasustancia
contaminanteporelagua.Sisloexistieraesteproceso,elcontaminanteviajaraalamismavelocidadqueelaguaylaextensinocupadaporelcontaminanteseraconstante(figura1).
Laadveccinsimplementetransportalassustanciascontaminantes.Enunmedioporoso,elflujodemasaatravsdeunaseccinunidadperpendicularalflujoesiguala:
J=me.C.v (1)Siendo:J=flujodemasa,porunidaddeseccinyporunidaddetiempo
me=porosidadeficazC=concentracinv=velocidadlinealmedia(=velocidadDarcy/me)
1MT3D,MT3DMS.Dominiopblico.SedenominMT3Dhasta1998,yMT3DMSapartirdeesafecha.MT3D99.(http://www.sspa.com/software/mt3d.html )VersindepagodeMT3DMSconmsopciones.RT3D.(http://bioprocess.pnnl.gov/)Modelodetransportereactivomultiespecies.Programagratuito.PHT3D(http://www.pht3d.org/)Modelodetransportereactivomulticomponentesenmediosaturado.
IncluyeMT3DMSyPHREEQC2(modelizacindereaccionesqumicas)
Fig 1.- Si se produjera slo adveccin
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Ejemplo:EnunmedioporosoconunaconductividadhidrulicaK=8m/da,porosidad
eficazme=0,20ygradientehidrulico=0,03,calcularelflujodemasaporadveccindeunasustanciacontenidaenelmedioconunaconcentracinde0,5g/L.
Solucin:VelocidadDarcy=Kgradiente=80,03=0,24/diav=velocidadDarcy/me=0,24/0,20=1,20m/diaJ=0,20500g/m31,20m/dia=120g/m2/da(flujodemasaporm2deseccin)
DifusinSienunmediosinflujodepositamosuna
gotadecontaminanteenunpuntoyobservamosuntiempodespus,elpuntoinicialsehaampliadoydifuminado(figura2):
Lasmolculasdelasustanciadisueltaenel
aguasemuevendelospuntosdemayorconcentracinhacialosdemenorconcentracin.Esteprocesosedenominadifusinmolecularosimplementedifusinyseproduceacausadelaagitacincontinuadetodaslasmolculasdellquido.ParasuestudioconsideraremosquenoexistemovimientodelfluidoEnrealidad,cuandoexisteunflujoactivo,elefectodeladifusinesdespreciablefrentealadispersin,queveremosmsadelante;slotieneimportanciacuandoapenasexisteflujosubterrneo.
Enladifusin,lassustanciasdisueltassemuevenporungradientedeconcentraciones.Enunlquido(nocontenidoenunmedioporoso),elflujodemasapordifusinestregidoporlaprimeraleydeFick:
dxdCDF m (2)
donde:F=flujodemasaporunidaddetiempoyporunidaddeseccinperpendicularalflujo(M/T)
Dm=coeficientededifusin(L2/T)C=concentracin(M/L3)dC/dx=gradientedeconcentraciones:entredospuntossituadosaunadistancia
dxexisteunadiferenciadeconcentracionesdC.Elaspectodelafrmularesultafamiliar,recuerdaalaleydeDarcy:allelcaudalporunidaddesuperficie
eraproporcionalalgradientehidrulico,ylaconstantedeproporcionalidaderalaconductividadhidrulica.Aquelflujodemasaesproporcionalalgradientedeconcentraciones,ylaconstantedeproporcionalidadsedenominacoeficientededifusin.AligualqueenlaleydeDarcy,elsignonegativoindicaqueelsentidodelflujoeshacialadisminucindelaconcentracin.Odichodeotromodo:comoalaplicarlafrmula,elincrementodCesnegativo,elsignomenoshacequeelresultadodelafrmulaseapositivo.UnagrandiferenciaentreambasexpresionesesquelaconstantedeproporcionalidadenelcasodelaLeydeDarcyesfcildeobtener,mientrasqueesmuydifcilenlaLeydeFick.
ElvalordelcoeficientededifusinDmoscilaentre1109y9109m2/sparalosionescomunesenelagua(LiyGregory,1974,citadosenFetter,1999oenSchwartz,2003).Cohen
Fig 2.- Difusin
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yMercer(1993,enFitts,2002,p.363)indicanvaloresde1,11010a8,31010m2/sparacompuestosorgnicosvoltiles(dicloroetano,tricloroetano,...).
Loexplicadohastaaquserefiereaunmediolquido(100%lquido).Sielprocesosedesarrollaenelaguaqueseencuentraenunmedioporoso,lafacilidaddemovimientodisminuyeyhayqueconsiderarlascaractersticasdelmedioporoso(principalmentelaporosidadeficazylatortuosidad).Estoseexpresasimplificadamenteas(Fetter,2001,1999):
D*=Dmw(3)
D*=CoeficientededifusinefectivaDm=Coeficientededifusinw=Coeficientequedependedelmedioporoso
SegnFreezeyCherry(1979)estecoeficientewpuedevariarde0,01a0,5.Coutelieris(2012,p.41)oGrathwohl(1998,p.28)sonmsespecficos:
D*=Dmme/2(4)
me=Porosidadeficaz=Tortuosidad(=longitudrecorrida/longituden
lnearecta)2=Factordeconstriccin(constrictivity)3
Ycomonormalmentetodosloscoeficientesysondesconocidos,Coutelieris(op.cit.,p.43)simplificalarelacincomounafuncindelaporosidadeficaz:
D*=Dm(me)c(5)
me=Porosidadeficazc=coeficiente(1,8a2,0paramateriales
consolidados;1,3paraarenasnoconsolidadas)
Encualquiercaso,laprimeraleydeFickparaunmedioporosoeslamismaecuacin
(2),peroutilizandoelcoeficientededifusinefectivaD*[obtenidodelasecuacionesecuaciones(3),(4)(5)]:
F=D*dxdC (6)
Variacinconeltiempo.SegundaleydeFickElflujoexpresadoenlaprimeraleydeFicknoconsideraeltiempo:Expresaunflujo
permanentedemateriamientrassemantenganconstanteslasvariablesdelasquedepende.Ahoranosenfrentamosaunproblemadiferente.Supongamosquetenemosunpunto
conunaconcentracinconstantedeunasustancia(aplicacindeuncontaminante)ydeseamosconocercmovaaumentando(variandoconeltiempo)laconcentracindedicha
2Elconceptodetortuosidadestconfusoenlabibliografa.Epstein(1988)haceunarevisindelembrollo
histricobibliogrficodelconcepto,resumiendoqueunasvecesseconsideraelcocientecomolohemosreferidoyenotrasocasioneselcuadradodedichocociente.Entodosloscasoses>1.
3Reflejaladificultaddecircularmoleculasgrandesatravsdeporospequeos.Existenvariasexpresiones,lamssencillaes:=(1)4;[siendo:=dimetrodelamolcula/dimetrodelporo]
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sustanciaenotropuntosituadoaxmetrosdedistancia.EstavariacinestreflejadaenlasegundaleydeFick4:
2
2
xCD
tC
m
(8)UnasolucindeestaecuacinparaunmedioporosofueexpresadaporCrank(1956,en
Delleur,1999,p.230):
tDxCtxC
*2erfc),( 0 (9)
donde:C0=Concentracininicialdelcontaminante,quepermanececonstanteC(x,t)=ConcentracinaunadistanciaxtranscurridountiempotD*=coeficientededifusinefectivaerfc=Funcinerrorcomplementaria,esttabulada(vertablaalfinal)
Estasolucin(9)presuponeelmediosaturadoyquelaconcentracinpreviadelasustanciaconsideradaenelmedioesnulaodespreciable.Mientrasqueen(8)apareceelcoeficientededifusinDm,ensusolucin(9)seincluyeelcoeficientededifusinefectivaD*paramediosporosos.
Ejemplo:Enunmedioporososaturadosinflujoexisteunpuntoconunaconcentracinde1000mg/L
deNa+,quesemantieneconstante.CalcularlaconcentracindeNa+a3metrosdedistanciatranscurridos20aos,sabiendoque
elcoeficientededifusindelNa+esDm=1,33.109m2/s,yqueelcoeficientecorrectordeesemedioporosoes0,4.
Solucin:[frmulas(3)y(9)]20aos=20.31,5106seg=6,3.108segundosD*=Dmw=1,33.109m2/s0,4=5,321010m2/s
mg/L ,2500,000251000 erfc(2,59)1000103,6/1032,52
3erfc1000),(8210
segsegmtxCi
Ladifusinesunfenmenoextremadamentelento,comohemosvistoenesteejemplo.Estoindicaquesloserapreciableenmediosdondeladifusinsealanicacausademovimientodelsolutoyconsiderandoperiodosdetiempograndes.
DispersinmecnicaLadispersinmecnicaeslaprovocadaporelmovimientodelfluidoatravsdelmedio
poroso.Estadispersinseproduceenelsentidodelflujo(longitudinal)ylateralmente(transversal).
4LaexpresinC/tseleeas:derivadaparcialdeCrespectoat;expresalavariacindelaconcentracinC
respectoaltiempomanteniendoconstantesotrasvariablesdelasquetambindependelaconcentracin,enestecasox.Anlogamente,C/xexpresalavariacindelaconcentracinconladistanciasuponiendoconstanteeltiempo.Finalmente,2C/x2esladerivadaparcialsegundadeCrespectoax;expresalavariacinconladistanciadelavariacindelaconcentracinconladistancia(suponiendoconstantesotrasvariables,osea:eltiempo).Laletra,unadredondeada,fueideadaespecficamenteparalasderivadasparciales(sellamaddeJacobi).
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Fig. 3a.- Dispersin longitudinal por la tortuosidad
Fig. 3b.- Dispersin longitudinal por amplitud de loscanales
Fig. 3c.- Dispersin transversal
Ladispersinlongitudinalesdebidaa:
Lasmolculasqueencuentrancaminosmstortuososseretrasan(fig.3a). Lasmolculasqueencuentrancaminosmsanchosavanzanmsrpido(fig.3b). Lasmolculasquecirculanporelcentrodeloscanalesintergranularesavanzan
msrpidoquelasquecirculancercadelosgranos.Todoestosuponiendounmediohomogneo.Lasheterogenidadesaumentarnla
dispersin,retrasandoalasmolculasqueencuentrenzonasmenospermeables.Ladispersintransversalesdebidaalaconstantebifurcacindeloscaminosque
encuentraelfluido(fig.3c).Ladispersinlongitudinalsiempreesmayorquelatransversal,porloquelamancha
contaminanteadquirirunaformaalargadaenelsentidodelflujo.Lacapacidaddelmedioporosoparadispersarmecnicamenteunfluidoquecirculapor
lsereflejaenuncoeficientedenominadodispersividaddinmica(unidades:L),enelqueinfluirlaporosidad,tortuosidad,formadelosgranos,etc.
SedistingueladispersividaddinmicalongitudinalL(enelsentidodelflujo)ytransversalT(ensentidotransversal).
SehanelaboradodiversasrelacionesentreladispersividaddinmicaLylalongitudrecorridaporelflujoquehaprovocadoladispersin,porejemplolasiguiente(XuyEkstein,1995enFetter,1999,p.99):
L=0,83(logL)2,414 Sehaobtenidomedianteunacorrelacindedatosempricos.Noconsideralascaractersticasdelmedio.
Ladispersinmecnicaesigualalproductodeestecoeficienteporlavelocidadlinealmedia(unidades:L2/T):
Dispersinmecnica=v(10)
=Dispersividaddinmica(L)v=velocidadlinealmedia(L/T)
Esdecir,queladispersividaddinmicaesuncoeficientequedependesolamentedelmedioporoso,mientrasqueladispersinmecnicaconsideraelmedioporosoylavelocidaddelfluido.
DispersinhidrodinmicaLadispersinhidrodinmica(hydrodynamicdispersion)eslaaccinconjuntadela
difusinyladispersinmecnica;ambosfenmenosnopuedenconsiderarseaisladamente.Paratomarlosenconsideracindeunmodoconjunto,seestableceelcoeficientededispersinhidrodinmicaD:
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D=dispersinmecnica+coeficientededifusinefectivaDesglosandoesteconceptoenladireccindelflujo(longitudinal)yperpendicularal
flujo(transversal),quedaexpresadoas:DL=L.v+D* (11)DT=T.v+D* (12)
donde:DL,DT=coeficientededispersinhidrodinmica(longitudinal,transversal)
(unidades:L2/T)LT=coeficientededispersividaddinmica(longitudinal,transversal)v=velocidadlinealmedia(=velocidadDarcy/porosidadeficaz)D*=coeficientededifusinefectivaPortanto,eltransportedelcontaminantenoseproducecomoseindicabaenlafigura1,
sinoquenecesariamenteseproducenladispersiny,enmenormedida,ladifusin.Poresoseobservaqueunacontaminacinproducidaporunvertidobrevesetransformaenunamanchaalargadaquesevaampliandoydifuminandoamedidaquecirculaconelflujosubterrneo(figura4a).
Silaentradadeunasustanciaenelflujosubterrneoseproducedemodocontinuo(porejemplo,rezumesdeundepsitoovertedero),elresultadoesunamanchaalargadaenelsentidodelflujoregional(figura4b),queeninglssedenominaplume,sintraduccinuniversalmenteaceptadaalespaol(pluma,penacho,lengua).
Enlafrmula(9)veamosuna
aproximacinalclculodelefectodeladifusin.Lasolucinanalticaconsiderandoconjuntamentelosefectosdeladispersinyladifusineneltransportedeuncontaminanteesmuycomplejo.Unaprimeraaproximacinconsisteensimplificarelproblemaaunadimensin:Consideramosuntuborellenodearenayconflujoconstante;sbitamente,elfluidoentrantepresentaunaconcentracinC0continuayanalizamoslasconcentracionesdeesasustanciaenlasalidadeltubo(figura5).
Sinoexistierandifusinnidispersin,eltiempodellegadapodracalcularseconociendolavelocidadlinealmedia(=velocidadDarcy/porosidadeficaz)ylalongituddelrecorrido(L);estetiemposeapreciacomparandolosdosprimerosgrficosdelafigura5.Enlarealidad,debidoalefectodeladispersinhidrodinmica,lallegadaesgradualcomosemuestraeneltercergrfico.
Figura 4a.- Inyeccin momentnea
Figura 4b.- Inyeccin continua
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Enestascondiciones,laconcentracinaunadistanciaxtranscurridountiempotpuedecalcularsemediantelaecuacindeOgataBanks(1961;enFetter,1999,p.61;Hiscock,2005,p.207)):
tDtvxerfc
Dxv
tDtvxerfcCtxC
LLL 2exp
22),( 0 (13)
C(x,t)=ConcentracinaunadistanciaxtranscurridountiempotC0=ConcentracininicialdelvertidocontaminanteDL=Dispersinhidrodinmicalongitudinal
v=velocidadlinealmediadelflujosubterrneoerfc()=funcindeerrorcomplementaria,vertablaalfinal.Cuandolavelocidad,eltiempoo
ladistanciasongrandes5(eltercerparntesisdelafrmula(13)esmayorde34),elsegundosumandodelafrmula(13)puededespreciarse,resultandolasimplificacinsiguiente:
tDtvxerfcCtxC
L22),( 0 (14)
Alfinal,seadjuntaunatablaconvaloresdelafuncinerfcyunafrmulaparasuclculoaproximado.
Domenico(1998,p.373)anproponeotrasimplificacin,asumiendoquedentrodeladispersinhidrodinmicaladifusinpuededespreciarsefrentealadispersinmecnica:
tvtvxerfc
CtxC
L 22),( 0 (15)
EstaltimasimplificacinseraplicablesidisponemosdedatosdeladispersividaddinmicalongitudinalLynodelcoeficientededifusinefectivaD*(recordemosqueDL=L.v+D*).
Ejemplo:Enunaformacinconlascaractersticasqueseindicanseproduceunvertidocontinuodeun
contaminanteconunaconcentracinde2500mg/L:Conductividadhidrulica=6,2m/da
5SegnSauty(1980,enFetter,1999,p.63)elsegundosumandoprobablementeesdespreciableparavx/DL
>10ysiempreloesparadichafraccin>100
Figura 5.- Transporte de un contaminante considerado en una dimensin
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Porosidadeficaz=0,15Gradientehidrulico=0,004ElcoeficienteDLsehaestimadoen108m2/s.
Calcularlaconcentracindeesecontaminantea100metrosdedistanciaenladireccindelflujodespusde600das.
Solucin:VelocidadDarcy=6,20,004=0,0248m/diaVelocidadlinealmedia=VDarcy/poros.eficaz=0,0248/0,15=0,165m/da=1,914106m/segTiempo=600das86400seg/dia=5,184107segundosEltercerparntesisdelafrmula(13)vale138,portantoerfc(138)=0,porloqueelltimo
sumandode(13)resultadespreciable.Utilizaremoslaexpresin(14):
LmgerfcerfcerfctxC
/ 540432,01250556,02
2500
440,1799,0
22500
1018,51021018,51091,1100
22500),(
78
76
Sirepetimoselclculoentre
580y630das,larepresentacingrficadelosresultadosmuestraclaramentelallegadagradualdelacontaminacin:
0
500
1000
1500
2000
2500
580 590 600 610 620 630
tiempo (das)
Con
cnet
raci
n (m
g/L)
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ContaminantesreactivosEsmuydifcilqueuncontaminantesemuevaatravsdelosporosofisurasdeuna
formacingeolgicasinsufriralgntipodeinteraccinconelmediogeolgico.Puedenproducirsemuydiversosprocesos:adsorcin,absorcin,intercambioinico,precipitacinqumica,biodegradacin,reaccionesdeoxidacinreduccin,etc.Estosprocesospuedenprovocarlossiguientesefectos: Retardo(lassustanciassemueven
mslentamente). Transformacinenotrassustancias. Atenuacinenloscasosenqueparte
delasustanciaesretenidaporelterreno.Enlafigura76sepresenta
esquemticamenteelefectoproducidoporlosdiversosfactores.Enelmismotubodearenadelafigura5,porelquecirculaunflujoconstante,enestecasosehaefectuadounainyeccinpuntualdeunasustanciaconunaconcentracinC0.Enlosgrficossemuestralaevolucindelaconcentracin(C)enlasalidaB,considerandodiversassituaciones.
RetardoElprocesoderetardoeneltransportedelcontaminanteestprovocadoprincipalmente
porlosprocesosdeadsorcinqueestudiaremosbrevementeenelapartadosiguiente:lasmolculasdelcontaminantearrastradoporelaguaquedanprovisionalmenteadheridasalosmineralesdeterreno,incorporndoseposteriormentealflujo.Elprocesoescomplejo,peroparaincluirloenelclculoquehemosexpuesto,sedefineunfactorderetardoqueralentizalavelocidaddetransportedelcontaminantedeacuerdoconlasiguienteexpresin:
f
ac R
VV (16) Vc=VelocidaddelcontaminanteVa=VelocidaddelaguaRf=Factorderetardo(adimensional)
Sipodemossuponerunvalorplausibleparaelfactorderetardo,alaplicarlafrmuladeOgataBanks,lavelocidad,v,debemodificarsedeacuerdoconlafrmula(16).Porejemplolaexpresin(15)resultaraas:
6ModificadadeMerckel(2008)
Figura 7.- Transporte de un contaminante reactivo en una dimensin
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tRvtxR
erfcC
tRv
tRvx
erfcC
txCLf
f
fL
f
v22 22
),( 00 (17)
Siqueremosaplicarlasfrmulas(13)(14)incluyendoelfactorderetardoRf,deberdividirsev/RfyDL/Rf(yaquedentrodelcoeficienteDLseincluyetambinlavelocidad).
Estefactorderetardodependedeuncoeficientededistribucin(odeparticin)(Domenico,1998,p.299y377):
daf KnR1 (18)
Rf=Factorderetardo(adimensional)a=Densidadaparente(bulkdensity,densidaddeuna
unidaddevolumen,comprendiendomineralesyporos)n=porosidadtotal7Kd=coeficientededistribucin(unidades:L3/M)
LadificultadenlaevaluacindelretardoresideprincipalmenteenelvalordeKd.cuyoconceptoyfundamentoveremosenelapartadosiguiente.Semideenlaboratorioyenelcampo,perocuandonosenfrentamosaunproblemaconcreto,generalmentenosedisponedevaloresfiablesparaintroducirlosenunmodelooaplicarlosaunclculo.EPA(1999)adviertedelaamplituddelerroralutilizarvaloresgenricosencontradosenlabibliografa8,yaquelosvaloresdelcoeficientededistribucinKdsonespecficosdecadacaso(variandoconelabsorbenteyconlasustanciaabsorbida).
Sorcin,adsorcinLaadsorcineslaadherenciadeunasustanciaalasuperficiedeunslido,mientrasque
laabsorcinimplicalapenetracindelasustanciaenelinteriordelslido.Eltrminosorcinenglobaalosdosanteriores.
Laadsorcinpuedeser: Muydbil(fuerzasdeVanderWaals) Dbil(cargaselctricas).Losmineralesarcillosospresentancargasnegativaslibresensuperficie,y
losionespositivosendisolucinqudanatraidosporellas.Siuninqueestabaasadheridoesdesplazadoporotrosehabladeintercambioinico.
Fuerte(enlacesqumicos),queslosonimportantesatemperaturaelevada
Laadsorcin(lasorcin,engeneral)inicialmentepuedeprovocarunaatenuacinenlasconcentraciones(sielcontaminantequedapermanentementeadsorbido,desaparecedelflujo),unatransformacin(siexisteintercambioinico),perosuprincipalefectoeselretardo:lasmolculasdelcontaminantearrastradoporelaguaseretiranprovisionalmentedelflujo,incorporndoseposteriormentealmismo.
Enelprocesoinfluyen(PiwoniyKeely,1990):7Tambinaparece(Fetter,2001)comocoeficientevolumtricodehumedad(adimensional),esdecir:
humedadporunidaddevolumendeterreno,loqueenunmediosaturadoequivalealaporosidadeficaz8Enestawebencontramosunabasededatos:http://earthref.org/KDD/#top
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Lascaractersticasdelcontaminante:puedenseriones(concargaelctrica)osermolculasnocargadas,polaresonopolares.Molculasnopolares(muchasmolculasorgnicas:tolueno,benceno,...)tienenbajasolubilidadyresultanadsorbidasporsuincompatibilidadconlamolculapolardeH2O(sorcinhidrofbica).
Lascaractersticasdelsuelooacufero:mineraloga,textura,permeabilidad,porosidad,materiaorgnica,etc.
IsotermasdelprocesodesorcinSiestamosutilizandoVisualModflowyqueremosconsiderarelretardoeneltransporte
producidoporlosprocesosdesorcin,elprogramanosofrecelaeleccinquesemuestraenlafigura,ysegnlaopcinelegidadeberemosintroducirciertasconstantesquevamosaverenesteapartado.Isotermadesorcinlineal.Enelcasomssimple,podramossuponerquela
concentracindesolutoadsorbidosobreelslidoesunafuncinlinealdelaconcentracindelmismosolutolibreenelagua:
C*=KdC (19)donde:C*=masadesolutosorbidoporunidaddemasadelslido(mg/kg)
C=concentracindesolutoendisolucin(mg/L)Kd=coeficientedeproporcionalidad(L/kg)
Estaconstantedeproporcionalidadlinealeselcoeficientededistribucinqueveamosenlaecuacin(18).
SupongamosquesehantomadovariosdatosexperimentalmenteylosrepresentamosenungrficoC*enfuncindeC.Enunaprimeraaproximacin,trazamoslarectaquemejorseajustaalospuntosylaecuacindeesarectaseralaexpresin(19).LaobtencindeKdesinmediata:eslapendientedelarecta.IsotermadeFreundlich.Losdatosexperimentalesenun
grficodeC*enfuncindeCnormalmentedescribenunacurva.Laecuacindeesacurvasepuedeconsiderarlasiguiente:
C*=KCN(20)donde:K,N=constantes(L/kg)Sitomamoslogaritmosen
(20)obtenemos:logC*=logK+NlogC
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Portanto,sirepresentamoselgrficoenescalaslogartmicas(esdecir:logC*enfuncindelogC)obtendramoslarectacuyapendienteesNylaordenadaenelorigeneslogK.IsotermadeLangmuir.Lasdosrelacionesanteriorespresentanelinconvenienteterico
dequelacantidadadsorbidanopresentalmite:elvalordeC*subeindefinidamentealaumentarC,loquenoesplausible.LarelacindeLangmuirsoslayaeseproblema,yaqueenestecasolacurvatieneunaasntotasuperior(seestabilizaenunvalormximodeC*):
C*=C/(1/+C/) (21)donde:=constantedeadsorcin(L/mg)=mximacantidadde
solutoadsorbidoporunidaddemasadelslido(mg/kg)
SirepresentamosC/C*enfuncindeCobtendremoslarecta:C*/C=1/+C/(21b)enlacuallapendientees
1/ylaordenadaenelorigenes1/
BibliografaCoutelieris,F.A.yJ.M.Delgado(2012).TransportProcessesinPorousMedia.,236pp.Delleur,J.W.(1999).ElementaryGroundwaterFlowandTransportProcesses.In:J.W.
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Valores de la Funcin de Error (erf) y la Funcin de Error Complementaria (erfc)
x erf(x) erfc(x) x erf(x) erfc(x) 0 0 1 1,3 0,9340079 0,0659921
0,05 0,0563720 0,9436280 1,4 0,9522851 0,0477149 0,1 0,1124629 0,8875371 1,5 0,9661051 0,0338949 0,15 0,1679960 0,8320040 1,6 0,9763484 0,0236516 0,2 0,2227026 0,7772974 1,7 0,9837905 0,0162095 0,25 0,2763264 0,7236736 1,8 0,9890905 0,0109095 0,3 0,3286268 0,6713732 1,9 0,9927904 0,0072096 0,35 0,3793821 0,6206179 2 0,9953223 0,0046777 0,4 0,4283924 0,5716076 2,1 0,9970205 0,0029795 0,45 0,4754817 0,5245183 2,2 0,9981372 0,0018628 0,5 0,5204999 0,4795001 2,3 0,9988568 0,0011432 0,55 0,5633234 0,4366766 2,4 0,9993115 0,0006885 0,6 0,6038561 0,3961439 2,5 0,9995930 0,0004070 0,65 0,6420293 0,3579707 2,6 0,9997640 0,0002360 0,7 0,6778012 0,3221988 2,7 0,9998657 0,0001343 0,75 0,7111556 0,2888444 2,8 0,9999250 0,0000750 0,8 0,7421010 0,2578990 2,9 0,9999589 0,0000411 0,85 0,7706681 0,2293319 3 0,9999779 0,0000221 0,9 0,7969082 0,2030918 3,1 0,9999884 0,0000116 0,95 0,8208908 0,1791092 3,2 0,9999940 0,0000060
1 0,8427008 0,1572992 3,3 0,9999969 0,0000031 1,1 0,8802051 0,1197949 3,4 0,9999985 0,0000015 1,2 0,9103140 0,0896860 3,5 0,9999993 0,0000007
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2
22
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