Transonic Drag Prediction Using an Unstructured Multigrid Solver

8/2/2019 Transonic Drag Prediction Using an Unstructured Multigrid Solver

1/21

NASA/CR-2002-211455

ICASE Report No. 2002-5

Transonic Drag Prediction Using an Unstructured

Multigrid Solver

Dimitri J. Mavriplis

ICASE, Hampton, Virginia

David W. Levy

Cessna Aircraft Company, Wichita, Kansas

April 2002


2/21

Report Documentation Page

Report Date

00APR2002

Report Type

N/A

Dates Covered (from... to)

-

Title and Subtitle


Multigrid Solver

Contract Number

Grant Number

Program Element Number

Author(s)

Dimitri J. Mavriplis, David W. Levy

Project Number

Task Number

Work Unit Number

Performing Organization Name(s) and Address(es)

ICASE Mail Stop 132C NASA Langley Research Center

Hampton, VA 23681-2199

Performing Organization Report Number

Sponsoring/Monitoring Agency Name(s) and

Address(es)

Sponsor/Monitors Acronym(s)

Sponsor/Monitors Report Number(s)

Distribution/Availability Statement

Approved for public release, distribution unlimited

Supplementary Notes


Abstract

This paper summarizes the results obtained with the NSU3D unstructured multigrid solver for the AIAA

Drag Prediction Workshop held in Anaheim, CA, June 2001. The test case for the workshop consists of a

wing-body con guration at transonic ow conditions. Flow analyses for a complete test matrix of lift

coecient values and Mach numbers at a constant Reynolds number are performed, thus producing a set of

drag polars and drag rise curves which are compared with experimental data. Results were obtained

independently by both authors using an identical baseline grid, and dierent re ned grids. Most cases were

run in parallel on commodity cluster-type machines while the largest cases were run on an SGI Origin

machine using 128 processors. The objective of this paper is to study the accuracy of the subject

unstructured grid solver for predicting drag in the transonic cruise regime, to assess the eciency of the

method in terms of convergence, cpu time and memory, and to determine the eects of grid resolution onthis predictive ability and its computational eciency. A good predictive ability is demonstrated over a wide

range of conditions, although accuracy was found to degrade for cases at higher Mach numbers and lift

values where increasing amounts of ow separation occur. The ability to rapidly compute large numbers of

cases at varying ow conditions using an unstructured solver on inexpensive clusters of commodity

computers is also demonstrated.

Subject Terms


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Report Classification

unclassified

Classification of this page

unclassified

Classification of Abstract

unclassified

Limitation of Abstract

SAR

Number of Pages

19


4/21

The NASA STI Program Office . . . in Profile

Since its founding, NASA has been dedicated

to the advancement of aeronautics and space

science. The NASA Scientific and Technical

Information (STI) Program Office plays a key

part in helping NASA maintain this

important role.

The NASA STI Program Office is operated by

Langley Research Center, the lead center for

NASAs scientific and technical information.

The NASA STI Program Office provides

access to the NASA STI Database, the

largest collection of aeronautical and space

science STI in the world. The Program Office

is also NASAs institutional mechanism for

disseminating the results of its research and

development activities. These results are

published by NASA in the NASA STI Report

Series, which includes the following report

types:

TECHNICAL PUBLICATION. Reports of

completed research or a major significant

phase of research that present the results

of NASA programs and include extensive

data or theoretical analysis. Includes

compilations of significant scientific and

technical data and information deemed

to be of continuing reference value. NASAs

counterpart of peer-reviewed formal

professional papers, but having less

stringent limitations on manuscript

length and extent of graphic

presentations.

TECHNICAL MEMORANDUM.

Scientific and technical findings that arepreliminary or of specialized interest,

e.g., quick release reports, working

papers, and bibliographies that contain

minimal annotation. Does not contain

extensive analysis.

CONTRACTOR REPORT. Scientific and

technical findings by NASA-sponsored

contractors and grantees.

CONFERENCE PUBLICATIONS.

Collected papers from scientific and

technical conferences, symposia,

seminars, or other meetings sponsored or

cosponsored by NASA.

SPECIAL PUBLICATION. Scientific,

technical, or historical information from

NASA programs, projects, and missions,

often concerned with subjects having

substantial public interest.

TECHNICAL TRANSLATION. English-language translations of foreign scientific

and technical material pertinent to

NASAs mission.

Specialized services that complement the

STI Program Offices diverse offerings include

creating custom thesauri, building customized

data bases, organizing and publishing

research results . . . even providing videos.

For more information about the NASA STIProgram Office, see the following:

Access the NASA STI Program Home

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Write to:

NASA STI Help Desk

NASA Center for AeroSpace Information

7121 Standard Drive

Hanover, MD 21076-1320


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NASA/CR-2000-

ICASE Report No.

NASA/CR-2002-211455


April 2002


Multigrid Solver

Dimitri J. Mavriplis

ICASE, Hampton, Virginia

David W. Levy

Cessna Aircraft Company, Wichita, Kansas

ICASENASA Langley Research Center

Hampton, Virginia

Operated by Universities Space Research Association

Prepared for Langley Research Center

under Contract NAS1-97046


6/21

Available from the following:

NASA Center for AeroSpace Information (CASI) National Technical Information Service (NTIS)

7121 Standard Drive 5285 Port Royal Road

Hanover, MD 21076-1320 Springfield, VA 22161-2171

(301) 621-0390 (703) 487-4650


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T R A N S O N I C D R A G P R E D I C T I O N U S I N G A N U N S T R U C T U R E D M U L T I G R I D

S O L V E R

D I M I T R I J . M A V R I P L I S

A N D D A V I D W . L E V Y

y

A b s t r a c t . T h i s p a p e r s u m m a r i z e s t h e r e s u l t s o b t a i n e d w i t h t h e N S U 3 D u n s t r u c t u r e d m u l t i g r i d s o l v e r

f o r t h e A I A A D r a g P r e d i c t i o n W o r k s h o p h e l d i n A n a h e i m , C A , J u n e 2 0 0 1 . T h e t e s t c a s e f o r t h e w o r k s h o p

c o n s i s t s o f a w i n g - b o d y c o n g u r a t i o n a t t r a n s o n i c o w c o n d i t i o n s . F l o w a n a l y s e s f o r a c o m p l e t e t e s t m a t r i x

o f l i f t c o e c i e n t v a l u e s a n d M a c h n u m b e r s a t a c o n s t a n t R e y n o l d s n u m b e r a r e p e r f o r m e d , t h u s p r o d u c i n g a

s e t o f d r a g p o l a r s a n d d r a g r i s e c u r v e s w h i c h a r e c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t a l d a t a . R e s u l t s w e r e o b t a i n e d

i n d e p e n d e n t l y b y b o t h a u t h o r s u s i n g a n i d e n t i c a l b a s e l i n e g r i d , a n d d i e r e n t r e n e d g r i d s . M o s t c a s e s w e r e

r u n i n p a r a l l e l o n c o m m o d i t y c l u s t e r - t y p e m a c h i n e s w h i l e t h e l a r g e s t c a s e s w e r e r u n o n a n S G I O r i g i n m a c h i n e

u s i n g 1 2 8 p r o c e s s o r s . T h e o b j e c t i v e o f t h i s p a p e r i s t o s t u d y t h e a c c u r a c y o f t h e s u b j e c t u n s t r u c t u r e d g r i d

s o l v e r f o r p r e d i c t i n g d r a g i n t h e t r a n s o n i c c r u i s e r e g i m e , t o a s s e s s t h e e c i e n c y o f t h e m e t h o d i n t e r m s

o f c o n v e r g e n c e , c p u t i m e a n d m e m o r y , a n d t o d e t e r m i n e t h e e e c t s o f g r i d r e s o l u t i o n o n t h i s p r e d i c t i v e

a b i l i t y a n d i t s c o m p u t a t i o n a l e c i e n c y . A g o o d p r e d i c t i v e a b i l i t y i s d e m o n s t r a t e d o v e r a w i d e r a n g e o f

c o n d i t i o n s , a l t h o u g h a c c u r a c y w a s f o u n d t o d e g r a d e f o r c a s e s a t h i g h e r M a c h n u m b e r s a n d l i f t v a l u e s w h e r e

i n c r e a s i n g a m o u n t s o f o w s e p a r a t i o n o c c u r . T h e a b i l i t y t o r a p i d l y c o m p u t e l a r g e n u m b e r s o f c a s e s a t

v a r y i n g o w c o n d i t i o n s u s i n g a n u n s t r u c t u r e d s o l v e r o n i n e x p e n s i v e c l u s t e r s o f c o m m o d i t y c o m p u t e r s i s a l s o

d e m o n s t r a t e d .

K e y w o r d s : u n s t r u c t u r e d , m u l t i g r i d , t r a n s o n i c , d r a g

S u b j e c t c l a s s i c a t i o n : A p p l i e d a n d N u m e r i c a l M a t h e m a t i c s

1 . I n t r o d u c t i o n . C o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s h a s p r o g r e s s e d t o t h e p o i n t w h e r e R e y n o l d s - a v e r a g e d

N a v i e r - S t o k e s s o l v e r s h a v e b e c o m e s t a n d a r d s i m u l a t i o n t o o l s f o r p r e d i c t i n g a i r c r a f t a e r o d y n a m i c s . T h e s e

s o l v e r s a r e r o u t i n e l y u s e d t o p r e d i c t a i r c r a f t f o r c e c o e c i e n t s s u c h a s l i f t , d r a g a n d m o m e n t s , a s w e l l a s t h e

c h a n g e s i n t h e s e v a l u e s w i t h d e s i g n c h a n g e s . I n o r d e r t o b e u s e f u l t o a n a i r c r a f t d e s i g n e r , i t i s g e n e r a l l y

a c k n o w l e d g e d t h a t t h e c o m p u t a t i o n a l m e t h o d s h o u l d b e c a p a b l e o f p r e d i c t i n g d r a g t o w i t h i n s e v e r a l c o u n t s .

W h i l e R e y n o l d s - a v e r a g e d N a v i e r - S t o k e s s o l v e r s h a v e m a d e g r e a t s t r i d e s i n a c c u r a c y a n d a o r d a b i l i t y o v e r

t h e l a s t d e c a d e , t h e s t r i n g e n t a c c u r a c y r e q u i r e m e n t s o f t h e d r a g p r e d i c t i o n t a s k h a v e p r o v e d d i c u l t t o

a c h i e v e . T h i s d i c u l t y i s c o m p o u n d e d b y t h e m u l t i t u d e o f N a v i e r - S t o k e s s o l v e r f o r m u l a t i o n s a v a i l a b l e , a s

w e l l a s b y t h e e e c t s o n a c c u r a c y o f t u r b u l e n c e m o d e l i n g a n d g r i d r e s o l u t i o n . T h e r e f o r e , a p a r t i c u l a r N a v i e r -

S t o k e s s o l v e r m u s t u n d e r g o e x t e n s i v e v a l i d a t i o n i n c l u d i n g t h e d e t e r m i n a t i o n o f a d e q u a t e g r i d r e s o l u t i o n

d i s t r i b u t i o n , p r i o r t o b e i n g t r u s t e d a s a u s e f u l p r e d i c t i v e t o o l . W i t h t h e s e i s s u e s i n m i n d , t h e A I A A A p p l i e d

A e r o d y n a m i c s t e c h n i c a l c o m m i t t e e o r g a n i z e d a D r a g P r e d i c t i o n W o r k s h o p , h e l d i n A n a h e i m , C A , J u n e 2 0 0 1

2 , i n o r d e r t o a s s e s s t h e p r e d i c t i v e c a p a b i l i t i e s o f a n u m b e r o f s t a t e - o f - t h e - a r t c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s

m e t h o d s . T h e c h o s e n c o n g u r a t i o n , d e n o t e d a s D L R - F 4 1 5 a n d d e p i c t e d i n F i g u r e 1 . 1 , c o n s i s t s o f a w i n g -

b o d y g e o m e t r y , w h i c h i s r e p r e s e n t a t i v e o f a m o d e r n s u p e r c r i t i c a l s w e p t w i n g t r a n s p o r t a i r c r a f t . P a r t i c i p a n t s

i n c l u d e d R e y n o l d s - a v e r a g e d N a v i e r - S t o k e s f o r m u l a t i o n s b a s e d o n b l o c k - s t r u c t u r e d g r i d s , o v e r s e t g r i d s , a n d

I C A S E , M a i l S t o p 1 3 2 C , N A S A L a n g l e y R e s e a r c h C e n t e r , H a m p t o n , V A 2 3 6 8 1 2 1 9 9 , U . S . A . d i m i t r i @ i c a s e . e d u . T h i s

r e s e a r c h w a s p a r t i a l l y s u p p o r t e d b y t h e N a t i o n a l A e r o n a u t i c s a n d S p a c e A d m i n i s t r a t i o n u n d e r N A S A C o n t r a c t N o . N A S 1 - 9 7 0 4 6

w h i l e t h e a u t h o r w a s i n r e s i d e n c e a t I C A S E , N A S A L a n g l e y R e s e a r c h C e n t e r , H a m p t o n , V A 2 3 6 8 1 - 2 1 9 9 .

y

C e s s n a A i r c r a f t C o . W i c h i t a , K S

1


8/21

u n s t r u c t u r e d g r i d s , t h u s a o r d i n g a n o p p o r t u n i t y t o c o m p a r e t h e s e m e t h o d s o n a n e q u a l b a s i s i n t e r m s

o f a c c u r a c y a n d e c i e n c y . A s t a n d a r d m e s h w a s s u p p l i e d f o r e a c h t y p e o f m e t h o d o l o g y , w i t h p a r t i c i p a n t s

e n c o u r a g e d t o p r o d u c e r e s u l t s o n a d d i t i o n a l l y r e n e d m e s h e s , i n o r d e r t o a s s e s s t h e e e c t s o f g r i d r e s o l u t i o n .

A M a c h n u m b e r v e r s u s l i f t c o e c i e n t C

L

m a t r i x o f t e s t c a s e s w a s d e n e d , w h i c h i n c l u d e d m a n d a t o r y a n d

o p t i o n a l c a s e s . T h e c a l c u l a t i o n s w e r e i n i t i a l l y r u n b y t h e p a r t i c i p a n t s w i t h o u t k n o w l e d g e o f t h e e x p e r i m e n t a l

d a t a , a n d a c o m p i l a t i o n o f a l l w o r k s h o p r e s u l t s i n c l u d i n g a s t a t i s t i c a l a n a l y s i s o f t h e s e r e s u l t s w a s p e r f o r m e d

b y t h e c o m m i t t e e 4 .

F i g . 1 . 1 D e n i t i o n o f G e o m e t r y f o r W i n g - B o d y T e s t

C a s e t a k e n f r o m R e f . 1 5

T h i s p a p e r d e s c r i b e s t h e r e s u l t s o b t a i n e d f o r t h i s w o r k s h o p w i t h t h e u n s t r u c t u r e d m e s h N a v i e r - S t o k e s

s o l v e r N S U 3 D 1 1 , 1 0 , 9 . T h i s s o l v e r h a s b e e n w e l l v a l i d a t e d a n d i s c u r r e n t l y i n u s e i n b o t h a r e s e a r c h

s e t t i n g a n d a n i n d u s t r i a l p r o d u c t i o n e n v i r o n m e n t . R e s u l t s w e r e o b t a i n e d i n d e p e n d e n t l y b y b o t h a u t h o r s o n

t h e b a s e l i n e w o r k s h o p g r i d , a n d o n t w o r e n e d g r i d s g e n e r a t e d i n d e p e n d e n t l y b y b o t h a u t h o r s . A l l r e q u i r e d

a n d o p t i o n a l c a s e s w e r e r u n u s i n g t h e b a s e l i n e g r i d a n d o n e r e n e d g r i d , w h i l e t h e m o s t h i g h l y r e n e d g r i d

w a s o n l y r u n o n t h e m a n d a t o r y c a s e s . T h e r u n s w e r e p e r f o r m e d o n t h r e e d i e r e n t t y p e s o f p a r a l l e l m a c h i n e s

a t t w o d i e r e n t l o c a t i o n s .

2 . F l o w S o l v e r D e s c r i p t i o n . T h e N S U 3 D c o d e s o l v e s t h e R e y n o l d s a v e r a g e d N a v i e r - S t o k e s e q u a -

t i o n s o n u n s t r u c t u r e d m e s h e s o f m i x e d e l e m e n t t y p e s w h i c h m a y i n c l u d e t e t r a h e d r a , p y r a m i d s , p r i s m s , a n d

h e x a h e d r a . A l l e l e m e n t s o f t h e g r i d a r e h a n d l e d b y a s i n g l e u n i f y i n g e d g e - b a s e d d a t a - s t r u c t u r e i n t h e o w

s o l v e r 1 1 .

T e t r a h e d r a l e l e m e n t s a r e e m p l o y e d i n r e g i o n s w h e r e t h e g r i d i s n e a r l y i s o t r o p i c , w h i c h g e n e r a l l y c o r -

r e s p o n d t o r e g i o n s o f i n v i s c i d o w , a n d p r i s m a t i c c e l l s a r e e m p l o y e d i n r e g i o n s c l o s e t o t h e w a l l , s u c h a s

i n b o u n d a r y l a y e r r e g i o n s w h e r e t h e g r i d i s h i g h l y s t r e t c h e d . T r a n s i t i o n b e t w e e n p r i s m a t i c a n d t e t r a h e d r a l

c e l l r e g i o n s o c c u r s n a t u r a l l y w h e n o n l y t r i a n g u l a r p r i s m a t i c f a c e s a r e e x p o s e d t o t h e t e t r a h e d r a l r e g i o n , b u t

r e q u i r e s a s m a l l n u m b e r o f p y r a m i d a l c e l l s c e l l s f o r m e d b y 5 v e r t i c e s i n c a s e s w h e r e q u a d r i l a t e r a l p r i s m a t i c

f a c e s a r e e x p o s e d .

F l o w v a r i a b l e s a r e s t o r e d a t t h e v e r t i c e s o f t h e m e s h , a n d t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s a r e d i s c r e t i z e d u s i n g

a c e n t r a l d i e r e n c e n i t e - v o l u m e t e c h n i q u e w i t h a d d e d a r t i c i a l d i s s i p a t i o n . T h e m a t r i x f o r m u l a t i o n o f

t h e a r t i c i a l d i s s i p a t i o n i s e m p l o y e d , w h i c h c o r r e s p o n d s t o a n u p w i n d s c h e m e b a s e d o n a R o e - R i e m a n n

s o l v e r . T h e t h i n - l a y e r f o r m o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i s e m p l o y e d i n a l l c a s e s , a n d t h e v i s c o u s t e r m s

a r e d i s c r e t i z e d t o s e c o n d - o r d e r a c c u r a c y b y n i t e - d i e r e n c e a p p r o x i m a t i o n 1 1 . F o r m u l t i g r i d c a l c u l a t i o n s ,

a r s t - o r d e r d i s c r e t i z a t i o n i s e m p l o y e d f o r t h e c o n v e c t i v e t e r m s o n t h e c o a r s e g r i d l e v e l s .

2


9/21

T h e b a s i c t i m e - s t e p p i n g s c h e m e i s a t h r e e - s t a g e e x p l i c i t m u l t i s t a g e s c h e m e w i t h s t a g e c o e c i e n t s o p t i -

m i z e d f o r h i g h f r e q u e n c y d a m p i n g p r o p e r t i e s 1 9 , a n d a C F L n u m b e r o f 1 . 8 . C o n v e r g e n c e i s a c c e l e r a t e d b y

a l o c a l b l o c k - J a c o b i p r e c o n d i t i o n e r i n r e g i o n s o f i s o t r o p i c g r i d c e l l s , w h i c h i n v o l v e s i n v e r t i n g a 5 5 m a t r i x

f o r e a c h v e r t e x a t e a c h s t a g e 1 6 , 1 2 , 1 3 . I n b o u n d a r y l a y e r r e g i o n s , w h e r e t h e g r i d i s h i g h l y s t r e t c h e d , a

l i n e s m o o t h e r i s e m p l o y e d , w h i c h i n v o l v e s i n v e r t i n g a b l o c k t r i d i a g o n a l a l o n g l i n e s c o n s t r u c t e d i n t h e u n -

s t r u c t u r e d m e s h b y g r o u p i n g t o g e t h e r e d g e s n o r m a l t o t h e g r i d s t r e t c h i n g d i r e c t i o n . T h e l i n e s m o o t h i n g

t e c h n i q u e h a s b e e n s h o w n t o r e l i e v e t h e n u m e r i c a l s t i n e s s a s s o c i a t e d w i t h h i g h g r i d a n i s o t r o p y 8 .

A n a g g l o m e r a t i o n m u l t i g r i d a l g o r i t h m 1 1 , 6 i s u s e d t o f u r t h e r e n h a n c e c o n v e r g e n c e t o s t e a d y - s t a t e . I n

t h i s a p p r o a c h , c o a r s e l e v e l s a r e c o n s t r u c t e d b y f u s i n g t o g e t h e r n e i g h b o r i n g n e g r i d c o n t r o l v o l u m e s t o f o r m

a s m a l l e r n u m b e r o f l a r g e r a n d m o r e c o m p l e x c o n t r o l v o l u m e s o n t h e c o a r s e g r i d . T h i s p r o c e s s i s p e r f o r m e d

a u t o m a t i c a l l y i n a p r e - p r o c e s s i n g s t a g e b y a g r a p h - b a s e d a l g o r i t h m . A m u l t i g r i d c y c l e c o n s i s t s o f p e r f o r m i n g

a t i m e - s t e p o n t h e n e g r i d o f t h e s e q u e n c e , t r a n s f e r r i n g t h e o w s o l u t i o n a n d r e s i d u a l s t o t h e c o a r s e r l e v e l ,

p e r f o r m i n g a t i m e - s t e p o n t h e c o a r s e r l e v e l , a n d t h e n i n t e r p o l a t i n g t h e c o r r e c t i o n s b a c k f r o m t h e c o a r s e l e v e l

t o u p d a t e t h e n e g r i d s o l u t i o n . T h e p r o c e s s i s a p p l i e d r e c u r s i v e l y t o t h e c o a r s e r g r i d s o f t h e s e q u e n c e .

T h e s i n g l e e q u a t i o n t u r b u l e n c e m o d e l o f S p a l a r t a n d A l l m a r a s 1 7 i s u t i l i z e d t o a c c o u n t f o r t u r b u l e n c e

e e c t s . T h i s e q u a t i o n i s d i s c r e t i z e d a n d s o l v e d i n a m a n n e r c o m p l e t e l y a n a l o g o u s t o t h e o w e q u a t i o n s , w i t h

t h e e x c e p t i o n t h a t t h e c o n v e c t i v e t e r m s a r e o n l y d i s c r e t i z e d t o r s t - o r d e r a c c u r a c y .

T h e u n s t r u c t u r e d m u l t i g r i d s o l v e r i s p a r a l l e l i z e d b y p a r t i t i o n i n g t h e d o m a i n u s i n g a s t a n d a r d g r a p h

p a r t i t i o n e r 5 a n d c o m m u n i c a t i n g b e t w e e n t h e v a r i o u s g r i d p a r t i t i o n s r u n n i n g o n i n d i v i d u a l p r o c e s s o r s u s i n g

e i t h e r t h e M P I m e s s a g e - p a s s i n g l i b r a r y 3 , o r t h e O p e n M P c o m p i l e r d i r e c t i v e s 1 . S i n c e O p e n M P g e n e r a l l y

h a s b e e n a d v o c a t e d f o r s h a r e d m e m o r y a r c h i t e c t u r e s , a n d M P I f o r d i s t r i b u t e d m e m o r y a r c h i t e c t u r e s , t h i s

d u a l s t r a t e g y n o t o n l y e n a b l e s t h e s o l v e r t o r u n e c i e n t l y o n b o t h t y p e s o f m e m o r y a r c h i t e c t u r e s , b u t c a n

a l s o b e u s e d i n a h y b r i d t w o - l e v e l m o d e , s u i t a b l e f o r n e t w o r k e d c l u s t e r s o f i n d i v i d u a l s h a r e d m e m o r y m u l t i -

p r o c e s s o r s 9 . F o r t h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n t h e p a p e r , t h e s o l v e r w a s r u n o n d i s t r i b u t e d m e m o r y P C c l u s t e r s

a n d a n S G I O r i g i n 2 0 0 0 , u s i n g t h e M P I p r o g r a m m i n g m o d e l e x c l u s i v e l y .

3 . G r i d G e n e r a t i o n . T h e b a s e l i n e g r i d s u p p l i e d f o r t h e w o r k s h o p w a s g e n e r a t e d u s i n g t h e V G R I D n s

p a c k a g e 1 4 . T h i s a p p r o a c h p r o d u c e s f u l l y t e t r a h e d r a l m e s h e s , a l t h o u g h i t i s c a p a b l e o f g e n e r a t i n g h i g h l y

s t r e t c h e d s e m i - s t r u c t u r e d t e t r a h e d r a l e l e m e n t s n e a r t h e w a l l i n t h e b o u n d a r y - l a y e r r e g i o n , a n d e m p l o y s

m o d e r a t e s p a n w i s e s t r e t c h i n g i n o r d e r t o r e d u c e t h e t o t a l n u m b e r o f p o i n t s . A s e m i - s p a n g e o m e t r y w a s

m o d e l e d , w i t h t h e f a r - e l d b o u n d a r y l o c a t e d 5 0 c h o r d s a w a y f r o m t h e o r i g i n , r e s u l t i n g i n a t o t a l o f 1 . 6 5

m i l l i o n g r i d p o i n t s , 9 . 7 m i l l i o n t e t r a h e d r a , a n d 3 6 , 0 0 0 w i n g - b o d y s u r f a c e p o i n t s . T h e c h o r d w i s e g r i d s p a c i n g

a t t h e l e a d i n g e d g e w a s p r e s c r i b e d a s 0 . 2 5 0 m m a n d 0 . 5 0 0 m m a t t h e t r a i l i n g e d g e , u s i n g a d i m e n s i o n a l

m e a n c h o r d o f 1 4 2 . 1 m m . T h e t r a i l i n g e d g e i s b l u n t , w i t h a b a s e t h i c k n e s s o f 0 . 5 c h o r d , a n d t h e b a s e l i n e

m e s h c o n t a i n e d 5 g r i d p o i n t s a c r o s s t h e t r a i l i n g e d g e . T h e n o r m a l s p a c i n g a t t h e w a l l i s 0 . 0 0 1 m m , w h i c h i s

d e s i g n e d t o p r o d u c e a g r i d s p a c i n g c o r r e s p o n d i n g t o y

+

= 1 f o r a R e y n o l d s n u m b e r o f 3 m i l l i o n . A s t r e t c h i n g

r a t e o f 1 . 2 w a s p r e s c r i b e d f o r t h e g r o w t h o f c e l l s i n t h e n o r m a l d i r e c t i o n n e a r t h e w a l l , i n o r d e r t o o b t a i n a

m i n i m u m o f 2 0 p o i n t s i n t h e b o u n d a r y l a y e r .

B e c a u s e t h e N S U 3 D s o l v e r i s o p t i m i z e d t o r u n o n m i x e d e l e m e n t m e s h e s , t h e f u l l y t e t r a h e d r a l b a s e l i n e

m e s h i s s u b s e q u e n t l y c o n v e r t e d t o a m i x e d e l e m e n t m e s h b y m e r g i n g t h e s e m i - s t r u c t u r e d t e t r a h e d r a l l a y e r s

i n t h e b o u n d a r y l a y e r r e g i o n i n t o p r i s m a t i c e l e m e n t s . T h i s i s d o n e i n a p r e - p r o c e s s i n g p h a s e w h e r e t r i p l e t s

o f t e t r a h e d r a l l a y e r s a r e i d e n t i e d a n d m e r g e d i n t o a s i n g l e p r i s m a t i c e l e m e n t , u s i n g i n f o r m a t i o n i d e n t i f y i n g

t h e s e e l e m e n t s a s b e l o n g i n g t o t h e s t r e t c h e d v i s c o u s l a y e r r e g i o n a s o p p o s e d t o t h e i s o t r o p i c i n v i s c i d t e t r a -

h e d r a l r e g i o n . T h e m e r g i n g o p e r a t i o n r e s u l t s i n a t o t a l o f 2 m i l l i o n c r e a t e d p r i s m a t i c e l e m e n t s , w h i l e t h e

3


10/21

n u m b e r o f t e t r a h e d r a l c e l l s i s r e d u c e d t o 3 . 6 m i l l i o n , a n d a t o t a l o f 1 0 0 9 0 p y r a m i d a l e l e m e n t s a r e c r e a t e d

t o m e r g e p r i s m a t i c e l e m e n t s t o t e t r a h e d r a l e l e m e n t s i n r e g i o n s w h e r e q u a d r i l a t e r a l f a c e s f r o m p r i s m a t i c e l e -

m e n t s a r e a d j a c e n t t o t e t r a h e d r a l e l e m e n t s . A h i g h e r r e s o l u t i o n m e s h w a s g e n e r a t e d b y t h e s e c o n d a u t h o r

u s i n g V G R I D n s w i t h s m a l l e r s p a c i n g s i n t h e v i c i n i t y o f t h e w i n g r o o t , t i p , a n d t r a i l i n g e d g e , r e s u l t i n g i n a

t o t a l o f 3 m i l l i o n g r i d p o i n t s , a n d 7 3 , 0 0 0 w i n g - b o d y s u r f a c e p o i n t s . O n e o f t h e f e a t u r e s o f t h i s r e n e d g r i d i s

t h e u s e o f a t o t a l o f 1 7 p o i n t s a c r o s s t h e w i n g t r a i l i n g e d g e v e r s u s 5 f o r t h e b a s e l i n e g r i d . A f t e r t h e m e r g i n g

o p e r a t i o n , t h i s g r i d c o n t a i n e d a t o t a l o f 3 . 7 m i l l i o n p r i s m s a n d 6 . 6 m i l l i o n t e t r a h e d r a .

A n a d d i t i o n a l n e m e s h w a s o b t a i n e d b y t h e r s t a u t h o r t h r o u g h g l o b a l r e n e m e n t o f t h e b a s e l i n e

w o r k s h o p m e s h . T h i s s t r a t e g y o p e r a t e s d i r e c t l y o n t h e m i x e d p r i s m a t i c - t e t r a h e d r a l m e s h , a n d c o n s i s t s o f

s u b d i v i d i n g e a c h e l e m e n t i n t o 8 s m a l l e r s e l f - s i m i l a r e l e m e n t s , t h u s p r o d u c i n g a n 8 : 1 r e n e m e n t o f t h e o r i g i n a l

m e s h 7 . T h e n a l m e s h o b t a i n e d i n t h i s m a n n e r c o n t a i n e d a t o t a l o f 1 3 . 1 m i l l i o n p o i n t s w i t h 1 6 m i l l i o n

p r i s m a t i c e l e m e n t s a n d 2 8 . 8 m i l l i o n t e t r a h e d r a l e l e m e n t s , a n d 9 p o i n t s a c r o s s t h e b l u n t t r a i l i n g e d g e o f t h e

w i n g . T h i s a p p r o a c h c a n r a p i d l y g e n e r a t e v e r y l a r g e m e s h e s w h i c h w o u l d o t h e r w i s e b e v e r y t i m e c o n s u m i n g

t o c o n s t r u c t u s i n g t h e o r i g i n a l m e s h g e n e r a t i o n s o f t w a r e . O n e d r a w b a c k o f t h e c u r r e n t a p p r o a c h i s t h a t

n e w l y g e n e r a t e d s u r f a c e p o i n t s d o n o t l i e e x a c t l y o n t h e o r i g i n a l s u r f a c e d e s c r i p t i o n o f t h e m o d e l g e o m e t r y ,

b u t r a t h e r a l o n g a l i n e a r i n t e r p o l a t i o n b e t w e e n p r e v i o u s l y e x i s t i n g s u r f a c e c o a r s e g r i d p o i n t s . F o r a s i n g l e

l e v e l o f r e n e m e n t , t h i s d r a w b a c k i s n o t e x p e c t e d t o h a v e a n o t i c e a b l e e e c t o n t h e r e s u l t s . A n i n t e r f a c e f o r

r e - p r o j e c t i n g n e w s u r f a c e p o i n t s o n t o t h e o r i g i n a l s u r f a c e g e o m e t r y i s c u r r e n t l y u n d e r c o n s i d e r a t i o n .

T h e b a s e l i n e g r i d w a s f o u n d t o b e s u c i e n t t o r e s o l v e a l l m a j o r o w f e a t u r e s . T h e c o m p u t e d s u r f a c e

p r e s s u r e c o e c i e n t o n t h e b a s e l i n e g r i d f o r a M a c h n u m b e r o f 0 . 7 5 , R e y n o l d s n u m b e r o f 3 m i l l i o n , a n d

C

L

= 0 . 6 i s s h o w n i n F i g u r e 3 . 1 , i l l u s t r a t i n g g o o d r e s o l u t i o n o f t h e u p p e r s u r f a c e s h o c k . A s m a l l r e g i o n

o f s e p a r a t i o n i s a l s o r e s o l v e d i n t h e w i n g r o o t a r e a , a s s h o w n b y t h e s u r f a c e s t r e a m l i n e s f o r t h e s a m e o w

c o n d i t i o n s , i n F i g u r e 3 . 2 .

F i g . 3 . 1 B a s e l i n e G r i d a n d C o m p u t e d P r e s s u r e C o n t o u r s a t M a c h = 0 . 7 5 , C

L

= 0 . 6 , R e = 3 m i l l i o n

4


11/21

F i g . 3 . 2 C o m p u t e d S u r f a c e O i l F l o w P a t t e r n i n W i n g

R o o t A r e a o n B a s e l i n e G r i d f o r M a c h = 0 . 7 5 , C

L

= 0 . 6 ,

R e = 3 m i l l i o n

F i g u r e 3 . 3 d e p i c t s t h e c o m p u t e d y

+

v a l u e s a t t h e b r e a k s e c t i o n f o r t h e s a m e o w c o n d i t i o n s , i n d i c a t i n g v a l u e s

w e l l b e l o w u n i t y o v e r t h e e n t i r e l o w e r s u r f a c e a n d a m a j o r i t y o f t h e u p p e r s u r f a c e . T h e c o n v e r g e n c e h i s t o r y

f o r t h i s c a s e i s s h o w n i n F i g u r e 3 . 4 . T h e o w i s i n i t i a l i z e d a s a u n i f o r m o w a t f r e e s t r e a m c o n d i t i o n s , a n d

t e n s i n g l e g r i d c y c l e s n o m u l t i g r i d a r e e m p l o y e d t o s m o o t h t h e i n i t i a l i z a t i o n p r i o r t o t h e i n i t i a t i o n o f t h e

m u l t i g r i d i t e r a t i o n p r o c e d u r e . A t o t a l r e s i d u a l r e d u c t i o n o f a p p r o x i m a t e l y 5 o r d e r s o f m a g n i t u d e i s a c h i e v e d

o v e r 5 0 0 m u l t i g r i d c y c l e s . C o n v e r g e n c e i n t h e l i f t c o e c i e n t i s o b t a i n e d i n a s l i t t l e a s 2 0 0 m u l t i g r i d c y c l e s

f o r t h i s c a s e , a l t h o u g h a l l c a s e s a r e r u n a m i n i m u m o f 5 0 0 m u l t i g r i d c y c l e s a s a c o n s e r v a t i v e c o n v e r g e n c e

c r i t e r i o n . T h i s c o n v e r g e n c e b e h a v i o r i s r e p r e s e n t a t i v e o f t h e m a j o r i t y o f c a s e s r u n , w i t h s o m e o f t h e h i g h

M a c h n u m b e r a n d h i g h C

L

c a s e s i n v o l v i n g l a r g e r r e g i o n s o f s e p a r a t i o n r e q u i r i n g u p t o 8 0 0 t o 1 0 0 0 m u l t i g r i d

c y c l e s . A o w s o l u t i o n o n t h e b a s e l i n e g r i d r e q u i r e s 2 . 8 G b y t e s o f m e m o r y a n d a t o t a l o f 2 . 6 h o u r s o f w a l l

c l o c k t i m e f o r 5 0 0 m u l t i g r i d c y c l e s o n a c l u s t e r o f c o m m o d i t y c o m p o n e n t s u s i n g 1 6 P e n t i u m I V 1 . 7 G H z

p r o c e s s o r s c o m m u n i c a t i n g t h r o u g h 1 0 0 M b i t E t h e r n e t . T h i s c a s e w a s a l s o r u n o n 4 D E C A l p h a p r o c e s s o r s ,

r e q u i r i n g 2 . 4 G b y t e s o f m e m o r y a n d 8 h o u r s o f w a l l c l o c k t i m e . T h i s c a s e w a s a l s o b e n c h m a r k e d o n 6 4

p r o c e s s o r s 4 0 0 M H z o f a n S G I O r i g i n 2 0 0 0 , r e q u i r i n g 3 G b y t e s o f m e m o r y a n d 4 5 m i n u t e s o f w a l l c l o c k

t i m e . T h e m e m o r y r e q u i r e m e n t s a r e i n d e p e n d e n t o f t h e s p e c i c h a r d w a r e a n d a r e o n l y a f u n c t i o n o f t h e

n u m b e r o f p a r t i t i o n s u s e d i n t h e c a l c u l a t i o n s . T h e c a s e s u s i n g t h e 3 m i l l i o n p o i n t g r i d w e r e r u n o n a c l u s t e r

o f 8 D E C A l p h a p r o c e s s o r s c o m m u n i c a t i n g t h r o u g h 1 0 0 M b i t E t h e r n e t a n d r e q u i r e d a p p r o x i m a t e l y 8 h o u r s

o f w a l l c l o c k t i m e a n d 4 . 2 G b y t e s o f m e m o r y . T h e 1 3 m i l l i o n p o i n t g r i d c a s e s w e r e r u n o n a n S G I O r i g i n

2 0 0 0 , u s i n g 1 2 8 p r o c e s s o r s a n d r e q u i r e d 4 h o u r s o f w a l l c l o c k t i m e a n d 2 7 G b y t e s o f m e m o r y . A d e s c r i p t i o n

o f t h e t h r e e g r i d s e m p l o y e d a n d t h e a s s o c i a t e d c o m p u t a t i o n a l r e q u i r e m e n t s o n v a r i o u s h a r d w a r e p l a t f o r m s

i s g i v e n i n T a b l e 3 . 1 .

5


12/21

X/C

Y+

0 0.25 0.5 0.75 1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1Lower SurfaceUpperSurface

F i g . 3 . 3 C o m p u t e d y

+

o n w i n g s u r f a c e a t s p a n b r e a k

s e c t i o n o n b a s e l i n e g r i d f o r M a c h = 0 . 7 5 , C

L

= 0 . 6 , R e =

3 m i l l i o n

0 100 200 300 400 500 600

Number of Cycles

-8.0

0

-6.0

0

-4.0

0

-2.0

0

0.0

0

2.0

0

Log(Error)

-0.2

0

0.0

0

0.2

0

0.4

0

0.6

0

0.8

0

1.0

0

1.2

0

NormalizedLiftCoefficient

F i g . 3 . 4 D e n s i t y R e s i d u a l a n d L i f t C o e c i e n t C o n -

v e r g e n c e H i s t o r y a s a F u n c t i o n o f M u l t i g r i d C y c l e s o n

B a s e l i n e G r i d f o r M a c h = 0 . 7 5 , C

L

= 0 . 6 , R e = 3 m i l l i o n

T a b l e 3 . 1

G r i d s a n d C o r r e s p o n d i n g R u n T i m e s

G r i d N o . P o i n t s N o . T e t s N o . P r i s m s M e m o r y R u n T i m e H a r d w a r e

G r i d 1 1 : 6 5 1 0

6

2 1 0

6

3 : 6 1 0

6

2 . 8 G b y t e s 2 . 6 h o u r s 1 6 P e n t i u m I V 1 . 7 G H z

G r i d 1 1 : 6 5 1 0

6

2 1 0

6

3 : 6 1 0

6

2 . 4 G b y t e s 8 h o u r s 4 D E C A l p h a 2 1 2 6 4 6 6 7 M H Z

G r i d 1 1 : 6 5 1 0

6

2 1 0

6

3 : 6 1 0

6

3 . 0 G b y t e s 4 5 m i n . 6 4 S G I O r i g i n 2 0 0 0 4 0 0 M H z

G r i d 2 3 : 0 1 0

6

3 : 7 1 0

6

6 : 6 1 0

6

4 . 2 G b y t e s 8 h o u r s 8 D E C A l p h a 2 1 2 6 4 6 6 7 M H Z

G r i d 3 1 3 1 0

6

1 6 1 0

6

2 8 : 8 1 0

6

2 7 G b y t e s 4 h o u r s 1 2 8 S G I O 2 0 0 0 4 0 0 M H z

6


13/21

4 . R e s u l t s . T h e w o r k s h o p t e s t c a s e s c o m p r i s e d t w o r e q u i r e d c a s e s a n d t w o o p t i o n a l c a s e s . T h e s e c a s e s

a r e d e s c r i b e d i n T a b l e 4 . 1 . F o r a l l c a s e s t h e R e y n o l d s n u m b e r i s 3 m i l l i o n . T h e r s t t e s t c a s e i s a s i n g l e

p o i n t a t M a c h = 0 . 7 5 a n d C

L

= 0 . 5 . T h e s e c o n d t e s t c a s e i n v o l v e s t h e c o m p u t a t i o n o f t h e d r a g p o l a r a t

M a c h = 0 . 7 5 u s i n g i n c i d e n c e s f r o m - 3 . 0 t o + 2 . 0 d e g r e e s i n i n c r e m e n t s o f 1 d e g r e e . T h e o p t i o n a l C a s e s 3 a n d 4

i n v o l v e a m a t r i x o f M a c h a n d C

L

v a l u e s i n o r d e r t o c o m p u t e d r a g r i s e c u r v e s . S i n c e a n a u t o m a t e d a p p r o a c h

f o r c o m p u t i n g x e d C

L

c a s e s h a s n o t b e e n i m p l e m e n t e d , a c o m p l e t e d r a g p o l a r f o r e a c h M a c h n u m b e r w a s

c o m p u t e d f o r C a s e s 3 a n d 4 . F o r t h e b a s e l i n e g r i d , t h e i n c i d e n c e f o r t h e p r e s c r i b e d l i f t v a l u e w a s t h e n

i n t e r p o l a t e d f r o m t h e d r a g p o l a r u s i n g a c u b i c s p l i n e t , a n d t h e o w w a s r e c o m p u t e d a t t h i s p r e s c r i b e d

i n c i d e n c e . T h e n a l f o r c e c o e c i e n t s w e r e t h e n i n t e r p o l a t e d f r o m t h e v a l u e s c o m p u t e d i n t h i s c a s e t o t h e

p r e s c r i b e d l i f t v a l u e s , w h i c h a r e v e r y c l o s e t o t h e l a s t c o m p u t e d c a s e . F o r t h e 3 m i l l i o n p o i n t g r i d , t h e f o r c e

c o e c i e n t v a l u e s a t t h e p r e s c r i b e d l i f t c o n d i t i o n s w e r e i n t e r p o l a t e d d i r e c t l y f r o m t h e s i x i n t e g e r - d e g r e e c a s e s

w i t h i n e a c h d r a g p o l a r .

T a b l e 4 . 1

D e n i t i o n o f R e q u i r e d a n d O p t i o n a l C a s e s f o r D r a g

P r e d i c t i o n W o r k s h o p

C a s e D e s c r i p t i o n

C a s e 1 R e q u i r e d M a c h = 0 . 7 5 , C

L

= 0 . 5 0 0

S i n g l e P o i n t

C a s e 2 R e q u i r e d M a c h = 0 . 7 5

D r a g P o l a r = , 3

o

; , 2

o

; , 1

o

; 0

o

; 1

o

; 2

o

C a s e 3 O p t i o n a l M a c h = . 5 0 , . 6 0 , . 7 0 , . 7 5 , . 7 6 , . 7 7 , . 7 8 , . 8 0

C o n s t a n t C

L

C

L

= 0 . 5 0 0

M a c h S w e e p

C a s e 4 O p t i o n a l M a c h = . 5 0 , . 6 0 , . 7 0 , . 7 5 , . 7 6 , . 7 7 , . 7 8 , . 8 0

D r a g R i s e C u r v e s C

L

= 0 . 4 0 0 , 0 . 5 0 0 , 0 . 6 0 0 ,

A l l c a s e s w e r e c o m p u t e d u s i n g t h e b a s e l i n e g r i d 1 . 6 m i l l i o n p o i n t s , a n d t h e m e d i u m g r i d 3 m i l l i o n

p o i n t s . O n l y t h e r e q u i r e d c a s e s w e r e c o m p u t e d u s i n g t h e n e s t g r i d 1 3 m i l l i o n p o i n t s d u e t o t i m e c o n -

s t r a i n t s . T a b l e 4 . 2 d e p i c t s t h e r e s u l t s o b t a i n e d f o r C a s e 1 w i t h t h e t h r e e d i e r e n t g r i d s . T h e d r a g i s s e e n

t o b e c o m p u t e d a c c u r a t e l y b y a l l t h r e e g r i d s , a l t h o u g h t h e r e i s a 1 0 . 6 c o u n t v a r i a t i o n b e t w e e n t h e 3 g r i d s .

H o w e v e r , t h e i n c i d e n c e a t w h i c h t h e p r e s c r i b e d C

L

= 0 . 5 i s a c h i e v e d i s u p t o 0 . 6 d e g r e e s l o w e r t h a n t h a t

o b s e r v e d e x p e r i m e n t a l l y . T h i s e e c t i s m o r e e v i d e n t i n t h e C

L

v e r s u s i n c i d e n c e p l o t o f F i g u r e 4 . 1 , w h e r e t h e

c o m p u t e d l i f t v a l u e s a r e c o n s i s t e n t l y h i g h e r t h a n t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s . S i n c e t h i s d i s c r e p a n c y i n c r e a s e s

w i t h t h e h i g h e r r e s o l u t i o n g r i d s , i t c a n n o t b e a t t r i b u t e d t o a l a c k o f g r i d r e s o l u t i o n . T h e s l o p e o f t h e c o m -

p u t e d l i f t c u r v e i s a b o u t 5 h i g h e r t h a n t h e e x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d s l o p e , a n d i s l a r g e l y u n a e c t e d b y

g r i d r e s o l u t i o n .

7


14/21

F i g u r e 4 . 2 p r o v i d e s a c o m p a r i s o n o f c o m p u t e d s u r f a c e p r e s s u r e c o e c i e n t s w i t h e x p e r i m e n t a l v a l u e s a t

t h e e x p e r i m e n t a l l y p r e s c r i b e d C

L

o f 0 . 6 w h e r e t h e e e c t s a r e m o r e d r a m a t i c t h a n a t C

L

= 0 . 5 a s w e l l a s a t

t h e e x p e r i m e n t a l l y p r e s c r i b e d i n c i d e n c e o f 0 . 9 3 d e g r e e s , a t t h e 4 0 . 9 s p a n l o c a t i o n . W h e n t h e e x p e r i m e n t a l

i n c i d e n c e v a l u e i s m a t c h e d , t h e c o m p u t e d s h o c k l o c a t i o n i s a f t o f t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s , a n d t h e c o m p u t e d

l i f t i s h i g h e r t h a n t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e , w h i l e a t t h e p r e s c r i b e d l i f t c o n d i t i o n , t h e s h o c k i s f u r t h e r f o r w a r d

a n d t h e s u c t i o n p e a k i s l o w e r t h a n t h e e x p e r i m e n t a l v a l u e s .

T h i s b i a s i n l i f t v e r s u s i n c i d e n c e w a s o b s e r v e d f o r a m a j o r i t y o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s s u b m i t t e d t o

t h e w o r k s h o p 4 , a n d t h u s m i g h t b e a t t r i b u t e d t o a m o d e l g e o m e t r y e e c t o r a w i n d t u n n e l c o r r e c t i o n

e e c t , a l t h o u g h a n e x a c t c a u s e h a s n o t b e e n d e t e r m i n e d . W h e n p l o t t e d a s a d r a g p o l a r , C

L

v e r s u s C

D

a s

s h o w n i n F i g u r e 4 . 3 , t h e r e s u l t s c o m p a r e f a v o r a b l y w i t h e x p e r i m e n t a l d a t a . A l t h o u g h t h e d r a g p o l a r w a s

c o m p u t e d i n d e p e n d e n t l y b y b o t h a u t h o r s u s i n g t h e b a s e l i n e g r i d , t h e r e s u l t s o f b o t h s e t s o f c o m p u t a t i o n s

w e r e i d e n t i c a l a s e x p e c t e d a n d t h u s o n l y o n e s e t o f c o m p u t a t i o n s i s s h o w n f o r t h e b a s e l i n e g r i d . T h e

c o m p u t a t i o n a l r e s u l t s o n t h i s g r i d c o m p a r e v e r y w e l l w i t h e x p e r i m e n t i n t h e m i d - r a n g e n e a r C

L

= 0 : 5 ,

w h i l e a s l i g h t o v e r p r e d i c t i o n o f d r a g i s o b s e r v e d f o r l o w l i f t v a l u e s , w h i c h d e c r e a s e s a s t h e g r i d i s r e n e d .

T h i s b e h a v i o r s u g g e s t s a n u n d e r - p r e d i c t i o n o f i n d u c e d d r a g , p o s s i b l y d u e t o i n a d e q u a t e g r i d r e s o l u t i o n

i n t h e t i p r e g i o n o r e l s e w h e r e . T h e a b s o l u t e d r a g l e v e l s h a v e b e e n f o u n d t o b e s e n s i t i v e t o t h e d e g r e e o f g r i d

r e n e m e n t a t t h e b l u n t t r a i l i n g e d g e o f t h e w i n g . T h e d r a g l e v e l i s r e d u c e d b y 4 c o u n t s w h e n g o i n g f r o m

t h e 1 . 6 m i l l i o n p o i n t g r i d , w h i c h h a s 5 p o i n t s o n t h e t r a i l i n g e d g e , t o t h e 3 m i l l i o n p o i n t g r i d , w h i c h h a s 1 7

p o i n t s o n t h e t r a i l i n g e d g e . I n t e r n a l s t u d i e s b y t h e s e c o n d a u t h o r u s i n g s t r u c t u r e d g r i d s h a v e s h o w n t h a t u p

t o 3 3 p o i n t s o n t h e b l u n t t r a i l i n g e d g e a r e r e q u i r e d b e f o r e t h e d r a g d o e s n o t d e c r e a s e a n y f u r t h e r . I n t h e

c u r r e n t g r i d g e n e r a t i o n e n v i r o n m e n t , a n d w i t h o u t t h e a i d o f a d a p t i v e m e s h i n g t e c h n i q u e s , t h e g e n e r a t i o n o f

h i g h l y r e n e d t r a i l i n g e d g e u n s t r u c t u r e d m e s h e s h a s b e e n f o u n d t o b e p r o b l e m a t i c , t h u s l i m i t i n g o u r s t u d y

i n t h i s a r e a .

F i g u r e 4 . 4 p r o v i d e s a n e s t i m a t e o f t h e i n d u c e d d r a g f a c t o r , d e t e r m i n e d e x p e r i m e n t a l l y a n d c o m p u t a -

t i o n a l l y o n t h e t h r e e m e s h e s .

T a b l e 4 . 2

R e s u l t s f o r C a s e 1 ; E x p e r i m e n t a l V a l u e s 1 : O N E R A , 2 : N L R , 3 : D R A ;

G r i d 1

: P e r f o r m e d b y r s t a u t h o r , G r i d 1

+

: P e r f o r m e d b y s e c o n d a u t h o r .

E x p e r i m e n t a l d a t a a n d 3 M p o i n t g r i d r e s u l t s a r e i n t e r p o l a t e d t o s p e c i e d C

l

c o n d i t i o n a l o n g d r a g p o l a r .

C a s e C

L

C

D

C

M

E x p e r i m e n t

1

0 . 5 0 0 0 + : 1 9 2

o

0 . 0 2 8 9 6 - . 1 3 0 1

E x p e r i m e n t

2

0 . 5 0 0 0 + : 1 5 3

o

0 . 0 2 8 8 9 - . 1 2 6 0

E x p e r i m e n t

3

0 . 5 0 0 0 + : 1 7 9

o

0 . 0 2 7 9 3 - . 1 3 7 1

G r i d 1 1 : 6 M p t s

0 . 5 0 0 4 , : 2 4 1

o

0 . 0 2 9 2 1 - . 1 5 4 9

G r i d 1 1 : 6 M p t s

+

0 . 4 9 9 5 , : 2 4 8

o

0 . 0 2 8 9 9 - . 1 5 4 8

G r i d 2 3 : 0 M p t s 0 . 5 0 0 0 , : 4 1 7

o

0 . 0 2 8 5 7 - . 1 6 4 3

G r i d 3 1 3 M p t s 0 . 5 0 0 3 , : 3 6 7

o

0 . 0 2 8 1 5 - . 1 6 5 7

8


15/21

Alpha

CL

-3 -2 -1 0 1 2 30.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

M=.75, NLR-HSTM=.75, ONERA-S2MAM=.75, DRA-8x813.1M G rid1.6M Grid3.0M Grid

F i g . 4 . 1 C o m p a r i s o n o f C o m p u t e d L i f t a s a f u n c t i o n

o f I n c i d e n c e f o r T h r e e D i e r e n t G r i d s v e r s u s E x p e r i m e n t a l

R e s u l t s

X/C

CP

0 0.25 0.5 0.75 1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

NSU3D: ALPHA=0.93NSU3D: CL=0.6Experiment: Alpha=0.93

F i g . 4 . 2 C o m p a r i s o n o f C o m p u t e d S u r f a c e P r e s s u r e

C o e c i e n t s a t P r e s c r i b e d L i f t a n d P r e s c r i b e d I n c i d e n c e

v e r s u s E x p e r i m e n t a l V a l u e s f o r B a s e l i n e G r i d a t 4 0 . 9

s p a n l o c a t i o n

9


16/21

10 counts

CD

CL

0.020 0.030 0.040 0.0500.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

M=.75, NLR-HSTM=.75, ONERA-S2MAM=.75, DRA-8x813.1M G rid1.6M Grid3.0M Grid

Note: Wind tunnel data follow

prescribed trip pattern;

CFD data are fully turbulent

F i g . 4 . 3 C o m p a r i s o n o f C o m p u t e d v e r s u s E x p e r i -

m e n t a l D r a g P o l a r f o r M a c h = 0 . 7 5 u s i n g T h r e e D i e r e n t

G r i d s

10 counts

CD

CL2

0.020 0.030 0.040 0.0500.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

M=.75, NLR-HSTM=.75, ONERA-S2MAM=.75, DRA-8x81.6M Grid13.1M Grid3.0M Grid





m e n t a l I n d u c e d D r a g F a c t o r f o r M a c h = 0 . 7 5 u s i n g T h r e e

D i e r e n t G r i d s

5 Counts

CDp

= CD

- CL

2/( AR)

CL

0.016 0.020 0.024 0.028 0.0320.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

M=.75, NLR-HSTM=.75, ONERA-S2MAM=.75, DRA-8x81.6M Grid13.1M Grid3.0M Grid





m e n t a l I d e a l i z e d P r o l e D r a g a t M a c h = 0 . 7 5 u s i n g T h r e e


CL

CM

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

-0.16

-0.14

-0.12

-0.10

-0.08

M=.75, NLR-HSTM=.75, ONERA-S2MAM=.75, DRA-8x81.6M Grid13.1M G rid3.0M Grid


m e n t a l P i t c h i n g M o m e n t f o r M a c h = 0 . 7 5 u s i n g T h r e e D i f -

f e r e n t G r i d s

F o r C

L

2

u p t o a b o u t 0 . 3 6 , w h e n t h e o w i s m o s t l y a t t a c h e d , i n d u c e d d r a g i s u n d e r p r e d i c t e d b y a p p r o x -

i m a t e l y 1 0 , a s d e t e r m i n e d b y c o m p a r i n g t h e s l o p e s o f t h e c o m p u t a t i o n a l a n d e x p e r i m e n t a l c u r v e s u s i n g

a l i n e a r c u r v e t i n t h i s r e g i o n . G r i d r e n e m e n t a p p e a r s t o h a v e l i t t l e e e c t o n t h e i n d u c e d d r a g i n t h i s

r e g i o n . A t t h e h i g h e r l i f t v a l u e s , t h e 3 m i l l i o n p o i n t g r i d y i e l d s h i g h e r C

L

a n d l o w e r C

D

v a l u e s , w h i c h i s

a t t r i b u t e d t o a s l i g h t d e l a y i n t h e a m o u n t o f p r e d i c t e d o w s e p a r a t i o n . R e s u l t s f o r t h e 1 3 m i l l i o n p o i n t

1 0


17/21

g r i d a r e n o t s h o w n a t t h e h i g h e s t i n c i d e n c e , s i n c e a f u l l y c o n v e r g e d s o l u t i o n c o u l d n o t b e o b t a i n e d a t t h i s

c o n d i t i o n . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e w i n d t u n n e l e x p e r i m e n t s u s e d a b o u n d a r y l a y e r t r i p a t 1 5 a n d

2 5 c h o r d o n t h e u p p e r a n d l o w e r s u r f a c e s , w h i l e a l l c a l c u l a t i o n s w e r e p e r f o r m e d i n a f u l l y t u r b u l e n t m o d e .

E x a m i n a t i o n o f t h e g e n e r a t e d e d d y v i s c o s i t y l e v e l s i n t h e c a l c u l a t i o n s r e v e a l s a p p r e c i a b l e l e v e l s b e g i n n i n g

b e t w e e n 5 t o 7 c h o r d . T h e e x a c t i n u e n c e o f t r a n s i t i o n l o c a t i o n o n o v e r a l l c o m p u t e d f o r c e c o e c i e n t s

h a s n o t b e e n q u a n t i e d a n d r e q u i r e s f u r t h e r s t u d y .

F i g u r e 4 . 5 s h o w s t h e i d e a l i z e d p r o l e d r a g 1 8 w h i c h i s d e n e d b y t h e f o r m u l a :

C

D

P

= C

D

, C

L

2

= A R 4 . 1

w h e r e A R i s t h e a s p e c t r a t i o . P l o t t i n g C

D

P

g e n e r a l l y r e s u l t s i n a m o r e c o m p a c t r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d a t a ,

a l l o w i n g m o r e e x p a n d e d s c a l e s . I t a l s o h i g h l i g h t s t h e c h a r a c t e r i s t i c s a t h i g h e r C

L

, w h e r e t h e d r a g p o l a r

b e c o m e s n o n - p a r a b o l i c d u e t o w a v e d r a g a n d s e p a r a t i o n . I n t h e n o n - p a r a b o l i c r e g i o n , t h e e r r o r i n d r a g i s

r e l a t i v e l y l a r g e a t a c o n s t a n t C

L

.

T h e p i t c h i n g m o m e n t i s p l o t t e d a s a f u n c t i o n o f C

L

i n F i g u r e 4 . 6 f o r a l l t h r e e g r i d s v e r s u s e x p e r i m e n t a l

v a l u e s . T h e p i t c h i n g m o m e n t i s s u b s t a n t i a l l y u n d e r p r e d i c t e d w i t h l a r g e r d i s c r e p a n c i e s o b s e r v e d f o r t h e

r e n e d g r i d s . T h i s i s l i k e l y a r e s u l t o f t h e o v e r - p r e d i c t i o n o f l i f t a s a f u n c t i o n o f i n c i d e n c e , a s m e n t i o n e d

e a r l i e r a n d i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 4 . 1 . B e c a u s e t h e c o m p u t e d s h o c k l o c a t i o n a n d s u c t i o n p e a k s d o n o t l i n e

u p w i t h e x p e r i m e n t a l v a l u e s , t h e p r e d i c t e d p i t c h i n g m o m e n t s c a n n o t b e e x p e c t e d t o b e i n g o o d a g r e e m e n t

w i t h e x p e r i m e n t a l v a l u e s .

F i g u r e 4 . 7 d e p i c t s t h e d r a g r i s e c u r v e s o b t a i n e d f o r C a s e s 3 a n d 4 o n t h e b a s e l i n e g r i d a n d t h e r s t

r e n e d g r i d 3 m i l l i o n p o i n t s . D r a g v a l u e s a r e o b t a i n e d a t f o u r d i e r e n t c o n s t a n t C

L

v a l u e s f o r a r a n g e

o f M a c h n u m b e r s . D r a g v a l u e s a r e p r e d i c t e d r e a s o n a b l y w e l l e x c e p t a t t h e h i g h e s t l i f t a n d M a c h n u m b e r

c o n d i t i o n s . T h e r e a p p e a r s t o b e n o i m p r o v e m e n t i n t h i s a r e a w i t h i n c r e a s e d g r i d r e s o l u t i o n , w h i c h s u g g e s t s

i s s u e s s u c h a s t r a n s i t i o n a n d t u r b u l e n c e m o d e l i n g m a y a c c o u n t f o r t h e s e d i s c r e p a n c i e s . H o w e v e r , s i n c e t h e

t w o g r i d s h a v e c o m p a r a b l e r e s o l u t i o n i n v a r i o u s a r e a s o f t h e d o m a i n , g r i d r e s o l u t i o n i s s u e s s t i l l c a n n o t b e

r u l e d o u t a t t h i s s t a g e .

T h e r e s u l t s o b t a i n e d f o r C a s e s 3 a n d 4 c a n a l s o b e p l o t t e d a t c o n s t a n t M a c h n u m b e r , a s s h o w n i n t h e

d r a g p o l a r p l o t s o f F i g u r e 4 . 8 . T h e p l o t s s h o w s i m i l a r t r e n d s , w i t h t h e d r a g b e i n g s l i g h t l y o v e r p r e d i c t e d

a t l o w l i f t v a l u e s o n t h e c o a r s e r g r i d a n d w i t h t h e r e n e d g r i d a c h i e v i n g b e t t e r a g r e e m e n t i n t h e s e r e g i o n s .

F o r t h e h i g h e r M a c h n u m b e r s , t h e d r a g i s s u b s t a n t i a l l y u n d e r p r e d i c t e d a t t h e h i g h e r l i f t v a l u e s . T h e s e

d i s c r e p a n c i e s a t t h e h i g h e r M a c h n u m b e r s a n d l i f t c o n d i t i o n s p o i n t t o a n u n d e r - p r e d i c t i o n o f t h e e x t e n t o f

t h e s e p a r a t e d r e g i o n s o f o w i n t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s . T h e c o m p a r i s o n o f i d e a l i z e d p r o l e d r a g i n F i g u r e

4 . 5 a l s o s u g g e s t s t h a t t h e d r a g d u e t o o w s e p a r a t i o n i s n o t p r e d i c t e d a c c u r a t e l y a t t h e h i g h e r l i f t c o n d i t i o n s .

H o w e v e r , t h e c h a r a c t e r o f t h e c u r v e s a l s o s u g g e s t t h a t t h e e r r o r m a y b e d u e a s w e l l t o t h e C

L

o s e t s h o w n

i n F i g u r e 4 . 1 . A d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n c o n c e r n i n g t h e r e g i o n s o f o w s e p a r a t i o n f o u n d i n t h e w i n d t u n n e l

w o u l d b e n e e d e d t o m o r e a c c u r a t e l y q u a n t i f y t h e n a t u r e o f t h e e r r o r .

T h e a b o v e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e c u r r e n t u n s t r u c t u r e d m e s h N a v i e r - S t o k e s s o l v e r a c h i e v e s a r e a s o n a b l y

g o o d p r e d i c t i v e a b i l i t y f o r t h e f o r c e c o e c i e n t s o n t h e b a s e l i n e g r i d o v e r t h e m a j o r i t y o f t h e o w c o n d i t i o n s

c o n s i d e r e d . T h e o v e r a l l a g r e e m e n t , p a r t i c u l a r l y a t t h e l o w l i f t v a l u e s , i s i m p r o v e d w i t h a d d e d g r i d r e s o l u t i o n ,

w h i l e t h e m o r e e x t r e m e o w c o n d i t i o n s w h i c h i n c u r l a r g e r a m o u n t s o f s e p a r a t i o n a r e m o r e d i c u l t t o p r e d i c t

a c c u r a t e l y . O n t h e o t h e r h a n d , t h e o b s e r v e d b i a s b e t w e e n c o m p u t a t i o n a n d e x p e r i m e n t i n t h e l i f t v e r s u s

i n c i d e n c e v a l u e s h a s a n a d v e r s e a e c t o n t h e p r e d i c t i o n o f p i t c h i n g m o m e n t . W h i l e t h e s o u r c e o f t h i s b i a s

i s n o t f u l l y u n d e r s t o o d , i t w a s o b s e r v e d f o r a m a j o r i t y o f i n d e p e n d e n t n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s u n d e r t a k e n

1 1


18/21

a s p a r t o f t h e s u b j e c t w o r k s h o p 4 a n d c a n l i k e l y b e a t t r i b u t e d t o g e o m e t r i c a l d i e r e n c e s o r w i n d t u n n e l

c o r r e c t i o n s .

T h e r e s u l t s p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r i n v o l v e a l a r g e n u m b e r o f i n d i v i d u a l s t e a d y - s t a t e c a s e s . F o r e x a m p l e ,

o n t h e b a s e l i n e g r i d , a t o t a l o f 7 2 i n d i v i d u a l c a s e s w e r e c o m p u t e d , a s s h o w n i n F i g u r e 5 . 1 , t o e n a b l e t h e

c o n s t r u c t i o n o f F i g u r e s 4 . 3 , 4 . 7 , a n d 4 . 8 . T h e m a j o r i t y o f t h e s e c a s e s w e r e r u n f r o m f r e e s t r e a m i n i t i a l

c o n d i t i o n s f o r 5 0 0 m u l t i g r i d c y c l e s , w h i l e s e v e r a l c a s e s p a r t i c u l a r l y i n t h e h i g h M a c h n u m b e r a n d h i g h l i f t

r e g i o n s w e r e r u n 8 0 0 t o 1 0 0 0 c y c l e s t o o b t a i n f u l l y c o n v e r g e d r e s u l t s . T h e b a s e l i n e c a s e s 5 0 0 m u l t i g r i d

c y c l e s r e q u i r e d a p p r o x i m a t e l y 2 . 6 h o u r s o f w a l l c l o c k t i m e o n a c l u s t e r o f 1 6 c o m m o d i t y P C p r o c e s s o r s .

T h i s e n a b l e d t h e e n t i r e s e t o f 7 2 c a s e s t o b e c o m p l e t e d w i t h i n a p e r i o d o f o n e w e e k . T h i s e x e r c i s e i l l u s t r a t e s

t h e p o s s i b i l i t y o f p e r f o r m i n g a l a r g e n u m b e r o f p a r a m e t e r r u n s , a s i s t y p i c a l l y r e q u i r e d i n a d e s i g n e x e r c i s e ,

w i t h a s t a t e - o f - t h e - a r t u n s t r u c t u r e d s o l v e r o n r e l a t i v e l y i n e x p e n s i v e p a r a l l e l h a r d w a r e .

Mach

CD

0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.800.020

0.024

0.028

0.032

0.036

0.040

0.044

0.048

0.052

0.056

CL

= .50

CL

= .60

CL

= .40

CL

= .30

CL

3M Grid Exp

0.30

0.40

0.50

0.60

Notes:

1) Wind tunnel data use prescribed BL trip pattern.

2) CFD data are fully turbulent.

3) On fine grid, even CL data interpolated from

-sweep data using cubic spline.

1.6M Grid


m e n t a l D r a g R i s e C u r v e s f o r T h r e e D i e r e n t C

L

v a l u e s

o n T w o D i e r e n t G r i d s

10 counts

CD

CL

0.020 0.030 0. 040 0 .05 0 0 .06 0 0.0 700.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

M=.60, ExpmtM=.80, ExpmtM=.60, 3.0M GridM=.80, 3.0M GridM=.60, 1.6M GridM=.80, 1.6M Grid

Note: Wind tunnel data followprescribed trip pattern;



m e n t a l D r a g P o l a r s f o r M a c h = 0 . 6 a n d M a c h = 0 . 8 o n T w o


5 . C o n c l u s i o n s . A s t a t e - o f - t h e - a r t u n s t r u c t u r e d m u l t i g r i d N a v i e r - S t o k e s s o l v e r h a s d e m o n s t r a t e d g o o d

d r a g p r e d i c t i v e a b i l i t y f o r a w i n g - b o d y c o n g u r a t i o n i n t h e t r a n s o n i c r e g i m e . A c c e p t a b l e a c c u r a c y h a s b e e n

a c h i e v e d o n r e l a t i v e l y c o a r s e m e s h e s o f t h e o r d e r o f s e v e r a l m i l l i o n g r i d p o i n t s , w h i l e i m p r o v e d a c c u r a c y

h a s b e e n d e m o n s t r a t e d w i t h i n c r e a s e d g r i d r e s o l u t i o n . G r i d r e s o l u t i o n r e m a i n s a n i m p o r t a n t i s s u e , a n d

c o n s i d e r a b l e e x p e r t i s e i s r e q u i r e d i n s p e c i f y i n g t h e d i s t r i b u t i o n o f g r i d r e s o l u t i o n i n o r d e r t o a c h i e v e a

g o o d p r e d i c t i v e a b i l i t y w i t h o u t r e s o r t i n g t o e x t r e m e l y l a r g e m e s h s i z e s . T h e s e i s s u e s c a n b e r e s o l v e d t o s o m e

d e g r e e b y t h e u s e o f a u t o m a t i c g r i d a d a p t a t i o n p r o c e d u r e s , w h i c h a r e p l a n n e d f o r f u t u r e w o r k . T h e p r e d i c t i v e

a b i l i t y o f t h e n u m e r i c a l s c h e m e w a s f o u n d t o d e g r a d e f o r o w c o n d i t i o n s i n v o l v i n g l a r g e r a m o u n t s o f o w

s e p a r a t i o n . S l i g h t c o n v e r g e n c e d e g r a d a t i o n w a s o b s e r v e d o n t w o o f t h e g r i d s f o r t h e c a s e s i n v o l v i n g i n c r e a s e d

1 2


19/21

o w s e p a r a t i o n , w h i l e a f u l l y c o n v e r g e d r e s u l t c o u l d n o t b e o b t a i n e d o n t h e n e s t g r i d 1 3 m i l l i o n p o i n t s f o r

t h e h i g h e s t l i f t c a s e a t a M a c h n u m b e r o f 0 . 7 5 . T h e c u r r e n t r e s u l t s u t i l i z e d t h e S p a l a r t - A l l m a r a s t u r b u l e n c e

m o d e l e x c l u s i v e l y , a n d t h e e e c t o f o t h e r t u r b u l e n c e m o d e l s i n t h i s r e g i m e d e s e r v e s a d d i t i o n a l c o n s i d e r a t i o n .

T h e r a p i d c o n v e r g e n c e o f t h e m u l t i g r i d s c h e m e c o u p l e d w i t h t h e p a r a l l e l i m p l e m e n t a t i o n o n c o m m o d i t y

n e t w o r k e d c o m p u t e r c l u s t e r s h a s b e e n s h o w n t o p r o d u c e a u s e f u l d e s i g n t o o l w i t h q u i c k t u r n a r o u n d t i m e .

+

+

++

++

+

++

+

10 counts

CD

CL

0.020 0.030 0.040 0.050 0.0600.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

M=0.50, 1.6M GridM=0.60, 1.6M GridM=0.70, 1.6M GridM=0.75, 1.6M GridM=0.76, 1.6M Grid

M=0.77, 1.6M GridM=0.78, 1.6M GridM=0.80, 1.6M Grid+

F i g . 5 . 1 D e p i c t i o n o f A l l 7 2 I n d i v i d u a l C a s e s r u n o n

B a s e l i n e G r i d P l o t t e d i n D r a g P o l a r F o r m a t

R E F E R E N C E S

1 O p e n M P : S i m p l e , p o r t a b l e , s c a l a b l e S M P p r o g r a m m i n g . h t t p : w w w . o p e n m p . o r g , 1 9 9 9 .

2 A I A A D r a g P r e d i c t i o n W o r k s h o p . A n a h e i m , C A . h t t p : w w w . a i a a . o r g t c a p a d r a g p r e d w o r k s h o p d p w . h t m l ,

J u n e 2 0 0 1 .

3 W . G r o p p , E . L u s k , a n d A . S k j e l l u m , U s i n g M P I : P o r t a b l e P a r a l l e l P r o g r a m m i n g w i t h t h e M e s s a g e

P a s s i n g I n t e r f a c e , M I T P r e s s , C a m b r i d g e , M A , 1 9 9 4 .

4 M . H e m s c h , S t a t i s t i c a l a n a l y s i s o f C F D s o l u t i o n s f r o m t h e D r a g P r e d i c t i o n W o r k s h o p . A I A A P a p e r

2 0 0 2 - 0 8 4 2 , J a n . 2 0 0 2 .

5 G . K a r y p i s a n d V . K u m a r , A f a s t a n d h i g h q u a l i t y m u l t i l e v e l s c h e m e f o r p a r t i t i o n i n g i r r e g u l a r g r a p h s ,

T e c h . R e p o r t 9 5 - 0 3 5 , U n i v e r s i t y o f M i n n e s o t a , 1 9 9 5 . A s h o r t v e r s i o n a p p e a r s i n I n t l . C o n f . o n P a r a l l e l

P r o c e s s i n g 1 9 9 5 .

6 M . L a l l e m a n d , H . S t e v e , a n d A . D e r v i e u x , U n s t r u c t u r e d m u l t i g r i d d i n g b y v o l u m e a g g l o m e r a t i o n :

C u r r e n t s t a t u s , C o m p u t e r s a n d F l u i d s , 2 1 1 9 9 2 , p p . 3 9 7 4 3 3 .

7 D . J . M a v r i p l i s , A d a p t i v e m e s h i n g t e c h n i q u e s f o r v i s c o u s o w c a l c u l a t i o n s o n m i x e d - e l e m e n t u n s t r u c -

t u r e d m e s h e s . A I A A P a p e r 9 7 - 0 8 5 7 , J a n . 1 9 9 7 .

8 , D i r e c t i o n a l a g g l o m e r a t i o n m u l t i g r i d t e c h n i q u e s f o r h i g h - R e y n o l d s n u m b e r v i s c o u s o w s . A I A A

P a p e r 9 8 - 0 6 1 2 , J a n . 1 9 9 8 .

1 3


20/21

9 , P a r a l l e l p e r f o r m a n c e i n v e s t i g a t i o n s o f a n u n s t r u c t u r e d m e s h N a v i e r - S t o k e s s o l v e r . I C A S E R e p o r t

N o . 2 0 0 0 - 1 3 , N A S A C R - 2 0 0 0 - 2 1 0 0 8 8 , M a r . 2 0 0 0 .

1 0 D . J . M a v r i p l i s a n d S . P i r z a d e h , L a r g e - s c a l e p a r a l l e l u n s t r u c t u r e d m e s h c o m p u t a t i o n s f o r 3 D h i g h -

l i f t a n a l y s i s , A I A A J o u r n a l o f A i r c r a f t , 3 6 1 9 9 9 , p p . 9 8 7 9 9 8 .

1 1 D . J . M a v r i p l i s a n d V . V e n k a t a k r i s h n a n , A u n i e d m u l t i g r i d s o l v e r f o r t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a -

t i o n s o n m i x e d e l e m e n t m e s h e s , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s , 8 1 9 9 7 ,

p p . 2 4 7 2 6 3 .

1 2 E . M o r a n o a n d A . D e r v i e u x , L o o k i n g f o r O N N a v i e r - S t o k e s s o l u t i o n s o n n o n - s t r u c t u r e d m e s h e s , i n

6 t h C o p p e r M o u n t a i n C o n f . o n M u l t i g r i d M e t h o d s , 1 9 9 3 , p p . 4 4 9 4 6 4 . N A S A C o n f e r e n c e P u b l i c a t i o n

3 2 2 4 .

1 3 N . P i e r c e a n d M . G i l e s , P r e c o n d i t i o n i n g o n s t r e t c h e d m e s h e s . A I A A P a p e r 9 6 - 0 8 8 9 , J a n . 1 9 9 6 .

1 4 S . P i r z a d e h , T h r e e - d i m e n s i o n a l u n s t r u c t u r e d v i s c o u s g r i d s b y t h e a d v a n c i n g - l a y e r s m e t h o d , A I A A

J o u r n a l , 3 4 1 9 9 6 , p p . 4 3 4 9 .

1 5 G . R e d e k e r , D L R - F 4 w i n g b o d y c o n g u r a t i o n , t e c h . r e p o r t , A u g . 1 9 9 4 . A G A R D R e p o r t A R - 3 0 3 , V o l

I I .

1 6 K . R i e m s l a g h a n d E . D i c k , A m u l t i g r i d m e t h o d f o r s t e a d y E u l e r e q u a t i o n s o n u n s t r u c t u r e d a d a p t i v e

g r i d s , i n 6 t h C o p p e r M o u n t a i n C o n f . o n M u l t i g r i d M e t h o d s , N A S A C o n f e r e n c e P u b l i c a t i o n 3 2 2 4 ,

1 9 9 3 , p p . 5 2 7 5 4 2 .

1 7 P . R . S p a l a r t a n d S . R . A l l m a r a s , A o n e - e q u a t i o n t u r b u l e n c e m o d e l f o r a e r o d y n a m i c o w s , L a

R e c h e r c h e A e r o s p a t i a l e , 1 1 9 9 4 , p p . 5 2 1 .

1 8 E . N . T i n o c o , A n a s s e s s m e n t o f C F D p r e d i c t i o n o f d r a g a n d o t h e r l o n g i t u d i n a l c h a r a c t e r i s t i c s . A I A A

P a p e r 2 0 0 1 - 1 0 0 2 , J a n . 2 0 0 1 .

1 9 B . v a n L e e r , C . H . T a i , a n d K . G . P o w e l l , D e s i g n o f o p t i m a l l y - s m o o t h i n g m u l t i - s t a g e s c h e m e s

f o r t h e E u l e r e q u a t i o n s . A I A A P a p e r 8 9 - 1 9 3 3 , J u n e 1 9 8 9 .

1 4


21/21

R E P O R T D O C U M E N T A T I O N P A G E

F o r m A p p r o v e d

O M B N o . 0 7 0 4 - 0 1 8 8

P u b l i c r e p o r t i n g b u r d e n f o r t h i s c o l l e c t i o n o f i n f o r m a t i o n i s e s t i m a t e d t o a v e r a g e 1 h o u r p e r r e s p o n s e , i n c l u d i n g t h e t i m e f o r r e v i e w i n g i n s t r u c t i o n s , s e a r c h i n g e x i s t i n g d a t a s o u r c e s ,

g a t h e r i n g a n d m a i n t a i n i n g t h e d a t a n e e d e d , a n d c o m p l e t i n g a n d r e v i e w i n g t h e c o l l e c t i o n o f i n f o r m a t i o n . S e n d c o m m e n t s r e g a r d i n g t h i s b u r d e n e s t i m a t e o r a n y o t h e r a s p e c t o f t h i s

c o l l e c t i o n o f i n f o r m a t i o n , i n c l u d i n g s u g g e s t i o n s f o r r e d u c i n g t h i s b u r d e n , t o W a s h i n g t o n H e a d q u a r t e r s S e r v i c e s , D i r e c t o r a t e f o r I n f o r m a t i o n O p e r a t i o n s a n d R e p o r t s , 1 2 1 5 J e e r s o n

D a v i s H i g h w a y , S u i t e 1 2 0 4 , A r l i n g t o n , V A 2 2 2 0 2 - 4 3 0 2 , a n d t o t h e O c e o f M a n a g e m e n t a n d B u d g e t , P a p e r w o r k R e d u c t i o n P r o j e c t 0 7 0 4 - 0 1 8 8 , W a s h i n g t o n , D C 2 0 5 0 3 .

1 . A G E N C Y U S E O N L Y L e a v e b l a n k 2 . R E P O R T D A T E 3 . R E P O R T T Y P E A N D D A T E S C O V E R E D

A p r i l 2 0 0 2 C o n t r a c t o r R e p o r t

4 . T I T L E A N D S U B T I T L E

T r a n s o n i c d r a g p r e d i c t i o n u s i n g a n u n s t r u c t u r e d m u l t i g r i d s o l v e r

6 . A U T H O R S

D i m i t r i J . M a v r i p l i s a n d D a v i d W . L e v y

7 . P E R F O R M I N G O R G A N I Z A T I O N N A M E S A N D A D D R E S S E S

I C A S E

M a i l S t o p 1 3 2 C

N A S A L a n g l e y R e s e a r c h C e n t e r

H a m p t o n , V A 2 3 6 8 1 - 2 1 9 9

9 . S P O N S O R I N G M O N I T O R I N G A G E N C Y N A M E S A N D A D D R E S S E S

N a t i o n a l A e r o n a u t i c s a n d S p a c e A d m i n i s t r a t i o n

L a n g l e y R e s e a r c h C e n t e r

H a m p t o n , V A 2 3 6 8 1 - 2 1 9 9

5 . F U N D I N G N U M B E R S

C N A S 1 - 9 7 0 4 6

W U 5 0 5 - 9 0 - 5 2 - 0 1

8 . P E R F O R M I N G O R G A N I Z A T I O N

R E P O R T N U M B E R

I C A S E R e p o r t N o . 2 0 0 2 - 5

1 0 . S P O N S O R I N G M O N I T O R I N G

A G E N C Y R E P O R T N U M B E R

N A S A C R - 2 0 0 2 - 2 1 1 4 5 5

I C A S E R e p o r t N o . 2 0 0 2 - 5

1 1 . S U P P L E M E N T A R Y N O T E S

L a n g l e y T e c h n i c a l M o n i t o r : D e n n i s M . B u s h n e l l

F i n a l R e p o r t

S u b m i t t e d t o t h e A I A A J o u r n a l o f A i r c r a f t .

1 2 a . D I S T R I B U T I O N A V A I L A B I L I T Y S T A T E M E N T 1 2 b . D I S T R I B U T I O N C O D E

U n c l a s s i e d U n l i m i t e d

S u b j e c t C a t e g o r y 6 4

D i s t r i b u t i o n : N o n s t a n d a r d

A v a i l a b i l i t y : N A S A - C A S I 3 0 1 6 2 1 - 0 3 9 0

1 3 . A B S T R A C T M a x i m u m 2 0 0 w o r d s

T h i s p a p e r s u m m a r i z e s t h e r e s u l t s o b t a i n e d w i t h t h e N S U 3 D u n s t r u c t u r e d m u l t i g r i d s o l v e r f o r t h e A I A A D r a g

P r e d i c t i o n W o r k s h o p h e l d i n A n a h e i m , C A , J u n e 2 0 0 1 . T h e t e s t c a s e f o r t h e w o r k s h o p c o n s i s t s o f a w i n g - b o d y

c o n g u r a t i o n a t t r a n s o n i c o w c o n d i t i o n s . F l o w a n a l y s e s f o r a c o m p l e t e t e s t m a t r i x o f l i f t c o e c i e n t v a l u e s a n d

M a c h n u m b e r s a t a c o n s t a n t R e y n o l d s n u m b e r a r e p e r f o r m e d , t h u s p r o d u c i n g a s e t o f d r a g p o l a r s a n d d r a g r i s e

c u r v e s w h i c h a r e c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t a l d a t a . R e s u l t s w e r e o b t a i n e d i n d e p e n d e n t l y b y b o t h a u t h o r s u s i n g

a n i d e n t i c a l b a s e l i n e g r i d , a n d d i e r e n t r e n e d g r i d s . M o s t c a s e s w e r e r u n i n p a r a l l e l o n c o m m o d i t y c l u s t e r - t y p e

m a c h i n e s w h i l e t h e l a r g e s t c a s e s w e r e r u n o n a n S G I O r i g i n m a c h i n e u s i n g 1 2 8 p r o c e s s o r s . T h e o b j e c t i v e o f t h i s p a p e r

i s t o s t u d y t h e a c c u r a c y o f t h e s u b j e c t u n s t r u c t u r e d g r i d s o l v e r f o r p r e d i c t i n g d r a g i n t h e t r a n s o n i c c r u i s e r e g i m e , t o

a s s e s s t h e e c i e n c y o f t h e m e t h o d i n t e r m s o f c o n v e r g e n c e , c p u t i m e a n d m e m o r y , a n d t o d e t e r m i n e t h e e e c t s o f

g r i d r e s o l u t i o n o n t h i s p r e d i c t i v e a b i l i t y a n d i t s c o m p u t a t i o n a l e c i e n c y . A g o o d p r e d i c t i v e a b i l i t y i s d e m o n s t r a t e d

o v e r a w i d e r a n g e o f c o n d i t i o n s , a l t h o u g h a c c u r a c y w a s f o u n d t o d e g r a d e f o r c a s e s a t h i g h e r M a c h n u m b e r s a n d

l i f t v a l u e s w h e r e i n c r e a s i n g a m o u n t s o f o w s e p a r a t i o n o c c u r . T h e a b i l i t y t o r a p i d l y c o m p u t e l a r g e n u m b e r s o f

c a s e s a t v a r y i n g o w c o n d i t i o n s u s i n g a n u n s t r u c t u r e d s o l v e r o n i n e x p e n s i v e c l u s t e r s o f c o m m o d i t y c o m p u t e r s i s a l s o

d e m o n s t r a t e d .

1 4 . S U B J E C T T E R M S 1 5 . N U M B E R O F P A G E S

u n s t r u c t u r e d , m u l t i g r i d , t r a n s o n i c , d r a g

1 9

1 6 . P R I C E C O D E

A 0 3

1 7 . S E C U R I T Y C L A S S I F I C A T I O N 1 8 . S E C U R I T Y C L A S S I F I C A T I O N 1 9 . S E C U R I T Y C L A S S I F I C A T I O N 2 0 . L I M I T A T I O N

O F R E P O R T O F T H I S P A G E O F A B S T R A C T O F A B S T R A C T

U n c l a s s i e d U n c l a s s i e d

N S N 7 5 4 0 - 0 1 - 2 8 0 - 5 5 0 0 S t a n d a r d F o r m 2 9 8 R e v . 2 - 8 9

P r e s c r i b e d b y A N S I S t d . Z 3 9 - 1 8

2 9 8 - 1 0 2

Transonic Drag Prediction Using an Unstructured Multigrid Solver

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